y = 2x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x + 2, x = 2, x = 3. x = 16 y, x = 6 y. y = a x, y = x, x y = a. (1 x)dx. y = 9 x, y = 0.

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(1)

1. Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas: 1.1. y=x2 −4 , y= +x 2. 1.2. x =y , x2 = −2y2 +3. 1.3. y = +x 1 , y = − +x 1 , y =2x−4. 1.4. y= −2x2 +8x−7 , y= −x 4. 1.5. y= −4 x , y2 = − +x 2 , x= −2 , x =3. 1.6. x = 16−y , x2 2 =6 y . 1.7. x=(y+1)2 −1 , x= −1 y+1 . 1.8. x 162 +y2 9=1 , x2 +y2 =1. 1.9. y= x− +1 3 , y =4(x−1) .2 1.10. y= x , y2 = −8 x , 4x2 − +y 12=0. 1.11. 2y2 = +x 4 , x= y .2 1.12. y− =x 6 , y= x , 2y3 + =x 0. 1.13. y= a2 −x , y2 = −x , x− =y a.

2. Grafique una región del plano, cuya área quede definida por 1 1 (1 x )dx − −

.

3. Sin calcular la integral anterior, determine su resultado.

4. Halle el valor positivo de b para que el área de la región limitada por las curvas

2 2

x= −y +3y , y = +x b −1 sea 36.

5. Halle el valor de b de modo que la recta y=b divida en dos partes de igual área, la región limitada por las curvas y= −9 x , y2 =0.

6. Deduzca la fórmula V =a3 para el volumen del cubo de arista a.

7. Deduzca la fórmula 4 3 3

V = πr para una esfera de radio r unidades.

8. Demuestre que el volumen de un cilindro circular recto, que tiene una altura de h unidades y un radio de la base de r unidades es igual a V = πr h2 .

9. Halle el volumen de la pirámide (tetraedro) de base triangular y aristas a, b, c perpendiculares.

(2)

10. Calcule el volumen de una pirámide cuya altura es de h unidades y cuya base es un cuadrado de lado de s unidades.

11. La base de un sólido es la región del plano xy acotada por las curvas y =e , yx = −x en el intervalo 0,1. Si las secciones transversales perpendiculares al eje x y al sólido son semicirculares, calcule su volumen.

12. Calcule el volumen del sólido cuya base es la región interior a la elipse x 92 +y2 4=1 y sus secciones transversales son:

12.1. Semielipses de altura 2, perpendiculares al eje x 12.2. Cuadrados, perpendiculares al eje x

12.3. Triángulos de altura 1 con base en la región interior a la elipse, perpendiculares al eje y

13. Halle el volumen de un sólido si se sabe que su base es una región elíptica con la curva frontera 9x2 +4y2 =36 y las secciones transversales perpendiculares al eje x xon triángulos rectángulo isósceles con la hipotenusa en la base.

14. Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por: 14.1. y= x , y = −2 x , 0 ≤ ≤x 1 alrededor de y = −1.

14.2. y= x , x = 2y−y2 alrededor del eje y.

15. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y =2(x−2) ,2 y=2x cuando rota alrededor de x= −1.

16. Una región del plano está limitada por las curvas x2+4y2 =16, x2 +4y2 +4x =0 con y≥0. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región alrededor de la recta y=3.

17. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por las curvas

2 2

4x =y , 4(8−x)=y al rotarla alrededor del eje y= 4.

18. Para la región limitada por y = −4 x , y2 = x ,2 determine el volumen del sólido que genera la región al rotar alrededor del eje x.

19. Calcule el volumen generado por la rotación de la región delimitada por las curvas y =x ,2 y= 4 alrededor del eje: 19.1. y. 19.2. x.

(3)

20. Sea la región delimitada por la semielipse 3 2 2

y= 4−x y el eje x. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región alrededor del eje: 20.1. y= −4 20.2. y= 4

21. Halle el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas y= − +x 2 , 2

x= y alrededor del eje: 21.1. x =4 21.2. y=2

22. Dada la región limitada por las curvas y2 =8(x+2), y 2 =32(8−x), halle el volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta x= −3.

23. Dada la región comprendida entre la curva y =x ,3 con − ≤ ≤1 x 1 y el eje x. Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región alrededor del eje

23.1. x. 23.2. y.

24. Calcule el volumen generado por la región R acotada entre las curvas x= y , y2 = −x ,3 cuando gira alrededor de la recta y=2.

25. Considere la región limitada por las curvas x=(y+1)2−1, x = −1 y+1 . Halle el volumen al girar la región alrededor de la recta: 25.1. y= 4. 25.2. x=1.

26. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las parábolas

2 2

y = x, y =2(x−3) alrededor del eje: 26.1. x. 26.2. y. 26.3. x=6.

27. Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de las curvas y= x−2 , y= −x2 +4x+2 alrededor del eje y.

28. Sea R la región acotada por las curvas y− =x 6, y=x , 2y3 + =x 0

.

28.1. Grafique R.

28.2. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen generado al girar R alrededor de la recta y = −2 por el método de los

28.2.1. discos. 28.2.2. cilindros.

29. Integrando respecto de y, halle la longitud del segmento de la recta 4x−3y+16=0 desde y=0 hasta y= 4. Compruebe el resultado mediante la fórmula de distancia.

30. Halle la longitud de la parábola x= y2 entre x =0 y x=1.

31. Calcule la longitud de arco de la curva y 2(x 1)3 2, 3

(4)

32. Calcule la longitud de arco de la parábola y= x2 −1 comprendida entre − ≤ ≤1 x 1.

33. Halle la longitud de arco de la curva x = 14y2− 12ln(y) comprendido entre 1≤ ≤y e.

34. Halle la longitud del arco y=arcsen(e )−x desde x =0 hasta x =1.

35. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t)= t, y(t)=t2; t∈0,1.

