Definiciones, Teoremas y Propiedades de Álgebra

Definiciones, Teoremas y Propiedades de Álgebra

1.

Conjuntos y Lógica

Def.:Llamamos Conjuntoa una colección de elementos. Decimos que está dado por Ex-tención si están listados todos los elementos y que está dado por Comprensión si está definido por las propiedades de sus elementos.

Def.:Definimos alConjunto Vacíoφcomo el conjunto que no contiene elementos, es decir, φ“ tu.

Prop.:El orden de los elementos y la cantidad de veces que se repite alguno en un conjunto no lo afectan.

Def.:SeaAun conjunto yxun elemento decimos quexPerteneceaAsixes un elemento deA. NotamosxPA.

Def.:Definimos unaProposicióncomo un enunciado cuyo valor lógico solo puede ser ver-dadero o falso.

Def.:Definimos unaTabla de Verdadcomo una tabla donde se presentan todas las com-binaciones posibles de valores lógicos de proposiciones y de operaciones de proposiciones. Notamos el valor lógico verdadero comoV oT y el valor lógico falso comoF.

Def.:Llamamos a las operaciones lógicas comoNegación,^comoConjunción,_como

Disyunción, YcomoDisyunción Exclusiva, ùñ comoimplicacióny ðñ o ”como

Doble Implicación o Equivalencia respectivamente. Estas operaciones se definen de la siguiente forma: p q p p^q p_q pYq p ùñ q p ðñ q V V F V V F V V V F F F V V F F F V V F V V V F F F V F F F V V

Prop.:Seanpyq proposiciones:

• ppYqq ðñ ppp_qq ^ pp^qqq ðñ ppp^ qq _ p p^qqq.

• pp ùñ qq ðñ p p_qq.

• pp ðñ qq ðñ ppp ùñ qq ^ pq ùñ pqq.

Def.: Sean A y B dos conjuntos decimos que A está Contenido en B, o que A es un SubconjuntodeB ðñ xPB @xPA. NotamosAĎB.

Prop.:SeanAyB dos conjuntos ùñ pAĎBq ^ pBĎAq ðñ A“B.

Def.:SeaAun conjunto definimos elConjunto de PartesdeAcomo el conjunto de todos los subconjuntos deA, es decir,P_pAq“ tx{xĎAu.

Def.:SeaAun conjunto llamamos suCardinalidada la cantidad de elementos que perte-necen aA. Notamos|A|.

Prop.:Sea Aun conjunto ùñ PpAq “2|A|.

Def.:SeanAyBconjuntos definimos laUniónde ambos conjuntos comoAYB“ tx{ pxP

Def.:SeanAyB dos conjuntos definimos laIntersecciónde ambos comoAXB “ tx{ pxP

Aq ^ pxPBqu. SiAXB “φlos llamamosDisjuntos.

Def.:Sean Ay B dos conjuntos tales que A ĎB definimos alComplemento de Acomo A1_{“ tx{ pxPBq ^ pxRAqu}.

Def.: Sean A y B dos conjuntos definimos la Resta de ambos como AzB “ tx { px P

Aq ^ pxRBqu.

Prop.:SeanAyB dos conjuntos ùñ AzB “AXB1_.

Obs.:Las operaciones de conjuntos complemento, intersección y unión son equivalentes a las operaciones lógicas negación, conjunción y disyunción respectivamente.

Leyes de De Morgan: SeanAyB dos conjuntos: • pAYBq1“A1_XB1_.

• pAXBq1“A1 YB1_.

Prop.:SeanA,B yC conjuntos: • pAXBq YC“ pAYCq X pBYCq.

• pAYBq XC“ pAXCq Y pBXCq.

Def.: SeanA yB dos conjuntos definimos la Diferencia Simétrica como A∆B “ pAX

B1_{q Y pA}1_XBq.

Prop.:SeanA,B yC conjuntos: • A∆B “ pAYBqzpAXBq.

• AX pB∆Cq “ pAXBq∆pAXCq.

• pA∆Bq∆C“A∆pB∆Cq.

