FACULTAD DE INGENIERÍA SECCIONAL BOGOTÁ ÁREA: CIENCIAS BÁSICAS

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(1)

1.2 CONCEPTO DE MATRIZ Y TIPOS DE MATRICES

Matrices, el término matriz fue utilizado por primera vez por los matemáticos ingleses ARTHUR CAYLEY(1821-1895) y JAMES SYLVESTER(1814-1897) en el año 1850, para distinguir las matrices de los determinantes, cayley y silvestre convirtieron las matrices en importantes instrumentos, en la solución de problemas de las ciencias económico-administrativas.

Trabajaremos con matrices, sus propiedades y operaciones, haciendo énfasis en las “operaciones elementales” para facilitar el estudio del método de reducción de gauss-jordán.

DEFINICION: una matriz A de tamaño m x n es un arreglo rectangular de números, distribuidos en m filas y n columnas colocados entre paréntesis, así:

.

...

3

2

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

...

3

2

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2

...

2

...

23

22

21

1

1

13

12

11

amn

amj

am

am

am

aij

ai

ai

ai

n

a

j

a

a

a

a

n

a

j

a

a

a

a

El elemento aij está localizado en la intersección de la i-esima fila y la j-esima columna; m x n ,

representa el tamaño (orden) de la matriz. Sea la matriz B B =

1

3

2

0

5

3

4

8

1

El elemento -3 está localizado en la fila 3, columna 2, por tanto -3 = a32

El elemento 0 está localizado en la fila 2, columna 3, por tanto 0 = a23

El tamaño de la matriz es 3 x 3

Esto significa que en la matriz B existen 3 filas y 3 columnas.

Tipos de Matrices

A continuación describiremos las clases de matrices que se utilizan con mayor frecuencia. Al establecer esta clasificación hemos tenido en cuenta características como el orden y la disposición de sus elementos.

1. Vector Fila: se denomina así a una matriz A de orden 1x n y en forma general se escribe: A = [a11 a12 a13 a14…….a1n] 1 x n

2. Vector Columna: se denomina así a una matriz B de orden m x 1 y en forma general se escribe.

1

.

.

.

31

21

11

bm

b

b

b

m x 1

m x 1

(2)

Ejemplo

a) C = [-1 0 1 -1 0 1]; la matriz C corresponde al vector fila de orden 1 x 6 b) A= [ 5 -2 3]; la matriz A corresponde al vector fila de orden 1 x 3

c) B =





 −

0

1

, la matriz B es el vector columna de orden 2 x 1

d) D =

9

6

2

, la matriz D es el vector columna de orden 3 x 1

3. Matriz Nula: Una matriz m x n donde todos sus elementos son igual esa cero se denomina matriz nula. Esta matriz recibe también el nombre de matriz cero.

Ejemplo B =

0

0

0

0

0

0

2 X 3

Entonces, B se puede representar así: B = 0

4. Matriz Cuadrada: se denomina así aquella matriz donde su número de filas es igual al número de columnas. Ejemplo





22 21 12 11

a

a

a

a

Ejemplo:





8

1

6

4

5. Diagonal: es una matriz cuadrada donde, los elementos dij son iguales a 0, si los subíndices, i son

diferentes de j; la notaremos así:

D =

dnn

d

d

d

...

0

0

0

0

...

33

0

0

0

...

0

22

0

0

...

0

0

11

Ejemplo

Sea la matriz B con los siguientes elementos:

B =

3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

4

2 1

(4 X 4)

Entonces se dice que B es una matriz diagonal.

6. Matriz Identidad: es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1. la podemos representar por I.

(3)

Ejemplo I =

1

0

0

0

1

0

0

0

1

= I 3X3

La matriz identidad I recibe el nombre de matriz unidad.

7. Matriz Triangular Superior: una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son cero, se denomina matriz triangulas superior. De manera similar, es triangular inferior si todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.

Sea la matriz B=

33 23 22 13 12 11

0

0

0

a

a

a

a

a

a

Ejemplo:

4

0

0

7

1

0

9

3

5

8. Matriz Transpuesta: sea A una matriz m x n, la transpuesta de A, que se escribe At , es una matriz n x m que se obtiene al intercambiar los reglones y las columnas de A, tal que los reglones de A pasan a ser las columnas de At y viceversa.

Ejemplo A =

9

5

2

2

4

7

3 x 2 La transpuesta de A será: At =

9

2

4

5

2

7

(2 x 3)

1.3 OPERACIONES CON MATRICES 9. Suma de Matrices

Si A y B son dos matrices de tamaño m x n tal que A=(aij) y B=(bij), entonces la suma de A y B es la

matriz A + B= (aij + bij). A + B= (aij + bij)=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

bmn

amn

bm

am

m

b

am

n

b

n

a

b

a

b

a

n

b

n

a

b

a

b

a

...

