Capítulo5.ECUACIONESNOLINEALES

5.1 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES

Frecuentemente se necesita resolver una ecuación de la forma

( )

x =0

f , es decir, encontrar las raíces de f , y no se dispone de un método que nos permita hallar la solución. Para resolver este tipo de problemas se emplean los métodos iterativos, los cuales permiten hallar la solución aproximada de la ecuación f

( )

x =0. Entre estos métodos se encuentran: Método de Bisección, Regula falsi (falsa posición), Punto fijo, Newton-Raphson, Secante, Método de Halley , Brent, Brown. Cada uno de estos métodos tiene sus ventajas y desventajas.

En los métodos iterativos, se da una aproximación inicial p₀ y se genera una sucesión de números reales

{ }

P_n mediante una función g, así:

( )

0 , 2

( )

1 ,L,

( )

1 ,L

1=g p p =g p pn =g pn−

p

Para detener el algoritmo se elige una tolerancia TOL>0 (nos da la precisión que se desea) y se aplican los siguientes criterios de paro:

i. Pn−Pn−1 <TOL: este criterio no es suficiente ya que puede suceder que

0

1 → − n−

n P

P pero

{ }

P_n diverge. (ver ejemplo 5.1).

ii. _f

( )

_Pn <ε _, ε>0_{: tampoco es confiable, pues existen casos donde}

( )

P_n →0

f pero P_n está lejos de la raíz . ( ver ejemplo 5.2)

iii. TOL

P P P

n n

n− −1 < _{: es el criterio más confiable.}

NOTAS :

a) Se sugiere como criterio de paro: el error relativo y controlar el número máximo de iteraciones .

b) Si el método converge, la sucesión

{ }

P_n converge a la raíz P: es decir:

P P

Lim n

n→+∞ =

A continuación se da una sucesión

{ }

P_n para cual se cumple que

0

1 → − n−

n P

P pero

{ }

P_n diverge.

Ejemplo 5.1. Sea

{ }

P_n definida por

∑

= = n k n k P 1 1

. Demuestre que:

{ }

P_n diverge, pero lim

(

− ₋₁

)

=0

+∞

→ n n

n P P .

Solución: Los primero términos de la sucesión

{ }

P_n son:

n P P , n P , n P , , P , P , P n n n n 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 3 2 1 + = + + + = − + + + = + + = + = = − − emente equivalent L L L

Note que P_n es el enésimo término de la serie armónica

∑

k

1

, la cual es divergente, por lo tanto: lim =0

+∞ → n

n P no existe, de allí que

{ }

Pn diverge.

Por otra parte: lim_→+∞

(

− −1

)

= lim_→+∞1=0

n P P n n n n

Ejemplo 5.2. Sea f

( ) (

x = x−1

)

10, p=1 es raíz de f, y sea

{ }

P_n tal que

. , 1

1 n N

n

Pn = + ∈ Demuestre que:

( )

3

10−

<

n

P

f para todo n>1, pero 3

10−

< −Pn

Solución: Como n>1 entonces n≥2, de allí que:

2 1 1_≤

n , y 1000

1 2

1 1

10 10 ≤ <

n .

Luego se tiene que:

( )

1 1 1₁₀

n n f P

f _n  =

    

+

= 3

10 ₁₀₀₀ 10

1

1 _{< = −} =

n

Así,

( )

3

10−

<

n

P

f para todo n>1.

De 3

10−

< −Pn

P se tiene 3

10 1 1

1− − < −

n , de donde: n>1000.

El proceso de determinar las raíces aproximadas de una ecuación se divide en dos etapas:

1. Separar las raíces: la raíz P de f

( )

x =0 se considera separadas en

[ ]

a,b

si en el mismo la ecuación no posee otra raíz. 2. Se aplica el método para aproximar la raíz.

5.2 SEPARACIÓN DE RAÍCES.

Consiste en establecer los intervalos cerrados “más pequeños” posibles que contengan una y sólo una raíz de f . Las raíces se separan usando dos métodos: el gráfico y el analítico. El método grafico utiliza el hecho de que las raíces de f son las abscisas de los puntos de intersección del grafico de f con el eje X.

Teorema 5.1 Teorema de Bolzano:

Sí f es continua en

[ ]

a,b tal que f

( ) ( )

a ⋅ f b <0 entonces existe al menos un

( )

a,b

c∈ tal que f

( )

c =0.

Nota: Este teorema garantiza la existencia de al menos una raíz, pero no la

unicidad.

Teorema 5.2 Sí f es una función continua en

[ ]

a,b , estrictamente monótona en

[ ]

a,b y f

( ) ( )

a ⋅ f b <0 entonces f tiene una sola raíz en

[ ]

a,b .

Para separar las raíces también se puede usar el criterio de la primera derivada.

Ejemplo 5.3 Usando el método analítico, separar las raíces de

( )

= 3−6 +2

x x x

f .

Solución: Como f

( )

x =x3−6x+2, f′

( )

x =3x2−6, de allí que f′

( )

x =0 sí

2

± =

x ; por lo que :

f′

( )

x >0 en

(

−∞,− 2

] [

∪ 2,+∞

)

, por lo tanto f es creciente allí.

f′

( )

x <0 en

[

− 2 , 2

]

: f es decreciente.

De allí que: f tiene una única raíz en cada uno de los siguientes subintervalos:

(

−∞,− 2

] [

,− 2, 2

] [

, 2,+∞

)

.

5.3 Método de Bisección.

Sea f continua en

[ ]

a,b tal que f

( ) ( )

a ⋅ f b <0, f tiene una única raíz p en

[ ]

a,b . El método de bisección consiste en:

i. Tomar el punto medio p1 del intervalo

[ ]

a,b :

2

1

b a

p = + ó

2

1

a b a

p = + −

ii. Verificar sí: p∈

[

a, p₁

]

ó p∈

[ ]

p₁,b .

iii. Se repite el proceso en el intervalo que contenga a la raíz.

Veamos con más detalle el proceso: 1. Hacer a1=a, b1=b (intervalo inicial).

2. Buscar el punto medio p₁ de

[ ]

a,b :

2

1 1 1 1

a b a

p = + −

3. Sí f

( )

p1 =0 ó TOL

a b

< −

2

1 1

, entonces p₁ es la raíz. FIN Si no: Chequear el signo de f

( )

p₁ :

3.1 Sí f

( )

p₁ tiene igual signo que f

( )

a₁ entonces la raíz p∈

[

p₁,b₁

]

, y el nuevo subintervalo es: a₂= p₁ , b₂ =b₁.

