Guía álgebra 3 – II medio

Departamento de Matem´atica

Gu´ıa 3: Factorizaci´

on

Definici´on:Factorizar una expresi´on algebraica (o suma de t´erminos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicaci´on.

Veremos los siguientes casos:

Factor com´

un (monomio y polinomio)

Aqu´ı, todos los t´erminos de la expresi´on presentan un factor com´un, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el t´ermino com´un es uno de los factores de la multiplicaci´on. El otro se determina aplicando la multiplicaci´on algebraica. Ejemplos:

Factoricemos la expresi´on 5a 6

3b2 − 10a2

21b −

20a3

9b4

El t´ermino o factor com´un de los numeradores es 5a2 y el de los denominadores es 3b; por lo tanto, el factor com´un de la expresi´on es 5a

2

3b y escribimos:

5a6 3b2 −

10a2 21b −

20a3 9b4 =

5a2 3b

a4

b −

2 7 −

4a

3b3

Factoricemos la expresi´onm(2a+b)−3n(2a+b)

Aqu´ı podemos considerar el par´entesis (2a+b) como un solo t´ermino y podemos factorizar por ´el. Entonces nos queda:

m(2a+b)−3n(2a+b) = (2a+b)(m−3n) Observaciones

El proceso est´a completo si no es posible seguir factorizando dentro de los par´entesis (o factores) obtenidos.

Actividad 1: Factoriza las siguientes expresiones identificando el factor com´un

Ej: 5xy+ 25x2z−5xz = 5x(y+ 5xz−z) 1) 9a+ 9b+ 2ab+a2_b=

2) 3xy−6xz+ 27x= 3) a9_+a10_+a11 ₌ 4) 3xy+ 2x2−7x3y=

5) 4a2x7−7b3x4−5a3x9 +x3 = 6) 0,5x+ 0,25x2_+x3 ₌

7) 2a2_b2_c2_{+ 4ab}2_c2_−5a3_b3_c3 ₌ 8) 9xy2+ 3x2y+ 90x2y2 =

9) 9a2−6a6b4+ 12a5b12−15a8b9 = 10) 21a6_−14a5_{+ 56a}7 ₌

11) 3a2_b−6a3_b−12ab3 ₌ 12) a

2_b2

x + a3_b3

x2 −

a2_b2

x3 =

13) x6y9z12+x6y8z6+z5y8z10= 14) 2

15a− 4 5ab−

16 25abc =

Factor com´

un compuesto

Muchas veces, no todos los t´erminos de una expresi´on algebraica contienen un factor com´un, pero haciendo una adecuada agrupaci´on de ellos podemos encontrar factores co-munes de cada grupo.

Ejemplos:

Factoricemos ac+ad+bc+bd

Factoricemos la expresi´onax+bx+cx+ay+by+cy−az −bz−cz

Asociemos en el orden natural los tres primeros t´erminos, los tres siguientes y los tres ´ultimos:

ax+bx+cx+ay+by+cy−az−bz−cz= (ax+bx+cx)+(ay+by+cy)−(az+bz+cz) =

x(a+b+c) +y(a+b+c)−z(a+b+c) = (a+b+c)(x+y−z) Observaci´on: La forma de asociar no es ´unica, pero la factorizaci´on si lo es.

Actividad 2: Factoriza las siguientes expresiones identificando el factor com´un compuesto

Ej: ac+ad+bc+bd= (ac+ad) + (bc+bd) = a(c+d) +b(c+d) = (c+d)(a+b) 1) 2ac−ad+ 2bc−bd=

2) xu−xv−yu+yv= 3) bd−3bf + 2cd−6cf = 4) a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 = 5) 1 +b+a+ab=

