GEOMETRÍA
CONCEPTOS BÁSICOS.
Punto, recta y plano son los conceptos básicos de la geometría. Todo intento para representar físicamente estos conceptos son solamente una aproximación.
Estos términos son no definidos.
Definición 1. El conjunto de todos los puntos se llama espacio.
Definición 2. Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que los contenga a todos.
Definición 3. Los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un plano que los contenga a todos.
Taller No 1
1. Con base en la figura, contestar las siguientes preguntas:
a) Los puntos A, C y___ son colinelaes.
b) Los puntos A, D, C y ____ son coplanarios. c) Escribir otra forma de nombrar BE´ .
d) Los puntos C, D, B y ____son no coplanarios. e) Los puntos A, D y ____son no colineales. f) Escribir otra forma de nombrar la recta m.
g) Nombrar tres puntos que sean coplanarios y colineales.
2. Con base en la figura , contestar las siguientes preguntas: a) Nombrar tres puntos colineales.
b) Nombrar cuatro puntos coplanarios. c) Nombrar cuatro puntos no coplanarios. d) AB∩´ FD´ =
¿¿
e) T ∩ K=¿¿
f) Escribir otra forma de nombrar la recta m.
3. Hacer una figura en cada caso que ilustre los siguientes enunciados: a) El punto P está contenido en dos rectas.
b) Los puntos A, Q y S son coplanarios.
c) El punto M no está contenido en la recta m.
d) La recta t contiene los puntos Q, R, pero no contiene los puntos P, S. e) El plano K contiene los puntos A, B, C pero no contiene el punto D. f) Los puntos Q y R están contenidos en la intersección de l y k.
4. De acuerdo con la figura, decidir si los puntos de los conjuntos indicados a continuación: (1) Son colineales, (2) No son colineales, pero son coplanarios, ó (3) No son coplanarios.
a) {A , B , C , D} b) {A , B , D} c) {P , D , Q} d) {P , B , C} e) {A , B , C ,Q}
POSTULADOS BÁSICOS Y TEOREMAS
Postulado 1. El espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanarios, donde tres de ellos no son colineales. Un plano contiene al menos tres puntos no colineales y una recta contiene al menos dos puntos.
Postulado 2. Dados dos puntos diferentes, hay exactamente una recta que los contiene.
Postulado 3. Dados tres puntos diferentes no colineales, hay exactamente un plano que los contiene.
Postulado 4. Si dos puntos están contenidos en un plano, entonces la recta que determinan está contenida en el plano.
Postulado 5. Si dos planos diferentes se cortan, entonces su intersección es una recta.
De acuerdo con la siguiente figura, contestar las preguntas:
a) ¿Cuántas rectas contienen a los puntos A y E? ¿Por qué?
c) ¿Pueden los puntos A y C estar contenidos en la intersección de AC y´ AB´ ? ¿Por qué?
d) ¿Por qué los puntos B, C y E determinan un plano? e) ¿Está FC´ contenida en el plano K? ¿Por qué?
f) ¿Por qué AD y´ CD´ tienen un solo punto en común?
g) Considerar el plano determinado por los puntos A, E y B y el plano determinado por los putos D,C Y E. ¿Tienen más de un punto en común? ¿Por qué?
h) ¿Por qué DB´ y el punto determinan un plano? i) ¿Cuántos planos contienen a la recta AC y´ CE´ ?
j) Nombrar dos rectas contenidas en el plano determinado por A, E y B 5. Completar cada una de las siguientes proposiciones usando las palabras punto,
recta, plano o espacio.
a) Dos puntos están contenidos en una y solo una ___________ b) S dos planos se cortan, su intersección es una ____________
c) Tres puntos no colineales están contenidos exactamente en un _______ d) Al menos cuatro puntos no coplanarios y donde cada tres de ellos no
son colineales, están contenidos en ________________
e) Si dos rectas se cortan, entonces están contenidas en uno mismo __________
f) La recta ´j y el punto W, donde W∉´j están contenidos en un y solo un ____
g) Un _______ contiene al menos tres puntos no colineales.
h) S dos rectas se cortan su intersección contiene un y solo un _________
6. ¿Cuántos dedos mínimos se necesita colocar para sostener un libro cómodamente? Explicar y citar el postulado relacionado con este hecho.
