MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

(1)

(2)

(3)

Nomenclature III

EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES

Mecanica del Medio Continuo

(Conceptos Basicos)

´

(4)

(5)

Presentación

La Mecánica de los Medios Continuos es una materia clave de varias licenciaturas basadas

en la ciencia física, tales como: Ingeniería de Caminos, Ingeniería Industrial, Meteorología,

Magnetismo, Oceanografía, Aerodinámica, Hidrodinámica, Ingeniería Marítima, etc.

Este libro surgió de los apuntes de la asignatura de introducción a la Mecánica del Medio

Continuo de la carrera de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de

Castilla-La Mancha, y está pensado para alumnos que están iniciando una carrera

universitaria basada en la ciencia física, y puede ser de gran utilidad para cursos de

post-grado. Con el objetivo de aportar mayor claridad para los alumnos, este libro presenta un

detalle minucioso a la hora de las demostraciones de las expresiones. En el momento de

redactar el libro se ha tenido una gran preocupación por intentar unificar la nomenclatura

existente, y con este propósito se han consultado multitud de artículos y libros relacionados

con el tema. Con respecto a la notación, el desarrollo de las expresiones y ecuaciones se

presentan en notaciones tensorial, indicial y en la notación de Voigt. Otro aspecto a

destacar es que el libro está autocontenido, de forma que los conceptos empleados son

definidos en el propio texto sin necesidad de recurrir a otros textos.

Finalmente, querría expresar mi gratitud a: Houzeaux (Guillaume), Vázquez (Mariano),

Pulido (Loli), Benítez (José María), Casati (María Jesus), Vélez (Eduardo), Solares (Cristina),

Olivares (Miguel Ángel), Escobedo (Fernando), Simarro (Gonzalo), Sanz (Ana), Gallego

(Inmaculada) por la ayuda destinada a la revisión de esta primera edición, sin la cual este

libro jamás hubiera salido a la luz.

Me gustaría agradecer también a dos profesores que marcaron mi carrera docente e

investigadora: Prof. Xavier Oliver y Prof. Wilson Venturini.

Eduardo W. V. Chaves

Ciudad Real, 15 de octubre de 2007.

(6)

(7)

Contenido PRESENTACIÓN... V CONTENIDO...VII NOMENCLATURA...XV ABREVIATURAS... XIX OPERADORES...XX UNIDADES... XXI INTRODUCCIÓN... 1 1LA MECÁNICA...1

2¿QUÉ ES LA MECÁNICA DEL CONTINUO?...1

2.1 Hipótesis de la Mecánica del Continuo ...1

2.2 El Medio Continuo...2

3ESCALAS DE ESTUDIO DE LOS MATERIALES...3

3.1 Escala de Estudio de la Mecánica del Continuo ...3

4PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO INICIAL...6

4.1 Solución del Problema ...6

4.2 Simplificaciones del Problema ...7

4.2.1 Simplificación desde del Punto de vista de la Cinemática...7

4.2.2 Simplificación desde del Punto de vista del Material ...7

4.2.3 Simplificación desde del Punto de vista de la Dimensión...9

5PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO INICIAL...9

1TENSORES...11

1.1INTRODUCCIÓN...11

1.2VECTORES...12

1.3SISTEMAS DE COORDENADAS...18

1.3.1 Sistema de Coordenadas Rectangulares ...18

1.3.2 Representación de los Vectores en el Sistema de Coordenadas Cartesianas...19

1.3.3 Convenio de Suma...22

1.4NOTACIÓN INDICIAL...23

1.4.1.1 Delta de Kronecker ...26

1.4.1.2 Símbolo de Permutación ...27

1.5TENSORES DE ORDEN SUPERIOR...32

1.5.1 Diádicas ...32

1.5.2 Operaciones con Tensores ...33

1.5.3 Propiedades de los Tensores...37

1.5.3.1 Transpuesta...37 1.5.3.2 Simetría y Antisimetría ...38 1.5.3.3 Adjunta de un Tensor ...43 1.5.3.4 Traza de un Tensor...43 1.5.3.5 Tensores Particulares...45 1.5.3.6 Determinante de un Tensor ...47

