Análisis de pequeña señal de sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidroeléctricas de generadores sincrónicos utilizando el programa computacional Digsilent Power Factory

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(1)La versión digital de esta tesis está protegida por la Ley de Derechos de Autor del Ecuador. Los derechos de autor han sido entregados a la “ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL” bajo el libre consentimiento del (los) autor(es). Al consultar esta tesis deberá acatar con las disposiciones de la Ley y las siguientes condiciones de uso: · Cualquier uso que haga de estos documentos o imágenes deben ser sólo para efectos de investigación o estudio académico, y usted no puede ponerlos a disposición de otra persona. · Usted deberá reconocer el derecho del autor a ser identificado y citado como el autor de esta tesis. · No se podrá obtener ningún beneficio comercial y las obras derivadas tienen que estar bajo los mismos términos de licencia que el trabajo original. El Libre Acceso a la información, promueve el reconocimiento de la originalidad de las ideas de los demás, respetando las normas de presentación y de citación de autores con el fin de no incurrir en actos ilegítimos de copiar y hacer pasar como propias las creaciones de terceras personas.. Respeto hacia sí mismo y hacia los demás..

(2) ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA. ANÁLISIS DE PEQUEÑA SEÑAL DE SISTEMAS DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINAS HIDROELÉCTRICAS DE GENERADORES SINCRÓNICOS UTILIZANDO EL PROGRAMA COMPUTACIONAL DIGSILENT POWER FACTORY. PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA. BENIGNO RAFAEL CEVALLOS PASQUEL [email protected]. DIRECTOR: DR. JESUS JÁTIVA IBARRA [email protected]. Quito, enero 2013.

(3) II. DECLARACIÓN. Yo, Benigno Rafael Cevallos Pasquel, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad institucional vigente.. ____________________________________ BENIGNO RAFAEL CEVALLOS PASQUEL.

(4) III. CERTIFICACIÓN. Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Benigno Cevallos, bajo mi supervisión.. ____________________________ DR. JESÚS JÁTIVA IBARRA Director del Proyecto.

(5) IV. AGRADECIMIENTO. Son muchas las personas que han formado parte de mi vida estudiantil y que hicieron posible la culminación de este trabajo y de mi carrera profesional, a las quiero dejar mediante estas cortas líneas un testimonio de gratitud por todos sus consejos, apoyo, animo a lo largo de mi carrera. En especial quiero agradecer a mi profesor PhD Jesús Játiva, por su paciencia, apoyo y amistad brindada hacia mi persona y a mis amigas y amigos José, Andrés, Lizeth, Eduardo y Eliana con quienes he compartido incontables momentos en este gran camino llamado vida, y a todas aquellas personas que siempre me brindaron su apoyo muchas gracias..

(6) V. DEDICATORIA. A Dios por bendecirme para llegar hasta donde he llegado, y a mis padres por el apoyo que siempre me han brindado para cumplir mis objetivos.

(7) VI. CONTENIDO DECLARACIÓN ...........................................................................................................II CERTIFICACIÓN ........................................................................................................III AGRADECIMIENTOS ................................................................................................ IV DEDICATORIA ........................................................................................................... V CONTENIDO .............................................................................................................. VI ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................... IX ÍNDICE DE TABLAS ................................................................................................ XIII RESUMEN ................................................................................................................ XV PRESENTACIÓN ..................................................................................................... XVI OBJETIVOS CONTENIDO ................................................................................... XVIII ALCANCE ................................................................................................................ XIX JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO .......................................................................... XX CAPÍTULO I .................................................................................................................1 INTRODUCCIÓN .........................................................................................................1 1.1 Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia .....................................................1 1.1.1 Estabilidad de ángulo ..........................................................................................3 1.1.2 Estabilidad de voltaje...........................................................................................9 1.1.3 Estabilidad de frecuencia ....................................................................................9 1.2 Conceptos Fundamentales de Estabilidad de Sistemas Dinámicos .....................10 1.2.1 Ecuación de estado ...........................................................................................11 1.2.2 Linealización de un sistema no-lineal ................................................................13 1.3 Valores y Vectores Propios de la Matriz de Estado ..............................................16 1.3.1 Valores propios .................................................................................................16 1.3.2 Vectores propios ...............................................................................................18 1.4 Matrices Modales .................................................................................................19 1.5 Movimiento Libre de un Sistema Dinámico ..........................................................20 1.6 Modos, Sensitibidad y Factores de Participación .................................................22 1.6.1 Modos................................................................................................................22 1.6.2 Sensitividad .......................................................................................................23.

(8) VII. 1.6.3 Factor de participación ......................................................................................23 1.7.1 Controlabilidad ..................................................................................................25 1.7.2 Observabilidad ..................................................................................................27 1.7.3 Medidas de Controlabilidad y Observabilidad de los modos de oscilación........28 1.8 Criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz .............................................................33 1.9 Criterio de estabilidad de Bode ............................................................................35 1.10 Criterio de estabilidad de Nyquist .......................................................................38 CAPÍTULO 2 ..............................................................................................................40 MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA ..............................................................40 2.1 Representación del Generador Sincrónico en Variables de Estado .....................41 2.1.1Representación del modelo clásico del generador .............................................41 2.2 Representación del Sistema de Regulación de Velocidad en Variables de Estado ...................................................................................................................................46 2.2.1 Gobernadores isócronos ...................................................................................47 2.2.2 Reguladores de velocidad para turbinas hidroeléctricas ...................................49 2.2.3 Regulador mecánico hidráulico .........................................................................52 2.2.4 Regulador electrohidráulico ...............................................................................54 2.2.5 Regulador de velocidad con PID .......................................................................55 2.2.5 Regulador de velocidad con control doblemente derivativo .............................56 2.3 Representación de turbinas hidráulicas en variables de estado .........................57 2.3.1 Función de transferencia de la turbina hidráulica ..............................................57 2.3.2 Turbina hidráulica no ideal ...............................................................................62 2.3.3 Características de las turbinas hidráulicas ........................................................63 2.4 Modelación de la Planta Turbina Hidráulica – Regulador de Velocidad Generador con el Programa Computacional DIgSILENT Power Factory ...................64 2.4.1 Características de la central hidroeléctrica Paute fase AB ................................65 2.4.2 Procedimiento para la modelación de los elementos de control de la planta en el programa DIgSILENT Power Factory .........................................................................67 2.4.3 Sintonización de los sistemas reguladores de velocidad ..................................70 2.5 Funciones de Transferencia, Variables de Entrada y Salida de la Planta ............75.

(9) VIII. CAPÍTULO 3 ..............................................................................................................86 APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA ..........................................86 3.1Sistema Generador de la fase AB de la central Paute Molino – Barra Infinita.......87 3.1.1 Descripción de la Planta General ......................................................................87 3.1.2 Pruebas del modelo de regulador de velocidad ................................................88 3.1.3 Análisis modal de la planta ................................................................................97 3.2 Sistema de Nueve Barras del IEEE ......................................................................99 3.2.1 Descripción del sistema.....................................................................................99 3.2.2 Pruebas en el sistema de 9 barras ..................................................................100 3.2.3 Análisis modal del sistema de nueve barras ...................................................107 3.3 Análisis de Resultados de las Respuestas Dinámicas en el Tiempo y la Frecuencia................................................................................................................111 3.3.1 Modelo de la planta .........................................................................................112 3.3.2 Analisis en el dominio del tiempo ....................................................................114 3.3.3 Analisis en el dominio de la frecuencia............................................................115 3.4 . Comparación de los Índices de las Respuestas Dinámicas con Valores Estándar del IEEE ...................................................................................................................117 3.4.1 Sistema generador barra infinita .....................................................................119 3.4.2 Sistema multimáquina .....................................................................................125 CAPITULO 4 ............................................................................................................127 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...........................................................127 4.1 Conclusiones ......................................................................................................127 4.2 Recomendaciones ..............................................................................................129 1.8 Referencias Bibliograficas .................................................................................130 ANEXOS ..................................................................................................................131.

