• No se han encontrado resultados

Vectores, rectas y planos

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Vectores, rectas y planos"

Copied!
12
0
0

Texto completo

(1)

1

1

Vectores, rectas y planos

1.1.

Repaso de vectores, rectas y planos

Los vectores son entidades matem´aticas con importantes aplicaciones a la F´ısica y la Ingenier´ıa.

Sin dar un definici´on estricta, un vector en el planoR2, en el espacioR3o m´as generalmente en el espacio eucl´ıdeoRn, es

un segmento que tiene una orientaci´on (segmento orientado), donde uno de los puntos finales del segmento es el origen y otro punto es el final del vector. Es decir, un vector queda determinado si conocemos

Su direcci´on (la inclinaci´on del vector),

el sentido (es la orientaci´on),

la longitud o el m´odulo del vector.

~v ~u

~z

~ w

En general trabajaremos sobre el planoR2o el espacioR3, pero la mayor´ıa de los resultados y notaciones se extienden al

planon-dimensionalRn.

Vamos a identificar a los puntos en el plano o en el espacio con vectores cuyo extremo inicial est´a en el origen de coordenadas y final en el punto considerado. Es decir, por ejemplo, si tenemos un puntoP= (x,y,z)lo identificaremos con el vector posici´on−→OP= (x,y,z).

Seanu= (u1,u2,u3)yv= (v1,v2,v3)dos vectores deR3.

Suma:u+v= (u1,u2,u3) + (v1,v2,v3)=(u1+v1,u2+v2,u3+v3).

(2)

1.1 Repaso de vectores, rectas y planos 2

Vector opuesto−u= (−u1,−u2,−u3).

Resto o diferencia:u−v=u+ (−v) = (u1,u2,u3)−(v1,v2,v3) = (u1−v1,u2−v2,u3−v3)

M´odulo o norma deu:kuk=

q

u21+u22+u23.

Combinaci ´on lineal de vectores

Un vectorvescombinaci´onlineal de los vectoresv1, . . . ,vnsi existen escalaresc1, . . . ,cn∈Rtal que

v=c1v1+· · ·+cnvn.

Los escalaresc1,c2, . . . ,cnse llaman las coordenadas del vectorv.

Por ejemplo, el vector(4,−3)es combinaci´on lineal de los vectores(1,0)y(0,1)pues existen escalaresc1=4 yc2=−3 tales que

(4,−3) =4(1,0) + (−3) (0,1).

Notemos que cualquier vector(x,y)deR2se puede poner en combinaci´on lineal de los vectores(1,0)y(0,1), pues

(x,y) =x(1,0) +y(0,1).

De igual forma, un vector(x,y,z)∈R3se puede poner escribir como la siguiente combinaci´on lineal:

(x,y,z) =x(1,0,0) +y(0,1,0) +z(0,0,1).

En general, cualquier vector(x1, . . .xn)∈Rnes combinaci´on lineal de los vectores

e1= (1,0, . . . ,0),e2= (0,1, . . . ,0), . . . ,en= (0,0, . . . ,1),

pues

(x1,x2, . . . ,xn) =x1(1,0, . . . ,0) +· · ·+xn(0,0, . . . ,1).

Los vectorese1,e2, . . . ,ense llaman los vectores can´onicos deRn.

El conjunto detodoslos vectores que son combinaci´on lineal de los vectoresv1, . . . ,vn∈Rnser´a simbolizado por

hv1, . . . ,vni={v∈Rn:v=c1v1+· · ·+cnvnpara algunos escalaresc1, . . . ,cn}.

Por ejemplo, el conjunto de todos los vectores que se generan a partir del vector(2,3)es

h(2,3)i=

(x,y)∈R2:(x,y) =λ(2,3),λ∈R .

En el pr´oximo ejemplo estudiamos como se podemos verificar si un vector dado es o no combinaci´on lineal de ciertos vectores.