3.2 Sí f

( )

p₁ y f

( )

a₁ tienen signos distintos entonces la raíz

[

a1, p1

]

p∈ , y el nuevo subintervalo es: a₂ =a₁ ,b₂ = p₁.

Nota: El método de Bisección (o método de las mitades) genera una sucesión

de subintervalos cerrados encajados que satisfacen la condición:

1 ,

2 ≥

− ≤

−p b a n

p_{n n}

Veamos: construir la siguiente tabla:

n Subintervalo Punto

medio

Longitud del

Subintervalo

1

[

a₁,b₁

]

p₁ b₁−a₁=b−a

2

[

a₂,b₂

]

p₂

2 2

1 1 2 2

a b a b a

b − = − = −

3

[

a₃,b₃

]

p3

2 2 2 3 3

2 2

a b a b a

b − = − = −

En general: la longitud del intervalo

[

a_n,b_n

]

es: ₁

2 −

− = − n n n

a b a

b n≥1 (5.1) Por otra parte: como

2

n n n b a

p = + para todo n≥1, entonces

2 a b p

p− _n ≤ n − n lo cual se sustituye en (5.1) obteniéndose;

n n

n n n

a b a b a b p p

2 2

2 2

1 −

= − = − ≤

− −

Así, el algoritmo de Bisección genera una sucesión

{ }

p_n que aproxima a

p con la propiedad: p p_n b _na

2

− ≤

− n≥1 (5.2)

que 10−k,k∈N para ello se hace k

n

a

b ₋

< −

10 2

y se despeja n.

La desigualdad (5.2) proporciona una cota aproximada para el error, y nos dice que la rapidez de convergencia del método es del orden O

( )

2−n .

El método de Bisección tiene la propiedad de que siempre converge a una solución, pero lo hace muy lento. Éste método se usa para poner en marcha otros métodos de convergencia superior.

ALGORITMO 5.1. Método de Bisección: Para obtener una solución de

f

( )

x =0, f continua en

[ ]

a,b , f

( ) ( )

a ⋅ f b <0.

Entrada: Extremos del intervalo: a,b

Tolerancia: TOL=10−k , donde k es un entero positivo. Número máximo de iteraciones: NMAX

Predefinir f

( )

x .

Salida: Solución aproximada de la raíz p o un mensaje de falla del algoritmo.

Paso 1: Tomar i=1:FA= f

( )

a

Paso 2: Mientras i≤NMAX hacer los pasos 3-6.

Paso 3: Calcular p=a+b−a,FP= f

( )

p

2

Paso 4: Sí FP=0 ó b−a <TOL

2 entonces escribir

Paso 6: Sí FA⋅FP>0 entonces hacer a= p, FA=FP. Si no, tome b= p

Paso 7: Salida: “El método falla después del número máximo de iteraciones”

FIN

Ejemplo 5.4. Sea

( )

( )

[ ]

2 , 0 , cos

2 ∈ π

−

= x x x

x

f .

a. Verificar que f tiene una raíz en

[ ]

2 ,

0 π . ¿Es única dicha raíz?

b. Usando el método de Bisección, estime el número de iteraciones necesarias para obtener una aproximación a la raíz con una precisión de

4

10− .

c. Realice 4 iteraciones.

Solución: a) f

( )

x = x−2cos

( )

x es continua en

[ ]

2 ,

0 π y

( )

( )

0

2 0 ⋅ f π <

f , por

el Teorema de Bolzano existe al menos un

[ ]

2 , 0 π

∈

p tal que f

( )

p =0, es decir, f tiene al menos una raíz en

[ ]

2 , 0 π .

Para demostrar la unicidad, se busca la primera derivada de f :

( )

2

( )

0

(

0 ₂

]

2

1 _{+ > ∀ ∈ π}

=

′ sen x x ,

x x

f , es decir, f es creciente en

[ ]

0,π₂ , por lo tanto la raíz p es única.

b) Para estimar el número de iteraciones se requiere que 4

n 10

2 a

b ₋

< −

, es

decir, 4

10 2

0 2− _< −

n

π

, de allí que: 2n >15707,96, y

(

)

( )

13,93

2 ln

96 , 15770

ln ₌

>

n .

Se requieren 14 iteraciones para que el error sea menor que 4

c) Realice 4 iteraciones del Método de Bisección:

N a_n pn bn Signo f

( )

an f

( )

pn _¿ 4

10 2

−

< − n n a

b

? 1 0

4

π

2

π - -0.5279 ₄

10 4

−

<

π

no 2

4

π

8 3π

2

π - 0.320035 4

10 8

−

<

π

no 3

4

π

16 5π

8

3π - -0.1204 ₄

10 16

− < π

no 4

16 5π

32 11π

8

3π - 2.58078 ₄

10 32

− < π

La solución aproximada es 1.036586 y se obtiene en la iteración 14.

Ejemplo 5.5 Usando el Método de Bisección halle el punto de intersección

de las funciones h

( )

x = x2+1 y g

( )

x =tg

( )

x , con

[

)

2 , 0 π

∈

x , con una precisión de 10−6.

Solución: El problema equivale a resolver la ecuación h

( ) ( )

x =g x , es decir, resolver:

( )

[

)

2 , 0 ,

0 1

2_{+ − = ∈} π

x x

tg

x .

Sea f

( )

x = x2+1−tg

( )

x , hay que buscar un subintervalo de

[

)

2 ,

0 π que contenga a la raíz de f ; como f

( )

0 >0 y f

( )

1 <0 y f es continua en

[ ]

0,1

entonces f tiene una raíz en

[ ]

0,1.

Por otra parte:

( )

( )

x x

x x

f 2

2 sec

1−

+ =

para todo x∈

[ ]

0,1, por lo tanto f es decreciente en

[ ]

0,1 ; por lo que la raíz es única en

[ ]

0,1. Aplicando el método de Bisección se obtiene la raíz aproximada es 0.9495874 en la iteración 27.

Ejemplo 5.6 Sea f definida por f

( )

x =x2+10cos

( )

x : Se pide :

a. Usando el Teorema de Bolzano, determine intervalos

[ ]

a,b tal que cada uno de ellos contenga una sola raíz (es decir, separe las raíces de f ).

