FLUJO RAPIDAMENTE
VARIADO
1. SOBRE FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO.
La principal característica del Flujo Rápidamente Variado (FRV) es que la curvatura de las líneas de corriente es pronunciada, con lo cual la suposición de una distribución hidrostática de presiones deja de ser válida. En ocasiones el cambio en la curvatura puede ser tan abrupto como para romper virtualmente el perfil de flujo, resultando en un estado de alta turbulencia y perfil de flujo discontinuo. El ejemplo más conocido de una situación como la descripta es el resalto hidráulico.
La restricción de no poder suponer una distribución hidrostática de presiones ha llevado a que no se puedan aplicar los enfoques desarrollados para los flujos gradualmente variados o uniforme, de forma tal que los problemas de FRV se han tratado mayormente de forma experimental o sobre la base de relaciones empíricas desarrolladas para un número de casos aislados. Usualmente no es posible utilizar el concepto de valores promedios en la sección transversal para FRV, dado que es necesario conocer las distribuciones de velocidad y presión a fin de aplicar correctamente las leyes de conservación a volúmenes de control. Para simplificar el análisis en ocasiones se aplican dichas leyes de conservación entre secciones seleccionadas lejos de la zona de FRV, con lo cual se puede establecer el comportamiento del flujo pre y post FRV, pero no exactamente como es el perfil de flujo en ese lugar. Un tratamiento analítico de FRV puede efectuarse asumiendo fluido perfecto y flujo potencial, complementado con alguna suposición respecto a como es la distribución de velocidades en la vertical. Las más usadas son las teorías de Boussinesq, que presume la velocidad varía linealmente en vertical desde cero en el fondo hasta su máximo en la superficie libre, y la de Fawer, que asume una variación exponencial. Las ecuaciones así obtenidas son resueltas numéricamente, con métodos especialmente adaptados a las particularidades de las ecuaciones resultantes.
Un resumen de las características de FRV es:
a) La curvatura de las líneas de flujo impide la suposición de una distribución hidrostática de presiones
b) La variación rápida del flujo ocurre en tramos cortos, de forma tal que las pérdidas por fricción contra las fronteras son pequeñas y pueden ser despreciadas en un análisis primario.
c) El FRV en una estructura de transición tendrá sus características físicas determinadas por la geometría de la frontera y el estado del flujo
complican el patrón del flujo. Esto dificulta definir las fronteras del flujo (que ya no serán las fronteras sólidas del canal), así como determinar valores promedios en la sección para las variables del flujo.
e) Aún cuando en situaciones como la anterior sea posible aproximar las distribuciones de velocidades, los coeficientes y son difíciles de cuantificar con exactitud y generalmente notoriamente superiores al valor 1.
En lo siguiente se analizarán estructuras de medición y/o descarga, donde se sucede FRV, basándose en el enfoque de internar aplicar ecuaciones globales de balance (fundamentalmente energía) corregidas mediante coeficientes obtenidos experimentalmente. Se presentarán aplicaciones a vertederos, compuertas y alcantarillas.
2. ECUACION GENERAL DE LOS ORIFICIOS.
Se tiene un recipiente lleno de líquido, que se supone de nivel constante, en cuya pared lateral se tiene un orificio de pequeñas dimensiones comparado con la profundidad, de área A y arista afilada (pared delgada).
Las partículas de agua al acercarse al orificio se mueven aproximadamente en dirección a su centro, de forma tal que por efecto de su inercia la deflexión brusca que sufren produce una contracción del chorro.
Las velocidades en esta sección contraída (Ao) son prácticamente uniformes,
con valor medio V. Si se plantea la ecuación de Bernoulli entre un punto del recipiente y otro en el centro de gravedad de la sección contraída, se obtiene la denominada ecuación de Torricelli, donde H es la altura del nivel de agua del
depósito respecto al baricentro de la sección contraída. V 2gH
Dicha ecuación es correcta si se corrige por un coeficiente Cv (adimensionado,
menor que uno) que tiene en cuenta la pérdida de carga que existe en la descarga. Asimismo la magnitud de la sección contraída (Ao) se puede expresar en términos de la del orificio (A) a través de un coeficiente adimensionado de contracción Cc.
