M.C.D. Y M.C.M. DE POLINOMIOS – ALGEBRA CUARTO DE SECUNDARIA – Descarga Matematicas

Obtiene factorizando los polino- mios

y

viene expresado por la multipli- cación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

M.C.D. - M.C.M. de

polinomios

M.C.D. y M.C.M. de polinomios

Máximo común divisor (M.C.D.) Mínimo común múltiplo (M.C.M.) Propiedades

el el 1

M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios.

se

Obtiene factorizando los polino- mios

y

viene expresado por la multipli- cación de los factores primos comu nes a fe ctad os de su s menores exponentes.

M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios.

se

Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es ±1.

2

Únicamente para dos polinomios A(x), B(x) se cumple:

MCD(A;B). MCM(A;B) = A(x).B(x)

3

A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces: 1ra

posibilidad:

A(x) - B(x) = MCD 2da

posibilidad:

A(x) - B(x) = contiene al MCD



Problemas resueltos

1. Encontrar el MCD de:

Solución:

Factorizando cada polinomio:

3 2

P₁(x) = kx2 _{+ (k + 1)}2_{x + k + 2}

P₂(x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1)

I. E = m - m

Agrupando: - 4m + 4

Solución:

Factorizando ambas expresiones:

I. P₁(x) = kx2 _{+ (k + 1)}2_{x + k + 2}

kx 1

1x (k + 2)

 (kx + 1)(x + k + 2)

II. P₂(x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1)

Operando:

x2 _{- k}2 _{- 4k - 4}

Agrupando un T.C.P.

x2 _{- (k}2 _{+ 4k + 4)}

x2 _{- (k + 2)2}

Diferencia de cuadrados:

[x + (k + 2)][x - (k + 2)]

 (x + k + 2)(x - k - 2)

 luego: MCD = (x + k + 2)

E = (m3 _{- m}2_{) - (4m - 4)}

E = m2_{(m - 1) - 4(m - 1)}

E = (m - 1)(m2 _{- 4)}

 E = (m - 1)(m + 2)(m - 2)

II. F = m5 _{- 2m}3 _{+ 2m}2 _{- 2m + 1}

Por divisores binómicos: para: m = 1

 F(1) = 1 - 2 + 2 - 2 + 1 = 0

un factor es (m - 1) y el otro lo obtenemos dividiendo por Ruffini. Así:

m-1=0 1 0 -2 2 -2 1

m=1  1 1 -1 1 -1

1 1 -1 1 -1 0

F = (m - 1)(m4 _{+ m}3 _{- m}2 _{+ m - 1)}

 El MCD(E; F) = (m - 1)

2. El MCD de los siguientes polinomios:

E = m3 _{- n}2 _{- 4m + 4}

F = m5 _{- 2m}3 _{+ 2m}2 _{- 2m + 1}

3. Sea:

P₁(x) = Ax2 _{+ 2x - B}

P₂(x) = Ax2 _{- 4x + B}

B

Si (x - 1) es el MCD de P₁  P₂, hallar el cociente

Solución:

(x - 1) deberá ser divisor de P₁(x) y P₂(x), entonces:

P₁(1) = 0  P₂(1) = 0.

Redundando en el Teorema del Resto:

P₁(1) = A + 2 - B = 0 .... ()

P₂(1) = A - 4 + B = 0 .... ()

Resolviendo el sistema:

A - B = - 2 A + B = 4

 A = 1; B = 3

B 3

Piden: A = 1 = 3

a. H(a) ÷ (a - 2)(a - 3)

1 1 0 -9 m n

5 -6

5 -6

25 -30

50 -60

1 5 10 0 0

q(a)

Luego: H(a) = (a - 2)(a - 3)q(a)

 H(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)

b. G(a) ÷ (a - 2)(a - 3)

4. El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente: MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1)

MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) hallar el otro polinomio.

