INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION
NOMBRE ALUMNA:AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA
DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION
PERIODO GRADO N° FECHA DURACION
3 11 4 JULIO 15 DE 2015 6 UNIDADES
INDICADORES DE DESEMPEÑO
Identifica las características analíticas de los vectores, para realizar las operaciones básicas entre ellos.
Desarrolla las actividades de la guía oportunamente.
CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES
Bien sabes que todo lo que sea susceptible de ser medido se denomina magnitud y se clasifica dentro de dos grupos: magnitudes o cantidades escalares y magnitudes o cantidades vectoriales. En tu curso de física 1 (grado 10º) pudiste reconocer la diferencia entre cada una de ellas.
Las cantidades vectoriales se representan por medio de una flecha que recibe el nombre de
vector.
Entramos en la presente guía a realizar el estudio de las cantidades vectoriales que son de gran aplicabilidad en el estudio de efectos electromagnéticos, aeronáutica, mecánica, entre otros. Para su estudio abordaremos los vectores en el plano y en el espacio, veremos los conceptos básicos que nos permitirán definir las operaciones básicas entre ellos y algunas de sus aplicaciones. ¡Adelante! pues con el estudio del campo vectorial.
CONCEPTOS BÁSICOS:
VECTOR: Un vector es un segmento dirigido de recta con origen o punto de aplicación o cola y con cabeza o punto terminal cuya longitud representa su magnitud o módulo; un vector se representa por medio de una flecha y se acostumbra a nombrarlo con letras mayúsculas (que puede ser en negrilla ocon una flechita encimade la letra). Así por ejemplo hablamos del vectorM o del
vector
- Elementos de un vector: Un vector tiene magnitud, dirección y sentido.
Magnitud: Es el valor numérico o medida del vector. Se denomina también módulo. Dirección: La da la recta que contiene al vector y está determinada por el ángulo que
forma el vector con el eje horizontal a la derecha de éste.
El sentido: Lo indica la flecha. Puede ser norte (N), sur (S), este (E), oeste (O), sureste (SE), suroeste (SO), noreste (NE) o noroeste (NO).
Ten en cuenta que cuando te ubicas en un plano, el norte te queda arriba, el sur abajo, el este a la derecha y el oeste a la izquierda.
Así por ejemplo, en el diagrama mostrado se tiene que: M
C Vector:
C
Magnitud:
3 unidades
145º
Dirección:
145º
Sentido:
Noroeste.
RECUERDA nuevamente: La dirección de un vector es el ángulo que forma el vector con el eje horizontal a la derecha de dicho vector.
VECTOR EN POSICIÓN NORMAL Ó CANÓNICA: Un vector está en posición normal o canónica cuando ubicado en el plano cartesiano su cola coincide con el origen de coordenadas y su cabeza está en cualquiera de los cuadrantes o en cualquiera de los semiejes. A todo punto en el plano cartesiano le corresponde un vector en posición canónica de tal manera que su cola (o punto inicial del vector) siempre será el origen del plano y su cabeza (o punto final del vector) estará en el punto dado.
VECTOR UNITARIO: Es aquél vector cuya magnitud, norma ó medida es igual a 1.
VECTORES “DIRECCIONALES” UNITARIOS EN DIRECCIÓN DE LOS EJES COORDENADOS DEL PLANO CARTESIANO: En el plano cartesiano al punto (1, 0) se le asigna un vector unitario en posición canónica (en la dirección positiva del eje x) quellamamos y al punto (0, 1) se le asigna un vector unitario en posición canónica (en la dirección positiva del eje y) que llamamos ; por lo tanto podemos concluir y tener presente que:
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN POSICIÓN CANÓNICA: Como hemos dicho a todo punto en el plano (o en el espacio) se le asocia un vector en posición canónica; por lo tanto un vector en el plano (o en el espacio) se puede representar ó expresar por medio de un punto ó por medio de sus componentes rectangulares en función de los vectores unitarios
i
, j
y k
. Por ejemplo: Sea el punto en el plano (c, d), a dicho punto le podemos asociar un vector en posición canónica (digamos el vector ), por lo tanto a dicho vector lo podemos expresar así:= (c, d) o = c
i
+ d j
Si el punto está en el espacio, digamos el punto (c, d, e), le podemos asociar el vector por ejemplo y tendríamos que: = (c, d, e) o = c
i
+ d j
+ e k
. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO: Si tomamos el vector P = (m, n) en el plano cartesiano, las coordenadas m y n del punto reciben el nombre de componentes rectangulares del vector P a lo largo del eje X y del eje Y respectivamente y se escriben así: Px = m y Py = n.
i
j
* En el plano:
i
=
(1, 0) ;
-i
=
(-1, 0) ;
j
=
(0, 1) ;
-j
=
(0, -1)
*
En el espacio:
i
=
(1, 0, 0) ;
-i
=
(-1, 0, 0) ;
j
=
(0, 1, 0) ;
-j
=
(0, -1, 0)
k
= (0, 0, 1) ; -
k
=
(0, 0, -1)
B
B
B
A
A
A
En general las componentes rectangulares de un vector en el plano (o en el espacio), son las proyecciones de dicho vector en las direcciones de los ejes coordenados x, y, z.
