PROBABILIDAD CONDICIONADA PROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

PROBABILIDAD CONDICIONADA

SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

Diremos que un suceso B está condicionado a otro A, o que B depende de A si para verificarse el suceso A es necesario verificar previamente el suceso B

Se escribe B/A, y se lee "B condicionado a A, o "B sabiendo que se ha verificado A"

Cuando esto no ocurre diremos que A y B son independientes, en cuyo caso escribiremos B/A=B

PROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

Se define

) A ( P

) B A ( ) P A / B (

P = ∩

⁽¹⁾

a) si A y B son dependientes, entonces, despejando la probabilidad de la intersección:

) A / B ( P ) A ( P ) B A (

P ∩ = ⋅

b) si A y B son independientes, entonces, según la definición anterior :

B

B/A =

y tomando probabilidades:

P(B/A) = P ( B)

, y sustituyendo en la expresión (1):

) A ( P

) B A ( ) P B ( P )

A ( P

) B A ( ) P A / B (

P = ∩  = ∩

Si despejamos la probabilidad de la

intersección:

) B ( P ) A ( P ) B A (

P ∩ = ⋅

Es importante observar la diferencia de la probabilidad de la intersección según los sucesos sean dependientes o independientes.

Ejemplo:

Este ejemplo es muy sencillo, pero debo descomponerlo en varias secciones para que se entienda:

En una clase de 32 alumnos de 2º de bachillerato hay 16 mujeres, 12 alumnos que llevan gafas y 8 hombres sin gafas.

Se elige un alumno al azar. Determinar la probabilidad de:

a) que sea hombre b) que no lleve gafas c)que sea mujer sin gafas d) que sea mujer con gafas

e) que sea hombre sabiendo que lleva gafas f) que no lleve gafas sabiendo que es mujer

Construimos una tabla de doble entrada (TABLA DE CONTINGENCIA) en la que colocaremos los datos conocidos:

HOMBRES MUJERES TOTAL

CON GAFAS 12

SIN GAFAS 8

TOTAL 16 32

Por sumas y diferencias, rellenamos el resto de la tabla:

Primer paso:

HOMBRES MUJERES TOTAL

CON GAFAS 12

SIN GAFAS 8 20

TOTAL 16 16 32

Resto de datos:

HOMBRES MUJERES TOTAL

CON GAFAS 8 4 12

SIN GAFAS 8 12 20

TOTAL 16 16 32



Nombramos los sucesos que el ejercicio aporta como datos (deben entresacarse del texto):

H = "Ser hombre"

M = "Ser mujer"

G = "Llevar gafas"

F = "No llevar gafas"

Es importante que consideremos las siguientes circunstancias:

M H =

G F =



Construimos otra tabla similar a la anterior pero con sucesos:

Valga como ejemplo que la celda situada en la columna MUJERES junto con la fila SIN GAFAS puede leerse como "ser mujer y no llevar gafas"=

M ∩ F

y que la celda bajo la columna HOMBRES puede leerse como "ser HOMBRE" =

H

Una cosa más: el total de totales es el número de alumnos de la clase, es decir, el suceso SEGURO E

HOMBRES MUJERES TOTAL CON GAFAS

SIN GAFAS M ∩ F

TOTAL H E

Vamos rellenando toda la tabla con los sucesos correspondientes:

HOMBRES MUJERES TOTAL

CON GAFAS H ∩ G M ∩ G G

SIN GAFAS H ∩ F M ∩ F F

TOTAL H M E

Con esto, las dos tablas sombreadas en "azul claro" están relacionadas, por lo que podremos utilizarlas para calcular probabilidades:



Nombramos los sucesos para los que nos pide la probabilidad (sucesos incógnita, que utilizamos las letras que queramos, preferiblemente del final del alfabeto));

a) X ="que sea hombre"

b) Y = "que no lleve gafas"

c)Z = "que sea mujer sin gafas"

d) T = "que sea mujer con gafas"

e) W = "que sea hombre sabiendo que lleva gafas"

f) V = "que no lleve gafas sabiendo que es mujer"

Ahora es el momento de expresar los sucesos incógnitas en función de los descritos en el punto



^:

a) X ="que sea hombre" =

H

b) Y = "que no lleve gafas" =

F

En los dos siguientes, introducimos las conjunciones que no alteren el sentido de la frase (" y ") traduciéndola por "

∩

^":

c)Z = "que sea mujer sin gafas" = "que sea mujer y que no lleve gafas" =

M ∩ F

d) T = "que sea mujer con gafas" = "que sea mujer y que lleve gafas" =

M ∩ G

En los dos últimos, debemos reconocer la dependencia de sucesos con la expresión

"sabiendo que", reconociendo lo que viene a continuación como el suceso verificado:

e) W = "que sea hombre sabiendo que lleva gafas" =

H / G

f) V = "que no lleve gafas sabiendo que es mujer" =

F / M



Ya tenemos el ejercicio totalmente desmenuzado para calcular las probabilidades.

