Bilímites 2-cofiltrantes de topos

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(1)Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires. Bil´ımites 2-cofiltrantes de topos Tesis de Licenciatura. Autor: Sergio A. Yuhjtman Director: Eduardo J. Dubuc. Diciembre de 2007.

(2) 1. Agradecimientos. A mis viejos, a Ale y a la familia toda.. También agradezco a Mart´ın M, a Eduardo, a Mart´ın S, a Mati, a Fede. A Pancho, Diego, Nico A, Carlos, Leandro L, Leandro A(SM), Pedro, Mara, Lau L, al Beto, Patricia y Flora, Meli, Pablo H, Gerva, Christian, Santiago L, Santiago PG, Fede F, Dany, Pablo C, Mariano, Mart´ın B, Nico B, Lau P, Guido dC, Nacho, Guidon y Tute. Y a varios más. Gracias a todos, de verdad, que sin ustedes no soy nada..

(3) 2. Índice 1. Introducci´ on 1.1. Comentarios sobre universos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 3. 2. Resultados preliminares op 2.1. L´ımites y col´ımites en Ens y en EnsC . . . . 2.1.1. Col´ımites - col´ımites filtrantes . . . . . 2.1.2. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. L´ımites finitos vs. col´ımites filtrantes . 2.2. Familias epimorfas estrictas . . . . . . . . . . 2.3. Funtor denso y generadores de una categor´ıa 2.4. Lemas de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 5 . 6 . 6 . 7 . 8 . 12 . 14 . 16. 3. Aspectos introductorios a la teor´ıa de topos 3.1. Categor´ıa de haces sobre un sitio . . . . . . . 3.2. Construcción del funtor “haz asociado” . . . 3.3. El funtor C − → Ce . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Propiedades de exactitud . . . . . . . . . . . 3.5. Definición de topos - Teorema de Giraud . . . 3.5.1. Algunos ejemplos de topos . . . . . . . 3.6. Morfismos geométricos . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Ejemplos de morfismos geométricos . . 3.6.2. Construcción de un adjunto a derecha 3.7. Sitios con l´ımites finitos . . . . . . . . . . . . 3.8. Lema de Gröthendieck . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 18 18 19 29 31 34 35 37 38 39 42 43. . . . . . . . . . . . . . . . por un multigrafo dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 51 53 53 54 59 64 68. 4. 2-categor´ıas 4.1. Bicol´ımites en Cat . . . . . . . 4.1.1. Categor´ıa libre generada 4.1.2. Cociente de categor´ıas . 4.2. Bicol´ımites 2-filtrantes . . . . . 4.3. Categor´ıas con l´ımites finitos . 4.4. Bicol´ımite en Sit . . . . . . . .. 5. Bil´ımites 2-cofiltrantes de topos 69 5.1. Restricción a un diagrama de sitios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2. Construcción del bicol´ımite en T OP op . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69.

(4) 3. 1.. Introducci´ on. La teor´ıa de topos fue creada por Alexander Gröthendieck a fines de la década del ‘50. Surge de la necesidad de definir la cohomolog´ıa etal de esquemas, pieza clave en la resolución de las conjeturas de Weil. Además de revolucionar la geometr´ıa algebraica, los topos han influido notablemente en el estudio de la topolog´ıa, el álgebra y la lógica. La obra fundacional de la teor´ıa, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA4), es la principal referencia de este trabajo1 . Nuestro principal objetivo es la construcción de bil´ımites de topos indexados por una 2-categor´ıa 2-cofiltrante. Este resultado generaliza la construcción de bil´ımites cofiltrantes de topos realizada en el segundo tomo del SGA4 (exposé VI). La idea que se utiliza, tanto aqu´ı como en la obra mencionada, es considerar sitios generadores de los topos y tomar el topos generado por el bicol´ımite del diagrama de sitios. La diferencia entre la noción de l´ımite que interesa (bil´ımite) y los l´ımites usuales, consiste en que los conos son en realidad pseudo-conos. Esto se debe a la naturaleza 2-categórica que presentan los topos en conjunto, tal como sucede en Cat, la 2-categor´ıa de categor´ıas2 . Desde este punto de vista, resulta razonable que los diagramas considerados estén indexados por una 2-categor´ıa, en lugar de una categor´ıa. La condición de ser filtrante puede ser reemplazada por otra más general, llamada “2-filtrante”, que involucra a las flechas dobles. En el caso de una 2-categor´ıa trivial, ambas definiciones coinciden. Existen casos, por ejemplo en teor´ıa de Galois, de diagramas de topos 2-cofiltrantes que no son en general cofiltrantes. En [DS], Eduardo J. Dubuc y Ross Street dan una construcción de los bicol´ımites 2-filtrantes en Cat y demuestran que preservan ciertas propiedades, situación en cierta forma análoga a la de col´ımites filtrantes de conjuntos. La propiedad más importante para nuestros fines que hereda la categor´ıa bicol´ımte es la de poseer l´ımites finitos. Esto nos permite construir el bicol´ımite 2-filtrante de sitios y en consecuencia el bil´ımite 2-filtrante de topos. En la sección 4 exhibimos una construcción de bicol´ımites en Cat indexados por una 2-categor´ıa arbitraria. Se obtiene como cociente de una categor´ıa libre. Luego empalmamos esta construcción con la de [DS] para el caso 2-filtrante. En la u ´ltima sección obtenemos el bil´ımite 2-cofiltrante de topos y demostramos la propiedad universal. Como herramienta clave, se usa un lema de Gröthendieck que permite obtener un morfismo de topos a partir de un morfismo de sitios ([SGA4-I], exposé IV). Al final de la sección 3 exponemos una demostración detallada e inédita de dicho lema. En las primeras secciones tratamos algunos temas introductorios a la teor´ıa de topos, entre los que se destaca una construcción novedosa del funtor “haz asociado” en una sola etapa. La conocida “construcción ++” requiere, en cambio, la aplicación de un mismo funtor dos veces.. 1.1.. Comentarios sobre universos. Un universo es un conjunto que satisface las siguientes condiciones: U.I) Si x ∈ U e y ∈ x, entonces y ∈ U. U.II) Si x, y ∈ U, entonces {x, y} ∈ U. 1 2. De hecho, el lector debe tener en cuenta que la referencia es permanente en las secciones 2 y 3. Las 2-categor´ıas son categor´ıas con flechas entre las flechas. En otras palabras, los “hom” son categor´ıas..

(5) 4 U.III) Si x ∈ U, entonces P(X) ∈ U. S U.IV) Si (xα )α∈I es una familia de elementos de U, e I ∈ U, entonces la unión xα α∈I. pertenece a U. Con estos axiomas se puede probar que U también es cerrado por construcciones tales como pares ordenados, productos, coproductos, conjuntos de funciones entre dos conjuntos, etc. En definitiva, se puede realizar las operaciones habituales de la teor´ıa de conjuntos sin salirse del universo. Es posible definir el concepto de categor´ıa a partir del conjunto de objetos, el de flechas y las aplicaciones estructurales. De esta forma podemos decir si una categor´ıa pertenece a un universo determinado. La noción de universo nos sirve para precisar el sentido de, por ejemplo, la categor´ıa de los conjuntos. As´ı, U-Ens es la categor´ıa de conjuntos pertenecientes a un universo U. Normalmente supondremos fijo el universo, por lo que escribiremos simplemente Ens. La misma perspectiva puede adoptarse para las otras categor´ıas grandes familiares (grupos, espacios topológicos, etc.). Estas categor´ıas no pertenecen al universo original. N. Bourbaki propone la introducción del siguiente axioma: para todo conjunto x existe un universo U tal que x ∈ U. Su adopción permite que las categor´ıas Ens, Ab, A M od, Cat, etc., sean peque˜ nas en un universo V tal que U ∈ V. A lo largo del trabajo, diremos que una categor´ıa C es peque˜ na cuando C ∈ U, para lo cual alcanza con que los conjunto de objetos y de flechas pertenezcan a U. Por U-categor´ıa entendemos una categor´ıa tal que sus hom son conjuntos pertenecientes a U (“conjuntos peque˜ nos”). Si el conjunto de objetos de una U-categor´ıa pertenece a U, entonces la categor´ıa es peque˜ na. Además de las categor´ıas grandes ya mencionadas, los topos (más rigurosamente los “U-topos”) son ejemplos de U-categor´ıas..