Solución: Considere las funciones de ecuaciones h(x)=-x2 y g(x)=10cos(x); las gráficas de h y g se cortan en cuatro puntos por lo que la función f tiene cuatro raíces reales. Como f es par hay dos raices positivas y dos raíces negativas.

Aplicando el teorema de Bolzano:

En cada uno de estos subintervalos la raíz es única:

[

−4,−3

]

,

[

−3,0

]

,

[ ]

0,3 ,

[ ]

3,4 .

Otra posibilidad es:

[

−4,−3

]

,

[

−2,−1

]

,

[ ]

1,2 ,

[ ]

3,4 .

b. Utilice el método de Bisección para estimar el número de iteraciones necesarias para encontrar la raíz en

[ ]

3,4 , con una precisión de 4

10− .

( )

−5 =27.8>0

f y f

( )

−4 =9.46>0 No hay raíz en

[

−5,−4

]

Hay raíz en

[

−4,−3

]

Hay raíz en

[

−3,0

]

Hay raíz en

[ ]

0,3

Hay raíz en

[ ]

3,4

( )

−4 =9.46>0

f y f

( )

−3 =−0.89<0

( )

−3 =−0.89<0

f y f

( )

0 =10>0

( )

0 =10>0

f y f

( )

3 =−0.89<0

( )

3 =−0.89<0

Solución: Se requiere que : 10 4 2

3

4 ₋

< −

n de allí que n>13,24. Por lo tanto se requieren 14 iteraciones.

c. Realice 4 iteraciones del método de Bisección. Aproximar la raíz en

[ ]

3,4 .

n

n

a bn Pn f

( )

an f

( )

Pn _{Error =} 2

n n a

b −

1 3 4 3.5 -0.899925 2.885433 0.5<10-4 no 2 3 3.5 3.25 -0.899925 0.621203 0.25<10-4 no 3 3 3.25 3.125 -0.899925 -0.232998 0.125<10-4 no 4 3.125 3.25 3.1875 -0.232998 0.170692 6.25x10-4 no

Si continuamos, la aproximación buscada es 3.19148936 y por simetría -3.19148936 también es raíz.

d. Repitiendo el proceso en

[ ]

1,2 se obtiene la raíz 1.9148936.

5.4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Sea f una función tal que f′, f ′′ son continuas en

[ ]

a,b tal que

( )

p =0

f y f′

( )

p ≠0 (esto significa que p es raíz simple de f ).

Sea p_n una aproximación a la raíz p, para deducir el método se aproxima f alrededor de p_n mediante un polinomio de Taylor de grado 1:

( ) ( )

( )(

)

( )(

)

2

!

2 n

n n

n

n x p

f p x p f p f x

( ) ( )

( )(

)

( )(

)

0 !

2

2₌ − ′′

+ − ′

+

= n

n n

n

n p p

f p p p f p f p

f ε (5.4)

Sí p_n está suficientemente cercano a p, entonces

(

p−p_n

)

2 tiende a cero y se puede despreciar, luego se despeja p obteniéndose:

( )

( )

n

n n

p f

p f p p

′ −

= sí f′

( )

p_n ≠0 para todo n≥1 (5.5)

p es mejor aproximación, ya que:

( )

( )

n n n

p f

p f p p

′ − =

− es un factor de correlación para la aproximación p_n.

En general, dada una aproximación inicial p₀ se genera una sucesión de números reales

{ }

p_n mediante:

( )

( )

n

n n

n

p f

p f p p

′ − =

+1 con f′

( )

pn ≠0 para todo n≥0 (5.6)

A la función g definida por:

( )

( )

( )

x f

x f x x g

′ −

= se le llama función de iteración.

5.4.1 Interpretación geométrica del método de Newton-

Raphson.

Éste método se puede interpretar geométricamente así: sea p₀ una aproximación a la raíz p, entonces por el punto

(

p₀, f

( )

p₀

)

se traza la recta tangente a la curva y= f

( )

x , la cual corta al eje X en el punto

(

p1,0

)

. p1 es la nueva aproximación a a raíz. Se continúa el proceso hasta obtener un valor de

n

En general, dado p_n el valor p_n+1 se obtiene como la intersección de la recta tangente a la curva en el punto

(

p ,_n f

( )

p_n

)

, (ver figura 5.2). observe que se forma un triángulo rectángulo ABC en el cual se cumple:

( )

1

+

− =

n n

n

p p

p f tgθ

pero tgθ = f′

( )

p_n , luego:

( )

( )

1

+

− = ′

n n

n n

p p

p f p

f , de allí que:

( )

( )

, 0

1= − _′ ≥

+ n

p f

p f p p

n n n

n

Sí f′

( )

p_n =0 para algún n, entonces la recta tangente es casi horizontal, por lo que no toca al eje X cerca de la raíz. En estos casos se detiene el proceso, se toma otra aproximación inicial y se reinicia el método.

Figura 5.1 Figura 5.2

Y

f(Pn)

θ

P Pn+1 Pn X

Y

y = f(x)

P

ALGORITMO 5.2. Método de Newton-Raphson

Entrada: Aproximación inicial α₀.

Número máximo de iteraciones: NMAX. Tolerancia: TOL.

( ) ( )

x f x

f , ′ (predefinidas)

Salida: La solución aproximada α o un mensaje de falla del algoritmo.

Paso 1: I=1. Escribir α₀. TOL, NMAX.

Paso 2: Mientras I≤NMAX haga los pasos 3-7

Paso 3: Sí f′

( )

α0 ≠0, calcule:

( )

( )

0 0 0

1

α α α

α

f f

′ − =

{α₁ aproximaciones de la raíz}

Sino se elige otro α₀ y se recomienza el algoritmo.

Paso 4: Escribir α₁.

Paso 5: Sí α₁−α₀ <TOL entonces “el algoritmo termina satisfactoriamente”. FIN.

Paso 6: α₀ =α₁.

Paso 7: I =I+1.

Paso 8: Escribir “El método no converge al cabo del número máximo de iteraciones”. FIN.

Nota:

<

TOL

α

α

−

α

1 1

0 _o

1 1

0 α .α

α − <TOL

b) Al codificar el algoritmo en algún lenguaje de programación se debe chequear que: f′

( )

p_n ≠0 en cada paso, y controlar el número máximo de iteraciones.

