Algoritmo de Ruffini–Horner para dividir un polinomio entre un binomio Egor Maximenko

Algoritmo de Ruffini–Horner

para dividir un polinomio entre un binomio

Egor Maximenko

ESFM del IPN

Algoritmo

F´ormulas Como funciona En forma de tabla

Aplicaciones

C´alculo de los valores de polinomios

Expansi´on del polinomio en potencias de un binomio B´usqueda de ceros enteros de un polinomio

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r .

Escribamos esta igualdad con m´as detalles: f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x− c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x− c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+q1xn−2+q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_: f2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+q1xn−2+q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . .+ fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+. . .+ qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . +qn−2x +qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . +qn−2x +qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x +fn=

= (x− c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x +qn−1) +r.

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0_: fn= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x +fn=

= (x− c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x +qn−1) +r.

Igualemos los coeficientes: xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0_{: f} n= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

F´

ormulas

Dividir un polinomio f (x ) entre un binomio (x − c) significa hallar un polinomio q(x ) y un n´umero r tales que

f (x ) = (x − c)q(x ) + r . Escribamos esta igualdad con m´as detalles:

f0xn+ f1xn−1+ f2xn−2+ . . . + fn−1x + fn=

= (x − c) (q0xn−1+ q1xn−2+ q2xn−3+ . . . + qn−2x + qn−1) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn: f0 = q0 =⇒ q0 = f0 xn−1: f1 = q1− cq0 =⇒ q1 = cq0+ f1 xn−2_{: f} 2 = q2− cq1 =⇒ q2 = cq1+ f2 . . . x1: fn−1= qn−1− cqn−2 =⇒ qn−1= cqn−2+ fn−1 x0_{: f} n= r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1+ fn

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · ·+ + +

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · ·+ + +

Escribimos los coeficientes del polinomio dado: f0, f1, f2, f3.

Si dividimos entre (x − c), entonces en la segunda fila en la izquierda escribimos c.

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · ·+ + +

Preparamos celulas vac´ıas para el residuo r y los coeficientes del cociente q0, q1, q2.

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · ·+ + + q0 := f0 = 1

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · ·+ + + q0 := f0 = 1

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · + · · + + q1 := c · q0+ f1 = 2 · 1 − 5 = −3

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · + · · + + q1 := c · q0+ f1 = 2 · 1 − 5 = −3

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · + · + · + q2 := c · q1+ f2 = 2 · (−3) + 0 = −6

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · + · + · + q2 := c · q1+ f2 = 2 · (−3) + 0 = −6

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · + + · + r := c · q2+ f3 = 2 · (−6) + 8 = −4

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · + + · + r := c · q2+ f3 = 2 · (−6) + 8 = −4

Como funciona

Usando la divisi´on sint´etica dividamos el polinomio f (x ) = x3− 5x2_{+ 8 entre el binomio x − 2.} 1 f0 −5 f1 0 f2 8 f3 2 c 1 q0 −3 q1 −6 q2 −4 r · · ·+ + + Respuesta: q(x ) = x2− 3x − 6, r = −4; f (x ) = (x − 2)(x2− 3x − 6) − 4.

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1

2 − 2 − 5 11 − 8

Dibujamos una tabla de dos filas, copeamos en ella

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1

2 − 2 − 5 11 − 8

Copeamos el mayor coeficiente:

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1 2

− 2 − 5 11 − 8

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:} 2 0 − 7 6 3 − 1 2 − 2 − 5 11 − 8 Calculamos: (−1) · 2 + 0 = −2.

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2

− 5 11 − 8

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:} 2 0 − 7 6 3 − 1 2 − 2 − 5 11 − 8 Calculamos: (−1) · (−2) + (−7) = −5.

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5

11 − 8

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:} 2 0 − 7 6 3 − 1 2 − 2 − 5 11 − 8 Calculamos: (−1) · (−5) + 6 = 11.

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5 11

− 8

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:} 2 0 − 7 6 3 − 1 2 − 2 − 5 11 − 8 Calculamos: (−1) · 11 + 3 = −8.

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5 11 − 8

Divisi´

on sint´

etica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la divisi´on del polinomio f (x ) = 2x4− 7x2_{+ 6x + 3 entre el binomio x + 1:}

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5 11 − 8

C´

alculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x ) = q(x ) · (x − c) + r .

Sustituimos x por c:

f (c) =

Teorema del resto (teorema de B´ezout). El valor del polinomio f (x ) en un punto c

es igual con el resto al dividir f (x ) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x ) = x3_{− 3x}2_{+ 7x − 5 en el punto 3:}

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

C´

alculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x ) = q(x ) · (x − c) + r . Sustituimos x por c:

f (c) =?