(6) 5. 2.. Resultados preliminares. 2.1 Definici´ on. Dadas dos categor´ıas C y D se puede definir la categor´ıa C × D. Sus objetos son los pares (C, D) con C ∈ C (3) y D ∈ D y los notamos C × D. El conjunto [A × B, C × D] se define como [A, C] × [B, D], o sea que las flechas de C × D son los pares (f, g) donde f y g son flechas de C y D respectivamente. idA×B := (idA , idB ). La composición se define as´ı: (f, g)(h, k) = (f h, gk). 2.2 Observaci´ on. Si C y D son dos categor´ıas, los funtores de C a D, junto con las transformaciones naturales entre ellos, forman una categor´ıa, que notamos DC . evC Para cada C ∈ C se tiene el funtor evaluaci´ on DC −−→ D que se define evC (F ) = F C η en los objetos y evC (η) = ηC en las flechas F − → G. 2.3 Proposici´ on. Sean C, D y E tres categor´ıas. Las categor´ıas E C×D y (E D )C son isomorfas. F. 2.4 Proposici´ on. Un funtor C − → D da una equivalencia si y s´ olo si es plenamente fiel y es cuasisuryectivo en los objetos (i.e. ∀D ∈ D ∃C ∈ C /F C ' D). Si F es plenamente fiel y biyectivo en los objetos, entonces es un isomorfismo de categor´ıas. 2.5 Lema. Si se tiene dos col´ımites en C cuyos diagramas est´ an dados desde una misma categor´ıa Γ, una transformaci´ on natural entre los diagramas induce un u ńico morfismo entre los col´ımites. M´ as precisamente: dada una transformaci´ on natural Γ. A ⇓γ B. / ńico morfismo / C existe un u. colim A − → colim B tal que los cuadrados Ai. λi. γi. . Bi. µi. / colim A . / colim B. conmutan. A tal morfismo lo podemos denominar colim γ. También vale para l´ımites en lugar de col´ımites. Demostraci´ on. Por la naturalidad de E, las flechas µi Ei dan un cono de A a colim B. De la propiedad universal de colim A se deduce la existencia y unicidad del morfismo buscado. colim. 2.6 Observaci´ on. Este hecho permite construir un funtor C Γ −−−→ C. En realidad existe un funtor colim para cada elección de los objetos col´ımite para cada diagrama. Dados dos funtores colim existe un u ńico isomorfismo natural entre ellos. 3. Si C es una categor´ıa, C ∈ C significar´ a C ∈ ob(C)..

(7) 6 F. G. T. 2.7 Lema. Sean dos col´ımites en C dados por Γ − →C yΛ− → C. Un funtor Λ − → Γ tal que F T = G induce una flecha colim G → colim F . Λ? T. ?? ??G ?? Γ F /C. Demostraci´ on. G(α) = F T (α). OOOVVVV OOO VVVVVsT (α) VVVV OO VVVV ra OOO VVVV ' + colim G / colim F ∃!. 2.1. 2.1.1.. L´ımites y col´ımites en Ens y en EnsC. op. Col´ımites - col´ımites filtrantes A. La categor´ıa Ens tiene todos los col´ımites peque˜ nos. Dado un diagrama Γ − → Ens el col´ımite se puede construir como un cociente de la unión disjunta, en donde se identifican los elementos conectados por una flecha del diagrama. La relación de equivalencia es entonces la generada por estos pares. À i colim A = a ∼ f (a) i∈Γ. La estructura de cono está dada por las inclusiones a la unión disjunta compuestas con la proyección al cociente. Es fácil verificar la propiedad universal. Si la categor´ıa de ´ındices Γ verifica algunas condiciones (de “filtración”) la relación de equivalencia considerada tiene una forma más expl´ıcita, y el col´ımite posee algunas propiedades interesantes. A continuación exponemos estas condiciones tal como son planteadas en [SGA4-I] (exposé I, sección 2). 2.8 Definici´ on. Decimos que una categor´ıa es pseudo-filtrate si tiene las siguientes dos propiedades. PS1) Todo par de flechas α → β, α → γ se puede completar a un cuadrado conmutativo β ? >>> >> >> α@ ? δ @@ @@ @@ @ γ. PS2) Para todo diagrama de la forma α wu = wv.. u v. //. β existe una flecha β. w. / γ tal que.

(8) 7 2.9 Observaci´ on. Si la categor´ıa de ´ındices de un diagrama en Ens cumple PS1, la relación de equivalencia en la unión disjunta admite la siguiente descripción: si a ∈ Aα y m / γ o n β tales que m(a) = n(b). b ∈ Aβ , entonces a = b si y sólo si existen α Esta nueva relación as´ı definida es de equivalencia (la transitividad es consecuencia de PS1) y coincide con la anterior pues vale la doble inclusión. 2.10 Observaci´ on. Si Γ es pseudo-filtrante, la condición PS2 da la siguiente propiedad. Dos elementos en un mismo conjunto a, b ∈ Aα pertenecen a la misma clase en el col´ımite m si y sólo si existe α −→ γ tal que m(a) = m(b). 2.11 Definici´ on. Una categor´ıa es filtrante si es no vac´ıa, pseudo-filtrante y conexa (i.e., dos objetos cualesquiera están unidos por una secuencia de flechas, sin imponer condiciones sobre el sentido de las mismas). Observaci´ on. La condición PS1 hace que la conexión sea equivalente a: F0) dados dos objetos α, β ∈ Γ existen α QQQ β. QQQ (6 γ nnn n n nn. Por otra parte, las condiciones PS2, F0 y Γ 6= φ bastan para que Γ sea filtrante. 2.1.2.. L´ımites. Los l´ımites de conjuntos también existen y se pueden obtener como subconjunto del producto de los objetos en cuestión; el subconjunto de tiras coherentes con las flechas. Q f → j} l´ım A = {a ∈ i∈Γ Ai / f (ai ) = aj ∀i − Esta construcción de alguna manera se generaliza a l´ımites en cualquier categor´ıa mediante el siguiente lema. 2.12 Lema. Todo l´ımite se puede expresar mediante un egalizador y productos. L. Demostraci´ on. Sea I − → C un diagrama. Sean a y b las flechas que hacen conmutar los siguientes dos cuadrados. / Lcod(f ) O. id. Lcod(f ) O. πf0. πcod(f ). S. /. a. Q. Li. i∈Ob(I). b. Lcod(f ). f ∈F l(I) πf0. πdom(f ). . Ldom(f ). //. Q. Lf. / Lcod(f ). S es el egalizador de a y b. Es sencillo comprobar que S es el l´ımite de L. 2.13 Corolario. Para que una categor´ıa tenga l´ımites basta con que tenga productos y egalizadores. También se desprende que una categor´ıa tiene l´ımites finitos si y s´ olo si tiene productos finitos y egalizadores..

(9) 8 2.14 Corolario. Si un funtor preserva productos arbitrarios (resp. finitos) y egalizadores entonces preserva l´ımites arbitrarios (resp. finitos). 2.15 Observaci´ on. Si una categor´ıa tiene productos fibrados y objeto final, entonces tiene todos los l´ımites finitos. Los productos A × B se pueden construir como el pullback a. de A → 1 ← B, mientras que el egalizador de A. b. //. B es el pullback de. B. A 2.1.3.. . (a,b). ∆. /B×B. L´ımites finitos vs. col´ımites filtrantes. 2.16 Observaci´ on. Consideremos tres categor´ıas I, Γ y C tales que C tiene todos los l´ımites indexados por I y todos los col´ımites indexados por Γ. A Sea Γ × I − → C un funtor. A lim La composición Γ − → C I −−→ C permite construir colim lim Ai,α . α. i. Análogamente se tiene lim colim Ai,α . i. α. u. Probaremos que existe una flecha canónica colim lim Ai,α − → lim colim Ai,α . Esta α. i. qj,β. / colim Aj,α. i. α. flecha surge del siguiente diagrama. lim Ai,β. pj,β. / Aj,β. i. α. Es fácil comprobar que dejando fijo j obtenemos el cono (qj,β pj,β ) en β hacia colim Aj,α α ´ (se usa el lema 2.5). Este induce las flechas tj . (Análogamente, dejando fijo β se obtiene un cono en j). lim Ai,β. pj,β. / Aj,β. i. / colim Aj,α 5 α O. tj. rβ. . colim lim Ai,α α. qj,β. u. i. sj. / lim colim Ai,α i. α. Las flechas tj también forman un cono que provocan la flecha u. Se puede comprobar que u es la u ńica que cumple sj urβ = qj,β pj,β (el rectángulo conmuta). Esto explica que si se fabrica u a partir de t0β en lugar de tj (la otra diagonal del rectángulo) se obtiene la misma flecha. 2.17 Proposici´ on. En la categor´ıa Ens, col´ımites filtrantes conmutan con l´ımites finitos: u la flecha can´ onica colim lim Ai,α − → lim colim Ai,α es un isomorfismo. α. i. i. α.