Contenido

(8)

VIII

1.5.3.7 Inversa de un Tensor ... 49

1.5.3.8 Derivada Temporal de Tensores... 50

1.5.4 Ley de Transformación de Tensores... 51

1.5.4.1 Transformada de Coordenadas en 2 Dimensiones ... 57

1.5.4.2 Tensores Ortogonales... 61

1.5.5 Autovalores y Autovectores de un Tensor... 63

1.5.5.1 Ortogonalidad de los Autovalores... 64

1.5.5.2 Invariantes ... 65

1.5.5.3 Solución de Ecuación Cúbica ... 66

1.5.5.4 Tensor Definido Positivo... 69

1.5.5.5 Representación Espectral ... 70

1.5.6 Teorema de Cayley-Hamilton... 72

1.5.7 Elipsoide del Tensor ... 74

1.5.8 Tensor Isótropo y Anisótropo ... 75

1.5.9 Tensores Coaxiales ... 77

1.5.10 Series de Tensores ... 77

1.5.11 Descomposición Polar... 78

1.5.12 Tensor Esférico y Desviador... 78

1.5.12.1 Primer Invariante del Tensor Desviador ... 79

1.5.12.2 Segundo Invariante del Tensor Desviador... 79

1.5.12.3 Tercer Invariante del Tensor Desviador... 81

1.6FUNCIÓN DE TENSORES... 82

1.6.1 Función Isótropa de Tensores ... 82

1.6.2 Derivada Parcial de Función de Tensores ... 84

1.6.3 Derivada Parcial de los Invariantes... 87

1.6.4 Casos Particulares de Derivada de Funciones ... 88

1.7NOTACIÓN DE VOIGT... 91

1.7.1 Tensores Identidad en Notación de Voigt ... 92

1.7.2 Producto Escalar en Notación de Voigt... 92

1.7.3 Leyes de Transformación en Notación de Voigt ... 93

1.8CAMPO DE TENSORES... 94

1.8.1 Campo Escalar ... 95

1.8.2 Gradiente ... 95

1.8.3 Divergencia... 98

1.8.4 Rotacional ... 100

1.9TEOREMA CON INTEGRALES... 103

1.9.1 Integración por Partes ... 103

1.9.2 Teorema de la Divergencia ... 103

1.9.3 Identidades de Green... 104

1.10COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS... 105

1.10.1 Sistema de Coordenadas Cilíndricas... 105

1.10.2 Sistema de Coordenadas Esféricas ... 109

2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO... 113

2.1INTRODUCCIÓN... 113

2.2EL MEDIO CONTINUO... 113

2.2.1 Densidad de Masa ... 114

2.2.2 Tipos de Movimientos... 114

2.2.2.1 Descripción de un Movimiento de Cuerpo Rígido... 114

2.2.3 Tipos de Configuraciones ... 116

2.3DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO... 117

2.3.1 Sistema de Referencia ... 117

2.3.2 Coordenadas Materiales y Espaciales ... 118

2.3.3 Vector Desplazamiento ... 119

2.3.4 Descripción Lagrangiana y Euleriana... 120

(9)

