TALLER Nº 1. Conjuntos Numéricos. CONTENIDOS: Números Enteros ß Operatoria y propiedades

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Conjuntos Numéricos.

CONTENIDOS: Números Enteros Operatoria y propiedadesß

El logro de aprendizaje esperado en este taller es aplicar y analizar correctamente las operaciones y propiedades de los enteros en expresiones numéricas que los contienen.

MOTIVACIÓN

El conjunto de los úmeros nteros está presente en muchas situaciones de la vidaN E diaria, los utilizamos por ejemplo: para señalar el número de pisos de un edificio en el ascensor, para medir altitudes, para indicar en una cuenta bancaria el dinero disponible o adeudado, entre otros.

Nota para tener presente ™_œ ™_{ Ö!× }™

¿POR QUÉ ESTUDIAR LOS NÚMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES?

El conjunto de los úmeros nteros fue creado para resolver algunas sustraccionesN E que no tenían solución en los úmeros ardinales (Números aturales además delN C N cero).

Ejemplo:

Sean +ß ,ß - úmeros ardinales, si N C +  , œ - entonces se puede observar que: Si > existe solución en los aturales. Ejemplo + , N &  " œ %

Si = existe solución en los ardinales+ , C Ð!Ñ. Ejemplo '  ' œ ! Si < no tiene solución en los ardinales. Ejemplo + , C #  $ œ "

Los úmeros nteros son una generalización del conjunto de úmeros aturales queN E N N incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor, además del cero). Así los úmeros nteros están formados por un conjunto de enterosN E positivos que podemos interpretar como los úmeros aturales convencionales, elN N cero, y un conjunto de E nteros negativos que son los opuestos de los aturales (éstos, N pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Números nterosE

números negativos cero números positivos Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria.

Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo del primer piso, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

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Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.

Para medir temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el agua alcanza la temperatura de 0 grados, ésta se congela.

SUBCONJUNTOS NOTABLES DE Z:

™ _œ úmeros nteros _N _E _œ { ... _#, _{" !}, , _", _#, ...}  _œ úmeros aturales N N _œ { , , , , ...}_{" # $ % &}

™ _œ nteros ositivos _E _P _œ {_",_#,_$,_%,...} ™ _œ nteros egativos _E _N _œ {_",_#,_$,_%,_&ß...}

TÉRMINOS DE UN ENTERO

Todo úmero ntero consta de: alor bsoluto y signo.N E V A

VALOR ABSOLUTO

Es el número de unidades que tiene dicho número sin signo y corresponde a su distancia al cero en la recta numérica. El alor bsoluto se anota entre barras.V A Ejemplo:

¸ ¸( œ ( ¸ ¸* œ * Observación:

1) El conjunto de los úmeros nteros es discreto, es decir, entre dos números enterosN E no hay otro.

2)Opuesto simétrico: cada número entero positivo tiene su opuesto simétrico negativo. Los opuestos simétricos tienen el mismo alor bsoluto y distinto signo.V A

Ejemplo:

es el opuesto simétrico de

_% _%

Nota para tener presente

Entre los úmeros nteros están definidas las operaciones dición y ultiplicación. N E A M Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos úmeros nteros es también unN E Número ntero, por lo que se dice que son peraciones nternas.E O I

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ADICIÓN DE ENTEROS:

a) Para sumar enteros del mismo signo se suman los valores absolutos y se conserva el signo.

b) Para sumar enteros de distinto signo se resta los valores absolutos y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto.

MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS (regla de los signos):

a) Para multiplicar dos enteros del mismo signo se multiplican los valores absolutos y el producto es positivo. Es decir; 

†

 œ 



†

 œ 

b) Para multiplicar dos enteros de distinto signo, se multiplican los valores absolutos y el producto es negativo. Es decir; 

†

 œ 



†

 œ 

AXIOMAS DE LOS NÚMEROS ENTEROS PARA LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN:

De la Adición De la Multiplicación

1) Clausura : +  , œ - − ™ a +ß , − ™ + , œ - − · ™ a +ß , − ™ 2) Conmutatividad : +  , œ ,  + a +ß , −™ + , œ , + a +ß , −_· _· ™ 3) Asociatividad :+  ,  - œ +  ,  - a +ß , - −( ) ( ) , ™ + , - œ + , - a +ß ,ß - −· · ( ) ( )· · ™ 4) Existencia de eutroN : +  ! œ + œ0 + a + − ™ ·+ " œ + œ " + a+ −· ™ 5) Existencia deInverso ditivoA : +  + œ 0œ +  + a + − _™

6) Distributividad: + (· ,  - œ + ,  + - a + , - −) · · , , ™

SUSTRACCIÓN DE ENTEROS

Se defineÀ +  , œ +  , a +ß , − _™ Observación:

La ivisión de úmeros nteros, no es una operación cerrada, es decir, no siempre alD N E dividir dos enteros su resultado es un entero. Sin embargo cuando el resultado da un número entero podemos utilizar la regla de los signos definida en la multiplicación.