(10) 9 Demostraci´ on. Primero demostraremos que col´ımites filtrantes conmutan con productos finitos, luego con egalizadores, y finalmente tendremosQ el caso general gracias al lema 2.12. u Q → colim Ci,α está definida Sea I un conjunto finito. La flecha canónica colim Ci,α − α α i i as´ı: u (ai ) = ai . La suryectividad de u se debe a que para cualquier tira (ai ) se pueden elegir los representantes de manera que estén todos en conjuntos con el mismo ´ındice α (se usa que Γ es filtrante e I finito). Para ver que u es inyectiva, supongamos (ai ) = (bi ), con ai ∈ Ci,α y bi ∈ Ci,β . Al / γi o β tales que ser Γ filtrante, para cada i existe un ´ındice γi con flechas α los representantes se igualan en Ci,γi . Además podemos avanzar para elegir a todos los γi iguales entre s´ı: αA. AA AAri AA A. β. ? si . γi. ti. /γ. Pero a´ un las flechas ti ri pueden no ser todas iguales. Ídem las flechas ti si . Por la propiedad w PS2 existe γ − → δ tal que las flechas wti ri se igualan, y también las flechas wti si . Esto nos da unos representantes ci ∈ Ci,δ tales que (ai ) = (ci ) = (bi ). Ahora veamos que los col´ımites filtrantes conmutan con egalizadores. Sean Sα nemos:. . / Cα. fα gα. Sα . //. Dα egalizadores indexados por una categor´ıa filtrante. Te-. . / colim Cα α q8 q q q qqq + qqqq. colim Sα α. u. / Cα. fα gα fα gα. //. Dα. // colim Dα α. E. donde E es el egalizador de fα y gα y u es la flecha canónica. Debemos verificar que u es inyectiva y suryectiva. Vale u(c) = c pues u hace conmutar el trapecio de la izquierda. De esta forma, la inyectividad de u significa que si a ∈ Sα y b ∈ Sβ son tales que a = b en colim Cα entonces también a = b en colim Sα . Lo cual se deduce del siguiente α α diagrama:.

(11) 10. a ∈ SFα . . / Cα BB BB r BB BB / Cγ > } }} } }} s }} / Cβ. FF FFr FF FF # <x Sγ x s xxx x x xx b ∈ Sβ. donde r y s son tales que ra = sb. La suryectividad significa que todo elemento a ∈ E ⊂ colim Cα posee un representante α en un Sβ . λ. Sabemos que fα (a) = fα (a) = gα (a) = gα (a). De modo que existe un α − → β tal que λfα (a) = λgα (a). Como λ conmuta con f y g, fβ λ(a) = gβ λ(a). Esto dice que λ(a) ∈ Sβ y representa a la misma clase que a, tal como se buscaba. ´ Ultimo paso: Sea Eα = lim Ai,α y F = lim colim Ai,α . i. /. e. FO. Q. O. //. a. colim Ai,α. i∈Ob(I). u. α. i. α. b. Q. colim Acod(f ),α. f ∈F l(I). v. / colim α. f. colim Eα α. α. O. w. Q. //. c. Ai,α. i∈Ob(I). d. colim α. Q. Acod(f ),α. f ∈F l(I). Para ver que vf = eu se puede usar el siguiente diagrama: lim colim Ai,α. e. α. i. O. /. Q. colim Ai,α α. i. u. NNN NNπNi NNN N&. colim Ai,α. v. colim lim Ai,α α. O. i. f. / colim α. Q. qq8 qqq q q q qqq πi. α. Ai,α. i. LasQflechas πi son las proyecciones del producto. πi es la flecha col´ımite de las proyecciones Ai,α → Ai,α i. Por como es la construcción del l´ımite a partir de un egalizador, πi e son las proyecciones del l´ımite, mientras que πi f son las proyecciones del l´ımite (para cada α) pasadas al col´ımite. Por el análisis hecho en la observación 2.16, πi eu = πi f y πi v = πi . Luego, πi eu = πi vf de donde eu = vf . De manera similar se puede comprobar que wc = av y wd = bv. colim Eα es egalizador α de c y d por el paso anterior. Como v y w son isomorfismos, también es egalizador de a y b. En consecuencia, u es isomorfismo..

(12) 11 2.18 Proposici´ on. Si D tiene l´ımites entonces DC también tiene l´ımites y se calculan lugar a lugar. F. Demostraci´ on. Sea I − → DC . Para armar el l´ımite l´ım F = F definimos primero su valor en los objetos de C. F (C) := lim evC ◦ F = lim Fi (C) i. ev. F. C I− → DC −−→ D. f. ńica flecha que hace conmutar Si C − → D es una flecha en C, F (f ) será la u F (f ). / F (D) HH HH πD,i HH HH H# / Fi (D). F (C) GG GG GG πC,i GGG # Fi (C). Fi (f ). para todo i ∈ I (lema 2.5). Es fácil ver que F as´ı definido resulta un funtor y que se πi tienen proyecciones F −→ Fi que dan un cono porque evaluando en cada C dan conos (la naturalidad de πi es el paralelogramo anterior). λ. i Fi transformaciones naturales que Verifiquemos la propiedad universal. Sean G −→ l dan un cono. Debemos definir G − → F tal que πi l = λi . Evaluando en cada C ∈ C, vemos que lC queda determinado:. lC. GC RRR / F C E RRR EE πi,C R E RRR E RRR EE RRRE" (. λi,C. Fi C. lo que nos da la unicidad de l, y también la existencia una vez probada la naturalidad. f. Para C − → D ∈ C tenemos: lC. GC RRR / F C E RRR EE πi,C R E F fRRRRR EE Gf R RRREE" ( lD Fi C GD RR / F D E RRR RRR EEEπi,D RRR EE λi,D RRRREE" R(. Fi f. Fi D. Siguiendo el diagrama se ve que πi,D lD G(f ) = πi,D F (f )lC , de donde lD G(f ) = F (f )lC por la propiedad universal de lim Fi (D). i. F. 2.19 Definici´ on. Si C es una categor´ıa, un prehaz sobre C es un funtor C op − → Ens. op C Ens es la cateogr´ıa de prehaces sobre C. Por la proposición anterior esta categor´ıa tiene todos los l´ımites y col´ımites peque˜ nos..

(13) 12 2.20 Proposici´ on. Un cono de un diagrama de prehaces tal que al evaluar en todo objeto da un l´ımite de conjuntos, es un l´ımite. t0. t. i i Demostraci´ on. Sea F − → Fi el cono. Tomamos un l´ımite F 0 − → Fi . Existe una u ńica g 0 0 F − → F tal que ti g = ti . Al evaluar en un C, gC debe ser un isomorfismo porque tanto F 0 C como F C son l´ımites. Por lo tanto g es isomorfismo y F es l´ımite.. 2.2.. Familias epimorfas estrictas βi. α. i 2.21 Definici´ on. Sea Ci −→ C una familia de flechas en una categor´ıa. La familia Ci −→ D s t se dice compatible con (αi ) si para todo par de flechas Z − → Ci , Z − → Cj tales que αi s = αj t se tiene βi s = βj t.. Ci ATTTT AA αTTTT βi }> } s } AA i TTTTT } TTTT AA } TTT) }} Z@ C j5 D > @@ jjjj j ~~ j j @@ ~ j ~~ j jjjjjβj t @@ j j ~~jjα j j Cj α. i 2.22 Definici´ on. Una familia Ci −→ C se dice epimorfa estricta si para toda familia. f. βi. ńica C − → D tal que f αi = βi ∀i. compatible con ella Ci −→ D existe una u αi. /C AA AA f βi AA . Ci A. D. 2.23 Proposici´ on. Las familias epimorfas estrictas son epimorfas. α. i Demostraci´ on. Sea Ci −→ C una familia epimorfa estricta. Al componerla con una flecha. f. cualquiera C − → D se obtiene una familia compatible, i.e. (f αi ) es compatible con (αi ). Si f y g son tales que f αi = gαi para todo i, entonces la unicidad en la definición de familia epimorfa estricta dice que f = g. f. 2.24 Proposici´ on. Si A − → B es monomorfismo y epimorfismo estricto entonces es isomorfismo. id. A Demostraci´ on. Por ser monomorfismo la flecha A −−→ A es compatible con f . Luego, g ∃!B − → A tal que gf = idA . Para ver que f g = idB , basta con notar que f es compatible con s´ı misma. Como f gf = f e idB f = f , por la unicidad f g = idB .. El hecho de que una familia de flechas sea epimorfa o epimorfa estricta se puede expresar mediante col´ımites, como veremos a continuación. Para las familias epimorfas estrictas se usa la existencia de productos fibrados..