El caudal descargado por el orificio se calcula entonces como: QCvCcA 2gH
O bien a través de la ecuación general de un orificio de pared delgada: donde Cd es el coeficiente de descarga del orificio.
Los coeficientes Cv, Cc y Cd son básicamente experimentales, funciones del número de Reynolds. En la figura siguiente se muestran sus valores para el caso de orificio circular, aplicable cuando la distancia entre los cantos del orificio y las fronteras del recipiente es al menos de 3D (siendo D el diámetro del orificio).
0bs. 1: Estos valores para los coeficientes también son casi los mismos para el caso de orificio rectangular, siendo D en dicho caso la dimensión menor del orificio.
H
g
A
C
Q
d2
Obs. 2: Si en la ecuación de Bernoulli se introduce una pérdida de carga hr resulta: hr g V H 2 2
de donde se puede inferir que 1 1
2 2 2 v r C K con g V K h
Orificios de cargas pequeñas (grandes dimensiones)
Cuando el orificio es de grandes dimensiones con respecto a su profundidad, la velocidad media de las partículas ya no se debe calcular a partir de la energía total H al centro de gravedad de la sección contraída.
El gasto (Q') en este caso ha de calcularse como: Q C g
H z
b dzz z d
2 1 2 1 2 'donde b es la dimensión en el ancho del orificio.
Definiendo = Q' / Q y despreciando términos de orden superior resulta que
se puede calcular como: z bdz
H A z z
2 1 2 2 8 1 1 Para orifico rectangular = 1 - 1/96 (a/H)2
Para orificio circular = 1 - 1/128 (D/H)2
demostración (para el caso rectangular): Se tomará como base el siguiente esquema,
por lo tanto la ecuación para Q’ se puede escribir en base a este esquema de la siguiente forma:
32
0 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 2 3 2 2 '|
1 0 1 h h b g bz g C dz z b g C Q h h d h h d o
el siguiente paso será tomar el siguiente cambio de variable:
2 2 0 0 0 1 d z h d z h entonces 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 1 2 1 2 2 1 2 z d z d z h z d z d z h
si se aplica el desarrollo de Taylor en serie de potencias a los términos entre paréntesis anteriormente mencionados se obtiene el siguiente desarrollo:
... 2 ! 3 . 8 3 2 ! 2 . 4 3 2 ! 1 . 2 3 1 2 1 ... 2 ! 3 . 8 3 2 ! 2 . 4 3 2 ! 1 . 2 3 1 2 1 3 0 2 0 1 0 2 3 0 3 0 2 0 1 0 2 3 0 z d z d z d z d z d z d z d z d
si despreciamos los términos de ordenes mayores a 3 se puede calcular:
3 0 0 3 0 0 3 0 1 0 2 3 0 2 3 0 192 3 2 3 2 24 3 2 3 2 ! 3 . 8 3 . 2 2 ! 1 . 2 3 . 2 2 1 2 1 z d z d z d z d z d z d z d z d
por lo tanto Q’ se puede expresar como:
3 0 0 2 3 0 3 0 0 2 3 0 96 1 2 192 3 2 3 2 3 2 ' z d z d bz g C z d z d bz g C Q d d
2 0 0 3 0 0 2 3 0 96 1 1 2 96 1 2 ' z d gz bd C z d z d bz g C Q d d →LQQD
Caso de orificio con descarga ahogada
Si el orificio tiene descarga sumergida (ahogada) la ecuación y coeficientes a utilizar tienen la misma forma, pero tomando en cuenta la diferencia de carga H a ambos lados del orificio:
H g A C
Q d 2
Orificios de pared gruesa
Cuando la pared en el contorno de un orificio no tiene aristas afiladas, el orificio es de pared gruesa (tubo corto).