Ejemplo 1.1

Estudiar si el vectorv= (2,3)es combinaci´on lineal de los vectoresv1= (1,−2)yv2= (−3,1).

Soluci´on

De acuerdo a la definici´on de combinaci´on lineal debemos determinar escalaresαeβtales que

(2,3) =α(1,−2) +β(−3,1).

Entonces debemos resolver el sistema

α−3β = 2 −2α+β = 3

Resolvemos el sistema y nos quedaα=−115 eβ=−75. Luego se es sencillo comprobar que

(2,3) = (−11

5 ) (1,−2) + (− 7

5) (−3,1).

Lanormaom´odulode un vectorv∈Rnes la longitud o magnitud del vector. La norma se simboliza porkvk. Es conocido

(3)

1. v= (x,y)∈R2, entonces

kvk=px2+y2.

2. v= (x,y,z)∈R3, entonces

kvk=px2+y2+z2.

3. v= (x1,x2, . . . ,xn)∈Rn, entonces

kvk=

q x2

1+x22+· · ·+x2n.

Ejercicio 1. Dados los vectoresv= (2,−1,1)yu= (3,0,−2).

1. Escribir al menos tres combinaciones lineales devyu.

2. Determinar si los vectoresvyuson combinaci´on lineal de los vectoresw1= (1,1,0),w2= (0,1,0)yw3= (0,0,−1).

3. Hallarkvk,k2uk,kv+uk, ykvk+kuk.

4. Determinar los puntos sobre el ejexcuya distancia al punto(2,2,1)es igual a 4. Graficar la situaci´on.

Ejercicio 2. Dados los puntosP= (1,2,2),Q= (2,−1,2)yR= (−1,3,−2)

1. Determinar la distancia entrePyQ.

2. Hallar el punto medio entrePyR.

3. Hallar un vector de norma 5 y sentido contrario al vector−→QR.

Recordemos que elproducto escalarentre dos vectores~u= (u1, . . . ,un)y~v= (v1, . . . ,vn)deRnes un n´umero real que se

define como

~u·~v=u1v1+· · ·+unvn.

El producto escalar tambien se lo conoce como producto interno, producto interior o producto punto. Observemos que el producto es una operaci´on algebraica que toma dos vectores y produce un ´unico n´umero.

En forma alternativa podemos definir el producto escalar de la siguiente forma. Siθes el ´angulo ´angulo entre los vectores entonces definimos el producto escalar entrevyucomo

u·v=kuk kvkcosθ.

Conociendo los vectores~uy~v, la identidad anterior nos permite hallar el ´angulo entre ellos por medio de la f´ormula

cosθ= ~u·~v

k~uk k~vk.

Si~u=~v, entonces

~u·~u=k~uk k~ukcos0=k~uk2.

Dos vectores sonortogonales operpendicularescuando forman un ´angulo recto entre s´ı. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales. Es decir, sik~uk 6=0 yk~vk 6=0, entonces

~u·~v=0 sii cosθ=0 siiθ=π

2 sii~uy~vson ortogonales.

Utilizando la otra f´ormula para el producto escalar, dos vectores ortogonalesu= (u1, . . . ,un)yv= (v1, . . . ,vn)deRnes

un n´umero real que se define como

u·v=u1v1+· · ·+unvn=0.

Ejercicio 3. Calcular~u·~v, dondeu= (2,−1,3)yv= (0,1,2). Hallar el ´angulo entre los dos vectores.

Ejercicio 4. Supongamos quekvk=2,kuk=3 y que cosθ=−1

6, dondeθes el ´angulo entrevyu. Estudiar si los vectores v+2uyv−uson ortogonales.

Ejercicio 5. Determinar un vector ortogonal au= (−1,2,1)y av= (2,−1,−2)de m´odulo 5. ¿Es ´unico el vector?

Ejercicio 6. Dados los vectoresu= (1,−1,1)yv= (0,1,2), determinar todos los vectores ortogonales a~uy a~vde m´odulo 2.