CONTENIDO IX

2.3.4.2 Descripción Espacial o Euleriana...121

2.3.4.3 Variables Lagrangianas y Eulerianas ...122

2.4DERIVADA MATERIAL...125

2.5VELOCIDAD Y ACELERACIÓN...127

2.5.1 Velocidad...127

2.5.2 Aceleración...127

2.5.3 Movimiento Estacionario. Líneas de Corriente ...128

2.6GRADIENTE DE DEFORMACIÓN...136

2.6.1 Introducción ...136

2.6.2 Estiramiento y Alargamiento Unitario ...136

2.6.3 Tensores Gradiente de Deformación Material y Espacial...137

2.6.4 Tensor Gradiente de los Desplazamientos (Material y Espacial)...140

2.6.5 Derivada Material del Tensor Gradiente de Deformación. Derivada Material del Jacobiano...144

2.6.5.1 Derivada Material de F . Tensor Gradiente de Velocidad Espacial...144

2.6.5.2 Derivada Material de F ...146 −1 2.6.5.3 Derivada Material del Jacobiano...146

2.7TENSORES DE DEFORMACIÓN FINITA...149

2.7.1 Tensor Material de Deformación ...150

2.7.2 Tensor Espacial de Deformación (Tensor de Deformación de Almansi)...156

2.7.3 Tasas de los Tensores de Deformación ...158

2.7.3.1 Tensor Tasa de Deformación Green-Lagrange ...158

2.7.3.2 Tasa del Tensor Derecho de Deformación de Cauchy-Green...158

2.7.3.3 Tasa del Tensor Izquierdo de Deformación de Cauchy-Green ...158

2.7.3.4 Relación entre el Tensor Tasa de Deformación Lagrangiana y el Tensor Tasa de Deformación ...159

2.7.3.5 Tensor Tasa de Deformación de Almansi ...160

2.7.3.6 Relación entre la Tasa del tensor de deformación de Almansi y el Tensor Tasa de Deformación ...160

2.7.4 Deformación Homogénea. Movimiento de Cuerpo Rígido ...162

2.7.4.1 Deformación Homogénea...162

2.7.4.2 Movimiento de Cuerpo Rígido ...162

2.7.5 Variación de Ángulo. Interpretación Física del Tensor de Deformación de Green-Lagrange ...164

2.7.5.1 Variación de Ángulo...164

2.7.5.2 Interpretación Física del Tensor de Deformación de Green-Lagrange ...165

2.7.5.3 Relaciones entre Tensores de Deformación, Estiramiento y Alargamiento Unitario...167

2.8DESCOMPOSICIÓN POLAR...169

2.8.1 Representación Espectral de los Tensores de Deformación ...172

2.8.2 Tasa de Deformación Lagrangiana ...175

2.8.3 Tasa de Deformación Euleriana...176

2.9UNIFICACIÓN DE LOS TENSORES DE DEFORMACIÓN...177

2.10DEFORMACIÓN DE ÁREA Y DE VOLUMEN...179

2.10.1 Deformación del Diferencial de Área...179

2.10.1.1 Derivada Material del Diferencial de Área...182

2.10.2 Deformación del Diferencial de Volumen ...182

2.10.2.1 Derivada Material del Diferencial del Volumen ...183

2.11SUPERFICIE MATERIAL...184

2.12PARTICULARIDADES Y PROPIEDADES DEL TENSOR DE DEFORMACIÓN...185

2.12.1 Deformación Isocórica, Incompresibilidad...185

2.12.2 Deformación Volumétrica...186

2.12.3 Descomposición del Tensor de Deformación (Parte Isocórica y Volumétrica)...186

2.12.3.1 Invariantes Principales ...188

2.13DEFORMACIÓN INFINITESIMAL...189

(10)

X

2.13.2 Deformaciones Principales ... 192

2.13.3 Tensores de Deformación Esférico y Desviador... 192

2.13.4 Deformación Volumétrica ... 192

2.13.5 Tensor de Deformación Infinitesimal en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas... 193

2.13.5.1 Coordenadas Cilíndricas... 193

2.13.5.2 Coordenadas Esféricas ... 193

2.13.6 Estiramiento. Alargamiento Unitario ... 195

2.13.7 Variación de Ángulo entre dos Segmentos Diferenciales en Deformación Infinitesimal... 195

2.13.8 Interpretación Física de las Deformaciones Infinitesimales... 196

2.13.9 Deformación Plana ... 197

2.14MEDIDAS DE DEFORMACIÓN... 198

2.14.1 Deformación de Cauchy o Ingenieril o Deformación Lineal... 198

2.14.2 Deformación Logarítmica o Deformación de Hencky ... 198

2.14.3 Deformación de Green-Lagrange... 199 2.14.4 Deformación de Almansi ... 199 2.14.5 Deformación de Swaiger ... 199 2.14.6 Deformación de Kuhn ... 199 3TENSIONES...201 3.1INTRODUCCIÓN... 201 3.2FUERZAS... 201 3.2.1 Fuerzas de Superficie ... 202 3.2.2 Fuerzas Gravitatorias ... 202 3.3TENSOR DE TENSIONES... 204