Def.:SeanAyBdos conjuntos definimos elProducto Cartesianode ambos comoAˆB “ tpx, yq { pxPAq ^ pyPBqu.

Def.:Sean A, B yR conjuntos llamamos aRuna Relación de A en B si RĎ pAˆBq.

Además, decimos que el elemento x está Relacionado con el elemento y si px, yq P R. NotamosxRy.

Def.:SeanA un conjunto llamamos aRuna relación de A siRĎ pAˆAq.

Def.:SeaAun conjunto yRuna relación deA la llamamos: • Reflexiva ðñ xRx@xPA.

• Simétrica ðñ pxRy ðñ yRxq @x, yPA.

• Antisimétrica ðñ ppxRy^yRxq ùñ x“yq @x, yPA. • Transitiva ðñ ppxRy^yRzq ùñ xRzq @x, y, zPA.

Def.: Sea A un conjunto y R una relación de A la llamamos una Relación de Orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva, y una Relación de Equivalenciasi es reflexiva, simétrica y transitiva. SiRes una relación de orden la llamamosRelación de Orden Total

ðñ pxRy^yRxq @x, yPA.

Def.:Sea Aun conjunto, Runa relación de equivalencia deAyxPA, llamamos laClase de Equivalenciadexal conjuntox¯“ tyPA{xRyu.

Prop.: Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia de A, x, y P A ùñ px¯ “

¯

yq _ px¯Xy¯“φq.

Def.: Sea A un conjunto llamamos una Partición de A a un conjunto de subconjuntos disjuntos I cuya unión es A. Es decir, I “ tAiu, i ď N, i, N P N es una partición de

A ðñ ˆ pAiĎA@iq ^ pAiXAj “φ@i‰jq ^ ˆ_N Ť i“1 Ai“A ˙˙ .

Prop.:SeaAun conjunto yRuna relación de equivalencia deAentoncesRda una partición de A en clases de equivalencia.

Prop.: Sea A un conjunto e I una partición de A ùñ D R relación de equivalencia de

A{I“ tx¯u, xPA.

2.

Funciones

Def.:Sean A yB conjuntos llamamos una Funciónde A enB a una relación de A enB f “ tpx, yq { @xPAD!yPBu Ď pAˆBq. Notamosf :AÑB.

Def.:Seaf :AÑB llamamos aAelDominode la función y aB elCodomino. Notamos Dompfq “A.

Def.:Seaf :AÑBllamamos laImagendef al conjuntoImpfq “ tyPB:DxPA{fpxq“

yu ĎB.

Def.: Sea f : A Ñ B la llamamos Inyectiva ðñ @y P Impfq D! x PA { f_pxq “y. La

llamamos Sobreyectiva o Suryectiva ðñ Impfq “ B. Si f es inyectiva y suryectiva entonces la llamamosBiyectiva.

Def.:Seaf :_NÑB la llamamos unaSucesióny notamostfnuo fn, nPN.

Def.:Seanf :AÑB yg:CÑD{ Impfq ĎC definimos laComposicióndef ygcomo la funcióng˝f :AÑD{pg˝fqpxq“g_pfpxqq.

Def.:Sea f :AÑ B biyectiva llamamos la Función Inversade f a f´1 _:B

Ñ A{ pf ˝

f´1

qpxq“x.

Prop.:Seanf :AÑB yg:BÑA{ f˝g“g˝f ùñ f ygson biyectivas yg“f´1_.

3.

Principio de Inducción y Recurrencia

Def.:Sea an una sucesión yN, M PNllamamos laSumatoria dean desdeM hasta N a la suma de sus términos entreM yN inclusivos. Notamos

N

ř

n“M an.

Def.:Sea an una sucesión yN, M PNllamamos laProductoria dean desde M hasta N al producto de sus términos entreM yN inclusivos. Notamos

N

ś

n“M an. Def.:SeanPNllamamos a la funciónFactorialcomon!“

n

ś

i“1 i.

Truco de Gauss:SeaN, M PN ùñ

N

ř

n“M

n“ pN´M`1<sub>2</sub>qpN`Mq.

