Billares. Billar cuadrado Billar circular Billar elíptico

Billares

Cuando pensamos en billares, inmediatamente recurrimos al juego situado en una mesa de billar con bolas de billar, dicha mesa tiene bordes para permitirse los rebotes de las bolas impulsadas estas por un taco. Sin embargo, en el sentido matemático, cuando se estudian los billares se entiende como un sistema dinámico. Un sistema dinámico es un sistema físico cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los billares tienen muchas

aplicaciones dentro del área de la física, una de ellas, por ejemplo, es la de describir la dinámica de las partículas de los gases al estar éstas bajo una presión.

Pensaremos el billar matemático como el movimiento de una masa puntual (un punto en el plano) que se encuentra dentro de una región acotada (un subconjunto de ℝ2) que sigue una trayectoria inicial dada (velocidad). Podemos considerar este punto como el movimiento de una partícula. Cabe mencionar que existen algunas suposiciones sobre la idea del movimiento de la partícula: la primera es que “no hay fricción”, esto es, la partícula nunca se detiene, la trayectoria se sigue indefinidamente con la rapidez inicial constante; y la segunda suposición es que los “rebotes” con la frontera son elásticos, es decir, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Los ángulos los mediremos en radianes, salvo que haya necesidad de hablar de ellos en grados.

Cuando la partícula choca contra la frontera ésta entra con cierto ángulo y su rebote se sigue del mismo ángulo con la que entró formado éste con la tangente a la curva. Definición. Sea 𝑄 ⊆ ℝ2 un conjunto abierto acotado y conexo, llamaremos a este conjunto mesa del billar.

Ejemplos de mesas de billar:

Billar cuadrado Billar circular Billar elíptico

En general, una mesa de billar puede ser cualquier polígono regular, o cualquier curva cerrada que se pueda construir siempre que su frontera sea la unión finita de curvas compactas y suaves.

Más ejemplos:

Estadio: Este billar es

una “combinación” del billar cuadrado y del billar circular.

Billar triangular Billar en un polígono hexagonal

Dinámica.

Denotaremos por 𝑞0 = (𝑢0, 𝑣0) ∈ 𝑄 como la posición inicial de la partícula con velocidad

𝑣 ∈ ℝ2_.

Se mencionó los rebotes elásticos, entonces sea cualquier billar con curvas fronteras suaves, al menos 𝐶2, y supongamos cualquier vector velocidad inicial 𝑣0 , la actualización

del vector velocidad, osea 𝑣1, viene siendo determinada por la siguiente fórmula

𝑣₁ = 𝑣₀− 2〈𝑣₀, 𝑛(𝑞)〉𝑛(𝑞)

Donde 𝑛(𝑞) es un vector normal a la curva frontera en el punto de incidencia, (donde la partícula rebota). Esto se describe con el siguiente esquema.

La formula se obtiene de la siguiente manera:

𝑞0 𝑣0 𝑛(𝑞) 𝑣1 𝑙3Tangente a la curva

Dado que 𝑛 es un vector normal a la curva, sea 𝜇 un vector perpendicular a 𝑛

entonces 𝜇 es el vector direccional de la recta tangente a la curva.

Como 𝜇 𝑦 𝑛 son perpendiculares, podemos escribir como combinación lineal a 𝑣0 = 𝛼𝜇 + 𝛽𝑛 … … … (1)

con 𝛼, 𝛽 constantes.

Cuando ocurre el rebote, se obtiene que 𝜇 se conserva y 𝛼 cambia de sentido ya que por hipótesis los ángulos de reflexión son iguales a los de incidencia por lo tanto podemos escribir a 𝑣1 en términos de 𝜇 𝑦 𝑛 de la siguiente forma:

𝑣₁ = 𝛼𝜇 − 𝛽𝑛 … … … (2) Hacemos producto punto la ecuación (1) con 𝑛

〈𝑛. 𝑣0〉 = 𝛼〈𝜇. 𝑛〉 + 𝛽〈𝑛. 𝑛〉

⟹ 〈𝑛. 𝑣₀〉 = 𝛽 … … … (3) La ultima igualdad se obtiene de tener a 𝑛 como un vector normal. Reescribimos la ecuación (2)

𝑣₁ = 𝑣₀− 2𝛽𝑛 Y sustituimos la ecuación (3) en la igualdad de arriba

𝑣1 = 𝑣0− 2〈𝑛. 𝑣0〉𝑛 … … … (4 Ahora analicemos algunos billares en mesas particulares.