Teorema del resto (teorema de B´ezout). El valor del polinomio f (x ) en un punto c

es igual con el resto al dividir f (x ) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x ) = x3_{− 3x}2_{+ 7x − 5 en el punto 3:}

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

C´

alculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x ) = q(x ) · (x − c) + r . Sustituimos x por c:

f (c) = r .

Teorema del resto (teorema de B´ezout). El valor del polinomio f (x ) en un punto c

es igual con el resto al dividir f (x ) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x ) = x3_{− 3x}2_{+ 7x − 5 en el punto 3:}

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

C´

alculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x ) = q(x ) · (x − c) + r . Sustituimos x por c:

f (c) = r .

Teorema del resto (teorema de B´ezout). El valor del polinomio f (x ) en un punto c

es igual con el resto al dividir f (x ) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x ) = x3_{− 3x}2_{+ 7x − 5 en el punto 3:}

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

C´

alculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x ) = q(x ) · (x − c) + r . Sustituimos x por c:

f (c) = r .

Teorema del resto (teorema de B´ezout). El valor del polinomio f (x ) en un punto c

es igual con el resto al dividir f (x ) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x ) = x3_{− 3x}2_{+ 7x − 5 en el punto 3:}

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

Expansi´

on del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemos

f (x ) = x3_{+ 3x}2_{− 2x + 4 por las potencias de (x + 2).}

1 3 −2 4 −2 1 1 −4 12 −2 1 −1 −2 −2 1 −3 −2 1 x3+ 3x2− 2x + 4 = (x2+ x − 4)(x + 2) + 12 = ((x − 1)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (((1 · (x + 2) − 3)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (x + 2)3− 3(x + 2)2_{− 2(x + 2) + 12.}

Expansi´

on del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemos

f (x ) = x3_{+ 3x}2_{− 2x + 4 por las potencias de (x + 2).}

1 3 −2 4 −2 1 1 −4 12 −2 1 −1 −2 −2 1 −3 −2 1 x3+ 3x2− 2x + 4 = (x2+ x − 4)(x + 2) + 12 = ((x − 1)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (((1 · (x + 2) − 3)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (x + 2)3− 3(x + 2)2_{− 2(x + 2) + 12.}

Expansi´

on del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemos

f (x ) = x3_{+ 3x}2_{− 2x + 4 por las potencias de (x + 2).}

1 3 −2 4 −2 1 1 −4 12 −2 1 −1 −2 −2 1 −3 −2 1 x3+ 3x2− 2x + 4 = (x2+ x − 4)(x + 2) + 12 = ((x − 1)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (((1 · (x + 2) − 3)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (x + 2)3− 3(x + 2)2_{− 2(x + 2) + 12.}

Expansi´

on del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemos

f (x ) = x3_{+ 3x}2_{− 2x + 4 por las potencias de (x + 2).}

1 3 −2 4 −2 1 1 −4 12 −2 1 −1 −2 −2 1 −3 −2 1 x3+ 3x2− 2x + 4 = (x2+ x − 4)(x + 2) + 12 = ((x − 1)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (((1 · (x + 2) − 3)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (x + 2)3− 3(x + 2)2_{− 2(x + 2) + 12.}

Expansi´

on del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemos

f (x ) = x3_{+ 3x}2_{− 2x + 4 por las potencias de (x + 2).}

1 3 −2 4 −2 1 1 −4 12 −2 1 −1 −2 −2 1 −3 −2 1 x3+ 3x2− 2x + 4 = (x2+ x − 4)(x + 2) + 12 = ((x − 1)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (((1 · (x + 2) − 3)(x + 2) − 2)(x + 2) + 12 = (x + 2)3− 3(x + 2)2_{− 2(x + 2) + 12.}

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6)} = (x + 1)(x − 2)(x2− x + 3). El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6)} = (x + 1)(x − 2)(x2− x + 3). El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6)} = (x + 1)(x − 2)(x2− x + 3). El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6)} = (x + 1)(x − 2)(x2− x + 3). El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0. Respuesta: −1, 2.

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2_{− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.}

B´

usqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio: f (x ) = x4− 2x3+ 2x2− x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar sus ceros enteros entre los divisores del coeficiente constante: ±1, ±2, ±3, ±6. 1 −2 2 −1 −6 1 1 − 1 1 0 − 6 X −1 1 −3 5 −6 0 − 1 1 − 4 9 − 15 X 2 1 −1 3 0 f (x ) = (x + 1)(x3− 3x2_{+ 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x}2_{− x + 3).}

El polinomio x2_{− x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.}