Serie Geométrica:SeanN, M PN, rPC{|r|ă1 ùñ

N

ř

n“M rn

“rM´_1´rN´_r 1.

Def.:SeanPNllamamos unaFunción Proposicionala una proposición cuyo valor lógico

depende del valor den.

Def.:SeaH un conjunto lo llamamosInductivosip1PHq ^ pnPH ùñ pn`1q PHq.

Prop.:Sea pn una sucesión proposicional y H“ tnPN{pnuinductivo ùñ H “N.

Def.: Sea an una sucesión la llamamos una Sucesión por Recurrencia si cada valor de la sucesión está definida por algún valor anterior. Es decir,an`1“fpanq, donde f es alguna

Principio de Inducción Completa: Sea pn una proposición en n { ptpnunďn0, n0 P N son verdaderosq ^ ptpnunďh son verdaderos ùñ ph`1 es verdadero , h P Nq ðñ pn es verdadero@nPN.

Principio de Buen Ordenamiento:SeaAPN, A‰φ, D n0ďn@nPA.

Prop.: Principio de Buen Ordenamiento ðñ Principio de Inducción Completa ðñ

Principio de Iducción.

4.

Combinatoria

Def.:SeanA yB conjuntos los llamamosEquinumerablessi|A|“|B|.

Prop.:SeanAyB conjutos equinumerables ðñ Df :AÑB biyectiva. Prop.:SeanAyB conjuntos:

• |AYB|“|A|`|B|´|AXB|.

• AĎB ùñ |B|ě|A|, |A1|“|B|´|A|.

• |AˆB|“|A||B|.

Prop.:SeantAiu, iďN, i, N PNconjuntos ùñ |A1ˆA2ˆ...ˆAN|“

N

ś

i“1 |Ai|. Prop.:SeanAyB conjuntos entonces hay2|A||B|_{relaciones de ambos.}

Prop.:Sea Aun conjunto hay2|A|p|A|´1q_{relaciones reflexivas.}

Prop.:SeanAyB conjuntos hay|B||A|funcionesf :AÑB. Prop.:SeanAyB conjuntos:

• f :AÑB es inyectiva ðñ |A|ď|B|. • f :AÑB es sobreyectiva ðñ |A|ě|B|.

• f :AÑB es biyectiva ðñ |A|“|B|.

Prop.:SeanAyB conjuntos{|B|ě|A|entonces hay _p|B|_|B_´||_A! _|q! funciones inyectivasf :AÑ

B.

Def.:Seann, kPN, kďnllamamos elNúmero Combinatorio a`n_k˘“ _k!pnn!_´kq!.

Prop.:`n<sub>k</sub>˘“`_nn_´k˘.

Binomio de Newton:Seanx, yPC, nPN0 ùñ px`yqn“ n ř k“0 `n k ˘ xn´k_yk_.

5.

Números Enteros

Def.:Seana, dPZ, d‰0 decimos quedDivideaa ðñ D!kPZ{ a“kd. Notamosd|a. Llamamos adelDivisordeay aaelDividendo.

Def.:Sea pPZlo llamamos Primo ðñ p‰0^|p|‰1, y ptiene solo 4 divisores. Si un número no es primo entonces lo llamamosCompuesto.

Prop.:Seana, b, dPZ, d‰0: • d|a^d|b ùñ d|a`b. • d|a ùñ d|ab.

• d|a ùñ db

|ab_.

Def.: Seana, b, d P Z, d ‰0 se dice que a esCongruente a b Módulo d ðñ d|a´b. Notamosa”b pmoddq.

Prop.:La congruencia es una relación de equivalencia. Prop.:SeandPZ, d‰0, taiu, tbiu ĎZ, 1ďiďn: • ai”bi pmoddq @i ùñ n ř i“1 ai” n ř i“1 bi pmoddq.

• a1”b1 pmoddq ùñ b2a1”b2b1 pmoddq.

• ai”bi pmoddq @i ùñ n ś i“1 ai” n ś i“1 bi pmoddq. • a1”b1 pmoddq ùñ a1n”bn1 pmoddq.