Ejercicio 7. Determinarkvksabiendo que el ´angulo entreuyves 43π,kuk=√2 y que el vector 2v+ues ortogonal au.

(4)

1.1 Repaso de vectores, rectas y planos 4

Recordemos que todo vectorv= (x,y,z)deR3se puede expresar como

(x,y,z) =x(1,0,0) +y(0,1,0) +z(0,0,1)

En F´ısica o en Ingenier´ıa, es usual escribir a los vectores can´onicos como

ˇ

i= (1,0,0), jˇ= (0,1,0)y ˇk= (0,0,1).

En estos casos los vectores ˇi, ˇjy ˇkse suelen llamarversores. Teniendo en cuenta estos versores un vector gen´erico en

R3se escribe como

(x,y,z) =x(1,0,0)

| {z } ˇ i

+y(0,1,0)

| {z } ˇ j

+z(0,0,1)

| {z } ˇ k

(x,y,z) =xiˇ+yjˇ+zkˇ.

Esta forma de escribir a los vectores enR2oR3se conoce como expresi´on can´onica.

Sean~u= (u1,u2,u3)y~v= (v1,v2,v3)vectores deR3. Elproducto vectorialentre~uy~ves otro vector que se define como

~u×~v= (u2v3−u3v2,−(u1v3−u3v1),u1v2−u2v1).

Una manera sencilla de recordar la f´ormula anterior es formar un arreglo, llamado determinante (se repasar´an m´as adelante) como se indica a continuaci´on y realizar los productos indicados

~u×~v=

ˇ

i ˇj kˇ u1 u2 u3 v1 v2 v3

=u2v3ˇi+u3v1jˇ+u1v2kˇ−v1u2kˇ−v2u3iˇ−u1v3jˇ.

= (u2v3−v2u3,u3v1−u1v3,u1v2−v1u2).

Se puede probar que

~u·(~u×~v) =0 y~v·(~u×~v) =0,

es decir,

~u×~ves ortogonal a~vy~u.

Tambi´en se puede probar que dados dos vectores no paralelos~uy~v, el m´odulo de su producto vectorial representa el ´area del paralelogramo determinado por dichos vectores. Es decir,

k~u×~vk=k~uk k~vksenθ=´area del paralelogramo determinado poruyv.

dondeθes el ´angulo entre~uy~v.

Ejercicio 8. Seanu= (1,2,−1),v=ˇi+jˇ−kˇyw=iˇjˇ+k. Calcular

1. u×v.

2. u·(v×w).

3. u×(v×w).

4. u×(u×w).

Ejercicio 9. Consideremos los vectoresu,v∈R3. Supongamos queu×v= (1,2,1)yu·v=2.

1. Determinar el ´area del paralelograma que determinan estos vectores.

2. Calcular el ´anguloθentreuyv.

(5)

Ecuaci ´on vectorial de la recta

Para dar la ecuaci´on vectorial de una recta necesitamos un vectorv= (v1,v2,v3), llamadovector directorde la recta, y un puntoP0= (x0,y0,z0)que pertenezca a la recta, es decir, la recta pasa por el puntoP0.

La ecuaci´on es

(x,y,z) = (x0,y0,z0) +λ(v1,v2,v3) , λ∈R.

Ecuaci ´on param ´etrica de la recta

Las ecuaciones param´etricas o cartesianas de una recta se determinan directamente de la ecuaci´on vectorial

(x,y,z) = (x0,y0,z0) +λ(a,b,c)

Igualando componente a componente obtenemos

 

x = x0+λa y = y0+λb z = z0+λc

ecuaciones param´etrica

Ecuaci ´on sim ´etrica

La ecuaci´on sim´etrica de la recta se puede obtner de las ecuacines param´etrica despejando el par´ametroλde cada ecuaci´on y despu´es igualando. Es decir

 

x = x0+λa ⇒ λ=x−ax0 y = y0+λb ⇒ λ=y−by0 z = z0+λc ⇒ λ=z−cz0 Entonces

x−x0 a =

y−y0 b =

z−z0

c ecuaci´on sim´etrica.