Ejemplo 5.7. Resolver la ecuación x3−x=1 usando el método de Newton- Raphon con una precisión de 4

10− , y x₀ =1.

Solución: De x3 −x=1 se tiene que x3−x+1=0 . Así: sea f

( )

x =x3−x−1

Usando el teorema del Bolzano se prueba que f tiene una única raíz en

[ ]

1, 2 . Aplicando el método de Newton se tiene que :

1 3 1 2 3 1 − − − − = + n n n n n x x x x x ,

Simplificando se obtiene: , 0 1 3 1 2 2 3 1 ≥ − + = + n x x x n n

n .

Para n=0:

( )

( )

1 1 1.5

3 1 1 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 0 3 0

1 → =

− + = → − +

= x x

x x

x .

Chequear el criterio de paro: 4 1 0 1 10 5 . 0 5 . 1 1 5 .

1 − _{= <} −

= − x x x falso

Para n=1:

( )

( )

1.5 1 1.3478261 3 1 5 . 1 2 1 3 1 2 2 2 3 2 2 1 3 1

2 → =

− + = → − +

= x x

x x

x .

Chequear el criterio de paro: 4

2 2

2 _{0.1521739 10}

3478261 . 1 5 . 1 3478261 .

1 − _{= <} −

= − x x x falso

Para n=2: 1.3252004 1 3 1 2 3 2 2 3 2

3 → =

− + = x x x x .

Chequear el criterio de paro: 2 4 3

2

3− =_2.26257321×₁₀− <₁₀−

x x x

Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

n p_n Error relativo

0 1.0 -

1 1.5 0.333333

2 1.3478261 0.1129032258

3 1.3252004 0.0170734424

4 1.3247182 3.639620058x10-4

5 1.3247179 2.110108612x10-7

El método converge al cabo de 5 iteraciones y la solución aproximada con una precisión de 4

10− es: x5 ≈1.3247179 y

( )

7 5 1.2466 10

−

× −

=

x

f .

Repetir el ejercicio usando el método de Bisección

5.4.2 CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON.

El método de Newton cuando converge, lo hace en forma cuadrática. Esto significa que el error en cada iteración se aproxima proporcionalmente al cuadrado del error en el paso anterior.

Sea E_n = p−p_n el error en el paso n, E_n+1 = p−p_n+1 el error en el paso n+1, entonces se cumple que E_n+1≈kE_n2, k>0. Lo cual significa, que en cada iteración se duplica el número de cifras significativas aproximadamente.

Veamos como se prueba lo anterior: en (5.3) se evalúa f en x= p:

( ) ( )

p f p f

( )(

p p p

)

f

( )(

p p

)

,

f _{n n n} n _n 2

2

Como f′

( )

p_n ≠0, se divide entre f′

( )

p_n :

( )

( ) (

)

2

( )(

( )

)

0

1 ₋ 2₌

′ ′′ + − +

′ n

n n n

n

n _{p p}

p f f p

p p f

p

f ε

Pero:

( )

( )

≈ +1

′

− n

n n

n p

p f

p f

p , luego:

( )

( )(

)

2

1

2 _n n

n

n p p

p f f p

p −

′ ′′ − ≈

− ₊ ε .

Tomando valor absoluto:

( )

( )

2

1

2 1

n n

n

n p p

p f f p

p −

′ ′′ =

− − ε

Sea E_n+1= p−p_n−1 , E_n = p−p_n , luego:

( )

( )

p E p y p

f f

E _{n n n}

n n

n _′ ε entre

ε ′′ =

+1 2

2 1

(5.7)

Si la sucesión

{ }

p_n converge a p, se cumple que pn p

nlim→+∞ = , y como εn está

entre p y p_n entonces ε_n tiende a p, luego (5.7) se transforma en:

( )

( )

2

1

2 1

n

n E

p f

p f E

′ ′′ ≈

+ (5.8)

La igualdad (5.8) significa que el método de Newton es de orden 2, es decir, converge cuadraticamente.

Notas:

2. Para mayor información sobre la convergencia del método de Newton, leer el siguiente trabajo:

“Aplicación de los métodos de Newton-Raphson y Halley en la aproximación de funciones elementales”. Prof. Elizabet Vargas. Año 1997.

Ejemplo 5.8 Sea la ecuación 2sen

( )

x =x. Se pide: a) Separar las raíces.

b) Halle la raíz positiva con una precisión de 4

10− , use el método de Newton con x₀ =2. c ) Verifique la fórmula (5.8).

Solución:

a) Sea f

( )

x =2senx−x la cual es continua en ℜ. Aplicando el Teorema de Bolzano se demuestra que f tiene una raíz en cada uno de los siguientes subintervalos:

[

−2,−1

] [

; −1,1

] [ ]

; 1, 2 . f tiene tres raíces reales y

diferentes,

Note que f es impar, por lo que si p es raíz, entonces −p también lo es. La ecuación 2senx=x se puede tratar así: sea g

( )

x =2senx, h

( )

x =x

queremos hallar los x∈ℜ tal que g

( ) ( )

x =h x . La gráfica de g y h se cortan en tres puntos, por lo tanto la ecuación g

( ) ( )

x =h x tiene tres raíces.

Figura 5.3

y = x

b) Para hallar la raíz positiva se aplica el método de Newton con

( )

x =2senx−x, f′

( )

x =2cosx−1

f obteniéndose la fórmula iterativa:

( )

( )

(

)

( )

, 0

1 cos

2 cos 2

1 ≥

− − =

+ n

x

x sen x

x x

n

n n

n n

Para n=0 se tiene:

(

( )

( )

)

( )

1

cos 2 cos 2

0

0 0

0 1

− − =

x

x sen x x

x . Como x0 =2 entonces

900996 .

1

1=

x y 4

1 0 1

10 05208 .

0 < −

= −

x x x

lo cual es falso.

El proceso se continua, obteniéndose los siguientes valores:

n xn Error relativo

0 2 -

1 x₁ =1.900996 0.05208

2 x2 =1.895512

3

10 8931 .

2 × −

3 x₃ =1.895494 6 4

10 10 182068 .