3.3.1 Tensor de Tensiones de Cauchy ... 204

3.3.1.1 Vector Tensión ... 204

3.3.1.2 Postulado Fundamental de Cauchy ... 205

3.3.2 Otras Medidas de Tensión ... 209

3.3.2.1 Primer Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff ... 209

3.3.2.2 Tensor de Tensiones de Kirchhoff... 210

3.3.2.3 Segundo Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff... 211

3.3.2.4 Tensor de Tensiones de Biot... 211

3.3.2.5 Tensor de Tensión de Mandel... 212

3.4RELACIONES ENTRE EL VECTOR TENSIÓN Y EL TENSOR DE TENSIONES... 214

3.4.1 Vector Tensión Normal y Tangencial ... 216

3.4.1.1 Convenio de Signos...218

3.5ECUACIÓN DE EQUILIBRIO... 219

3.5.1 Ecuación de Equilibrio en Notación de Voigt ... 220

3.5.2 Ecuación de Equilibrio en la Descripción Material ... 221

3.6SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY... 222

3.7LEY DE TRANSFORMACIÓN... 226

3.7.1 Ley de Transformación en la Notación de Voigt... 227

3.8TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES... 228

3.8.1 Representación Espectral ... 230

3.8.1.1 Descomposición Espectral en Notación de Voigt... 231

3.8.2 Elipsoide de Tensiones de Lamé ... 234

3.9MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE... 235

3.10CÍRCULO DE MOHR... 240

3.10.1 Círculo de Mohr en Tensiones...240

3.10.1.1 Obtención Gráfica del Vector Tensión en el Círculo de Mohr... 243

3.10.2 Círculo de Mohr en Deformaciones... 246

3.11TENSIONES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS... 247

3.11.1 Coordenadas Cilíndricas... 247

3.11.1.1 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Cilíndricas ... 248

(11)

CONTENIDO XI

3.11.2.1 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Esféricas ...253

3.12PARTICULARIDADES DEL TENSOR DE TENSIONES...257

3.12.1 Tensión y Presión Media. Estado Hidrostático ...257

3.12.2 Tensor de Tensiones Esférico y Desviador...258

3.12.2.1 Tensor Desviador en Notación de Voigt...259

3.12.2.2 Invariantes del Tensor Desviador ...259

3.12.3 Parte Desviadora del Primer y Segundo Tensor de Piola-Kirchhoff ...261

3.12.4 Tensiones Octaédricas ...262

3.12.4.1 Espacio de Tensión de Haigh-Westergaard...264

3.13ESTADO TENSIONAL EN DOS DIMENSIONES...269

3.13.1 Tensión Plana ...269

3.13.2 Ecuaciones de Equilibrio en 2D...270

3.13.2.1 Ecuaciones de Equilibrio en Coordenadas Polares...270

3.13.3 Ley de Transformación en 2D...271

3.13.4 Tensiones y Direcciones Principales en 2D ...275

3.13.5 Círculo de Mohr en 2D...280

4LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO... 285

4.1INTRODUCCIÓN...285

4.2DENSIDAD...286

4.2.1 Densidad de Masa...286

4.3FLUJO...287

4.4LEY DE CONSERVACIÓN...287

4.4.1 Interpretación Física del teorema de la Divergencia ...288

4.5TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS...288

4.5.1 Teorema del Transporte de Reynolds para un Volumen con Discontinuidades...290

4.6PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA.ECUACIÓN DE CONTINUIDAD...292

4.6.1 Ecuación de Continuidad en la Descripción Material...295

4.6.2 Ecuación de Continuidad para Volumen con Discontinuidades ...297

4.6.3 Medio Incompresible ...297

4.7 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL. ECUACIONES DE MOVIMIENTO...299