(10) IX. ÍNDICE DE FIGURAS CAPITULO 1 Figura 1.1 Clasificación de la estabilidad ..................................................................3 Figura 1.2 Diagrama unifilar del sistema de potencia .................................................4 Figura 1.3 Oscilación de potencia de un generador ...................................................5 Figura 1.4 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con regulador de voltaje de campo constante .....................................................................7 Figura 1.5 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante .....................................................................................................8 Figura 1.6 Conceptos de estabilidad ........................................................................11 Figura 1.7 Modelación de un sistema mediante variables de estado .......................12 Figura 1.8 Representación de un elemento no-lineal ...............................................13 Figura 1.9 Diagrama de bloques de la representación de espacio de estado ..........15 Figura 1.11 Diagrama de Bode ................................................................................17 Figura 1.12 Ancho de Banda ....................................................................................17 Figura 1.13 Frecuencia de corte ..............................................................................17 Figura 1.14 Sistema estable e inestable ...................................................................17 Figura 1.15 Sistema de control de lazo cerrado .......................................................17 CAPITULO 2 Figura 2.1 Diagrama del sistema de control y generación de potencia ....................40 Figura 2.2 Circuitos equivalentes de un generador sincrónico .................................42 Figura 2.3 Representación de un generador sincrónico en estudios de estabilidad .42 Figura 2.4 Diagrama de bloques de un generador – barra infinita............................45 Figura 2.5 Sistema de regulación de velocidad de un generador aislado ...............47 Figura 2.6 Esquema de un regulador isócrono .........................................................47 Figura 2.7 Respuesta de un generador con un regulador isócrono ..........................48 Figura 2.8 Regulador de velocidad con caída de velocidad .....................................49 Figura 2.9 Diagrama de bloques con caída de velocidad .........................................50 Figura 2.10 Diagrama de bloques reducido ..............................................................50.

(11) X. Figura 2.11 Características ideales de estado estable de un gobernador con caída de velocidad ...............................................................................................................51 Figura 2.12 Regulador de velocidad con estatismo permanente ..............................51 Figura 2.13 Esquema de un regulador mecánico hidráulico para una hidroturbina ..52 Figura 2.14 Regulador de velocidad para una turbina hidroeléctrica........................54 Figura 2.15 Regulador de velocidad con PID ...........................................................55 Figura 2.16 Regulador de velocidad con doble derivativo ........................................56 Figura 2.17 Esquema de una planta hidroeléctrica ..................................................58 Figura 2.18 Respuesta de la turbina a la apertura de compuerta de los inyectores .63 Figura 2.19 Red de prueba .......................................................................................66 Figura 2.20 Representación del modelo compuesto ................................................68 Figura 2.21 Selección del modelo compuesto ..........................................................69 Figura 2.23 Selección de los slots ............................................................................72 Figura 2.24 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de ࢀࡾ ..........................................................................................................................73. Figura 2.25 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de ࢾ .............................................................................................................75 Figura 2.26 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de ࢀࢍ ..........................................................................................................................76. Figura 2.27 Modelo compuesto de la planta .............................................................78. Figura 2.28 Diagrama de función de transferencia del regulador de velocidad IEEEG3 ......................................................................................................................84 CAPITULO 3 Figura 3.1 Planta general de una de las unidades de la fase AB de Paute ..............87 Figura 3.2 Respuesta de un sistema de control frente a una entrada paso .............89 Figura 3.3 Eventos de simulación.............................................................................90 Figura 3.4 Cuadro de dialogo del Parámetro de ajuste ............................................90 Figura 3.5 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp) ................................................................................91 Figura 3.6 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp .................................................................................92.

(12) XI. Figura 3.7 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia activa........................................................................................................94 Figura 3.8 Lugar geométrico de generación con excitación constante .....................95 Figura 3.9 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia reactiva ....................................................................................................96 Figura 3.10 Valores propios del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad ....................................................................................................................98 Figura 3.11 Modos de participación del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad ...............................................................................................99 Figura 3.12 Sistema de 9 barras del IEEE ...............................................................99 Figura 3.13 Potencia de la turbina y frecuencia en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad ..................102 Figura 3.14 Potencia activa y reactiva en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad ............................103 Figura 3.15 Voltaje L-N y ángulo interno en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad ............................104 Figura 3.16 Potencia activa y reactiva en las líneas, en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad ..............105 Figura 3.17 Voltaje Línea - Neutro en las líneas, en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad ..................106 Figura 3.18 Valores propios del sistema generador barra infinita sin regulador de velocidad ..................................................................................................................108 Figura 3.19 Modos de participación del sistema 9 Barras del IEEE sin elementos de control ......................................................................................................................109 Figura 3.20 Valores propios del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad ..................................................................................................................110 Figura 3.21 Modos de participación del sistema 9 Barras del IEEE con regulador de velocidad ..................................................................................................................111 Figura 3.22 Modelo generador barra infinita con regulador de velocidad implementado en Matlab ..........................................................................................113 Figura 3.23 Respuesta al paso de la función de transferencia ...............................114 Figura 3.24 Diagrama de polos y ceros de la función de transferencia ..................115 Figura 3.25 Diagrama de Bode...............................................................................116 Figura 3.26 Diagrama de Nyquist ...........................................................................117.

(13) XII. Anexos Fig. A.1: Diagrama unifilar de la central Hidroeléctrica Paute ..................................133 Fig. A.2: Diagrama fasorial del voltaje interno de un generador de polos salientes .135.

(14) XIII. ÍNDICE DE TABLAS CAPITULO 1 Tabla 1.1: Métodos de analisis de estabilidad ...........................................................33. CAPITULO 2 Tabla 2.1: Características eléctricas de una unidad de generación de Paute AB ......65 Tabla 2.2: Características mecánicas de una unidad de generación de Paute AB ....66 Tabla 2.3: Características físicas de la tubería de la central Paute AB......................66 Tabla 2.4: Características de los transformadores de Paute AB................................66 Tabla 2.5: Datos de generación y carga con fp. 0.9 en atraso ...................................67 Tabla 2.6: Efectos de la variación del tiempo de reajuste ሺܶோ ሻ en el regulador de velocidad de un sistema aislado.................................................................................72. Tabla 2.7: Efectos de la variación del estatismo transitorio ሺߜሻ en el regulador de velocidad de un sistema aislado.................................................................................74. Tabla 2.8: Efectos de la variación ganancia del servomotor ‫ܭ‬௦ en el regulador de velocidad de un sistema aislado.................................................................................75 Tabla 2.9: Variables de Entrada del generador sincrónico ........................................77. Tabla 2.10: Variables de Salida del generador sincrónico .........................................78 Tabla 2.11: Variables de Entrada y Salida del Regulador de Velocidad pcu_IEEEG3 ...................................................................................................................................78 Tabla 2.12. Descripción, Valores y Rangos de Parámetros de las Variables del pcu_IEEEG3 para el sistema aislado .........................................................................79. CAPITULO 3 Tabla 3.1: Modos del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad .97 Tabla 3.2: Datos de los generadores del sistema de 9 barras .................................100 Tabla 3.3: Datos de las Cargas ...............................................................................100 Tabla 3.4: Descripción, Valores y Rangos de Parámetros de las Variables del pcu_IEEEG3 para el sistema multimáquina .............................................................101.

(15) XIV. Tabla 3.5: Modos del sistema de 9 barras del IEEE sin regulador de velocidad .....108 Tabla 3.6: Modos del sistema de 9 barras del IEEE con regulador de velocidad ....109 Tabla 3.7: Parámetros del modelo generador barra infinita con regulador de velocidad ..................................................................................................................113 Tabla 3.8: Índices de desempeño de la figura 3.23 .................................................114 Tabla 3.9: Índices de desempeño de la figura 3.25 .................................................116 Tabla 3.10: Rango de frecuencias permitidas..........................................................118 Tabla 3.11: Indicadores de desempeño de las pruebas internas del sistema generador con regulador de velocidad - barra infinita ..............................................120 Tabla 3.12: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia activa con regulador de velocidad ......................................................................................122 Tabla 3.13: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia activa sin regulador de velocidad .......................................................................................122 Tabla 3.14: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad .........................................................................124 Tabla 3.15: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva sin regulador de velocidad ..........................................................................124 Tabla 3.16: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad .........................................................................126 Tabla 3.17: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad 126.

