Álgebra Lineal Ma1010

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Factorización LU

Álgebra Lineal

Ma1010

Factorización LU Departamento de Matemáticas ITESM

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Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas

Introducción

La factorización LU de una matriz es una

factorización que resume el proceso de

eliminación gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en terminos del número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes. En la lectura, primeramente consideraremos la

factorización LU sin intercambio basada en

matrices elementales y que es conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el algoritmo que da la factorización PA = LU.

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Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Factorización LU

Factorización LU

Suponga que la matriz A es una matriz m × n se

puede escribir como el producto de dos matrices:

(4)

Factorización LU

A = L U

Entonces para resolver el sistema:

(5)

Factorización LU

A = L U

Entonces para resolver el sistema:

A x = b,

escribimos

(6)

Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = U x y resolver para y:

(7)

Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = U x y resolver para y:

L y = b.

Como la matriz L es triangular superior este sistema puede resolverse mediante sustitución hacia abajo, lo cual se hace fácilmente en m2 FLOPS.

(8)

Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve

despejando x de

(9)

Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve

despejando x de

U x = y.

Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de tener

soución mediante sustitución hacia atrás, lo cual es sencillo.

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Uso de la factorización LU

Ejemplo Use la factorización LU de A: A ₌    4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17    =    1 0 0 5 1 0 −2 3 1       4 −2 1 0 3 7 0 0 −2    = L U

para despejar x del sistema:

A x ₌    11 70 17    = b

(11)

Introducci ón Factorizaci ón LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Factorización LU Soluci ón

Sea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas. Primero resolveremos el sistema triangular inferior

L y = b:    1 0 0 5 1 0 −2 3 1    y =    11 70 17   

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Introducci ón Factorizaci ón LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Soluci ón

Sea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas. Primero resolveremos el sistema triangular inferior

L y = b:    1 0 0 5 1 0 −2 3 1    y =    11 70 17   

Este sistema escrito en su forma de ecuaciones queda:

y1 = 11

5 y1 + y2 = 70

(13)

Por eliminación directa de la:

■ primera ecuación: y1 = 11, ■ segunda ecuación: y2 = 70 − 5 y1 = 70 − 5 (11) = 15, ■ y de la tercera: y3 = 17 + 2y1 − 3 y2 = 17 + 2 (11) − 3 (15) = −6.

(14)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Ahora el sistema U x = y:    4 −2 1 0 3 7 0 0 −2    x =    11 15 −6   

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Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Factorización LU Ahora el sistema U x = y:    4 −2 1 0 3 7 0 0 −2    x =    11 15 −6   

El cual escrito en su forma de ecuaciones queda:

4 x1 − 2 x2 + x3 = 11

3 x2 + 7 x3 = 15

(16)

El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrás queda: ■ de la última ecuación: x3 = 3, ■ segunda ecuación: x2 = 5 − 7/3 x3 = 5 − 7/3 (3) = −2, ■ y de la primera: x1 = 11/4 + 1/2x2 − 1/4 x3 = 11/4 + 1/2 (−2) − 1/4 (−3) = 1

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Obtención de la factorización LU con elementales

Ejemplo

Determine una factorización LU de la matriz:

A ₌      2 3 −1 −6 −6 5 4 18 6 −2 −9 −3     

(18)

La idea del método es ir acumulando las inversas

de las operaciones hechas sobre los renglones la matriz para irla trasnformando en una matriz

(19)

escalonada. Y más que propiamente las inversas de las operaciones sobre los renglones, las

(20)

matrices elementales involucradas. Así por

ejemplo el primer cálculo que se realiza es hacer un cero debajo de el elemento (1, 1) que es el

elemento 2, para ello debemos realizar la operación R2 ← R2 + 3R1,

(21)

matrices elementales involucradas. Así por

ejemplo el primer cálculo que se realiza es hacer un cero debajo de el elemento (1, 1) que es el

elemento 2, para ello debemos realizar la

operación R2 ← R2 + 3R1, esta operación tiene como matriz elemental la matriz:

E1 =      1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     

(22)

Así la situación está:

E1 A =      2 3 −1 0 3 3 4 18 6 −2 −9 −3      = B1

(23)

E1 A =      2 3 −1 0 3 3 4 18 6 −2 −9 −3      = B1

En el siguiente paso del proceso de eliminación es R3 ← R3 − 2R1,

(24)

E1 A =      2 3 −1 0 3 3 4 18 6 −2 −9 −3      = B1

En el siguiente paso del proceso de eliminación es R3 ← R3 − 2R1, esta operación tiene como matriz elemental la matriz:

E2 =      1 0 0 0 0 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 0 1     

(25)

E2 E1 A =      2 3 −1 0 3 2 0 12 8 −2 −9 −3      = B2

(26)

E2 E1 A =      2 3 −1 0 3 2 0 12 8 −2 −9 −3      = B2

En el siguiente paso del proceso de eliminación es R4 ← R4 + R1,

(27)

E2 E1 A =      2 3 −1 0 3 2 0 12 8 −2 −9 −3      = B2

En el siguiente paso del proceso de eliminación es R4 ← R4 + R1, esta operación tiene como matriz elemental la matriz:

E3 =      1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1     

(28)

E3 E2 E1 A =      2 3 −1 0 3 2 0 12 8 0 −6 −4      = B3

(29)

E3 E2 E1 A =      2 3 −1 0 3 2 0 12 8 0 −6 −4      = B3

Observamos que el hipotético caso de que en

E3 E2 E1 A = B3

La matriz B3 ya fuera escalonada, es decir la U buscada, entonces:

(30)

E3 E2 E1 A =      2 3 −1 0 3 2 0 12 8 0 −6 −4      = B3

Observamos que el hipotético caso de que en

E3 E2 E1 A = B3

La matriz B3 ya fuera escalonada, es decir la U buscada, entonces: A = E1− 1 E2− 1 E3− 1 U

(31)

Lo cual indica que lo que debemos acumular son las inversas de las matrices elementales utilizadas. La forma sistemática de ir acumulando las

(32)

Lo cual indica que lo que debemos acumular son las inversas de las matrices elementales utilizadas. La forma sistemática de ir acumulando las

inversas de las E_is es ir contruyendo la matriz L:

L =      1 0 0 0 −3 1 0 0 2 ? 1 0 −1 ? ? 1     

(33)

Así, en el avance de la conversión a escalonada de A: A ∼      2 3 −1 0 3 2 0 12 8 0 −6 −4      , L =      1 0 0 0 −3 1 0 0 2 ? 1 0 −1 ? ? 1      ∼      2 3 −1 0 3 2 0 0 0 0 0 0      = U, L =      1 0 0 0 −3 1 0 0 2 4 1 0 −1 −2 ? 1     

(34)

En este caso la matriz U está en la forma escalonada y por consiguiente el proceso se detiene haciendo cero aquellos valores

desconocidos. Por consiguiente una factorización de A será: A = L U =      1 0 0 0 −3 1 0 0 2 4 1 0 −1 −2 0 1           2 3 −1 0 3 2 0 0 0 0 0 0     

(35)

Factorización LU:

ejemplo clave

Ejemplo

Determine una factorización LU de la matriz:

A ₌      2 3 −1 −6 −6 5 4 18 6 −2 −9 −3     

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El método procede así.

■ La matriz L inicialmente es la matriz identidad

con el mismo número de renglones de A. Si se utilizó la operación Ri → Ri + c Rj entonces en la

posición (i, j) de L se coloca −c.

■ La matriz U es la matriz que queda en al

escalonar A.

■ Si hubo necesidad de intercambiar renglones

para escalonar, A NO admite una factorización

L U.

Digamos que con las operaciones siguientes 1. R2 → R2 + 3 R1

(37)

Factorización LU _{Álgebra Lineal - p. 20/53}

Soluci ´on

escalonar A.

