Formas modulares con aplicaciones a formas cuadráticas

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Formas Modulares con Aplicaciones a Formas Cuadr´

aticas

Juanita Duque Rosero

Asesor: Guillermo Mantilla-Soler

Una tesis presentada al Departamento de Matem´

aticas,

para el grado de pregrado en matem´

aticas

Universidad de los Andes

Bogot´

a, Colombia

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Introducci´

on

Los polinomios son elementos bastante importantes para el álgebra y para las matemáticas en general. Encontrar ra´ıces de polinomios no es sencillo, por ejemplo, Galois demostró que no existe una solución general en radicales para una ecuación polinomial de grado 5. Por su parte, para la teor´ıa de números solucionar estas ecuaciones también es un tema interesante. Es análisis diofántico el nombre de la teor´ıa de encontrar ra´ıces enteras de polinomios sobre_Z[x] igualados a 0. El nombre es en honor al matemático Diofanto, quien vivió aproximadamente en el siglo III d.c. Gran parte de su producción cient´ıfica fue acerca del tema. Él no fue el único matemático en trabajar en el tema y por ello la teor´ıa ha tenido un gran desarrollo.

La búsqueda de soluciones ha beneficiado en gran medida a la teor´ıa matemática. Se han logrado mu-chos avances y nuevas teor´ıas en el proceso. Basta pensar en el popular último Teorema de Fermat, una afirmación conjeturada por Fermat en 1637 cuya demostración llegó sólo hasta 1995, a manos del matemático británico Andrew Wiles. Fermat afirmó que la ecuación

xn+yn=zn

no tiene soluciones enteras no triviales para n≥3. Como es conocido, él esccribió en el margen de un libro: “Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla”. Sin embargo, dicha demostración no fue encontrada y durante siglos varios matemáticos intentaron probar el teorema. Con ello, se desarrollaron varios conceptos importantes en la teor´ıa algebraica de números, la geometr´ıa aritmética y la teor´ıa de representaciones de Galois. Además, surgió una nueva teor´ıa matemática cono-cida como la teor´ıa de la modularidad.

Al igual que Fermat, varios matemáticos se ocuparon en algún momento de responder preguntas so-bre este tema. Una aproximación inicial fue encontrar todos los puntos enteros en la rectay=mx+b

conm, b∈_Z. Bézout, un matemático francés que vivió entre 1730 y 1773, probó un lema que solucionó el problema para este tipo de ecuaciones. El lema fue llamado después Lema de Bézout y afirma que sia

ybson números enteros diferentes de cero con máximo común divisord, existen enterosxey tales que:

ax+by=d.

Dado que las ecuaciones Diofánticas lineales están completamente resueltas gracias a Bézout, el siguiente caso natural son las de grado dos. El objetivo fue entonces encontrar enteros que son el resultado de evaluar enZpolinomios sobre los enteros. Por ejemplo, Fermat demostró en 1640 que los primos que se escriben como

x2+y2

son los congruentes a 1 módulo 4 [Cox13, Teo 1.2, Pg 8]. El análogo para tres variables fue probado por Legendre, quien demostró que todo número entero positivo se puede expresar como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4s(8k+ 7). Este teorema se demostrará en el cap´ıtulo cuatro. Por último, para la suma de cuatro cuadrados, el resultado es mucho más complejo. Lagrange demostró que todo entero positivo se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados. Este teorema es conocido como elTeorema de los Cuatro Cuadrados de Lagrangey será de espacial interés en este documento. Se demostrará de dos formas distintas, una en el cap´ıtulo cuatro y otra en el cinco.

De lo anterior, es posible notar que acercamiento razonable a encontrar soluciones a ecuaciones diof´ anti-cas de grado dos es entonces asumir que los polinomios son homogéneos. Esta teor´ıa fue formalizada por Lagrange y Gauss pero incluso antes ya se hab´ıan probado cosas al respecto. El mismo Fermat ya hab´ıa hecho sus aportes respecto a polinomios as´ı. Los polinomios homogéneos de grado 2 son llamados formas cuadráticas, se pueden definir como polinomios sobre cualquier anillo con unidad. Sin embargo, en este documento se estudiará la teor´ıa únicamente para formas sobre los enteros. En el primer cap´ıtulo se trataran formas cuadráticas en dos variables, el tema que empezaron estudiando Lagrange y Gauss. Aqu´ı es importante la noción de equivalencia entre formas cuadráticas y de grupos de clases de ideales

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introducida por Gauss con resultados realmente impresionantes. Es más, algunas preguntas y generali-zaciones que quedaron después de que Gauss expusiera su teor´ıa solo pudieron ser resueltas hasta finales del siglo XX. Posteriormente, se generalizarán los conceptos a formas cuadráticas en más variables.

Para conocer mejor un conjunto, una estrategia puede ser hacer que un grupo actúe sobre él. Para formas cuadráticas binarias se puede definir una acción del grupoSL2(Z) sobre ellas. Un resultado im-presionante que se le debe a Gauss es que las clases de equivalencia dadas por la acción pueden ser dotadas de estructura de grupo Abeliano finito. Es por esto que el segundo cap´ıtulo se estudiará mejor al grupoSL2(Z). Se mostrará una acción del grupo sobre el plano superior complejo. Esto se hará porque esta acción es esencial en la prueba de lo demostrado por Gauss y además será usada en el último cap´ıtu-lo. Aqu´ı también se presentará una demostración geométrica de queSL2(Z) es finitamente generado. La prueba se basa también en la acción del grupo sobre el plano superior complejo y en algunas propiedades de este último.

Para formas cuadráticas en más variables surge el tema central de este proyecto, un tipo especial de formas cuadráticas. Como en el Teorema de los Cuatro Cuadrados de Lagrange, existen más formas cuadráticas con las que se puede escribir todos los enteros positivos, estas serán llamadas universales. Un problema entonces será decidir cuándo una forma cuadrática dada es universal. La solución para un subconjunto de ella (de matriz de Gram entera) fue dada por Conway y Schneeberger en 1993 y resulta ser bastante más sencilla de lo esperado. Este resultado fue denominado elTeorema de los 15 ya que afirma que una forma cuadrática es universal si y solo si los números del uno al quince pueden ser escritos evaluando dicha forma en tuplas de enteros. La demostración del teorema no fue publicada por sus autores y fue Manjul Bhargava en 2000 quién dio una prueba formal. La demostración se basa en la biyección que existe entre formas cuadráticas enteras y ret´ıculos con producto interno entero. Es por esto que en el tercer cap´ıtulo se introduce el concepto de ret´ıculo con producto interno entero y se explican la biyección y algunas propiedades. Por otra parte, en el cap´ıtulo cuatro se presenta la demostración de Bhargava del Teorema de los 15.

Si se considera las formas cuadráticas por fuera del conjunto descrito anteriormente, Conway y Sch-neeberger también conjeturaron un teorema similar conocido como el Teorema de los 290, en el que otra vez su nombre es bastante diciente. La demostración de dicho teorema no ha sido publicada hasta ahora ya que requiere se basa en un algoritmo que aún no se han podido implementar. Además existen otras generalizaciones que se concentran en ver qué condiciones son necesarias para comprobar lo mismo para subconjuntos de los enteros positivos. El resultado más representativo al respecto también está dado por Bhargava quién demostró que para toda forma cuadrática y todo conjunto de enteros existe un subconjunto finito tal que es suficiente demostrar que todo entero de ese subconjunto puede ser escrito evaluando la forma cuadrática en una tupla espec´ıfica para que todo entero en el conjunto pueda ser escrito de esa forma.

Como ya se explic´o antes, un resultado bastante popular relacionado con formas cuadr´aticas es que la forma

x2+y2+z2+w2

es universal (Cuatro Cuadrados de Lagrange). Esto es un corolario del Teorema de los 15. Sin embargo, no sólo interesa probar que todo entero positivo se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados sino también contar las formas distintas de hacerlo. Una solución fue dada por Jacobi en 1834. En el presente documento se mostrará una demostración usando técnicas de formas modulares.

La teor´ıa de formas modulares es bastante interesante por s´ı misma, además del Teorema de Jacobi, es posible demostrar muchos hechos importantes por medio de la misma. Para dar solo una idea, se pue-de mostrar elTeorema de Modularidad, que es el paso que completó la demostración del último teorema de Fermat. El teorema afirma, en su versión más general, que toda curva el´ıptica viene de una forma modular. Es por eso que en el último cap´ıtulo se hará una introducción a la teor´ıa de formas modulares y también se dará la demostración del Teorema de los Cuatro Cuadrados de Jacobi.

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Notaci´

on y Convenciones

Las letras N, Z, Q, R y C se reservan ´unicamente para los naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

GL2(Z) es el conjunto de matrices invertibles 2×2 con entradas en los enteros.

SL2(Z) es el subconjunto de GL2(Z) de matrices con determinante 1.

γ ser´a una matriz

a b c d

∈SL2(Z)

psiempre ser´a un n´umero primo.

Hes el plano superior complejo, los n´umeros complejos con parte imaginaria positiva.

τ ser´a un elemento enH.

q ser´a e2πiτ_.

Si Res un anillo,R∗ ser´an sus unidades.

Si Ges un grupo yU un subconjunto,hUiser´a el subgrupo generado porU.

xser´a la tupla (x1, . . . , xn), lo mismo parav,myα.

