Universidad Nacional del Nordeste
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y
Agrimensura
CURSO
de
NIVELACIÓN y
AMBIENTACION
MODULO
MATEMÁTICA
AÑO 2012
Trabajo Práctico Nº 1: Fórmulas y Ecuaciones
1. En cada una de las siguientes expresiones, despejar la variable x.
a)
a
b
y
x
.
=
b).
b
.
c
.
a
y
x
=
c) a.b – x.y = m d)m
n
x
b
a
+
.
e)m
y
x
b
a
=
−
+
2
f)z
c
n
m
y
x
b
a
+
=
−
2
.
.
.
g)y
m
x
b
a
=
−
+
2
h)n
am
b
y
x
−
=
2
i)s
m
ab
x
+
=
−
3
1
1
2
j)c
ab
mz
y
x
=
+
2
k)−
=
n
+
1
yz
ab
mx
2. En la física la letra g es utilizada para representar a la aceleración de la gravedad y la letra t al tiempo. Despejar g y t en cada una de las siguientes ecuaciones.
a. 1 2 2 h= gt b. 0 0 2 1 2 x x= + v t+ gt c. T 2 l g π =
3. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5x = 8x – 15
b) 9x – 11 = 10 + 12x
d) 8x + 9 – 12x = 4x – 13 – 5x e) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100 f) 3x –(2x – 1) = 7x –(3 – 5x) + (-x + 24) g) 30x –(-x + 6) + (-5x + 4) = -(5x + 6) + (-8 + 3x) h) x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3) i) 10 (x – 9) – 9 (5 – 6x) = 2 (4x – 1) + 5 (1 + 2x) j) x + 3 (x – 1) = 6 – 4 (2x + 3) k) 2 (3x + 3) – 4 (5x – 3) = x (x – 3) – x (x + 5)
4. Representar en lenguaje simbólico las siguientes expresiones a) El triple de la suma de a y c.
b) El producto de a por el cuadrado de b. c) La suma de los cuadrados de a, b y c. d) El cuadrado de la suma de a, b y c.
e) La raíz cuadrada de la diferencia entre a y b. f) La enésima potencia de la suma de b y c.
g) El doble de la diferencia de los cuadrados de a y c. h) El cubo de a, disminuido en 3.
5. Representar en lenguaje coloquial las siguientes expresiones.
a) n + 3: b) 3(n – 1):
c) n – 3: d) n2:
e) 2n: f) n2 – 1:
Trabajo Práctico Nº 2: Proporcionalidad. Porcentaje. Manejo de Unidades.
1. Indica si hay proporcionalidad directa, inversa o si no hay ninguna proporcionalidad:
a) Cantidad de personas que viajan en un autobús y dinero recaudado. b) Cantidad de refrescos que caben en una caja y diámetro de las botellas.
c) Número de litros que escapan por segundo en el desagüe de una piscina y diámetro del desagüe.
d) Velocidad media de un ciclista y distancia recorrida.
e) Número de vueltas que da una rueda para recorrer una distancia y diámetro de la rueda.
f) Número de comensales para zamparse una tarta y cantidad que corresponde a cada uno.
g) Tiempo que tarda un balón en caer al suelo y altura desde la que se lanza. h) Número de horas que está encendida una bombilla y gasto que ocasiona.
i) Número de peldaños de una escalera móvil de altura fija y separación entre ellos. j) Número de peldaños de una escalera de altura fija y anchura de ellos.
k) Numero de goles marcados por un equipo y partidos ganados.
2. Plantear y resolver cada uno de los siguientes problemas de proporcionalidad directa e inversa según corresponda
a) Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva en 15 minutos. Si sigue al mismo ritmo, ¿cuánto tardará en dar 25 vueltas?
b) Para recorrer los 360 km que hay entre Madrid y Valencia un coche tardó 3 horas a una velocidad de 120 km/h. Si disminuye la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará?
c) En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se taran 6 días en servir un pedido. ¿Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias? d) Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan 12 euros, ¿cuánto pagaré por 1,5 kg? e) El coche recorre 309 km en 3 horas ¿cuántos kilómetros recorre en 7 horas?, ¿y en una hora?