L U.

2. R3 → R3 − 2 R1 3. R4 → R4 + 1 R1 4. R3 → R3 − 4 R2

(38)

escalonar A.

L U.

(39)

Factorización LU _{Álgebra Lineal - p. 20/53}

Soluci ´on

escalonar A.

L U.

2. R3 → R3 − 2 R1 3. R4 → R4 + 1 R1 4. R3 → R3 − 4 R2

(40)

Complejidad

Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana.

(41)

Complejidad

Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana. Por consiguiente, la complejidad del algoritmo de factorización LU será O(2/3 n3).

(42)

Complejidad

Teniendo la factorización LU, la aplicación de la sustición hacia atrás o hacia adelante toman cada uno n2

(43)

Complejidad

. Por ello es que para resolver un solo

sistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar la factorización LU.

(44)

Complejidad

sistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar la factorización LU. La ventaja aparece cuando se desean resolver varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes.

(45)

Complejidad

sistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar la factorización LU. La ventaja aparece cuando se desean resolver varios sistemas de ecuaciones

con la misma matriz de coeficientes. En la primera solución se determina la factorización LU, y en las siguientes bastará sustitución hacia adelante y

hacia atrás. O sea que cada siguiente solución tomará sólo 2 n2 FLOPs contrario a los 2/3 n3 de eliminación gaussiana.

(46)

Factorización de

P A

₌

L U

Frecuentemente, no es posible escalonar una matriz sólo con operaciones de eliminación. En estos casos se requiere realizar intercambio de renglones. Para este tipo de matrices no existe la factorización LU. Lo que aplica es la factorización

P A = L U. Donde la matriz P es una matriz de permutación. Estas matrices de permutación se obtienen de la matriz identidad intercambiando renglones. La factorización P A = L U se obtiene de forma análoga a la factorización LU pero se lleva un registro de los renglones que se

intercambian y se efectuan los intercambios en una matriz que registra los inversos de las

(47)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Factorización LU Algoritmo de P A = L U Entrada: ■ Matriz A n × m Salida: ■ P matriz de permutación n × n,

■ L matriz triangular superior unitaria n × n

(lii = 1),

■ U matriz escalonada n × m

que cumplen:

(48)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas 1. Tome P = I_n, L = 0, y U = A.

2. Mientras que U no sea escalonada hacer

2.1. Aplicar una operación R de eliminación o de intercambio a U.

2.2. Si R es de la forma R_i ↔ R_j, entonces aplicar

R a P y a L.

2.3. Si R es de la forma R_i ← R_i − a R_j,entonces

modificar L haciendo lij = a.

(49)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Factorización LU Ejemplo

Determine una factorización P A = L U de la matriz A =      1 2 −2 1 4 5 −7 6 5 25 −15 −3 6 −12 −6 22     

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Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Ejemplo

Determine una factorización P A = L U de la matriz A =      1 2 −2 1 4 5 −7 6 5 25 −15 −3 6 −12 −6 22      Soluci ´on Tomemos U0 = A, P0 = I4 y L0 = 0.

(51)

1. Si aplicamos sobre U₀ _{las operaciones de eliminación}

R2 → R2 − 4R1,R3 → R3 − 5R1 y R4 → R4 − 6R1 se obtiene a la nueva matriz U₁_: U₁ ₌        1 2 −2 1 0 −3 1 2 0 15 −5 −8 0 −24 6 16       

Estos cambios se registran en L₁ _{y hasta el momento se tiene:}

L₁ ₌        0 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0        ,P ₌ I

(52)

2. Si aplicamos sobre U₁ _{las operaciones de eliminación}

R3 → R3 + 5R2 y R4 → R4 − 8R2 se obtiene a la nueva matriz U2:

U₂ ₌        1 2 −2 1 0 −3 1 2 0 0 0 2 0 0 −2 0       

L₂ ₌        0 0 0 0 4 0 0 0 5 −5 0 0 6 8 0 0        ,P₂ ₌ P₁

(53)

