4
Índice
Unidad 1
Matrices
6
Unidad 2
Determinantes
8
Unidad 3
Sistemas de ecuaciones lineales
10
Unidad 4
Geometría en el espacio
12
Unidad 5
Producto escalar
14
Unidad 6
Productos vectorial y mixto
16
Unidad 7
Límites y continuidad
18
Unidad 8
Derivada de una función
20
Unidad 9
Aplicaciones de las derivadas
22
Unidad 10
Representación de funciones
24
Unidad 11
Integrales indefinidas
26
Unidad 12
Integrales definidas
28
Programación de las unidades
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6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
Unidad 1
Matrices
30
Unidad 2
Determinantes
80
Unidad 3
Sistemas de ecuaciones lineales
128
Unidad 4
Geometría en el espacio
202
Unidad 5
Producto escalar
260
Unidad 6
Productos vectorial y mixto
328
Unidad 7
Límites y continuidad
392
Unidad 8
Derivada de una función
452
Unidad 9
Aplicaciones de las derivadas
504
Unidad 10
Representación de funciones
562
Unidad 11
Integrales indefinidas
664
Unidad 12
Integrales definidas
720
6
Matrices
1
• U • D • I • C • R • C • C d
CONTENIDOS
Conceptos
• Elementos de una matriz. Clasificación de matrices. • Operaciones con matrices:
– Suma y resta de matrices. Propiedades.
– Producto de una matriz por un número. Propiedades. – Producto de matrices. Propiedades.
• Matriz traspuesta. Matriz simétrica y antisimétrica. • Rango de una matriz. Método de Gauss.
• Matriz inversa. Método de Gauss-Jordan.
Procedimientos
• Utilización de los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal, e identificación y utilización de los distintos tipos de matrices.
• Determinación de la igualdad de dos matrices y cálculo de la matriz traspuesta y la matriz simétrica de una dada.
• Realización de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un número.
• Determinación del rango de una matriz analizando la dependencia o independencia lineal de sus filas o columnas.
• Cálculo del rango de una matriz utilizando el método de Gauss. • Cálculo de la matriz inversa mediante su definición.
• Cálculo de la matriz inversa utilizando el método de Gauss-Jordan.
OBJETIVOS
• Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios. • Calcular la matriz suma y la matriz resta de dos o más matrices del mismo orden. • Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o más matrices, así como
las potencias de distintos órdenes de una matriz cuadrada. • Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada.
• Determinar si una matriz es simétrica o antisimétrica.
• Determinar el rango de una matriz utilizando el método de Gauss
• Obtener la matriz inversa de una dada a partir de la definición de matriz inversa y por el método de Gauss-Jordan.
Ac • V • G • S
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CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal.
• Determinar la igualdad de dos matrices.
• Identificar los distintos tipos de matrices.
• Calcular la matriz traspuesta y la matriz simétrica de una dada.
• Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un número.
• Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.
• Calcular la matriz inversa de una matriz dada, aplicando la definición o por el método de Gauss-Jordan.
Actitudes
• Valoración de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales.
• Gusto por la resolución ordenada de operaciones con matrices.
8
Determinantes
2
• C • A • A • O d • D • C • D • O • D • C
CONTENIDOS
Conceptos
• Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus. • Menor complementario y adjunto.
• Determinantes de cualquier orden. • Rango de una matriz.
• Matriz adjunta de una matriz dada.
Procedimientos
• Cálculo del valor de un determinante de orden 2.
• Aplicación de la regla de Sarrus para obtener el valor del determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3.
• Utilización de las propiedades para simplificar el cálculo de determinantes. • Obtención del menor complementario y del adjunto de un elemento cualquiera
de una matriz cuadrada.
• Desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea. • Determinación de todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. • Cálculo del valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros.
• Obtención del rango de una matriz, hallando el orden de su mayor menor no nulo. • Obtención de la matriz adjunta de una matriz.
• Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta de su matriz adjunta y dividiéndola por el valor del determinante.
OBJETIVOS
• Reconocer el significado del determinante de una matriz cuadrada.
• Obtener los valores numéricos de determinantes de orden 2 y de orden 3, aplicando la regla de Sarrus.
• Utilizar las propiedades de los determinantes para simplificar su cálculo.
• Calcular el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada.
• Obtener el valor de un determinante mediante el desarrollo por los elementos de una fila o de una columna.
• Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. • Aplicar los determinantes para obtener el rango de una matriz.
• Utilizar los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo, calcularla.
Ac • C
c • P
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CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Calcular el valor de un determinante de orden 2.
• Aplicar la regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de orden 3. • Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos. • Obtener el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera
de una matriz cuadrada.
• Desarrollar un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea. • Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. • Determinar todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. • Obtener el rango de una matriz.
• Determinar la matriz adjunta de una matriz dada. • Calcular la matriz inversa de una matriz dada.
Actitudes
• Curiosidad e interés por la resolución de problemas que impliquen cálculos con determinantes, confiando en las propias capacidades para resolverlos.
10
Sistemas de ecuaciones lineales
3
• A
• O
•
• A
• • • • •
CONTENIDOS
OBJETIVOS
• Resolver sistemas mediante su transformación en sistemas escalonados.
• Analizar, discutir y resolver por el método de Gauss sistemas de ecuaciones lineales y sistemas dependientes de un parámetro.
• Expresar sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices.
• Analizar la compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius.
• Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones.
• Discutir la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. • Analizar, discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones dependientes de parámetros. • Discutir y resolver sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
Ac
• V y
• V
• C
Conceptos
• Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones escalonados.
• Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
• Teorema de Rouché-Fröbenius.
• Regla de Cramer.
• Sistemas homogéneos.
• Sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
• Sistemas dependientes de un parámetro.
Procedimientos
• Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado y resolución del mismo.
• Aplicación del método de Gauss a la resolución y discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
• Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones que tengan distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
• Resolución de sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro utilizando el método de Gauss y discusión de sus soluciones en función de los valores de este.
• Resolución de sistemas por métodos matriciales, mediante la matriz inversa.
• Discusión y clasificación de sistemas de ecuaciones, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, a partir del rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.
• Utilización de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante distinto de cero.
• Discusión y resolución de sistemas homogéneos.
• Discusión y resolución de sistemas dependientes de parámetros.
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CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Aplicar correctamente el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana.
• Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos.
• Resolver un sistema de ecuaciones mediante su transformación en sistemas escalonados.
• Aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas.
• Resolver sistemas de ecuaciones mediante métodos matriciales.
• Discutir y clasificar sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius.
• Utilizar correctamente la regla de Cramer.
• Discutir y resolver sistemas de ecuaciones homogéneos.
• Discutir y resolver sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros.
Actitudes
• Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.
• Valoración de la necesidad de interpretación crítica de las soluciones obtenidas.
• Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.