Algoritmo de División: Sean a, d P Z, d ‰0 ùñ D!k, r P Z, 0 ď r ă d{ a “ kd`r. Llamamos akelCocientey a relResto.

Prop.:Seana, d, k, rPZ, d‰0, 0ďrăd{a“kd`r: • ˜r”r pmoddq, 0ďr˜ăd ùñ ˜r“r.

• a”b pmoddq ðñ a”r pmodbq ^b”r pmoddq, bPZ.

Teorema de Numeración: Seana, dPN, dě2 ùñ D!nPN,triu ĎN, 0ďri ăd, 0ď

iďn{a“

n

ř

k“0 rkdk.

Def.:Seana, bPZno ambos nulos definimos elMáximo Común Divisorde ambos como

el númerod“m´axpDivpaq XDivpbqq, donde Divpcq es el conjunto de divisores dec @cPZ.

Notamospa:bq.

Algoritmo de Euclides:Seana, b, rPZ{a”r pmodbq ùñ pa:bq “ pb:rq.

Teorema:Seana, bPZno ambos nulos ùñ Ds, tPZ{ pa:bq “s¨a`t¨b. Prop.:Seana, bPZno ambos nulos ydPZ, d‰0 ùñ d|a^d|b ðñ d|pa:bq.

Prop.:Seana, bPZno ambos nulos ykPZ, k‰0 ùñ pka:kbq “|k|pa:bq.

Identidad de Bézout:: Seana, bPZno ambos nulos y dPZ{d‰0 ùñ pa:bq “d ðñ

d|a^d|b^d˜|d@d˜PDivpaq XDivpbq.

Def.:Seana, bPZ{ pa:bq “1 los llamamosCoprimos. NotamosaKb. Prop.:Seana, b, c, dPZ, c‰0, d‰0:

• c|a^d|a^cKd ùñ cd|a. • c|ab^cKa ùñ c|b.

Prop.:Seana, bPZno ambos nulos ùñ D! ˜a,˜bPZ, aKb {a“˜apa:bq, b“˜bpa:bq.

Prop.:Seanpun número primo yaPN{p|a ùñ pp:aq “p_ pp:aq “1. Prop.:Sea aPZ{|a|ą1 ùñ Dpprimo {p|a.

Teorema Fundamental de la Aritmética: Sea n P Z, |n| ą 1 ùñ D! tpiu primos,

triu ĎN, iP r1, ks ĎN{|n|“ k ś i“1 pri i . Lema:Seana, bPN, a“ n ś i“1 pri i , b“ n ś i“1 pli i, pi primos,ri, liPN0 @iP r1, ns ĎN ùñ pa: bq “ n ś i“1 pm´ınpri,liq i .

Def.:Seana, bPNllamamos elMínimo Común Múltiplodeaybara:bs “m´ınptnPN{ a|n^b|nuq.

Prop.:Seana, bPN, a“ n ś i“1 pri i , b“ n ś i“1 pli i, pi primos, ri, liPN0 @iP r1, ns ĎN ùñ ra: bs “ n ś i“1 pm´axpri,liq i

Teorema:Existen infinitos números primos.

Teorema de Dirichlet:Seana, kPN{ aKk ùñ Dinfinitos pprimos{ p”k pmodaq.

Lema:Seana, bPZ, pprimo ùñ pa`bqp”ap

`bp

pmodpq.

6.

Ecuaciones Diofánticas y de Congruencia

Def.: Llamamos una Ecuación Diofántica a una ecuación de la forma ř ki,j aj N ś i“1 xki i “ 0, kiP r0, ns ĎN0, jP r1, nNs ĎN, ajPZ@j, nPN.N es la cantidad de variablesxi de la

ecuación ynes el Ordende la ecuación.

Teorema de Wiles:Sea la ecuación diofánticaxn`yn´zn“0no existen soluciones enteras paraną2.

Prop.: Sean a, b, c P Z, a, b no nulos entonces la ecuación diofántica ax`by “ c admite soluciones enteras ðñ pa:bq|c.