9 × − < −

Por lo tanto la raíz positiva con 10−4 de precisión es x₃ ≈1.895494.

c) Sustituir p=1.895494, f′

( )

p =−1.6380445, f ′′

( )

p =−1.895494 en ( 5.8 )

obteniéndose

( )

( )

0.58131

2 1

= ′ ′′

p f

p f

, luego :

E_n+1≈0.58131E_n2 con E_n = p−x_n . (5.9)

n x_n Error absoluto Error dado por 5.9

0 x_o =2 E₀ =0.104506 -

1 x1=1.900996

3 1 5.166 10

−

× =

E E₁ =0.58131E₀2

3 1 6.3487795 10

−

× ≈

E

2 x₂ =1.895512 5

2 1.8 10

−

× =

E E₂=0.58131E₁2

5 2 1.551374 10

−

× ≈

E

3 x3 =1.895494 E3=0

2 2 3 0.58131E

E =

10 3 1.8834 10

−

× ≈

E

Los resultados obtenidos con x₁=−2 son:

n x_n Error relativo

1 -1.900996 2

10 208028 ,

5 × −

2 -1.895512 3

10 893142 ,

2 × −

3 -1.895494 6

10 182068 ,

9 × −

La raíz negativa es -1.895494.

5.5 MÉTODO DE LA SECANTE

Un inconveniente en el método de Newton es la evaluación de f′, para evitar esta evaluación se sustituye f′

( )

x_n por una diferencia dividida hacia atrás:

( )

( ) ( )

1 1

− −

− − ≈

′

n n

n n

n

x x

x f x f x

es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

(

x ,_n f

( )

x_n

)

se aproxima por la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos

( )

(

x ,n f xn

)

y

(

xn−1,f

( )

xn−1

)

. Luego (5.10) se sustituye en (5.6) obteniéndose:

( )(

)

( ) (

)

1

1 1

1≈ − ₋ − ≥

− −

+ , n

x f x f x x x f x x n n n n n n

n (5.11)

lo cual se conoce como el método de la Secante.

Para arrancar este método se requieren dos aproximaciones iniciales: 1

0 , x

x , por lo que se conoce como método de los dos puntos.

En el método de la secante se cumple que:

( )

( )

p f

p f E E

En n n _′

′′ ≈ − +

2

1

1 (5.12)

donde p es la raíz de f , E_n =x_n −p. La igualdad (5.12) se demuestra así:

Sea p E x p x E p E x p x E p E x p x E n n n n n n n n n n n n + = → − = + = → − = + = → − = + + + + − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 (5.13)

Del método de la secante se tiene que:

( )(

)

( ) ( )

, 1

1 1 1 ≥ − − − ≈ − − + n x f x f x x x f x x n n n n n n

n (5.14)

Se sustituye (5.13) en (5.14) obteniéndose:

(

)(

)

(

E p

) (

f E p

)

f E E p E f p E p E n n n n n n n + − + − + − + = + − − + 1 1 1

Simplificando se obtiene:

(

)(

)

(

E p

) (

f E p

)

f E E p E f E E n n n n n n n + − + − + − = − − + 1 1

1 (5.15)

Se desarrolla f alrededor de p mediante la Serie de Taylor:

( ) ( )

= + ′

( )(

−

)

+ ′′

( ) ( )

− 2+L

2 x p

y se evalúa en En+p y en En+1+p:

(

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

L

L + ′′ + ′ + = + + ′′ + ′ + = + − − − 2 1 1 1 2 2 2 n n n n n n E p f E p f p f p E f E p f E p f p f p E f (5.16)

Ahora se sustituye (5.16) en (5.15):

( )

( )

( )

(

)

( )(

)

( )

(

)

L

L + − ′′ + − ′ −       + ′′ + ′ + − = − − − + 2 1 2 1 1 2 1 2 2 n n n n n n n n n n E E p f E E p f E E E p f E p f p f E E

( )

( )

(

)

( )

( )(

1

)

(

1

)

1 2 1 2 2 − − − + −       + + ′′ + ′ −       + ′′ + ′ + − = n n n n n n n n n n E E E E p f p f E E E p f E p f ) p ( f E E L L

Simplificando el factor :

(

E_n−E_n−1

)

y sacando en el denominador factor común f’(p) se obtiene:

( )

( )

( )

( ) (

)

      + + ′′ + ′       + ′′ + ′ − = − + L L 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n E E ) p ( ' f p f p f E p f E p f E E

Lo cual equivale a :

( )

( )

( )

( )

( )(

)

1 1 2 1 2 1 2 1 − − +       + + ′ ′′ + ′       _{′ + ′′ +} − = L L n n n n n

n E E

p f p f p f E p f E p f E

E (5.17)

La expresión (5.17) se desarrolla obteniéndose:

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

      + ′ ′′ + − ′       + ′′ + ′ − = ₋ + L L p f p f E E ! p f E p f E p f E

E _{n n}

n n n n 1 2 1 2 1 1 2 1 = +1 n E

( )

( )

( )

(

) ( )

     + ′ + − + ′′ + ′ ′

− L E E E − f ' p L

! p f E ! p f E p f

E_{n n n}2 _{n n n 1}

2 1 2

Simplificando lo que esta dentro del paréntesis:

=

+1

n E

( )

( )

( )

( )

( )

....

p

f

p

f

E

E

!

p

f

E

E

!

p

f

E

p

f

E

_{n n n n n n}

+

′

′′

=













+

′′

−

′

′

−

=

−1 −1

2

1

2

1

1

L

De allí que:

( )

( )

1

1

! 2 1

−

+ _′

′′

≈ n n

n E E

p f

p f

E (5.18)

Esto significa que el error en la iteración

(

n+1

)

es proporcional al producto de los errores de las dos iteraciones previas.

Si se compara el error del método de Newton (fórmula 5.8) y la del método de la Secante (Formula 5.18 ) se observa que en este último el error es ligeramente mayor que en el primero.

ALGORITMO 5.3. Método de la Secante

ENTRADA: Aproximaciones iniciales p₀ y p₁. Tolerancia TOL.

Número máximo de iteraciones: NMAX. Predefinir F

( )

x .