Ejercicio 11(Rectas y planos). Determinar la ecuaci´on vectorial, param´etrica, y sim´etrica de la recta que cumple cada uno de las siguientes condiciones.

1. Pasa por los puntosP= (1,−2,3)yQ= (3,−1,1).

2. Pasa por el puntoP= (1,−2,3)y su vector director es paralelo al vectorv= (−3,2,−2).

3. Es paralela al eje de ordenadas (ejey) y pasa por el punto(3,2,1).

4. Pasa por el origen de coordenadas y tiene un vector cuyas componentes son iguales.

5. Pasa por el punto medio que une los puntosP= (0,2,1)yQ= (−2,4,3)y su vector director es ortogonal al vector v= (2,1,−1).

Recordaremos muy brevemente las diferentes formas en que se pueden definir a los planos enR3.

Ecuaci ´on general del plano

Un planoπqueda determinado si conocemos un puntoP0= (x0,y0,z0)y un vector normaln= (a,b,c)(perpendicular) al plano. Debemos hallar una forma que nos indique cuando un punto gen´erico(x,y,z)pertenece o no al plano.

Entonces consideremos un punto gen´ericoP= (x,y,z)y constru´ımos un vector−→P0P= (x,y,z)−(x0,y0,z0) = (x−x0,y−y0,z−z0) que estar´a en el plano. Por lo tanto este vector deber´a ser perpendicular al vector normaln. Luego

(6)

1.1 Repaso de vectores, rectas y planos 6

sii

(a,b,c)·(x−x0,y−y0,z−z0) =0

sii

ax+by+cz+ (−ax0−by0−cz0)

| {z }

d

=0.

Por lo tanto la ecuaci´on general del plano nos queda

ax+by+cz+d=0 Ecuaci´on general del plano

Ecuaci ´on vectorial del plano

La determinar la ecuaci´on vectorial del plano necesitamos dos vectoresuyvno paralelos que esten en el plano y un punto P0= (x0,y0,z0)del plano. La ecuaci´on vectorial es

(x,y,z) = (x0,y0,z0) +λu+βv. Ecuaci´on vectorial del plano

Ecuaci ´on param ´etrica del plano

A partir de la ecuaci´on vectorial del plano se puede hallar la ecuaci´on param´etrica. Siu= (u1,u2,u3)yv= (v1,v2,v3)son dos vectores no paralelos del planoπyP0= (x0,y0,z0)es un punto del plano, entonces

(x,y,z) = (x0,y0,z0) +λ(u1,u2,u3) +β(v1,v2,v3)

Luego

 

x = x0+λu1+βv1 y = y0+λu2+βv2 y = z0+λu3+βv3

Ecuaciones param´etricas del plano

Ecuaci ´on segmentaria

La determinar la ecuaci´on segmentaria se puede obtener a partir de la ecuaci´on general. Consideremos la ecuaci´on general del plano, donde suponemos quea,b,cydson distintos de cero.

ax+by+cz+d=0.

Entonces

a −dx+

b −dy+

c −dz=0, x

–da+ y

–db+ z

–dc=1.

Entonces llamandop=–da,q=−d b,r=−

d c ,

x p+

y q+

z

r =1 Ecuaci´on segmentaria del plano

Recta definida como intersecci ´on de dos planos

Una recta puede ser definida como la intersecci´on de dos planos (no paralelos). Consideremos dos planos no paralelos

π1: a1x+b1y+c1z+d1=0

y

(7)

La rectarque determinan estos dos planos al cortarse se puede expresar como

r:

a1x+b1y+c1z+d1 = 0 a2x+b2y+c2z+d2 = 0

El vector director de la rectarse puede hallar haciendo el producto vectorial de los vectores normales de cada plano

vd=n1×n2=

ˇ

i jˇ kˇ a1 b1 c1 a2 b2 c2 .

