FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER 1 CÁLCULO DIFERENCIAL

(1)

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1. Dada la gráfica de la función, determinar dominio y rango.

a.

b.

c.

d.

2. Hallar el dominio de la función de forma analítica. A

B

C

D

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F G h

I

3. Realice la gráfica de la función, y a partir de ella determine dominio y rango. A

B

C

4. Dadas las funciones f y g, hallar f+g , f-g, f*g, f/g , f ම g y determinar el dominio de cada una.

5. Dadas las funciones h y g, hallar h+g , h-g, h*g, h/g , h ම g y determinar dominio de cada una.

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7. Use la gráfica de la función y =f(x) dada, para graficar las siguientes funciones. a. ݕ ൌ ݂ሺݔ ൅ ͵ሻ

b. ݕ ൌ ͵݂ሺݔ െ ͵ሻ c. ݕ ൌ െ݂ሺݔ ൅ ͵ሻ ൅ ʹ d. ݕ ൌ ݂ሺ͵ݔሻ

8. En interés simple la cantidad A devengada con el paso del tiempo es la función lineal ܣ ൌ ܲ ൅ ܲݎݐ, donde P es el capital, t se mide en años y r es la tasa de interés anual (expresada como un decimal). Calcule A al cabo de 20 años si el capital es P=1000 y la tasa de interés anual es 3.4% ¿En qué instante se cumple que A=2200?

9. Dada la figura, determinar A y D, donde y=D + Asen(x)

10. Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta ͸ݕ ൅ ʹݔ െ ͺ ൌ Ͳ y que pasa por el punto ሺെͳǡͳሻ .

11. Encuentre la ecuación de la recta que es paralela a la recta ͸ݕ ൅ ʹݔ െ ͺ ൌ Ͳ y que pasa por el punto ሺെͳǡͳሻ .

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12. Dadas las siguientes funciones, determinar si son invertibles. En caso afirmativo, encuentre su inversa y verifique. a. b.

݂ሺݔሻ ൌ ݁

ଷ௫మିଵ c.

݂ሺݔሻ ൌ

ͷݔ െ ͺ

_{ݔ ൅ ͳ}

d. ݂ሺݔሻ ൌͷ െ ݔ_ͷ ଶ

(5)

Ejercicios adicionales

Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. [email protected]. ITM

Repaso conceptos previos

13. Resolver las siguientes inecuaciones lineales:

a) 2x−3<4−2x b) 5+3x<4−x c) 9 2 10 3 31< + ≤− − x

14. Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar gráficamente su solución en la recta real: a) 3 1 4 2 _≤ a− + a b) 4 6 -5 12 3x− ≤ x _c) 3 3 3 ≥      x+

15. Resolver las siguientes inecuaciones no lineales y representar gráficamente su solución: a) −5x2+3x+8<0 b) 25x2 −101x+102<0 c) 4 3 4 2x __≤      − + x d) x3−x2 −4x+4<0 e)

(

x2 −1

) (

⋅ x2+1

)

≤0 f)

(

₍

) (

_{) (}

) (

₎

)

0 1 3 1 2 4 _≥ ⋅ − ⋅ − ⋅ − + x + x x x x g) x 2 −9 x−1 ≥0 h) 5x2 −4x+7<2x2 +6x−5 i) 16 4 3 1 2 − + x+ > x x x j) 0 13 2 60 17 2 ≥ + − − x x x _k) ₀ 8 23 3 7 5 2+ − ≥ + x x x l) 0 16 4 4 1 2 3 2 ≥ + − − − x x x x

Dominio y rango de una función 16. Determine el dominio de la función

a. 3 ) (x = x+ g b. 40 7 3 4 ) ( ₂ 2 − − − = x x x x f c. 42 13 9 ) ( ₂ + − − − = x x x x F

(6)

17. Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función d. 6 7 5 8 ) ( ₂ 3 − − − = x x x x f e.

(

)

−

+

=

x

La función lineal tiene como gráfica una línea recta, ésta tiene tres tipos de ecuación:

• Ecuación pendiente intersección: y=mx+b (tiene pendiente m e intersección con el eje y en (0,b) • Ecuación punto-pendiente: y−y0 =m(x−x0) (tiene pendiente m y pasa por el punto (x0, y0))

• Ecuación general: ax+by=c

La pendiente de una recta, cuando se conoce que pasa por los puntos

(

x₁, y₁

)

y

(

x₂, y₂

)

puede calcularse mediante la fórmula

1 2 1 2 x x y y m − − = .