7. Completar cada proposición usando las palabras: siempre, algunas veces o nunca, según corresponda.
a) Dos puntos son ________colineales.
b) Una recta y un punto que no pertenece a la recta son ____________ , coplanarios.
c) Tres puntos no colineales son ____________ coplanarios. d) Tres puntos son __________ colineales.
e) Dos rectas que se cortan están ____________ contenidas en un plano. f) Tres puntos colineales __________ estás contenidos en un único plano. g) La intersección de una recta y un plano es ________ un punto.
h)
8. ¿Qué postulado ilustra la
9. ¿Cuántas rectas pueden trazarse con cinco puntos coplanarios si cada tres de ellos no son colineales? ¿Cuántas rectas pueden trazarse con ocho puntos coplanarios, si cada tres de ellos no son colineales?
POSTULADO DE LA REGLA
Postulado 6. Postulado de la regla.
Entre el conjunto de puntos de una recta y el conjunto de los números reales, se puede establecer una biyección, de tal manera que dados dos puntos, P y Q, sobre la recta se tiene:
a. Al punto P le corresponde el cero, y
b. Al punto Q le corresponde un número positivo
Observaciones:
El postulado 6, establece que se puede dar una correspondencia entre el conjunto de los puntos de una recta y el conjunto de los números reales de tal forma que:
A cada punto le corresponde un único número real. A cada número real le corresponde un único punto.
Cualquier punto puede ser escogido para hacerle corresponder el cero, y
Definición 4: Una correspondencia como la descrita en el postulado de la regla se llama sistema coordenado. El número correspondiente a un punto dado se llama la coordenada del punto.
Definición 5: Dado un sistema coordenado sobre la recta ⃗PQ, la distancia entre
P y Q (escrita PQ ó QP) es el valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas. Así, si la coordenada de P es x y la coordenada de Q es y, entonces: PQ=|y−x|
Definición 6: Un punto B está entre A y C, si y sólo si: A, B, C son distintos y colineales, y
AB+BC=AC
10. ¿Qué conjunto de números puede colocarse en una puede colocarse en una biyección con los puntos de una recta?
11. ¿Qué nombre se le da al número que le corresponde a un punto sobre la recta?
12. Si la coordenada del punto X en la recta AB´ ,¿Puede otro punto de AB´
tener 6 como coordenada? ¿Por qué?
13. Si c es un número real ¿existe un punto sobre la recta m´ apareado
con c? ¿Por qué?
14. De acuerdo con la siguiente figura, responder:
a) ¿Cuál es la distancia entre G y A?
b) ¿Cuál es la coordenada de B?
15. Los puntos X, Y, Z son distintos y colineales.
a) Nombrar dos puntos cuya distancia a E es 3. b) Nombrar dos puntos cuya distancia a C es 2. c) ¿Cuál es el valor numérico de CH?
d) Encontrar la distancia en I y A.
17. Los números dados son coordenadas de los puntos, Encontrar la distancia entre los puntos:
a) -8 y 4 b) -13 y -24 c) 0 y 0.75 d) -5.6 y 7.4 e) a y b
18. Los puntos R, S y T son distintos y colineales. En cada caso, decir qué punto está entre los otros dos:
a) RS=7, ST=3 y RT=10. b) RS=6, ST=14 y TR=8 c) ST=6.3, RT=4.7 y RS=1.6 d) TR=1.2, RS=7 y TS=5.8
19. El punto B está entre los puntos A y C. La coordenada de A es a. La coordenada de B es b. La coordenada de C es c.
a) Si a=1, b=2 y BC=6, encontrar c.
b) Si b=7, c=3 y AB=4, encontrar a.
c) Si AB=BC, c=-2 y b=4, encontrar a.
d) Si AB=3(BC), a=2 y c=10, encontrar b.
e) Si c=10, a=20 y BC=6, encontrar b.
f) Si a=-5, c=7, y BC=5, encontrar b.
20. La coordenada de A=5, la coordenada de B=x. Encontrar todos los valores de x tales que: Se cumpla para cada uno de los casos que
AB=|x−5|.
a)|x−5|=1
b) |x−5|=8
c)|x−5|=903
d) |x−5|=876
e)|x−5|=7
Tomamos a, b, c y d como números reales. Propiedades de la Igualdad.
P1 Reflexiva: a=a
P2 Simétrica: Si a=b, entonces b=a
P3 Transitiva: Si a=b y b=c entonces, a=c.
P4 De la adición: Si a=b y c=d, entonces a± c=b± d.
P5 De la multiplicación: Si a=b y c=d, entonces ac=bd.
P6 De la división: Si a=b y c=d≠0 entonces a/c=b/d
P8 Propiedad de la substitución. Cualquier expresión puede reemplazarse por
una expresión equivalente en una ecuación, sin cambiar el valor de verdad de la ecuación.
