GENERACION ARMONICA DE TRANSFORMADORES DE POTENCIA
Mario Guillermo MacriUniversidad Nacional de Mar del Plata - Facultad de Ingeniería - Juan B. Justo 4302
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Gustavo Bacino
Universidad Nacional de Mar del Plata - Facultad de Ingeniería - Juan B. Justo 4302
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Cristian Monti
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Resumen: El objetivo del presente trabajo fue obtener una valoración de la generación armónica de transformadores de potencia me-diante simulaciones basadas en los ensayos indirectos, tomando en cuenta el comportamiento no lineal del hierro en base a la curva experimental de saturación magnética. Se obtuvieron los componentes de Fourier de las corrientes de fase y de línea para el régimen transitorio y estacionario. Las simulaciones muestran la influencia de la asimetría del circuito magnético del núcleo del transforma-dor en el contenido armónico de las corrientes primaria de fase y de la línea.
Palabras claves: Modelado y Simulación, Máquinas Eléctricas, Calidad de Potencia, Armónicos.
1 - Introducción
La generación de armónicos en los sistemas eléctricos de potencia por transformadores de distribución o de potencia debido a la no linealidad que introduce las laminaciones del circuito magnético y a su vez al desequilibrio que se produce el los transformadores de núcleo a tres columnas, es el objetivo de análisis en este trabajo. Es posible obtener el efecto de la saturación magnética y la asimetría del circuito magnético en las corrientes del primario partiendo de un modelo ma-temático que considera la saturación magnética Krause C.P. et al (1995 ).
Mediante la obtención experimental de la característica de magnetización correspondientes a cada columna del transfor-mador se puede utilizar el modelo matemático lineal para que incluya el efecto de la saturación del hierro. El factor de sa-turación para cada columna es incluido en el programa para que en cada paso de integración de las ecuaciones diferencia-les se actualice su valor.
En un núcleo del tipo de tres columnas, como la reluctancia de la rama central es menor que la de las ramas laterales, existe una asimetría magnética que lleva a que la característica de magnetización en la parte lineal de la rama central tenga mayor pendiente que la característica de magnetización de las ramas laterales Fig. (1).
La igualdad de los flujos en valor máximo está impuesta por los voltajes de la red aplicados al transformador, si u1 es de forma sinusoidal se deduce que el valor máximo del flujo es proporcional al valor máximo del voltaje aplicado y si éste se mantiene constante, el valor máximo de los flujos en las tres fases son constantes e iguales.
Columnas laterales Columna central i0 1 = i0 3 i0 2 i[A] ϕ 1máx = ϕ 2 máx = ϕ 3 máx ϕ [ Wb ]
Figura 1. Característica de magnetización correspondientes a cada columna del transformador
las corrientes de vacío que toman los devanados primarios de las columnas laterales son de igual valor entre sí y a su vez son mayores que la corriente de vacío de la columna central, considerando la saturación magnética la simulación en com-putadora muestra que el contenido armónico de las corrientes correspondientes a los devanados de las ramas laterales no
es el mismo que el de la corriente de la rama central, al estar los devanados del primario conectados en triángulo podrán existir en las corrientes de línea las terceras armónicas y sus múltiplos.