6) a2x2y2+b2x2y2−2a2−2b2 = 7) 2a−2b+ax−bx=

8) 4 + 2c+ 2d+ 2a+ac+ad+ 2b+bc+bd= 9) 6y−4x−3xy+ 2x2 =

10) 3a3_−1−a2_{+ 3a =} 11) x+x2−xy2−y2 =

12) 4a3_x−4a2_{b+ 3bm−3amx=} 13) −10a+ 10 + 8aq−8q=

Diferencia de cuadrados

Recordemos que el producto de una suma de dos t´erminos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos t´erminos. Aplicamos lo anterior en factorizaciones: Ejemplos:

Factoricemos 9m2_−16p2

9m2 _{es el cuadrado de 3m y 16p}2 _{es el cuadrado de 4p. Entonces:}

9m2 _−16p2 _{= (3m+ 4p)(3m−4p)} Factoricemos 1

a2 − 25 4b2

Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresi´on se factoriza: 1

a2 − 25 4b2 =

1

a +

5 2b

1

a −

5 2b

Actividad 3: Factoriza las diferencias de cuadrados

Ej: y2_{−4 = (y−2)(y+ 2)} 1) a2−4b2 =

2) 4m2_−16n2 ₌ 3) m2_n2_−p2 4) 25−k2 ₌ 5) 81c4_−9d4 ₌ 6) a2b2−81b4

Trinomios ordenados

Definici´on: Llamamos trinomio ordenado (seg´un el grado) a una expresi´on de la forma

ax2+bx+c, donde a, b, c, yx representan n´umeros reales. En general, los trinomios pueden proceder:

de la multiplicaci´on de un binomio por s´ı mismo (o un cuadrado de binomio); por ejemplo: (a+ 7)2 _=a2 _{+ 14a+ 49}

de la multiplicaci´on de dos binomios con un t´ermino com´un; por ejemplo: (a+ 2)(a+ 6) = a2+ 8a+ 12

o de la multiplicaci´on de dos binomios de t´erminos semejantes: (2x+ 1)(x+ 2) = 2x2+ 5x+ 2

Ejemplos:

Factoricemos x2_{+ 10x+ 25}

Observamos que el primer t´ermino (x2) y el ´ultimo (25) son los cuadrados de x y 5, respectivamente, y adem´as el t´ermino central (10x) corresponde al doble del pro-ducto de x y 5; entonces la expresi´on es un cuadrado de binomio y as´ı:

x2 + 10x+ 25 = (x+ 5)2 Factoricemos y2+ 13y+ 36

Aqu´ı vemos que tanto el primer t´ermino como el tercero corresponden a cuadrados exactos (dey y de 6, respectivamente), pero el t´ermino central (13y) no corresponde al doble del producto entre y y 6 (es decir, a 12y); en este caso, el trinomio puede corresponder al producto de dos binomios con un t´ermino com´un, que ser´ıa y. Buscamos entonces dos n´umeros cuyo producto sea igual a 36 (el ´ultimo t´ermino del trinomio) y el producto del t´ermino com´un (y) por la suma de estos n´umeros sea igual al t´ermino central (13y). Los n´umeros son +9 y +4.

En efecto: +9·+4 = 36 y 9 + 4 = 13 Entonces: y2+ 13y+ 36 = (y+ 9)(y+ 4) Factoricemos 2x2−3x−2

En este ejemplo, el primer t´ermino no es cuadrado exacto de un t´ermino entero. Amplifiquemos por el cociente de x2 _{(en este caso, por 2) para obtener un primer} t´ermino como en los ejemplos anteriores, es decir, un cuadrado exacto.

2x2_{−3x−2 /·}2 2 4x2_−6x−4

Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos anteriores (porque el primer t´ermino ya es un cuadrado exacto) y entonces trataremos de factorizar como producto de dos binomios con un t´ermino com´un que en este caso es 2x.