Def.: Sean dos ecuaciones diofánticas ax`by “c y a1<sub>x`b</sub>1_{y “ c}1 con _{a, b, c, a}1_{, b}1_{, c}1 _P

Z

las llamamosEquivalentes si tienen las mismas solucionespx, yq PZ2. Notamosax`by“

cúa1_x`b1_y“c1.

Def.:Llamamos a una ecuación diofánticaHomogéneasi ř

ki,j aj N ś i“1 xki i “0ú ř ki,j aj N ś i“1 pλxiqki “

0, kiP r0, ns ĎN0, j P r1, nNs ĎN, ajPZ@j, nPN, λPR. En particular, cuando

mencio-nemos de la ecuación diofántica homogénea nos referimos a la ecuación ax`by“0, donde a, bPZno nulos.

Prop.:Sea la ecuación diofántica homogénea el conjunto de soluciones enterasS0“ tpx, yq P

Z2 {x“b1_{k, y“ ´a}1_{k, kP}

Zu, dondea1_“ a

pa:bq, b 1_“ b

pa:bq.

Teorema: Sea la ecuación diofánticaax`by“c, a, b, cPZno nulos, entonces el conjunto

de soluciones enteras es pS “φ ðñ pa : bq- cqYpS “ tpx, yq PZ2 { px, yq “ px0, y0q ` pxp, ypqu ðñ pa:bq|cq, dondepx0, y0q PS0 ypxp, ypq es una solución particular distinta a

la homogénea.

Def.:Definimos unaEcuación Lineal de Congruenciaa una ecuación de la formaax”

c pmodmq, dondexPZes la variable ya, cPZ, mPN, a‰0.

Prop.: Una ecuación lineal de congruencia tiene soluciones enteras ðñ pa : mq|c. Sean a1_“ a pa:mq, c 1_“ c pa:mq, m 1 _“ m pa:mq ùñ ax”c pmodmqúa 1_x”c1 _pmodm1_q.

Teorema:Sea una ecuación lineal de congruencia cona‰0entonces el espacio de soluciones enteras es pS “φ ðñ pa: mq-cqYpS “ txPZ { x”xp pmodm1_{qu ðñ pa: mq|cq},

dondexp es alguna solución particular. Además,D!xp { 0ďxp ăm1.

Prop.:Sea tmiu ĎN, iP r1, ns ĎN, mi Kmj @i‰j ùñ x”c pmodmiq @iúx”

c ˆ mod n ś i“1 mi ˙ @cPZ. Prop.:Seanm, m1_P N{m1_|m: • cıc1 pmodm1 q ùñ # x”c1 _pmodm1_q x”c pmodmq Es incompatible@c, c 1 PZ. • c”c1 _pmodm1_{q ùñ} # x”c1 _pmodm1_q x”c pmodmq úx”c pmodmq @c, c 1_P Z.

Teorema Chino del Resto: Sean tmiu Ď N, mi K mj @i ‰ j, tciu Ď Z, i P r1, ns Ď

N ùñ x”ci pmodmiqtiene soluciones enteras @i. Además,x”ci pmodmiqú x”

x0 ˆ mod n ś i“1 mi ˙

donde x0 P Z es alguna solución particular. Se tiene entonces que las

soluciones enteras sonS“ # xPZ{x”x0 ˆ mod n ś i“1 mi ˙+ ^ D!x0 {0ďx0ă n ś i“1 mi. Pequeño Teorema de Fermat: Sea p un primo positivo ùñ pap ” a pmodpqq ^ pp

-a ùñ ap´1

”1 pmodpqq @a PZ. Si algún número no primo cumple con esta propiedad

entonces lo llamamosPseudoprimo oNúmero de Carmichael.

Prop.:Sea pun primo positivo, aPZ { p-a, n, rP N{ n”r pmodpp´1qq ùñ an

”

ar

pmodpq.

Prop.: Sean p y q dos primos positivos distintos, a P Z { a K pq ùñ app´1qpq´1q _”

1 pmodpqq. Además, seanm, rPN{m”r pmodpp´1qpq´1qq ùñ am”ar pmodpqq.