2

2

1

1

2

2

...

22

22

21

21

1

1

...

12

12

11

11

Ejemplo a) A=





1

9

6

2

B=





3

7

1

3

Entonces: A + B =





+

+

+

+

3

1

7

9

1

6

3

2

=





4

16

7

5

Nota:

“Observe que en los anteriores ejemplos se sumaron matrices de igual orden. La suma entre matrices de orden diferente no se puede realizar”.

Propiedades de La Suma de Matrices

Sin entrar a demostrar ninguna, la suma de matrices cumple las siguientes propiedades. 1. Propiedad Conmutativa: si Ay B son matrices de tamaño m x n, entonces.

A + B= B + A

3x2

(4)

2. Propiedad Asociativa: si A,B,C son matrices de tamaño m x n, entonces (A + B) + C= A + (B + C)

3. Existencia del Idéntico: existe una matriz E de tamaño m x n, tal que para toda matriz A de tamaño m x n se cumple que

A + E= E + A= A

La matriz E se denomina matriz nula y es aquella en la que todos sus elementos son iguales a cero. Los siguientes ejemplos ilustran cada una de las propiedades anteriores.

Ejemplo Sean = −4 5 −2 1 = 0 83 −1  = 3   0 −10 a) A + B=

1

1

3

2

8

5

0

4

+

+

+

A + B=

0

1

13

4

B + A=

1

1

2

3

5

8

4

0

+

+

B + A=

0

1

13

4

Luego se cumple que A + B= B + A. b) (A + B) + C=

1

1

3

2

8

5

0

4

+

+

+

+

10

0

3

21

(A + B) + C=

0

1

13

4

+

10

0

3

21

=

10

1

1

272

A + ( B + C)=

1

2

5

4

+

10

1

0

3

8

3

0

21

+

+

+

A + ( B + C)=

1

2

5

4

+

11

3

3

172

=

10

1

1

272

c) Idéntica para la matriz M.

M=

3

1

4

0

5

1

2

3

M + E= 3 1 2 3

4

0

5

1

+

0

0

0

0

0

0

= 3 1 2 3

4

0

5

1

= M

10. Producto de una Matriz por un Escalar

si A es una matriz de tamaño m x n, tal que A=(aij) y k es un número real, entonces: K A= (K aij)

kamn

kam

kam

kam

n

ka

ka

ka

ka

n

ka

ka

ka

ka

...

3

2

1

2

...

23

22

21

1

...

13

12

11

(5)

Ejemplo: Sea B=

1

1

1

5

10

3

4

0

21

y sea k= 2 Entonces: KB= 2B=

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

2

)

5

(

2

)

10

(

2

)

3

(

2

)

(

2

)

4

(

2

)

0

(

2

21

B=

2

2

2

10

20

6

1

8

0

Si una matriz A de tamaño m x n, tal que A= (aij) la multiplicamos por -1, obtenemos la matriz –A=(-aij). Ejemplo: Si A=

6

3

5

2

4

1

entonces –A=

6

3

5

2

4

1

11. Diferencia de Matrices

Si A y B son matrices de tamaño m x n, entonces A – B= A + (-B) Ejemplo Sea A=

1

3

4

2

5

2 1

y B=

1

4

7

0

6

12

Entonces A – B = A + (-B)=

1

3

4

2

5

2 1

+

1

4

7

0

6

21

=

2

4

4

11

2 7 2 3

12. Producto entre Matrices

Sea A una matriz de tamaño m x n y B una matriz de tamaño n x k, tal que

A= (aij) y B=(bij), entonces el producto de A y B, denotando por AB, es una matriz C de tamaño m x k, Ejemplo: Sea W=

0

1

3

2

2

0

y U=

2

0

1

1

4

2

Observe que el tamaño de W es 3 X 2 y el tamaño de U es 2 x 3, por lo que el producto de W por U se puede realizar y el tamaño de la matriz producto será 3 x 3.

(6)

WU =

33

32

31

23

22

21

13

12

11

C

C

C

C

C

C

C

C

C

Según la definición:

2r=1

airbir

=

a

11

b

11

+

a

12

b

12

=0.2 + (-2) * 1 =0-2= -2

Observe que el procedimiento anterior para obtener el elemento c11 (elemento de la primera fila y primera columna de la matriz producto), es equivalente a multiplicar término a término los elementos de la primera fila de W con la primera columna de U, y luego sumar dichos productos, así:

0

1

3

2

2

0

2

0

1

1

4

2

=

.