(14) 13 fα. 2.25 Observaci´ on. Una familia de flechas Tα −→ T en una categor´ıa cualquiera es epimorfa si y sólo si, en el diagrama de abajo, T junto con las identidades da un col´ımite. Tα NWNWWWWW NN W. .... g Tγ gggqgqgqq g f g γ gggg fγ qq WWWgWgWggOgOgOggg NNN qq N& sgggggg WWWWOWO'+ xqqqq T T A AA ~~ AA ~ A ~~ id AA ~~ id. Tβ OO O fα WWWW fβ OOO WWWWW fβ O fα NN O W. NN. T. fα. 2.26 Observaci´ on. Sea Tα −→ T una familia de flechas. Supongamos que existen los col´ımites de los pares (fα , fβ ), y llamémoslos Pαβ . (fα ) es epimorfa estricta si y sólo T es col´ımite en el el siguiente diagrama. Pαβ P Pαγ UUU UUUU iiiiii βγ BB BB iiii i | i i U i B BB | i UUUU BiBiiii B UUUU iiii || i i B i i | i i B U i i | UUUU BBB i B! ii i i }|ti|iiiiii U i UU* ii ... Tβ ti Tα VVVVV ii Tγ i CC i VVVV i CCfβ VVVV iiii CC VVVV iiii i i i VVVV CC i fγ fα VVVV! iiii * tiiii T. 2.27 Observaci´ on. En la categor´ıa de conjuntos las familias epimorfas son estrictas. Es f´ acil ver que ambas condiciones equivalen a que las im´ agenes cubran el codominio. op C En Ens , como los l´ımites y col´ımites se calculan lugar a lugar, y por las observaciones anteriores, las familias epimorfas también son estrictas (se usa la proposici´ on 2.20) y son las familias suryectivas lugar a lugar. λ. α 2.28 Lema. Si Cα −→ C es un col´ımite entonces también es una familia epimorfa estricta.. µα. Demostraci´ on. Sea Cα −−→ D una familia compatible con (λα ). Veamos que resulta ser un s a cono para que exista una u ńica flecha C − → D tal que sλα = µα . Sea Cα − → Cβ una flecha del diagrama del col´ımite. / Cα 00 0 a λα00 00 00µα /C Cβ PP 00 λPβPP PPP 00 PPP PPP 00 µβ PP( . Cα. id. D. Como λα id = λβ a, µα id = µβ a..

(15) 14. 2.3.. Funtor denso y generadores de una categor´ıa F. 2.29 Definici´ on. Sea C − → D un funtor y D ∈ D. Llamaremos diagrama de D a través g F de F a la categor´ıa ΓD cuyos objetos son los pares (C, g) donde C ∈ C y F C − → D, y una t. flecha entre (C, g) y (C 0 , g 0 ) está dada por una C − → C 0 tal que g 0 F t = g. C t. F CD. DD g DD DD D! /D F C0. Ft. . C0. g0. π. Se tiene una proyección canónica ΓFD − → C. π(C, g) = C, π(t) = t. Además se tiene un π. F. cono desde el funtor ΓFD − →C− → D hacia D F. 2.30 Definici´ on. Un funtor C − → D se dice denso si todo objeto D ∈ D es col´ımite de su diagrama a través de F. F. 2.31 Proposici´ on. Sea S − → T un funtor denso, T van col´ımites y S T. G ⇓η H. GF ⇓η HF. G H. // U dos funtores que preser-. / on natural. η se puede extender a una u ńica / U una transformaci´. / / U tal que η = ηF .. Demostraci´ on. Sea D un objeto cualquiera de T . ΓFD π. . S. /T. F. G H. //. U. Como D es col´ımite de F π, GD y HD son col´ımites de GF π y HF π respectivamente. Dado que tenemos una transformación natural entre GF π y HF π, el lema 2.5 nos dice η. D que existe una u ńica GD −−→ HD tal que. GF (A) ηA =η F (A). . HF (A) g. Gg. / GD . Hg. ηD. / HD. conmuta para toda flecha F (A) − → D en T . Esto ya nos da la unicidad de η. Sólo resta g t chequear la naturalidad. Sea D − → D0 una flecha en T . Para toda flecha F (A) − → D, tenemos:.

(16) 15. GF (A) ηA. Gg. / GD. . HF (A). . / GD 0. ηD. / HD. Hg. Gt. . Ht. η D0. / HD0. η 0D Gt Gg = Ht Hg ηA = Ht η D Gg . Como GD es col´ımite podemos cancelar Gg. 2.32 Proposici´ on. Sea C una categor´ıa y S una subcategor´ıa plena. Son equivalentes: . / C es densa. 1) La inclusi´ on S 2) Para todo objeto P de C la clase de todas las flechas que salen de objetos de S y tienen codominio P es epimorfa estricta. Cuando se cumplen estas afirmaciones decimos que S es densa en C o bien que “genera” C. h. Demostraci´ on. 1) implica 2) por el lema 2.28 (col´ımite implica familia epimorfa estricta). Veamos la otra implicación. ΓhP. /S. π. h. /C µα. λ. α El cono Cα −→ P está dado trivialmente. Si tenemos otro cono Cα −−→ Q:. λα. /P @@ @@ µα @@@. Cα @. Q a. b. sólo debemos ver que (µα ) es compatible con (λα ). Sean Z − → Cα y Z − → Cβ tales que λα a = λβ b. Supongamos primero que Z ∈ S. Escribamos λγ = λα a = λβ b. (Z, λγ ) ∈ ΓiP . De esta forma, a y b dan flechas en ΓiP . Cα @ @@ ~? ~ a ~~ @@λα λγ @@ ~ ~ @ ~~ ' Z b / Cβ λ / P β. Como (µα ) es cono, λα a = λγ = λβ b ⇒ µα a = µγ = µβ b. t. Si ahora Z es cualquiera, para toda flecha L − → Z con L ∈ S, por lo probado recién, vale µα at = µβ bt. Usando la hipótesis (2) para Z, la familia de las flechas t es epimorfa, luego µα a = µβ b..

(17) 16 2.33 Observaci´ on. Sea C una categor´ıa con un conjunto generador S. Para que un cono pi C −→ Ci en C sea un l´ımite basta con que se cumpla la propiedad universal para los objetos generadores.. 2.4.. Lemas de Yoneda. 2.34 Proposici´ on. Lema de Yoneda I. τ → F } ↔ F C que Sea C una categor´ıa, F ∈ EnsC y C ∈ C se tiene una biyecci´ on {[C, −]C − resulta natural en las variables C y F . Demostraci´ on. La biyección se define, para un lado: τ. → F} {[C, −]C −. / FC. / τC (idC ) τ Para la inversa, sea α ∈ F C y f ∈ [C, D]. Se define α eD (f ) = F f (α). idC ∈ [C, C] f∗. α eC. / FC 3 α Ff. . f ∈ [C, D]. . / FD. α eD. Se chequea la naturalidad de α e, que las dos composiciones dan las identidades y la naturalidad en C y F . 2.35 Observaci´ on. Si aplicamos el lema a C op podemos escribir [−, C]C en lugar de [C, −]C op . h. op. 2.36 Corolario. La inclusi´ on de Yoneda C − → EnsC , h(C) := [−, C]C , es plenamente fiel. Tener una flecha C → D equivale a [−, C] → [−, D]. Por esta razón es frecuente la op omisión del funtor h, considerando C ,→ EnsC . Usaremos constantemente el abuso de α escribir C − → F para referir tanto al elemento en F C como a la transformación natural [−, C] → F correspondiente. Los diagramas de la pinta f. /D @@ @ α αf @@ . C@ @. F. op. C@ @ α. . F. @@tα @@ @ /G t. (C, D ∈ C, F, G ∈ EnsC ) tienen sentido gracias a la naturalidad de la biyección del lema de Yoneda I. op Notar que EnsC completa por l´ımites y col´ımites peque˜ nos a la categor´ıa arbitraria C..

(18) 17 2.37 Proposici´ on. Lema de Yoneda II. op h El funtor C − → EnsC es denso. op. Demostraci´ on. En la categor´ıa EnsC las familias epimorfas son estrictas (observación 2.27). Por lo tanto basta con comprobar que la familia de flechas [−, C] → F es epimorfa, es decir que es suryectiva lugar a lugar. Esto es inmediato del lema de Yoneda I, pues todo α ∈ F C es igual a α eC (idC ) 2.38 Observaci´ on. La inclusi´ on de Yoneda preserva l´ımites. pi. gi. op. Demostraci´ on. Sea C −→ Ci un l´ımite en C, y F − → Ci un cono (F ∈ EnsC ). Para cada α D− → F , con D ∈ C, tenemos: α. D tα. /F @@ @@gi ∃!t @@ @ / Ci C pi. pi. ńico Las tα aparecen porque C −→ Ci es l´ımite en C. Por el lema de Yoneda II existe un u t tal que los triángulos de la izquierda conmutan, lo cual equivale a que conmuten los de la derecha..