36. Calcule la longitud del arco descrito por la función y =x1 3 desde el punto ( 1, 1)− − al (1,1).

37. Deduzca la fórmula L = π2 r para la longitud de la circunferencia de radio r, usando sus ecuaciones paramétricas.

38. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t)=t2, y(t)=t ,3 t∈[0,1].

39. Calcule la longitud de un arco de la cicloide

x( ) r( sen( )) , 0 2 . y( ) r(1 cos( )) θ = θ − θ  ≤ θ ≤ π  θ = − θ 

40. Dada la curva (arco de una cardioide)

x(t) 2 cos(t) cos(2t) y(t) 2sen(t) sen(2t)

= −   = −  , 0≤ ≤ πt , calcule su longitud.

41. Sea la curva sen(y)=e−x con x=0 hasta x=1. Pruebe que su longitud es ln(e+ e2−1).

42. Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de las curvas siguientes en torno al eje que se indica:

42.1. y= x 3 , 13 ≤ ≤x 7; alrededor del eje x. 42.2. y= x ,2 0≤ ≤x 2 3; alrededor del eje y. 42.3. y= x−4, 4≤ ≤x 8; alrededor de x =2.

43. Halle el área de la superficie del paraboloide que genera la curva y = x, 0 ≤ ≤x 1, cuando rota alrededor del eje x.

(5)

45. Calcule el área de la superficie de revolución generada por y= x2 con 0≤ ≤x 2 3, alrededor del eje y.

46. Si la curva (x−a)2+y2 =r2 gira alrededor del eje y genera un sólido llamado toro de revolución (tripa de caucho). Calcular su superficie lateral.

47. Halle el centroide de la región limitada por las curvas y = −4 x , y2 = x .2

48. Determine el centroide de la región limitada por las curvas y = x, x = y.

49. Calcule el centro de masa del semicírculo de radio r.

50. Dada la región acotada por las curvas y= −x2 +2x, 16x = y2, calcule su centroide.

51. Siendo la densidad constante, calcule el centro de masa de la región limitada por las curvas y= −x , x 2 +y2 =1.

52. Calcule el centro de masa de la región delimitada por las curvas x = −4 y , y2 = +x 2. Considere la densidad constante.

53. Halle el centro de masa del arco de la cicloide de ecuaciones dadas por x =R(t−sen(t)), y=R(1−cos(t)) con 0≤ ≤ πt 2 . Considere la densidad igual a uno.

54. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por

3 3

y= x , x=y cuando rota alrededor del eje x+ =y 2.

55. Halle el volumen de una esfera de radio a, utilizando el teorema de Pappus.

56. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = −x2 +2x, y= −4 x, cuando gira alrededor de la recta: 53.1. x =4 53.2. y =2 53.3. y= +x 2

57. Considere la región limitada por las curvas y= −x , y2 2 =x. Calcule el volumen generado por la rotación de la región de la recta y= −2x+3.

58. Halle el área del sólido generado al rotar el arco de la parábola y= 4x−x , 02 ≤ ≤x 4, alrededor de x = −1.

(6)

60. Si la mitad superior de la elipse x2 a2 +y2 b2 =1 rota alrededor del eje x, genera un sólido de revolución cuyo volumen es 4 2

3πab . Calcule las coordenadas del centroide de la región limitada por la elipse y el eje x.

(7)

R E S P U E S T A S

1. 1.1. 125 6

1.2. 4 1.3. 25 3 1.4. 125 24 1.5. 49 6 1.6. 14 4 3 3+ π3 1.7. 7 3 1.8. 11π 1.9. 13 3 1.10. 64 1.11. 32 3 1.12. 22 1.13. a2 3 4 (2 1) π 4. 3 9. 1 6 V = abc 10. 1 2 3 V = s h 11. 2 48 V = π (3e +11) 12. 12.1. 3π2 12.2. 64 12.3. 13. 24 14. 14.1. 7 2π 14.2. 3 π 15. 63π 16. 23π(27π −28) 17. 10243 π 18. 64 23 π 19. 19.1. 19.2. 2565 π 20.20.1. 24 (1π + π) 20.2. 24 (π π −1) 21. 21.1. 32 3 π 21.2. 45 2 π 22. 1408π 23.23.1. 2 7π 23.2. 4 5π 24. 85 42π 26.26.1. 26.3. 144 5 6π 27. 176 3 π 28.28.2.1. 0 2 2 2 2 3 2 4 0 [(6 x 2) ( x / 2 2) ]dx [(6 x 2) (x 2) ]dx − π

+ + − − + + π

+ + − + 28.2.2. 2 8 3 3 0 2 2π

(y+2)( y +2y)dy+ π2

(y+2)( y −(y−6))dy 30. 5−12ln( 5+2) 31. 2 3(2 2−1) 32. 5 1ln 5 2 4 5 2+  +  −   33. 14(e2 +1) 34. ln(e+ e2 −1) 38. 13 13 82739. 8r 42.42.1. 29π(23 2 −1) 42.2. 57π 42.3. 43π 43. 31(5 5−1) 45. 114π 46. 4π2ar 47. (0, 2) 48. (209 ,209) 49. 4r 3 (0, π) 51. 2 2 3 3 ( π, π) 52. 1 2 (− , 0) 53. 4 3 ( R, R)π 54. 19 2π 56.56.1. 6415π 56.2. 236815 π 56.3. 1088 5 2 π 57. 17 10 5π 58. 3 [4 17π +ln(4+ 17)]

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