Propiedades de la desigualdad o de orden. P1 Propiedad de la tricotomía.
Para dos números reales, a y b, se cumple una y sólo una de las siguientes proposiciones:
I. a>b II. a<b III. a=b
P2 De la adición: Si a<b y c<d, entonces a±c<b±d.
P3 De la multiplicación:
I. Si a<b y c>0, entonces ac<bc II. Si a<b y c<0, entonces ac>bc P4 Transitiva: Si a<b y b<c entonces, a<c.
21. Completar las demostraciones siguientes. Dado: AX=BC
XC=CD
Demostrar: AC=BD
Proposición Razón
1. AX=BC 1.
2. XC=CD 2.
4. BC=+CD=BD 4.
5. AX+XC=BD 5.
6. AX+XC=AC 6.
7. AC=BD 7.
22. Completar la demostración: Dado: los puntos R,S,T y
U como se muestra en la figura y RT=SU
Demostrar: RS=TU
Proposición Razón
1. RT=SU 1.
2. RT=RS+ST 2.
3. RS+ST =SU 3.
4. SU=ST+TU 4.
5. RS+ST = ST+TU 5.
23. Completar la demostración: Dado: los puntos R,S,T y
U como se muestra en la figura y RT>SU
Demostrar: RS>TU
Proposición Razón
1. RT>SU 1.
2. RT=RS+ST 2.
3. RS+ST>SU 3.
4. SU=ST+TU 4.
5. RS+ST> ST+TU 5.
6. RS>TU 6.
24. Completar la demostración: Dado: los puntos R,S,T y
U como se muestra en la figura y RS>TU
Demostrar: RT>SU
Proposición Razón
1. RS>TU 1.
2. RT=RS+ST 2.
3. RS=RT-ST 3.
4. RT-ST>TU 4.
5. SU=ST+TU 5.
6. TU=SU-ST 6.
7. RT-ST>SU-ST 7.
8. RT>SU 8.
25. Completar la demostración: Dado: los puntos A,D,E,F
y B como se muestra en la figura y DE=EF, AD=BF
Demostrar: AE=BE
Proposición Razón
1. AD=BF 1.
2. DE=EF 2.
3. AD+DE=BF+FE 3.
4. AD+DE=AE 4.
5. AE=BF+FE 5.
6. BE=BF+FE 6.
El Método Deductivo De Razonamiento:
Es el método más convincente y poderoso de sacar conclusiones. Cuando se razona deductivamente, se va de lo general a lo específico. Se empieza con un número limitado de hipótesis básicas generalmente aceptadas y mediante un proceso de construcción de pasos lógicos se prueban otros hechos.
Todo el razonamiento deductivo está relacionado con la aceptación de la veracidad de cierta proposición (o proposiciones), llamada hipótesis. Esta hipótesis no tiene que ser obvia para el lector, ni necesita ser un hecho generalmente aceptado, pero debe aceptarse para el propósito de probar un argumento particular. Cambiando las hipótesis básicas, generalmente se alteran las conclusiones resultantes. Al intentar probar un argumento particular, la hipótesis originalmente aceptada puede conducir a una contradicción de otras hipótesis aceptadas o bien de otros hechos probados. En este caso, debe ponerse en duda la veracidad de la hipótesis original; o, posiblemente, puede dudarse de la veracidad de las hipótesis aceptadas.
Cuando se acepta cierta hipótesis, inevitablemente se llega a ciertas conclusiones. Estas conclusiones pueden ser falsas, si las hipótesis en las cuales se basan son falsas. Entonces es imperativo que se distinga entre validez y verdad.
Considérense las proposiciones siguientes: (1) Todos los hombres son valientes. (2) José Pérez es un hombre. (3) José Pérez es valiente. La proposición 3 es una conclusión válida de las hipótesis 1 y 2, pero no necesariamente cierta. Si la proposición 1 o la 2 son falsas, es posible que la proposición 3 no sea verdadera.
En los ejercicios siguientes proporciónese una conclusión válida, si se puede proporcionarse alguna. Si no es evidente conclusión alguna, explíquese por qué.
26. El perro de la señora Pérez ladra siempre que un extraño entra al patio de su casa. El perro de la señora Pérez está ladrando.
27. EL agua del vivero se congela siempre que la temperatura es inferior a los 0º Celsius. La temperatura del vivero es de -1º Celsius.