(19) 18. 3. 3.1.. Aspectos introductorios a la teor´ıa de topos Categor´ıa de haces sobre un sitio. 3.1 Definici´ on. Un sitio es una categor´ıa con una topolog´ıa. Una topolog´ıa consiste en λα una clase cov(C) para cada objeto C ∈ C, de familias de flechas (Cα −→ C) (cubrimientos) satisfaciendo las siguientes propiedades. f. f. (1) Si C − → D es un isomorfismo, (C − → D) ∈ cov(D). f. λ. α (2) Si (Cα −→ C) ∈ cov(C) y se tiene una D − → C entonces existe un cubrimiento de D, µγ (Dγ −→ D) tal que cada flecha f µγ se factoriza por alguna λα :. Dγ. tγ. / Cαγ. µγ. . D. f. . λαγ. /C λ. µα,γ. α (3) Los cubrimientos son estables por composición: si (Cα −→ C) ∈ cov(C) y (Cα,γ −−−→. λα µα,γ. Cα ) ∈ cov(Cα ) entonces (Cα,γ −−−−→ C) ∈ cov(C). (4) Si un refinamiento de una familia cubre, entonces la familia original también cubre. Es decir: µγ λα Dada una familia de flechas Cα −→ C y un cubrimiento Dγ −→ C tal que cada flecha se factoriza por una λα , Dγ PP CC PPP CC PPPµγ CC PPP PPP tγ CC! PPP (/ Cαγ C λαγ. se tiene (λα ) ∈ cov(C). 3.2 Observaci´ on. Si C tiene pull-backs, la condici´ on (2) es equivalente a que los cubrimientos sean estables por pull-backs (usando (4)). 3.3 Observaci´ on. La intersecci´ on de topolog´ıas es una topolog´ıa. Adem´ as, se tiene la topolog´ıa m´ axima (o discreta) en la que toda familia Cα → C es un cubrimiento (incluso φ ∈ cov(C)). Esto permite definir la topolog´ıa generada por un conjunto arbitrario de familias Cα → C. La topolog´ıa indiscreta es la generada por el vac´ıo. Est´ a formada por las familias λα Cα −→ C tales que alguna λα es una retracci´ on. Es la menor topolog´ıa, est´ a contenida en cualquier otra. 3.4 Definici´ on. Tal como ha sido mencionado recién en la propiedad (4), un refinamiento λ. µγ. α de una familia de flechas Cα −→ C es otra familia Dγ −→ C tal que cada flecha se factoriza por una λα ..

(20) 19. Dγ PP CC PPP CC PPPµγ CC PPP PPP tγ CC! PPP (/ Cαγ C λαγ. λ. µβ. α 3.5 Observaci´ on. Dados dos cubrimientos de un mismo objeto Cα −→ C y Dβ −→ C, existe un tercer cubrimiento que refina a ambos:. sγ. / Cαγ DD DD ργ DD tγ DD λαγ D! /C Dβγ. Eγ. µβγ. τβ,δ. Demostraci´ on. Basta con tomar para cada β un cubrimiento Fβ,δ −−→ Dβ tal que las flechas µβ τβ,δ se factoricen por alguna λα (condición 2). El conjunto de todas las flechas µβ τβ,δ. Fβ,δ −−−−→ C es un cubrimiento (por la condición 3) que refina a (λα ) y a (µβ ). 3.6 Definici´ on. Un haz sobre un sitio C es un prehaz que cree que los cubrimientos son λα familias epimorfas estrictas. Es decir: para todo cubrimiento Cα −→ C y toda familia τα τ Cα −→ F compatible, existe una u ńica C − → F tal que τ λα = τα . λα. /C AA AA τα AAA ∃! . Cα A. F. Llamaremos Ce a la categor´ıa de haces sobre el sitio C. Se define como la subcategor´ıa op plena de EnsC cuyos objetos son los haces. 3.7 Observaci´ on. Usando que para todo prehaz Z la familia de flechas D − → Z con D ∈ C es epimorfa (lema de Yoneda 2) se obtiene que para que valga la compatibilidad de τα τα una familia Cα −→ F con un cubrimiento Cα −→ C es suficiente testearla solamente para objetos D ∈ C.. 3.2.. Construcci´ on del funtor “haz asociado”. op # Exhibiremos a continuación una construcción del funtor EnsC − → Ce adjunto a izquierda de la inclusión. Asigna a cada prehaz el haz de alguna manera más cercano. La exposición resulta novedosa por ser “en un solo paso”, a diferencia de la tradicional que requiere la aplicación de un mismo funtor dos veces para obtener #. La nueva idea introducida es la de las familias “localmente compatibles”. No es preciso entender los detalles de esta construcción para continuar la lectura..

(21) 20 τ. op. α 3.8 Definici´ on. Sea F ∈ EnsC . Una familia Cα −→ F se dice localmente compatible λα a b con un cubrimiento Cα −→ C si para todo par de flechas Z − → Cα , Z − → Cβ tales que mi λα a = λβ b, existe un cubrimiento de Z, Zi −−→ Z tal que τα ami = τβ bmi .. Cα A AA λ τα ~> AA α AA ~ ~ A ~~ /Z @@ ?C @@ ~~ ~ @@ ~ ~~ b @@ ~~ λβ τβ a ~~~. mi. Zi. # <Z. Cβ. τ. α 3.9 Definici´ on. Definimos #F (C) como el conjunto de familias Cα −→ F localmente. λ. α compatibles con alg´ un cubrimiento Cα −→ C, cocientado por una relación de equivalencia. Dos tales familias están relacionadas si existe un cubrimiento de C que refina a ambos cubrimientos de manera que se igualan las dos familias. Más precisamente:. Cα A. λα. /C. Dβ. AA AA AA A. ∼. τα. µ. β /C AA AA A σβ AAA. F. F. νγ. si existe un cubrimiento Eγ −→ C tal que el siguiente diagrama conmuta para todo γ. Cαγ. = {{ {{ { { {{ rγ. Eγ. CC CC C sγ CCC !. νγ. Dβγ. AA AAλαγ AA AA /C }> } }} }}µβγ } }. ταγ. &. 8F. σβγ. 3.10 Proposici´ on. La relaci´ on recién definida es de equivalencia. Demostraci´ on. Reconstruiremos el conjunto #F (C) como un col´ımite en Ens. Como categor´ıa de ´ındices tomamos ΛFC , cuyos objetos son los cubrimientos de C junto con una λ familia localmente compatible: Cα B α / C y las flechas son los refinamientos que respetan BB BB τα BB B. F. las familias localmente compatibles:.

(22) 21. Cα. λα /C AA AA A τα AA A. β /C AA AA A σβ AA A µ. Dβ r. /. F. significa. Dβ. F. CQCCQQQ C QQQQµβ rβ CC QQQQ Q C! λαQQQ β /( C Cαβ CCC σβ τα βC CC )! F. El funtor ΛFC − → Ens es simplemente el singleton en cada objeto con las u ńicas flechas posibles. Mostraremos que la categor´ıa de ´ındices tiene la propiedad PS1. Sabiendo esto, es claro que la relación definida anteriormente no es otra cosa que la relación de equivalencia propia de este col´ımite. λ Tenemos Cα B α / C y dos cubrimientos que refinan a (λα ): Dβ → C y Eγ → C que BB BB τα BB B. F. inducen sendas flechas de ΛFC . Tomando un cubrimiento Ri → C que refine a estos dos u ´ltimos, obtenemos: rβi. Dβi. Tij. ∃mij. }> ti }} } }} }}. / Ri AA AA A ui AAA. E γi. sγi. / Cαβ. i. / Cαγ i. BBOOOO τα O β λαβ OOOOi iBB B OOOOO ' >| C ooo7 F || ooo λαγi oooo oτ ||o|ooo αγi. Como λαβi rβi ti = λαγi sγi ui y (τα ) es una familia localmente compatible, podemos cubrir cada Ri con (mij )j de manera que ταβi rβi ti mij = ταγi sγi ui mij . 3.11 Definici´ on. Definamos #F sobre las flechas de C. f. Sea C − → D una flecha en C. Debemos definir una flecha #F (D) − → #F (C). Tomemos λ un elemento cualquiera τ ∈ #F (D), supongámoslo representado por Dα B α / D . ConBB τ BB α BB B!. µγ. sideramos un cubrimiento de Cγ −→ C tal que (f µγ ) se factorice por (λα ). µγ. Cγ rγ. . /C f. λαγ. . /D CC CC C ταγ CCC !. Dαγ. F. F.

(23) 22 Definimos #F (f )(τ ) como la clase correspondiente a la familia (ταγ rγ ) con el cubrimiento (µγ ). Es fácil ver que es localmente compatible. A continuación probamos la buena definición. En primer lugar, que la definición no depende de la elección del cubrimiento de C (para un mismo representante de τ ) y luego que no depende de la elección del representante de τ . Demostraci´ on. Debemos mostrar que para dos cubrimientos de C que se factorizan por (λα ) se obtienen familias equivalentes. Considerando un cubrimiento que refina a ambos, nos basta con probar que cada familia es equivalente a la familia refinada. Pero tal equivalencia está provocada por el mismo refinamiento, como se puede ver en los siguientes diagramas. Qδ DQQQ µγ. Pγ rγ. . DD QQQQ ν DD QQQδ QQQ sδ DDD QQ " µγδQQQ( /C Pγ. /C. δ. f. Dαγ. λαγ. rγδ. . /D. CC CC C ταγ CCC !. . f. . /D DD DD D ταγ DDD δ !. Dαγδ. F. λαγ. δ. F Probemos ahora que eligiendo distintos representantes de τ se obtiene igual resultado. Basta con chequearlo para los generadores de la relación de equivalencia. Sean entonces r. Eα. λα. γ γ λα / D y un refinamiento dado por Fγ −→ Eαγ −−→ D. Tomando un cubrimiento de BB BB B τα BB B! F. C que se factorice por µγ = λαγ rγ obtenemos: Cδ RRR. RRR RRRνδ RRR RRR RRR ( Fγδ QQ C DD QQQ DD QQQµγδ D QQQ f QQQ rγδ DDD " λαγQQQ( δ / Eαγδ D CC CC C ταγ CCC δ !. sδ. F. El mismo cubrimiento se factoriza también por (λα ). 3.12 Observaci´ on. #F es un funtor. Es trivial que preserva identidades. El siguiente.