SALIDA: Solución aproximada o un mensaje de falla del algoritmo. PASO 1: Tomar i=2: q₀=F

( )

p₀ , q₁ =F

( )

p₁

PASO 2: Mientras que i≤NMAX hacer pasos 3-6 :

PASO 3: Tomar

(

)

0 1

0 1 1 1

q q

p p q p p

− − −

=

PASO 4: Sí TOL

p p p

< − 1

entonces escribir:

PASO 5: Tomar i=i+1

PASO 6: Hacer p₀ = p₁ , p₁= p, q₀ =q₁ , q₁=F

( )

p

PASO 7: Salida “El método falla después de el número máximo de iteraciones”.

FIN

5.6 MÉTODO DE HALLEY.

Este método es una variación del método de Newton-Raphson, y fue propuesto por Edmund Halley (mejor conocido porque fue el primero en describir la órbita del cometa que lleva su nombre).

Sea f una función tal que f′, f ′′son continuas en un intervalo cerrado que contenga a la raíz p de la ecuación f

( )

x =0. Para deducir el método se define una función g así:

( )

( )

( )

, ′

( )

>0

′

= f x

x f

x f x

g para todo x

y luego se resuelve la ecuación g

( )

x =0, usando el método de Newton:

( )

( )

n n n

n

x g

x g x x

′ − =

+1 (5.19)

donde:

( )

(

( )

)

( ) ( )

( )

(

)

3/2

2

2 2

x f

x f x f x

f x

g n

′

′′ −

′ =

′ (5.20)

La cual se sustituye en (5.19), se simplifica obteniéndose:

( ) ( )

( )

(

n

)

( ) ( )

n n

n n n

n

x f x f x f

x f x f x

x

′′ −

′

′ −

=

+1 2

2 2

Nota:

a) Este método también se puede deducir usando un polinomio de Taylor de grado 2.

b) El método tiene convergencia de orden 3.

c) Para mayor información sobre el método de Halley, leer el siguiente trabajo : “Aplicación de los métodos de Newton-Raphson y Halley en la aproximación de funciones elementales”. Prof. Elizabet Vargas. Año 1997.

Ejemplo 5.10 Encontrar las raíces de la ecuación x3−x=1 usando el método de Halley, con una precisión de 4

10− , y x0 =1.

Solución: Sea f

( )

x =x3−x−1, f′

( )

x =3x2−1, f ′′

( )

x =6x. Aplicando la formula (5.21) se tiene:

(

)(

)

(

n

) (

n n

)

( )

n

n n

n n

n

x x

x x

x x

x x

x

6 1 1

3 2

1 3 1 2

3 2 2

2 3

1

− − − −

− −

− −

=

+

Tomando x0 =1 se generó la siguiente tabla:

n x_n Error relativo

0 1

1 1,2857143 0,2222222 2 1,3246777 0,02941349

3 1,3247179 3,0346083x10-5<10-4 (si

Por lo tanto la solución aproximada es 1,3247179.

método de Halley converge al cabo de 7 iteraciones, obteniendo:

3247179 ,

1

7 ≈

x , y si se aplica el método de Newton con x0 =18, la

aproximación buscada se obtiene al cabo de 11 iteraciones: x₁₁≈1,3247179. Compare estos resultados con los obtenidos en el ejemplo 5.7.

5.7 MÉTODO DE NEWTON PARA EL CASO DE RAÍCES

MÚLTIPLES.

Recuerde que en el método de Newton las aproximaciones a la raíz se generan así :

( )

( )

n n n

n

f f

α α α

α

′ − =

+1 , pero Se exige que f′

( )

αn ≠0 para todo n,

y que f′

( )

p ≠0 (p es la raíz simple). Sí f′

( )

p_n y f

( )

p_n tienden a cero simultáneamente surgen dificultades al aplicar el método de Newton y el método de la secante.

Sí f′

( )

p =0 significa que f no es raíz simple, es una raíz que se repite, y para averiguar cuantas veces se repite se aplica la siguiente definición:

Definición 5.1. Sea p una solución de f

( )

x =0. p es una raíz de multiplicidad m, m∈ N si para x≠ p, f

( )

x puede expresarse de la forma:

( ) (

x x p

) ( )

q x

f = − m con lim

( )

≠0 →qq x x

El siguiente resultado proporciona un método más práctico para hallar la multiplicidad:

La función f Cm

[ ]

a b

,

Nota: Una raíz múltiple corresponde a un punto donde la gráfica de f es tangente al eje X en la raíz.

i) Si la multiplicidad es par, la gráfica de f no cruza el eje X. ii) Si la multiplicidad es impar, la gráfica de f cruza el eje X

Sea f tal que x= p es una raíz de multiplicidad m , m∈N. El método de Newton se adapta para encontrar esta raíz, para ello se define una función u así:

( )

( )

_{( )}

x f

x f x u

′

= (5.22)

Se puede probar que x= p es una raíz simple de u, veamos: como

p

x= es una raíz de multiplicidad m>0 entonces

( ) (

x = x−p

) ( ) ( )

q x , q p ≠0

f m , luego: f′

( )

x =m

(

x−p

) ( ) (

m−1q x + x−p

) ( )

mq′ x . Sustituyendo f y f′ en (5.22) y simplificando se obtiene:

( )

_{( ) (}

(

) ( )

_{) ( )}

x q p x x q m

x q p x x

u

′ − + −

= (5.23)

Evaluando (5,23) en x =p se tiene u

( )

p =0 y u′

( )

p ≠0

Derivando u

( )

x y evaluando en p se prueba que u′

( )

p ≠0). Por lo tanto p

es raíz simple de u. Así se puede aplicar el método de Newton A (5.22) obteniéndose:

( ) ( )

( )

(

n

)

( ) ( )

n n

n n n

n

p f p f p f

p f p f p

p

′′ −

′

′ −

=

que se conoce como el método de Newton modificado o método de Newton para el caso de raíces múltiples (fue propuesto por Ralston y Rabinowitz en el año 1978).

Nota:

1. Ralston y Rabinowitz también propusieron el siguiente método:

( )

( )

n n n

n

x f

x f m x x

′ − =

+1 (5.25) donde m es la multiplicidad de la raíz (el problema de este método es que

hay que conocer el valor de m).