4.7.1 Cantidad de Movimiento Lineal ...299

4.7.2 Balance de la Cantidad de Movimiento Lineal...300

4.7.3 Ecuación de Movimiento para Volumen con Discontinuidades ...302

4.8 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR.SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY...304

4.8.1 Cantidad de Momento Angular ...304

4.8.2 Principio del Balance del Momento Angular...305

4.9PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.ECUACIÓN DE ENERGÍA...308

4.9.1 Energía Cinética. Potencia Mecánica. Potencia Tensional ...308

4.9.2 Teorema de las Fuerzas Vivas...311

4.9.3 Energía Interna...312

4.9.4 Potencia Calorífica Entrante ...312

4.9.5 Ecuación de la Energía. Primer Principio de la Termodinámica ...313

4.9.5.1 Ecuación de Energía en la Descripción Material...315

4.9.6 Ecuación de Energía para Volumen con Discontinuidades ...316

4.10PRINCIPIO DE LA IRREVERSIBILIDAD.DESIGUALDAD DE ENTROPÍA...319

4.10.1 Segundo Principio de la Termodinámica ...319

4.10.2 Desigualdad de Clausius-Duhem ...320

4.10.3 Desigualdad de Clausius-Planck ...321

4.10.4 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius-Duhem ...322

4.10.5 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius-Planck...323

4.10.6 Procesos Reversibles ...324

(12)

XII

5INTRODUCCIÓN A LAS LEYES CONSTITUTIVAS...327

5.1.1 Consideraciones Termodinámicas ... 329

5.2ECUACIONES CONSTITUTIVAS... 330

5.2.1 Principios Constitutivos ... 331

5.2.1.1 El Principio del Determinismo de Tensión... 331

5.2.1.2 El Principio de la Acción Local... 331

5.2.1.3 El Principio de la Memoria Limitada ... 331

5.2.1.4 El Principio de la Objetividad ... 331

5.2.2 Caracterización de las Ecuaciones Constitutivas... 332

5.2.2.1 Teoría Termodinámica con Variables Internas ... 334

5.3OBJETIVIDAD DE TENSORES... 335

5.3.1 “Tensor” Gradiente de Deformación ... 336

5.3.2 Tensores de Deformación... 338

5.3.3 Tensores de Tensiones ... 340

5.3.4 Objetividad de Tasas de Tensores ... 340

5.3.4.1 Tasa de Oldroyd ... 341

5.3.4.2 Tasa de Cotter-Rivlin ...342

5.3.4.3 Tasa de Jaumann-Zaremba ... 342

5.3.4.4 Tasa de Green-Naghdi o Tasa Polar ... 343

5.3.4.5 Tasas de Tensores de Tensiones ... 344

6PROBLEMAS DE FLUJO...349 6.1INTRODUCCIÓN... 349 6.2TRANSFERENCIA DE CALOR... 349 6.2.1 Conducción Térmica... 349 6.2.2 Convección Térmica ... 353 6.2.3 Radiación... 353