Si queremos obtener un punto de la recta, fijamos el valor de cualquiera de las variables y resolvemos el sistema resultante. Recordemos que dos rectas en el espacio eucl´ıdeoR3se dicencoplanaressi existe un planoπque las contiene. Dos rectas r1yr2sonalabeadassi no son paralelas y no tienen un punto en comun (intersecci´on vac´ıa).

Ejercicio 12. Determinar la ecuaci´on vectorial, param´etrica, segmentaria y general del plano que cumple cada una de las siguientes condiciones.

1. Pasa por el puntoP= (2,2,−1)y su vector normal esn= (−1,2,−3).

2. Que pasa por los puntosP= (1,−2,3),Q= (3,−1,1)yR= (1,0,4).

3. Es perpendicular al punto medio que une los puntosP= (0,2,1)yQ= (−2,4,3).

4. Contiene al punto(−1,0,1)y a la recta(x,y,z) = (1,1,1) +λ(1,7,−1).

5. Contiene al ejezy pasa por el puntoP= (−2,−3,2).

6. Contiene a los puntosP= (−1,2,1),Q= (3,−2,2)y es paralelo al ejex.

7. Pasa por el puntoP= (0,−1,1)y es paralelo a los vectoresv= (−2,1,1)yu= (−3,1,−1).

8. Pasa por el punto(3,−2,4)y es paralelo al planoπque contiene a los ejesxey.

9. Contiene a la rectar:

2x+y−2z+3 =0

x−y+z−4 =0 y pasa por el puntoP= (2,−1,4)

Ejercicio 13. Estudiar en cada caso existencia o no de la intersecci´on de los planos y rectas siguientes.

1. (x,y,z) = (1,−1,3) +λ(1,1,−2), (x,y,z) = (1,−1,3) +β(−2,−2,4).

2. (x,y,z) = (0,−1,2) +λ(1,3,1), (x,y,z) = (−1,2,2) +α(−2,2,0).

3. El planoπ: 3x+y−2z+4=0 con las rectas

a) (x,y,z) = (−1,2,1) +λ(1,−1,1)

b) (x,y,z) = (2,1,−1) +λ(1,−1,3)

c) r:

x−y−z+1 =0 x−2y−3z−2 =0

Ejercicio 14. Determinar la recta que se indica

1. Pasa por el puntoP= (2,3,−1)y es perpendicular al plano 2x+3y−z+4=0.

2. Pasa por el puntoP= (1,−2,2)y es paralela al planox−y+2z=4.

Ejercicio 15. Determinar la distancia entre el puntoP= (3,−1,2)y la recta(x,y,z) = (1,−1,2) +λ(−2,3,−1).

Diremos que dos rectas son coplanares si est´an contenidas en el mismo plano. Tenemos los siguientes casos:

(8)

1.2 Ejercicios resueltos 8

2. Si son paralelas. En este caso no podemos tomar como vector normal el producto vectorial de los directores, pues son paralelos. En ese caso tomamos un vecor director y el otro lo constru´ımos con dos punto, uno de cada recta. Luego hacemos el producto vectorial.

Recordemos que dos rectasr1yr2sonalabeadassinoson paralelas ni concurrentes. En ese caso no pueden estar contenidas en el mismo plano.

Ejercicio 16. En los siguientes apartados, determinar, en los casos posibles, los planos que contienen a las rectas indicadas.

1. r1:(x,y,z) = (1,−2,2) +λ(1,2,3)yr2:(x,y,z) = (3,−2,4) +λ(−2,−4,−6)

2. r1:(x,y,z) = (1,4,−1) +λ(1,0,0)yr2(x,y,z) = (0,1,0) +α(0,0,1).