2. El método de la Secante se puede modificar para el caso de raíces múltiples; para ello se aplica el método de la Secante a (5.22) obteniéndose:

( )(

) ( ) (

)

( ) ( ) (

n

[

n n

)

(

n

) ( )

n

]

n n n

n n n

n

x f x f x

f x f x f

x f x f x x x f x

x

′ ′

− ′

′

′ ′ −

− =

− −

− −

+

1 1

1 1

1 (5.26)

Ejemplo 5.11. Considere la ecuación f

( )

x =x4−4x2+4 .

a) Demuestre que x= 2 es raíz de f . Halle su multiplicidad. b) Aproxime esta raíz con una precisión de 6

10− , con p0 =1.5. Use el

método de Newton y el de Newton modificado.

Solución:

a) Se evalúa: f

( )

2 =0 , f′

( )

2 =0 , f ′′

( )

2 ≠0. Por lo tanto x= 2 tiene multiplicidad m=2.

b) Aplicando el método de Newton se obtiene la fórmula iterativa

n n n

p p p

4 2

3 2

1

+ =

Los resultados obtenidos son:

n p_n Error relativo n p_n Error relativo 1 1.458333 0.0285714 10 1.414302 6.279485E-05 2 1.436607 1.512331E-02 11 1.414258 3.144056E-05 3 1.425498 7.793399E-03 12 1.414236 1.567838E-05 4 1.419878 3.957921E-03 13 1.414225 7.839252E-06 5 1.417051 1.994685E-03 14 1.414219 3.961788E-06 6 1.415634 1.001247E-03 15 1.414216 1.938751E-06 7 1.414924 5.016326E-04 16 1.414215 1.011523E-06 8 1.414569 2.511321E-04 17 1.414214 5.057619E-07 9 1.414391 1.255818E-04

La solución se obtuvo en la iteración número 17: p17 ≈1.414214

c) Usando el método de Newton modificado (5.24) se obtiene:

2 4

2 1

+ =

+ n

n n

p p

p . Los resultados obtenido son:

n 1 2 3 4

n

p 1.411765 1.414211 1.414214 1.414214

Error relativo 6.249997E-02 1.730046E-03 1.517287E-06 0

La solución es 1.414214.

EJERCICIOS RESUELTOS 5.1

1. a) Use el método de Newton para aproximar la raíz de f

( )

x =e−x−x. Tome como aproximación inicial x₀ =0 y una precisión de 8

10−

=

TOL

Solución: Sea f

( )

x =e−x−x, f′

( )

x =−e−x−1. Aplicando el método de Newton se obtiene :

n n x n x n n e x e x x ₋ − + = + ₊ − 1 1 .

El criterio de paro que se va a usar es: 8

1

1 ₁₀−

+ + − _< = n n n R x x x E

Para n=0: 05

1 1 0 0 1 0 . x , e x e x x o x x = + − +

= − ₋ , 8

1 0 1

10 1< −

= −

x x x

es falso , por lo que se calcula x₂

Para n=1: 05663110032

1 2 1 1 2 1 1 . x , e x e x x x x = + − + = − ₋ 8 2 2

2− =_0.1170929098<₁₀−

x x x

es falso.

Los cálculos restantes se resumen en la siguiente tabla:

n x_n Error relativo

0 x1=0.5 1

1 x2=0.5663110032 0.1170929098

2 x3=0.567143165 1.467287x10-3

3 x4=0.5671432904 2.211081x10-7

4 x5=0.5671432904 0

La solución pedida es p=0.5671432904,

( )

11

10 53 .

1 × −

=

p

b) Chequear que se verifica

( )

( )

2

1 2 n n E p f p f E × ′ ′′ ≈ + .

( )

( )

05671432904 2

( )

( )

01809481284

5671432904 1 . p f p f . p f . p f = ′ ′′ = ′′ − = ′

Luego: E_n+1≈

(

0.1809481284

)

.E_n2.

Errores reales: E_n = p−p_n Error usando: E_n+1≈

(

0.1809481284

)

×E_n2

5671432904 .

0

0 0

0= p−p →E =

E 0671432904 . 0 1 1

1 = p−p →E =

E E₁=

(

0.1809481284

)

×E₀2 →E₁ =0.05820223906

4 2

2

2 8.322872 10

−

× =

→ −

= p p E

E E₂ =

(

0.1809481284

)

×E₁2→E₂ =0.00081575432

7 3

3

3 1.254 10

−

× =

→ −

= p p E

E

(

)

7

3 2 3

3 0.1809481284 1.25343127 10

−

× =

→ ×

= E E

E

0

4 4

4 = p−p →E =

E

(

)

15

4 2 4

4 0.1809481284 2.842857 10

−

× ≈

→ ×

= E E

E

c) Repetir usando el método de la secante con x₀ =0, x₁=1:

Para n=1: f

( )

0 =1 , f

( )

1 =−0.6321205588

( )(

)

( ) ( )

− → − − = 0 1 0 1 1 2 x f x f x x x f x

x x _0.6126998368

2 =

x

0.6321205588

2 1 2− =

x x x

Para n=2:

( )(

)

( ) ( )

− → − − = 1 2 1 2 2 2 3 x f x f x x x f x

x x3 =0.5638394026

0.0866585830

3 2 3− =

Para n=3: x₄=0.5671704 , 3 4

3 4

10 874777668 .

5 × −

= −

x x x

Para n=4: x₅=0.5671433 , 5 5

4

5− _{=4.778333×10}−

x x x

Se deja al lector para que termine los cálculos. 2. Considere f definida por

( )

( )

x

e x sen x

f = −0.3 , con x∈

[

−4,2

]

.

a) Demuestre que f tiene al menos una raíz en

[

−4,2

]

. ¿ Es única esta

raíz?

Solución: f es continua en

[

−4,2

]

y f

( ) ( )

−4 f 2 <0, por lo tanto f tiene al menos una raíz en

[

−4,2

]

. Encontrar las raíces de f equivale a encontrar los puntos de intersección de los gráficos de las funciones y=sen(x), y=0.3 ex. En la siguiente figura se muestran ambos gráficos

b) Realice 7 iteraciones del método de Bisección.

n a_n p_n b_n Signo f

( )

a_n Signo f

( )

b_n

0 -4 -1 2 + -

1 -4 -2.5 -1 + -

2 -4 -3.25 -2.5 + +

3 -3.25 -2.875 -2.5 + -

4 -3.25 -3.0625 -2.875 + -

5 -3.25 -3.15625 -3.0625 + +

6 -3.4375 -3.343735 -3.34372

Si continuamos se obtiene la solución -3.29787234´

b) Aplique el método de la Secante con p0 =1, p1=2 para aproximar la

raíz con una precisión de 3

10− .