Si M es una matriz,Mt_ser´_{a su transpuesta.}

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´

_Indice

1. Formas cuadr´aticas sobre los enteros 1

1.1. Formas cuadr´aticas binarias . . . 1

1.2. Generalizaci´on a m´as variables . . . 5

2. La acci´on del grupo modular 10 2.1. Finitud del n´umero de clases . . . 12

3. Ret´ıculos 15 3.1. Ret´ıculos con producto interno entero . . . 16

3.2. Ret´ıculos y formas cuadr´aticas . . . 16

4. Formas cuadr´aticas universales 19 4.1. Teorema de los 15 . . . 19

5. Formas modulares 27 5.1. Formas modulares para sub-grupos de congruencia . . . 28

5.2. Series de Eisenstein. . . 31

5.3. Funciones Teta . . . 35

5.4. Formas modulares de peso 2 sobre Γ0(4) . . . 39

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1 FORMAS CUADR ´ATICAS SOBRE LOS ENTEROS

1. Formas cuadr´

aticas sobre los enteros

En este cap´ıtulo se presentará una introducción a la teor´ıa de formas cuadráticas sobre los enteros. Una

forma cuadrática definida sobre Z es un polinomio f(x1, . . . , xn) ∈ Z[x], homogéneo y de grado 2. Diremos quef(x1, . . . , xn)representa a un enterom si existem∈Zn tal quef(m) =m. Además es

definida positivasi todos los enteros que representa son positivos. En este documento sólo se estudiarán formas cuadráticas definidas positivas, as´ı que por forma cuadrática se referirá a forma cuadrática definida positiva, a menos que se indique lo contrario.

1.1. Formas cuadr´

aticas binarias

Lagrange y Gauss fueron pioneros en el trabajo con formas cuadráticas. Ambos se concentraron en el estudio de polinomios homogéneos en dos variables, es decir, de la formaax2+bxy+cy2. De dichos poli-nomios surgen la mayor´ıa de conceptos y preguntas relacionadas con formas cuadráticas en general. Por ello, resulta interesante iniciar entendiendo lo que ocurre con formas cuadráticas binarias. Esta sección se concentrará en ello.

Una forma cuadr´atica en dos variables es una forma cuadr´atica binaria. Como se dijo, estas son polinomios de la forma

f(x, y) =ax2+bxy+cy2.

Eldiscriminantedef(x, y) se define comoD=b2₋₄_ac_y_f₍_{x, y}_{) ser´}_a_primitiva_{si m.c.d. (}_{a, b, c}_{) = 1.}

Como notaci´on, la formaf(x, y) =ax2₊_bxy₊_cy2_{se representar´}_{a algunas veces como}_f _{= (}_{a, b, c}_).

Ejemplo 1.1. Un ejemplo bastante com´un de una forma cuadr´atica binaria, definida positiva y primitiva es:

f(x, y) =x2+y2

Uno de los primeros problemas que resulta interesante es dada una forma cuadrática, encontrar qué enteros representa. Esta pregunta se puede reducir a encontrar los primos representados por dicha forma gracias a la composición de formas cuadráticas que se presentará más adelante. Por ejemplo, Fermat estudió la forma presentada en el ejemplo anterior y conjeturó que representa a todos los primos con-gruentes a uno módulo cuatro. Más adelante, Euler logró realizar una demostración de dicho teorema. La prueba utiliza un argumento que puede demostrarse fácilmente por medio del uso de la teor´ıa de formas cuadráticas. Esto se puede encontrar en [Cox13, Teo. 1.2, Pg. 10].

Por otra parte, es posible definir una acci´on del grupo GL2(Z) sobre las formas cuadr´aticas binarias de la siguiente forma.

Dadasf(x, y) forma cuadr´atica y A=

r s t u

∈GL2(Z),

fA(x, y) :=f(rx+sy, tx+uy). (1.1)

f(x, y) yg(x, y) ser´anequivalentessi existeA∈GL2(Z) tal quefA(x, y) =g(x, y).

Ejemplo 1.2. Dos formas cuadr´aticas equivalentes son

f = (3,−6,18) y g= (2,2,3)

debido a que

gA(x, y) =g(2x−y,−x+y) =f(x, y) con A=

2 −1 −1 1

Como se dijo antes, una de las principales preguntas es ver qué enteros representa una forma cuadrática dada. La siguiente proposición está encaminada a demostrar que para responder a dicha pregunta (y a algunas más), es posible considerar formas cuadráticas equivalentes sin cambiar la respuesta.

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1.1 Formas cuadr´aticas binarias 1 FORMAS CUADR ´ATICAS SOBRE LOS ENTEROS

(i) f(x, y)y g(x, y)tienen el mismo discriminante,

(ii) f(x, y)y g(x, y) representan a los mismos n´umeros,

(iii) f(x, y)es primitiva si y solo si g(x, y)lo es.

Demostración. Existe una biyección entre formas cuadráticas y matrices enteras con entradas diagonales pares. Es decir, matrices con entradas en 1₂_Z Dadaf(x, y) =ax2₊_bxy₊_cy2_{, la matriz asociada ser´}_a

B=

a b₂

b

2 c

ya que

f(x, y) = (x, y)

a b₂

b

2 c

x y

.

Esto es quef(x, y) =xBxten donde x= (x, y). M´as adelante, esta matriz ser´a denominada matriz de Gram asociada a la formaf(x, y). Por ahora, lo importante es notar que el determinante de la matriz es

ac−b2

4 =−

D

4. Adem´as, que f yg sean equivalentes es que existeA∈GL2(Z) tal que

g(x, y) =fA(x, y) = (Axt)tB(Axt) =x(AtBA)xt.

Pero el determinante de At_BA _{es el producto de los determinantes. Adem´}_{as como} _A _∈ _GL2₍ Z), det(At_{) = det(}_A_{) =} _{±1 y por tanto el determinante de} _At_BA _{es el determinante de} _B_{. As´ı el} dis-criminante deg es el mismo def, de donde se sigue (i).

Por otra parte, toda forma cuadrática define una función de Z2 en Z por medio de la evaluación en la forma. De ah´ı se tiene el siguiente diagrama conmutativo:

Z2

Z

Z2

A ∼=

g

f

Como A ∈SL2(Z), es invertible, entonces existe un automorfismo de Z2 dado por A. Es as´ı como las im´agenes son iguales y las formas representan los mismos n´umeros, (ii).

Para la parte (iii) se probará algo mucho más general: si d y d0 son el máximo común divisor de los coeficientes def(x, y) yg(x, y), entoncesd=d0. Sides el máximo común divisor de los coeficientes de

f(x, y) ymes un entero representado por f(x, y),ddivide am. Igual ocurre cond0, el máximo común divisor de los coeficientes deg, que divide a los enteros representados porg. Sin embargo, se mostró que

f ygrepresentan a los mismos enteros. Por lo tandod|d0 yd0|d, necesariamented=d0.

Proposici´on 1.4. La equivalencia en formas binarias es una relaci´on de equivalencia.

Demostraci´on. La relaci´on es reflexiva porque fI = f, con I la matriz identidad. Si fA = g con

A ∈ GL2(Z), entonces A es invertible con inversa tambi´en en GL2(Z). Sea B la matriz asociada a

f, se tiene:

gA−1(x, y) =x((A−1)tAtBAA−1)xt=x((AA−1)tB(AA−1))xt=xBxt=f(x, y)

por ello, la relaci´on es sim´etrica. En tercer lugar, sifA₌_g_,_gC₌_h_y_B _{sigue siendo la matriz asociada} af(x, y),

g(x, y) =xAtBAxt

h(x, y) =gC(x, y) =x(AC)tB(AC)xt=fAC(x, y)

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Por lo anterior, para estudiar formas cuadráticas basta trabajar con clases de equivalencia bajo la acción de GL2(Z). Se dirá que la equivalencia es propia cuando la matriz tiene determinante uno, esto es, la misma relación denfinida anteriormente pero restringida al subgrupo SL2(Z). En general se quiere trabajar con equivalencia propia y más adelante se va a ver por qué.

Definici´on 1.5. Una forma cuadr´aticaf = (a, b, c) esreducida si

|b| ≤a≤c.

Un resultado importante es que toda forma definida positiva es propiamente equivalente a una única forma reducida. La demostración se puede ver en [Bue89, Teo 2.3, Pg. 14]. La prueba da un algor´ıtmo para encontrar la forma reducida. Por ello, en lugar de escribir la demostración se expondrá un ejemplo de cómo funciona el algor´ıtmo.

Ejemplo1.6. Se toma la forma cuadr´aticaf = (1,2,3), que no es reducida porque 2>1. El discriminante def en este caso es -8. En primer lugar se toma un enteroδtal que | −2 + 2·3·δ| ≤ |3|. As´ıδ= 0. Se define

Aδ=

0 −1 1 δ

y de ah´ı

fA0=f(−y, x+δy) = (3,−2 + 6δ,1−2δ+ 3δ2) = (3,−2,1),

una forma propiamente equivalente que a´un no es reducida. Se vuelve a hacer lo mismo,δdebe ser tal que|2 + 2·1·δ| ≤ |1|y por tanto δ=−1, entonces

(3,−2,1)A−1 _{= (1}_,₀_,₂₎_,

que es una forma de discriminante -8 propiamente equivalente a la primera y reducida.