En esta situación una vez que el chorro ha pasado la sección contraída, aún tiene espacio para expandirse dentro del tubo y llenar completamente su sección. Se genera así un rápido descenso de velocidad, acompañado de turbulencia y fuerte disipación de energía.
Por analogía al orificio de pared delgada, la velocidad de salida se calcula
como V Cv 2gH donde ahora Cv cambia respecto de la situación con pared
delgada (obsérvese además que como Cc = 1 entonces Cv = Cd).
Nótese que en este caso Cd es mayor que para orificio de pared delgada,
debido a que el vacío parcial (con presión menor a la atmosférica) que se genera en la sección contraida incrementa el valor efectivo de la carga H. Cuando e/D > 3, empieza a tener influencia la fricción contra las paredes y el tubo corto debe considerarse como un conducto a presión, incluyendo todas sus pérdidas de energía.
La tabla siguiente presenta valores del coeficiente Cd a aplicar para el caso de orificios de pared gruesa.
NOTA:
El caso de un orificio de carga pequeña, con D=2H resulta ser un vertedero de pared delgada. Por otra parte un orificio con contracción suprimida en una arista (el orificio se apoya en la pared del recipiente) cuando ésta es el fondo, se trata de un caso de compuerta de fondo.
3. COMPUERTAS.
Una compuerta consiste en una placa móvil, plana o curva, que al levantarse permite graduar la altura del orificio que se va descubriendo, a la vez que controlar la descarga producida.
A la salida de la compuerta se produce una contracción del chorro descargado por el orificio de altura (a).
Esta contracción alcanza un valor de tirante (Cca) en una distancia (L=a/Cc), donde las líneas de flujo se vuelven horizontales y por lo tanto es válida una distribución hidrostática de presiones.
La contracción y la fricción con el piso introducen una pérdida de energía (h). Para calcular la descarga se plantea un balance de energía entre una sección 1, aguas arriba de la compuerta, y la sección contraída, según:
g V a C g V y H c 2 2 2 2 2 1 1
donde por continuidad además se cumple V1 y1V2 Cca
Operando a partir de estas ecuaciones se obtiene la expresión que permite calcular el caudal descargado por la compuerta de fondo (de ancho b igual al
del canal) 1 1 2 1 y g y a C a b C C Q a v c
o bien la expresión más utilizada
1
2
g
y
a
b
C
Q
dNuevamente aquí los coeficientes Cv, Cc y Cd dependen de la geometría del flujo y del número de Reynolds, aunque en la práctica la mayoría de los casos cae en la franja que se vuelve independiente del Reynolds.
NOTA: La ecuación general de descarga de una compuerta de fondo es igualmente válida para el caso de descarga sumergida, simplemente los coeficientes de descarga deben considerarlo en su determinación experimental (generalmente en función del parámetro y3/a).
La figura siguiente muestra los coeficientes de gasto Cd para una compuerta plana vertical, ya sea con descarga libre o ahogada, a aplicar en la ecuación:
1
2g y a
C q d
Obs: En general, para fines prácticos, se ha mostrado que Cc = 0.62 es una buena aproximación para cualquier relación y1 /a, e incluso para descarga sumergida.
En las figuras siguientes se presentan el perfil de flujo en caso de la compuerta con descarga ahogada y la distribución de presiones y velocidades en las inmediaciones de una compuerta con descarga libre.
. .
4.
VERTEDEROS.
Cuando la descarga del líquido a superficie libre se efectúa por encima de un muro o una placa, se constituye un vertedero.
Si la descarga se efectúa sobre una placa de arista aguda, el vertedero se llama de pared delgada. Si por el contrario el contacto entre la pared y la lámina vertiente es más bien toda una superficie, se denomina vertedero de pared gruesa.
El punto más bajo de la pared en contacto con la lámina vertiente se conoce como CRESTA, en tanto el desnivel entre la superficie libre aguas arriba del vertedero y su cresta se denomina CARGA.