6.2.4 Ecuación del Flujo de Calor... 354

6.2.4.1 Coordenadas Cilíndricas y Esféricas... 356

6.2.4.2 Condiciones de Contorno e Iniciales ... 356

6.3ECUACIÓN CONVECCIÓN-DIFUSIÓN... 357

6.4FLUJO DE FLUIDO EN MEDIO POROSO (FILTRACIÓN)... 359

6.5GENERALIZACIÓN DEL PROBLEMA DE FLUJO... 361

7ELASTICIDAD LINEAL...363

7.2TENSORES DE DEFORMACIÓN LINEAL... 364

7.2.1 Interpretación Física de la Deformación Ingenieril ... 365

7.3LEY DE HOOKE GENERALIZADA... 367

7.3.1 Ley de Hooke Generalizada en la Notación de Voigt ... 368

7.3.2 Simetría del Tensor Constitutivo Elástico... 369

7.3.2.1 Ecuación de Energía ... 369

7.3.2.2 Función Densidad de Energía de Deformación... 370

7.3.3 Ley de Transformación para la Ley de Hooke Generalizada ... 372

7.3.3.1 Matriz de Transformación de los Tensores de Tensión y de Deformación ... 372

7.3.3.2 Matriz de Transformación del Tensor de Propiedades Elásticas... 374

7.4TENSOR CONSTITUTIVO ELÁSTICO... 374

7.4.1 Anisotropía e Isotropía... 374

7.4.2 Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico ... 375

7.4.2.1 Simetría Triclínica... 375

7.4.2.2 Simetría Monoclínica (Un Plano de Simetría)... 376

7.4.2.3 Simetría Ortótropa (Dos Planos de Simetría) ... 377

7.4.2.4 Simetría Tetragonal ... 378

(13)

CONTENIDO XIII

7.4.2.6 Simetría Cúbica...382

7.4.2.7 Simetría en Todas Direcciones (Isotropía) ...383

7.5MATERIAL ISÓTROPO...386

7.5.1 Ley Constitutiva ...386

7.5.2 Determinación de las Constantes Elásticas ...386

7.5.2.1 Módulo de Elasticidad Longitudinal. Coeficiente de Poisson ...386

7.5.2.2 Módulo de Elasticidad Transversal. Módulo de Deformación Volumétrica. ...389

7.5.3 Tensor Acústico Elástico...393

7.6ENERGÍA DE DEFORMACIÓN...395

7.6.1.1 Descomposición de la Energía de Deformación...397

7.7LEY CONSTITUTIVA PARA MATERIAL ORTÓTROPO...401

7.8MATERIAL TRANSVERSALMENTE ORTOGONAL...402

7.9TEOREMA DE LA SUPERPOSICIÓN.PRINCIPIO DE SAINT-VENANT...403

7.10DEFORMACIÓN Y TENSIÓN INICIALES...404

7.10.1 Deformación Térmica...404

7.10.2 Presión de Poro...407

7.11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL...408

7.11.1 Ecuaciones de Gobierno ...408

7.11.2 Condiciones de Contorno e Iniciales...409

7.12ECUACIONES DE NAVIER...409

7.13ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL...412

7.13.1 Estado de Tensión Plana ...412

7.13.1.1 Deformación Inicial...414

7.13.2 Estado de Deformación Plana...415

7.13.2.1 Deformación Térmica...417

7.13.3 Sólidos de Revolución...420

7.14APLICACIONES DE LA ELASTICIDAD LINEAL A ELEMENTOS ESTRUCTURALES...423

7.14.1 Elementos Estructurales Unidimensionales ...423

7.14.1.1 Esfuerzo Normal y Momento Flector...424

7.14.1.2 Energía de Deformación ...427

7.14.2 Placas a Flexión...429

7.14.2.1 Hipótesis y Relaciones Básicas de la Teoría de Kirchhoff ...429

7.14.2.2 Campo de Desplazamientos...430

7.14.2.3 Campo de Deformación ...431

7.14.2.4 Campo de Tensión ...431

7.14.2.5 Esfuerzos de Placas ...433

7.14.2.6 Ecuación Diferencial de Placas...434

7.14.2.7 Esfuerzo Cortante Equivalente ...435

7.14.2.8 Condición de Contorno...437

7.14.2.9 Esfuerzos según un Sistema Genérico de Coordenadas ...438

7.14.2.10 Ecuaciones de Placas en Coordenadas Polares...441

7.14.3 Torsión de Saint-Venant...446

BIBLIOGRAFÍA... 449

(14)

(15)

Nomenclatura

) , (X t

Ar r

Aceleración (configuración de referencia)

A

Matriz de transformación de base

) , ( tx

a rr

Aceleración (configuración actual)

0

B

Medio continuo en la configuración de referencia en

t=0

B

Medio continuo en la configuración actual, en

t

B

∂

Contorno de

_B

) , ( txr r

b

Fuerzas másicas (por unidad de masa)

b

Tensor izquierdo de deformación de Cauchy-Green, tensor de deformación

de Finger

B

Tensor de deformación de Piola

B

Entropía creada interiormente

b

Manantial de entropía local por unidad de masa y por unidad de tiempo

e

C

Tensor constitutivo elástico

[ ]