Billar cuadrado.

El billar cuadrado es considerado uno de los más simples y con el que muchos artículos empiezan describiendo.

Cuando la partícula llega a un vértice la trayectoria termina, esto se debe a que en ese punto no es posible determinar una tangente con la cual podamos decir cómo se comportara la partícula después del rebote. En general supondremos que la posición inicial de la partícula está sobre alguna curva frontera.

Este billar presenta algunas propiedades muy interesantes. La longitud de los lados del cuadrado puede variar (puede ser un rectángulo) pero simplificaremos el caso a un cuadrado unitario.

Sea 𝑄 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1}

Tenemos trayectorias muy interesantes, resulta que desde cualquier punto 𝑞0 ∈ 𝑄 si el vector velocidad es de la forma (±1, 0) ó (0, ±1) entonces se obtiene una “orbita periódica de periodo dos”. Esto se ilustra a continuación:

La posición inicial es 𝑞0 = (1₅,1₂) y 𝑣0 = (1, 0), aunque no es notable el punto inicial porque la trayectoria se sigue indefinidamente por las hipótesis ya mencionadas.

Aquí tenemos la partícula con la misma posición inicial pero con 𝑣0 = (0, 1) 𝜋

2

𝜋 2

La actualización del vector velocidad viene dada por la ecuación (4).

Entonces sea 𝑣0 = (𝑎, 𝑏) el vector inicial, con el billar cuadrado, usemos como vectores normales (±1, 0) ó (0, ±1) a cada frontera vertical y horizontal respectivamente. Si suponemos que la trayectoria se dirige hacia un lado vertical; 𝑛(𝑞) = (1, 0)ó (−1, 0) y

𝑣₁ = (𝑎, 𝑏) − 2〈(1, 0). (𝑎, 𝑏)〉(1, 0) ⟹ 𝑣₁ = (𝑎, 𝑏) − 2𝑎(1, 0) ⟹ 𝑣1 = (−𝑎, 𝑏) O en otro caso 𝑣₁ = (𝑎, 𝑏) − 2〈(−1, 0). (𝑎, 𝑏)〉(−1, 0) ⟹ 𝑣1 = (𝑎, 𝑏) + 2𝑎(−1, 0) ⟹ 𝑣₁ = (−𝑎, 𝑏)

Análogamente, para los rebotes con las fronteras horizontales usamos; 𝑛(𝑞) = (0, 1) ó (0, −1) y 𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2〈(0, 1). (𝑎, 𝑏)〉(0, 1) ⟹ 𝑣₁ = (𝑎, 𝑏) − 2𝑏(0, 1) ⟹ 𝑣₁ = (𝑎, −𝑏) O en otro caso 𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2〈(0, −1). (𝑎, 𝑏)〉(0, −1) ⟹ 𝑣₁ = (𝑎, 𝑏) + 2𝑏(0, 1) ⟹ 𝑣1 = (𝑎, −𝑏)

Por lo tanto denotamos 𝑣𝑡 = ((−1)𝑛𝑎, (−1)𝑚𝑏), donde 𝑛 es el número de rebotes con las fronteras verticales y 𝑚 es el número de rebotes con las fronteras verticales. El subíndice 𝑡 es debido a que la posición de la partícula y su velocidad dependen del tiempo.

Si consideramos las orbitas que no se dirigen hacia un vértice y cuya velocidad es distinta a las anteriores, obtenemos orbitas como se ilustran en seguida.

𝑞₀ = (0.6, 0.1) 𝑦 𝑣₀ = (1₂,1₄). Se muestran 5 rebotes.

Se mantienen constantes dos ángulos que no necesariamente son iguales, excepto en el caso de las orbitas periódicas de periodo dos en el que los ángulos son de

𝜋 2.

