Clase06(AutómatasPila).pps

Autómatas de Pila y

Lenguajes Libres del Contexto

Motivación

-¿Es posible diseñar un AF que reconozca el lenguaje L₁? L₁ = { an _bn _{/ n > 0 }}

-¿Es posible diseñar un AF que reconozca el lenguaje L₂?

L₂ = { x / x  { (, ) }* _{y x es una cadena con paréntesis balanceados }}

( ( ( ( ) ) ) ) ( ) ( ( ) )

Es necesario agregar algo a los AF para incrementar su poder computacional

Memoria auxiliar que funciona como una Pila

Autómatas de Pila

tope

Símbolo de pila vacía

Autómatas de Pila

Dado un lenguaje L, libre del contexto, definido sobre un alfabeto A y una cadena x arbitraria, determinar si x  L o x  L.

AUTOMATA DE PILA

Cadena x SI

NO

Lenguaje Libre del Contexto

• Dos puntos de vista:

 Como dispositivo reconocedorreconocedor de la pertenencia de una cadena a un lenguaje libre del contexto.

Autómatas de Pila Reconocedores

Estados del AP:

 Cantidad finita.

 Un estado inicial.

 Al menos un estado final o de aceptación.

Dada una cadena x en la cinta de entrada, si el AP:

 termina en un estado finalestado final

 cadena aceptadacadena aceptada

 termina en un estado no finalestado no final

 cadena rechazadacadena rechazada e₀ e₁ e₂ e₃ e₄ e₅

mecanismo de control

cinta de entrada (contiene cadena a ser leída)

cabeza lectora (se mueve a derecha o no se mueve)

indicador de estado

a b c d …

Z0 B A

Uso de la pila

L

= { a

_b

_{/ n > 0 }}

a a b b …

Z0

1)

Z0 A

a a b b …

2)

Z0 A A

a a b b …

3)

Z0 A

a a b b …

4)

Z0

a a b b …

5)

Si la cantidad de a´s es igual

a la cantidad de b´s se llega al final de

la cadena con Z

en la pila

Autómatas de Pila Reconocedores

Formalmente, un AP reconocedor determinístico (APD) se define como una 7-upla

APD = <E, A, P, , e_i, F, Z₀>

 E es un conjunto finito de estados; E  

 _{A es el alfabeto de entrada}

 _{ es la función de transición de estados}

: E x ( A  {



 e_i es el estado inicial; e_i  E

 _{F es el conjunto de estados finales o de aceptación; F  E}  P es el alfabeto de la pila

 Z₀ símbolo distinguido de la Pila Z₀  P

A



P =



e

e

Autómatas de Pila Reconocedores

  es la función de transición de estados

: E x ( A  {



1)



(e

, a, X) = (e

,







(e

,



, X) = (e

,



donde a  A; X  P;



i , ek  E

Importante:

Si existe transición de tipo (2), sólo se garantiza que AP es determinístico si

s: s  A, ( e_i, s, X) no está definida

e

e

a, X /



e

e

Autómatas de Pila Reconocedores

Transición de Tipo 1



(e

, a, X) = (e

,



_e

j

e

a, X /



Estado actual

Símbolo por leer en cinta de entrada Tope de la Pila

Nuevo estado

Acción sobre la Pila

Si ZYX deja X, apila Y, apila Z (Nuevo tope Z)

Si XX deja X, apila X (Nuevo tope X)

Si X deja X (No altera la Pila)

Si  elimina X (Desapila)

Autómatas de Pila Reconocedores

Descripción instantánea

Una configuración de un AP es una tripla

<

e

,

a





x



con (1) lee el símbolo a y reemplaza el tope X por



donde a  A;  A*; X  P;   P*; e_i ,e_j  E

con (2), no lee el símbolo a y reemplaza el tope X por



<

e

,

a

,

X

 

<

e

,

a



X

 

estado actual

a símbolo a leer, w resto cadena cinta X tope,  cadena debajo tope

ei

ej

a, X /



(1)

ei

ej



, X /



(2)

(1)

|



_{< e}

_,



_,





< e

, a



,





Autómatas de Pila Reconocedores

Cadena aceptada por AP

Una cadena   A* es aceptada por AP = <E, A , P,  e

0, Z0, F> sí y sólo sí

< e

,



, Z



|



< e

,







El AP, comienza en el estado e₀, con pila vacía, y luego de leer toda la cadena





Los lenguajes aceptados por los Autómatas de Pila se denominan Autómatas de Pila Lenguajes Libres (Independientes) del Contexto

L = { a

b

/ n > 0 }

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A /



b,A /



e



, Z

/ Z

APD=<{e

,e

,e

,e

},{a,b}, {A,Z

},



, e

, Z

, {e

}>

L = { a

b

/ n > 0 }

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A / A

e



, Z

/ Z

APD=<{e₀,e₁,e₂,e_3,e₄}, {a,b}, {A,Z₀}, , e₀, Z₀, {e₄}>

e

b,A /



b,A / A

e

a,Z

/ AAZ

e

a,A / AAA

e

b,A /



APD=<{e

,e

,e

,e

}, {a, b}, {A, Z

},



, e

, Z

, {e

}>

b,A /



e



, Z

/ Z

Otra forma

Autómatas de Pila

Teorema:

Los APND tienen mayor poder de reconocimiento que los APD.

Es decir, hay lenguajes libres del contexto que pueden ser

reconocidos por un APND pero no por un APD.