(24) 23 diagrama muestra que también preserva la composici´ on. Cδ. /C. . . f. Dγδ. /D. . . g. /E CC CC C ταγ CCC δ !. Eαγδ. F. k. 3.13 Observaci´ on. Se tiene una transformaci´ on natural F − → #F asign´ andole a cada a elemento C − → F de F C la clase de C @ id / C en #F (C). @@ @@ a @@ @. F. Demostraci´ on. La naturalidad, expresada a la izquierda, la da el diagrama de la derecha. FC O. kC. f. kD. / #F (D). /C. id. C. #F (f ). Ff. FD. / #F (C) O. . . f. id / D AA AA a AA. DA. F 3.14 Lema. Sea Z un objeto de C y Z. a b. //. k. F. / #F tales que ka = kb. Entonces. λ. i existe un cubrimiento Zi −→ Z tal que aλi = bλi para todo i.. Demostraci´ on. La hipótesis es que. Z. id /Z @@ @@ @@ a @. Z ∼. F. id / Z . Es decir que existe un re@@ @@ @@ b @. F. finamiento del cubrimiento (idZ ) que iguala a a y a b. Pero un refinamiento tal debe λ. i estar dado por un cubrimiento de Zi −→ Z factorizado trivialmente por (idZ ). Luego, aλi = bλi .. λ. α 3.15 Lema. Sea Cα −→ C un cubrimiento. Supongamos que para cada α se tiene un diagrama. Cα. λα. τα. . . F. /C. k. τ. / #F.

(25) 24 Los diagramas son conmutativos si y s´ olo si (τα ) es una familia localmente compatible con (λα ) y (τα , λα ) es un representante de τ . Demostraci´ on. Supongamos primero que (τα ) es una familia localmente compatible con (λα ) y (τα , λα ) es un representante de τ . Pensando kτα como elemento de #F (Cα ), podemos elegir como representante a Cα D id / Cα . Para τ λα obtenemos el mismo representante: DD DD DD D!. τα. F. id. Cα id. . / Cα . λα. λα / C CC CC τα CCC !. Cα C. F. Por lo tanto kτα = τ λα . Ahora supongamos que los diagramas conmutan. Que (τα ) es localmente compatible con (λα ) es consecuencia inmediata del lema anterior, 3.14. Para ver que (τα , λα ) es un representante de τ , consideremos un representante cualquiera de τ , (σγ , µγ ). Gracias a la existencia de refinamientos podemos suponer que (µγ ) refina a (λα ). Dγ QQ 11CC QQQ 11 CCC QQQµQγ 11 CCCrγ QQQQ Q 11 ! λαγQQQ( /C σγ 11 Cαγ 11 11 11 . F. ταγ. . k. τ. / #F. El cuadrilátero exterior conmuta por la otra implicación de este lema. Usando también que el cuadrado conmuta, se obtiene kσγ = kταγ rγ . Por el lema 3.14 las flechas σγ y ταγ rγ se igualan localmente en un cubrimiento de Dγ . Estos cubrimientos inducen un cubrimiento de C que refina tanto a (µγ ) como a (λα ) e iguala las familias correspondientes (σγ ) y (τα ). 3.16 Proposici´ on. #F es un haz. Demostraci´ on. Probemos primero que #F es un monoprehaz, es decir que se cumple la unicidad de la flecha en la definición de haz. Esto equivale a que para todo cubrimiento λ. α Cα −→ C y todo par de flechas C. a b. //. #F tal que aλα = bλα , valga a = b (#F cree. que los cubrimientos son familias epimorfas). Suponiendo entonces aλα = bλα elijamos representantes para a y para b pensados como elementos de #F (C). Tomando un cubrimiento que refina a los cubrimientos correspondientes a dichos representantes, pero que también refina a (λα ), obtenemos.

(26) 25. µγ. Dγ τγ. /C. σγ. . F. a k. . b. / #F. con aµγ = bµγ . Gracias al lema 3.15, kτγ = aµγ y kσγ = bµγ . Luego, kτγ = kσγ . Aplicando el lema 3.14 podemos cubrir cada Dγ igualando a τγ y a σγ localmente. Dγi. νγi. / Dγ CC CC C τγ σγ ργi CCC ! . F. µγ. /C a. k. . b. / #F. Aplicando la otra implicación del lema 3.15 hayamos un representante com´ un a a y a b, o sea que a = b. τα #F Pasemos a demostrar la existencia de la flecha de la definición de haz. Sea Cα −→ λα una familia compatible con el cubrimiento Cα −→ C. Tomando representantes para cada flecha τα , conseguimos: Cαγ ταγ. . F. µαγ. / Cα λα / C CC CC τα CC τ CC ! / #F k. con τα µαγ = kταγ . Se comprueba fácilmente que la familia (ταγ ) es localmente compatible con el cubrimiento λα µαγ usando que (τα ) es compatible con (λα ), que τα µαγ = kταγ y el lema 3.14, en ese orden. τ De esta forma, (ταγ ) induce un C − → #F tal que el rectángulo conmuta. Como consecuencia, τ λα µαγ = τα µαγ . Como #F es monoprehaz podemos cancelar µαγ en la u ´ltima igualdad, y eso completa la demostración. 3.17 Observaci´ on. # : EnsC. op. t. → Ce es un funtor. − #t. op. D Demostraci´ on. Si F → − G es una flecha de EnsC , definimos #F (C) −−−→ #G(C) como λα λα / C le asignamos la clase de Cα /C sigue. A la clase de Cα B BB B. BB BB BB. BB BB BB. τα. τα. F. F. t. /. G. Es inmediato que (tτα ) es localmente compatible con (λα ) y que la función está bien definida (no var´ıa al tomar un refinamiento). La naturalidad es simplemente la asociatividad de la composición en el siguiente diagrama..

(27) 26. µγ. Dγ rγ. . Cαγ. /D f. λαγ. . /C BB BB B τα BBB !. F. /G. t. 3.18 Observaci´ on. k es una transformaci´ on natural. EnsC. /. id. op. . i#. / EnsC. op. (i es la in-. op clusi´ on de Ce en EnsC ).. α. op. Demostraci´ on. Por la densidad de C en EnsC , es suficiente probar que para toda C − →F (C ∈ C) vale #tkα = ktα. C? ?? ??α ?? ?. F. k. #t. t. G. Pero ambos elementos están dados por. / #F. C. k. / #G. /C @@ @@ @ α @@ @ id. F. @@ @@ @@ @@ t G. Pasamos a demostrar que vale la adjunción. λ. τ. α α 3.19 Observaci´ on. Si Cα −→ C es un cubrimiento, Cα −→ F es una familia localmente compatible y F un monoprehaz, entonces (τα ) es compatible con (λα ).. Demostraci´ on. Es inmediato. k. 3.20 Lema. Si F es un haz, F − → #F es un isomorfismo. Demostraci´ on. Veamos que es mono. Partiendo de C. a b. //. F. k. / #F con ka = kb, por. el lema 3.14, a y b se igualan localmente en alg´ un cubrimiento de C, pero al ser F un haz, a = b. τ Veamos que es suryectiva en cada lugar. Sea C − → #F un elemento de #F (C). Eligiendo un representante podemos armar los cuadrados conmutativos.

(28) 27. λα. Cα τα. /C. σ. }. τ. / #F. k. F. . (τα ) es localmente compatible con (λα ) pero como F es un haz, es compatible. Por σ lo tanto, existe una C − → F tal que σλα = τα . Componiendo con k queda τ λα = kσλα . Como #F es un haz, se puede cancelar λα . 3.21 Proposici´ on. El funtor # es adjunto a izquierda de la inclusi´ on. Demostraci´ on. La adjunción está dada por k como unidad. Sólo debemos probar que para k k∗ todo prehaz F y todo haz G, la flecha F − → #F induce una biyección [#F, G] −→ [F, G]. m. l. Es decir que para toda flecha F −→ G existe una u ńica #F − → G tal que lk = m. / #F BB B m BBB l ! k. F B B. G. La existencia es consecuencia inmediata del lema anterior, como muestra la siguiente figura. kF. F. / #F. m. . Gi. kG. . #m. / #G. −1 kG. a. b. Veamos la unicidad. Sean #F − → G y #F − → G tales que ak = bk = m. Para cada τ C− → #F podemos armar λα. Cα τα. . /C . τ. / #F DD DD a m DDD b " . F DD. k. G. τ. de donde sale aτ λα = bτ λα . Como G es haz, aτ = bτ . Dado que las flechas C − → #F forman una familia epimorfa, a = b. Por u ´ltimo, mostraremos que # preserva l´ımites finitos. Más adelante veremos que esta propiedad es de gran importancia..