Más propiedades

Proposición: Sea 𝑣0 = (𝑎, 𝑏)

1. Si la trayectoria inicial tiene pendiente racional, es decir, si 𝑏/𝑎 ∈ ℚ entonces es periódica.

2. Si la trayectoria inicial tiene pendiente irracional, es decir, si 𝑏/𝑎 ∉ ℚ, entonces es densa.

Denso

La trayectoria se vuelve densa cuando ésta no es periódica, no se cierra y termina “llenando todo el cuadro” si prolongáramos indefinidamente todos sus rebotes marcándolas con líneas. Una muestra de esto se da a continuación.

𝑞₀ = (0.6, 0.1) 𝑦 𝑣₀ = (0.5, 𝜋) . Se muestran 300 rebote. 𝜋 0.5∉ 𝑄 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽

El desdoblamiento (unfolding)

La trayectoria de la partícula dentro del billar cuadrado puede obtenerse con un

procedimiento muy usado en algunos billares poligonales- el desdoblamiento (unfolding)-que consiste en continuar la trayectoria en línea recta como si la frontera desapareciera momentáneamente. Haciendo además cuadrados adyacentes al cuadrado original. Los rebotes de la partícula con las líneas verticales y horizontales que lo delimitan, son resultado de reflejar la línea por ese lado.

𝑞₀ = (0.2, 0.2) 𝑦 𝑣₀ = (2, 1) . Se muestran 4 rebotes. El cuadrado inferior izquierda es el billar original en donde los rebotes se plasman con todas las hipótesis; los otros cuadrados muestran el rebote reflejado por ese

lado.

Periodicidad

En este billar hay una forma de determinar la periodicidad de la trayectoria cuando esta es cerrada, ya se ha dicho que para ello la pendiente de la trayectoria debe ser racional. Siendo 𝑣0 = (𝑎, 𝑏) con 𝑏/𝑎 racional entonces la periodicidad de esta trayectoria inicial es de 2(𝑎 + 𝑏).

Ejemplo:

𝑞₀ = (1₅,1₄) 𝑦 𝑣₀ = (4, 3), como se puede ver, los rebotes con un “costado” vertical son 4 y por ambos son 8,

mientras que los rebotes con un lado horizontal son tres y por ambos lados son 6, esto nos da un total de 14 rebotes con las fronteras.

En la figura anterior aun no se cierra la trayectoria pues la posición inicial no está sobre la frontera, sin embargo, en el rebote 15 se ve más claro cuando se cierra.

Billar en un círculo.

Este billar aunque desde un principio lo estudiaremos completo, mas adelante veremos cuando se estudie por sectores.

Sea 𝑄 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2+ 𝑦2 = 1}

Este billar presenta también órbitas periódicas de periodo dos, pero éstas existen si la trayectoria inicial se dirige hacia el centro del billar (en este caso el origen). A diferencia del billar cuadrado en las que éstas existen si el vector 𝑣0 es un vector normal a

cualesquiera de sus fronteras. Por ejemplo:

𝑞₀ = (0, 0) 𝑦 𝑣₀ = (1, 1) 𝑞₀ = (0, 0) 𝑦 𝑣₀ = (−1, 1) Los ángulos que se forman con la tangente a la curva en cada rebote son de 𝜋₂ = 90°. Esta orbita coincide con el diámetro de la circunferencia, por lo que entonces podemos crear distintas trayectorias que reflejen el diámetro.

Por la simetría del circulo, encontramos diversas orbitas de periodo “n”, algunos ejemplos de estos son todos los polígonos regulares inscritos en el circulo.

𝜋 2 𝜋 2 𝑣0 𝑣₀

Tomemos como punto de referencia 𝑞0 = (−1, 0).

La recta tangente en el punto 𝑞0 coincide con la recta 𝑥 = −1. Si el ángulo de salida formado con ésta recta es de de 𝜋₃, se obtiene una orbita de periodo 3

Si el ángulo formado entre la recta tangente y el vector velocidad es de 𝜋₄ entonces se obtiene una órbita de periodo 4.

Si el ángulo que se forma entre la tangente y el vector velocidad es 𝜋₅ entonces se obtiene una orbita de periodo 5. 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 5 𝑣₀ 𝑣₀ 𝑣₀

En este caso el ángulo formado entre la recta tangente y el vector velocidad es de 𝜋

6.