3. Si aplicamos sobre U₂ _{la operación de intercambio} _R₃ _↔ _R₄ _se

obtiene la nueva matriz U₃_:

U₃ ₌        1 2 −2 1 0 −3 1 2 0 0 −2 0 0 0 0 2       

Aplicando la operación de intercambio a L₂ _{y a} P₂_{, se tiene:}

L₃ ₌        0 0 0 0 4 0 0 0 6 8 0 0 5 −5 0 0        ,P₃ ₌        1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0       

(54)

4. Puesto que la matriz U₃ _{ya es escalonada, el procedimiento}

termina y finalizamos haciendo L ₌ L₃ ₊ I _{y se tiene:}

U ₌ U₃ ₌        1 2 −2 1 0 −3 1 2 0 0 −2 0 0 0 0 2        ,L ₌        1 0 0 0 4 1 0 0 6 8 1 0 5 −5 0 1        P ₌ P₃ ₌        1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0       

(55)

Determine una factorización P A ₌ L U _{de la matriz}

A ₌           0 −3 1 2 2 0 0 0 0 2 1 2 −2 1 1 4 2 −8 8 9 5 1 −5 13 11          

(56)

A ₌           0 −3 1 2 2 0 0 0 0 2 1 2 −2 1 1 4 2 −8 8 9 5 1 −5 13 11           Soluci ´on Tomemos U₀ ₌ A_, P₀ ₌ I₅ _y L₀ ₌ 0_.

(57)

1. Si aplicamos sobre U _{la operación de intercambio} _R₁ _↔ _R₃ _se

obtiene la nueva matriz U_:

U₁ ₌           1 2 −2 1 1 0 0 0 0 2 0 −3 1 2 2 4 2 −8 8 9 5 1 −5 13 11          

Aplicando la operación de intercambio a L₀ _{y a} P₀_{, se tiene:}

L₁ ₌           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           ,P₁ ₌           0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1          

(58)

R4 → R4 − 4R1 y R5 → R5 − 5R1 se obtiene a la nueva matriz U2:

U₂ ₌           1 2 −2 1 1 0 0 0 0 2 0 −3 1 2 2 0 −6 0 4 5 0 −9 5 8 6          

L₂ ₌           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0           ,P₂ ₌           0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0          

(59)

3. Si aplicamos sobre U₂ _{la operación de intercambio} _R₂ _↔ _R₃ _se

U₃           1 2 −2 1 1 0 −3 1 2 2 0 0 0 0 2 0 −6 0 4 5 0 −9 5 8 6          

L₃ ₌           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0           ,P₃ ₌           0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1          

(60)

Si aplicamos sobre U₃ _{las operaciones de eliminación}

U₄ ₌           1 2 −2 1 1 0 −3 1 2 2 0 0 0 0 2 0 0 −2 0 1 0 0 2 2 0          

Estos cambios se registran en L₃ _{y hasta el momento se tiene:}

L₄ ₌           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0           ,P₄ ₌           0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0          

(61)

5. Si aplicamos sobre U₄ _{la operación de intercambio} _R₂ _↔ _R₃ _se

obtiene la nueva matriz U₅_:

U₅ ₌           1 2 −2 1 1 0 −3 1 2 2 0 0 −2 0 1 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0          

Estos cambios se registran en L₄ _{y hasta el momento se tiene:}

L₅ ₌           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 0 0 0           ,P₅ ₌           0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1          

(62)

6. Si aplicamos sobre U₅ _{la operación de eliminación}

R5 → R5 + 1R3 se obtiene a la nueva matriz U6:

U₆ ₌           1 2 −2 1 1 0 −3 1 2 2 0 0 −2 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1          

Estos cambios se registran en L₆ _{y hasta el momento se tiene:}

L₆ ₌           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0           ,P₆ ₌           0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0          

