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Números Naturales

Título: Números Naturales. Target: Profesores de Matemáticas. Asignatura: Matemáticas. Autor: Emiliana Oliván Calzada, Licenciada en Matemáticas, Profesora de Matemáticas en Educación Secundaria.

Los números naturales surgen ligados a la necesidad de “contar” y “medir”. Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, los dedos, marcas en una vara,… Fue en Mesopotamia (4.000 a.C.) donde aparecieron las primeras señales de números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre tableros de arcilla, adoptados más tarde en la Grecia antigua y en la Antigua Roma.

Para contar:

 Para saber la cantidad de elementos que tiene una colección de objetos (cardinal)

Para indicar el lugar que ocupa un objeto dentro de una colección ordenada (ordinal).

Técnica de recuento con palabras:

1.- Para obtener el cardinal de un conjunto:

 Se aprende la sucesión de palabras numéricas, uno, dos, tres,…

 A cada elemento del conjunto que queremos contar, se le adjudica una única palabra numérica, siguiendo el orden establecido, hasta llegar al último elemento.

Se llama cardinal de la colección, a la palabra numérica adjudicada al último elemento del conjunto contado. Para la representación gráfica a cada palabra numérica se le representa por símbolos o cifras.

2.- Para obtener el ordinal de un elemento en un conjunto ordenado:  Se aprende la sucesión de palabras: primero, segundo,…

 A cada elemento del conjunto ordenado se le adjudica una sola palabra de la sucesión anterior, siguiendo el orden establecido hasta llegar al elemento elegido.

 La palabra que le corresponde a dicho elemento es su ordinal.

Para medir:

 Algunas propiedades de los objetos son cuantificables y las llamamos magnitudes.

 Medir es contar cuántas veces la unidad de medida elegida está contenida en una cantidad de magnitud.

(2)

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Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Por ello, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

Definición sin el cero:

N

1

,

2

,

3

,...

Definición con el cero:

N

0

,

1

,

2

,

3

,...

El uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la invasión musulmana en la Península Ibérica, pero no se consideraba número natural. Sin embargo con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue

Dedekind, en el s. XIX. Este los derivó de una serie de postulados que después precisó Peano resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Zemelo demostró la existencia del conjunto de números naturales dentro de su teoría de conjuntos y mediante el uso del axioma de infinitud permite construir el conjunto de números naturales como ordinales.

Veamos ahora formalmente el origen del conjunto de los números naturales a partir de los axiomas de Peano, teniendo en cuenta la presencia del cero en el conjunto de los números naturales, análogamente sería comenzando el conjunto N con el número uno.

Axiomas de Peano

El conjunto de los números naturales, que representamos por N , posee las siguientes propiedades: Axioma 1:

0 es un número natural. Luego N

porque contiene un objeto, 0, que llamaremos cero. Axioma 2:

Para cada xN,

1

número

natural

,

llamado sucesor o siguiente de x, que denotamos x. Al siguiente de 0, lo denotamos 1 y lo leeremos UNO. En consecuencia 01.

Axioma 3: N x  se tiene que x0. Axioma 4: Si x yxy. Axioma 5: (Inducción)

Sea A un subconjunto de N con las siguientes propiedades: i) 0A

(3)

ii) Si xAxA

En estas condiciones AN.

NOTA: Estos cinco axiomas son los que caracterizan al conjunto N

Teorema: Sean

x

,

y

N

. Se verifica: a) xyx y b) xN se verifica xx c) Si

x

0

1

u

N

tal

que

u

x

Demostración: a) Si

y

x

y

x

ax

4 absurdo. Luego x y

b) Sea

A

x

N

x

x

. Veamos que AN. i)  A ax     0 0 0 3 ii) 

 

x x x A x x A x a            )

En consecuencia por el axioma 5 de inducción AN

c) Sea B el conjunto de números naturales constituido por 0 y por los números naturales para los que existe tal u. Es fácil ver que BN utilizando el axioma 5. Además u es único, porque si

v u x v u ax       4 . OPERACIONES EN N Adición en N

(4)

