1. Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas: 1.1. y=x2 −4 , y= +x 2. 1.2. x =y , x2 = −2y2 +3. 1.3. y = +x 1 , y = − +x 1 , y =2x−4. 1.4. y= −2x2 +8x−7 , y= −x 4. 1.5. y= −4 x , y2 = − +x 2 , x= −2 , x =3. 1.6. x = 16−y , x2 2 =6 y . 1.7. x=(y+1)2 −1 , x= −1 y+1 . 1.8. x 162 +y2 9=1 , x2 +y2 =1. 1.9. y= x− +1 3 , y =4(x−1) .2 1.10. y= x , y2 = −8 x , 4x2 − +y 12=0. 1.11. 2y2 = +x 4 , x= y .2 1.12. y− =x 6 , y= x , 2y3 + =x 0. 1.13. y= a2 −x , y2 = −x , x− =y a.
2. Grafique una región del plano, cuya área quede definida por 1 1 (1 x )dx − −
∫
.3. Sin calcular la integral anterior, determine su resultado.
4. Halle el valor positivo de b para que el área de la región limitada por las curvas
2 2
x= −y +3y , y = +x b −1 sea 36.
5. Halle el valor de b de modo que la recta y=b divida en dos partes de igual área, la región limitada por las curvas y= −9 x , y2 =0.
6. Deduzca la fórmula V =a3 para el volumen del cubo de arista a.
7. Deduzca la fórmula 4 3 3
V = πr para una esfera de radio r unidades.
8. Demuestre que el volumen de un cilindro circular recto, que tiene una altura de h unidades y un radio de la base de r unidades es igual a V = πr h2 .
9. Halle el volumen de la pirámide (tetraedro) de base triangular y aristas a, b, c perpendiculares.
10. Calcule el volumen de una pirámide cuya altura es de h unidades y cuya base es un cuadrado de lado de s unidades.
11. La base de un sólido es la región del plano xy acotada por las curvas y =e , yx = −x en el intervalo 0,1. Si las secciones transversales perpendiculares al eje x y al sólido son semicirculares, calcule su volumen.
12. Calcule el volumen del sólido cuya base es la región interior a la elipse x 92 +y2 4=1 y sus secciones transversales son:
12.1. Semielipses de altura 2, perpendiculares al eje x 12.2. Cuadrados, perpendiculares al eje x
12.3. Triángulos de altura 1 con base en la región interior a la elipse, perpendiculares al eje y
13. Halle el volumen de un sólido si se sabe que su base es una región elíptica con la curva frontera 9x2 +4y2 =36 y las secciones transversales perpendiculares al eje x xon triángulos rectángulo isósceles con la hipotenusa en la base.
14. Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por: 14.1. y= x , y = −2 x , 0 ≤ ≤x 1 alrededor de y = −1.
14.2. y= x , x = 2y−y2 alrededor del eje y.
15. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y =2(x−2) ,2 y=2x cuando rota alrededor de x= −1.
16. Una región del plano está limitada por las curvas x2+4y2 =16, x2 +4y2 +4x =0 con y≥0. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región alrededor de la recta y=3.
17. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por las curvas
2 2
4x =y , 4(8−x)=y al rotarla alrededor del eje y= 4.
18. Para la región limitada por y = −4 x , y2 = x ,2 determine el volumen del sólido que genera la región al rotar alrededor del eje x.
19. Calcule el volumen generado por la rotación de la región delimitada por las curvas y =x ,2 y= 4 alrededor del eje: 19.1. y. 19.2. x.
20. Sea la región delimitada por la semielipse 3 2 2
y= 4−x y el eje x. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región alrededor del eje: 20.1. y= −4 20.2. y= 4
21. Halle el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas y= − +x 2 , 2
x= y alrededor del eje: 21.1. x =4 21.2. y=2
22. Dada la región limitada por las curvas y2 =8(x+2), y 2 =32(8−x), halle el volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta x= −3.
23. Dada la región comprendida entre la curva y =x ,3 con − ≤ ≤1 x 1 y el eje x. Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región alrededor del eje
23.1. x. 23.2. y.
24. Calcule el volumen generado por la región R acotada entre las curvas x= y , y2 = −x ,3 cuando gira alrededor de la recta y=2.
25. Considere la región limitada por las curvas x=(y+1)2−1, x = −1 y+1 . Halle el volumen al girar la región alrededor de la recta: 25.1. y= 4. 25.2. x=1.
26. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las parábolas
2 2
y = x, y =2(x−3) alrededor del eje: 26.1. x. 26.2. y. 26.3. x=6.
27. Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de las curvas y= x−2 , y= −x2 +4x+2 alrededor del eje y.
28. Sea R la región acotada por las curvas y− =x 6, y=x , 2y3 + =x 0
.
28.1. Grafique R.28.2. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen generado al girar R alrededor de la recta y = −2 por el método de los
28.2.1. discos. 28.2.2. cilindros.
29. Integrando respecto de y, halle la longitud del segmento de la recta 4x−3y+16=0 desde y=0 hasta y= 4. Compruebe el resultado mediante la fórmula de distancia.
30. Halle la longitud de la parábola x= y2 entre x =0 y x=1.
31. Calcule la longitud de arco de la curva y 2(x 1)3 2, 3
32. Calcule la longitud de arco de la parábola y= x2 −1 comprendida entre − ≤ ≤1 x 1.
33. Halle la longitud de arco de la curva x = 14y2− 12ln(y) comprendido entre 1≤ ≤y e.
34. Halle la longitud del arco y=arcsen(e )−x desde x =0 hasta x =1.
35. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t)= t, y(t)=t2; t∈0,1.
36. Calcule la longitud del arco descrito por la función y =x1 3 desde el punto ( 1, 1)− − al (1,1).
37. Deduzca la fórmula L = π2 r para la longitud de la circunferencia de radio r, usando sus ecuaciones paramétricas.
38. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t)=t2, y(t)=t ,3 t∈[0,1].
39. Calcule la longitud de un arco de la cicloide
x( ) r( sen( )) , 0 2 . y( ) r(1 cos( )) θ = θ − θ ≤ θ ≤ π θ = − θ
40. Dada la curva (arco de una cardioide)
x(t) 2 cos(t) cos(2t) y(t) 2sen(t) sen(2t)
= − = − , 0≤ ≤ πt , calcule su longitud.
41. Sea la curva sen(y)=e−x con x=0 hasta x=1. Pruebe que su longitud es ln(e+ e2−1).
42. Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de las curvas siguientes en torno al eje que se indica:
42.1. y= x 3 , 13 ≤ ≤x 7; alrededor del eje x. 42.2. y= x ,2 0≤ ≤x 2 3; alrededor del eje y. 42.3. y= x−4, 4≤ ≤x 8; alrededor de x =2.
43. Halle el área de la superficie del paraboloide que genera la curva y = x, 0 ≤ ≤x 1, cuando rota alrededor del eje x.
45. Calcule el área de la superficie de revolución generada por y= x2 con 0≤ ≤x 2 3, alrededor del eje y.
46. Si la curva (x−a)2+y2 =r2 gira alrededor del eje y genera un sólido llamado toro de revolución (tripa de caucho). Calcular su superficie lateral.
47. Halle el centroide de la región limitada por las curvas y = −4 x , y2 = x .2
48. Determine el centroide de la región limitada por las curvas y = x, x = y.
49. Calcule el centro de masa del semicírculo de radio r.
50. Dada la región acotada por las curvas y= −x2 +2x, 16x = y2, calcule su centroide.
51. Siendo la densidad constante, calcule el centro de masa de la región limitada por las curvas y= −x , x 2 +y2 =1.
52. Calcule el centro de masa de la región delimitada por las curvas x = −4 y , y2 = +x 2. Considere la densidad constante.
53. Halle el centro de masa del arco de la cicloide de ecuaciones dadas por x =R(t−sen(t)), y=R(1−cos(t)) con 0≤ ≤ πt 2 . Considere la densidad igual a uno.
54. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por
3 3
y= x , x=y cuando rota alrededor del eje x+ =y 2.
55. Halle el volumen de una esfera de radio a, utilizando el teorema de Pappus.
56. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = −x2 +2x, y= −4 x, cuando gira alrededor de la recta: 53.1. x =4 53.2. y =2 53.3. y= +x 2
57. Considere la región limitada por las curvas y= −x , y2 2 =x. Calcule el volumen generado por la rotación de la región de la recta y= −2x+3.
58. Halle el área del sólido generado al rotar el arco de la parábola y= 4x−x , 02 ≤ ≤x 4, alrededor de x = −1.
60. Si la mitad superior de la elipse x2 a2 +y2 b2 =1 rota alrededor del eje x, genera un sólido de revolución cuyo volumen es 4 2
3πab . Calcule las coordenadas del centroide de la región limitada por la elipse y el eje x.