C

Matriz elástica (notación de Voigt)

in

C

Tensor constitutivo inelástico

c

Tensor de deformación de Cauchy

v

C

Calor específico a volumen constante

p

C

_{Calor específico a presión constante}

c

Cohesión

c

_{Concentración}

C

Tensor derecho de deformación de Cauchy-Green

V

D

Deformación volumétrica

D

Tensor velocidad de deformación o tensor tasa de deformación o tensor tasa

de deformación Euleriana o tensor estiramiento

Ar

d

Diferencial de área en la configuración de referencia

ar

d

Diferencial de área en la configuración actual

dV

Diferencial de volumen

E

Tensor material de deformación Green-Lagrange, tensor de deformación de

Green, tensor de deformación Green-St. Venant

e

Tensor de deformación finita Euleriana o tensor de deformación de Almansi

E

Módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young

i

eˆ

Base Cartesiana en notación simbólica

k j i,ˆ,ˆ

ˆ

_{Base Cartesiana}

F

Gradiente de deformación

G

Módulo de elasticidad transversal

(16)

XVI

H

Tensor de deformación de Biot

H

Entropía

J

Jacobiano

) , (Xr t

J

Tensor gradiente espacial de los desplazamientos

) , ( txr

j

Tensor gradiente material de los desplazamientos

K

Tensor de conductividad térmica

K

Energía cinética

Lr

Cantidad de movimiento lineal

l

Tensor gradiente espacial de velocidad

m

Masa total

M

Tensor de tensiones de Mandel

nˆ

Vector unitario normal a una superficie (configuración actual)

Nˆ

Vector unitario normal a una superficie (configuración de referencia)

O

Nr

Momento angular

pr

Fuerza por unidad de volumen

P

Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, tensor de tensiones

nominales o tensor de tensiones Lagrangiano

p

Presión media

p

_{Presión termodinámica}

) (t P

_{Potencia mecánica}

) , ( txr

rq

Flujo de calor o vector del flujo no convectivo

Q

Tensor ortogonal

Q

_{Potencia calorífica}

) , ( t

r xr

Función escalar que describe en forma espacial el calor generado por las

fuentes internas por unidad de masa

R

Tensor ortogonal de la descomposición polar

S

Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff

sr

Flujo de entropía

T

Tensor de tensiones de Biot

) ˆ , , ( ) ˆ ( _n tn _xr _t r

Vector tracción (configuración de referencia)

) ˆ ( 0 N t r

Pseudo vector tensión (configuración de referencia)

) , ( t T xr

_Temperatura

t

Tiempo

0 0 ≡ t= t

_{Tiempo inicial}

U&

Potencia tensional

u

Energía interna específica o densidad de energía interna

) , ( txr

ru

Vector desplazamiento

U

Tensor derecho de estiramiento, o tensor de estiramiento Lagrangiano, o

tensor de estiramiento material

V

Tensor izquierdo de estiramiento, o tensor de estiramiento Euleriano, o

tensor de estiramiento espacial

) , (X t

Vr r

Velocidad (configuración de referencia)

) , ( tx

v rr

Velocidad (configuración actual)

W

Tensor spin o tensor velocidad de rotación

Xr

Vector posición coordenada material

(17)

NOTACIÓN XVII

α

Coeficiente de transferencia térmica de calor convectivo por unidad de área

ij

δ

Delta de Kronecker

3 2 1,ε ,ε ε

Deformaciones principales

ε

Alargamiento unitario

ijk



Símbolo de permutación, componentes del tensor Levi-Civita

V

ε

Deformación volumétrica (para pequeñas deformaciones)