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Definición: A cada par de números naturales x,y le asignamos un número natural que denotamos xy (que leeremos x más y) y llamaremos suma de x con y tal que:

a) x0xxN

b) xy

xy

 x,yN

Teorema: xN

1

x

y

y

N

Demostración: Supongamos que existen dos formas de definir xy de modo que se verifiquen a) y b) de la definición anterior. Sean h( y) y k( y) los números naturales obtenidos al sumar x con y, según esas dos formas y veamos que h(y)k(y) yN . Sea

M

n

N

h

(

n

)

k

(

n

)

.

i) Al ser h(0)xk(0), tenemos que 0M.

ii) Si nM, se verifica que

h

 

n

 

k

 

n

 por el axioma 2 de Peano.

 

n x n

x n

h

 

n

k

 

n

 

x n

x n k n n M h suma def suma def                       ( )

Luego por el axioma de inducción MN.

Nota: Si y0 tenemos x1x0

x0

  x. Luego x1x Propiedades de la suma:

1. Asociativa:

x

,

y

,

z

N

x

y

z

x

y

z

Demostración: Inducción: Sea

A

z

N

x

y

z

x

y

z

i)

0

A

porque

x

y

0

x

y

x

y

0

ii) Si zA.Veamos que zA:

xy

z

xy

z

 

x

yz

 x

yz

 x

yz

Luego AN.

(5)

2. Conmutativa: x,yN xyyx

Demostración: Inducción: Sea

A

x

N

x

y

y

x

i) 0A porque 0 yyy0

ii) Sea xA.Veamos que xA, es decir, que xyyx

 

x y y x x y y x y x x y x y x y x y y x y x y x y x                                            1 1 1 1 1

3.Elemento neutro: xN xx00x. Llamaremos a 0 elemento neutro.

Demostración:   x x x suma def Conm     0 0 4. Si

x

N

 

0

entonces xyy

Demostración: Inducción: Sea

A

y

N

x

y

y

con

x

N

 

0

i) 0A porque x0x0

ii) Sea yA Veamos que yA: xy

xy

  y yA. 5. Sean x,yN. Entonces xyzxzyzN

Demostración: Inducción: Sea

A

z

N

z

x

z

y

con

x

y

i) 0A porque 0x0y ya que xy

(6)

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Nota: El recíproco pone de manifiesto que en N es válida la propiedad cancelativa para la suma, es decir, y x y z x z     , o bien, xzyzxy.

6. x,yN se verifica uno y sólo uno de los apartados siguientes: a) xy

b)

1

u

N

 

0

tal que xyu c) 1vN

 

0 tal que yxv Demostración:

a) y b) son incompatibles por la proposición 4 a) y c) son incompatibles por la propiedad 4.

b) y c) son incompatibles porque caso contrario

x

y

u

x

v

u

x

v

u

absurdo porque como

u

0

y

v

0

u

v

0

x

x

u

v

x

v

u

.

Luego a), b) y c) son incompatibles.

Ahora bien, xN fijado. Sea A el conjunto de N (es decir yN) para los que se verifica a), b) ó c). Es fácil ver que AN.

i) Si y 0 0 yA porque verifica a) ii) Si yA vemos que y x1yA De donde 0A y si yA también yA. Luego AN.

Multiplicación en N

Definición: A cada par de números naturales x,y le asignamos un número natural que denotamos xy

o y

x (que leeremos x por y) y que llamaremos producto de x por y tal que: a) x00 xN

(7)

b) xyxyxx,yN

Teorema: Para cada xN

1

x

y

,

y

N

.

Demostración: Supongamos que existen dos formas de definir

x

y

de modo que se verifiquen a) y b) de la definición anterior. Sean h( y) y k( y) los números naturales obtenidos al multiplicar x por y, según esas dos formas y veamos que h(y)k(y) yN . Sea

A

z

N

h

(

z

)

k

(

z

)

.

i) Al ser h(0)0k(0), tenemos que 0A.

ii) Si

z

A

, se verifica que

h

(

z

)

k

(

z

)

h

 

z

h

(

z

)

x

k

(

z

)

x

k

(

z

)

z

A

. Luego por el axioma de inducción AN.