(63)

7. Si aplicamos sobre U₆ _{la operación de intercambio} _R₄ _↔ _R₅ _se

obtiene la nueva matriz U₇_:

U₇ ₌           1 2 −2 1 1 0 −3 1 2 2 0 0 −2 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2          

L₇ ₌           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 5 3 −1 0 0 0 0 0 0 0           ,P₇ ₌           0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0          

(64)

8. Puesto que la matriz U₇ _{ya es escalonada, el procedimiento}

termina y finalizamos haciendo L ₌ L₇ ₊ I _{y se tiene:}

U ₌ U₇ ₌           1 2 −2 1 1 0 −3 1 2 2 0 0 −2 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2           ,L ₌           1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 2 1 0 0 5 3 −1 1 0 0 0 0 0 1           P ₌ P₇ ₌           0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0          

(65)

A ₌              0 −18 0 14 16 7 8 16 −18 8 9 −16 9 3 −13 21 20 −14 1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 10 −1 −21 28 32 −12             

(66)

A ₌              0 −18 0 14 16 7 8 16 −18 8 9 −16 9 3 −13 21 20 −14 1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 10 −1 −21 28 32 −12              Soluci ´on Tomemos U₀ ₌ A_, P₀ ₌ I₅ _y L₀ ₌ 0_.

(67)

1. Si aplicamos sobre U _{la operación de intercambio} _R₁ _↔ _R₄ _se

obtiene la nueva matriz U_:

U₁ ₌              1 2 −2 1 1 −2 8 16 −18 8 9 −16 9 3 −13 21 20 −14 0 −18 0 14 16 7 0 −3 1 2 2 1 10 −1 −21 28 32 −12             

Aplicando la operación de intercambio a L₀ _{y a} P₀_{, se tiene:}

L₁ ₌              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0              ,P₁ ₌              0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1             

(68)

R2 → R2 − 8R1, R3 → R3 − 9R1 y R6 → R6 − 10R1 se obtiene a la nueva matriz U₂_: U₂ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 0 −2 0 1 0 0 −15 5 12 11 4 0 −18 0 14 16 7 0 −3 1 2 2 1 0 −21 −1 18 22 8             

     0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0           0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0     

(69)

3. Si aplicamos sobre U₂ _{la operación de intercambio} _R₂ _↔ _R₅ _se

U₃ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 0 −15 5 12 11 4 0 −18 0 14 16 7 0 0 −2 0 1 0 0 −21 −1 18 22 8             

L₃ ₌              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0              ,P₃ ₌              0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1             

(70)

4. Si aplicamos sobre U₃ _{las operaciones de eliminación}

R3 → R3 − 5R2, R4 → R4 − 6R2 y R6 → R6 − 7R2 se obtiene a la nueva matriz U₄_: U₄ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 0 0 0 2 1 −1 0 0 −6 2 4 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 −8 4 8 1             

Estos cambios se registran en L₃ _{y hasta el momento se tiene:}

     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0     

(71)

5. Si aplicamos sobre U₄ _{la operación de intercambio} _R₃ _↔ _R₅ _se

obtiene la nueva matriz U₅_:

U₅ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 −6 2 4 1 0 0 0 2 1 −1 0 0 −8 4 8 1             

Aplicando la operación de intercambio a L₄ _{y a} P₄_{, se tiene:}

L₅ ₌              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 9 5 0 0 0 0 10 7 0 0 0 0              ,P₅ ₌              0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1             

(72)

6. Si aplicamos sobre U₅ _{las operaciones de eliminación}

U₆ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 −1 0 0 0 4 4 1             

L ₌        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0       ,P =        0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0       

(73)

7. Si aplicamos sobre U₆ _{las operaciones de eliminación}

U₇ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 2 −1             

Estos cambios se registran en L₇ _{y hasta el momento se tiene:}

L₇ ₌              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 6 3 0 0 0 9 5 0 1 0 0 10 7 4 2 0 0              ,P₇ ₌              0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1             