20. Determine la ecuación general de la recta que: a. Tiene pendiente -2/5 y pasa por (2,2) b. Contiene los puntos (-5,1) y (-6,2)

Dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si 1

2 1 =

m m

y son perpendiculares si m₁m₂ =−1. 21. Determine la ecuación punto- pendiente de la recta que:

a. 1 3 ) (x = x+ g b. 5 6 ) ( + = x x G c. 2 ) (x x x F = + d. 15 2 3 ) ( ₂ − + + = x x x x f a. 4 ) (x = x− g b. 9 ) (x = x2− G c. 2 25 ) (x x F = − d. 9 7 ) (x = −x− f

(8)

a. Es paralela a x – 2y + 2 = 0 y pasa por (-2,-1) b. Es perpendicular a 3x – 4y = 2 y pasa por (-4,2)

22. Determine la ecuación pendiente-intersección de la recta que es paralela a 2x +1 = y y pasa por (-2,5)

23. Encuentre las ecuaciones generales de las rectas r₁ y r₂, y elabore sus gráficas en un mismo sistema de referencia.

a. r1= AB; A(3,−2);B(−1,4); r2:r2 ⊥r1;P(4,3)∈r2

b. r1= AB; A(−4,−2);B(1,3); r2:r2 r1;P(0,4)∈r2

24. Un estudiante ha leído 23 páginas de un libro de 391 páginas. A partir de ese momento adquiere la disciplina de leer 16 páginas diarias.

a. Represente la cantidad de páginas leídas como función del número de días transcurridos. b. Determine cuantas páginas habrá leído a los 5 días.

c. Determine cuántas páginas habrá leído a los 12 días.

d. Determine a los cuantos días habrá terminado de leer el libro. e. Elabore una gráfica de la función obtenida en el literal a.

25. Un señor que se dedica a vender buñuelos a $200, tiene los siguientes costos: transporte (costos fijos) $7000 diarios; materiales para la elaboración (costos variables) $60 por cada buñuelo.

a. Represente por una función los costos diarios en términos de la cantidad de buñuelos producidos y vendidos

b. Represente por una función la cantidad de dinero recibida en términos de la cantidad de buñuelos producidos y vendidos

c. Represente por una función las ganancias obtenidas en términos de la cantidad de buñuelos producidos y vendidos.

d. ¿cuántas son las ganancias obtenidas en un día que se venden 500 buñuelos?

e. ¿cuántas son las ganancias que se obtienen en un día que se venden sólo 50 buñuelos? (analice la respuesta obtenida)

f. Elaborar una representación gráfica donde muestre las tres funciones.

26. Se suministran 5m3/min. de agua a una piscina de 10.000 m3 de capacidad, que inicialmente está llena hasta la mitad.

a. Exprese la cantidad de agua en la piscina como función de la cantidad de minutos transcurridos.

b. Qué cantidad de agua tendrá la piscina a las 12 horas c. En cuanto tiempo estará llena la piscina.

d. Elabore una representación gráfica de la función.

27. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta fabricar $6.600.000 fabricar 100 sillas un día y $14.400.000 fabricar 300 sillas en un día.

a) Exprese el costo como una función del número de sillas que se producen, suponiendo que es lineal. Luego trace la gráfica.

(9)

c) ¿Cuál es la ordenada al origen de la gráfica y que representa?

28. Una planta produce 1.000 envases por hora, los cuales se almacenan en una bodega que inicialmente tiene 25.000 envases.

a. Exprese la cantidad de envases en la bodega como función del tiempo transcurrido (en horas)

b. ¿Cuántos envases habrá a las 8 horas?

c. ¿Cuándo habrán 50.000 envases en la bodega?

d. Represente gráficamente la función obtenida en el literal a.

29. El alcalde de un pueblo decide terminar la pavimentación de la carretera de la entrada principal que tiene 9 Km, de los que sólo 1 Km había sido pavimentado antes de empezar la obra. Considerando que se logran pavimentar 200m diarios,

a. Exprese la cantidad de metros pavimentados como función del tiempo transcurrido en días

b. Cuántos metros estarán pavimentados a los 30 días de iniciar la obra? c. Cuántos días se requieren para terminar la obra?

d. Elabore una representación gráfica de la función obtenida en el literal a.

30. Una empresa compró un equipo de computo por $15 000 000, el cual se deprecia linealmente hasta valer en 8 años $3 200 000.

a. Encuentre la función lineal V = f(t)que relacione el valor V en pesos con el tiempo t en años. Explicar por qué el dominio de la función es [0,8].

b. Determine el valor del equipo a los 4

(

f

( )

4

)

y a los 8

(

f

( )

8

)

años.

c. Elabore la gráfica de V = f(t), obtenga la pendiente de la recta que representa a la función

) (t

f

V = y explique qué significa.

d. ¿A los cuantos años el equipo costará la tercera parte de su valor original?