En general para obtener estas orbitas cerradas que corresponden a los polígonos regulares de n lados, debemos escoger un vector cuyo ángulo de salida formado con la tangente sea de la forma 𝜋_𝑛, con 𝑛 ≥ 2.

A lo que nos lleva a la pregunta: ¿cómo debemos elegir 𝑣0?. Con 𝑞0 = (−1, 0), veamos la siguiente figura

𝜃 es el ángulo que se forma con 𝑣0 y el eje x, α es el ángulo formado entre la recta tangente y 𝑣0, y 𝛽 es un ángulo que complementa al triangulo formado si uniéramos los puntos de rebote al centro (como se muestra en la figura).

De la figura obtenemos las siguientes igualdades: 𝛼 + 𝜃 =𝜋 2 2𝜃 + 𝛽 = 𝜋 De esta dos ecuaciones nos lleva a encontrar que

𝛽 = 2𝛼 𝛽 𝜃 𝛼 𝜃 𝜋 6 𝑣₀ 𝑣0 𝑞₀

Entonces dado un vector de salida 𝑣0, el ángulo 𝛽 determina una partición (hablando en el sentido de los ángulos) de tamaño 2𝛼. Esto también nos dice que el circulo está siendo, de cierta manera, “fragmentado” en 𝑛 sectores. Puesto que

2𝜋 𝛽 = 2𝜋 2𝛼 = 𝜋 𝛼= 𝜋 𝜋 𝑛 = 𝑛

Sea 𝑣0 = (𝑥, 𝑦) y tomemos (1, 0) como vector paralelo al eje x, entonces haciendo producto punto

(𝑥, 𝑦). (1, 0) = ‖(1, 0)‖‖(𝑥, 𝑦)‖cos (𝜃) que se reduce a

𝑥 = √𝑥2 _{+ 𝑦}2_{cos(𝜃) … … … . (5)} También observamos que

0 ≤ 𝜃 ≤𝜋 2

⟹ 0 ≤ cos(𝜃) ≤ 1 Y elevamos ambos miembros al cuadrado de la ecuación (5).

𝑥2 _{= (𝑥}2_{+ 𝑦}2_{) cos}2_(𝜃) ⟹ 𝑥2_{(1 − cos}2_{(𝜃)) = 𝑦}2_cos2_(𝜃) Sustituimos 𝜃 en términos de 𝛼 ⟹ 𝑥2_{(1 − cos}2₍𝜋 2− 𝛼)) = 𝑦2(𝑐𝑜𝑠2( 𝜋 2− 𝛼)) ⟹ 𝑥2_{(𝑠𝑒𝑛}2₍𝜋 2− 𝛼)) = 𝑦2(cos2( 𝜋 2− 𝛼)) ⟹ 𝑦2 _{= 𝑡𝑎𝑛}2₍𝜋 2− 𝛼)𝑥2 Y como por ahora 𝛼 =𝜋_𝑛, entonces

𝑦2 _{= 𝑡𝑎𝑛}2₍𝜋 2−

𝜋 𝑛) 𝑥2

Pero 𝑥 > 0, 𝑦 ≥ 0 & tan (𝜋₂ −𝜋_𝑛) ∈ [0, ∞) ∀𝑛 ≥ 2, y simplificamos la ecuación a 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 (𝜋

2− 𝜋

Esta última ecuación representa a 𝑦 en función de 𝑥. Con 𝑛 ≥ 2 fija, podemos encontrar distintos vectores que nos generen polígonos regulares de 𝑛 lados. Y de (6) concluimos que 𝑣0 = (𝑥, 𝑡𝑎𝑛 ( 𝜋 2− 𝜋 𝑛) 𝑥) , 𝑛 ≥ 2, 𝑥 > 0 … … … . (7) Más orbitas de periodo 𝑛

¿Qué sucede si eligiéramos 𝛼 de la forma 𝛼 =𝑚𝜋

𝑛 ? El ángulo 𝛼 es un ángulo que varía de

0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋 2 Entonces elegir 𝑚 𝑦 𝑛 tal que 𝑚 > 𝑛 no es factible. Enfoquemos entonces ahora en elegir 𝑚 ≤ 𝑛.