Se verá más adelante que algo importante de este concepto es que con la excepción de (a, b, a)∼(a,−b, a) y (a, a, c)∼(a,−a, c), ningún par de formas reducidas es equivalente [Bue89, Teo 2.4, Pg. 15].

Con esto en mente, dado D < 0 se define h(D) como el número de clases, ésto es, el número de formas reducidas de discriminanteD. Si se tiene una formaf = (a, b, c) reducida, entonces

4b2≤4ac=b2−D y de ah´ı |b| ≤ r

−D

3 .

Teorema 1.7. Para todoD <0,h(D)es finito.

Demostración. Se realizarán dos demostraciones, la primera es algor´ıtmica, la segunda es más algebraica y se puede generalizar a formas denvariables. En primer lugar se vio que toda forma de discriminanteD

debe cumplir que|b| ≤p

−D/3. Comobadem´as es entero, existen finitosbque satisfacen la desigualdad. Adem´as 4ac=b2₋_D_{, pero otra vez}_a_y_c_{deben ser enteros y as´ı dado}_b_{, existen finitas posibilidades de}

parejasa, c. En conclusi´onh(D) debe ser finito.

Ejemplo 1.8. Parah(−3), se tiene queD=−3 y toda forma reducidaf = (a, b, c) de ese discriminante debe cumplir que |b| ≤1. Entonces existen tan solo tres posibilidades para b: 0 y ±1. Sib = 0, D ≡0 (m´od 4) y por tanto no puede ser -3, entonces esto no puede ocurrir. Si b= 1, 1−4ac=−3, de donde se sigue quea=c=±1. Sin embargo,ano puede ser negativo porque 1 =|b| ≤a, entonces se descarta el casoa=c=−1. Es as´ı como el ´unico caso posible en el quea=c= 1 y se tiene la forma reducida:

x2+xy+y2.

En conclusi´on,h(−3) = 1.

Existe una demostración que involucra métodos geométricos y se puede generalizar a más variables. Dicha demostración será presentada en el cap´ıtulo dos.

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Observaci´on 1.9. Una forma cuadr´atica (a, b, c) es definida positiva si y solo sia >0 y D <0.

Esto ocurre porque mediante el criterio de Sylvester (se explica en la próxima sección), la matriz asociada a una forma es definida positiva si y solo sia >0 y su determinante también es positivo. El determinante

esac−b

2

4 =−

D

4 y que sea mayor que 0 implica queD <0.

Por esta razón es que en los teoremas sólo era necesario considerar el caso deD <0 ya que, como se dijo al principio, sólo se trabaja con formas definidas positivas.

Si se tienen dos formas del mismo discriminante, tales que una representa a un entero m y otra a un enteron, es una pregunta válida la de si se puede encontrar una forma cuadrática que represente al producto. De ésto se encargaron Gauss y Dirichlet.

Definición 1.10. Si f(x, y) yg(x, y) son formas primitivas de discriminanteD, entonces su composi-ción será una forma cuadráticaF(x, y) con las mismas caracter´ısticas de las anteriores tal que

f(x, y)g(z, w) =F(B1(x, y;z, w), B2(x, y;z, w))

en donde

Bi(x, y;z, w) =aixz+bixw+ciyz+diyw, i= 1,2

Gauss y Dirichlet presentaron distintas maneras de componer formas cuadr´aticas. Los resultados pueden no ser propiamente equivalentes.

Ejemplo 1.11. Uno de los ejemplos m´as simples es tomar las formas:

f(x, y) =x2+y2 y g(z, w) =z2+w2,

f(x, y)g(z, w) = (xz+yw)2+ (xw−yz)2

y por tanto la composici´on se puede definir como

F(s, t) =s2+t2

Ejemplo 1.12. Se consideran las formas

f(x, y) = 2x2+ 2xy+ 3y2=g(x, y).

Su discriminante esD=−20 y adem´as

f(x, y)g(z, w) = (2xz+xw+yz+ 3yw)2+ 5(xw−yz)2.

Entonces se define la composici´on como

F(s, t) =s2+ 5t2,

que tambi´en se puede comprobar, tiene discriminanteD=−20.

Por otra parte,f(x, y) representa al 10 porquef(−1,2) = 10 yg(x, y) hace lo mismo con el 7,g(1,1) = 7. EntoncesF(s, t) deber´ıa representar al 70 y en efecto lo hace:

F(2·(−1)·1−1·1 + 2·1 + 3·2·1,−1·1−2·1) =F(5,−3) = 52_{+ 5}_·₍₋₃₎2_{= 70}

El resultado esencial de esta teor´ıa fue que, por ambos caminos, el conjunto de clases propiamente equivalentes de formas cuadráticas junto con la operación de componer resulta ser un grupo abeliano finito. Esto es, si las formas cuadráticas de discriminanteD se denotan porQD, entonces

#QD/SL2(Z)<∞.

El ´ındice deSL2(Z) sobreGL2(Z) es dos y por lo tanto #QD/GL2(Z) también es finito, sin embargo no se tiene una estructura de grupo. Por esta razón principalmente es que se consideran sólo equivalencias propias de formas cuadráticas.

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1.2 Generalización a más variables 1 FORMAS CUADR ÁTICAS SOBRE LOS ENTEROS

Gauss escribió estos resultados en su libro Disquisitiones Arithmeticae hacia 1798 y Dirichlet aproxi-madamente en 1850. El siguiente avance importante hecho en el tema se le debe a Bhargava, quien recientemente encontró nuevas reglas de composición. Empezó a trabajar y publicar en el tema en 2001 en su tesis doctoral y presentó cuatro escritos importantes desde ese año hasta 2008.

El conjunto de clases en la relación de equivalencia se escribe como C(D), el resultado dice que es un grupo y por tanto se lo denomina el grupo de clases. El número h(D) mostrado anteriormente es por tanto la cardinalidad de dicho grupo. Es claro que la propiedad de ser un grupo abeliano finito facilita mucho el estudio deC(D) y es por s´ı misma una teor´ıa bastante interesante. Para encontrar más al respecto se puede ver [Cox13, Cap. 3, Pg. 42-46] o [Bou05, Pg. 14-39].

1.2. Generalizaci´

on a m´

as variables

Como se dijo anteriormente, la teor´ıa de las formas cuadráticas empezó con formas cuadráticas binarias y se extendió a formas en más variables. Sin embargo, surgen nuevos conceptos interesantes. Uno de ellos, el que más interesa estudiar en este documento, es el de univesalidad. Esta sección se encarga de explicar las generalizaciones y el nuevo concepto.

Definición 1.13. Lamatriz de Gramasociada a una forma cuadráticaf(x) será la matriz simétrica

Atal que

f(x) =xBxt (1.2)

Es importante resaltar que las formas cuadráticas están un´ıvocamente determinadas por su matriz de Gram. El determinante de una forma cuadrática será el determinante de su matriz de Gram. Una forma cuadrática será no degenerada si el determinante de su matriz de Gram es distinto de 0. Esto es, si no existe una tupla de enteros no trivial que al ser evaluada en la forma sea igual a 0. Otra vez, interesará trabajar únicamente con formas no degeneradas.

Definición 1.14. Una forma cuadrática es entera si su matriz de Gram tiene únicamente valores enteros.

Estas formas cuadráticas serán de gran interés posteriormente. En el caso de formas cuadráticas binarias, la condición es únicamente que el coeficiente del término xy sea par. En n variables es que todos los coeficientes de los términos cruzados lo sean.

Un recurso importante para revisar si una forma cuadr´atica es definida positiva es el siguiente

Hecho 1.15. (Criterio de Sylvester)Una forma cuadr´atica con matriz de GramBes definida positiva si y solo si las siguientes matrices tienen determinante positivo:

{[Bij]|1≤i≤k, 1≤j ≤k}, para todo m∈ {1, . . . , n}.

Demostraci´on. Ver [Mey00, Sec 7.6, Pg. 558].

Al igual que con formas cuadráticas binarias, se puede definir la acción de GLn(Z) sobre las formas cuadráticas como: dadasA∈GLn(Z) yf(x) forma cuadrática con matriz de GramB,

fA(x) :=xAtBAxt.

Definici´on 1.16. Dos formas cuadr´aticas f ygsonequivalentessi existe una matrizAcon entradas enteras y determinante±1 tal quefA₌_g_.

Esta es la misma noción de equivalencia que se ten´ıa con las formas cuadráticas binarias. Igualmente se puede decir que dos formas son propiamente equivalentes si la matriz que las relaciona tiene determinante uno y por razones parecidas a las expuestas para formas binarias, interesará más tratar ´

unicamente con la relación de equivalencia propia. Al igual que con formas binarias, se tendrá una relación de equivalencia y finitas clases de equivalencia como se ve en lo que sigue.

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Hecho 1.17. La relaci´on definida anteriormente es una relaci´on de equivalencia.

La demostraci´on es igual a la mostrada para formas binarias, por lo tanto no se repitir´a.

Hecho 1.18. Existen finitas clases de equivalencia de formas cuadr´aticas del mismo determinante

Este teorema se demostrar´a en el segundo cap´ıtulo.

La relación que se probó en la sección anterior que afirma que si dos formas son equivalentes estas tienen el mismo discriminante, representan los mismos números y son primitivas si y solo si la otra lo es también se sigue en este contexto. La demostración, otra vez, es la misma que se hizo antes.

Definici´on 1.19. Una forma cuadr´atica esuniversal si representa a todos los enteros positivos.