Pasamos de los "textos" y nos quedamos con los sucesos:

a)

X = H

b)

Y = F

c)

Z = M ∩ F

d)

T = M ∩ G

e)

W = H / G

f) =

V = F / M



Por último, tomamos probabilidades en ambos miembros:

a)

^X = ^H  ^P ( ) ^X = ^P ( ) ^H

Este primer caso lo tenemos resuelto pues conocemos la probabilidad de H. Mirando ambas tablas sombreadas:

( ) ( )

32 H 16 P X P H

X =  = =

, es decir, casos favorables (hombres) y casos

posibles (todos los alumnos)

b)

( ) ( )

32 F 20 P Y P F

Y =  = =

c)

( ) ( )

32 F 12 M

P Z P F M

Z = ∩  = ∩ =

d)

( ) ( )

32 G 4

M P T P G M

T = ∩  = ∩ =

Los sucesos que siguen no aparecen en la tabla, pero haciendo uso de la expresión (1)

e)

( ) ( ) ( )

( ) ¹²

8

32 12 32 8

G P

G H G P

/ H P W P G / H

W =  = = ∩ = =

f)

( ) ( ) ( )

( ) ¹⁶

12

32 16 32 12

M P

M F M P

/ F P V P M / F

V =  = = ∩ = =



Las probabilidades ya están calculadas, solo queda simplificar los resultados:

a)

( ) ( )

2 1 32 H 16 P X

P = = =

b)

( ) ( )

8 5 32 F 20 P Y

P = = =

c)

( ) ( )

8 3 32 F 12 M

P Z

P = ∩ = =

d)

( ) ( )

8 1 32 G 4

M P T

P = ∩ = =

e)

( ) ( ) ( )

( ) ³

2 12

8

32 12 32 8

G P

G H G P

/ H P W

P = = ∩ = = =

f)

( ) ( ) ( )

( ) ⁴

3 16 12

32 16 32 12

M P

M F M P

/ F P V

P = = ∩ = = =

_______________________________

Pero ¿cómo hacer el ejercicio tipo "examen"? Quitad todas las explicaciones y expresiones redundantes y lo que queda es:

SOLUCIÓN:

1

Construimos una tabla de doble entrada (TABLA DE CONTINGENCIA) en la que colocaremos los datos conocidos:

HOMBRES MUJERES TOTAL

CON GAFAS 8 4 12

SIN GAFAS 8 12 20

TOTAL 16 16 32

2

Nombramos los sucesos que el ejercicio aporta como datos:

H = "Ser hombre"

M = "Ser mujer"

G = "Llevar gafas"

F = "No llevar gafas"

3

Construimos otra tabla similar a la anterior pero con sucesos:

HOMBRES MUJERES TOTAL

CON GAFAS H ∩ G M ∩ G G

SIN GAFAS H ∩ F M ∩ F F

TOTAL H M E

4

Nombramos los sucesos para los que nos pide la probabilidad (sucesos incógnita, que utilizamos las letras que queramos, preferiblemente del final del alfabeto) y expresamos en función de los descritos en el punto

2

y calculamos las probabilidades;

a)

( ) ( )

2 1 32 H 16 P X P H

X =  = = =

b)

( ) ( )

8 5 32 F 20 P Y P F

Y =  = = =

c)

( ) ( )

8 3 32 F 12 M

P Z P F M

Z = ∩  = ∩ = =

d)

( ) ( )

8 1 32 G 4

M P T P G M

T = ∩  = ∩ = =

e)

( ) ( ) ( )

( ) ³

2 12

8

32 12 32 8

G P

G H G P

/ H P W P G / H

W =  = = ∩ = = =

f)

( ) ( ) ( )

( ) ⁴

3 16 12

32 16 32 12

M P

M F M P

/ F P V P M / F

V =  = = ∩ = = =