(16) XV. RESUMEN El estudio de estabilidad es una de las ramas más importantes y complejas de la ingeniería eléctrica, por esta razón el presente trabajo se enfoca en el análisis de pequeña señal de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas y como influencian al mejoramiento de la estabilidad en un sistema eléctrico de potencia. La función de regulación de energía de un sistema eléctrico es mantener la frecuencia del sistema estable ante variaciones de carga o pérdida de generación. Se establece una metodología para la sintonización de los reguladores de velocidad para centrales hidroeléctricas, ya sea para funcionamiento en modo aislado o en modo de operación integrada a un sistema de potencia. Una de las principales aplicaciones es ayudar a controlar las oscilaciones de baja frecuencia producidas entre áreas de un sistema interconectado. Se efectúan pruebas para la verificación y validación de la calibración de los reguladores de velocidad, cuyos resultados se analizan en base a los índices de desempeño para análisis de estabilidad de pequeña señal en reguladores de velocidad establecidos por el IEEE..

(17) XVI. PRESENTACIÓN. El análisis de estabilidad de pequeña señal de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidroeléctricas se ha organizado bajo la siguiente estructura: Capítulo 1. INTRODUCCIÓN. Se realiza un resumen de la estabilidad de sistemas eléctricos de potencia, enfocado a describir los conceptos fundamentales de estabilidad de los sistemas dinámicos, su clasificación y su origen, especialmente en la estabilidad de pequeña señal; así como, las principales herramientas para el análisis de estabilidad en pequeña señal utilizando técnicas de linealización, la matriz de estado y sus modos de oscilación. Capítulo 2.. MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA. Este capítulo contiene la formulación en variables de estado del generador representado por el modelo clásico del sistema regulador de velocidad y turbina hidráulica para centrales hidroeléctricas.. Se realiza también la modelación del. regulador de velocidad y de la turbina hidráulica para la sintonización del sistema regulador de velocidad IEEEG3 utilizando la técnica de estimación de parámetros y el análisis modal del sistema. Capítulo 3. APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA En este capítulo se desarrolla las pruebas para la verificación y validación de funcionamiento del regulador de velocidad en un sistema aislado tomando como aplicación a un sistema generador de la Fase AB de la central Paute Molino – Barra.

(18) XVII. Infinita; y, en un sistema multimáquina tomando como aplicación al Sistema de Nueve Barras del IEEE. Capítulo 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas a lo largo del desarrollo del proyecto de titulación..

(19) XVIII. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL ·. Realizar un análisis de estabilidad de pequeña señal en el dominio del tiempo y la frecuencia de sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas de plantas de generación eléctrica.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. ·. Presentar los fundamentos de estabilidad de pequeña señal.. ·. Describir los métodos para análisis de estabilidad de sistemas regulación en el dominio del tiempo y la frecuencia.. ·. Presentar un análisis de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas para plantas de generación eléctrica de gran potencia.. ·. Aplicar los métodos de análisis de estabilidad en el dominio del tiempo y de la frecuencia a la planta compuesta por turbina hidráulica, regulador de velocidad y generador sincrónico.. ·. Analizar la respuesta en el dominio del tiempo y la frecuencia con referencia a índices establecidos por la normativa del IEEE.. ·. Utilizar el programa computacional DIgSILENT Power Factory para analizar la estabilidad de pequeña señal en una unidad de generación hidroeléctrica de la fase AB de la central Paute-Molino con turbina hidráulica y sistema de regulación de velocidad..

(20) XIX. ALCANCE ·. Se implementará un regulador de velocidad para el control de una turbina hidráulica de una unidad de la fase AB de generación eléctrica Paute-Molino conectada a través de un transformador de elevación a una carga eléctrica constante e independiente del voltaje y la frecuencia. Los datos serán tomados de la referencia 3 de los temas afines.. ·. Los parámetros y constantes del regulador de velocidad serán determinados a partir de los datos del generador, momentos de inercia de las partes móviles, dimensiones del rodete y tubería de presión, altura neta y tiempos de actuación de servomotores y válvulas.. ·. La modelación de la turbina hidráulica estará basada en la constante de tiempo del agua.. ·. El sistema de regulación de velocidad ajustado será probado en el sistema de 9 barras del IEEE.. ·. Mediante el diagrama de polos y ceros así como la respuesta en el dominio del tiempo, se presentarán las características dinámicas de la planta..

(21) XX. JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO El efecto de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas en generadores sincrónicos y la disponibilidad de herramientas computacionales para análisis de estado dinámico posibilitan el estudio de índices de estabilidad de sistemas de sistemas dinámicos incorporados a generadores sincrónicos de centrales hidroeléctricas de gran potencia.. El programa computacional DIgSILENT Power Factory dispone de módulos de estabilidad de pequeña señal que permiten obtener la respuesta del sistema de regulación de velocidad, turbina hidráulica y del generador en conjunto tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Las respuestas en estos dos dominios deben ser contrastadas con indicadores establecidos por la normativa del IEEE.. El desarrollo de sistemas digitales de control de velocidad reproduce la funcionalidad de los sistemas analógicos cuyos modelos están siendo incorporados a la lista estandarizada del IEEE, y que deben ser analizados con las herramientas computacionales disponibles en la actualidad.

(22) CAPÍTULO I 1.. INTRODUCCIÓN. 1.1. ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA [1], [2],. [3]. El estudio de estabilidad de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) sin duda es el campo más fascinante y complejo de la ingeniería eléctrica, ya que comprende desde el diseño del sistema, diseño de sus protecciones y los respectivos elementos de control. Mantener en sincronismo el sistema ante los distintos eventos que pueden presentarse en su operación (variación de carga, pérdida de una línea de transmisión, salida de un generador, entre otros) es el problema a resolverse en un SEP en vista de que a medida que evoluciona, su control se hace cada vez más complejo, obligando a que los generadores trabajen cerca de los limites de estabilidad. Debido a que un sistema opera bajo un esquema de crecimiento de la demanda, obliga a que la capacidad de un SEP, de mantenerse estable, se mantenga en continua investigación, por esta razón ingenieros y matemáticos han desarrollado distintas teorías sobre estabilidad y distintos medios para simular un SEP y prevenir un resultado fatal frente a perturbaciones de magnitud. Definición de estabilidad de un sistema eléctrico de potencia Un sistema eléctrico de potencia está en estado estable cuando los parámetros de sus principales variables eléctricas también lo están o se encuentran dentro de los límites aceptables de operación.. También se puede decir que un SEP está en. estado estable, si cuando sufre una perturbación desde un estado operativo aceptable es capaz retornar a su estado inicial en un tiempo prudencial. Un SEP puede llegar a ser inestable de diferentes formas dependiendo de la configuración y del modo de operación que tenga el sistema. Tradicionalmente el problema de estabilidad ha estado en mantener el sincronismo. Este aspecto de la.

(23) 2. estabilidad viene dado por el dinamismo que tiene el ángulo del rotor y por la relación ángulo-carga. La inestabilidad también puede ser alcanzada sin perder el sincronismo, por ejemplo un sistema generador conectado a un motor de inducción a través de una línea de transmisión puede llegar a ser inestable debido a un colapso de voltaje. En los estudios de estabilidad se analiza el comportamiento de un sistema eléctrico de potencia frente a transitorios de larga duración como el caso de un cambio de la carga eléctrica, donde el sistema debe de adaptarse a la nueva condición de equilibrio. Además debe ser capaz de soportar perturbaciones de naturaleza severa como un cortocircuito, pérdida de carga eléctrica de grandes magnitudes o salidas de unidades de generación. Los estudios de estabilidad de un sistema eléctrico más comunes, son: ·. -Estabilidad de ángulo. ·. -Estabilidad de voltaje. ·. -Estabilidad de frecuencia. En la figura 1.1 se indica la clasificación de los estudios de estabilidad más comunes de un sistema eléctrico de potencia..