Observación 1.20. En las formas cuadráticas binarias no se definió forma cuadrática universal dado que no existen formas binarias universales. De hecho, tampoco existen formas universales en tres variables. Se dará una demostración de este hecho en el cuarto cap´ıtulo. Es por ello que uno de los ejemplos más populares de una forma cuadrática universal es el siguiente.

Ejemplo 1.21. El polinomio

x2+y2+z2+w2

es una forma cuadrática universal. Este es el Teorema de los Cuatro Cuadrados de Lagrange, que también se estudiará más adelante.

Por otra parte, recordando el Ejemplo1.1, se vio que la forma cuadrática x2+y2 es definida positiva porque todo número real elevado al cuadrado lo es y los enteros son subconjunto de los reales. De ah´ı se puede pensar que revisar propiedades de formas cuadráticas sobre anillos relacionados con los enteros puede llegar a ser útil en algunas ocasiones. En este orden de ideas se introducirá el concepto de enteros

p-´adicos para corroborar dicha idea.

As´ı como los números reales son la completación de los racionales con la normad(x, y) =|x−y| (que aqu´ı será llamada la norma infinito), los racionalesp-ádicos son la completación de_Qcon la norma

dp(x, y) = 1

pk

en dondekes la potencia exacta depque aparece en la descomposición en primos dex−y. También se dirá que parap=∞, los p-ádicos serán simplementeR. As´ı, losenteros p-ádicosserán los racionales

p-´adicos que tienen norma menor o igual a uno.

Existen varias formas de definir los enteros p-ádicos, todas equivalentes. Una es la que se presentó anteriormente, pero también se pueden definir como el l´ımite inverso de_Z/pn

Zordenados bajo proyec-ción. Este conjunto será denotado como _Zp para todo pprimo y cuando se hable de pigual a infinito, estos serán los reales. Lo anterior únicamente porque es mucho más cómodo pensar infinito como otro primo.

Aunque usar números p-ádicos suele facilitar algunos argumentos, es mucho más sencillo trabajar con congruencias módulo un primo, es decir, en el cuerpo Z/pZ. Para ello es necesario el siguiente resultado y sus generalizaciones .

Hecho 1.22. (Lema de Hensel). Sif(x)∈_Zp[x]y si existe a∈_Zp tal que

f(a)≡0 (módp) y f0(a)6≡0 (módp), entonces existe un únicoα∈Zp tal que

f(α) = 0 y α≡a (m´odp).

(12)

Observación 1.23. En términos de la métrica deZp, este resultado es equivalente a que si

|f(a)|p<1 y |f0(a)|p= 1,

entonces existe un ´unicoα∈Zptal que f(α) = 0 y|α−a|p<1

Un resultado importante es que si pes un primo impar y u∈_Z∗

p, ues un cuadrado en Zp si y solo si su reducci´on m´odulo pes un cuadrado en (_Z/p_Z)∗. Esto se hace tomando el polinomio p(x) = x2₋_u

conuun entero no divisible porp. El polinomio cumple las hip´otesis del lema y por lo tanto se sigue el resultado.

Ejemplo 1.24. Usando lo anterior, 3 es un cuadrado enZ7porque (Z/7Z)∗∼=Z/6Zy 32≡3 (mód 6). El problema está cuando el primo es 2. Para ello se debe hacer una versión más fuerte del lema.

Teorema 1.25. (Lema de Hensel fuerte). Si f(x)∈Zp[x] y a∈Zp es tal que

|f(a)|p<|f0(a)|2

p,

entonces existe un ´unicoα∈Zp tal quef(α) = 0y |α−a|p<|f0(a)|p≤1

La demostración de este teorema es bastante similar a la de la versión más débil. Por otra parte, existe una demostración diferente que se basa en el Teorema del Punto Fijo de Banach.

Demostración. Si |f0(a)|p = 0, |f(a)|p = 0 y se sigue el resultado. Entonces se puede suponer que |f0(a)|p6= 0, lo que implica que |f0(a)|p≤1. El Teorema del Punto Fijo de Banach afirma que si (X, d) es un espacio métrico, no vac´ıo y completo y T :X →X es una contracción, entonces T tiene un único punto fijo. Se tomaX =B|f0₍_a₎_|_p(a), por hipótesis|f0(a)|p6= 0 y as´ıX es no vac´ıo. Es completo porque

Zp es la completaci´on deQ. Ahora se define la contracci´onT :X →X como

T(x) =x− f(x)

f0₍_a₎.

Usando el Teorema de Banach,T tiene un ´unico punto fijoα∈X. Esto implica quef(α) = 0 y adem´as |α−a|p<|f0(a)|p≤1.

De ah´ı se puede concluir queues un cuadrado en_Z2si y solo si su reducci´on m´odulo 8 es un cuadrado en

(_Z/8_Z)∗_{(que es equivalente a que su reducci´}_{on m´}_{odulo 8 sea 1 ya que el ´}_{unico cuadrado en (}

Z/8Z)∗es 1). Para polinomios en varias variables se puede hacer algo similar. Uno de los resultados m´as represen-tativos es el siguiente teorema.

Hecho 1.26. Si F(x)∈_Zp[x]y existena1, . . . , an enterosp-´adicos tales que para alg´un i∈ {0, . . . , n} y

parak entero no negativo,

F(a)≡0 (m´odp2k+1)

∂F ∂xi

(a)≡0 (m´odpk)

∂F ∂xi

(a)6≡0 (m´odpk+1),

entonces existen n´umeros p-´adicosα1, . . . , αn tales que

F(α) = 0

α1≡a1 (m´odpk+1), . . . , αn≡an (m´odpk+1).

Demostraci´on. Ver [BS66, Teo. 3, pg. 42].

(13)

Definici´on 1.27. Dos formas cuadr´aticasf ygsonequivalentes sobreZpsi existe una matrizAcon

entradas enZptal que su determinante sea una unidad enZp yfA=g. Es decir,f ygson equivalentes sobre_Zp si existeAp con coeficientes en Zpy det(Ap)∈Z∗p tal que

f(x) =g(Apx) (1.3)

Adem´as es posible definir un elemento que ayuda a demostrar propiedades localmente (sobre _Zp) para despu´es volverlas propiedades locales.

Definición 1.28. Dos formas cuadráticas pertenecen al mismogénerosi y solo si son equivalentes sobre Zp para todop(incluyendo infinito).

Ejemplo 1.29. Las formas cuadr´aticas

x2+ 55y2 y 5x2+ 11y2

est´an en el mismo g´enero pero no son equivalentes.

Las formas no son equivalentes dado que no representan los mismos n´umeros (la segunda representa al 11 pero la primera no). Sin embargo, las formas son iguales tomando m´oduloppara todop6= 5,11 ya que 5 y 11 son unidades en_Z/p_Z. Parap= 5 se tiene:

x2+ 55y2≡x2≡11y2≡5x2+ 11y2 (m´od 5).

Igualmente, parap= 11:

x2+ 55y2≡x2≡5y2≡5x2+ 11y2 (m´od 11).

Entonces las formas pertenecen al mismo g´enero.

Lema 1.30. Dos formas en el mismo g´enero tienen el mismo determinante

Demostración. Sif yg están en el mismo género, la Igualdad1.3implica que para todo primopexiste

Ap tal que:

det(f) = (det(Ap))2det(g).

Por lo tanto det(f)

det(g) es una unidad en Zp para todo primo p, pero los ´unicos n´umeros que cumplen eso son±1. Entonces det(f) =±det(g)

Si en particular se toma p = ∞, det(f)

det(g) = 1, lo que implica que el signo de los determinantes es el mismo.

Corolario 1.31. Existen finitas clases de equivalencia de formas cuadr´aticas en el mismo g´enero

Demostraci´on. Por el Hecho1.18existen finitas clases de equivalencia de formas cuadr´aticas con el mismo determinante, de lo cual se sigue inmediatamente el resultado.

Ejemplo 1.32. Se puede probar que el género de las formas presentadas en el Ejemplo1.29son las únicas formas no equivalentes en ese género. Se puede revisar cuántos elementos tiene el género de una forma por medio del programa Magma usando el código:

. M:=Matrix(IntegerRing(),2,2, [1,0,0,55]);

. L:=LatticeWithGram(M);

. G:=Genus(L);

. #G;

El resultado es 2. Como se probó que las formas no son equivalentes, deben ser las únicas no equi-valentes en su género.

(14)

Ahora se enunciará uno de los teoremas más importantes que conciernen a este documento. Lo esencial es el corolario que se presenta después.

Hecho 1.33. Si f es una forma cuadr´atica de determinante distinto de 0 y m un entero representado porf sobre_Ry todo_Zp parap|2dsin6= 2 op|2md sip= 2, entonces existe f∗ en el mismo g´enero de f tal quef∗ representa a m sobre_Z

Demostraci´on. Ver [Cas78, Teo 5.1, Pg. 129].

Ejemplo 1.34. Si se toman otra vez las dos formas del Ejemplo 1.29, se mostró ya que el número de clases en su género es 2. Una forma elaborada de demostrar que 11 debe ser representado por la forma 5x2_{+ 11}_y2_{es notar que}_x2_{+ 55}_y2 _{representa a 11 localmente para todo}_p_|2_·₅_·_{11. Por Lema de Hensel,}

parap= 2, se debe revisar m´odulo 8

x2+ 55y2−11≡x2+ 7y2+ 5 (m´od 8).