Buscamos dos n´umeros que multiplicados sean igual a −4 y cuya suma sea igual a

−3 (pues al multiplicar la suma por el t´ermino com´un 2x se debe obtener−6x). Los n´umeros son −4 y 1 y as´ı, la factorizaci´on de la expresi´on simplificada es:

4x2_−6x−4

2 =

(2x−4)(2x+ 1)

2 =

2(x−2)(2x+ 1)

2 = (x−2)(2x+ 1) Actividad 4: Factoriza el trinomio identificando el t´ermino com´un

Ej: z2−13z+ 42 = (z−7)(z−6) 1) a2_{−12a+ 20 =}

2) y2_{+ 8y−20 =} 3) x2−13x+ 42 = 4) m2_{+m−12 =} 5) x2−x−6 = 6) a2_{−5a−6 =} 7) s2_{−5s−84 =} 8) r2+ 16r+ 60 = 9) z2_{+ 2z−63 =} 10) x2₊7

2x+ 3 2 = 11) b2₊ 4

Actividad 5: Factoriza los trinomios cuadrados perfectos

Ej: x2−12x+ 36 = (x−6)2 1) x2_{+ 14x+ 49 =}

2) a2_{+ 18a+ 81 =} 3) x2−22x+ 121 = 4) a2_{−12a+ 36 =} 5) 4x2+ 20x+ 25 = 6) x2_{+ 14xy+ 49y}2 ₌ 7) x2_{−4x+ 4 =} 8) p2−8p+ 16 = 9) 4k2 _{+ 28k+ 49 =} 10) z4_−10z2_{w+ 25w}2 ₌ 11) 36a2b2−12abc+c2 = 12) m8_−16m4_n2_{+ 64n}4 ₌ 13) 9−12l+ 4k2 =

14) 16x4 _{+ 24x}2_{y+ 9y}2 ₌

Actividad 6: Factoriza el trinomio de la forma ax2_+bx+c Ej: 2x2_{+ 7x+ 6 = 2x}2_{+ 7x+ 6/·} 2

2

= 4x

2_{+ 14x+ 12} 2

= (2x+ 4)(2x+ 3) 2

= 2(x+ 2)(2x+ 3) 2

= (x+ 2)(2x+ 3) 1) 6z2_{+ 13z−5 =}

4) 6x4+ 11x2−2 = 5) 24a2_{+ 43a−56 =} 6) 100m4−136m2−56 =

Sumas o diferencias de cubos

Los factores de una diferencia de cubos son:

x3_−y3 _{= (x−y)(x}2_+xy+y2₎

Los factores de una suma de cubos son:

x3_+y3 _{= (x+y)(x}2 _−xy+y2₎ Ejemplos:

Factoricemos a3−8 Observamos que a3 es el cubo de a y que 8 es el cubo de 2. Se trata de una diferencia de cubos, por lo tanto:

a3−8 = (a−2)(a2+ 2a+ 4) Factoricemos x3_{+ 27}

El t´erminox3 _{es el cubo xy 27 es el cubo de 3. Aqu´ı tenemos una suma de cubos y} por lo tanto:

x3_{+ 27 = (x+ 3)(x}2 _{−3x+ 9)}

Actividad 7: Factorice las siguientes sumas o diferencias de cubos

1) x3_+p3 ₌ 2) −1−b3 = 3) 8a3₊ 1

b3 = 4) 125t3₋ 1

7) 0,001− a

6

b3 = 8) a6_{−1 =}

Cubo de binomio

Los factores de un cubo de binomio son:

(a+b)3 _{= (a+b)(a+b)(a+b) = a}3_{+ 3a}2_{b+ 3ab}2_+b3 (a−b)3 = (a−b)(a−b)(a−b) = a3−3a2b+ 3ab2−b3

Actividad 8: Factorice las siguientes expresiones como un cubo de binomio

Ej: 27x3−27x2y+ 9xy2−y3 =

(3x)3_·(y)0_−3·(3x)2_{·(y) + 3·(3y)·(y)}2_−(3x)0 _·(y)3 = (3x−y)3

1) x3_{+ 3x}2_{+ 3x+ 1 =} 2) 8−12y+ 6y2−y3 =

3) 8a3_{+ 36a}2_{b+ 54ab}2_{+ 27b}3 ₌ 4) m6_−15m4_n2_{+ 75m}2_n4_−125n6 ₌ 5) 1 + 12a2b−6ab−8a3b3 =