Vertedero de cresta delgada
Sea un vertedero de cresta delgada de altura de cresta (w) referida al fondo del canal, con nivel de la superficie del agua en zona no perturbada situada (h) por sobre la cresta y velocidad uniforme del agua en esa sección Vo.
Si se pretende calcular el caudal que descarga el vertedero, para todo nivel de la superficie del canal por sobre w, se puede aplicar la ecuación de Bernoulli a una línea de corriente entre los puntos 0 y 1. Este balance se aplica a una situación ideal en la que la energía se conserva, la distribución de presiones sobre la cresta del vertedero es siempre presión atmosférica y el flujo no se contrae en dicha sección.
La velocidad en cualquier punto de la sección 1 (que varía con la posición sobre la cresta del vertedero) se puede estimar a partir de la expresión:
v y h h V h 2 0 2 0 0
En dicha sección 1 la descarga (calculada en condiciones ideales) a través de
un diferencial de sección de ancho (x) y altura (y) vale:
dy g V y h x g dQideal 2 2 2 0
El caudal por tanto corresponde a la integración en vertical,
h ideal ideal dQ dy
Q
0
donde los límites de integración están definidos en virtud de la drástica hipótesis que establece que el nivel de agua sobre la cresta del vertedero es el mismo que en la sección 0 (zona no perturbada),
El Qreal será por tanto Qreal = Qideal donde es un coeficiente de gasto dependiente fundamentalmente del número de Reynolds y de la relación h/w, que se determina experimentalmente (que para el caso de sección sin contracción ronda el valor 0.60) y corrige las discrepancias entre las hipótesis supuestas y las características reales del flujo, a saber:
a) La distribución real de presiones y
velocidades sobre la cresta del vertedero es como se muestra en la figura siguiente (y no presión uniforme y velocidad parabólica como se había supuesto)
b) Eventuales pérdidas de energía del flujo que se aproxima al vertedero por efectos viscosos.
La ecuación más general para el cálculo del caudal descargado por un vertedero de cresta delgada y forma cualquiera es:
dy g V y h x g Q h
0 2 0 2 2 VERTEDERO RECTANGULARLa integración de la ecuación general, aplicada a la geometría particular de
este tipo de vertedero resulta: 2
3
2
3
2
h
b
g
Q
Esta es la ecuación general de descarga para un vertedero rectangular, donde la definición del coeficiente de gasto contempla la eventual contracción lateral
del vertedero (una condición no contemplada en la derivación teórica efectuada).
La tabla siguiente presenta distintas fórmulas experimentales para determinar el coeficiente de gasto , aplicable a vertederos rectangulares de cresta aguda
Obs:
Para vertedero rectangular de cresta delgada otra expresión experimental para el coeficiente de gasto habitualmente utilizada es:
Una expresión simplificada para el cálculo de vertederos rectangulares de lámina delgada con ancho de vertido B sin contracción lateral que se puede utilizar es: 2 3
*
838
.
1
B
H
Q
donde las variables están expresadas en el sistema métrico decimal.
VERTEDERO TRIANGULAR
La integración planteada para calcular el gasto resulta en este caso en:
52 2 2 15 8 h tg g Q Como primera aproximación el valor del coeficiente de gasto en el caso de vertedero triangular se puede estimar como = 0.59.
Una descripción más detallada de su comportamiento y distintas formulaciones para su cálculo se presentan en la tabla y figuras siguientes.
20 1 06 . 1 5 08 . 0 611 . 0 2 3 w h si h w w h si w h Una expresión simplificada para el cálculo de vertederos triangulares de lámina delgada con ángulo recto al centro que se puede utilizar es:
2 5
*
4
.
1
H
Q
donde las variables están expresadas en el sistema métrico decimal.
Vertedero de pared gruesa
En forma semejante a los orificios, si la cresta del vertedero no es una arista afilada, se presenta entonces el vertedero de pared gruesa.