Ejercicio 17. Dado el planoπ:x−y+2z−1=0.Determinar

1. La distancia del puntoP= (2,1,3)al planoπ.

2. Un plano paralelo al planoπsabiendo que el puntoQ= (1,−2,3)equidista de ambos planos.

3. Los valores del par´ametrokpara que la distancia del origen al planoπ0:kx−y+2z−12=0 sea igual 2 .

Ejercicios adicionales

Ejercicio 18. Consideremos las rectas r1: (x,y,z) = (1,−2,2) +λ(1,2,3) y la recta r2determinada por los puntos P= (1,3,1), yQ= (3,1,a), cona∈R. Hallar un valor deapara que las rectas sean concurrentes y determinar el plano que las

contiene.

Ejercicio 19. Las rectasr1: x−3 −2 =

y−4 −2 =

z

3 yr2:(x,y,z) =λ(1,2,3)son coplanares. Determine el plano que las contiene.

Ejercicio 20. Dadas las rectasr1:(x,y,z) = (1,0,0) +λ(2,−11,)yr2:

y+z =2

x+a y =0 . Hallar un valora∈Rtal quer1 sea paralela ar2y calcular la distancia entrer1yr2.

Ejercicio 21. Determinar la recta incluida en el planoπ:x−y+2z=4 perpendicular a la rectar: (x,y,z) = (2,1,−1) +

λ(2,−1,1)en el punto de intersecci´on derconπ.

Ejercicio 22. SeaQel punto intersecci´on entre el ejexy el planoπ:x+2y−z−2=0. Determine todos los valoresa∈R

para los cuales el puntoQest´a a una distancia de√6 unidades de la rectar:(x,y,z) = (3,a,2) +λ(−1,−1,0).

Ejercicio 23. Dada las rectasr1= (x,y,z) = (1,0,−3) +λ(2,1,1)yr2:  

x =1+λ y =2 z =−1−λ

.

Determinar un planoπtal quer1⊂πyr2kπ.

Hallar la proyecci´on ortogonal der2sobre el planoδ:x+3y−z+3=0.

1.2.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1.2

Derminar la ecuaci´on de dos rectas diferentes que pasen por el punto (−1,3,2) y sean perpendiculares a la recta L:(x,y,z) = (1,0,3) +λ(2,3,−1).

Soluci´on

(9)

vectores que necesitamos son vectores ortogonales av. Es decir, son las soluciones de la ecuaci´on

(x,y,z).(2,3,−1) =0,

es decir de

2x+3y−z=0.

Dos vectores que satisfacen la ecuaci´on anterior son(−1,1,1)y(1,2,8).Entonces dos posibles rectas (hay infinitas) sonL1:(x,y,z) = (−1,3,2) +λ(−1,1,1)yL2(x,y,z) = (−1,3,2) +λ(1,2,8).

Ejemplo 1.3

Consideremos las rectas

L1 : (x,y,z) = (1,0,4) +λ(0,1,−1)

L2 : (x,y,z) = (0,3,0) +λ(0,4,2)

L3 : (x,y,z) =λ(1,0,1)

SeaPun punto de un planoπy de la rectaL1. Supongamos que el plano contiene a la rectaL2. Determinar el puntoP de tal forma que el planoπsea paralelo a la rectaL3.

Soluci´on

Seavnel vector normal deπ. Ya queπcontiene a la rectaL2, entonces este vector debe ser perpendicular al vector directorv2= (0,4,2)deL2. Adem´as el plano debe ser paralelo a la rectaL3. Entonces tambi´en debe ocurrir quevnsea perpendicular al vector directorv3= (1,0,1)deL3. Luego

vn=

i j k 0 4 2 1 0 1

=4i+2j−4k.

Entoncesvn= (4,2,−4).Luego

π: 4x+2y−4z=d.

Por otra parte, comoL2⊂π, entonces el punto(0,3,0)satisface la ecuaci´on deπ. Sustituyendo obtenemos

6=d.

Entonces la ecuaci´on del plano es

π: 4x+2y−4z=6,

o lo que es igual

π: 2x+y−2z=3.

