Divisibilidad I
La divisibilidad es una parte de la teoría de los números que analiza las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro.
¿Y cuándo un número es divisible por otro? se dice que "A" es divisible por "B", si al dividir "A" entre "B" la división resulta EXACTA (cociente entero y residuo cero).
"A" es divisible por "B" A B
0 q Cociente entero
Residuo cero
Ej
e m p l o s:
a. 91 es divisible por 7; pues: 91 7 0 13
d) 7 :
e) 13 :
2. DIVISOR DE UN NÚMERO
Un número "B" es divisor de "A", si "B" está contenido en "A" un número exacto de veces. Los divisores también reciben el nombre de FACTORES.
Ej
e m p l o s :
a. 13 es divisor de 39
b. 5 es divisor de 20
* E j e r c i c ios : Hallar todos los divisores de:
a) 12 :
b. 143 es divisible por 11; pues: 143 11
b) 18 :
c) 20 : 33 13
0 d) 24 :
Dos conceptos fundamentales en DIVISIBILIDAD son:
1. MÚLTIPLO DE UN NÚMERO
"Un número "A" es múltiplo de otro "B", si "A" contiene a "B" un número exacto y entero de veces".
Ej
e m p l o s :
a. 91 es múltiplo de 7, pues: 91 = 13 (7)
b. 111 es múltiplo de 37, pues: 111 = 3(37)
·
Notación:e) 72 :
Observaciones:
1. Todo número tiene INFINITOS MÚLTIPLOS.
2. Todo número tiene una cantidad FINITA DE DIVISORES o FACTORES.
3. El número UNO es DIVISOR o FACTOR de todos los números.
4. El CERO es múltiplo de todos los números. o
A B
Se lee: "A" es múltiplo de "B" Nótese que: "A" es divisible por "B"
En resumen:
o A B
* E j e r c i c ios : Escribe los primeros 10 múltiplos de:
a) 3 :
b) 2 :
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
a) 18 b) 1 c) 10
d) 20 e) 19
o Problemas para la clase
Nivel I
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
o
o 8. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 5 ?
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22 a) 35 5 ...( )
o
b) 5 15 ... ( ) 9. Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3 ?o o
c) 48 4 ... ( ) o
d) 111 3 ... ( ) o
e) 48 9 ... ( ) o
f) 10 1000 ... ( )
2. ¿Cuántos números de una cifra son divisibles por 3?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. ¿Cuántos números de dos cifras son divisibles por 11?
a) 11 b) 10 c) 9
d) 8 e) 7
4. El mayor número de dos cifras es un múltiplo de:
a) 24 b) 25 c) 26
d) 27 e) 28
o 10.Del 1 al 500, ¿cuántos números son 23 ?
a) 25 b) 24 c) 23
d) 22 e) 21
Observación
Si un número no es divisible por otro, entonces se podrá encontrar su residuo.
Ej
e m p l o s :
a) 24 no es múltiplo de 5, pues: 24 5
4 4
residuo o se puede escribir: 24 5 4 5. Relaciona correctamente:
91 • Es un múltiplo de 8
o b) 28 9 1 ó
o c) 35 8 3 ó
o
28 9 8 o
35 8 5
1 155 • Es un múltiplo de 3
2 000 • Es un múltiplo de 13
1 941 • Es un múltiplo de 11
Nivel II
1. Escribir verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
o
a) 25 7 3 ...( ) 6. Indicar la suma de cifras del mayor número que sea 8
I. 648 II. 1 000 III. 2 008 IV. 7 580
o
b) 32 9 5 ...( )
o
c) 51 5 4 ...( )
7. Si el siguiente número 453 x
el valor de "x".
es divisible por 7, calcular
o
d) 90 7 1 ...( )
o
e) 87 10 7 ...( )
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3 o
a) 4 b) 5 c) 6
d) 3 e) 22
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 28
5. Indicar cuál de los siguientes números son 7 3 a) 84 b) 24 c) 108
d) 96 e) 54
2. Hallar un valor de "x", si: o
6. Si el siguiente número 743b es divisible por 9, calcular el valor de "b".
128 11 x
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
3. Si el número 92a es múltiplo de 13 más 5, calcular "a".
o 7. ¿Cuántos números desde el 1 hasta el 32 son 4 1 ?
a) 8 b) 7 c) 6
d) 9 e) 11
4. Si el siguiente número 162a es divisible por 8, ¿cuál es el valor de "a"?
a) 5 b) 4 c) 3
d) 6 e) 7
o 8. ¿Cuántos números del 1 al 100 son 9 3 ?