(29) 28. 3.22 Lema. Sean F1 , ..., Fn prehaces y C. ri si. //. k Fi. Fi. / #Fi .. λ. α Existe un cubrimiento Cα −→ C tal que ri λα = si λα para todo i.. Demostraci´ on. Para n = 1 es el lema 3.14. Para el paso inductivo se usa que composición de cubrimientos es cubrimiento. El siguiente lema constituye la idea principal de la demostración de la proposición que le sigue. t. i 3.23 Lema. Sea (Fi ) un diagrama finito de prehaces y C − → #Fi un cono con C ∈ C.. τi,α. λ. α Existe un cubrimiento Cα −→ C junto con flechas Cα −−→ Fi tales que. FO i. ki. / #Fi O. τi,α. Cα. ti λα. /C. conmuta y para cada α las flechas τi,α dan un cono. Demostraci´ on. Sabemos que el lema vale para un diagrama con un solo objeto y sin flechas (lema 3.15). Para un diagrama finito sin flechas, podemos tomar cubrimientos que sirvan independientemente para cada Fi y luego se toma un cubrimiento que refine a todos (propiedad F1). λ. α Para un diagrama finito cualquiera, primero tomamos Cα −→ C y (τi,α ) como si no hubiera flechas (como recién) obteniendo cuadrados conmutativos ki τi,α = ti λα , pero sin que las flechas (τi,α ) den necesariamente conos. Ahora la estrategia es, por cada flecha m Fi −→ Fj del diagrama, refinar el cubrimiento de manera que las nuevas (τi,α ) cumplan τj,α = mτi,α . En principio tenemos:. Fj }> I } m } } }} } } k i FO i τj,α τi,α Cα. λα. kj. / #Fj < H y y #m y y y y yy / #Fi O tj ti /C. kj m τi,α = #m ki τi,α = #m ti λα = tj λα = tj λα = kj τj,α Por el lema anterior podemos encontrar un cubrimiento para cada Cα tal que se igualan mτi,α y τj,α . Componiéndolos con (λα ) obtenemos el cubrimiento que deseábamos. Este proceso lo podemos repetir para todas las flechas..

(30) 29 3.24 Proposici´ on. El funtor # preserva los l´ımites finitos. pi. op. Demostraci´ on. Sea F −→ Fi un l´ımite finito en EnsC . Basta con chequear la propiedad #pi. t. i universal de #F −−→ #Fi para los conos C − → #Fi con C ∈ C. Veamos la unicidad de la P.U.:. Sean C. r s. //. #F dos flechas tales que #pi r = #pi s = ti . Por el lema anterior, podemos λ. α conseguir un cubrimiento Cα −→ C junto con flechas rα , sα y ti,α. Fi ~> O pi ~~ ~ ~~ ~~ k F `@`@@ @@@@ sα @@@@ ti,α @ rα @@@@ Cα. ki. / #Fi y< O y yy yy yy. #pi. / #F. ti. bEbEEEEE EE EsE EE E r EEEE E λα /C. tales que krα = rλα , ksα = sλα , ki ti,α = ti λα , y además (ti,α ) son conos en i, pi rα = ti,α y pi sα = ti,α (en este caso el diagrama en cuestión para aplicar el lema se forma con el diagrama (Fi ) más dos objetos -ambos iguales a F - y las flechas pi dos veces). Como F es l´ımite, rα = sα , de donde r = s. La existencia: ti λα → #Fi un cono. Por el lema anterior conseguimos un cubrimiento Cα −→ C y Sea C − ti,α. conos Cα −−→ Fi tales que ki ti,α = ti λα . Fi ~> O pi ~~ ~ ~~ ~~ F`. ki. k. / #F. / #Fi < O y #pi yy y yy yy ti. b. ti,α tα. Cα. λα. /C. Las flechas tα aparecen por la propiedad universal de F . Se comprueba que (ktα ) es compatible con λα usando la unicidad de la P.U. recién probada. Por lo tanto existe una t C− → #F tal que tλα = ktα . Siguiendo el diagrama se comprueba que ti λα = #pi tλα de donde, por ser los #Fi haces, #pi t = ti .. 3.3.. El funtor C − → Ce. op # h e C− → Ce se define como la composición C − → EnsC − → C..

(31) 30 3.25 Proposici´ on. C − → Ce preserva l´ımites finitos y manda cubrimientos a familias epimorfas estrictas.. Demostraci´ on. preserva l´ımites finitos porque tanto h como # los preservan. λ. (λα ). τ. α α Sea Cα −→ C un cubrimiento, y #Cα −→ F una familia compatible con #Cα −−−→ #C. λα. Cα k. . #CαD. /C . (λα ). DD DD τα DDD ". k. / #C. F. (τα k) es compatible con (λα ) (es inmediato usando que el rectángulo conmuta y que t (τα ) es compatible). Como F es un haz, ∃!C − → F tal que tλα = τα k. Como # es adjunto m a izquierda ∃!#C −→ F tal que mk = t. λα. /C. k k. (λα ) /. #C #CαD || DD t. DD | |||m τα DDD. |. " }|. Cα. F. Para ver que m(λα ) = τα se comprueba sin dificultad que m(λα )k = τα k y luego se puede cancelar k por la adjunción. La unicidad de m: si l también hace conmutar el triángulo, entonces componiendo con k se llega a lkλα = tλα . Por la unicidad en la propiedad de haz para F, lk = t, de donde l = m. Nota. Vale la rec´ıproca de la proposición anterior: si (λα ) es epimorfa estricta entonces (λα ) es un cubrimiento. 3.26 Proposici´ on. El funtor es denso. α. op. Demostraci´ on. Como las flechas C − → F forman una familia epimorfa estricta en EnsC para todo haz F (lema de Yoneda II) y # preserva familias epimorfas estrictas (por preser#α. var col´ımites y l´ımites finitos), las flechas #C −−→ F forman una familia epimorfa estricta. 3.27 Proposici´ on. Sea C un sitio. Son equivalentes: a) Los funtores representables son haces. b) Los cubrimientos son familias epimorfas estrictas en C. c) El funtor C − → Ce es plenamente fiel..

(32) 31 3.28 Observaci´ on. Dada una categor´ıa C y un conjunto cualquiera de prehaces, es posible definir la topolog´ıa más fina tal que esos prehaces son haces. Si en particular consideramos los prehaces representables, se obtiene la “topolog´ıa canónica”. Si C tiene l´ımites finitos la topolog´ıa canónica está formada por las familias epimorfas estrictas universales. La proposición anterior describe las topolog´ıas menos finas que la canónica, por lo que son llamadas “topolog´ıas subcanónicas”.. 3.4.. Propiedades de exactitud. Estudiaremos en esta sección algunas propiedades importantes de la categor´ıa de los conjuntos que son también heredadas por las categor´ıas de prehaces y de haces sobre un sitio. A continuación generalizamos la definición de relación de equivalencia para una categor´ıa cualquiera. Esta noción u ńicamente será utilizada para enunciar el teorema de Giraud. No incluimos algunas demostraciones pero salen todas sin dificultad. Para empezar, podemos extender la definición de relación de equivalencia en Ens a todo monomorfismo R → A × A cuya imagen sea una relación de equivalencia. q. 3.29 Proposici´ on. Sea R − → A × A una flecha en Ens. Son equivalentes: q 1) R − → A × A es una relaci´ on de equivalencia. q∗ on de equivalencia para todo 2) [B, R] −→ [B, A × A] ' [B, A] × [B, A] es una relaci´ conjunto B. Idea para la demostraci´ on: Ambas afirmaciones son equivalentes a q∗ [∗, R] −→ [∗, A] × [∗, A] es una relación de equivalencia. q=(q1 ,q2 ). 3.30 Definici´ on. Una flecha R −−−−−−→ A × A en una categor´ıa C es una relación de q∗ equivalencia si para todo B ∈ C, [B, R] −→ [B, A] × [B, A] es una relación de equivalencia en Ens. q. 3.31 Lema. En una categor´ıa con un conjunto de generadores, R − → A×A es una relaci´ on q∗ de equivalencia si y s´ olo si [C, R] −→ [C, A] × [C, A] es una relaci´ on de equivalencia para todo generador C. op. 3.32 Corolario. Sean F, G ∈ EnsC . q qC F − → G × G es una relaci´ on de equivalencia si y s´ olo si para todo C ∈ C, F C −→ GC × GC es una relaci´ on de equivalencia en Ens. Demostraci´ on. Es consecuencia del lema anterior y los lemas de Yoneda. 3.33 Observaci´ on. Si se tiene un pull-back de la forma: R q2. q1. . . A. /A. π. π. /Q. entonces q = (q1 , q2 ) es una relación de equivalencia..