ORDEN ENTRE ENTEROS

Entre dos números enteros es menor el que está a la izquierda en la recta numérica. Se define: +  , Í!  ,  +

Nota para tener presente Sea B − ™, entonces:

a) Si B −™Ê B  ! b) Si B − Ö!× Ê B œ ! c) Si B −™Ê B  !

Ejemplo:

, porque se cumple que ; es decir:

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Actividad 1

a) Indicar dos úmeros nteros cuyo producto sea N E _")ÞIndicar todos los casos posibles b) Un termómetro marcaba grados bajo cero a las 8 de la mañana. Cinco horas más( tarde marcaba _"$. ¿Cuántos grados subió la temperatura?. Escribir la operación que permite obtener el resultado.

c) Indicar todos los números enteros cuyo valor absoluto sea "#.

USO DE PARÉNTESIS

A veces queremos hacer una operación antes que otra que tenga prioridad, es decir, queremos, por ejemplo, hacer una suma antes que un producto. Entonces es cuando entra en juego el uso de los paréntesis, para darle prioridad a las operaciones que, en principio, no la tienen.

Notas para tener presente

Prioridad de las operaciones combinadas

a) Sin uso de paréntesis: se resuelven en el siguiente orden:

1º las potencias 2º multiplicaciones y divisiones 3º adiciones y sustracciones. b) Con uso de paréntesis: si en un ejercicio se presentan varios paréntesis, se resuelven de adentro hacia afuera, luego las potencias después multiplicaciones y divisiones y finalmente adiciones y sustracciones. Es decir, cuando una expresión entre paréntesis está precedida por un signo de sustracción o signo de inverso aditivo, se cambia el signo de cada término dentro del paréntesis.

Ejemplo:

58 2 = 5

†

 16 = 11

Si ponemos el paréntesis: (5  8 ) 2 =

†

3 2 =

†

6 Como podrás comprobar, el resultado de la operación cambia.

Actividad 2

Se usó mal una calculadora para evaluar la expresión. Se muestran las teclas oprimidas y el resultado erróneo. Describe el error y corrígelo.

a) Expresión: &#$  Ð"%&  "$'Ñ

Teclas: &#$  "%&  "$' ENTER Resultado: 242

b) Expresión: "#%  Ð$' ƒ %Ñ

Teclas: "#%  $' ÷ % ENTER Resultado: %!

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Actividad 3

Resolver las siguientes operaciones:

a) )  "#  Ð_*Ñ œ g) # † Ò $  %Ð &   'ÑÓ œ  _%

b) _'_{ #"  Ð # Ñ}  _{( œ} h) _{$  &  '  " œ}_$

c) Ð &ÑÐ ₍Ñ œ i) #  $ÒÐ&  #ÑÐ$  'Ñ  "_#

_ƒ

Ð  (ÑÓ œ_$ d) &  # † Ð$  Ñ œ) e) Ð &Ñ  Ð (Ñ  Ð  $ & ÑÐ#!  ")ÑÓ_ƒ#  ÒÐ &ÑÐ $Ñ œ  ‘

f) ’Ð#  ##Ñ

_ƒ

ÒÐ)  %Ñ  'Ð $Ñ  ÓÐ #Ñ  Ð &Ñ Ð %Ñ œ ₄   “ 

g) ) † $  ) ƒ #  & † ( † ' ƒ $     _œ

Actividad 4

Eliminar los paréntesis en las siguientes expresiones: a) "#  Ð &B  "Ñ  Ð #B  (Ñ  Ð $BÑ  Ð 'Ñ   

b) "&  ÖÐ'+  $Ñ  Ð#+  $,Ñ  *,×

c) "'+  Ö (  Ð%+  "Ñ×  Ö Ð&+  "Ñ  Ð #+  *Ñ  '+×  

d) #&B ’  Ö Ð B  'Ñ  Ð $B  &Ñ  "!×  Ö Ð#B  "Ñ  Ð #B  $Ñ  %×   “ USO DE LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA (AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD)

Para restar una suma o una diferencia, podemos realizar la operación sumando un inverso. Para eliminar paréntesis, podemos simplificar utilizando la propiedad distributiva.

NÚMEROS PRIMOS

Son aquellos números (sin considerar el signo) que solamente son divisibles por sí mismos y por la unidad. Se dice que un número es compuesto si tiene otros divisores además de sí mismo y la unidad.

Cualquier número puede descomponerse de forma única en producto de factores primos.

Ejemplo: '! œ "& † % œ # † # † $ † &

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

Dados varios números, se llama mínimo común múltiplo de ellos al menor valor que sea múltiplo de todos los números dados.