Una soluci´on esx= 2, y= 1.

Parap= 5,

x2+ 55y2−11≡x2+ 4 (m´od 5).

Pero 1 es soluci´on de dicha ecuaci´on y por lo tanto existenx, ytales quex2_{+ 55}_y2_{= 11 (m´}_{od 5), lo que}

implica que 11 es representado por la forma en_Z5. Por otra parte, si se tomap= 11, se hace lo mismo

que antes:

x2+ 55y2−11≡x2 (m´od 11)

cuya soluci´on es x= 0. Entonces x2_{+ 55}_y2 _{representa a 11 en}

Z11.

Adem´as (√11)2_{+ 55}_·₀2 _{= 11, entonces la forma representa a 11 en}

R. Sin embargo, x2+ 55y2 no puede representar a 11 ya que 11 no es un entero cuadrado y 55 > 11. Por lo tanto, otra forma no equivalente en el mismo género debe representar a 11, como sólo hay una única forma no equivalente, 5x2+ 11y2debe representar a 11 sobreZ.

Corolario 1.35. Sif es una forma cuadrática única en su género ymes un entero representado porf en todoZp parap|2d condel determinante def, entonces f representa a msobre Z.

Demostraci´on. Se sigue inmediatamente del teorema anterior.

Una de las consecuencias más importantes es que si una forma es única en su género que representa localmente a un entero para todo p, entonces lo representa globalmente. Es una propiedad bastante fuerte ya que muchas veces es más sencillo trabajar localmente para obtener propiedades globales gracias al Lema de Hensel.

(15)

2 LA ACCI ´ON DEL GRUPO MODULAR

2. La acci´

on del grupo modular

El plano superior complejo será una parte básica de este documento debido a que se definirá la acción de

SL2(Z) en este conjunto y esta acción será esencial para trabajar con algunos conceptos posteriormente. Uno de sus primeros usos será la demostración que quedó abierta del cap´ıtulo anterior de que el número de clases es finito.

Definici´on 2.1. El plano superior complejoes el conjuntoH ⊆Cdefinido por

H={z∈C|Im(z)>0}.

Definici´on 2.2. El grupo modulares

SL2(Z) ={γ∈M2(Z)|det(γ) = 1}.

Dos propiedades esenciales para el desarrollo de los temas presentados en este documento son que el grupo modular act´ua sobre el plano superior complejo y que es finitamente generado. Seguidamente se presentar´an las demostraciones de dichos hechos.

Se define la funci´on que va deSL2(Z)×Ca C∪ {∞}y est´a dada por:

γ(τ) =aτ +b

cτ+d, γ=

a b c d

∈SL2(_Z), τ ∈_C.

Dicha funci´on toma el valor de infinito cuandoτ =−d

c. Entonces, lo que en realidad se est´a definiendo

es una funci´onSL2(_Z)×_CP1_→

CP1 tal queγ[τ : 1] =γ(τ) siτ 6=−dc y [1 : 0] si lo es.

Se quiere probar que la anterior función restringida a H define una acción del grupo modilar. Para ello, es necesaria la siguiente propiedad, que también se usará varias veces más adelante.

Proposici´on 2.3. .

(i) Dados τ∈ Hy γ∈SL2(Z),

Im(γ(τ)) = Im(τ) |cτ+d|2.

(ii) La funci´on SL2(Z)× H → Hdefinida anteriormente es una acci´on deSL2(Z) enH.

Demostraci´on. Seanτ∈ Hyγ∈SL2(Z), entonces

2Im(γ(τ)) = aτ +b

cτ+d−

aτ+b cτ+d

=aτ +b

cτ+d− aτ+b cτ+d

= ac|τ|

2₊_bcτ₊_adτ ₊_bd₋_ac_|_τ_|2₋_adτ₋_bcτ₋_bd

|cτ+d|2

= bc(τ−τ) +ad(τ−τ) |cτ+d|2 =

2Im(τ)(ad−bc) |cτ+d|2

= 2Im(τ) |cτ+d|2.

(16)

2 LA ACCI ´ON DEL GRUPO MODULAR

Por otra parte,I(τ) =

1 0 0 1

τ= τ

1 =τ. Para terminar,

(γγ0)(τ) =

a b c d

a0 b0 c0 _d0

(τ)

= (aa

0₊_bc0₎_τ₊_ab0₊_bd0 (ca0₊_dc0₎_τ₊_cb0₊_dd0 =

aa0τ+ab0 c0_τ₊_d0 +b

ca0_τ₊_cb0

c0_τ₊_d0 +d

=

a b c d

a0τ+b0 c0_τ₊_d0

=γ(γ0(τ)).

Entonces se puede concluir que la funci´on define una acci´on del grupoSL2(Z) sobre el conjuntoH.

Es importante ver que el grupo modular es finitamente generado. Para probarlo se emplea el concepto de dominio fundamental. Si Γ ac´ua sobreH, un cerradoF deH, es undominio fundamentalpara Γ si para todoτ∈ Hexistenz∈ Hyγ∈Γ tales queτ=γzy no existenτ1, τ2 distintos en el interior de

F tales queτ1=γτ2para alguna matrizγ∈Γ.

Lema 2.4. SeaF el sub-conjunto de Hdado por

F :=

τ ∈H : |Re τ| ≤ 1

2,|τ| ≥1

.

Entonces F es dominio fundamental para

1 1 0 1

,

0 −1 1 0

, el subrupo de SL2(Z) generado

por esos dos elementos.

i

−

1 2

−

1 2

+

√

3 2

i

1 2

+

√

3 2

i

Figura 1: Dominio fundamentalF

Demostraci´on. Se encuentra en [Kob93]. La regi´on que defineF es la presentada en la figura anterior. Defina

T =

1 1 0 1

, S=

0 −1 1 0

Sea Γ el subgrupo de SL2(Z)generado por S y T. Fije τ ∈ H. Suponga que no existe γ ∈ Γ tal que

γτ ∈ F. Se vio en la Proposici´on 2.3 del Cap´ıtulo 1 que, dado γ =

a b c d

en Γ ⊆ SL2(Z),

Imγτ = Imτ /|cτ +d|2_{. Sin embargo,} _|_cτ ₊_d_| _est´_{a acotado por abajo por 0. Adem´}_{as los n´}_umeros

(17)

2.1 Finitud del n´umero de clases 2 LA ACCI ´ON DEL GRUPO MODULAR

bola alrededor de 0 que contiene a al menos un punto de esa forma en el ret´ıculo y por tanto un m´ınimo para|cτ +d|. As´ı existe una matrizγ∈Γ tal que Imγτ es maximal. Por otra parte ReT τ = Reτ+ 1 y ReT−1_τ _{= Re}_τ ₋_{1, por lo tanto existe} _j _{tal que si se toma} _γ0 ₌ _Tj_γ_, _|Re_γ0_τ_{| ≤} ₁_/_{2. Adem´}_as, ImT τ = Imτ, entonces Imγτ = Imγ0_τ_{. As´ı es posible asumir que}₋1

2 ≤Im (γτ)≤ 1 2

Si γτ /∈ F (por hip´otesis), necesariamente |γτ| < 1. Otra vez usando la Proposici´on 2.3 del Cap´ıtu-lo 1, se tiene

ImSγτ = Imγτ

|γτ|2 >Imγτ.

Esto contradice la maximalidad Imγτ y por tanto, debe existirγ∈Γ tal queγτ ∈F.

Ahora considere τ1 y τ2 en F tales que existe γ =

a b c d

∈ Γ con τ2 = γτ1. Suponga sin p´

erdi-da de generalierdi-dad que Imτ1≤Imτ2. Por la Proposici´on2.3del Cap´ıtulo 1, Imτ2= Imτ1 |cτ1+d|

≤Imτ1,

entonces|cτ1+d| ≥1. Peroτ1∈F ydes un entero, as´ı que la desigualdad no se cumple si|c| ≥2. Este resultado y el hecho de queγ∈SL2(Z) lleva a cuatro casos:

(i) c= 0 yd=±1 (ya quead= 1). Esto implica queγ=±

1 ∗ 0 1

y por tanto±γ=Tj para alg´un

j. Sin embargo, γτ1∈F y por lo tantoj =±1 yτ1 est´a en alguna de las rectas Re τ =−1/2 o

Reτ= 1/2. En ese caso ambos puntos est´an en la frontera deF.

(ii) c = ±1, d= 0 y τ1 pertenezca al c´ırculo unitario. Aqu´ıγ =±

∗ −1 1 0

= ±TaS con a = 0 o

a =±1. Si a= 0, |τ2| =| −1/τ1| =|τ1| = 1, entoncesτ1 y τ2 est´an sobre el c´ırculo unitario, la frontera de F. Si en cambioa=±1,τ1=τ2=±1₂+

√

3 2 i.

(iii) c = d = ±1 y τ1 =−12 +

√

3

2 i. Entonces γ = ±

x x−1

1 1

= ±Ta

0 −1 1 1

=±Ta_S_{. Si}

a= 0, τ2=τ1. Sia= 1,τ2=τ1+ 1 = 1₂+

√

3

2 i y ambos puntos est´an en la frontera deF.

(iv) c =−d=±1 y τ1 = 1₂+ √

3

2 i, que es un caso an´alogo al anterior y tambi´en se llega a que ambos

puntos pertenecen a la frontera de F.