2 - Modelado Matemático
Existe bibliografía, en modelos matemáticos de máquinas eléctricas, Vas Peter (1992), y diversos autores han pro-puesto modelos para el análisis dinámico del transformador de potencia: Dolinar D. et al.(1993), De Leon F. Et al.(1994), Para el modelado matemático del transformador trifásico de columnas se considero el esquema de la Fig. (2):
u2c u1c ϕc ϕ2 db ϕ1 db u2b u1b ϕb ϕ2 da ϕ1 da u2a u1a ϕa ϕ1 d c ϕ2 d c
Figura 2. Esquema del transformador de columnas
Tomando una columna del transformador, las ecuaciones de equilibrio de voltajes para los devanados del primario y del secundario son: a a m a d a dt i R di M dt di L dt di L u 2 1 1 12 1 1 1 1 1 = + + + ( 1 ) a a m a d a dt i R di M dt di L dt di L u2 2 2 2 2 21 1 2 2 0= + + + + ( 2 ) Los enlaces de flujo totales para cada devanado son:
2 12 1 1 1 1 1a = Ld a i +Lma i +M i ψ ( 3 ) 1 21 2 2 2 2 2a = Ld a i +Lm a i +M i ψ ( 4 ) Las (3) y (4) se pueden expresar de la manera siguiente:
m a d a L i ψ ψ1 = 1 1+ ( 5 ) m a d a L i ψ ψ'2 = ' 2 '2 + ( 6 ) en donde Ψm = N1 ϕa son los enlaces de flujo mutuo del primario, N1 es el número de espiras del primario y ϕa es el flujo mutuo resultante en la columna considerada. Las corrientes instantáneas del primario y del secundario referida al prima-rio en función de los enlaces de flujo resultan:
a d m a L i 1 1 1 ψ ψ − = ( 7 ) a d m a L i 2 2 2 ' ' ' =ψ −ψ ( 8 ) Por otro lado los enlaces de flujo Ψm se pueden expresar de la forma siguiente:
[
]
m a m i i L 1 '2 + 1 =ψ ( 9 ) Reemplazando (7) y (8) en (9) : + = a d a d eqa m L L L 2 2 1 1 ' ' ψ ψ ψ ( 10 ) en donde: + + = a d a d a m eqa L L L L 1 1 ' 2 1 1 1 1 ( 11 )Reordenando las ecuaciones (1) y (2) y reemplazando en las mismas la (7), (8) y (9) y despejando las derivadas de los en-laces de flujo totales del primario y del secundario referidos al primario se tiene:
[
a m a d a a a L R u dt dψ ψ ψ − − = 1 1 1 1 1]
(12)[
a m a d a a a L R u dt d ψ ψ ψ − − − = 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ']
( 13 ) Integrando las ecuaciones anteriores:[
dt L R u a m a d a a a∫
− − = ψ ψ ψ 1 1 1 1 1]
( 14 )[
∫
− − − = dt L R u a m a d a a a ψ ψ ψ 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ']
( 15 )Las ecuaciones necesarias para realizar la simulación correspondientes a cada fase del transformador son las la (7), (8), (10), (14) y (15).
El desequilibrio magnético queda evidenciado en la ecuación (11), ya que en ella las inductancias de dispersión son las mismas para todas las columnas y las inductancias magnetizantes de las columnas laterales resulta diferente a la de la co-lumna central.
3 - Incorporación De La Saturación
La saturación del núcleo afecta principalmente el valor de la inductancia magnetizante, habiendo sido analizada por diversos autores, Krause C.P.,et al, (1995), Vas Peter, (1995), el efecto de la saturación del núcleo puede asumirse como confinado al camino del flujo mutuo. El comportamiento de la saturación del núcleo puede ser determinado de la curva de magnetización del transformador. Dicha curva se obtiene graficando los valores “RMS” medidos del voltaje y de la corriente magnetizante, Fig.(3).
0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 0.5 1 1.5 2 Ioa [A] U1a [V]
ψ msat ψ mnsat ∆ψ 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2
I
oamáx [ A ] ψm [ Vs ]Figura 4. Enlaces de flujo saturados y no saturados
Para la incorporación de la saturación magnética en la simulación, para cada columna del transformador trifásico se con-sidera la curva de magnetización obtenida a partir del ensayo en vacío.
En la Fig.4 la línea recta es la característica de magnetización que tendría el transformador sí el material magnético fuera lineal mientras que la otra curva es la característica de magnetización real del transformador debido a la saturación del hierro, entre ambas hay una diferencia ∆ψ que es la diferencia entre enlaces de flujo no saturados y enlaces de flujo saturados:
ψ mnsat = ψ msat + ∆ψ ( 16)
en la zona de saturación la relación entre ambos será menor que la unidad es decir: 1 ≤ = nsat m sat m m ψ ψ ( 17 ) que expresa el grado de saturación del material magnético, también el grado de saturación “m” se puede expresar como:
1 1 1 ≤ = nsat a m sat a m L L m ( 18 ) el cociente entre la inductancia magnetizante saturada del primario y la inductancia magnetizante no saturada que es la correspondiente a la parte lineal de la característica de magnetización, también nos indica el grado de saturación del hie-rro, eliminando “m” de las Ecuaciones (17) y (18) se obtiene:
nsat a m sat a m nsat m sat m L L 1 1 = ψ ψ ( 19 ) Similarmente, en términos de los enlaces de flujo saturado, el valor saturado de las corrientes en cada devanado puede ser expresado como: a d sat m a L i 1 1 1 ψ ψ − = ( 20 ) a d sat m a L i 2 2 2 ' ' ' =ψ −ψ ( 21 ) De la Ecuación (9) :
[
2 1 1 ' i i Lmansat nsat m = + ψ]
( 22 )y teniendo en cuenta que: + + = a d a d nsat a m nsat eqa L L L L 1 1 ' 2 1 1 1 1
los enlaces de flujo saturados se pueden expresar de la manera siguiente:
∆ − + = nsat a m a d a a d a nsat eqa sat m L L L L 1 2 2 1 1 ' ' ψ ψ ψ ψ ( 23 )
considerando la saturación la Ecuación (10) queda:
+ = a d a d nsat eqa nsat m L L L 2 2 1 1 ' ' ψ ψ ψ (24) Comparando la Ecuación (24) con la (23) la única diferencia es que en la (23) aparece restando el término:
nsat a m L 1 ψ ∆
Con suficientes mediciones de voltaje U1a y de corriente de vacío Ioa se pueden obtener los valores ∆ψ, luego se genera una tabla de valores de ∆ψ versus ψmsat en el primer y tercer cuadrante, Fig. (5), debido a que el transformador reco-rre la característica de magnetización completa en el tiempo (se desprecia la histéresis).