(24) 3. Estabilidad de un Sistema de Potencia Habilidad de mantenerse en un punto de operacion Equilibrio entre fuerzas opuestas. Estabilidad de ángulo. Estabilidad de frecuencia. Habilidad de mantener el sincronismo Balance del torque en los generadores. Estabilidad de voltaje Habilidad de mantener el voltaje en un rango aceptable. Estabilidad de frecuencia (Gran Señal). Balance de potencia reactiva. Estabilidad Transitoria Corto Plazo -Grandes Perturbaciones Períodos superiores a los 10s. -Severos cambios -Grandes Voltajes, -Dinamismos del sistema rápidos y lentos -Tiempo de estudio de algunos min.. Estabilidad de pequeña señal. Inestabilidad No oscilatoria -Insuficiente torque sincronizante. Modos entre áreas. Estabilidad de Voltaje ante grandes perturbaciones (Gran Señal). Largo Plazo -Frecuencia del sistema uniforme. -Dinamismo del sistema lento -Tiempo de estudio de varios min.. --Grandes Perturbaciones -Eventos de swicheo -Dinamismo de los ULTC -Coordinación de Protecciones. Estabilidad de Voltaje ante pequeñas perturbaciones (Pequeña Señal) Inestabilidad oscilatoria. -Estabilidad marginal, reserva de Q -Relación P/Q – V. -Insuficiente torque de amortiguamiento -Inestable acción del control. Modos locales. Modos entre máquinas. Modos de control. Modos de torsión. Figura 1.1 Clasificación de la estabilidad. El presente proyecto tiene como objetivo el análisis de estabilidad de pequeña señal que ocurre dentro del estudio de estabilidad del ángulo del rotor. 1.1.1 ESTABILIDAD DE ÁNGULO En este tipo de estudio se analiza el comportamiento del ángulo del rotor de una determinada máquina con respecto a una máquina de referencia luego de ocurrida una perturbación. Este ángulo es una función del balance entre la potencia mecánica y la potencia eléctrica que existe en cada generador del sistema. Para determinar la relación entre el ángulo interno del generador y la potencia suministrada se requiere establecer un modelo que permita visualizar los parámetros de los elementos que.

(25) 4. intervienen. El modelo más simple contiene generador, línea de transmisión y motor sincrónico, como se indica en la figura 1.2.. M. G xG. xL. xM. Figura 1.2 Diagrama unifilar del sistema de potencia La ecuación (1.1) relaciona la transferencia de potencia activa desde el generador al motor y el ángulo entre los rotores de las respectivas máquinas sincrónicas.. Donde: · · ·. ܲൌ. ாಸ ாಾ ௦௘௡ఋ ௫೅. (1.1). ࡱࡳ ǡ ࡱࡹ : son los voltajes internos del generador y motor respectivamente ࢞ࢀ : la sumatoria de las reactancias del sistema.. ࢾ: la diferencia entre los ángulos internos del motor y generador. Como se puede observar la ecuación (1.1) es altamente no lineal, por lo que una variación en la potencia eléctrica se transforma llevando a la aceleración o desaceleración de los rotores de las máquinas de acuerdo a las leyes dinámicas de cuerpos rotativos. Si un generador tiene una velocidad angular alta, la diferencia angular de su rotor frente a una máquina con velocidad angular más lenta, aumenta, y es lo que puede llevar a perder el sincronismo. En la figura 1.3 se indica el comportamiento del ángulo del rotor ante una variación de carga.. Como se puede observar la variación de potencia eléctrica produce. oscilaciones alrededor del punto de operación, cuyo amortiguamiento depende de las características del sistema y de los elementos de control de la máquina sincrónica..

(26) 5. Figura 1.3 Oscilación de potencia de un generador La pérdida de estabilidad se puede ver reflejada en un incremento en las oscilaciones de ángulo de las máquinas con respecto a una tomada como referencia.. Estas. oscilaciones se las conoce como oscilaciones electromecánicas debido a que afectan tanto a variables mecánicas en los ejes de las máquinas (velocidad, torque, ángulo) así como variables eléctricas (potencia activa y reactiva, ángulos eléctricos, frecuencia). Para concebir la naturaleza de los problemas de estabilidad angular se la clasifica en dos categorías: -Estabilidad de pequeña señal -Estabilidad transitoria 1.1.1.1 Estabilidad de pequeña señal [1], [2] Este tipo de estabilidad está dada por el sistema cuando es capaz de mantener el sincronismo bajo pequeñas perturbaciones que generalmente se presentan en las condiciones de operación relacionadas con variaciones de carga y de generación..

(27) 6. En este estudio solamente se consideran aquellas perturbaciones que puedan ser linealizadas a la vez que puedan ser aproximadas al comportamiento real del sistema. Para analizar la estabilidad de pequeña señal se considera que existe un único generador que provee de energía a un sistema eléctrico.. Para el análisis se. necesitan las ecuaciones eléctricas de la máquina y la ecuación relacionada a su comportamiento mecánico, dada por la formulación de Newton aplicada a un cuerpo giratorio (1.2):. ‫ܭ‬. ௗమ ఋ ௗ௧. ൅ ‫ܭ‬஽ ߱ ൌ ܲ௠ െܲ௘. (1.2). Donde: ‫ܭ‬. =. Constante proporcional a la inercia de la máquina. ߜ. =. Ángulo interno del generador. ‫ܭ‬஽. =. Coeficiente de torque de amortiguamiento. ܲ௠. =. Potencia mecánica. ܲ௘. =. Potencia eléctrica. ߱. =. Velocidad del generador. La inestabilidad de pequeña señal puede ser producida de dos formas -Incremento de las oscilaciones del rotor debido a falta de torque de amortiguamiento -Incremento del ángulo del rotor debido a falta de torque sincronizante El torque de amortiguamiento determina la rapidez con la que disminuye la amplitud de las oscilaciones, el mismo que está determinado por componentes mecánicas: pérdidas por fricción del viento y fricciones viscosas; y, componentes eléctricas: devanados de amortiguamiento, cargas dinámicas, entre otras.. Normalmente el.

(28) 7. torque de amortiguamiento es pequeño y positivo, no obstante puede hacerse negativo por la presencia de los reguladores de voltaje, provocando que la amplitud de las oscilaciones crezca, tal como se indica en la figura 1.4.. Figura 1.4 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con regulador de voltaje de campo En cambio el torque sincronizante es encargado de mantener unidos eléctricamente a los generadores dentro de un SEP. En la estabilidad de pequeña señal, el torque sincronizante está relacionado con la frecuencia de las oscilaciones de potencia, matemáticamente es la pendiente en el punto de operación de la curva - potencia ángulo. Si el torque sincronizante es pequeño o negativo produce una inestabilidad no oscilatoria es decir el ángulo del rotor se incrementa como lo indica la figura 1.5, considerando el voltaje de campo constante..

(29) 8. Figura 1.5 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante La estabilidad de pequeña señal puede ser local o global dependiendo del lugar donde comenzó a existir la falta de torque sincronizante. a) Modos entre áreas: estas oscilaciones ocurren cuando un grupo de generadores de un área del sistema presenta una oscilación en oposición a otro grupo de generadores en otra área, los cuales están unidos a través de una línea de transmisión que constituye un enlace débil.. Puede ser una. interconexión de dos países o regiones. Estas oscilaciones se encuentran en el orden de 0,2 a 0,7 Hz. b) Modos locales: una oscilación de este tipo ocurre cuando una central o parte del sistema oscila contra otras máquinas de una misma área.. Estas. oscilaciones se encuentran entre 0,8 y 1,8 Hz. c) Modos entre máquinas: estas oscilaciones ocurren en una central eléctrica y los generadores que en esta existen comienzan a oscilar unos con otros, sin que el resto del sistema se vea afectado. Estas oscilaciones se encuentran entre el orden de 1,5 a 3 Hz y dependen de las características de la central..