Por lo tanto, si existenγ∈Γ y τ∈F tales queγτ ∈F, necesariamenteγ=I oτ yγτ pertenecen a la frontera deF. ´Esto concluye la prueba de queF es el dominio fundamental de Γ.

Proposici´on 2.5. El grupo modular est´a generado por las matrices

1 1 0 1

y

0 −1 1 0

Demostración. Sean Γ como en el lema anterior,τ en el interior deF yg ∈SL2(Z). Como el dominio fundamental de Γ es F, existe γ ∈ Γ tal que γgτ ∈ F, pero por hipótesis τ está en el interior de F, entoncesγg=I, es decir, g=γ−1 _{y por lo tanto}_g_∈_Γ.

2.1. Finitud del n´

umero de clases

Anteriormente se probó para formas binarias que el número de clases es finito. La demostración fue usando la desigualdad que caracteriza una forma reducida. Sin embargo, existe una forma mucho más geométrica de demostrarlo que además se puede generalizar a más variables. Esta prueba usa la acción deSL2(Z) sobre el plano superior complejo y por eso sólo se puede realizar hasta este momento.

Lema 2.6. Si αes una ra´ız compleja del polinomio ax2+bx+c y si el discriminante se define como D=b2₋₄_{ac, entonces} _D₌_a2₍_α₋_α₎2_{. Si en particular el polinomio es m´}_onico, _D_{= (}_α₋_α₎2_.

(18)

Demostraci´on. Si α es una ra´ız compleja del polinomio f(x) = ax2+bx+c, α tambi´en lo es porque

f(x) ∈Z[x] ⊆R[x]. Se tiene que a6= 0 porque αtiene parte imaginaria positiva. Por las f´ormulas de

polinomios sim´etricos, b

a =α+αy c

a =αα. As´ı

D=b2−4ac=a2(α+α)2−4a2αα=a2(α2+ 2αα+α2−4αα) =a2(α−α)2.

Teorema 2.7. Para todoD <0,h(D)es finito.

Demostración. Para la segunda demostración se defineQD(x, y) como el conjunto de formas cuadráticas de discriminanteD. En el cap´ıtulo primero se vio queSL2(Z) actúa sobre el plano superior complejo as´ı:

γ(α) =rα+s

tα+u, γ=

r s t u

∈SL2(Z), τ∈C.

SeaαenHun elemento algebraico, es decir,αes ra´ız de un polinomio con coeficientes enZ. Suponga que el polinomio minimal sobre_Zdel cualαes ra´ız es de grado dos, entoncesαserá unnúmero cuadrático. Seaax2₊_bx₊_c_∈

Z[x] dicho polinomio. Se puede suponer que (a, b, c) = 1 y quea >0, de lo contrario divida entre el máximo común divisor y multiplique por -1. Análogamente a lo que se hizo con formas cuadráticas, se define el discriminante del polinomio como D = b2₋₄_ac_{. Ahora se toma el conjunto}

H(D) de todos los n´umeros cuadr´aticos con polinomio minimal de discriminanteD.

El primer hecho a notar es que H(D) es invariante bajo la acción de SL2(Z). Si γ ∈ SL2(Z) y α es un número cuadrático, la extensión Q(α)/Q tiene grado 2. Como Q(α) es un cuerpo, γ(α) ∈ Q(α). Además γ(α) ∈/ Q porque Imγ(α) > 0. Además, 2 es primo, por lo cual no pueden existir cuerpos intermedios entreQyQ(α). Por lo tantoQ(α) =Q(γ(α)) y as´ıQ(γ(α))/Qtiene grado 2, lo que implica que el polinomio minimal sobreQdeγ(α) es de grado 2. Se puede suponer que el polinomio está sobre Zmultiplicando por el m´ınimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes. Entoncesγ(α) es también número cuadrático.

Ahora se ver´a que el discriminante de γ(α) tambi´en es D. Basta demostrarlo para los generadores deSL2(Z). Se define

p(x) =ax2+bx+c

el polinomio para el cualp(α) = 0. El primer generador del grupo es la transformaci´onα7→α+ 1, este ´

ultimo es ra´ız del polinomiop(x−1)∈Z[x]. El coeficiente que acompaña ax2esay por el Lema2.6, el discriminante del polinomio cuadrático minimal deα+1 sobreZes:a2((α+1)−(α+ 1))2=a2(α−α=D. El otro generador del grupo es la transformaciónα7→ −1/α. Por el mismo procedimiento,−1/αes ra´ız dep(−1/x) y por tanto, también es ra´ız dex2_p₍₋₁_/x_{) (}_x_{nunca es 0). El t´}_{ermino que acompa˜}_{na a}_x2_en

dicho polinomio esc y tambi´en por el Lema2.6, el discriminante del polinomio es

c2

−1

α+

1

α

2 =c2

_α₋_α

αα

2

.

Pero se sabe queαα=c/a, de donde se obtiene que:

c2

−1

α+

1

α

2

=a2(α−α)2=D.

Ahora se define la funciónφ:QD(x, y)→ H(D) dada porφ(ax2+bxy+cy2) = (−b+√D)/2a. Por la construcciónφ(f)∈ H(D) para toda forma cuadráticaf de discriminanteD. Además es posible definir

ψcomo: dado un número cuadráticoαenH(D) ra´ız del polinomioax2+bx+c,ψ(α) =ax2+bxy+cy2. Es claro que ψ es la inversa de φy por tanto definen un isomorfismo. Además φ respeta la acción de

SL2(Z). SiA∈SL2(Z) yf ∈QD(x, y),φ(fA) =Aφ(f).

Al final se puede concluir queφinduce una biyecci´on entreQD(x, y)/SL2(Z) yH(D)/SL2(Z). Adem´as,

φ(f) est´a acotado en la parte imaginaria por√D/2. Entonces se tiene que el dominio fundamental es un cerrado discreto contenido en la siguiente regi´on

(19)

i

−

1 2

−

1 2

+

√

3 2

i

√

D 2

1 2

+

√

3 2

i

Figura 2: Dominio fundamental deSL2(Z) enH(D)

Como es cerrado en R2, es compacto, pero es un discreto y por tanto debe contener finitos puntos. EntoncesH(D)/SL2(Z) es finito, de donde se llega a queh(D) = #QD/SL2(Z) tambi´en lo es.

Teorema 2.8. Existen finitas clases de equivalencia de formas cuadr´aticas del mismo determinante.

Idea de la demostración. Se hace una generalización de la demostración anterior para el caso de dos variables. También se basa en demostrar que en un subconjunto compacto deHse puede encontrar un representante de cada clase de equivalencia. Además esos puntos deben ser abiertos y forman un subcon-junto cerrado. Entonces se tiene un subconsubcon-junto cerrado, acotado y discreto deRn, lo que implica que debe ser finito.

(20)

3 RET´ICULOS

3. Ret´ıculos

Existe una biyección entre una clase especial de ret´ıculos y formas cuadáticas enteras. En algunos casos es más sencillo estudiar estos ret´ıculos. De hecho, más adelante será de gran utilidad conocer dicha biyección.

Definici´on 3.1. Unret´ıculo es un subrupo deRn que es unZ−m´odulo finitamente generado por un conjunto linealmente independiente.

En la definición no se pide que se tengan n vectores linealmente independientes pero muchas veces esa condición es necesaria. Un ret´ıculo que cumpla eso se denomina ret´ıculo completo y para este documento sólo se trabajará con ret´ıculos de este tipo.

Ejemplo 3.2. Un ret´ıculo Λ puede ser el generado por (0,1) y (1,0) enR2y se ve geom´etricamente as´ı:

Figura 3: Ret´ıculo generado por (0,1) y (1,0)

Definición 3.3. Laregión fundamentalpara un ret´ıculo Λ enRn generado porv1, . . . , vn será:

D(Λ) = ( n

X

i=1 λivi

0≤λi≤1 )

Dos ret´ıculos son iguales si tienen la misma región fundamental. Sin embargo, comprobar si dos regiones fundamentales son distintas presenta dificultades en dimensiones grandes y por lo tanto se debe introducir la definición que se da a continuación.

Definici´on 3.4. Elvolumende un ret´ıculo es el volumen de la regi´on fundamental. Se denota pord(Λ).

En el Ejemplo3.2está sombreada la región fundamental, es fácil ver que su volumen es 1.

Si bien el volumen ayuda a comprobar si dos ret´ıculos son distintos, no es siempre cierto que si dos ret´ıculos tienen el mismo volumen deban ser iguales. Por ejemplo, el ret´ıculo generado por (1,1₂) y (1₂,3₂) tambi´en tiene volumen uno, pero no es el mismo ret´ıculo generado por (1,0) y (0,1) ya que las regiones fundamentales son distintas.

Como los ret´ıculos son subconjuntos de _Rn _{heredan la m´}_{etrica de este espacio. Por tanto para} cual-quier ret´ıculo Λ⊆Rn _{y cualquier}_x_∈_{Λ se definir la}_norma_de_x_como_hx_,_{xi. En}

Rn esta definición es equivalente al cuadrado de la norma, pero en este contexto será más sencillo trabajar con la primera.

(21)

3.1 Ret´ıculos con producto interno entero 3 RET´ICULOS

Al igual que con las formas cuadr´aticas se define lamatriz de Gramde un ret´ıculo Λ como la matriz



   

v1·v1 v1·v2 . . . v1·vn

v1·v2 v2·v2 . . . v2·vn ..