3. Calcula en cada caso: a) el 25% de 1200 =
b) el 75% de ______ = 27 c) el ___% de 500 = 80
4. Resolver cada uno de los siguientes problemas de porcentaje
a) En un pueblo de 9800 habitantes el 56% son mujeres. ¿Qué porcentaje de varones hay? ¿Cuántos varones son?
b) Una camisa vale 40 euros. Me hacen una rebaja del 10%. ¿Cuánto debo pagar?. c) Un artículo se rebaja de 2.700 euros a 2.400 euros. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?
d) Una camisa valía 72 € antes de las rebajas. ¿Cuánto costará si le aplican un descuento del 30%? ¿Cuánto la han rebajado?
e) Al comprar un producto nos rebajan un 8 %. Pagué 48.000 euros. ¿Cuál era el precio original?.
f) En un escaparate he visto el precio de un ordenador: 1000 euros + 16% de IVA. ¿Cuánto cuesta el ordenador?. Si sobre el precio total me hacen un descuento del 5% ¿Cuánto debo pagar por el ordenador?
g) El precio de una lavadora es 300 euros (IVA incluido). Si el comerciante decide no cobrarme el 16 % de IVA. ¿Cual es el precio de la lavadora sin IVA?.
h) Al abonar la carrera de un taxi decido pagar un 10% más del precio, costándome 8,25 euros. ¿Cual era el precio que señalaba el taxímetro?.
i) Calcula lo que le rebajan a una persona que debe 3425 euros, si se le hace una rebaja del 3% por ser buen cliente.
5. Convierte a) 12 km a metros. b) 7000 mm a metros. c) 80 hm a kilómetros. d) 5 x 6 10 cm a kilómetros e) 1.2 x 15 10 cm a kilómetros. f) 560.8 dam a hectómetro. g) 8 cm 3 mm a metros. h) 15 m 78 cm a decámetros.
6. Selecciona en cada caso la respuesta correcta: I. La cuarta parte en centímetros de 20 m es:
____ 40 cm ____ 400 cm ____ 4 m ____20 cm II. 1 700 m equivale a: ____ 1 km 7 m ____ 1 km 70 m ____ 170 dam ____1 km 700 m
III. El perímetro del triángulo que semuestraen la figura es:
a) ____ 141 cm b) ____ 14.1 cm c) ____ 1.41 cm d) ____14.1 dm
7. Selecciona en cada caso la respuesta correcta: a) 13.462 ha equivale a: ____ 134.62 a ____ 13 462 m2 ____ 1 346.2 km2 ____1.346 2 km2 b) 92 m2 equivale a: ____ 920.0 dm2 ____ 9 200 dm2 ____ 9.2 a ____ 92 000 cm2
c) Un terreno para pastar, de forma cuadrada, tiene 305 dm de lado. Si se quiere cercar con cinco pelos de alambre. ¿Cuán metros de alambre se necesitarán?
a) ____ 122 m b) ____ 6 100 m2 c) ____ 610 m d) ____ 930.25 m2
8. Calcula el área de un rectángulo que mide 570 mm de largo y 7.6 cm de ancho. Expresa tu respuesta en dm2.
9. Una pintura rectangular se ha pegado en una hoja en blanco como se muestra en la figura.
¿Cuál es el área del papel que no ha sido cubierta por la pintura?
a) ____ 165 cm2 b) ____ 5 x 102 cm2 c) ____ 1.9 x 103 cm2 d) ____ 2.7 x 103 cm2
Trabajo Práctico Nº 3: Los Números reales. Operaciones. Propiedades 1. Resolver:
(
) (
) (
)
[
]
[
(
)
]
(
)
(
)
[
]
{
}
(
)
[
(
)
]
{
}
(
)
{
}
[
(
)
]
(
)
(
)
{
}
[
]
( )( )( )
( )
[
]
[
( ) ( ) (
)
]
( )
[
]
[
]
(
)
a b c d a a a e b a ab b ab a f g ) : ) : : : )50 : : ) : ) : : : ) : : ) : : 15 45 10 5 20 15 40 18 3 48 16 12 8 4 24 18 6 4 8 6 3 3 4 2 16 8 4 2 5 30 2 24 30 16 24 16 4 36 4 12 15 28 6 12 2 18 3 15 5 2 5 4 20 5 2 10 3 2 15 3 4 8 2 5 11 2 1 + − − − − − − = − + + − = + + − + + − − + ⋅ = + − − − − − + = + − − − − + = − − − + − − + − − − + = − − ⋅ − + ⋅ − − − =2. Resolver las siguientes operaciones combinadas:
( )
(
)
( ) ( )
( )
[
− ⋅ −]
+[
⋅( )
− +]
−(
− ⋅)
⋅ −( ) ( )
− − = = − ⋅ − + − − + − 9 : 3 2 5 5 2 3 5 3 6 1 3 5 ) 2 2 5 5 4 2 : 2 ) 3 2 0 2 2 5 3 b a( )
− +[
− + ⋅( )
−]
( )
− + ⋅ = ⋅ − 1 2 10 2 3 4 : 2 3 3 ) 3 2 6 2 c(
)
[
]
( )
2 1 9 14 : 3 5 2 7 3 2 5 16 1 25 8 : 5 2 ) 3 1 1 2 1 4 1 2 1 2 1 3 2 3 1 1 ) 3 2 : 3 2 3 2 ) 10 1 10 1 10 1 ) 2 1 ) 3 5 : 2 5 8 3 3 2 : 256 ) 2 1 2 3 3 2 11 5 4 3 2 2 1 2 2 5 2 3 7 7 = − + − + + = − + − ⋅ − − − = ⋅ = ⋅ ⋅ = = − ⋅ + ⋅ − − ⋅ − − − − − − − i h g f e d3. Ordenar de mayor a menor los siguientes números racionales:
7
7
7
2
4
3
-3
2
-3
0
2;
-
;
;
;
;
;
5
4
4. Representar los siguientes números reales en la recta numérica real:
−2; 6; 0; ; ; ; ; 4 5 2 3 5 5 7 2 2,5; 3,2 5. Escribir:
a) 4 números racionales comprendidos entre 4
7 y 5 7.