1 1 2 -7

5 5 -6

-6 35

1 7 22

q(a)

p

-42 110

0 q

-132 0

Solución:

Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad: MCD(A; B).MCM(A; B) = A(x).B(x)

Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:

Luego: G(a) = (a - 2)(a - 3)q(a)

 G(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 7a + 22)

Finalmente, MCM(H; G):

(a - 2)(a - 3)(a2 _{+ 5a + 10)(a}2 _{+ 7a + 22)}

B(x) = (MCD)(MCM) _A(x)

7. Hallar el MCM de:

x2 _{- 4x + 3}

Reemplazando valores:

(x 2)(x 1)(x 5)(x 1)(x 2)(x 3)

x2 _{+ 4x + 3}

x4 _{- 10x}2 _{+ 9 x}3

- 9x + x2 _{- 9}

B(x) = _{(x 1)(x 2)(x 3)}

B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5)

5. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:

a- 1_.xn - 1_{; b}- 1_.xn - 2_{; c}- 1_{.xn - 3}

Solución:

MCD = xn - 3

MCM = a- 1_.b- 1_.c- 1_{.xn - 1}

piden:

Solución: Factorizando:

I. x2 _{- 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) ... ()}

II. x2 _{+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) ... ()}

III. x4 _{- 10x}2 _{+ 9 = (x}2 _{- 9)(x}2 _{- 1)}

= (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) ... ()

IV. x3 _{- 9x + x}2 _{- 9 = x(x}2 _{- 9) + (x}2 _{- 9)}

= (x2 _{- 9)(x + 1)}

= (x + 3)(x - 3)(x + 1) ... ()

De (), (), () y () se tiene:

MCM MCD =

a-1.b-1.c-1.xn-1

xn-3

x2

= abc MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) = (x2 _{- 9)(x}2 _{- 1)}

6. Si el MCD de los polinomios:

H(a) = a4 _{- 9a}2 _{+ ma + n}

G(a) = a4 _+2a3 _{- 7a}2 _{+ pa + q}

es: (a - 2)(a - 3). Calcular el MCM de dichos polinomios.

8. Si el MCD de:

y: x(x + 1)(x - 2)(x - 1) - 24

x3 _{- 3x + 2}

Solución:

Dividiendo por el método de Horner en ambos polinomios, así:

se iguala a cero, entonces “x” es igual a:

Solución:

Factorizando cada expresión:

I. x(x + 1)(x - 2)(x - 1) - 24

multiplicando en la forma indicada:

Efectuando:

II. x3 _{- 3x + 2}

(x2 _{- x)}2 _{- 2(x}2 _{- x) - 24}

x2 _{- x -6}

x2 _{- x 4}

(x2 _{- x - 6)(x}2 _{- x + 4)}

 (x - 3)(x + 2)(x2 - x + 4)

5. Dados los polinomios:

A(x; y; z) = x4_y3_z6

B(x; y; z) = x5_y4_z10

C(x; y; z) = x6_y2_z5

Indicar:

MCM(A;B; C) S = MCD(A;B; C)

1 0

1  1

1 1

-3 2

1 -2

-2 0

a) x2_y4_z6 _{b) x}2_y4_z3 _{c) x}2_y2_z5

d) xyz4 _{e) xyz}

 (x - 1)(x2 + x - 2)

x 2

x -1

 (x - 1)2(x + 2)

 MCD = x + 2  x + 2 = 0  x = -2

Problemas para la clase

6. Señale el MCD de los polinomios:

A(x) = x4 _{- 1}

B(x) = x2 _{- 3x + 2}

a) x - 2 b) x - 1 c) x2 _{+ 1}

d) x - 5 e) 1

8. Dados los polinomios:

A(x) = x3 _{+ 3x}2 _{+ 3x + 1}

B(x) = x3 _{+ x}2 _{- x - 1}

1. Hallar el MCD de los polinomios:

A(x) = (x + 6)2_{(x - 7)}3_{(x + 9)4}

B(x) = (x + 10)3_{(x - 7)}2_{(x + 6)3}

a) x + 9 b) x + 10

c) (x - 7)(x + 6) d) (x - 7)2_{(x + 6)2}

e) (x - 7)3_{(x + 6)3}

Indicar el MCM.