a) 9 b) 8 c) 7
d) 11 e) 10
9. Calcular la suma de los 8 primeros múltiplos de 3.
o
I. 87 III. 878 II. 714 IV. 753
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) I y IV
o 10.Del 100 al 3 600, determine cuántos son
40
a) 88 b) 68 c) 90
1
AÑO
a) 21 b) 23 c) 35
d) 42 e) 24
a) 25 b) 70 c) 60
d) 80 e) 90
Divisibilidad II
Problemas para la clase
Nivel I
1. Hallar el valor del dígito "a" en la siguiente ecuación:
o
8a 1 7
a) 65 b) 30 c) 35
d) 60 e) 25
2. Un avión se dirige de Lima al Cusco con 200
pasajeros entre nacionales y extranjeros. De los
extranjeros, se 2. Si "a" representa a una cifra, hallar su valor
en:
o
7a 5 9
sabe que los 27 son europeos, los 45 usan lentes y 13
3. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en:
o
3a 1 7
hablan español. ¿Cuántos extranjeros viajan?
a) 100 b) 95 c) 105
d) 115 e) 90
4. Si:
o (5 a) 7 3 5
3. En el problema anterior, ¿cuántos extranjeros no hablan español?
a) 35 b) 60 c) 70
hallar el menor valor que puede tomar "a" (alN ).
5. Hallar el menor dígito "p" que cumpla: o
d) 90 e) 50
4. En el aula del 1er año "C" son 45 alumnos y se sabe que
3p 19 4 de las mujeres4 estudiaron su primaria en TRILCE y a 7
6. Hallar el menor dígito "a" que cumpla: o
118a 271 11
7. Hallar "a", sabiendo que es menor que 10, en:
los 2 les gusta la aritmética. ¿Cuántos hombres hay en
3 dicho salón?
o
83a 40 13
8. Hallar "n", si se cumple: o 127n 17
9. Hallar "p", si se cumple:
5. Con las siguientes pistas, descubre ¿cuántas canicas tiene Luis?
- Tiene menos de 100 pero más de 5 decenas. - Si los cuenta de 5 en 5 no sobra ninguno. - Si hace grupos de 11 le sobran 3.
o 35p9 13
10.Calcular "a", si se cumple que:
o 6. En el aula del 1er año de Trilce, hay más de 20 pero
Nivel II
1a 2a 3a 4a 7 menos de 50 alumnos. El profesor de aritmética observó
que si hace grupos de 2 sobra 1, si los agrupa de 3 en 3 también sobra 1; lo mismo sucede si hace grupos de
4 ó de 6, siempre sobra 1. Pero si hace grupos de 7 no
1. A una fiesta acudieron 100 personas y se sabe que los
3
parte 13
de los hombres usan lentes. ¿Cuántas mujeres asistieron a dicha reunión?
sobraría ningún alumno. ¿Cuántos alumnos hay en dicha aula?
a) 14 b) 35 c) 28
a) 15 b) 25 c) 35
d) 40 e) 180
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
a) 100 b) 105 c) 135
d) 140 e) N.A.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
7. En el último examen de admisión a la UNMSM ingresaron
350 alumnos a la facultad de derecho. De ellos se sabe
3. Hallar "a", si se cumple: o
que los 27 de los varones postulaban por tercera vez;
2a42 17
a) 0 b) 1 c) 2
4
de los varones son menores de edad y los
5
5 de los
6 d) 3 e) 4
varones se prepararon en TRILCE. ¿Cuántos varones ingresaron a esa facultad?
a) 105 b) 140 c) 175
d) 210 e) 120
8. En el problema anterior, ¿cuántos de los varones que ingresaron no se prepararon en TRILCE?
4. Hallar "a", si:
o
1a12 40 13
a) 1 b) 6 c) 3
d) 4 e) 5
5. Hallar "p" si:
o 17p1 777 7
9. A una fiesta acudieron más de 100 personas pero menos
3
a) 5 b) 4 c) 7
d) 9 e) 3
de 200. Se sabe además que los
5 fueron con jean, 6. Hallar "a" si:
los 7 con zapatillas y los 2 3 4 se retiraron antes de la 1a 2a 3a 4a 5a 37o media noche. ¿Cuántas personas asistieron?