(74)

8. Si aplicamos sobre U₇ _{la operación de intercambio} _R₅ _↔ _R₆ _se

obtiene la nueva matriz U₈_:

U₈ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 −2             

Aplicando la operación de intercambio a L₇ _{y a} P₇_{, se tiene:}

L₈ ₌        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0       _,P 8 =        0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0       

(75)

9. Puesto que la matriz U₈ _{ya es escalonada, el procedimiento}

termina y finalizamos haciendo L ₌ L₈ ₊ I _{y se tiene:}

U ₌ U₈ ₌              1 2 −2 1 1 −2 0 −3 1 2 2 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 −2              ,L ₌              1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 6 3 1 0 0 10 7 4 2 1 0 9 5 0 1 0 1              P ₌ P₈ ₌              0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0             

(76)

Notas generales

A continuación hacermos algunos comentarios generales sobre la factorización LU y su uso.

(77)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Factorización LU Nota 1

Existen maneras de programar el algoritmo anterior de forma tal que la matriz U _{y la matriz} L _{queden en una misma matriz}

cuadrada. Un truco radica en que siendo todos los elementos de la diagonal de U _{unos, no se requiere el espacio para almacenarlos.}

También hay forma de programar el algoritmo para que la matriz de permutaciones P _{se represente por un sólo vector con} _n _valores,

con números de 1 al n, que indican cómo deben permutarse los renglones de la identidad. Esto es muy conveniente pues la matriz

P _{es tal que de sus} _n2 _{valores todos son cero excepto} _n _{que son 1.}

Usando estas ideas el almacenamiento requerido por el algoritmo de factorización LU _{puede reducirse de} ₃_n2 _a _n2 ₊ _n _{números de}

punto flotante. Significando un ahorro de espacio aproximandamente 66 %.

(78)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Nota 2

Si se posee una factorización A ₌ L U _{de una matriz cuadrada}

invertible, entonces la inversa de A _{puede calcularse mediante} A−1 = _U−1_L−1

El costo de invertir una matriz triangular es de n3 FLOPs lo cual es más económico que invertir una matriz n × n cualquiera que es de

8 3n

3

FLOPs. Además de los costos para calcular L−1 y U−1, habría

que calcular el producto el cual tiene un costo de n3 FLOPs. Esto nos hace llegar a la conclusión de que el c ´alculo ´unico de A−1

haciendo uso de la factorización LU _toma ₃_n3 _{FLOPs que es más}

grande que los 8₃n3 FLOPs que toma el procedimiento tradicional. Por ello es que no es conveniente esta estrategia de cálculo.

(79)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Factorización LU Nota 3

Si se desea calcular A−1_B y se posee una factorización _LU de _A

entonces puede aplicarse eliminación gaussiana en la reducción [L_|B_] _→ _[I_|D_] _aquí D ₌ L−1_B

lo cual tiene un costo computacional de n3 FLOPs utilizando que L

es triangular. Seguido de esto, se aplica también eliminación gaussiana en la reducción

[U_|D_] _→ _[I_|E_] _aquí E ₌ U−1_D = _U−1_L−1_B = _A−1_B

lo cual tiene un costo computacional de n3 FLOPs utilizando que U

es triangular. Esto da como resultado un proceso de cálculo para

A−1_B con un costo 2_n3 FLOPs teniendo disponible una

(80)

Introducci ´on Factorizaci ´on LU Uso de LU Algoritmo Ejemplo clave Complejidad PA=LU Notas Nota 4

Las matrices de permutación P _{son fácilmente invertibles al cumplir}

la relación:

P−1 ₌ _PT

Además, normalmente no es conveniente realizar el producto P B

que tiene un costo de n3 FLOPs sino más bien realizar el

movimiento de renglones correspondiente. Y más que realizar el movimiento de renglones, se hacen trucos de programación para evitar tales movimientos teniendo un vector que refiere a los