(30) 9. d) Modos de control: este tipo de oscilaciones son generadas por los propios sistemas de control de cada generador. Su frecuencia de oscilación es mayor a 4 Hz. e) Modos de torsión: estas oscilaciones son producidas por los elementos compensadores de la red o los elementos de control de red con los modos naturales mecánicos de las turbinas. Su frecuencia de oscilación está entre los 10 y 46 Hz. 1.1.1.2 Estabilidad Transitoria En estabilidad transitoria las perturbaciones son más severas y se presentan en condiciones de falla, como por ejemplo: pérdida de carga o generación, y depende del estado inicial de operación del sistema.. Este estudio se realiza mediante. métodos de simulación con tiempos de estudio superiores a los 10 s. 1.1.2 ESTABILIDAD DE VOLTAJE En estudios de estabilidad de voltaje, las variables a ser consideradas son los voltajes en cada una de las barras del sistema luego de una perturbación, la cual puede ser local o en el sistema. Si es local el sistema no sentirá el impacto de inestabilidad, sin embargo si la inestabilidad afecta al área, ésta deberá ser desconectada del resto del sistema como una acción preventiva. El voltaje muchas veces se ve afectado por varios factores como el aumento paulatino de la carga, eventos de swicheo, entre otros, donde la carga juega un papel importante dentro de este tipo de estabilidad. 1.1.3 ESTABILIDAD DE FRECUENCIA En este estudio se analiza la capacidad de un sistema eléctrico de mantener la frecuencia dentro de un rango aceptable de operación luego de una perturbación que ocurre por el desequilibrio generación – carga. Cuando las perturbaciones son de.

(31) 10. gran envergadura pueden provocar la salida de las unidades de generación o de la carga con el fin de mantener la estabilidad en todo el sistema. La estabilidad de frecuencia puede ser de corto plazo o de largo plazo, dependindo del tipo de control que se aplique para una determinada perturbación que ocurra en el sistema.. 1.2.. CONCEPTOS. FUNDAMENTALES. DE. ESTABILIDAD. DE. SISTEMAS DINÁMICOS [1], [3] Como se mencionó la estabilidad de un sistema es la capacidad que tiene para retornar de un punto inestable por así llamarlo a un punto estable, el cual se lo considera como referencia del sistema. Dependiendo de la ubicación del estado x y su trayectoria hacia el estado inicial ࢞૙ indicara el tipo de estabilidad que se estaría considerando, de acuerdo a esto se dan las siguientes definiciones:. ഥ es estable si hay un ࢿ૙ ൐ ૙ con las siguientes 1) Un estado de equilibrio ࢞. ഥ െ ࢞૙ ԡ ൏ ࢿ, propiedades: Para todo ࢿ૚ , ૙ ൏ ࢿ૚ ൏ ࢿ૙ , hay un ࢿ ൐ ૙, tal que si ԡ࢞ ഥ െ ࢞ሺ࢚ሻԡ ൏ ࢿ૚ para todo ࢚ ൐ ࢚૙ de modo que ԡ࢞. 2) Un estado de equilibrio ࢞ es asintóticamente estable si éste es estable y hay ഥ como ࢚ ՜ λǤ un ࢿ ൐ ૙, tal que ԡ࢞ െ ࢞૙ ԡ ൏ ࢿ además ࢞ሺ࢚ሻ ՜ ࢞. 3) Un estado de equilibrio ࢞ es globalmente asintóticamente estable si es ഥ como ࢚ ՜ λǤ estable y con un estado arbitrario inicial ࢞૙ ‫ࢄ א‬ǡ ࢞ሺ࢚ሻ ՜ ࢞. La primera definición dice: que el estado de equilibrio ‫ݔ‬ҧ es estable si la trayectoria. total de ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ es muy cercana al estado de equilibrio con algún pequeño ߝଵ , si el. estado inicial ‫ݔ‬଴ es definido lo bastante cerca del estado de equilibrio.. Para un. estado asintóticamente estable, cuando ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ converge al estado de equilibrio cuando ‫ ݐ‬՜ λ, es decir si todos los polos de la función de transferencia están a la izquierda. del plano “s”. Un estado de equilibrio es globalmente asintóticamente estable cuando ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ converge al punto del estado inicial ‫ݔ‬଴ ..

(32) 11. Estos conceptos de estabilidad son llamados internos ya que representan las propiedades del estado de un sistema. En la literatura de ingeniería eléctrica algunas veces la estabilidad la definimos como estabilidad marginal y la estabilidad asintóticamente estable como estabilidad. En la figura 1.6 se encuentran expuestas las definiciones mencionadas.. Inestable ε0 Estable Asintóticamente. ε1 ε. 0. Estable. Globalmente asistoticamente estable Figura 1.6 Conceptos de estabilidad 1.2.1 ECUACIÓN DE ESTADO Las ecuaciones que definen el comportamiento de un sistema eléctrico de potencia son ecuaciones diferenciales que requieren de una metodología para efectuar un análisis más real de los sistemas. De la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias se conoce que los coeficientes tienen repercusión en la solución de un sistema de ecuaciones y es por esta razón que una modelación así no podría ser considerada como exacta. El modelado de sistemas mediante variables de estado es una metodología muy común, caracterizada por definir al sistema mediante entradas y cuyas salidas estén dadas en función de las entradas, como se muestra en la figura 1.7..

(33) 12. ∆α. Z(t) Cambios en la entrada. Cambios en los parámetros. Y(t). U(t) Sistema. Señal de salida. Señal de entrada. Figura 1.7 Modelación de un sistema mediante variables de estado Para el análisis de un sistema utilizando esta metodología, las condiciones de entrada se suponen constantes y la dinámica del sistema es representada mediante un modelo de variables de estado. El proceso dinámico puede ser alterado por cambios en sus parámetros. A un sistema dinámico se lo puede representar por una serie de ecuaciones diferenciales de orden “n”, en la cual el tiempo es una variable independiente del mismo. El sistema de ecuaciones diferenciales puede ser representado en forma matricial de primer orden, con el número de ecuaciones igual al de las variables de estado del sistema, utilizando diagramas de bloques mediante el uso de funciones de transferencia. Considere un sistema representado por los vectores de la ecuación diferencial de la forma general (1.3): ‫ݔ‬ሶ ൌ ࢌሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݑ‬ǡ ‫ݐ‬ሻ. (1.3). Donde x es un n-vector que describe el estado del sistema y u es la entrada, también representada en forma vectorial. Estas son las señales externas que influyen en el comportamiento del sistema. La variable del tiempo es denotada con la letra t y la derivada de la variable de estado n con respecto al tiempo por ࢞ሶ , si las derivadas de. las variables de estado no son independientes del tiempo la ecuación puede ser expresada de la forma dada en la ecuación (1.4):.

(34) 13. ‫ݔ‬ሶ ൌ ࢌሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݑ‬ሻ. (1.4). Las variables de salida pueden ser observadas y analizadas de la misma forma: ‫ ݕ‬ൌ ࢍሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݑ‬ሻ. (1.5). Donde el vector y es el vector de salidas, y g es el vector de las funciones no lineales relacionadas a las funciones de estado y a la variables de salida, ecuación (1.5). 1.2.2 LINEALIZACIÓN DE UN SISTEMA NO-LINEAL Un sistema es no lineal cuando a partir de un cambio en la excitación se obtiene una respuesta variable a la salida del sistema. y df dx. x0. y0. x0. x. Figura 1.8 Representación de un elemento no-lineal Un sistema no-lineal puede ser linealizado cerca al punto de operación, donde los cambios de pequeña magnitud que se generan alrededor de dicho punto son pequeños. ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬଴ ൅ ο‫ݔ‬. ‫ ݑ‬ൌ ‫ݑ‬଴ ൅ ο‫ݑ‬. (1.6) (1.7). Dichas variaciones alrededor del punto deben cumplir con las ecuaciones (1.4) y (1.5) respectivamente. ‫ݔ‬ሶ ൌ ࢌሺ‫ݔ‬଴ ൅ ο‫ݔ‬ǡ ‫ݑ‬଴ ൅ ο‫ݑ‬ሻ. ‫ ݕ‬ൌ ࢍሺ‫ݔ‬଴ ൅ ο‫ݔ‬ǡ ‫ݑ‬଴ ൅ ο‫ݑ‬ሻ. (1.8) (1.9).