Def.:SeamPNdefinimos el conjuntoZ{mZ“ tn¯ {nPN0, nămudondemZes la relación

de equivalencia de congruencia módulo m. Entonces, n¯ “ tk PZ { k ”n pmodmqu es la

clase de equivalencia den.

Def.:Se define una Operación Binaria como una operación‹ que toma dos argumentos

para calcular otro. Es decir, seanA, B, C conjuntos entonces‹: AˆBÑC.

Def.:SeaAun conjunto no vacío y sean‹y˝operaciones binarias se dice que que el conjunto pA,‹,˝qes unAnillosi cumple las siguientes condiciones:

• A esCerradobajo‹: a‹bPA@a, bPA(Magma).

• ‹esAsociativa:pa‹bq ‹c“a‹ pb‹cq @a, b, cPA(Semigrupo).

• ‹tiene unElemento Neutro:DnPA{a‹n“n‹a“a@aPA(Monoide). • ‹tiene un elementoSimétrico:DbPA {a‹b“b‹a“n@aPA(Grupo). • ‹esConmutativa:a‹b“b‹a@a, bPA(Grupo Abeliano).

• A es cerrado bajo˝.

• ˝es asociativa.

• ˝esDistributiva respecto de‹:pa˝ pb‹cq “ pa˝bq ‹ pa˝cqq ^ ppa‹bq ˝c“ pa˝cq ‹ pb˝cqq @a, b, cPA.

Def.:SeapA,‹,˝qun anillo decimos que es unAnillo Conmutativosi cumple la condición de que˝ es una operación conmutativa. Si además˝ contiene un elemento neutro decimos

quepA,‹,˝q es unAnillo Unitario. Llamamos al elemento neutro de˝ laUnidad. Teorema: SeamPN ymZla relación de equivalencia de congruencia módulo my sean `

y¨las operaciones definidas enZ{mZporn¯`¯k“n`k, ¯n¨¯k“nk@n, kP r0, mq ĎN0 ùñ

pZ{mZ,`,¨qes un anillo comutativo.

Def.:Sea pA,‹,˝q un anillo unitario lo llamamosAnillo de Divisiónsi todo elemento de Amenos el neutro esInversible, es decir,DbPA{a˝b“b˝a“u@aPAztnu, dondeuPA es la unidad ynPAes el elemento neutro. Llamamos ablaInversadea.

Def.:SeapA,‹,˝qun anillo de división si es además un anillo conmutativo entonces llamamos

aA unCuerpo.

Teorema:Sea pun primo positivo yp_Zla relación de equivalencia de congruendia módulo p entoncesZ{p_Zes un cuerpo.

7.

Números Complejos

Def.:Se define elNúmero ImaginariocomoiRR{ i2

“ ´1. Def.:Se define elConjunto ComplejocomoC“ ta`ib{ a, bPRu.

Def.: Sea z P C, a, bP R { z “ a`ib decimos que esa forma de expresar z es la Forma Binomial. Además, definimos<pzq “acomo laParte Realdezy=pzq “bcomo laParte Imaginariadez.

Def.:SeazPC, z“a`ibdefinimos elMódulodezcomo|z|“?a2<sub>`b</sub>2_. Def.:SeazPC, z“a`ibdefinimos elConjugadodez comoz¯“a´ib. Prop.:Sea zPC ùñ zz¯“|z|2.

Def.:Sea z PC definimos laForma Trigonométrica de z comoz “rpcospθq `isinpθqq,

donder“|z|yθ“argpzq, que llamamosArgumentodez. Prop.:SeazPC{z“a`ib“rpcospθq `isinpθqq ùñ r2

“a2 `b2<sub>, θ</sub> “ # arctanp<sub>a</sub>bq aą0 arctanp<sub>a</sub>bq `π aă0. Fórmula de Euler:eiθ

“cospθq `isinpθq.

Def.: Sea z P C definimos la Forma Exponencial de z como z “ reiθ_{, donde r y θ} corresponden a los mismo que los de la forma trigonométrica.

Fórmula de de Moivre:SeazPC{z“rpcospθq `isinpθqq ùñ zn

“rn

pcospnθq `isinpnθqq @nP

N.