Propiedades de la multiplicación

1. Conmutativa: x,yN xyyx

Demostración: Inducción: Sea

A

y

N

x

y

y

x

. Veamos que AN. i) 0A porque 0y0 y0

ii) Sea yA. Veamos que yA, es decir, que xy y x

   x y x x y x y x y x def A y def           

Luego por el axioma de inducción AN.

2. Distributiva del producto respecto de la suma: x,y,zN

y z

x z x y x z y x Conm         

Demostración: Inducción: Fijados x,yN. Sea

A

z

N

x

y

z

x

y

x

z

i)

x

y

0

x

y

x

y

0

x

y

x

0

x

y

0

x

y

x

0

0

A

ii) Sea zA. Se tiene:

x z x

x y x z z A y x x z x y x x z y x z y x z y x prod def prod def suma def                                

(8)

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Luego por el axioma de inducción AN

3. Asociativa: x,y,zN

 

xy

z

x

 

yz

Demostración: Inducción: Fijados

x

,

y

N

. Sea

A

z

N

 

xy

z

x

 

yz

. Veamos que AN.

i)

x

y

0

0

x

0

x

  

y

0

x

y

0

x

 

y

0

0

A

ii) Supongamos que zA. Veamos que zA.

y z

 

x y

z x

y z

z A x y z y x y x z y x y x z y x z y x def                               

Luego por el axioma de inducción AN.

4. Existencia de elemento unidad:

El número natural 1, es el elemento unidad para el producto, es decir, x1x1xxN. Demostración: Existencia:01;  x x x x x x x x def             1 0 0 0 1

Unicidad: Supongamos que existen dos elementos unidad, el 1 y otro llamado uN. Entonces xN tenemos x11xx y

x

u

u

x

x

.

1

1

1

1

1

1

1

.

1

.

1

u

u

u

u

u

N

Como

N

x

x

x

u

u

u

N

u

Como

N

x

x

x

Conm

Nota: Teniendo en cuenta las propiedades de la adición y multiplicación de números naturales, podemos garantizar que

N

,

,

es un semianillo conmutativo con elemento unidad.

ORDEN EN N

(9)

a) Si existe u0 tal que xyuxy, que leeremos x mayor que y. b) Si existe v0 tal que yxvxy, que leeremos x menor que y.

Nota: Es inmediato ver que xyyx

c) xy, que leeremos x menor ó igual que y xy ó xy d) xy, que leeremos x mayor ó igual que y xy ó xy

Nota: Es inmediato ver que

x

y

y

x

.

Propiedades de la relación

:

Proposición: la relación

cumple las siguientes propiedades: a) Reflexiva: xxxN Demostración: xxxNxxxN b) Antisimétrica: Si xy e yxxyx,yN Demostración: x y y x ó y x y x y x ó y x y x              c) Transitiva: Si xy e yzxzx,y,zN Demostración: Veamos tres casos:

z x z y x z y e y x Si        z x z y x y x y z y Si       

 

x

u

v

x

u

v

x

z

v

y

z

v

y

z

u

x

y

que

tal

N

v

u

z

y

e

y

x

Si





  

0 0 0

,

0

,

Definición: Con estas tres propiedades se dice que

N

,

es un conjunto ordenado. Proposición: x,y,zN se verifican:

(10)

83 de 178 PublicacionesDidacticas.com | Nº 29 Septiembre 2012 a) xyxzyz b) xyxzyz c) xyxzyz Demostración:

Casos:

 Sea

x

y

u

N

 

0

tal que yxu.

Entonces

u z

x

z u

x z

uy z x z x z u x z y Asoc Conm Asoc                  0  Si

x

y

es evidente que xzyz.  Si x y y x y z x z x z y z Caso            º 1 .

Casos:

 Sea xzyzu0 tal que

 

z

x

z

u

x

z

u

x

u

z

x

u

z

y

z

x

u

z

y

y x ux y cancel prop      0  Si xzyz es evidente que xy.  Si x z y z y z x z y x x y Caso            º 1 Proposición:

a) Si xy,ztxzyt. Además si uno de los signos en la hipótesis es menor estricto

 

, entonces el signo de la tesis es también menor estricto

 

.

b) 0xxN c) xyx1y d) xy1xy

Nota: a) se suele expresar diciendo que el orden es compatible con la suma.