(33) 32 q. 3.34 Definici´ on. Una relación de equivalencia R − → A × A se dice efectiva si existe un π morfismo A − → Q tal que el cuadrado R q2. q1. π. . . A. /A. π. /Q. es un pull-back y un push-out (o, equivalentemente, el cuadrado es un pull-back y π es π coegalizador de q1 y q2 ). En este caso, se dice que la flecha A − → Q es el cociente de la relación y resulta ser un epimorfismo estricto. Si π es un epimorfismo estricto universal (i.e.: al cambiar de base se obtiene un epimorfismo estricto) entonces se dice que la relación de equivalencia es efectiva y universal. 3.35 Definici´ on. Un òbjeto inicial 0 se dice vac´ıo si toda flecha A → 0 es un isomorfismo. Un coproducto X = Xi se dice disjunto si los morfismos de inclusión son monomorfismos y los pull-backs Xi ×X Xj (i 6= j) son un objeto inicial vac´ıo. 3.36 Proposici´ on. La categor´ıa Ens posee las siguientes propiedades: (1) Tiene todos los l´ımites y col´ımites peque˜ nos. (2) Los col´ımites son universales. (3) Las familias epimorfas son estrictas y universales. (4) Las relaciones de equivalencia son efectivas y universales. (5) Col´ımites filtrantes conmutan con l´ımites finitos. (6) El objeto inicial es vac´ıo y los coproductos son disjuntos. (7) Tiene un conjunto peque˜ no de generadores. jα. Demostraci´ on. El punto (1) ya fue tratado. (2) significa que para cada col´ımite Cα −→ C f. y cada flecha D − → C, los productos fibrados / Cα. Dα . λα. D. f. . jα. /C. λ. α dan un col´ımite Dα −→ D. La estructura de cono se obtiene naturalmente usando la propiedad universal del producto fibrado. La ` propiedad universal de (λα ) se chequea Cα y la caracterización del pull-back: usando la caracterización del col´ımite C = ∼ Dα = {(c, d) ∈ Cα × D/f (d) = c¯}. En cuanto a (3), ya vimos que las familias epimorfas son estrictas. La universalidad (son estables por cambio de base) es consecuencia de la universalidad de los col´ımites, ya que, como vimos, las familias epimorfas pueden ser expresadas como un col´ımite. π Dada una relación de equivalencia R ⊂ A × A, el cociente usual A − → A∼ es un. coegalizador para R. p1. p2. //. A y hace que el cuadrado.

(34) 33. p1. R. /A. p2. . . A. π. π. / A. ∼. sea un pull-back. (5) ya fue probado. El punto (6) es evidente. Por u ´ltimo, el singleton genera Ens. 3.37 Proposici´ on. La categor´ıa EnsC. op. posee las siete propiedades anteriores.. Demostraci´ on. Las primeras seis propiedades se deducen inmediatamente usando que los op l´ımites y col´ımites en EnsC se calculan lugar a lugar y el lema 2.20. El lema de Yoneda op II dice que los representables forman un conjunto de generadores de EnsC . op. La siguiente proposición describe los l´ımites y col´ımites en Ce en términos de los de EnsC . λ. op. α 3.38 Proposici´ on. Dado un diagrama de haces (Fα ), si Fα −→ F es el col´ımite en EnsC kF λα e entonces Fα −−−→ #F es el col´ımite en C. op pi C de un diagrama de haces cualquiera, entonces Si tomamos el l´ımite F −→ Fi en Ens e F resulta ser un haz y también es el l´ımite en C.. Demostraci´ on. La primera afirmación sale aplicando el funtor #, que preserva col´ımites y es isomorfo a la identidad sobre los haces. Para la segunda, sólo utilizaremos que Ce es subcategor´ıa plena y la adjunción # a i. kF Veamos que F −−→ #F es un isomorfismo. Por la adjunción obtenemos pi tales que pi k = pi ,. k. pi. / Fi |= | | ρ || | pi | |. FU. #F. que dan un cono gracias a la naturalidad de la biyección de la adjunción. Por la propiedad universal de F , existe un u ńico ρ tal que pi ρ = pi . Se deduce que pi ρk = pi , de donde ρk = idF . Por u ´ltimo, de la conmutatividad de / #F z< z zz zz kρ z z. F k. k. #F. y la propiedad universal de k se sigue que kρ = id#F . 3.39 Proposici´ on. Las categor´ıas de haces sobre un sitio peque˜ no también poseen las siete propiedades de exactitud..

(35) 34 Demostraci´ on. (1) ya lo hemos probado. (2) sale aplicando el siguiente lema. Si T. /G . . es un pullback de prehaces, entonces. kG. / #G. F. F es isomorfo a #T . (5) es inmediato usando que vale para prehaces, el lema 3.38 y que # conmuta con l´ımites finitos. (7) se debe a que los haces de la forma #C con C ∈ C generan (el funtor es denso). (4) y (6) no los demostramos. No son triviales pero tampoco presentan grandes complicaciones. fα Veamos el punto (3). Sea Fα −→ F una familia epimorfa de haces. Llamamos J al prehaz s. l. α imagen (la imagen lugar a lugar). Las fα se factorizan Fα −→ J − → F donde (sα ) es op C epimorfa en Ens y l es monomorfismo.. Fα. fα. {{l {{. sα. J. /F {= O { {{. k. ∃!t. / #J. t se debe a la adjunción # a i. Como l es monomorfismo, t es monomorfismo (se usa el lema 3.15). (fα ) epimorfa implica t epimorfismo (de haces). Por otra parte, es fácil chequear que ksα es una familia epimorfa estricta de haces. Luego, basta con chequear que t es isomorfismo. Para ello, veremos que un morfismo de haces que es monomorfismo y epimorfismo es un isomorfismo. u e Consideremos el siguiente pushout en Sea F − → G monomorfismo y epimorfismo en C. op C Ens : F u. u. . G. /G . i2. i1. /H. Usando que u es monomorfismo de prehaces, se puede ver que el diagrama también es un pullback, pues lo es lugar a lugar. Aplicándole el funtor # al diagrama obtenemos e Como u es epi las identidades nos dan un un cuadrado que es pullback y pushout en C. pushout. Luego, #i1 = #i2 y son isomorfismos. Al ser estables por cambio de base, u resulta isomorfismo.. 3.5.. Definici´ on de topos - Teorema de Giraud. 3.40 Definici´ on. Se dice que una categor´ıa es un topos si es equivalente a Ce para alg´ un sitio peque˜ no C. El siguiente teorema da otras definiciones equivalentes, entre las que se destaca la segunda..

(36) 35 3.41 Teorema. Teorema de Giraud. Sea E una categor´ıa. Son equivalentes: I) E es equivalente a la categor´ıa de haces sobre un sitio peque˜ no. II) E posee las siguientes propiedades: a) Tiene l´ımites finitos. b) Tiene todos los coproductos peque˜ nos y son universales y disjuntos. c) Las relaciones de equivalencia son efectivas y universales. d) Admite un conjunto generador. III) Los haces sobre E con la topolog´ıa can´ onica son representables (Ee ' E) y E posee un conjunto de generadores. op i IV) Existen una categor´ıa peque˜ na C y un funtor plenamente fiel E − → EnsC que admite un adjunto a izquierda que preserva l´ımites finitos. 3.42 Observaci´ on. Para probar que (II) implica (I) se procede como sigue. Se toma un conjunto de generadores C con l´ımites finitos (ver lema 3.54) y se le da a C la topolog´ıa λ. α formada por las familias Cα −→ C que son epimorfas estrictas universales en E. Es fácil comprobar que dichas familias también resultan epimorfas estrictas universales en C, de e es equivalente como modo que obtenemos una topolog´ıa subcanónica. Se demuestra que C categor´ıa a E.. / e CO == ==ϕ ψ == . C = n =. . E. Como es denso, φ se obtiene extendiendo la inclusión, mientras que ψ le asigna a cada E ∈ E el funtor [−, E]E restringido a C, que es un haz. 3.5.1.. Algunos ejemplos de topos. 3.43 Definici´ on. Sea C una categor´ıa y X un objeto. Se define CX como la categor´ıa f cuyos objetos son las flechas C − → X en C y las flechas son los triangulos conmutativos: C@ @. h. @@ @@ f @@. X. /D } } } }}g }~ }. Por ejemplo, T opX es la categor´ıa de los espacios topológicos sobre un espacio dado. Etal será la subcategor´ıa plena de T op cuyos objetos son los homeomorfismos locales X X (o espacios etales) sobre X. Ejemplo. Sea X un espacio topológico. Consideramos la categor´ıa O(X) de los conjuntos abiertos ordenados por la inclusión. Los cubrimientos abiertos usuales nos dan una topolog´ıa en el sentido de la definición 3.1. Se define entonces el topos asociado a X: ^ T op(X) = O(X)..