7. Calcular "a", si se cumple: 10.En el problema anterior, ¿cuántas personas fueron
con zapatillas?
a) 20 b) 40 c) 60
d) 80 e) 90
Nivel III
1. Un buen hombre llevaba 198 canicas para ser repartidos entre sus nueve sobrinos, pero antes de llegar a casa de ellos se encontró con un niño pobre al que le regaló más de 30 pero menos de 40 canicas. ¿Cuántas le regaló al niño exactamente, si lo que le quedó alcanzó para repartirlo exactamente entre sus sobrinos?
o
1a 2a 3a ... 9a 13
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) 2
8. Calcular "a", si se cumple:
o
1a 2a 3a ... 9a 7
a) 3 b) 4 c) 8
d) 9 e) 6
9. Halla a<10, si se cumple: o
275a 448 9
a) 32 b) 34 c) 35
d) 36 e) 38
10.Hallar la suma de los valores ab que cumplan: 2. Cierto día el profesor Lucho llevaba 741 caramelos
para repartirlos entre sus 13 mejores alumnos. Antes del reparto retiró más de 80 pero menos de 100 caramelos y los que quedaron alcanzaron para todos en partes iguales. ¿Cuántos caramelos retiró el profesor?
o
45ab 19 3
a) 148 b) 236 c) 168
a) 81 b) 83 c) 89
Divisibilidad III
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Para saber en forma inmediata si un número es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la división correspondiente, porque bastará conocer algunas características de tal situación de divisibilidad; a estas características las conocemos como criterios de divisibilidad
Problema resuelto1. Hallar el valor de "x", sabiendo que 4x327 es divisible por 9.
S o l uc i ó n :
y son los siguientes:
DIVISIBILIDAD POR 2
Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es
Si: 4x327 9o 4 + x + 3 + 2 + 7 = 9o o
x + 16 = 9
CERO o PAR.
o
Y como "x" es una cifra: x = 2, pues: 2 + 16 = 18 (que
o es un 9 ) abcd 2 d 0; 2; 4; 6 u
8 DIVISIBILIDAD POR 5
Un número es divisible por 5, cuando su última cifra es
0 ó 5.
DIVISIBILIDAD POR 4
Un número es divisible por cuatro, cuando las dos últimas cifras del numeral forman un múltiplo de cuatro
o
abcd 5 d 0 ó d 5
o abcde 4
DIVISIBILIDAD POR
8
o
de 4 DIVISIBILIDAD POR 25Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras
o
forman un 25 o terminan en dos ceros.
Un número es divisible por ocho, cuando sus tres últimas cifras del numeral forman un múltiplo de ocho.
o
abcd 25 cd 00; 25; 50 ó 75
o
abcde 8 cde 8o Problema resuelto
1. Hallar la suma de valores de "x", si 351x5 es divisible por 25.
DIVISIBILIDAD POR 3 ó 9
Un número es divisible entre 3 ó 9, si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 ó 9 respectivamente.
S o l uc i ó n :
o o
Si: 351x5 25
o o
x5 25 de donde: x = 2 ó x = 7
Ej
e m p l o s :
abcd 3 o
abcd 9
o o
a b c d 3 o
a b c d 9
La suma de valores: 2 + 7 = 9
DIVISIBILIDAD POR 6
Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y 3 a la vez.
a) ¿35 184 es 3 ? ¿y 9 ? o
abcd 6 d 0; 2; 4; 6 u 8 o
o y además: a b c d 3 De "3": sí, porque: 3 + 5 + 1 + 8 + 4 = 21 y 21
= 3
o De "9": no, porque: 21 9
Ej e m p l o :
o
1
AÑO
o
o o Veamos:
b) ¿35 874 es 3 ? ¿y 9 ? o
¿Es 2 ? Sí, pues termina en cifra par
De "3": sí, pues: 3 + 5 + 8 + 7 + 4 = 27 = 3 o o
o De "9": sí, pues: 27 9
DIVISIBILIDAD POR 11
Un número será divisible por 11 si la suma de sus cifras de orden impar (empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser
DIVISIBILIDAD POR 7
Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla:
* Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:
1; 3; 2; - 1; - 3; - 2; 1; 3; 2; - 1; - 3; - 2; ... etc.
* Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es CERO o múltiplo de 7, el número dado será entonces divisible por 7.
Ej e m p l o :
¿Es 626 934 divisible por
7? Veamos:
6 2 6 9 3 4
-2 -3 -1 2 3 1 -12 -6 -6 +18 +9 +4
Sumando los enteros obtenidos:
- 12 - 6 - 6 + 18 + 9 + 4 = 7
Luego, 626 934 es divisible por 7.
* Otro método:
Un número es divisible por 7, si cuando al número de decenas del número le restamos el doble de su cifra de unidades resulta un número multiplo de 7.
Ojo: si luego de restar obtenemos aún un número grande, repetimos el procedimiento.
Ejemplo: ¿Es 626934 divisible por 7?
Veamos: 62693 4
-8 6268 5
-10 625 8 1 6
60 9 1 8
42 = 7
Luego, 626934 es divisible por 7.
cero o múltiplo de 11.
Ej e m p l o :
¿Es 9 873 226 divisible por 11?
* Sumemos primero las cifras de orden impar a partir de la cifra de las unidades:
6+2+7+9 = 24 ... (1)
* Sumemos luego las cifras de orden par a partir de la cifra de las decenas:
2+3+8 = 13 ... (2)
* Restemos ahora (1) - (2): 24 - 13 = 11
* Luego, 9 873 226 es divisible por 11.