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 5. ∆ ψ = f ( ψ msat )
Los valores experimentales de la figura 5 son cargados en el bloque de simulación correspondiente como una tabla de consulta del programa, en cada paso de integración, siendo los puntos intermedios interpolados. El procedimiento para las otras dos columnas es el mismo.
4 - Simulaciones
El programa EMTP, es de uso extendido para este tipo de simulaciones, (ver Transient Program Reference Manual), Dommel H.W., (1986 ), pero en este trabajo el transformador trifásico con conexión Dyn, considerando la saturación magnética se implemento utilizando el entorno Matlab - Simulink, obteniéndose el diagrama de bloques de la Fig. (6) y el detalle de la Fig.(14) en el Apéndice. Se simulo la corriente de vacío de dicho transformador en régimen permanente y se obtuvo el contenido armónico de las corrientes de fase y de las corrientes de línea mediante la aplicación del algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).
u' 2a u' 2c u' 2b i' 2c i1c i' 2b i´ 2a i1a i1a i1b i1c Mux Subsyst
.
ia i ib c u1c u1a Subsystem ub uc uaCarga referida al primario "b" Columna "b"
Columna "c" Columna "a"
Carga referida al primario "a" i1b u1b
Carga referida al primario "c"
Figura 6. Bloques de la simulación del transformador trifásico de columnas en conexión Dyn
5.985 5.99 5.995 6 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Tiempo [s] C or ri en te s d e fa se [ A ] i 1c i 1a i 1b
Figura 7. Corrientes de vacío en las fases en régimen permanente
La Fig. (7) muestra el resultado de la simulación, apreciándose como es de esperar que las dos corrientes de vacío que co-rresponden a los devanados del primario que están alojados en las columnas laterales del núcleo tienen iguales magnitu-des, siendo la correspondiente a la columna central menor, esto se debe como se menciono al desequilibrio en el circuito magnético del transformador.
Las Figs. (8) y (9) muestran el resultado de la FFT, la existencia de las armónicas 3, 5, y 7 correspondientes a los deva-nados primarios de las columnas laterales resultan idénticas Fig. (8) debido a la igualdad de sus características de magne-tización.
La Fig.(9) muestra magnitudes menores del contenido armónico de la fase alojada en las columna central.
Figura 8. FFT de las corrientes de fase de los devanados alojados en las columnas laterales
Figura 9. FFT de la corriente de fase del devanado alojado en la columna central
Figura 10. Corrientes de vacío de línea en régimen permanente
El contenido armónico de las corrientes de vacío en las líneas obtenido de la simulación es mostrado en la Fig. (10), las dobles cumbres en las corrientes de línea no son iguales debido a que, como se mostrará en las corrientes de línea existen terceras armónicas a pesar de que la conexión de los devanados primarios está en triángulo. Las corrientes de línea se pueden obtener como :
1 1 1 1 1 1 b c c a b b c a a
i
i
i
i
i
i
i
i
i
−
=
−
=
−
=
La corriente de línea ia no contendrá ni la tercera armónica ni sus múltiplos puesto que las terceras armónicas de i1a e i1c tienen los mismos valores, son del mismo signo y además están en fase en el tiempo, análogamente las corrientes de lí-nea ib e ic tendrán terceras armónicas y sus múltiplos como consecuencia de que las corrientes de fase que dan origen a dichas corrientes no tienen el mismo valor de tercer armónica.