(35) 14. Si las variaciones son pequeñas, se las puede expresar en términos de la expansión en series de Taylor, despreciando los términos de orden superior, para obtener la linealización del sistema como: డ௙భ ο‫ݔ‬ሶ ଵ ‫ۍ‬డ௫భ ο‫ݔ‬ሶ ൦ ଶ൪ ൌ ‫ڭ ێ‬ ‫ڭ‬ ‫ێ‬డ௙೙ ο‫ݔ‬ሶ ௡ ‫ۏ‬డ௫భ. డ௚భ ο‫ݕ‬ଵ ‫ ۍ‬డ௫భ ο‫ݕ‬ ൦ ଶ൪ ൌ ‫ڭ ێ‬ ‫ڭ‬ ‫ێ‬డ௚೙ ο‫ݕ‬௡ ‫ ۏ‬డ௫భ. Expresada. de. una. డ௙భ. డ௙భ. డ௚భ. డ௚భ. ‫ڮ‬. డ௫೘ ‫ې‬. ‫ڮ‬. డ௫೘ ‫ې‬. ‫ڮ‬. ‫ۍ‬డ௨భ ο‫ݔ‬ଵ ‫ۑ‬ ‫ڭ ێ‬ ‫ڭ‬ ‫כ‬ ൥ ൩ ൅ ‫ڮ‬ ‫ڭ‬ ‫ ێ‬డ௙೙ డ௙೙ ‫ۑ‬ ‫ ڮ‬డ௫ ‫ ے‬ο‫ݔ‬௠ ‫ۏ‬డ௨భ ೘. ‫ڮ‬ ‫ڮ‬. ‫ڮ‬ ‫ڮ‬. ‫ڮ‬ ‫ڮ‬. manera. ‫ۍ‬డ௨భ ο‫ݔ‬ଵ ‫ۑ‬ ‫ڭ‬ ൩൅‫ڭ ێ‬ ‫כ ڭ‬൥ ‫ێ‬డ௚೙ డ௚೙ ‫ۑ‬ ο‫ݔ‬௠ ‫ۏ‬డ௨భ డ௫೘ ‫ے‬. simplificada. las. ‫ڮ‬. డ௙భ. డ௨ೝ ‫ې‬. ο‫ݑ‬ଵ ‫ۑ‬ ‫ ڭ‬൩ ‫כ‬ ൥ ‫ڭ‬ డ௙೙ ‫ۑ‬ ο‫ݑ‬௥ డ௨ೝ ‫ے‬. (1.10). డ௚భ. డ௨ೝ ‫ې‬. ο‫ݑ‬ଵ ‫ۑ‬ ‫כ ڭ‬൥ ‫ ڭ‬൩ డ௚೙ ‫ۑ‬ ο‫ݑ‬௥ డ௨ೝ ‫ے‬. ecuaciones. (1.10). (1.11). y. (1.11). respectivamente, se tiene: ο‫ݔ‬ሶ ൌ ‫ܣ‬ο‫ ݔ‬൅ ‫ܤ‬ο‫ݑ‬. Dónde:. ο‫ ݕ‬ൌ ‫ܥ‬ο‫ ݔ‬൅ ‫ܦ‬ο‫ݑ‬. (1.12) (1.13). ο‫ = ݔ‬Variación del vector de estado. ο‫ = ݑ‬Variación del vector de entrada ο‫ = ݕ‬Variación del vector de salida A = Matriz de estado. B = Matriz de entrada C = Matriz de salida D = Matriz de transmisión directa Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (1.12) y (1.13) se obtienen las ecuaciones de estado en el dominio de la frecuencia (1.14) y (1.15): ‫ݏ‬ο‫ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ο‫ݔ‬ሺͲሻ ൌ ‫ܣ‬ο‫ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܤ‬ο‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ο‫ݕ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬ο‫ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܦ‬ο‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ሻ. (1.14) (1.15).

(36) 15. En la figura 1.9 se representa el diagrama de bloques de la matriz de estado, donde se indica la función de transferencia del sistema. Las condiciones iniciales ο‫ݔ‬ሺͲሻ son asumidas como cero.. Una solución de las ecuaciones de estado puede ser obtenida resolviendo ο‫ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ y. evaluando ο‫ݕ‬ሺ‫ݏ‬ሻ.. D ∆u. B. +. .. ∆x. 1 I ∆x s. Σ +. C. + + Σ ∆y. A Figura 1.9 Diagrama de bloques de la representación de espacio de estado. Rescribiendo la ecuación (1.14). Por lo tanto. ሺ‫ ݏ‬െ ሻο‫ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ο‫ݔ‬ሺͲሻ ൅ ‫ܤ‬ο‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ሻ. ο‫ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݏ‬െ ሻିଵ ሾο‫ݔ‬ሺͲሻ ൅ ‫ܤ‬ο‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ Y para la salida. ο‫ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ. ο‫ݕ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬. ௔ௗ௝ሺ௦୍ି୅ሻ ௗ௘௧ሺ௦୍ି୅ሻ. ௔ௗ௝ሺ௦୍ି୅ሻ ௗ௘௧ሺ௦୍ି୅ሻ. ሾο‫ݔ‬ሺͲሻ ൅ ‫ܤ‬ο‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ. ሾο‫ݔ‬ሺͲሻ ൅ ‫ܤ‬ο‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ ൅ ‫ܦ‬ο‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ሻ. (1.16). (1.17). Aplicando la transformada de Laplace a ο‫ ݔ‬y ο‫ ݕ‬se obtienen dos componentes, una que depende de las condiciones iniciales y la otra de las entradas. Estos son las.

(37) 16. transformadas de Laplace de las componentes de estado libre, estado cero y los vectores de salida.. 1.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE LA MATRIZ DE ESTADO. 1.3.1 VALORES PROPIOS En los estudios de estabilidad de sistemas dinámicos surge el problema de encontrar, los vectores escalares ߣ y los vectores derechos ߶ para una solución no. trivial (߶ ൌ Ͳ) tales que cumplan la ecuación (1.18). ‫ ߶ܣ‬ൌ ߣ߶. (1.18). Para saber si la ecuación (1.18) tiene solución, se la puede plantear de la forma (1.19): ሺ‫ ܣ‬െ ߣ‫ܫ‬ሻ߶ ൌ Ͳ. (1.19). Si la ecuación se transforma en una ecuación homogénea, la cual tiene solución única ߶ ൌ Ͳ, esto ocurre cuando el ሺ‫ܤ‬ሻ ് Ͳ; este caso no interesa. El valor ߣ se. dice Valor Propio de la matriz ‫ ܣ‬si cumple la ecuación (1.20). ‫ݐ݁ܦ‬ሺ‫ ܣ‬െ ߣ‫ܫ‬ሻ ൌ Ͳ. (1.20). A la ecuación (1.20) se la conoce como la ecuación característica de la matriz ‫ܣ‬. Las n soluciones de ߣ ൌ ߣଵ ǡ ߣଶ ǡ ‫ߣ ڮ‬௡ son los valores propios de ‫ܣ‬, cuyas propiedades son: ·. El número de valores propios es igual al número de estados del sistema.. ·. Los valores propios representan los modos naturales de oscilación de un sistema y caracterizan su respuesta temporal frente a una pequeña perturbación.. ·. Para un sistema estable todos los valores propios tiene parte real y parte imaginaria..

(38) 17. Los valores propios son la parte exponencial de la solución de la ecuación diferencial que describe el sistema, por lo que se puede decir que estos determinan su estabilidad, por esta razón su importancia.. En la figura 1.10 se representan las. distintas respuestas asociadas a los valores propios que se pueden obtener de un sistema.. Como se puede observar los valores propios pueden ser reales o. imaginarios, cuando son imaginarios presentan dos partes conjugadas, los valores propios del semiplano izquierdo son respuestas consideradas estables, mientras que los valores propios del semiplano derecho indican que el sistema es inestable.. Figura 1.10 Respuesta a los distintos valores propios que puede tener un sistema. 1.3.1.1 Valores propios reales Un valor propio real corresponde a un modo no oscilatorio, este puede ser positivo o negativo: ·. Un valor propio real negativo representa un decaimiento del modo.. ·. Un valor propio positivo representa una inestabilidad aperiódica.. 1.3.1.2 Valores propios complejos Un valor propio complejo aparece siempre en pares conjugados y cada par corresponde a un modo de oscilación donde:.