. ... . .. ...

v1·vn v2·vn . . . vn·vn 

   

.

En dondev1, . . . , vn son una base de Λ.

Resulta útil tener una noción geométrica de lo que representa el determinante de la matriz de Gram.

Definici´on 3.5. El covolumende un ret´ıculo es el cuadrado de su volumen.

Observaci´on 3.6. El covolumen resulta ser el determinante de la matriz de Gram de un ret´ıculo.

Definici´on 3.7. Dos ret´ıculos son equivalentes si sus matrices de Gram B y B0 estan relacionadas por:

B0 =AtBA (3.1)

conB una matriz entera con determinante ±1.

Las formas ser´anpropiamente equivalentessi el determinante deB es 1.

Las definiciones resultan bastante similares con lo hecho con formas cuadráticas. La equivalencia tembién resulta ser una relación de equivalencia. Igualmente, se definió una forma cuadrática entera como una forma cuadrática con matriz de Gram entera. Aqu´ı la definición será equivalente. A partir de ello se puede suponer que los ret´ıculos especiales de los cuales se habló al iniciar este cap´ıtulo son los ret´ıculos con matriz de Gram entera, que se estudiarán en la siguiente sección.

3.1. Ret´ıculos con producto interno entero

Como se acaba de explicar, un ret´ıculo con producto interno entero es aquel cuya matriz de Gram es entera, en otras palabras, los productos internos de cualquier par de vectores en el ret´ıculo corresponden a enteros positivos. A continuación se explicarán algunas propiedades de este tipo de ret´ıculos, que resultan bastante similares a lo ya hecho con formas cuadráticas enteras. Las demostraciones de las propiedades también son equivalentes por lo cual no se realizarán pruebas mostradas ya en cap´ıtulos anteriores.

Definici´on 3.8. Un ret´ıculo con producto interno entero es un ret´ıculo con matriz de Gram entera.

3.2. Ret´ıculos y formas cuadr´

aticas

Es sabido que existe una biyecci´on entre clases de equivalencia de formas cuadr´aticas enteras y ret´ıculos con producto interno entero.

Formas cuadr´aticas enteras

_−→ϕ ψ ←−

Ret´ıculos con producto interno entero

. (3.2)

El objetivo es hacer expl´ıcita dicha biyecci´on.

Sean f(x) una forma cuadr´atica entera y B su matriz de Gram. Como B es sim´etrica, es diagonali-zable y por lo tanto

B=Q−1DQ

conQmatriz ortogonal. Se define √D como la matriz diagonal con entradas las ra´ıces de los elementos de la diagonal deD. As´ı

(22)

3.2 Ret´ıculos y formas cuadr´aticas 3 RET´ICULOS

Se tomaA=√DQ. Debido a que√Des diagonal,√Dt=√D. De lo anterior se concluye queB=At_A_.

Es as´ı como cualquier matriz de Gram de una forma cuadr´atica se puede escribir como el producto de una matriz transpuesta y la misma matriz sin transponer. Entonces se define

ϕ(f) =LA:={Ax : x∈Zn},

el ret´ıculo generado por los vectores columna de la matrizA.

Ahora, dado un ret´ıculo Λ con producto interno entero y base v1, . . . , vn, se considera B la matriz de Gram de Λ y se define

ψ(L) =xBxt,

que es una forma cuadr´atica entera porqueB es su matriz de Gram.

Hecho 3.9. Las funciones definidas anteriormente definen una biyecci´on entre clases de equivalencia.

Demostraci´on. Ver [CS99, Sec. 2.2, Pg. 42]

Observación 3.10. Con lo anterior, sif y Λ están en biyección, es posible suponer que ambos tienen la misma matriz de Gram.

Proposici´on 3.11. Dados f forma cuadr´atica yΛ ret´ıculo correspondiente af,f representa am∈Z

si y solo si existev∈Λ tal quev·v=m

Demostraci´on. Sean B la matriz de Gram de f y m ∈ Z representado por f(x), entonces existen

v1, . . . , vn ∈Ztales quef(v) =m, esto es:

vBvt=m.

Sin embargo, como Λ est´a asociado af,B es la matriz de Gram de B y por tanto la anterior igualdad es la norma dev en el ret´ıculo Λ.

En segundo lugar, suponga que existev∈Ltal quev·v=m, esto es,

vBvt=m.

Entonces la formaf evaluada env es igual am.

Por la biyecci´on, todos los conceptos de formas cuadr´aticas se generalizan a ret´ıculos con producto in-terno entero.

En el primer cap´ıtulo, Definición1.5se vio que es posible definir una noción de reducibilidad en formas cuadráticas binarias. Usando ret´ıculos con producto interno entero, es posible generalizar dicha noción.

Definición 3.12. f forma cuadrática esMinkowski reducidasi se expresa en términos de una base integrale1, . . . , en tales que para todo t, 1≤t≤n

f(et)≤f(v) (3.3)

para todo vectorv tal quee1, . . . , et−1, vse puede extender a una base integral.

Entre otras condiciones, para que una forma cuadr´atica sea Minkowski reducida, su matriz de GramB

debe cumplir:

0≤b11≤. . .≤bnn. (3.4)

Si ahora se definev=et+ X

s∈S

sespara alg´un conjunto de ´ındicesScons < tpara todos∈Sys=±1

arbitrarios. Ya que v es una combinaci´on lineal de elementos de la base y los ´ındices son menores que

(23)

3.2 Ret´ıculos y formas cuadr´aticas 3 RET´ICULOS

se puede extender a una base integral. Por lo tanto, para que la forma sea Minkowski f(et) puede ser extendido a una base integral. Por ende se debe cumplir3.3 y as´ı:

2 X s∈S

sbst− X

r,s∈S r<s

rsbrs ≤X s∈S

bss.

Para el caso particular en el queS={s}, la desigualdad anterior se escribe como:

2|bst| ≤bss. (3.5) Si en cambioS ={r, s}con r < s < t, se tiene

2|brs±brt±bst| ≤brr+bss. (3.6) Igualmente siS={q, r, s} conq < r < s < ty{α, β, γ} ⊆ {±1},

2|αbqt+βbrt+γbst−αβbqr−αγbqs−βγbrs| ≤bqq+brr+bss. (3.7) Se cont´ınua as´ı para cada conjunto posible y se dan condiciones necesarias sobre la matriz de Gram para que la forma sea Minkowski reducida. En el caso de n ≤4 se puede hacer una afirmaci´on mucho m´as fuerte.

Hecho 3.13. Si se tiene una forma cuadr´atica en dos y tres variables, las desigualdades3.4,3.5,3.6y 3.7dan condiciones suficientes para que una forma sea Minkowski reducida.

Demostraci´on. Se encuentra en [Cas78, Lema 1.2, Pg. 257].

Observaci´on 3.14. Para formas binarias, que una forma sea Minkowski reducida es equivalente a que sea reducida.

Esto es, porque en el lema anterior se asegura que las desigualdades son condiciones suficientes para que las formas sean Minkowski reducidas. Si se tiene f = (a, b, c) forma binaria definida positiva y reducida, entonces|b| ≤a≤cy su matriz de Gram es

B=

a ₂b

b

2 c

.

La Desigualdad3.4pide que a≤c, que se cumple porquef es reducida. Por su parte,3.5se cumple si

2 b 2

≤a, equivalente a que|b| ≤a.

De la misma forma, es f´acil demostrar que si una forma binaria es Minkowski reducida entonces es reducida. As´ı, ambas definiciones coinciden en formas cuadr´aticas binarias.

Para reducir una matriz de Gram, esta se debe mantener simétrica, por lo tanto lo que se hace es un análogo al algor´ıtmo de Gauss - Jordan de multiplicar por matrices elementales. Dada una matriz elementalE, una matriz de Gram equivalente a la matriz de Gram B será:

EBEt.

Ejemplo 3.15. La forma cuadr´aticax2+y2+ 3z2+ 4yzno es Minkowski reducida ya que su matriz de Gram es





1 0 0 0 2 3 0 3 5





pero 2|b23| > b22 ya que 2·3 > 2. Sin embargo, la matriz se puede reducir por el m´etodo explicado

anteriormente as´ı: 



1 0 0 0 2 3 0 3 5





f2=f2−f3 −−−−−−→

c2=c2−c3 



1 0 0

0 1 −2 0 −2 5





f3=f3+2f2 −−−−−−−→

c3=c3+2c2 



1 0 0 0 1 0 0 0 1



.

(24)

4 FORMAS CUADR ´ATICAS UNIVERSALES

4. Formas cuadr´

aticas universales

Cuando se habló de formas cuadráticas se dijo que una forma cuadrática es universal si representa a todos los enteros positivos. Una pregunta bastante interesante será cuándo una forma cuadrática es universal. En principio el problema parece bastante complicado porque se puede creer que hace falta revisar que la forma representa a todos los enteros positivos. Sin embargo, en el año 1993 John Conway y William Schneeberger se acercaron a resolver el problema planteando un teorema y una conjetura. El teorema, que se explicará a continuación, da una condición necesaria y suficiente para que una forma cuadrática entera sea universal y la conjetura, para que cualquier forma cuadrática lo sea.

