PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

(1)

4

AÑO

Decimos que una sucesión de números están en progresión geométrica (P.G.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q) de la progresión.

- Suma de los “n” términos de una P.G. (S_n)

 _qn _{- 1}_

S_n= a₁    _{q - 1}

 

Ejemplo: Ejemplos:

1; 2; 4; 8; ...

Calcular: S = 5 + 52 _{+ 5}3 _{+ ... + 5}17

Solución: -1; -3; -9; -27; ...

a, aq, aq2_{, aq}3_{, ...} Datos: a1

Luego: = 5; q = 5; S17 = ?

Representación:

a₁, a₂, a₃, ..., a_n} P.G. de “n” términos

 _qn _{- 1}_

S_n= a₁    _{q - 1}

 ₅17 _{- 1}_

= 5      ₄ 

   

×q

donde: q = an

a_n-1

- Suma de los infinitos términos o suma límite (S_L)

a₁

0 < q < 1 La razón (q) se encuentra dividiendo cualquier término

entre su inmediato anterior.

- Si: q > 1  la progresión es creciente. 2; 4; 8; 16; ... (q = 2)

Ejemplo: Calcular:

S_L= 1 - q

- Si: 0 < q < 1  la progresión es decreciente. S = 1

8 1

+

16 1

+

32 + ... 

9; 3; 1; 1 ; ... (q = 1 )

3 3 S o l uc i ó n :

- Si: q < 0  la progresión es oscilante ₁ ₁

1; -3; 9; -27; 81; ... (q = -3) Datos: a1 = ₈; q = ₂; SL = ?

Luego:

- Término enésimo (a_n)

a_n= a₁.qn - 1

Ejemplo:

Hallar el doceavo término en:

S_L= 1 8

1 - 1 2

1

= 8 ₁

2

1

 S_L= ₄

S o l uc i ó n :

1 _;

729

1

1 ;

243

1 ; ... 81

- Término central (a_c)

a_c= a₁.a_n

Datos: a₁=

Luego:

729; q = 3; a12 = ? 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128

1 311 TC = 2.128 = 4.64 = 8.32 = 16

a_n= a₁.qn - 1 _{= .3}11 _{ a}

12 = 6 = 35

729 3

(2)

1 n

1

1 6

- Términos

equidistantes 2. Hallar el décimo tercer término en la P.G.:

En toda P.G. limitada el producto de dos términos equidistantes de los extremos nos da una misma cantidad.

1 _,

729

1

,

243

1 _,...

81

1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243

243

S o l uc i ó n :

a₁, a₂, a₃, ... } P.G.

243

243 Cálculo de la razón:

1 - Medios geométricos

Son los términos de una P.G. comprendida entre sus extremos:

a , ..., a

_

"n" medios geométricos

- Interpolación de medios geométricos

Como: a_n

q = 243 ₁  q = 3

729 = a₁.qn - 1

1

a = .313 - 1

729

312

Es la operación que consiste en formar una P.G. conociendo los extremos y el número de medios a

a₁₃=

3  a

13 _{= 729}

interpolar, la razón de interpolación

es: 3. Hallar el valor de “a” en la P.G.:_{(11 - a); (2a - 1); (9a + 3); ...}

a_n q = n1

a₁

 Problemas resueltos

1. Hallar “x” en la P.G.:

S o l uc i ó n : Por razón:

Efectuando:

2a - 1 11 - a

9a  3

=

2a - 1

2 x; 22x - 1_{; 4}3x - 2_{; ...} 4a

2 _{- 4a + 1 = 99a + 33 - 9a}2

-3a

13a2 _{- 100a - 32 = 0}

De donde: a = 8

S o l uc i ó n : Como:

La razón: a_P.G.1, a2, a3, ... }

4. La suma de los seis primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros. Hallar la razón.

Luego:

q = a2 a₁ =

a₃ a₂

S o l uc i ó n : Sea la P.G.:

22x-1 43x-2 a , a , a , a , a , a , ...

=

2 x 22x-1

1 2 3 4 5 6

Calculando S₆:

Buscando bases iguales:

22x - 1- x/2 _{= 2}6x - 4 - (2x - 1)

Igualando exponentes:

4x - 2 - x

Calculando S₃:

S₆= a (q

6 _{- 1)}

q - 1

3

2 = 6x - 4 - 2x + 1 S = a1 (q - 1)

4

4 = 5x _ x =

5 Luego:

3 _{q - 1}

S₆= 9(S₃)

3

a₁.(q6 - 1)

(3)

(4)

a) a b) 2a c) 3a

d) 3a2 _{e) 2a}2

a) 1; 8; 16 b) 2; 6; 18 c) 1; 3; 9

d) 5; 10; 20 e) 3; 9; 27

 

Efectuando:

(q3 _{+ 1)(q}3 _{- 1) = 9(q}3 _{- 1)}

q3 _{+ 1 = 9} _{ q = 2}

1

a) 4 b) 5 c)

4

5. Hallar la suma de:

1 d) 5 1 e) 6

S o l uc i ó n :

1 2

S = +

7 72

1 2

+ +

73 7 4 + ...

4. La suma de los términos que ocupan los lugares impares de una P.G. de 6 términos es 2 537 y la suma de los que ocupan los lugares pares es 7 611. Hallar la razón.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

 1 1

S =  

7 73  ...  

 2 2

+  

 72 74  ... 

 5. Hallar:

Luego:

 

Suma límite 1 q 

72

 

Suma límite 1 q 

72

1 3

S = +

7 72

7 7

1 3

+ +

73 7 4 + ...