Definición: Un conjunto A se dice bien ordenada si es un conjunto ordenado (es decir, cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva) y además tiene elemento mínimo para cualquier subconjunto de A no vacío.

(11)

Teorema:

N

,

es un conjunto bien ordenado.

Demostración: Vimos que

N

,

es un conjunto ordenado. Veamos que AN con A

, A tiene elemento mínimo. Sea AN, A

. Sea

B

x

N

x

y

y

A

. Como y y N y y A N A         0 0 , luego 0BB

.

Sea yA (existe porque A

)y1B porque y1yABN

Luego existe un número natural aB tal que a1B, ya que en caso contrario BN.

Como aB, se tiene que axxA. Además aA ya que si aA se tiene A

y y

a   a1 yyAa1B lo que contradice que a1B.

Así hemos encontrado un elemento aA tal que axxA, es decir, A tiene elemento mínimo

 

A

a

min

Corolario: AN A

tal que está acotado superiormente (es decir, kN tal que A

x k

x   ), existe mA tal que xmxA. Es decir, todo subconjunto de N no vacío, acotado superiormente tiene máximo.

Demostración:

Sea AN A

acotado superiormente. Sea

B

z

N

x

z

x

A

.

Como A está acotado superiormente kN tal que xkxAkBB

.

Como

N

,

es un conjunto bien ordenado, todo subconjunto no vacío de N contiene un elemento mínimo.

Como BN B

B tienen elemento mínimo bB tal que

b

z

z

B

b

min

 

B

Si vemos que bA ya está porque sería su máximo. Veamos que bA 1º) Si

b

0

A

 

0

b

A

2º) Si b0uN tal que bu. Supongamos que

B

u

A

x

u

x

u

u

x

A

x

u

b

x

A

b

B de def

1

con

(12)

85 de 178 PublicacionesDidacticas.com | Nº 29 Septiembre 2012 b u con B u u u

b  1   lo que es absurdo porque contradice que b sea el mínimo de B A

b

 .

En ambos casos b es el máximo de A.

Corolario:

N

,

es un conjunto totalmente ordenado.

Demostración: Sean a, b números naturales, hay que ver que ab o ba. En efecto, por el teorema que dice que

N

,

es un conjunto bien ordenado, en el subconjunto

 

a,

b

a ó b son el mínimo.

Propiedades: a)

x

y

xz

yz

z

N

 

0

b)

x

y

xz

yz

z

N

 

0

c) xyxzyzzN d) xzyzxyzN e) xzyzxyzN f)

xz

yz

x

y

z

N

 

0

g) xy ztxzyt

h)

x

y

z

t

xz

yt

(tenemos en cuenta que t0 porque zt en N). i) xy, ztxzyt es decir el orden en N es compatible con el producto.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

En 3º ESO es donde se ha de afianzar el concepto de número natural. Dado el conjunto finito

a

b

c

d

e

f

g

A

,

,

,

,

,

,

el alumno está habituado a hacer corresponder el número natural 1 a “a”, el 2 a “b”,…, el 7 a “g”. Es conveniente que el alumno sepa qué número natural asignado a cada elemento de A es el número ordinal de dicho elemento. “a” recibe el nombre de primero, “b” de segundo,…, “g” de séptimo. (Estos son los ordinales).

Los alumnos se familiarizarán con el proceso de asignar a cada elemento de un conjunto su número ordinal, llamado operación de contar. También aprenderán lo que es el número cardinal de un conjunto finito, que será el ordinal de su último elemento.

Es conveniente que los alumnos utilicen bien los paréntesis en sumas y productos de números naturales.

Bibliografía

Landau, E. Foundations of analysis. Chapter 1: Natural Numbers. Fernández de Trocóniz, A. y Belda Villena, E. Análisis algebraico. Julio Rey Pastor: Análisis algebraico.

Referencias

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