Si 𝑚 = 1, obtenemos las orbitas de periodo 𝑛 que corresponden a los polígonos regulares. Si 𝑚 𝑦 𝑛 son tal que su 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1 entonces obtenemos polígonos “estrellados” Ejemplo:

Orbita de periodo 5. El ángulo que se forma entre el eje x y la recta tangente es de 2𝜋₅, en este caso 𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 5.

Esta es una trayectoria de periodo 7, el ángulo de salida 𝛼 es de 2𝜋₇ y 𝜃 =3𝜋₁₄

𝛼

2𝜋

5 _𝜋

En esta figura se muestra otra trayectoria de periodo 7. 𝛼 =3𝜋₇ 𝑦 𝜃 =₁₄𝜋.

Y en ésta última, una trayectoria de periodo 8, 𝛼 =3𝜋₇ 𝑦 𝜃 = ₁₄𝜋.

La obtención de estas orbitas es consecuencia de generalizar la ecuación (7) 𝑣0 = (𝑥, 𝑡𝑎𝑛 ( 𝜋 2− 𝑚𝜋 𝑛 ) 𝑥) , 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1, 𝑚 < 𝑛 , 𝑥 > 0 … … … . (8) Billar elíptico.

Describimos el billar elíptico como 𝑄 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: (𝑥_𝑐)2+ (𝑦_𝑑)2 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ≠ 𝑑} 𝜃

𝛼 𝛼

Es claro que el caso 𝑐 = 𝑑 nos llevaría al caso del billar circular, además de que 𝑐 𝑦 𝑑 son cualesquiera números positivos. Pongamos 𝑐 = 2 𝑦 𝑑 = 1 para ver algún ejemplo. En este billar solo existen dos trayectorias que corresponden a órbitas de periodo 2. A diferencia del billar circular en la que toda trayectoria inicial que se dirija al centro corresponde a una órbita de periodo 2. Las ilustramos a continuación:

𝑞0 = (−2, 0) y 𝑣0 = (1, 0)

𝑞0 = (0, 0) y 𝑣0 = (0, 1)

Más adelante hablaremos sobre la “estabilidad” de estas orbitas. 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 𝑞0 𝑞₀ 𝑞0 𝜃

Una órbita de periodo 4 mostramos a continuación.

𝑞0 = (−2, 0) 𝑦 𝑣₀ = (2, 1)

Orbitas de periodo tres.

Hallar estas orbitas no es tan sencillo como lo fue para las de periodo dos y cuatro, pero aseguramos que estas existen en este billar.

Un intento por encontrar una órbita de periodo tres…

Con la intención de obtener una órbita de periodo tres, sugerimos plantear el problema de la siguiente manera:

Sea (𝑥_𝑐)2+ (𝑦_𝑑)2 = 1 la ecuación de la elipse, en general, y 𝑙1, 𝑙2 𝑦 𝑙3 rectas tangentes distintas, a la elipse, como se muestra en el siguiente esquema

𝛾 + 𝜑 = 𝜋 2 𝜑 𝛾 𝑞0 𝜃 𝜃 𝜑 𝛾

Los puntos de tangencia tienen coordenadas, supongamos, 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1), 𝐵 = (𝑥₂, 𝑦₂) 𝑦 𝐶 = (𝑥3, 𝑦3)

Supongamos también que las rectas 𝑙1, 𝑙2 𝑦 𝑙3 tienen pendientes 𝑚1, 𝑚2 𝑦 𝑚3 respectivamente, entonces por ser tangentes a la elipse, la derivada en los puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 coincide con las pendientes de éstas y deducimos lo siguiente

𝑚₁ = −𝑑2 𝑐2 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑚₂ = −𝑑2 𝑐2 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑚₃ = −𝑑2 𝑐2 𝑥₃ 𝑦₃

Del esquema los segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 𝑦 𝐶𝐴 determinan la trayectoria de la partícula, que puede ser recorrida en cualquier sentido.