Para calcular el M.C.M..:

a) Se descomponen todos los números dados en factores primos.

b) Se anotan todos los factores que aparezcan el máximo de veces por cada número descompuesto.

c) Se calcula el resultado de multiplicar los factores del paso b). Ejemplo: El M.C.M. entre '!ß "# #% y

a) '! œ ' † "! œ # † # † $ † &ß "# œ $ † % œ # † # † $ß #% œ $ † ) œ # † # † # † $ b) $ † & † # † # † #

c) # † # † # † $ † & œ "#!

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Dados varios números, se llama máximo común divisor al mayor valor posible que pueda dividir simultáneamente todos los números dados.

Para calcular el M.C.D.:

a) Se descomponen todos los números dados en factores primos.

b) Se anotan sólo los factores comunes que aparezcan el mínimo de veces. c) Se calcula el resultado de multiplicar los factores del paso b).

Ejemplo: El M.C.D. entre '!ß "# #% y

a) '! œ ' † "! œ # † # † $ † &ß "# œ $ † % œ # † # † $ß #% œ $ † ) œ # † # † # † $ b) # † # † $

c) # † # † $ œ "#

Por lo tanto el M.C.D. entre '!ß "# #% y es "#.

Actividad 5

Determine el M.C.M. y el M.C.D. de los siguientes valores:

a) #ß $y 7 b)(#ß "$ß y )" c) %ß *y %&

d)(#!ß "!)! #&#!y e) B Cß# _#C B# y B C# # con Bß C −_™

Actividad grupal

1) Determine los inversos aditivos y multiplicativos, si es posible, de lossiguientes números enteros.

a)  ) b) "

c)  Ð  Ð "#ÑÑ d) _{B  C}

e)  Ð:;Ñ f) B  C

g) ! h) _BC

2) Indicar a que subconjunto de los números enteros pertenece el resultado de: a)_{+  ,}_{Ð -Ñ} _{ +-} Si _Þ _{+ −}_™_{ß , −}_™_{ß - −} _™

b) Ð +  ,Ñ-  _+_{Ð -ÑÞ} Si , − _™ß - −_™ß +  ,¸ ¸ ¸ ¸ c) Ð +  ,ÑÐ-  ,-Ñ   Si , − ™ß - − ™ß +  ,¸ ¸ ¸ ¸

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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1.- Escribir el opuesto de cada uno de los siguientes números enteros:

a)_$ b)_{Ð+  ,Ñ} c) _! d)_{Ð"  +Ñ}

2.- Resolver las siguientes operaciones combinadas.

a) Ð BÑ † Ð CÑÐ + Ñ   b)  Ð +Ñ  Ð+  Ð +ÑÑ  c) _{$ † ÐB  CÑ  $C} d) _{ C  B  %B  &C}

e) #D † !  ! † D f) $  Ð $B  $ Ñ  B g) #A  $A † '  #A  ")A  h) %C  Ð%B  %C  %BÑ

3.- Resolver, aplicando las leyes de los signos.

a) _{#&  Ð"# }_*_Ñ b) _{(  Ð #Ñ Ð "Ñ Ð "Ñ} _†  _†  c)  Ð $Ñ &  )  Ð"!  'Ñ _†  _d) $ À Ð  "Ñ_! _' 

&  $  *

†

* f) "  %  "! 

À

&  $  *

†

* 5.- Determinar: a) ¸_{Ð  $Ñ œ}¸ b) ¸_{Ð +  $Ñ} #¸_œ c) Si +  " Ê +  " œ¸ ¸ d) Si +  $  ! Ê¸ +  $ œ¸

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6.- Determine el Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD) entre los siguientes números:

a) ")à $! y ' b)")+à $!+ y '+# c)_{#!à &! #} y d) _{#!+Bà &!+ #!+} y # 7.- Escriba el número que mejor representa la situación que se plantea:

a) Bajamos al sótano 3 b) Nació en el año 243 antes de Cristo c) El avión vuela a 2486 m de altura d) El termómetro marcaba 7 9C bajo cero

8.- Escriba la operatoria a realizar y responda:

a) Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió? b) Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 958 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 7 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?$

c) ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a C, a la del pescado congelado, que está a -1 C?$9 *9

¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

d) La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de C cada 300 *9

metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de -8 C?*9

e) En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de #! minutos de funcionamiento?

Linkiografí@

http://www.amolasmates.es/mates_interactivas/Definitivo%20Enteros/Enteros.html http://www.aulafacil.com

http://www.disfrutalasmatematicas.com

Bibliografía fuente

Larson-Hostetler-Neptune Álgebra Intermedia, Ed. Mc Graw Hill, 2ª edición, 2000 Ignacio Bello Álgebra Elemental, Ed. Thomson, 2004

Domingo A. Tarzia Curso de Nivelación de Matemática, Ed.Mc.Graw Hill, 1ª Ed. 2000 Max A. Sobel- N. Lerner Álgebra, Ed. Prentice Hall, 2ª edición, 1989