31. Un fabricante de queso produjo 18 000 libras del 1 de enero al 24 de marzo de 2007. Suponiendo que durante todo el año mantuvo el mismo ritmo de producción.

a. Escriba como función de x las libras de queso que produce en x días.

b. Aproxime a la libra más cercana la cantidad de libras producidas en todo 2007.

32. El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta. A la temperatura de 175 ºK el gas ocupa 100 m3, (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen como una función de la temperatura, (b) ¿Cuál es volumen del gas a una temperatura de 140°K? (Nota: Las escalas de temperatura absoluta son Kelvin (ºK) y Rankine (ºR)) Función cuadrática

33. Determinar el vértice, elaborar la gráfica y encontrar el rango de la función cuadrática: a. 15 16 4 2− + = x x y b. 25 24 3 ) (x =− x2− x+ f c. 15 12 5 ) (x = x2+ x− f d. 20 17 7 2− + = x x y

(10)

34. Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante 2 horas a razón de 600km/h. Después regresa a 500km/h. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente a 30km/h. ¿A las cuántas horas se encontrarán?

35. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tiene una velocidad de 10km/h en aguas tranquilas, ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

36. El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si el largo se aumenta en 40m y el al ancho en 6m:

a. Exprese el área del nuevo terreno como función del ancho del terreno original. b. Determine el área del nuevo terreno, si el ancho original era de 6m.

c. Determine cuál debe ser el ancho del terreno original para que el nuevo terreno tenga el doble de su área.

37. Bajo un conjunto de condiciones controladas de laboratorio, el tamaño de la población de ciertas bacterias, medido por su masa en mg, en el momento t (en minutos) esta descrito por la función

92 30

3 2− +

= t t

p para 0≤t≤60

a) Determine la tasa de crecimiento de la población en t=10.

b) Determine en qué momento la población es mínima y cuál es su valor. c) Elabore una representación gráfica de la función

38. En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 15 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de x, el número de presas en el bosque, la cual a su vez, es una función g de t, el número de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza. Si

50 2 48 1 ) (x = x2 − x+ f y g

( )

t =4t+52

donde 0≤t≤15 , haga lo siguiente: (a) Encuentre un modelo matemático que exprese la población de depredadores como una función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza, (b) Determine la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada de caza.

39. Un puente que cruza un río de 30 metros de ancho tiene la forma de una parábola con una altura máxima de 6 metros con respecto al río. De acuerdo con esto,

a) Representar la situación en el plano cartesiano

b) Hallar una expresión para la altura del puente, con respecto al río, en función de la distancia horizontal a una de sus orillas.

c) ¿A qué altura sobre el río se encuentra una persona ubicada sobre el puente a una distancia horizontal de 7 metros a partir de la orilla del río?

(11)

d) ¿A qué distancia horizontal desde las orillas está una persona ubicada sobre el puente a una altura de 4.5 metros sobre el río?

40. Para un viaje a un centro turístico, una compañía de fletes de autobuses cobra $ 48.000 por persona, más $2.000 por persona por cada lugar que no se venda en el autobús. Si el autobús tiene 42 asientos y x representa el número de lugares no vendidos, obtener lo siguiente:

a. Una función que defina el ingreso total, R, del viaje, en función del número de lugares no vendidos, x. b. El gráfico de la función del numeral a.

c. El número de asientos no vendidos que producen el ingreso máximo. d. El ingreso máximo.

41. Para una función en una pequeña sala de teatro, con capacidad para 160 personas, se cobra a cada espectador $20.000 más $400 por cada silla no ocupada. Si x representa el número de sillas no ocupadas hallar:

a) Valor recaudado, como función de la cantidad de sillas no ocupadas b) Gráfica de la función

c) Cantidad de sillas no ocupadas con las que se logra el recaudo máximo d) Recaudo máximo

Funciones seccionalmente definidas o por tramos 42. Obtenga gráfica, dominio y rango de la función a.      > ≤ ≤ − + − − < − = 2 , 2 3 , 2 3 , 5 ) ( 3 x si x x si x x si x g b.    ≥ − − < − = 2 , 4 2 , 1 3 ) ( ₂ x si x x si x x G c.     < ≤ + < ≤ − − = 6 0 , 3 0 3 , 9 ) ( 2 2 x si x x si x x F d.      > − < < − − − ≤ − − = 2 , 2 14 2 1 , 6 4 1 , 3 5 ) ( 2 x si x x si x x si x x f e.        ≥ < < − − − < − = 1 , 2 1 2 , 4 2 , 4 ) ( 2 2 x si x x si x x si x x f f.     ≥ + − < − = 1 , 1 3 , 12 ) ( 2 x si x x si x x f g.      > − < ≤ − − − < − = 3 ; 18 7 3 2 ; 15 2 2 ; 4 3 ) ( 2 x si x x si x x si x x f