Problemas para la clase
Nivel I
1. Si se tienen los siguientes números: 12; 24; 38 y 41, decir cuál o cuáles son divisibles por 2.
a) 12 y 24 b) 24 y 41
c) 24 y 38 d) 12; 24 y 38
e) Ninguno
2. Si se tiene los números 124; 233; 666 y 429, ¿cuántos son divisibles por 3?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
3. Si se tienen los números: 48; 64; 1 200 y 5 600, ¿cuántos
o son 4 ?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
4. Si se tienen los números: a0; c5; d00;
bmn0 ¿cuántos son divisibles por 5?.
a) 0 b) 1 c) 2
a) 0 b) 4 c) 5
d) 6 e) 9
a) 2 b) 9 c) 3
d) 4 e) 5
5. Si se tienen los números:
I. 12 345 II. 43 927 III. 78 900 991
¿cuál o cuáles son divisibles por 9?.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Ninguno
6. Se tiene los números: 1 000, 2 410 y 2 420. ¿Cuál de los números es divisible por 8?.
a) 1 000 b) 1 000 y 2 410
c) 2 410 d) 2 420
e) Ninguno
7. Calcular cuánto debe de valer “a” para que el numeral sea divisible por 9.
2345a
a) 5 b) 0 c) 6
d) 9 e) 4
8. Calcular cuánto debe de valer “a” para que el numeral sea divisible por 5.
2a00a
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 2
3. Hallar la suma de valores de “x”, si: o 2nnmx 2
a) 10 b) 12 c) 20
d) 18 e) 6
4. Hallar la suma de valores de “a”, si: o
29a2 4
a) 25 b) 24 c) 23
d) 20 e) 18
5. Hallar el mayor valor que puede tomar ab , si: o
272mab 25
a) 00 b) 25 c) 50
d) 85 e) 75
6. Calcular el valor de “a”, si: 2a45a es divisible por
8. a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
a) 0 ó 5 b) 0 c) 5
d) 2 e) 8
9. ¿Cuánto debe de valer “x” para que el numeral sea divisible por 4?
7. Calcular "a + b", si: 54a2ab o 125
12383x
a) 2 ó 4 b) 0 c) 4
d) 2 ó 6 e) 6
10. Hallar el menor valor de “a”, si: º
aa682 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
Nivel II
1. Hallar el valor de “a” para que el numeral sea divisible por 11
234a
a) 2 b) 3 c) 0
d) 4 e) 6
2. Calcular el valor de “a” para que el numeral sea divisible por 7
8. Calcular la suma del mayor valor más el menor valor que puede tomar “a” en:
o
4a21 3
a) 10 b) 3 c) 15
d) 7 e) 13
9. Calcular “A + B”, si:
o A = Suma de valores de “a” en: 5a2 9 o B = Suma de valores de “b” en: ba4 3
a) 12 b) 15 c) 16
d) 18 e) 20
10.Determine el valor de “a” en: o 5a2a3 11
a) 2 b) 1 c) 3
d) 5 e) 6
a) 40 b) 36 c) 28
d) 12 e) 0
a) 6 b) 8 c) 1
d) 9 e) 0
a) 2 b) 1 c) 5
d) 4 e) 8
Nivel III
1. Determinar el valor de “m”, si: m2(m 2)34
es divisible por 11.
a) 6 b) 9 c) 7
d) 5 e) 4
7. Hallar la suma de valores de “a”, en: o
2aa6 8
a) 5 b) 10 c) 7
d) 8 e) 4
o 8. Hallar “n”, si: 9923n 11
o o 2. Calcular: a2 - b2, si: a892 9 y 4b97 11
o o 9. Dar el valor de "a + b", si: 6a(a 3)3 9 , 2a3bbb 11
o
3. Calcular “a”, si: 3a5a243 9 a) 2d) 8 b) 5e) 7 c) 4
a) 3 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6
4. Calcular el residuo de dividir: 222 ... 22 entre 9
40 cifras
o 10. Calcular “a”, si: 2a543 9
a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 9
11.Calcular el resto de dividir: 2323 ... 23 entre
9
12 cifras
o 5. Hallar el valor de “n”, si: nn2n3n 8
a) 2 b) 4 c) 5
d) 7 e) 3
6. Hallar “A - B”, si:
o
12. Si: 8a43b8 es igual a 9 , y además se sabe que: a - b = 5,
hallar “a”.
a) 3 b) 4 c) 7
o
A = Suma de valores de “a” en: a2 4 d) 8 e) 9 o
B = Suma de valores de “b” en: ba2b 5
a) 20 b) 15 c) 25