(39) 18. · La parte real ሺ࣌ሻ será una medida del amortiguamiento del modo: 1. Una parte real negativa representa una oscilación amortiguada. 2. Una parte real positiva representa una oscilación que incrementa en amplitud. · La parte imaginaria ሺ࣓ሻ da una medida de la velocidad angular de oscilación que el modo presenta. Dado el valor propio:. Se tiene que: ߱௡ = ߞ. =. ߣ ൌ ߪ േ ݆߱ ൌ ߞ߱௡ േ ߱௡ ඥͳ െ ߞ ଶ. (1.21). Frecuencia natural de oscilación Porcentaje de disminución de la amplitud de la oscilación del modo. Para un modo de oscilación debidamente representado por un valor propio complejo, su frecuencia de oscilación y amortiguamiento están dadas por las ecuaciones (1.22) y (1.23): ݂ൌ. ఠ. ଶగ. ିఙ. ߞ ൌ ξఙమ. ାఠమ. (1.22) (1.23). El amortiguamiento determina la velocidad de decaimiento de la amplitud de la oscilación. 1.3.2 VECTORES PROPIOS 1.3.2.1 Vectores propios derechos Si ߣ es un valor propio de la matriz ‫ ܣ‬y si ߶ es el vector no nulo tal que ‫ ߶ܣ‬ൌ ߣ߶. entonces ߶ se dice vector propio derecho de ‫ ܣ‬correspondiente al valor propio ߣ. Los vectores propios tienen la forma:. ߶ଵ௜ ߶ ߶௜ ൌ ൦ ଶ௜ ൪ ‫ڭ‬ ߶௡௜.

(40) 19. 1.3.2.2 Vectores propios izquierdos Por conveniencia se asume que los vectores propios son normalizados. De esta manera se obtiene: ߰௜ ‫ ܣ‬ൌ ߣ௜ ߰௜. Donde ߰௜ son los vectores propios izquierdos.. 1.4. ݅ ൌ ͳǡʹǡ ‫ ڮ‬ǡ ݊. (1.24). MATRICES MODALES. El vector propio izquierdo o derecho correspondiente a un diferente valor propio son ortogonales en otras palabras si ߣ௜ no es igual a ߣ௝ se tendrá que: ߰௝ ߶௜ ൌ Ͳ. (1.25). El vector propio está determinado solo por un múltiplo de un escalar, ésta es una práctica común para normalizar estos vectores tanto que como se indica en la ecuación (1.26): ߰௜ ߶௜ ൌ ͳ. (1.26). Para continuar con las propiedades de la matriz ‫ ܣ‬es conveniente introducir las matrices modales (1.27) y (1.28):. Ȱ ൌ ሾ߶ଵ. Ȳ ൌ ሾ߰ଵ். ߶ଶ. ߰ଶ். ‫ڮ‬. ߶௡ ሿ. ‫߰ ڮ‬௡் ሿ். (1.27) (1.28). La relación existente entre las ecuaciones (1.18) y (1.26) puede ser rescrita de la siguiente forma: ‫ܣ‬Ȱ ൌ ȰȦ. Dónde:. ȲȰ ൌ ‫×ܫ‬Ȳ ൌ Ȱିଵ. (1.29) (1.30). Ȧ= Matriz diagonal que contiene los valores propios de la matriz A Despejando la matriz diagonal de la ecuación (1.29), se tiene: Ȱିଵ ‫ܣ‬Ȱ ൌ Ȧ. (1.31).

(41) 20. 1.5. MOVIMIENTO LIBRE DE UN SISTEMA DINÁMICO. El movimiento libre de un sistema dinámico está dado cuando la entrada del sistema es cero, de ahí que la ecuación solo depende de las condiciones iniciales, y la ecuación de estado se reduce a la expresión (1.32): ο‫ݔ‬ሶ ൌ ‫ܣ‬ο‫ݔ‬. (1.32). Como se puede analizar, el problema es: como el cambio de las derivadas de las variables de estado es linealmente dependiente de los cambios de las variables de estado, en otras palabras es ver como cada una de las variables de estado influyen directamente en el movimiento del sistema. Para eliminar el acoplamiento entre las variables de estado se introduce un nuevo vector que está relacionado con el vector de las variables de estado, por lo tanto la ecuación (1.31) queda de la forma de las ecuaciones (1.33) y (1.34): ο‫ ݔ‬ൌ Ȱࢠ. Ȱࢠሶ ൌ ‫ܣ‬Ȱࢠ. (1.33) (1.34). La nueva ecuación de estado puede ser escrita como: ࢠሶ ൌ Ȱିଵ ‫ܣ‬Ȱࢠ. (1.35). Introduciendo la ecuación (1.35) en la ecuación (1.31) se obtiene un sistema de ecuaciones de primer orden desacoplado: ࢠሶ ൌ ઩ࢠ. (1.36). También puede ser expresada en términos de variables de estado y valores propios ‫ݖ‬పሶ ൌ ߣ௜ ‫ݖ‬௜. (1.37). La ecuación (1.35) es una ecuación diferencial de primer orden cuya solución es ‫ݖ‬௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݖ‬௜ ሺͲሻ݁ ఒ೔ ௧. (1.38).

(42) 21. Donde ‫ݖ‬௜ ሺͲሻ es la condición inicial del el valor ‫ݖ‬௜ Retomando la ecuación (1.33), la respuesta en términos del vector de estado inicial es: ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȱࢠሺ‫ݐ‬ሻ ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሾ߶ଵ. ߶ଶ. ‫ݖ‬ଵ ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ‫߶ ڮ‬௡ ሿ ൦ ଶ ൪ ‫ڭ‬ ‫ݖ‬௡ ሺ‫ݐ‬ሻ. ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ σ௡௜ୀଵ ߶௜ ‫ݖ‬௜ ሺͲሻ݁ ఒ೔ ௧. De la ecuación 1.39:. ࢠሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȱିଵ ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. (1.39) (1.40). ࢠሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȳο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. (1.41). ‫ݖ‬௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ɗ௜ ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. (1.42). ‫ݖ‬௜ ሺͲሻ ൌ ɗ௜ ο‫ݔ‬ሺͲሻ. (1.43). Esto implica que:. Condiciones iniciales en t=0:. Utilizando el término ܿ௜ ൌ ߰௜ ȟ‫ݔ‬ሺͲሻ que representa la magnitud de la excitación del iésimo modo resultado de las condiciones iniciales, la ecuación (1.40) puede ser escrita de la forma (1.44): ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ σ௡௜ୀଵ ߶௜ ܿ௜ ݁ ఒ೔ ௧. (1.44). En otras palabras el tiempo de respuesta de la i-ésima variable de estado está dado por la expresión (1.45): ȟ‫ݔ‬௜ ൌ ߶௜ଵ ܿଵ ݁ ఒభ ௧ ൅ ߶௜ଶ ܿଶ ݁ ఒమ ௧ ൅ ‫ ڮ‬൅ ߶௜௡ ܿ௡ ݁ ఒ೙௧. (1.45).

(43) 22. 1.6. MODOS, SENSITIVIDAD Y FACTORES DE PARTICIPACIÓN. 1.6.1 MODOS La respuesta del sistema como ya se mencionó pude ser expresada en términos de los vectores de estado y del vector de transformación z, como se define en la ecuación (1.39) ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȱࢠሺ‫ݐ‬ሻ, donde ο‫ݔ‬ଵ ǡ ο‫ݔ‬ଶ ǡ ‫ ڮ‬ο‫ݔ‬௡ son las variables originales de la ecuación de estado, designadas para representar al sistema dinámico.. Las. variables ‫ݖ‬ଵ ǡ ‫ݖ‬ଶ ǡ ‫ ڮ‬ǡ ‫ݖ‬௡ , son la transformación de las variables de estado tal que cada. variable está asociada con un único modo, en otras palabras cada variable ‫ ݖ‬esta. directamente relacionada con un modo.. ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȱ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. ο‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሾԄଵ. Ԅଶ. ‫ڮ‬. ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȳȟ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሾ߰ଵ். ߰ଶ். ‫ڮ‬. Ԅ௡ ሿ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. (1.46). ߰௡் ሿ் ȟ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. (1.47). La ecuación (1.46) contiene los vectores propios derechos que dan los modos de operación, y relaciona la actividad de las variables de estado cuando un modo particular es excitado. Por ejemplo, el punto de actividad de la variable de estado ‫ݔ‬௞ en el i-ésimo modo es dado por el elemento ߶௞௜ del vector propio derecho.. Las magnitudes de los elementos de ߶௜ proporcionan el grado de actividad de la. variable de estado n en el i-ésimo modo y el ángulo de los elementos dan los desplazamientos de fase de las variables de estado con respecto al modo.. Los vectores propios izquierdos ߰௜ identifican que combinación de las variables de. estado originales muestran solamente el i-ésimo modo. De tal modo que el k-ésimo elemento del vector propio derecho ߶௜ mide la actividad de la variable ‫ݔ‬௞ en el i-. ésimo modo, y el k-ésimo elemento del vector propio izquierdo ߰௜ pondera la. contribución de esta actividad al i-ésimo modo..