ε

Tensor de deformación infinitesimal

η

Densidad de entropía por unidad de masa y por unidad de tiempo

κ

Módulo de deformación volumétrico

κ

Difusividad térmica

λ

Estiramiento

µ

, λ

Constante de Lamé

λˆ

Multiplicador de Lagrange

ν

Coeficiente de Poisson

ρ

Densidad

S

ρ

Densidad de la solución

f

ρ

Densidad del fluido

) , (

0 xr t

ρ

Densidad en la configuración de referencia

) , ( txr

ρ

Densidad en la configuración actual

σ

Tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas

N

σr

Componente normal del vector tracción

S

σr

Componente tangencial del vector tracción

m σ

Tensión media

3 2 1,σ ,σ σ

Tensiones principales

oct

σr

Tensión normal octaédrica

oct

τr

Tensión tangencial octaédrica o tensión de corte octaédrica

max

τ

Tensión de corte máximo

τ

Tensor de tensiones de Kirchhoff

φ

Ángulo de fricción interno

ψ

Energía libre de Helmholtz por unidad de masa

Ψ

Energía libre de Helmholtz por unidad de volumen

e

Ψ

(ε)=

Densidad de energía de deformación

ψ

Ángulo de dilatancia

Ω

Tensor tasa del tensor de rotación material

ωr

Tensor de vorticidad

• • • II III

I , ,

_{Primer, segundo y tercer invariantes del tensor}

• • ≡ • & Dt D

Derivada material de

• •r

Vector

•ˆ

Vector unitario (versor)

1

Tensor identidad de segundo orden

I

Tensor identidad de cuarto orden

I

≡ sym

(18)

(19)

Abreviaturas

PVCI

Problema de Valor de Contorno Inicial

PVC

Problema de Valor de Contorno

MEF

Método de los Elementos Finitos

MEC

Método de los Elementos de Contorno

MDF

Método de las Diferencias Finitas

Latin

i.e. id

est

es decir

et al.

et alii

y otros

e.g. exempli

gratia por

ejemplo

etc. et

cetera

y así sucesivamente

v., vs.

versus versus

viz. vidilicet

a saber

(20)

Operadores 2 • + • = 〈•〉

paréntesis de MacAuley

•

norma Euclidiana de

• ) (• Tr

traza de

(•) T ) (•

transpuesta de

(•) 1 ) (• −

inversa de

(•) T − •) (

inversa de la transpuesta de

(•) sym ) (•

parte simétrica de

(•) anti ) (•

parte antisimétrica de

(•) esf )

(•

parte esférica de

(•)

o parte hidrostática

dev ) (•

parte desviadora de

(•) •

módulo de

•

[ ]

•

salto de

•

⋅

producto escalar

( )

• ≡• det

determinante de

( )

• ) (• cof

Cofactor de

•

;

( )

• Adj

adjunta

de

( )

•

( )

• Tr

traza

de

( )

•

:

doble producto escalar

2

∇

operador diferencial escalar (Laplaciano)

⊗

producto tensorial

) (• ≡ • grad ∇

gradiente de

• ) (• ≡ • ∇

⋅

div

divergencia de

• ∧

producto vectorial

Operadores

(21)

Unidades

longitud

m

- metro

energía, trabajo, calor

J =Nm

- Joules

masa

kg

- kilogramo

potencia

W

s

J ≡

watio

tiempo

s

- segundo

coeficiente de

_{transferencia de calor}

K m

W 2

temperatura

K

- Kelvin

permeabilidad

_m2

velocidad

s m

viscosidad dinámica

s Pa

aceleración

₂ s m

tasa de flujo

s m3

energía

J =Nm

- Joules

conductividad térmica:

mK W

fuerza

N

- Newton

frecuencia

Hz

s ≡ 1

Hertz

presión, tensión

₂ m N Pa≡

- Pascal

densidad

₃ m kg

Prefijo Símbolo

Potencia

10

Prefijo Símbolo

Potencia

10

pico

p ₁₀−12

_kilo

_k ₁₀3

nano

η ₁₀−9

_Mega

_M ₁₀6

micro

µ ₁₀−6

_Giga

_G ₁₀9

mili

m ₁₀−3

_Tera

_T ₁₀12

centi

c ₁₀−2

deci

d 10

Unidades (SI)

(22)

ATHREE DIMENSIONAL SETTING FOR STRONG DISCONTINUITIES MODELLING IN FAILURE MECHANICS