Cuando e/h < 0.67 el chorro se separa de la cresta y el funcionamiento es idéntico al del vertedero de pared delgada.
Cuando e/h > 0.67 la lámina vertiente se adhiere a la cresta del vertedero, y entonces el gasto se puede calcular de igual forma que para un vertedero de
pared delgada sin contracción lateral, minorando por un coeficiente 1:
2 3 1 2 3 2 h b g Q
Como primera aproximación 1 = 0.75 + 0.1 / (e/h) expresión válida hasta e/h <
10. Una descripción más detallada de este coeficiente aparece en la figura de la página siguiente.
Observación:
Si la resistencia por fricción sobre el escalón (cresta) no se considera, las líneas de flujo sobre el mismo son paralelas y el flujo se vuelve crítico dada una suficiente longitud de la cresta. De esta forma se puede calcular el Qideal en
función de H = h + V02/2g, utilizando la relación entre la carga y el tirante crítico
como:
32 3 2 H b gQideal . Nótese que la forma de esta ecuación es similar a
la que se plantea para el cálculo de este tipo de vertedero.
En estas condiciones se aplica la ecuación de Bernoulli entre una sección aguas arriba del vertedero y otra aguas abajo del mismo. A partir de esta se puede obtener la siguiente ecuación:
g v e H g v e w g V w h 2 2 2 2 2 2 0
donde w es la altura del vertedero. Por lo tanto si despejamos la velocidad
sobre el vertedero, v 2g(H e), se puede calcular el caudal ideal como
) ( 2g H e be
Q . El caudal real se puede expresar:
) ( 2g H e be C Q d
considerando un vertedero rectangular de ancho b. Para calcular el caudal máximo se calcula:
0 2 3 2 2 1 2 2 1 2 . 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 e H e H b g C e e h e H b g C e H e e H b g C e H e de d b g C de dQ d d d d e H 2 3 sustituyendo en la ecuación para el caudal se obtiene:
2 3 3 2 3 2 2 3 2 C b H g H H C b g H Q d d →LQQD
Habitualmente la descarga en este tipo de vertederos resulta ahogada por las condiciones de aguas abajo. Cuando esto sucede la descarga se calcula con la expresión ya citada, minorándola aún por un segundo coeficiente adicional 2
cuyo valor puede determinarse a partir de la figura siguiente.
2 3 1 2 2 3 2 h b g Q
5. MEDIDORES PARSHALL.
Un medidor tipo Parshall es un dispositivo especial, normalizado, que básicamente consiste en un tramo de canal en el cual simultáneamente se produce una contracción de la sección (hasta un valor mínimo en la "garganta") con un aumento del nivel de
fondo. Esta particularidad
genera que en la garganta se produzca una situación de flujo crítico, seguida de un corto tramo en el cual se produce flujo
supercrítico y un resalto
hidráulico, sin que se produzca una zona de remanso aguas arriba de aquella.
De esta forma, usando el concepto de "control" definido en un capítulo anterior, es posible determinar la descarga a partir de una medida del tirante en una sección especificada.
Para estimar el caudal en canales estándar tipo Parshall se pueden utilizar las siguientes expresiones1:
Ancho de garganta Ecuación
3” 1.547 * 992 . 0 Ha Q 6” 1.58 * 06 . 2 Ha Q 9” 1.53 * 07 . 3 Ha Q 12” a 8’ 1.522* 0.026 * * 4 B Ha B Q 10’ a 50’
1.6 * 5 . 2 * 6875 . 3 B Ha Q Q : Caudal libre en pies3 / s
B : Ancho de la garganta, medido en pies
Ha : Carga en la sección convergente, medida en pies
Las anteriores expresiones son válidas para descarga libre, situación que en una canaleta Parshall se verifica cuando:
Ancho de la garganta H b / H a
3”, 6” y 9” < 0.6
1’ a 8’ < 0.7
10’ a 50’ < 0.8