Ahora debemos encontrar el puntoPde tal forma que el planoπsea paralelo a la rectaL3. Para ello primero recordemos que el puntoPest´a enπyL1.Entonces considerando las ecuaciones param´etricas deL1

 

x = 1 y = λ z = 4−λ

y sustituyendo en la ecuaci´on del plano

2x+y−2z=2+λ−8+2λ=−6+3λ=3,

entonces

λ=3.

Finalmente se sustituyeλ=3 en las ecuaciones param´etricas de la rectaL1obteniendo el punto

(10)

1.2 Ejercicios resueltos 10

Ejemplo 1.4

Consideremos una recta que pasa por los puntos P1 = (2,3,2) y P2 = (0,5,0). Consideremos el plano π = {(x,y,z):x+y−2z=−1}. Determinemos una recta L0 que est´e contenida en π, que corte a la recta L y que sea perpendicular a ella.

Soluci´on

Primero determinemos la ecuaci´on de la recta L. Tenemos dos puntos. Por lo tanto podemos encontrar un vector directorv= (2,3,2)−(0,5,0) = (2,−2,2). Entonces podemos construir la recta que pasa por el puntoP2y que tiene la siguiente ecuaci´on

L:(x,y,z) = (0,5,0) +λ(2,−2,2).

Ahora para hallar la otra recta

L0:(x,y,z) = (x0,y0,z0) +λv,

debemos encontrar un vector director vdeL0 y un punto donde por donde pase la rectaL0.Para encontrar el vector v debemos tener en cuenta lo que pide el problema. Por un lado la recta debe estar contenida en el plano π. En consecuencia el vector normal del plano(1,1,−2)debe ser perpendicular al vectorv(director de la recta). Pero tambi´en debemos tener en cunta que debe cortar en forma perpendicular a la rectaL. Por lo tanto el vectorvtambi´en debe ser perpendicular al vector director(2,−2,2)deL. Es decir, se deben dar la siguiente situaci´on:

v⊥(1,1,−2)

v⊥(2,−2,2)

Una forma de encontrar un vector perpendicular a dos vectores dados en utilizar el producto vectorial de(1,1,−2)con (2,−2,2).Es decir,

v=

i j k

2 −2 2 1 1 −2

=4i+2j+2k−(−2k−4j+2i)

=2i+6j+4k.

Por lo tanto el vector buscado es

v= (2,6,4).

Ahora nos queda determinar el puntoQ. Para ello debemos tener en cuenta que la rectaL0pertenece al plano y debe cortar a la rectaL. Por lo tanto podr´ıamos buscar un punto de intersecci´on entre el planoπy la rectaL.

Debemos encontrar la intersecci´on

L∩π: (

(x,y,z) = (0,5,0) +λ(2,−2,2)

x+y−2z=1

Igualando los t´erminos de la primer ecuaci´on obtenemosx=2λ,y=5−2λyz=2λ. Sustituimos en la ecuaci´on de la

recta y nos queda 2λ+5−2λ−4λ=1, y luego 5−4λ=1, es decir,λ=3

2. Por lo tanto el punto buscado es

Q= (2λ,5−2λ,2λ)λ=

3 2

= (3,2,3).

En conclusi´on la recta buscadaL0tiene la siguiente ecuaci´on

L0:(x,y,z) = (3,2,3) +α(2,6,4).

(11)

Ejemplo 1.5

Consideremos el planoπde ecuaci´onx+y−2z=3, y la recta

L={(x,y,z):(x,y,z) = (−1,1,2) +λ(1,−1,−1)}.

Determinar una rectaL1tal queL⊥L1,pase por el punto(2,1,−1)yL1∩π=0./

Soluci´on

En este caso debemos determinar la rectaL1de ecuaci´on(x,y,z) = (2,1,−1) +λ~w. En este caso debemos encontrar el vector directorwdeL1. Para ellos debemos tener en cuenta quew⊥(1,−1,−1). ComoL1∩π=0, entonces debe/ ocurrir queπes paralelo aL1.Por lo tanto el vector normal deπdebe ser perpendicular al vectorw. Luego podemos encontrar

~w=

i j k

1 −1 2 1 −1 −1

=−3i−j−2k.