a) (x + 1)2 _{b) (x + 1)3}

c) (x + 1)2_{(x - 1) d) (x + 1)}3_{(x - 1)}

e) (x - 1)

9. Hallar el MCM de:

P(x; y) = x2 _{- y2}

2. Hallar el MCM de los polinomios:

F(x) = (x + 5)4_{(x - 6)}2_{(x + 9)}3_{(x - 1)4}

F(x; y) = x2

S(x; y) = x2 - 2xy + y

2

+ 2xy + y2

S(x) = (x + 5)2_{(x - 6)}4_{(x + 7)}2_{(x - 1)3}

a) x - y b) (x + y)3

a) (x +5)(x - 6)(x - 1) c) (x2 - y2₃)2 d) (x2 - y2)3

b) (x + 5)2_{(x - 6)}2_{(x - 1)3}

c) (x + 5)4_{(x - 6)}4_{(x - 1)}4_{(x + 9)}3_{(x + 7)2}

d) (x + 1)(x - 2)(x + 9)

e) (x - 1)3_{(x - 6)4}

e) (x - y)

10.El producto de dos polinomios es (x2 _{- 1)}2 _{y el cociente}

de su MCM y MCD es (x - 1)2_{. Calcular el MCD.}

3. Hallar el MCD de los polinomios: a) x + 1 ₂ b) x2 + 1 c) (x + 1)2

A(x) = (x + 2)6_{(x - 1)}4_{(x - 2)}6_{(x + 3)4}

B(x) = (x + 3)6_{(x - 1)}2_{(x + 2)}2_{(x + 7)2}

d) (x - 1) e) x - 1

C(x) = (x - 3)4_{(x + 7)}2_{(x - 1)}3_{(x + 2)2}

a) (x - 1)(x + 2) b) (x + 1)(x + 3)

c) (x - 1)2_{(x + 2)}2 _{d) (x + 2)2}

e) (x - 1)2

4. Hallar el MCM de los polinomios:

P(x) = (x + 4)3_{(x - 7)}2_{(x + 6)}8_{(x + 7)3}

F(x) = (x + 6)2_{(x - 7)}3_{(x + 7)}4_{(x - 6)2}

S(x) = (x + 2)3_{(x + 6)}4_{(x + 4)}8_{(x + 7)2}

a) (x + 7)4_{(x + 6)}8_{(x + 4)8}

b) (x + 7)4_{(x + 6)8}

c) (x + 7)4_{(x + 6)}8_{(x + 4)}8_{(x - 7)}3_{(x - 6)}2_{(x + 2)3}

d) (x + 7)4_{(x + 6)}8_{(x + 4)}8_{(x - 7)}3_{(x - 6)2}

e) (x + 7)4_{(x + 4)}8_{(x - 7)}3_{(x - 6)}2_{(x + 2)3}

Comparación cuantitativa

A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B.

Preg. Información Columna A Columna B

11. A(x) = (x + 7)3(x + 8)5(x - 9)

B(x) = (x + 7)4_{(x + 8)}6_{(x + 12)}

A(x; y) = x3 _{- xy}2 _{+ x}2_{y - y}3

Grado del MCD

Grado del MCM

12. _{B(x; y) = x}3 _{- xy}2 _{- x}2_{y + y3} MCD(A; B) MCM(A; B)

13.

14.