Sean tambien:

𝑙₄ recta que pasa por los punto 𝐴 𝑦 𝐵 con pendiente 𝑚4 𝑙5 recta que pasa por los punto 𝐵 𝑦 𝐶 con pendiente 𝑚5 y 𝑙6 recta que pasa por los punto 𝐶 𝑦 𝐴 con pendiente 𝑚6.

Y expresamos estas pendientes en términos de las coordenadas de 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 𝑚₄ =𝑦2− 𝑦1 𝑥₂− 𝑥₁ 𝑚5 = 𝑦₃− 𝑦₂ 𝑥3− 𝑥2 𝑚₆ =𝑦3− 𝑦1 𝑥3− 𝑥1

A simple vista, esto parece describir una trayectoria triangular cualquiera que no

necesariamente es de billar por lo que necesitamos afinar algunos detalles para lograr que ésta sea una cumpliendo todas las hipótesis mencionadas.

Para hacer esto posible establecemos las siguientes ecuaciones: tan(𝛼) = 𝑚1− 𝑚4

1 + 𝑚₁𝑚₄ =

𝑚6− 𝑚1 1 + 𝑚₁𝑚₆

tan(𝛽) = 𝑚4− 𝑚2 1 + 𝑚2𝑚4 = 𝑚2− 𝑚5 1 + 𝑚2𝑚5 tan(𝛾) = 𝑚3− 𝑚6 1 + 𝑚3𝑚6 = 𝑚5− 𝑚3 1 + 𝑚3𝑚5

Como 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 satisfacen la ecuación de la elipse tenemos por último las siguientes igualdades: 𝑥₁2 𝑐2+ 𝑦₁2 𝑑2 = 1 𝑥₂2 𝑐2+ 𝑦₂2 𝑑2 = 1 𝑥₃2 𝑐2+ 𝑦₃2 𝑑2 = 1

Resumiendo todo lo anterior vemos que tenemos 12 ecuaciones con 12 incógnitas, un sistema algo grande y quizás complicado de resolver. Aunque si de alguna manera lográramos conocer los puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, en seguida tendríamos los valores de

𝑚4, 𝑚5 𝑦 𝑚6 ya que éstas están en función de las primeras y estaríamos reduciendo el sistema a 9 ecuaciones.

Como se puede notar, el plantear de la misma manera este problema para hallar orbitas de periodo 5 se estaría añadiendo a un sistema parecido al anterior otras 4 variables y 4 ecuaciones más lo que se obtendría un total de 16 ecuaciones con 16 incógnitas.

Sistemas de coordenadas en los billares.

Se establece un sistema de coordenadas (𝑠, 𝑝), donde 𝑠 es la longitud de arco alcanzado de un rebote a otro medido desde un punto fijo, tomado como referencia, en el sentido de las manecillas del reloj mientras que 𝑝 = cos (𝛼), donde 𝛼 es el ángulo formado por la recta tangente a la curva y el vector de salida.

Ejemplo.

Fijamos un punto inicial que llamaremos 𝑠0 = 0 en la circunferencia de radio 1 con centro

en el origen, en este caso hemos elegido (1,0), y supondremos una velocidad inicial 𝑣₀ = (𝑢₀, 𝑤₀).

En el punto (1, 0) la recta tangente es vertical por lo cual podemos usar como vector direccional a (0, 1) y tenemos lo siguiente:

𝑝0 = cos(𝛼) =

𝑣₀. (0, 1) ‖𝑣₀‖‖(0, 1)‖=

𝑤₀ ‖𝑣₀‖ Esto se ilustra a continuación

En este punto hemos iniciado una trayectoria con coordenadas (𝑠0, 𝑝0) = (0,_‖𝑣𝑤0

0‖), Cuando ocurra el primer rebote tendremos lo siguiente

Las coordenadas de la partícula en este segundo rebote se obtienen calculando la longitud de arco delimitada por los puntos 𝑠0 𝑦 𝑠1 (marcada de color rojo) y calculando cos (𝛽).

Existe otro sistema de coordenadas que solo emplea ángulos, es decir, denotamos las coordenadas de los rebotes de la partícula como (𝛼, 𝜓) donde 𝛼 sigue siendo el ángulo formado por la recta tangente y el vector de salida mientras que 𝜓 es el ángulo formado por la recta tangente y el eje x.