Solución : Para n=1: f

( )

p₀ = f

( )

1 =0.02598643627 f

( )

p1 = f

( )

2 =−1.307419403

Luego:

( )(

)

( ) ( )

, ₂ 2 0.9805112328

1 2

1 2 1 1

2 ₋ = −

− −

= p

p f p f

p p p f p p

Por lo que: p₂=1.019488767. 3 2

1

2− =_0.9617675687<₁₀−

p p p

es falso. Para n=2: f

( )

p₁ = f

( )

2 =−1.307419403

f

( )

p₂ = f

(

1.019488767

)

=0.02030713538

Luego p3=1.019488767+0.0149965928=1.03448536

3 3

2 3

10 2 0144966699 .

0 < −

= −

p p p

es falso.

n p_n Error relativo

0 1

1 2 1

2 1,0194887 0.9617675 3 1,034485 1.449661E-02 4 1,082868 0.0446803 5 1,075838 6.534226E-03 6 1,076455 5.730921E-04<10-3

La solución buscada es 1,076455. c) Aplique el método de Newton con p0 =0:

Solución :

( )

( )

x

( )

( )

x

e x x

f e x sen x

f = −0.3 , ′ =cos −0.3 . Los resultados son:

n p_n Error relativo 1 0.4285715 0.4285715 2 0.5286670 0.1000956 3 0.5416945 1.302749E-02 4 0.5419481 2.535582E-04<10-3

3. Halle las soluciones de la ecuación ex−3x=0 con una precisión de 4

10− .

a) Aplicando el método de la secante con p0 =0, p1=0.25 se tiene:

p₂=0.53651 y 4 2

1 2

10 28651 .

0 < −

= −

p p p

,

evidentemente la desigualdad no se cumple.

Los cálculos restantes se resumen en la siguiente tabla:

n p_n Error relativo 0 0

1 0.25 0.25

2 0.53651 0.28651 3 0.6029276 6.641757E-02 4 0.6180897 1.516211E-02 5 0.6190488 9.590983E-04 6 0.6190613 1.251698E-05

b) Si se aplica en método de Newton se obtiene la fórmula iterativa:

(

)

0

3

1

1

≥

−

−

=

+

,

n

e

p

e

p

n n

p n p

n .

Si se toma p0 =1 se obtiene la raíz 0.6190613 (en 5 iteraciones, ver

tabla A).

Si se toma p₀ =1.89 se obtiene la raíz 1.512135, ( en 5 iteraciones , ver tabla B).

Tabla A

n p_n Error absoluto

1 0 1

2 0.5 0.5

3 0.6100597 0.1100597 4 0.6189968 8.93712E-03 5 0.6190613 6.449223E-05

4. Use el método de Newton para aproximar con una exactitud de 4

10− , el valor de x que en la gráfica de 2

x

y= tal que su distancia al punto B

( )

1,0

sea mínima.

Solución. Sea A( x , y ) un punto sobre la gráficas de y =x2 . La distancia del punto A al B es igual a:

( )

2 2

1 y

x

D= − + , como el punto A pertenece al gráfico de 2

x

y= , entonces las coordenadas de A son

( )

2

, x

x ; luego:

( ) ( )

2 4

1 x

x x

D = − +

Hay que minimizar D, para ello derivamos:

( )

( )

2 4

3

1 1 2

x x

x x x

D

+ −

− + =

′ .

Los números críticos de D se producen cuando D′

( )

x =0 o en los x∈DomD

tal que D′

( )

x no exista. Aquí DomD′=ℜ, solo se tratará el caso donde

( )

=0

′ x

D , es decir: se resolverá: 2x3+x−1=0. Esta ecuación se resolverá usando el método de Newton con x₀ =1 y 5

10−

=

TOL .

Sea h

( )

x =2x3+x−1, h′

( )

x =6x2+1 entonces aplicando el método de Newton:

Se obtiene: , 0 1

6 1 4

2 3

1 ≥

+ + =

+ n

x x x

n n

n .

0

=

n : 0.71428571

7 5

1= =

x ,

1

=

n : x2 =0.6051686997 2

=

n : x3 =0.5900220422 3

=

n : x4 =0.5897545943

5 4 4

3 4

10 10 5349 .

4 × − < −

= −

x x x

es falso.

4

=

n : x5 =0.5897545124

5 7 5

4 5

10 10 3887134 .

1 × − < −

= −

x x x

Luego x₅ =0.5897545124, y₅=0.34781038.

El punto

(

x₅, y₅

)

es el punto sobre la curva, más cercano a

( )

1,0 .

5. Sea f

( )

x =x3+x2−5x+3.

a) x=1 es una raíz de f , halle su multiplicidad.

( )

1 =0

f

( )

=3 2+2 −5, ′

( )

1 =0

′ x x x f f

( )

=6 +2, ′′

( )

1 =8≠0

′′ x x f

f , por lo tanto la multiplicidad es 2, es decir,

1

=

x es una raíz doble, luego f

( ) (

x = x−1

) ( )

2q x , donde q

( )

1 ≠0.

c) Aproxime esta raíz usando el método de Newton con x₀ =0.2 y 5

10−

=

TOL .

, 0 5

2 3

3 5

2 2 3

1 _{+ −} ≥

+ − + − =

+ n

x x

x x x x x

n n

n n n n

n .

Para n=0: se obtiene x1=0.65714285

El lector debe continuar el proceso hasta que se satisfaga el criterio de paro.

6. Demuestre que el método de Newton aplicado a la función f(x) = 3 x

diverge para cualquier aproximación inicial x0≠0

Solución. Al aplicar el método de Newton a la función f(x) = 3 x se obtiene: xn+1=-2xn, por lo que:

x1 = -2x0

x2 = -2x1 o bien x2 = -2(-2)x0=(-2)2x0

x3 = -2x2 o bien x3 = (-2)3x0

…………

En general xn+i = (-2)n+1x0 Que da origen a una sucesión divergente

cuando x0≠ 0

EJERCICIO PROPUESTOS 5.1

1. Sean

( )

6, 0 1

2− =

=x p x

f . Aplique el método de Newton y el método de Halley para aproximar la raíz con una precisión de 0.00001.

2. Repita el ejercicio (1) usando el método de la secante con p₀ =1, p₁ =2.