.

.

.

.

.

.

.

)

1

.

2

(

)

2

.

0

(

+

de manera similar el elemento c12 de la matriz producto (elemento de la primera fila, segunda columna), se obtiene al multiplicar termino a término la primera fila de W por la segunda columna de U y luego sumar dichos resultados así:

0

1

3

2

2

0

2

0

1

1

4

2

=

.

.

.

.

.

.

.

)

0

.

2

(

)

4

.

0

(

.

+

Procedimiento en forma analógica para los demás elementos en la matriz producto obtenemos:

0

1

3

2

2

0

*

2

0

1

1

4

2

=

)

2

.

0

(

1

)

1

.

1

(

)

0

.

0

(

)

4

.

1

(

)

1

.

0

(

)

2

.

1

(

)

2

.

3

(

)

1

.

2

(

)

0

.

3

(

)

4

.

2

(

)

1

.

3

(

)

2

.

2

(

)

2

.

2

(

)

1

.

0

(

)

0

.

2

(

)

4

.

0

(

)

1

.

2

(

)

2

.

0

(

+

+

+

+

+

+

+

+

WU =

1

4

2

4

8

1

4

0

2

(3 X 3) Ejemplo Sea T=

2

2

1

0

3

1

0

2

(4 X 2) S=

3

2

1

1

4

0

(2 X 3) En este caso, TS =

)

3

.

2

(

)

1

.

2

(

)

2

.

2

(

)

4

.

2

(

)

1

.

2

(

)

0

.

2

(

)

3

.

1

(

)

1

.

0

(

)

2

.

1

(

)

4

.

0

(

)

1

.

1

(

)

0

.

0

(

)

3

.

3

(

)

1

.

1

(

)

2

.

3

(

)

4

.

1

(

)

1

.

3

(

)

0

.

1

(

)

3

.

0

(

)

1

.

2

(

)

2

.

0

(

)

4

.

2

(

)

1

.

0

(

)

0

.

2

(

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

TS =

4

12

2

3

2

1

8

10

3

2

8

0

(7)

Ejemplo

Suponga que en una panadería se elabora pan integral y francés, para lo cual se utilizan los siguientes ingredientes: harina(H), levadura(L) y huevos(E).

La matriz A muestra las unidades de materia prima utilizadas en la elaboración de 50 panes de cada tipo. H L E A =

6

2

10

4

3

15

(2 X 3) =integral, francés

Dicha panadería tiene una sucursal en el sur y otra en el centro. La siguiente matriz B muestra los precios por unidad de materia prima en cada sucursal.

S C B =

30

25

10

8

15

10

(3 X 2) H, L, E

La matriz A * B de tamaño 2 x 2, representara los costos de totales en materia prima para cada tipo de pan en cada sucursal.

A * B =

)

30

*

6

(

)

10

*

2

(

)

15

*

10

(

)

25

*

6

(

)

8

*

2

(

)

10

*

10

(

)

30

*

4

(

)

10

*

3

(

)

15

*

15

(

)

25

*

4

(

)

8

*

3

(

)

10

*

15

(

+

+

+

+

+

+

+

+

S C A * B =

350

266

375

274

(2 X 2) integral, francés

Por tanto 50 panes integrales producidos en el sur tienen un costo de $274 y en el centro de $375, mientras que 50 panes tipo francés se producen a un costo de $266 en el sur y $350 en el centro.

(8)

Tipos De Matrices

Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus

elementos reciben nombres diferentes:

TIPO DE MATRIZ DEFINICIÓN EJEMPLO

FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo

su orden 1×n

COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna,

siendo su orden m×1

RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por

𝐴

𝑡 ó

𝐴

𝑇

OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas,

𝑚 = 𝑛

, diciéndose que la matriz es de orden n.

Diagonal principal: son los elementos

𝑎

11

, 𝑎

22

, … . , 𝑎

𝑛𝑛

Diagonal secundaria: son los elementos 𝑎𝑖𝑗

con i+j = n+1

Traza de una matriz cuadrada: es la suma

de los elementos de la diagonal principal tr A.

Diagonal principal:

Diagonal secundaria :

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

𝐴 = 𝐴

𝑡;

𝑎

(9)

TIPO DE

MATRIZ DEFINICION EJEMPLO

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.

𝐴 = −𝐴

𝑡 ,

𝑎

𝑖𝑗

= −𝑎

𝑗𝑖 Necesariamente

𝑎

𝑖𝑖

=

0

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible:

𝐴

−1

= 𝐴

𝑡

La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.

El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.

El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa,

𝐴

−1, si se verifica que:

𝐴 ∙ 𝐴

−1

= 𝐴

−1

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