(44) 23. 1.6.2 SENSITIVIDAD Se analiza la sensitividad de los valores propios de la matriz de estado, para ello se parte de la ecuación (1.18) que contiene los valores y vectores propios de una matriz de estado. ‫߶ܣ‬௜ ൌ ߣ௜ ߶௜. Para el análisis de sensitividad de la ecuación de estado se deriva con respecto al elemento ܽ௞௝ de la matriz ‫ܣ‬:. డ஺. డ௔ೖೕ. డథ. డఒ. డథ. ߶௜ ൅ ‫ ܣ‬డ௔ ೔ ൌ డ௔ ೔ ߶௜ ൅ ߣ௜ డ௔ ೔ ೖೕ. ೖೕ. ೖ೔. (1.48). Multiplicado por ߰௜ y tomando en cuenta que ߰௜ ߶௜ ൌ ͳ y ߰௜ ሺ‫ ܣ‬െ ߣ௜ ‫ܫ‬ሻ ൌ Ͳ se puede simplificar la ecuación (1.48) a:. ߰௜. ߲ߣ௜ ߲‫ܣ‬ ߶௜ ൌ ߲ܽ௞௝ ߲ܽ௞௝. Todos los elementos de la derivada ߲‫ܣ‬Ȁ߲ܽ௞௝ son cero excepto para el elemento en la k-ésima fila y j ésima columna que es igual a 1, por lo tanto se tiene: డఒ೔. డ௔ೖೕ. ൌ ߰௜௞ ߶௝௜. (1.49). De esta manera la sensitividad del valor propio ߣ௜ al elemento ܽ௞௝ de la matriz de. estado es igual al producto del elemento del vector propio izquierdo y el elemento del vector propio derecho. 1.6.3 FACTOR DE PARTICIPACIÓN Uno de los problemas en usar los vectores propios izquierdo y derecho individualmente para identificar la relación entre los estados y los modos, es que los.

(45) 24. elementos de los vectores propios son dependientes de las unidades y el escalamiento asociados a las variables de estado.. Como una solución a este. problema, se propone la matriz de participación P que combina los vectores propios derecho e izquierdo, según se muestra en la ecuación (1.50), como una medida de la relación entre las variables de estado y los modos. ܲ ൌ ሾ‫݌‬ଵ. o. 1.7. ‫݌‬ଶ. ‫ڮ‬. ‫݌‬௡ ሿ. ‫݌‬ଵ௜ ߶ଵ௜ ߰௜ଵ ‫݌‬ଶ௜ ߶ଶ௜ ߰௜ଶ ൪ ‫݌‬௜ ൌ ൦ ‫ ڭ‬൪ ൌ ൦ ‫ڭ ڭ‬ ‫݌‬௡௜ ߶௡௜ ߰௜௡. (1.50). CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD. Como se analiza en la sección 1.2.2, existe una relación entre la entrada y el estado, y el estado y la salida. En general estas medidas indican como el i-ésimo modo es excitado por las entradas y observado en las salidas del mismo. Se analiza los criterios para determinar la controlabilidad y la observabilidad de los sistemas dinámicos, así como las medidas de controlabilidad y observabilidad de los modos de oscilación. La controlabilidad y la observabilidad están enfocadas a analizar los modos de oscilación de un sistema dinámico con el objetivo de determinar la ubicación de los controladores y las señales para el diseño eficiente de los lazos de control. Se dice que un sistema es controlable en el tiempo ‫ݐ‬଴ si se puede llevar de cualquier. estado inicial ࢞ሺ‫ݐ‬଴ ሻ a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, es un intervalo de tiempo finito.. Se dice que un sistema es observable en el tiempo ‫ݐ‬଴ si, con el sistema en el estado ࢞ሺ‫ݐ‬଴ ሻ es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida. durante un intervalo de tiempo finito..

(46) 25. 1.7.1 CONTROLABILIDAD Considere la ecuación de entrada del sistema (1.51): ‫ݔ‬ሶ ൌ ‫ ݔܣ‬൅ ‫ݑܤ‬. (1.51). Se dice que el sistema es controlable si es posible construir una señal de control sin restricciones tal que transfiera cualquier estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema de estado es completamente controlable. Para desarrollar la condición de controlabilidad completa de un estado se parte de que el estado inicial es el origen del espacio de estado y que el tiempo inicial es cero ‫ݐ‬଴ ൌ Ͳ.. La solución de la ecuación 1.51 es ௧. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ ஺௧ ࢞ሺͲሻ ൅ ‫׬‬଴ ݁ ஺ሺ௧ିఛሻ ࡮‫ݑ‬ሺ߬ሻ݀߬. (1.52). Aplicando la condición de estado recién establecida se obtiene: ௧భ. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ଵ ሻ ൌ Ͳ ൌ ݁ ஺௧ ࢞ሺͲሻ ൅ න ݁ ஺ሺ௧భ ିఛሻ ࡮‫ݑ‬ሺ߬ሻ݀߬ ଴. o bien ௧. Donde:. ࢞ሺͲሻ ൌ െ ‫׬‬଴ భ ݁ ି஺ఛ ࡮‫ݑ‬ሺ߬ሻ݀߬ ௞ ݁ ି஺ఛ ൌ σ௡ିଵ ௞ୀ଴ ܽ௞ ሺ߬ሻ‫ܣ‬. (1.53). (1.54). Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (1.53) se obtiene: ௧. భ ௞ ࢞ሺͲሻ ൌ െ σ௡ିଵ ௞ୀ଴ ‫׬ ܤ ܣ‬଴ ܽ௞ ሺ߬ሻ ‫ݑ‬ሺ߬ሻ݀߬. (1.55).

(47) 26. Definiendo ௧. ߚ௞ ൌ ‫׬‬଴ భ ܽ௞ ሺ߬ሻ ‫ݑ‬ሺ߬ሻ݀߬. (1.56). Así la ecuación (1.55) se convierte en ௞ ࢞ሺͲሻ ൌ െ σ௡ିଵ ௞ୀ଴ ‫ߚܤ ܣ‬௞. ߚ଴ ߚ ࢞ሺͲሻ ൌ െሾ‫ܣ ڭ ڮ ڭ ܤܣ ڭ ܤ‬௡ିଵ ‫ܤ‬ሿ ൦ ଵ ൪ ‫ڭ‬ ߚ௡ିଵ. (1.57) (1.58). Si el sistema es completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial ࢞ሺͲሻ, la ecuación (1.58) debe satisfacerse. Es decir el rango de la matriz n x n sea n.. ሾ‫ܣ ڭ ڮ ڭ ܤܣ ڭ ܤ‬௡ିଵ ‫ܤ‬ሿ. (1.59). Esta matriz se la conoce como matriz de controlabilidad. Otra forma de conocer la controlabilidad de un sistema es a partir de la transformación a variables z de la ecuación (1.12), utilizando los conceptos de vectores derecho donde la ecuación se tiene: Ȱ‫ݖ‬ሶ ൌ ‫ܣ‬Ȱ ൅ ‫ܤ‬ο‫ݑ‬. (1.60). ‫ݖ‬ሶ ൌ Ȧ ൅ ‫ܤ‬Ԣο‫ݑ‬. (1.61). La ecuación de estado en la forma desacoplada puede ser escrita de la siguiente forma:. Dónde: ‫ ܤ‬ᇱ ൌ Ȱିଵ ‫ܤ‬. (1.62). Donde se obtiene las siguientes conclusiones, si la i-ésima fila de la matriz ‫ܤ‬Ԣ es. cero, no existe ningún efecto de las entradas en el i-enésimo modo. En tal caso, el iésimo modo se lo considera como incontrolable ya que depende exclusivamente de los vectores de estado..