Autómatas de Pila Reconocedores

Autómata de pila no determinístico

APND= <E, A , P, , e₀, Z₀, F>, donde las componentes E, A, P, e₀, Z₀, F se definen como antes, y la función de transición  se define como

: E x (A  {}) x P  P_f( E x P*_{) P}

f denota los subconjuntos finitos de E x P

*

1) ( e_i ,a, X) = {(e_j,₁), (e_k, ₂), .... } 2) ( e_i ,, X) = {(e_j,₁), (e_k, ₂), .... }

donde a  A, X  P,

₁, ₂  P*_{, e}

Autómata de Pila de No Determinístico

APND= <E, A , P, , e₀, Z₀, F>, siendo  no determinística definida como:

: E x (A  {}) x P  P_f( E x P *) P_f denota los subconjuntos finitos de E x P*

1) ( e_i ,a, X) = {(e_j, ₁), (e_k, ₂), .... }

2) ( e_i ,, X) = {(e_n,₁), (e_m, ₂),… }

donde a  A, X  P, ₁, ₂, ₁, ₂  P* _{y e}

i, ej, ek, en, em  E

e_i ej

a, X / _

a, X / _ ek

3) Combinadas (1) y (2)

Si lee a, con tope X

dos caminos

Si no lee cinta con tope X dos caminos

Si lee a, y tope X un camino Si no lee a, y tope X otro camino

CASOS DE NO DETERMINISMO

e_i en

, X / _

, X / _ em

e_i ej

a, X / _

Ejemplo: Lenguaje libre del contexto determinístico

L = { w c w

/ w



{a,b}* }

e

a,A / AA

b,B/



e



, Z

/ Z

Ejemplos de

cadenas

c

abcba

abbcbba

…

e

a,Z

/ AZ

b,Z

/ BZ

b,A / BA

a,B / AB

b,B / BB

e

c,A / A

c,B / B

a,A /



APD=<{e

,e

,e

,e

}, {a,b,c}, {A,B, Z

},



, e

, Z

, {e

}>

Ejemplo: Lenguaje libre del contexto no determinístico

L = { w w

/ w



{a,b}* }

a,A / AA

_b,B/

_

e



, Z

/ Z

Ejemplos de

cadenas



abba

abbbba

…

e

a,Z

/ AZ

b,Z

/ BZ

b,A / BA

a,B / AB

b,B / BB

e

a,A /



b,B /



a,A /



APND = <{e

,e

,e

,e

}, {a, b}, {A, B, Z

},



, e

, Z

, {e

,

e

}>

Para este lenguaje no existe una solución con AP determinístico

Análisis del Lenguaje

• Si el lenguaje es libre del contexto no

determinístico hacer APND

• Si el lenguaje es libre del contexto

determinístico hacer APD (fijarse si agregaron

transiciones que generan no determinismo y

Uso de la pila (CASO MENOR

n < i

)

L = { a

b

/ n ≥ 0 y n < i}

Z0 A A A

n

_i

i>n

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A /



e

b, Z

/ Z

b,A /



_b,Z

0

/ Z

b,Z

/ Z

APD = <{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, , e₀, Z₀, {e₃} >

Ej. de cadenas

bbb

aabbb

abb

…



Desapila igual cantidad

Uso de la pila (CASO MENOR IGUAL n ≤ i)

L = { a

b

/ n≥0 y n ≤ i}

Z0 A A A

n

_i

i

≥

n

e

a,Z

/ AZ

a,A / AA

e

b,A /



e



, Z

/ Z

b,A /



b,Z

/ Z

b,Z

_{/ Z}

e

APD = <{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, , e₀, Z₀, {e_0, e₃} >

Ej. de cadenas

Uso de la pila (CASO MAYOR n>i)

L = { a

b

/ i≥0 y n > i}

Si n>i tiene que llegar

a leer toda la cadena

y quedar A´s en la pila

Z0 A A A

n

i

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A /



e



, A / A

b, A /



APD = <{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, , e₀, Z₀, {e_1, e₃}>

Ej. de cadenas

a

aaaa

aaabb

aaaab

…

Uso de la pila (CASO MAYOR IGUAL

n ≥ i

)

L = { a

b

/ i ≥ 0 y n ≥ i}

e

a,Z

/ AZ

e

b,A /



e

a,A / AA

_{b,A /}

_

Ej. de cadenas



aaa

aab

aabb

aaaabb

…

A A Z0

A

n

i

=

<

APD = <{e₀,e₁,e₂}, {a, b}, {A, Z₀}, , e₀, Z₀, {e₀ ,e₁ ,e₂} >

Autómatas de Pila Traductores

Formalmente, un AP traductor (APT) se define como una 9-tupla

AP

= <E, A, P,



, S>



S es el alfabeto de salida





es la función de traducción;



: E x ( A



{



}) x P



S

donde E, A , P, , e₀, Z₀, F se definen como antes y se agregan dos componentes

 está definida siempre que  está definida.

Si existe (e_j, a, X) =( e_k,) y además (e_j, a, X) = t

donde e_j, e_k  E; a  A; X  P;   P*; t  S*

e

e

Autómatas de Pila Traductores

Función de traducción para cadenas

El autómata sólo define la traducción, si el autómata AP subyacente “acepta” la cadena.

Es decir, la traducción T(



): A*



S* asociada a AP

está

definida como:

Ejemplo

L = { a

b

/ n > 0 }

e

e

a,A / AA,

111

e

b,A /











b,A /







e



, Z

/ Z

,



AP=<{e

,e

,e

,e

}, {a,b}, {A,Z

},



, e

, Z

, {e

},

, {1}

>