28. Todos los estudiantes de primero deben tomar una clase de orientación.
María Sánchez es una estudiante de primero.
30. Todos los cuadriláteros tienen cuatro lados. Un rombo tiene cuatro lados.
31. Sólo los estudiantes que estudian con regularidad pasarán geometría. Guillermo Martínez no estudia con regularidad.
Del 32-36 responda las preguntas siguientes con el fin de comprobar su habilidad para leer y para razonar.
32. ¿Por qué un hombre que vive en la ciudad de México no puede ser sepultado al sur del rio Bravo?
33. Un granjero tenía 17 ovejas. Todas, excepto 9, murieron. ¿Cuántas le quedaron?
34. Dos hombres juegan a damas. Juegan cinco partidas y cada uno gana el mismo número de partidas. ¿Cómo imagina que sucedió?
35. Si tuviera usted sólo un fósforo y entrara en un cuarto donde hubiera una vela, una estufa a gas y algo de papel, ¿Qué encendería primero?
36. ¿Es legal en Colombia que un hombre se case con la hermana de su viuda?
Cada uno de los ejercicios siguientes incluye una hipótesis falsa. Descártese la falsedad de la hipótesis y escríbase la conclusión que, en consecuencia, queda uno forzado a aceptar.
37. Dados dos hombres, el más alto es el más pesado. Roberto es más alto que Juan.
38. Perro que ladra no muerde. Mi perro ladra.
39. Cuando una persona pasa bajo una escalera, le sobrevendrá el infortunio. El señor González pasó ayer bajo una escalera.
40. Todas las mujeres son malas conductoras de automóviles. Graciela Sánchez es una mujer.
41. De dos paquetes, el más caro es el más pequeño. El regalo de navidad de María fue más grande que el de Sonia.
En los ejercicios siguientes, indicar cuáles de las conclusiones se deducen lógicamente de las hipótesis dadas.
42. Hipótesis: Todos los hombres de la tribu Uga tienen la piel oscura. Ninguna persona de piel oscura tiene los ojos azules.
Conclusión:
b) Algunos hombres de la piel oscura son miembros de la tribu Uga. c) Algunas personas con ojos azules no tienen la piel oscura.
d) Algunos hombres de la tribu Uga tienen los ojos azules.
43. Hipótesis: Sólo los estudiantes sobresalientes obtienen becas. Todos los estudiantes sobresalientes ganan publicidad.
Conclusión:
a) Todos los estudiantes que ganan publicidad obtienen becas. b) Todos los estudiantes que obtienen becas ganan publicidad c) Sólo los estudiantes con publicidad obtienen becas.
44. Hipótesis: algunas verduras cocidas son sabrosas. Todas las verduras cocidas son nutritivas.
Conclusión:
a) Algunas verduras son sabrosas.
b) Si una verdura no es nutritiva, no está cocida. c) Algunas verduras sabrosas no están cocidas. d) Si una verdura no está cocida, no es nutritiva.
Lógica Elemental
Razonamiento lógico. Cuando una persona se empeña en una “reflexión clara” o en una “reflexión rigurosa”, está empleando la disciplina del razonamiento lógico.
Aunque el método de la lógica deductiva está presente en todos los campos del conocimiento humano, sin duda alguna es el estudio de las matemáticas donde se aplica en forma más clara.
Definición 7. Una proposición es una oración de cual podemos decir que es verdadera o falso, pero no ambas cosas a la vez.
Tenga en cuenta que: Toda proposición es una oración; pero no toda oración es una proposición. Si la proposición es verdadera este será su valor de verdad (V), si es falsa este será su valor de verdad (F).
En lógica se tiene por costumbre representar las proposiciones simples por letra minúsculas como p, q, r, s, etc. Por ejemplo p: Carlos es un genio.
Considere las oraciones siguientes. ¿Cuáles son proposiciones? 45. ¿Cuánto hay?
46. 3 más 42 es igual a 45. 47. 9x10 es igual a 28. 48. Pásame el libro.
49. José es menor que Juan.
50. Todos los ángulos rectos tienen la misma medida. 51. María tiene sed.
52. Si no estudio, perderé este curso. 53. ¡Aquí estoy!.
Las proposiciones simples se unen para forma proposiciones compuestas, ello lo logramos atreves de los conectivos lógicos o conectores lógicos.
Definición 8. Conjunción. Si p y q son proposiciones simples, la proposición compuesta (p y q) recibe el nombre de conjunción de p y q. el símbolo para p y q es “p ^ q”.