A = 23_.32_{.(x - 1)}3_{(x + 2)2}

B = 22_.33_{.(x - 1)}2_{(x + 2)3}

C = 20_.32_{.(x - 1)}2_{(x + 2)}

A(x) = x2 _{+ 4x + 3}

B(x) = x4 _{- 10x}2 _{+ 9}

C(x) = x3 _{- 9x + x}2 _{- 9}

Término independiente del MCD

Residuo que se obtiene al dividir MCD

entre (x - 3)

Suma de coeficientes

del MCM

Residuo que se obtiene al dividir MCM entre (x - 4)

15.Hallar el MCD de los polinomios:

P(x; y) = x3 _{- xy}2 _{+ x}2_{y - y3}

F(x; y) = x3 _{- xy}2 _{- x}2_{y + y3}

C(x; y) = x4 _{- 2x}2_y2 _{+ y4}

20.El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 _{y el producto}

de su MCM por su MCD es: x6 _{- 2x}4 _{+ x2}

Hallar la suma de factores primos del MCM.

a) x + y b) x - y a) 2x b) 4x - 1 c) 3x

c) x2 _{- y2 d) (x + y)(x - 3y) d) 2x + x2 e) 3x + 1}

e) x2 _{- y4}

16.Se tienen dos polinomios cuyo MCD es:

x2 _{+ 2x - 3}

si uno de los polinomios es:

P(x) = 2x4 _{+ 3x}3 _{- 2x}2 _{+ Ax + B}

entonces “A + B” es:

a) 33 b) - 3 c) 12

d) - 6 e) 1

17. Si el MCD de:

P(x) = x3 _{- 6x}2 _{+ 11x - m}

Q(x) = x3 _{+ 2x}2 _{- x - n}

es (x - 1). Hallar “m + n”.

a) - 8 b) 8 c) 4

d) 6 e) 2

21.Indique el MCD de:

P(x; y) = x3 _{+ x}2_{y + xy}2 _{+ y3}

Q(x; y) = x3 _{- x}2_{y + xy}2 _{- y3}

R(x; y) = x4 _{- y4}

a) x2 _{+ y}2 _{b) x}2 _{- y}2 _{c) x}2 _{+ 1}

d) y2 _{+ 1 e) x + y}

22.Indique el MCD de:

P(x) = 3x3 _{+ x}2 _{- 8x + 4}

Q(x) = 3x3 _{+ 7x}2 _{- 4}

a) 3x2 _{+ 4x - 4 b) 3x}2 _{- 4x + 4}

c) 3x2 _{+ x - 4 d) x}2 _{- 4x + 4}

e) x + 2

23.Si el MCD de:

18.El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM por su MCD es:

2x3_{(x + y)2}

entonces uno de los polinomios es:

a) x2 _{+ xy b) xy + y}2 _{c) (x + y)2}

d) x + y e) 2x + 2y

19.Señale el MCD de los polinomios siguientes:

A(x; y) = x3 _{+ 6x}2_{y + 11xy}2 _{+ 6y3}

P(x) = x3 _{- 7x}2 _{+ 16x - m}

F(x) = x3 _{- 8x}2 _{+ 21x - n}

es (x2 _{- 5x + 6). Hallar “m + n”.}

a) 30 b) 20 c) - 30

d) 40 e) - 40

24.Si el MCM de “A” y “B” es xay4 y el MCD de los mismos

es x5yb. Calcular:

ab -   m

E =

B(x; y) = 3x3 _{+ 10x}2_{y + 9xy}2 _{+ 2y3}

C(x; y) = x4 _{- 5x}2_y2 _{+ 4y4}

a) x2 _{+ 2xy + 4y}2 _{b) x}2 _{- xy - 2y2}

c) x2 _{+ 5xy + 6y}2 _{d) x}2 _{+ 3xy + 2y2}

e) x2 _{- 5xy + 4y2}

Siendo:

 - mb  n

A = 12xn - 1_{.ym + 1}

a) x + 8y b) x + 2y c) (x + 2y)3

d) (x + 2y)2 e) x - 3y

a) - 1 b) - 2 c) - 3

d) - 4 e) - 5

a) 23 b) 25 c) 15

d) 18 e) 12 _{a) x + 2 b) x}2 _{- x - 6 c) x}2 _{+ x - 6}

d) x - 3 e) x + 8

a) x2 _{- 1 b) x}2 _{+ 1 c) x - 1}

d) x + 1 e) x

17 11 16 30.Hallar el MCD de los polinomios: _{2 2}

a) 15 b) 17 c) 15 F(x; y) = (x + 2y)(x + 4xy) + 4y (x + 2y)

12

d) 17 e) 15 18

Q(x; y) = x3 _{+ 2x}2_{y - 4xy}2 _{- 8y3}

25.Si el MCM de los polinomios: x2 _{+ x - 2 x}4

+ 5x2 _{+ 4 x}2

- x - 2 es equivalente a:

x8 _{+ Ax}6 _{+ Bx}4 _{+ Cx}2 _{+ D}

Determinar “A + B + C + D”

Autoevaluación

1. El MCD de un cierto número de polinomios es

(2x2 _{+ x - 1). Si uno de esos polinomios es:}

P(x) = 4x3 _{+ mx + n}

Calcule “m + n”.

a) 0 b) 1 c) - 1

d) 2 e) - 2

26.¿Cuál es el grado del MCM de los siguientes polinomios?

P = 1 + x + x2 _{+ ... + x5}

Q = 1 + x + x2 _{+ ... + x7}

R = 1 + x + x2 _{+ ... + x11}

2. Hallar el MCD de los polinomios:

P(x) = (x + 1)4_{(x + 2)}3_{(x - 3)}5_{(x - 1)2}

Q(x) = (x + 8)4_{(x + 2)(x - 3)}5_{(x - 2)2}

R(x) = (x - 2)2_{(x + 2)}2_{(x - 3)(x + 7)6}

27. Proporcionar el MCD de:

P(x) = x5 _{+ x}4 _{+ 1}

Q(x) = (x + 1)[x4 _{- 1] + x}2_{(x -1)}

a) x2 _{+ x + 1 b) x}2 _{- x + 1}

c) x3 _{- x + 1 d) x}3 _{+ x + 1}

e) x3 _{- x}2 _{+ 1}

28.Si el MCM de dos polinomios A(x) y B(x) es:

x40 _{+ x}20 _{+ 1}

y su MCD es:

x30 _{+ x}20 _{- x}10 _{+ 2}

Hallar el número de factores del producto de dichos polinomios.

a) 4 b) 3 c) 5

d) 6 e) N.A.

29.El producto de dos polinomios es: (x6 _{+ 1)}2 _{- 4x6}

y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x2 _{+ 1)}2 _{- 4x2}

3. Hallar el MCM de los polinomios:

A(x) = x4_{(x + 1)2}

B(x) = x2_{(x + 1)}5_{(x + 6)}

C(x) = x3_{(x + 1)}7_{(x - 7)}

a) x4_{(x + 1)}7_{(x + 6)(x - 7)}

b) x4_{(x + 1)7}

c) x4_{(x + 1)}7_{(x + 6)}

d) x4_{(x + 1)}2_{(x + 6)(x - 7)}

e) x2_{(x + 1)}2_{(x + 6)(x - 7)}

4. Hallar “MCM ÷ MCD” de:

P(x; y; z) = x2_.y7_.z8

Q(x; y; z) = x4_.y3_.z9

R(x; y; z) = x5_.y2_.z10

a) x3_yz2 _{b) x}3_y5_{z c) xyz}

d) x3_y5_z2 _{e) x}4_y5_z9

luego el MCD es:

a) (x + 1)(x3 _{- 1)}

b) (x - 1)(x3 _{+ 1)}

c) (x2 _{+ x + 1)(x + 1)}

d) (x2 _{- x + 1)(x}2 _{+ x + 1)}

e) (x2 _{+ x + 1)(x}2 _{- 1)}

5. Señale el MCD de:

P(x) = x3 _{+ x}2 _{- x - 1}