b) 3 números racionales comprendidos entre 2
5 y 3 4.
6. Calcular aplicando las propiedades de la potencia:
( )
( )
( )
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = = = = = − − − − 3 2 4 3 2 3 5 2 1 2 4 -2 3 7 4 2 3 3 2 2 0 4 5 -5 5 5 a k) 9 3 8 2 3 9 3 4 2 j) 4 3 : 4 3 ) 2 1 2 1 h) 3 g) 3 f) 5 1 ) 2 -d) 2 -c) 3 -b) = 3 -) 3 c b a c b i e a7. Resolver aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación:
=
=
=
=
⋅
−
=
−
=
− − − − − 3 3 12 4 1 2 6 6 18 24 5 10 15 3 9 3 2 6064
0
21
1
64
32
27
9
x
y
,
f)
c
b
a
.
e)
r
q
p
d)
c
b
a
c)
y
m
b)
c
b
a)
(
) (
)
(
⋅
)
⋅
=
=
−
⋅
=
=
+
−
⋅
+
=
+
−
3
9
3
)
2
)
2
10
1
:
4
5
4
)
3
2
2
3
2
3
3
2
)
32
8
2
3
)
3 3 4 2 3k
ab
b
a
j
a
ab
i
h
g
8. Introducir factores dentro del radical:
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
− 3 2 3 4 3 3 2 2 3 2 5 2 4 3 3 2 330
0,1m
f)
2
)
a
d)
9
8
2
3
)
9
3
1
b)
2
)
m
n
a
c
b
a
e
y
m
b
m
b
y
x
y
b
b
y
c
m
n
m
ab
b
a
a
9. Extraer del radical todos los factores posibles:
=
108a
f)
=
8
27a
e)
=
a
d)
=
32m
-c)
=
b
b)
16
)
3 -3 4 7 5 6 5 3 5 15 7 4 3 10 9 3 3 6 − −=
b
b
c
b
y
y
c
m
a
a
10. Resolver las siguientes operaciones
(
−
)
=
(
−
)
=
=
=
⋅
− − 2 3 31
3
8
d)
7
2
m
b)
m
a)
4 3 36 4 2)
c
m
:
m
11. Racionalizar las siguientes expresiones: = − − = − + = − = = = + = − − = + = − ⋅ = = ⋅ = = xz xy z y m b a b a l n m a k m x j i xy b a b a g a c a n m e a a c a ) 3 2 3 2 ) ) 2 ) 72 2 5 1 ) x y x + x h) 3 2 3 2 ) 2 3a a f) 2 ) 2 -2 2 d) 3 2 ) b m b) 6 2 3 ) 5 3 2 3 3
12. Recordando la definición de logaritmo
log
ba = n
⇔
b = a
n .Calcular los siguientes logaritmos aplicando la definición:
( )
ad
) )
log = b) log c) log log e) log 1 9 = f) log 1 2 = 2 1 3 4 2 3 1 2 16 1 27 2 32 = = =
13. Sabiendo que para cambio de base de los logaritmos usamos: log log log a b b x x a
= . Usando la calculadora resolver:
= = = = 78125 log d) 2 , 3 log c) log b) 27 log ) 5 1 5 3 2 π a
14. Aplicar las propiedades de logaritmo a las siguientes expresiones:
( )
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
− 4 1 3 5 3 n nc
b
a
log
d)
a
log
)
a
b
log
b)
a
log
)
b
c
a
Trabajo Práctico Nº 4: Relaciones y funciones
1. Determinar si las siguientes relaciones entre la variable independiente (VI) y la variable dependiente (VD) son funcionales:
a. El precio de la gasolina (VI) y día del año (VD).
b. Consumo de electricidad (VI) y el precio de la luz (VD).
c. La distancia recorrida por un móvil (VI) y el tiempo empleado (VD). d. La edad de una persona (VI) y su altura (VD).