Ahora bien, si conocemos la magnitud ó medida del vector P y su dirección (ángulo que forma el vector con el eje x a la derecha de éste), sus componentes rectangulares serán: Px = Pcosθ y Py = Psenθ, donde P es la magnitud del vector P y θ su dirección.
Y
EN GENERAL gráficamente:
(m, n)
P
θ
X
y tenemos que: = (m, n) o = m i
+ n j
o = Pcosθ i
+ Psenθ j
MAGNITUD, NORMA O MÓDULO DE UN VECTOR: Se define la magnitud, norma ó módulo de un vector como la medida de dicho vector. Si tenemos por ejemplo al vector
= f
i
+ g
j
en el plano, la magnitud, norma ó módulo de dicho vector (notada ) se calcula así:
=
Si el vector está en el espacio como por ejemplo: = f
i
+ g j
+ h k
, entonces tenemos que: = OPERACIONES BÁSICAS ENTRE VECTORES (Parte I):
Suma y/o resta (analíticamente): Para sumar y/o restar vectores analíticamente, se suman y/o restan las componentes en las mismas direcciones respectivamente (como si fuesen términos semejantes), así:
Sean los vectores: = a
i
+ b j
+ c k
y = d i
+ e j
+ f k
, entonces: + = (a + d) i
+ (b + e) j
+ (c + f) k
- = (a - d) i
+ (b - e) j
+ (c - f) k
NOTA IMPORTANTE: Si nos dan los vectores en posición canónica y conocemos sus magnitudes y direcciones, para hallar su suma y/o resta es necesario primero hallar sus componentes rectangulares y luego realizar las operaciones pedidas.
Producto de un escalar (número) por un vector: Para realizar la multiplicación de un escalar por un vector se multiplica cada una de las componentes de dicho vector por el escalar, así por ejemplo:
Sean: un escalar (número dado) y el vector = d
i
+ e j
+ f k
, tenemos que: = d i
+ ej
+ f k
P
P
P
R
R
R
f
2
g
2 R
R
f
2
g
2
h
2 B
A
B
A
B
A
B
B
A.
APORTE DE MI PROFE...
1. Halla la magnitud y la dirección de los vectores siguientes y los expreso en términos de su módulo y su dirección:
a. P(5, 3) b. Q(- 3, 4) c. R(4, - 2) d. S(- 12, 5)
2. Sea el vector P(a, b c) en el espacio; los ángulos α, θ y β que forma dicho vector con los ejes coordenados positivos, están dados por las expresiones:
a = Pcosα, b = Pcosθ y c = Pcosβ, donde P es la magnitud del vector P.
Las expresiones cosα, cosθ y cosβ reciben el nombre de cosenos directores, y los valores a, b y c se denominan componentes rectangualres.
Con base en esta información, determina:
a. Las componentes rectangulares del vector R cuya magnitud es 10 y sus ángulos directores con los ejes coordenados son respectivamente 30°, 50° y 65°.
b. Determina los ángulos directores del vector
= 5
i
- 7
j
+ 3
k
3. Determina las componentes rectangulares de los vectores siguientes y expresa cada uno de ellos en función de los vectores unitarios direccionales:
a. V(5, 40°) b. W(8, 315°) c. X(13, 150°).
4. Dados los vectores: = 8
i
+ 9 j
- 5 k
, = - 7 i
+ 2 j
- 3 k
y = - 5 i
- 15 k
, Determino: a. + b. - 3 - 8 c.2 + 5. Hallo un vector tal que: 4 + 7 - 2 = 5
B. OTRO DE MIS VALIOSOS APORTES EXTRACLASE:
No gemelita Yesica, no insistas,
hoy no saldré porque me iré pronto para mi casita a hacer esta
actividad
para poder entender la solución de los siguientes ejercicios que encuentra mi profesor en la clase:
1. Halla la magnitud y la dirección de los vectores siguientes y los expreso en términos de su módulo y su dirección: a. C(- 5, 7) b. D(- 3, - 4) c. E(4, - 2) d. F(3, 13)
P
R
Q
R
Q
P
A
R
P
A
Q
Q
P
R
M
2
.
Halla la magnitud y los ángulos directores de los vectores siguientes:a. A(2, 3, 4) b. B(
5
,
2
,
1
) c. C(5
,
3
,
1
) d. D(- 3, 5, - 2)3. Determina las componentes rectangulares de los vectores siguientes y expresa cada uno de ellos en función de los vectores unitarios direccionales:
b. M(5, 173°) b. N(13, 53°) c. P(23, 300°).
4. Dados los vectores: = - 7
i
+ 3 j
- 5 k
, = 7 i
- 8 j
y = 2 i
+ 3 k
, determino:a. 3 - 4 + 5 b. ¿Será alguno de estos vectores unitarios?, ¿por qué?.
c. Determino un vector tal que: 5 = - 2 + 3 -
d. Determina los ángulos directores de los vectores , y anteriores. 5. Verifico que el vector: es unitario.