(12)

43. El salario básico de un vendedor es de $630.000. Cuando logra ventas superiores a los $10.000.000, recibe adicionalmente el 1% del excedente.

a. Representar algebraica y gráficamente la función que relaciona el salario como variable dependiente de las ventas realizadas por el vendedor.

b. ¿Cuánto es el salario recibido por el vendedor, en un mes en el que sus ventas son de $9.500.000? c. ¿Cuánto es el salario recibido por el vendedor en un mes en el que sus ventas son de $39.500.000? d. ¿Cuánto debe ser el valor de las ventas del vendedor en un mes para recibir un salario de

$1.250.000?

44. En una ciudad se tienen las siguientes reglas para las tarifas de la carrera de un taxi: el taxímetro comienza a contar a partir de los $2400; la carrera mínima es de $4200; el taxímetro incrementa su marcación en $95 por cada 100m recorridos

a. Representar algebraica y gráficamente la función que relaciona el valor de la carrera como variable dependiente de los metros recorridos.

b. ¿Cuánto es el valor de una carrera de 2000m? c. ¿Cuánto es el valor de una carrera de 5700m?

d. ¿Cuántos metros se recorren para que el valor de una carrera sea de $14.560?

45. Para llenar una piscina inicialmente vacía, y con capacidad para 7.000m3 se sigue el siguiente proceso: inicialmente se suministra agua a razón de 4m3/mindurante 10 horas. Se suspende el suministro por 5 horas, y finalmente se suministran 8 3/min

m hasta llenar totalmente la piscina. a. Expresar la cantidad de agua en la piscina como función del tiempo (minutos) b. Determine la cantidad de agua en la piscina a las 15 horas

c. Determine en cuanto tiempo estará totalmente llena la piscina. d. Representar gráficamente la función

46. Un hombre hace un recorrido extenso en bicicleta: inicialmente, durante 8 horas, lo hace a 20Km/h. Luego descansa 14 horas para continuar su recorrido a 25km/h. por 8 horas más.

a. Exprese la distancia recorrida como función del tiempo b. Determine la distancia recorrida a las 24 horas

c. Determine la distancia total recorrida d. Representar gráficamente la función.

Funciones trigonométricas

47. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40º. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

48. Determine amplitud, rango, periodo, frecuencia y desplazamiento de fase de la función, y elabore su gráfico:

(13)

49. Dada la función

( )

        >       − + − ≤ ≤ − + + − < + = 0 ; 2 3 5 1 3 ; 11 8 2 3 ; 10 3 2 x si x sen x si x x x si x x f π π

Trace el gráfico de f

( )

x y encuentre su dominio y rango

Simetrías función par e impar

50. Determine si la función dada es par, impar, o no tiene simetría

Combinación de funciones 51. Dadas f(x)= x, x x x g 2 1 2 3 ) ( − − = , ( ) 3 23 30 2 − − = x x x h : a. Determine el dominio de (fºg)(x). b. Determine el dominio de º (x) h g f _            52. Dadas x x x f 3 1 4 ) ( = − , h(x)= 81−x2 y g(x)=7−x determinar: a) x y=2cos5 b) x sen y=−4+2 8 c) ) cos( 4 5−

π

(x)

53. Exprese la siguiente función, como combinación de funciones:

5 )

(x = x2 + f

Transformaciones y traslaciones

54. La tabla muestra puntos de la gráfica y= f(x).

x -3 -2 -1 0 1 2 3

) (x

f

y= 5 3 -1 0 1 2 5

a. Elabore una gráfica para y= f(x). b. Elabore una gráfica para y= f(x+3)−4

Inversa de una función

55. Determine si la función es o no uno a uno:

56. Tenga en cuenta que no es indispensable que una función tenga inversa para hallar su rango, por ejemplo, para hallar el rango de =9 2 +27

x

y puede encontrar la inversa de =9 2 +27

x

y , x≥0 y determinar su dominio.

Encuentre dominio y rango de la función. Si es posible encuentre su inversa. En caso contrario explicar porque no es posible encontrar la inversa de la función.

a. 2 4 ) (x = x+ f b. 2 2 1 ) ( ₂ − = x x f c. 2 2 1 ) ( ₂ − = x x f , x≥0 d. 2 2 1 ) ( ₂ − = x x f 1 − > x a. 9 3 ) ( ₂ − + = x x x g b. x x f( )=− 16− c. 49 1 2 − − = x y d. 3 / 2 2 ₂₎ 3 ( ) (x = x + f

x