150 250 300 f [ Hz ] 200 350 0.4 0.3 0.2 0.1 0.5 Fouri er t ransform /N 0 50 100 50 100 300 350 0.4 0.3 0.2 0.1 200 150 0 Fouri er t ransform /N 250 f [ Hz] ia ic ib 0.5 0 -0.5 -1 6 5.995 5.99 Tiempo [s] 5.985 1 Co rrien tes d e lín ea [ A ]
Esto no es posible con un banco de transformadores monofásicos debido a que el circuito magnético es equilibrado por lo que las terceras armónicas y sus múltiplos quedan atrapadas en el triángulo.
En un transformador trifásico de columnas con sus devanados primarios conectados en triángulo existirán terceras armó-nicas y sus múltiplos en las corrientes de línea a pesar de la conexión en delta de sus devanados primarios.
El resultado de la FFT de las Figs. (11), (12) y (13) muestra que las corrientes de línea contienen terceras armónicas co-mo se menciono, este contenido de tercer armónica es lo que ocasiona que las dobles cumbres observadas en la Fig. (10) de las corrientes i b e i c no sean exactamente iguales
0.8 0.6 0.4 0.2 Fouri er t ransform /N 0 100 150 200 350 f [Hz] 250 50 300
Figura 11. FFT de la corriente de línea ia
0.6 0.4 0.2 Fouri er t ransform /N 0 50 100 150 200 250 300 350 f [Hz]
Figura 12. FFT de la corriente de línea i b
0.6 0.4 0.2 Fouri er t ransform /N 0 50 100 f [Hz] 200 150 250 300 350
Figura 13. FFT de la corriente de línea i c 5 - Conclusiones
La generación armónica de este tipo de transformador puede analizarse en forma indirecta mediante simulación, a partir de ensayos de laboratorio elementales: el ensayo indirecto para la determinación de los parámetros requeridos para el modelo matemático, y la curva de magnetización de las tres columnas para implementar la saturación magnética del núcleo en el modelo. Esta metodología de análisis da la posibilidad de estimar el contenido armónico, sin necesidad de utilizar instrumental no siempre disponible, dando resultados que se aproximan a las mediciones con instrumental espe-cífico para estos fines. La implementación en el entorno Matlab – Simulink resulta ventajosa dado el carácter modular del programa siendo la aplicación de la FFT de fácil implementación.
La existencia de terceras armónicas de la corriente de vacío en las líneas primarias con el primario conectado en triángulo es una consecuencia del desequilibrio magnético de este tipo de transformadores, debiéndose mencionar que la metodo-logía presentada no considera la histéresis magnética.
6 - Referencias
De Leon F. and Semlyen, Complete transformer model for Electromagnetic Transients, IEEE Trans. On Power Delivery, Vol. 9, N0 1, pp. 231-239, (Jan. 1994)
Dolinar D. ; J. Pihler, B. Grear, Dynamic Model of a Three-Phase Power Transformer, IEEE Trans. On Power Delivery, Vol 8 N0 4, pp. 1811-1819, (October 1993)
Dommel H.W., Electromagnetic Transient Program Reference Manual (EMTP Theory Book), BPA Portland, Oregon, USA, (August 1986)
Krause C.P., O.Wasynczuk, S.D.Sudhoff Analysis of Electric Machinery IEEE Press, (1995)
Vas Peter, Electrical Machines and Drives, A Space Vector Theory Approach, Oxford Science Publications,(1992) 7- Apédice
Características del transformador trifásico de columnas ensayado y simulado: S n = 3 [KVA], U n = 110 / 220 [V], I n = 10 / 5 [A] , f n = 50 [Hz]
Detalle del esquema de simulación de la Fig. (6)
1/s i'2 i1 Fcn2 0.5*(u[1]+u[2])-0.0001761*u[3] u1a u '2a
Carga referida al primario
1415.42*(u[1]-u[2]) Fcn3 Mux -u[2]-581.45*(u[1]-u[3]) Fcn1 1/s Mux Look-Up table 1415.42*(u[1]-u[2]) Fcn4 Memory Mux Mux u[2]-536.44*(u[3]-u[1]) Fcn Mux
Figura 14. Diagrama de bloques correspondiente a la columna “a” con saturación magnética. 8- Copyright
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ARMONICS GENERATION OF POWER TRANSFORMERS
Abstract: The objective of the present work was to obtain a valoration of the harmonic generation of power transformers by means of simulations based on indirect tests, and taking account the to non-line behavior of the iron on bases of the experimental magnetic satu-ration curves. The components of Fourier of the phase and line currents were obtained for transitory and stationary regime. The simulations shows the influence of the dissymmetry of the magnetic circuit of the transformer nucleus on the harmonic content of the primary phase and line currents.