4.1. Teorema de los 15

Teorema 4.1. (Teorema de los 15, Conway–Schneeberger)Una forma cuadr´atica entera es uni-versal si y solo si representa a los enteros: 1,2,3,5,6,7,10,14,15

Antes de pasar a la demostraci´on del teorema, se presentar´a un resultado interesante.

Corolario 4.2. (Cuatro Cuadrados de Lagrange).La forma cuadr´atica x2+y2+z2+w2

es universal.

Demostración. Esta es una forma cuadrática definida positiva y entera. Es fácil ver que

1 = 12 + 02 + 02 + 02 2 = 12 + 12 + 02 + 02 3 = 12 + 12 + 12 + 02 5 = 22 + 12 + 02 + 02 6 = 22 ₊ ₁2 ₊ ₁2 ₊ ₀2

7 = 22 ₊ ₁2 ₊ ₁2 ₊ ₁2

10 = 32 ₊ ₁2 ₊ ₀2 ₊ ₀2

14 = 32 ₊ ₂2 ₊ ₁2 ₊ ₀2

15 = 32 ₊ ₂2 ₊ ₁2 ₊ ₁2_.

Por el teorema anterior, la forma es universal.

Como se puede notar, el teorema simplifica mucho los cálculos y por eso hace relativamente fácil compro-bar si una forma cuadrática entera es universal o no. A continuación se explicará una prueba del teorema. La demostración usa elementos computacionales y la teor´ıa que fue expuesta en cap´ıtulos anteriores. Se inicia con la biyección entre formas cuadráticas enteras y ret´ıculos con producto interno. Por lo tanto es importante notar que el teorema de los 15 se puede reescribir para ret´ıculos como se sigue.

Teorema 4.3. Teorema de los 15 (versi´on geom´etrica) Un ret´ıculo con producto interno entero es universal si y solo si tiene vectores de norma 1,2,3,5,6,7,10,14,15

En esta sección se trabajará únicamente con formas cuadrátias enteras y ret´ıculos con producto interno entero. A continuación se darán algunas definiciones necesarias para desarrollar la demostración.

Definici´on 4.4. Sif es una forma no universal, el ausentedef ser´a el m´ınimo entero positivo quef

no representa.

Ejemplo 4.5. El ausente dex2_{es 2 y el de}_x2_{+ 4}_xy_{+ 2}_y2 _{es 3.}

Definici´on 4.6. Unaescaladade un ret´ıculo no universal Λ es un ret´ıculo generado por Λ y un vector de norma el ausente de Λ.

Ejemplo 4.7. El ausente de 2x2_{+ 3}_y2_{es 1, entonces la matriz de Gram de una escalada puede ser:}





2 0 0 0 3 0 0 0 1



(25)

4.1 Teorema de los 15 4 FORMAS CUADR ´ATICAS UNIVERSALES

Definici´on 4.8. Un ret´ıculo escalado es el que se obtiene mediante una sucesi´on de escaladas del ret´ıculo cero dimensional.

Ahora el objetivo será encontrar todos los posibles ret´ıculos escalados. Aunque parece que pueden existir infinitos, se verá que existe únicamente una cantidad finita de ellos. Para la demostración se usará va-rias veces la biyección entre formas cuadráticas y ret´ıculos. Además, se puede suponer que los ret´ıculos escalados están Minkowski reducidos (tome el representante de la clase que lo esté).

Se toma el ret´ıculo cero dimensional, [0], que corresponde a la forma cuadrática 0. Su ausente es el 1, por lo tanto su única escalada es [1], que corresponde a la forma cuadrática x2_{. Es f´}_{acil ver que el}

ausente de esta forma es el 2. Su escalada debe ser un ret´ıculo generado por un vector de norma uno y otro independiente de norma 2. Por lo tanto la matriz de Gram se ver´a as´ı:

1 a a 2

. (4.1)

Siv1yv2 son los generadores, la desigualdad de Cauchy-Schwarz asegura:

a2= (v1·v2)2≤(v1·v1)(v2·v2) = 2. (4.2)

Por lo tanto, los ´unicos valores que puede tomarason 1,0 y−1.

A continuaci´on se analizar´a uno de los casos detalladamente.

Sia= 1 de la matriz (4.1) se obtiene:

1 1 1 2

. (4.3)

Como interesan los ret´ıculos equivalentes basta con encontrar dos vectores en _Z2 _{que cumplan dicha}

relaci´on. Se toma

v1=

1 0

v2=

1 1

. (4.4)

Entonces la regi´on fundamental de dicho ret´ıculo es:

v1 v2

Figura 4: Regi´on fundamental generada por por (1,0) y (1,1)

A partir de la gráfica es claro que el látice generado por v1 yv2 es el generado pore1 y e2 ya que las regiones fundamentales son iguales. La región fundamental del segundo se muestra a continuación:

e1 e2

(26)

La igualdad se da porque

e1=v1 y e2=v2−v1

Por otra parte, si se realiza la reducci´on de la matriz de Gram (4.3), se obtiene:

1 1 1 2

f2=f2−f1 −−−−−−→

c2=c2−c1

.

1 0 0 1

Es as´ı como por los dos procedimientos se concluye que el ret´ıculo con matriz de Gram4.3es el ret´ıculo con matriz de Gram igual a la identidad.

La identidad es Minkowski reducida porque una base de su forma cuadr´atica correspondientef(x, y) =

x2₊_y2 _es_B₌_{_{e1, e2}_}_con _e1₌

1 0

ye2=

1 0

que cumplen:

f(e1) = 1 y f(e2) = 1

Por lo que para todo vector no trivialv∈Z2,f(e1) =f(e2)≤f(v), en cuyo caso se obtiene el resultado.

Sia=−1:

1 −1 −1 2

f2=f2+f1 −−−−−−→

c2=c2+c1

1 0 0 1

.

Sia= 0:

1 0 0 2

,

una matriz que ya es Minkowski reducida.

Es as´ı como despu´es de la tercera escalada, se obtienen dos matrices Minkowski reducidas:

1 0 0 1 y 1 0 0 2 .

Es importante aclarar que los ret´ıculos correspondientes a ambas matrices no son equivalentes porque su covolumen es distinto (1 y 2). Las matrices de Gram corresponden a las formas cuadr´aticas:

x2+y2 y x2+ 2y2,

que tienen por ausentes a:

3 y 5.

Se deben estudiar ahora los dos casos por separado. La escalada de la formax2+y2, ser´a:





1 0 a

0 1 b

a b 3



. (4.5)

Otra vez por Cauchy-Schwarz,{a, b} ⊆ {−1,0,1}. Adem´as, si se reduce la matriz de Gram, se obtiene:





1 0 a

0 1 b

a b 3





f3=f3−af1 −−−−−−−→

c3=c3−ac1 



1 0 0

0 1 b

0 b 3−a2





f3=f3−bf2 −−−−−−−→

c3=c3−bc2 



1 0 0

0 1 0

0 0 3−a2₋_b2



.

Entonces se tienen varios casos: el primero,a=±1 yb=±1, en cuyo caso se obtienen la matriz





1 0 0 0 1 0 0 0 1



(27)

Sia=±1 yb= 0 o sia= 0 yb=±1 la escalada es:





1 0 0 0 1 0 0 0 2





Y por ´ultimo, sia=b= 0, la matriz queda de la forma





1 0 0 0 1 0 0 0 3



.

Los tres ret´ıculos asociados no son iguales ya que tienen covolumenes distintos (1,2,3). En conclusi´on, para la escalada de la formax2₊_y2_{, se tienen tres opciones.}

Por otro lado, se debe realizar el mismo an´alisis para la forma x2_{+ 2}_y2_{. La escalada debe tener la}

forma:





1 0 a

0 2 b

a b 5



. (4.6)

con a∈ {0,±1,±2} yb∈ {0,±1,±2,±3} (por Cauchy-Schwarz). Si se hace la reducci´on de Minkowski de la matriz se llega a:





1 0 a

0 2 b

a b 5





f3=f3−af1 −−−−−−−→

c3=c3−ac1 



1 0 0

0 2 b

0 b 5−a2



.

De donde se siguen los casos:

a= 0

b= 0





1 0 0 0 2 0 0 0 5





a= 0

b= 1





1 0 0 0 2 1 0 1 5





a= 0

b=−1





1 0 0

0 2 −1 0 −1 5





f3=f3+f2 −−−−−−→

c3=c3+c2 



1 0 0 0 2 1 0 1 4





a= 0

b= 2





1 0 0 0 2 2 0 2 5





f3=f3−f2 −−−−−−→

c3=c3−c2 



1 0 0 0 2 0 0 0 3





a= 0

b=−2





1 0 0

0 2 −2 0 −2 5





f3=f3+f2 −−−−−−→

c3=c3+c2 



1 0 0 0 2 0 0 0 3





a= 0

b= 3





1 0 0 0 2 3 0 3 5





f2=f2−f3 −−−−−−→

c2=c2−c3 



1 0 0

0 1 −2 0 −2 5





f3=f3+2f2 −−−−−−−→

c3=c3+2c2 



1 0 0 0 1 0 0 0 1





a= 0

b=−3





1 0 0

0 2 −3 0 −3 5





f3=f3+2f2 −−−−−−−→

c3=c3+2c2 



1 0 0 0 1 2 0 2 5





f3=f3−2f2 −−−−−−−→

c3=c3−2c2 



1 0 0 0 1 0 0 0 1