4

1 7

2 7 2

a)

16 b) 17 c) 17

S =

1 + 1

1 - 1

-72 72

5 5

d)

17 e) 24

1

S = 7 ₄₈

49

2 7 2 + 48 49 7 = 48 3 2 + 48

6. En un cuadrado de lado “a” se unen los puntos medios de los cuatro lados y se forma otro cuadrado cuyos puntos medios se unen también para formar otro nuevo cuadrado y así sucesivamente. Hallar el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados.

 S = ₁₆

Problemas para la clase

1. Hallar el término de lugar 16 en la P.G.:

7. El producto de tres números en P.G. es 216 y la suma de los productos que resultan tomados 2 a 2 es 156. Hallar los números.

1 ;

256

1

;

128

1 ; ...

64 _{8. La suma de tres números positivos que forman una}

P.A. es 18. Si a estos números se les suma 2; 4 y 11

a) 121 b) 124 c) 128

d) 120 e) 110

2. Si a: 110; 90 y 60 se le resta una misma cantidad, se obtiene tres nuevas cantidades que están en progresión geométrica. ¿Cuál es la razón de dicha progresión?

respectivamente los nuevos números forman una P.G. hallar los números iniciales.

a) 1; 3; 6 b) 3; 6; 9 c) 6; 9; 12

d) 12; 15; 18 e) 15; 18; 14

9. En una P.G. se conoce que: S₆= 28(S₃)

3

a) 3 b)

2 5 4 c) 3 Hallar “q”.

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

d)

2 e) 12

10.En una P.G. el primer término es 7, el último es 448 y la

3. Hallar el término 12 de la P.G., si el quinto es 32 y el

octavo es 4. suma 889. Hallar la razón y el número de términos.

(5)

(6)

a) 16 b) 32 c) 36

d) 38 e) 56

a) 15; 30 b) 12; 28 c) 15; 25

d) 10; 20 e) 10; 25

11.La suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los 3 primeros, entonces la razón de la progresión es:

18.Calcular la suma límite:

2

1  1 

S = +

3

 1  +

4

 1 

+ + ...

     

3 3 3 3

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) 2

     

1 2 1

12.La suma de 3 números en progresión aritmética es 15 si esto s nú mero s se aum enta n en 2 ; 1 y 3

a)

3 b) 3 c) 2

respectivamente y las sumas obtenidas quedan en progresión geométrica. Calcular el producto de dichos números.

a) 54 b) 45 c) 25

d) 5 e) 42

13.Cuatro medios geométricos interpolados entre 160 y 5

1

d)

17 e) N.A.

19.Hallar el término 49 de una P.G. conociendo que sus términos de posiciones 47 y 52 son respectivamente 8/9 y 27/4.

1

de una P.G. son:

a) 5; 10; 20; 40 b) 10; 30; 60; 90

a) 32 b)

2 2

c) 2

c) 80; 40; 20; 10 d) 120; 90; 60; 30

e) 59; 55; 35; 15

d)

3 e) 4

14.Sumándose un número constante a 20; 50 y 100 resulta una P.G. Hallar la razón.

20.En una progresión por cociente de 4 términos, la razón es la novena parte del segundo y la suma de los extremos 252. Determinar el tercer término.

3

a)

5 3

d) -

5 5 b) 2 5 e) 3

c) 2 a) 9 b) 27 c) 81

d) 243 e) 729

21.Hallar dos términos consecutivos de la progresión: 7; 21; 63; ... ; cuya suma sea 2 268. Dar como

respuesta la posición que ocupa el mayor de estos dos términos.

15.En la progresión:

÷÷ 96; 48; 24;

... a) 5 b) 6 c) 7

Calcular el décimo término. d) 8 e) 11

1 a) 16 5 d) 8 3 b) 4 3 e) 8 3 c) 16

22.Hallar la suma de los 20 primeros números múltiplos de 3.

a) 600 b) 620 c) 660

d) 500 e) 630

23.En una P.G. el quinto y el segundo término son 81 y 24 respectivamente. Calcular el primer término. 16.En la progresión:

÷÷ 3 : 6 : 12 : ... Calcular la suma de los 10 primeros términos.

a) 3 069 b) 3 072 c) 3 000

d) 2 692 e) 2 962

17. Calcular la suma límite:

24.El cociente entre el cuarto término y el primero de una P.G. es igual a 8 y su suma es 45. Calcule los términos entre ellos.

1

S = 4 + 1 +

4 1

+

(7)

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

17

a)

2 16

d)

3

16

b)

9 15

e)

2

15

c)

4

(8)

a) 5 b) 6 c) 2

d) 4 e) 3

Autoevaluación

1. Hallar el término de lugar 12 de la siguiente P.G.:

3

a)

2

5

2

b)

3

4

c)

5

1

; 1 ; 1

128 24 32

d)

4

4. Calcular:

e)

8

a) 4 b) 16 c) 8

d) 12 e) 24

2. Calcular la suma de:

1

S =

5 +

1

20 +

1

80 +

1

320 + ... 

1

; - 1 ; 1 ; - 1 ; ... _a) 8 _b) 8 _c) 2

9

a)

15

12

3 12 48

1

b)

4

3

192

c) 1

15

4

d)

15

35 15

8

e)

92

d)

15 e) 8 5. Hallar “x” en la P.G. creciente:_{(x + 1); 3x; (5x + 2)}

3. Hallar la cantidad que se debe restar a cada término de:

110; 90; 60