e. Cantidad de obreros de una construcción (VI) y el tiempo tardado (VD). 2. Determinar el dominio y la imagen de las siguientes relaciones para que resulten funcionales
a) ( ) 3 2 2 f x = x+ tal que ( )f x ∈ Z. b) g x( )= x2− 3 c) h x( ) log(= x+1) d) 2 5 ( ) 2 7 x r x x = + e) s x( )= x2− 9 f) ( ) 1 2 2 u x = x+ g) ( ) 1 4 5 x v x x + = − h) w x( )= Sen (x) i) ( ) ( ) x j x Cos x = j) k x( ) 2= x
3. Graficar las siguientes funciones lineales a) f x( ) 4= x− 2 b) ( ) 3 1 4 g x = x+ c) ( ) 2 3 h x = − +x d) ( ) 1 5 2 i x = − x− e) ( ) 2 5 2 j x = x+
4. Graficar las siguientes funciones cuadráticas a) f x( )= x2− 4 b) ( ) 2 2 1 2 g x = − x − x c) 2 ( ) 2 1 h x = x + x+ d) 2 ( ) 2 3 2 i x = − x + x+ e) 2 ( ) 2 9 j x = − x − +x
5. La empresa Mariote fabrica linternas de bolsillo con un costo variable de $4 por unidad y un costo fijo mensual de $500. Por problemas técnicos no puede fabricar más de 800 linternas por mes. Esta misma empresa puede vender las linternas a $6 pesos cada una.
a) Expresa la función de costo total mensual y determine su dominio. b) Determina la función de ingreso mensual.
c) Grafica las dos funciones en un mismo grafico cartesiano. d) Encuentra la función beneficio de la empresa.
e) Encuentra el valor de x que anula la función beneficio. Interpreta el valor hallado.
6. Para alambrar un terreno rectangular se dispone de 1000 metros de cable. Se quiere que la superficie de terreno alambrada sea la mayor posible.
a) Hallar una función que describa al área de terreno alambrada. b) Graficar dicha función.
c) Hallar las dimensiones que debe tener el terreno alambrada para que su área sea lo mayor posible.
7. Un escritor cobró, como autor, el 20% del precio del libro hasta 8000 ejemplares vendidos y el 30% sobre los siguientes. El precio del libro es de $15 y cobra $200 aunque no venda nada.
a) escriba la función que indica lo que cobra según la cantidad de ejemplares vendida;
b) grafíquela;
c) ¿cuántos ejemplares vendió si cobró $21953.
8. La siguiente función determina la cantidad de pacientes que ingresan en un hospital después de x días del 1 de junio en que empieza una epidemia de gripe:
2
( ) 5 300 3195
p x = − x + x+
a) ¿Cuál es el día en que ingresan más pacientes?
b) ¿Cuál es la cantidad máxima de pacientes que ingresaron durante la epidemia?
c) ¿Cuanto dura la epidemia?
d) ¿Qué día ingresan 4570 pacientes?
Trabajo Práctico Nº 5: Trigonometría
1. Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos a) 3 π rad
b) 2 5π rad c) 3
10π rad
2. Expresa en radianes los siguientes ángulos: a) 316º
b) 10º c) 127º
3. a) Calcula x e y en el triángulo
b) Hallar el seno, coseno y tangente de los ángulos α y β .
4. Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo. 5. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:
6. Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve laparte superior de la antena bajo un ángulo de 30°.
7. En los siguientes ejercicios los lados de un triángulo rectángulo se representan con las letras a, b y c, llamando a siempre a la hipotenusa. Los angulos del triángulo se representan con las letras A, B y C, siendo siempre A el ángulo recto, B el ángulo opuesto a b y C el ángulo opuesto a c. Usando exclusivamente la definición de las razones trigonométricas involucradas en cada caso, calcula el lado que se pide:
d) a = 12 Hm; C = 60º. Hallar c. e) b = 20 m; B = 30º. Hallar a. f) b = 20 mm; B = 45º. Hallar c. g) c = 20 m; B = 30º. Hallar a. h) b = 20 Km; C = 45º. Hallar c.
8. Sabiendo que Senα =2/3 y Cos α =-1/3. Hallar las demás funciones trigonométricas para el ángulo α .
Bibliografía
• Acevedo, M. Acuña, N. Andreoli, D. Beltrametti, M. Delgado, M. Mazza, S. Matemática. Serie Didáctica. Ed. Universitaria de la Universidad Nacional del Nordeste. 2007
• Altman, S. Comparatore, C. Kurzrok, L. Funciones 1. Matemática Polimodal. Ed. Longseller. 2005.
• Pintos, L. Romero, L. Apuntes de adscripción a Análisis Matemático sobre integrales paramétricas. 2011.
• Rojo, A. Algebra 1. Ed. El Ateneo. 2001.
• Rojo, A. Algebra 2. Ed. El Ateneo. 2001.