Es decir~w= (−3,−1,−2). La recta buscada tiene la siguiente ecuaci´on

L1:(x,y,z) = (2,1,−1) +λ(−3,−1,−2).

Deber´ıamos comprobar que esta recta tiene intersecci´on vac´ıa conπ. La ecuaci´on de la recta en forma param´etrica es

 

x = 2−3λ y = 1−λ z = −1−2λ.

Sustituimos en la ecuaci´on del plano y obtenemos

x+y−2z=2−3λ+1−λ−2(−1−2λ)

=3−4λ+2+4λ=56=3.

Ejemplo 1.6

Consideremos las rectas

L1 (x,y,z) = (1,1,0) +λ(1,−1,1)

L2 (x,y,z) = (−1,0,0) +λ(1,−2,1)

L3 (x,y,z) = (1,0,−1) +λ(0,−1,1).

Hallar dos planosπ1yπ2tales queL1⊂π1,L2⊂π2yL3es paralelo aπ1∩π2.

Soluci´on

Para encontrarπ1vamos a tener en cuenta queL1⊂π1yL3kπ1∩π2. Entonces el vector normal deπ1es el producto vectorial del vector director deL1y del vector director director deL3. Por lo tanto

n1=

i j k

1 −1 1 0 −1 1

=−i+0j−k−0k+i−j

=−j−k.

(12)

1.2 Ejercicios resueltos 12

ComoL1⊂π1, el punto(1,1,0)pertenece al plano. Entonces−1−0=−1=d. Por lo tanto la ecuaci´on del planoπ1 es

−y−z=−1.

Para encontrar el planoπ2razonamos de igual forma. ComoL2⊂π2yL3kπ1∩π2,

n2=

i j k

1 −2 1 0 −1 1

=−i−j−k.

Entoncesn2= (−1,−1,−1)y la ecuaci´on del plano es−x−y−z=d.ComoL2⊂π2, entonces el punto(−1,0,0) satisface la ecuaci´on del plano. En consecuencia−x−y−z=1.

Si queremos trabajar un poco m´as podemos determinar la recta que es intersecci´on de los planosπ1yπ2. Para ellos debemos resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones

(

−y−z =−1 −x−y−z =1.

Resolviendo encontramos el valorx=2. Comoy=1−z, haciendoz=0, determinamosy=1. Por lo tanto tenemos un puntoP= (2,1,0)de la recta intersecci´on. ComoL3es paralelo aπ1∩π2, entonces podemos tomar como vector director cualquieruier vector que sea m´ultiplo del vector director deL3. Entonces la recta nos queda

Referencias

Documento similar

En este caso, vamos a SUMAR EL RADIO de las circunferencias.. Se coloca la medida del radio y listo!.. Dos posibilidades de

Entonces cualquier conjunto linealmente indepenciente en V es nito y no contiene más de de n

Sobre la base de que son numerosas y consistentes inter-contextos jurídicos las críticas a la eficacia de los Tribunales de Jurados, nos hemos planteado un estudio comparativo de

Se dice que la Administración no está obligada a seguir sus pre- cedentes y puede, por tanto, conculcar legítimamente los principios de igualdad, seguridad jurídica y buena fe,

La coalición Herri Batasuna, tras el bache sufrido en 1980, en que pierde 35.000 votos respecto a las elecciones provinciales de abril de 1979, recupera en estos dos últimos años

El resultado del producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a estos vectores, cuya dirección y sentido se obtienen mediante la regla de la mano de derecha. =

Tanto el producto mixto de los vectores columnas de M como el de sus filas vale lo mismo que su determinante; luego son iguales.. El producto mixto de los vectores columnas de M vale

Los puntos singulares s´ olo aparecen cuando la c´ onica est´ a formada por dos rectas que se cortan (el punto singular es la intersecci´ on) o por dos rectas coincidentes (el