Teorema:SeannPN, z“reiθPC ùñ Dωk“rn1eiφk_{, φk “}θ`2kπ

n , kP r0, nq ĎN{ω n k “ z @k.

Def.:SeanPNdefinimos el conjuntoGn “ tzPC{zn

“1u.

Prop.:pGn,¨qes un grupo abeliano. Prop.:SeannPN, zPGn: • |z|“1. • SeamPZ{ n|m ùñ zm “1. • Seanm, m1 _P Z{m”m1 _{pmodnq ùñ z}m “zm1_. • z´1 “z¯“zn´1_. Prop.:Seann, mPN: • n|m ðñ GnĎGm. • GnXGm“Gpn:mq.

Def.:SeanPZllamamos azPClaRaíz n-ésima de la UnidadsiGn“ tzk_{, k}

P r0, nq Ď

Nu.

Prop.: Seann PN y z P C entonces z es una raíz n-ésima de la unidad si zm “1 ðñ

8.

Polinomios

Def.: Sea K un cuerpo y n P N0 decimos que f es un Polinomio con coeficientes en K si f “

n

ř

i“1

aiXi, ai P K @i, an ‰ 0, donde X es una indeterminada sobre K. Notamos f P KrXs. Llamamos a los ai Coeficientes de f y a n el Grado de f, notamos Grpfq.

Llamamos aan elCoeficiente Principaldef y lo notamos Cppfq.

Prop.:Seanf, gPKrXs:

• Grpf`gq ďm´axpGrpfq,Grpgqq.

• Grpf`gq “m´axpGrpfq,Grpgqq ðñ pGrpfq ‰Grpgqq _ pCppfq ‰ ´Cppgqq.

Def.:Seaf PKrXslo llamamosMónicosiCppfq “1.

Def.: Sean f, g P KrXs, g ‰0 decimos que g Divide a f ðñ D q P Krxs { f “q¨g. Notamosg|f y en caso contrario notamosg_-f.

Prop.:Seanf, gPKrXs {g|f, si f|g_Grpfq “Grpgq ùñ DcPK {f “cg.

Def.:Llamamos a f PKrXs Irreduciblesi f RK y si sus divisores son de la formag “c og“cf, dondecPK.

Teorema:Seanf, gPKrXs ùñ D!q, rPKrXs {f “q¨g`rcon r“0o Grprq ăGrpgq.

Def.:Definimos elMáximo Común Divisorentre dos polinomios como el polinomio mó-nico de mayor grado que divide a ambos.

Teorema: Sea f PKrXs, Grpfq ě1 ùñ Dc PK, gn PKrXs, mn PN, n P r1, rs Ď N mónicos{ f “c r ś i“1 gmn n .

Def.: Sea f P KrXs definimos la Función Evaluación como la función f : K Ñ K que evalúa al polinomiof en algún puntoxPK, es decir,fpxq “

n

ř

i“1 aixi.

Def.:Seaf PKrXsdefinimos unaRaízdef a algún puntoxPK { fpxq “0.

Prop.:Sea f PKrXs, xPK es raíz def ðñ X´x|f ðñ DqPKrXs {f “qpX´xq.

Prop.:Seanf, gPKrXs, xPK, entonces fpxq “0^gpxq “0 ðñ pf :gqpxq “0

Def.:Sea f PKrXs, xPK una raíz def definimos su MultiplicidadcomomPN{ pX´

xqm|f^ pX´xqm`1-f.

Def.: Sea f P KrXs, x P K una raíz de f la llamamos Múltiple si también es raíz de la derivada def. Si no lo es, la llamamosSimple.

Prop.:Sea f P KrXs, Grpfq “ n, xi P K raíces de f con multiplicidad mi, iP r1, rs Ď

N ùñ

r

ř

i“1

miďn.

Teorema Fundamental del Álgebra:Sea f PCrXs, Grpfq “ně1 ùñ DziPC, miP

N, iP r1, rs ĎNraíces def {

r

ř

i“1

mi“n.

Prop.:Sea f PCrXs, z PCuna raíz de f de multiplicidad m ùñ z¯es una raíz de f de multiplicidadm.