Existen otros términos en el lenguaje que se pueden utilizar como conjunciones, por ejemplo: “pero”, “aunque”, “sin embargo”, “no obstante”.
Ejemplos.
Me gustan la geometría, sin embargo, no las entiendo muy bien.
Me siento cansado pero la jornada de trabaja está iniciando.
Juan va para teatro y nosotros al cine.
Ana practica tenis y es buena atleta.
TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
^
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
Definición 9. La disyunción de dos proposiciones p y q es la oración compuesta por “p o q”, en el sentido inclusivo.
Ejemplos:
Viajaré a Medellín o Bogotá.
Comeré pescado o carne roja.
En esta situaciones ocurrirá uno de los eventos propuestos, pero no implica que no puedan ocurrir ambos, por ello la “o” se considera inclusiva “y/o”.
TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
p q pVq
V V V
V F V
F V V
F F F
Con cada par de proposiciones simples formar una conjunción y una disyunción, determinar su valor de verdad.
55. El acero es duro. La arcilla es blanda.
56. La oración es verdadera. La oración es falsa.
57. Las dos rectas se cortan. Las dos rectas son paralelas. 58. El sol es caliente. Los gatos pueden volar.
59. Algunos animales son caballos. Algunos caballos relinchan.
Definición 10: la negación de una proposición “p” es la proposición “no p”.
Significa que “p es falsa” o bien “esa p no es verdadera”. El símbolo para no p es “¬ p” o “~ p”.
p ¬ p
V F
F V
En cada uno de los ejercicios formar su negación de la proposición. 60. La plata no es pesada.
61. Lucas nunca maúlla.
62. El acetaminofen elimina el dolor. 63. Un octógono tiene ocho lados.
64. No es cierto que un cuadrado tenga tres lados. 65. No todos los contadores son ricos.
66. El conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto. 67. Para toda interrogación existe una respuesta. 68. Las rectas paralelas no se cortan.
69. Todos los americanos viven en Colombia. Negación de una conjunción y de una disyunción.
p q p^q ~(p^
q) ~p ~q ~p ~q
V V
V F
F V
F F
Conclusiones:__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __
Completar la tabla y concluir, dar un ejemplo al menos. p q p q ~(p
q) ~p ~q ~p^~q
V V
V F
F V
F F
Conclusiones:__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __
Dar la negación de cada una de las proposiciones y determinar su valor de verdad.
70. Un mango es una fruta y la lechuga es una verdura. 71. Pardo fue asesinado o Pizarro fue asesinado.
72. A algunos hombres les gusta el futbol, a otros les gusta el baloncesto.
73. Todo triángulo tiene un ángulo recto y un ángulo agudo.
74. Todas las rectas son conjuntos de puntos colineales o todos los ángulos son obtusos.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplos:
a) Si 10x=50, entonces x=5.
b) Si un polígono tiene tres lados, entonces es un triángulo.
En cada una de las implicaciones indicar la hipótesis y la tesis. 75. Sólo los ciudadanos mayores de 18 años pueden votar. 76. Diez es mayor que ocho.
77. Todos los deportistas de alto rendimiento deben pasar el examen físico.
78. Los lados un triángulo equilátero son congruentes.
79. Los buenos exploradores obedecen las normas de supervivencia.
En los ejercicios siguientes dé una conclusión válida, si el posible por el MODUS PONEN o MODUS TOLLENS. Supóngase que el “ó” en los ejercicios siguientes es exclusivo. Nota. No se pide determinar si las premisas olas conclusiones son verdaderas.
81. Perro que ladra no muerde. Mi perro ladra.
82. El triángulo ABC es equilátero. Los triángulos equiláteros son isósceles.
83.
84. Si a=b, entonces a+c=b+c. a=b 85.
86.
Cada uno de lso ejercicios siguientes proporciona el orden para llegar a una conclusión. Completar el patrón.
87.
88.
89.
90.
RAYOS
Definición 10: Un rayo AB, es el conjunto de los puntos y todos los puntos , para los cuales es cierto que está entre . Se denota “el rayo AB” por :
El punto A se llama extremo de .
Definición 11: Si A está entre B y C, entonces se llaman rayos opuestos:
ÁNGULOS.
Definición 10. Ángulo. Es la unión de dos rayos que tienen un mismo punto extremo. Los rayos son los lados inicial y terminal, el punto en común recibe el nombre de vértice.
Notación: , se lee ángulo ABC, la letra del centro indica el vértice, utilizando una letra griega, colocada al interior de la figura
