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Cap´ıtulo 1: Introducci´

on al ´

algebra

por G3

Agosto 2014

Resumen

Usamos la cl´asica prueba de que √2 es irracional para introducir el lenguaje y los modelos de razonamiento t´ıpicos de la l´ogica (matem´atica) y el ´algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para introducir los conceptos de la aritm´etica de los n´umeros.

La l´ogica est´a en la base del ´algebra (de hecho, de todas las ramas de las matem´aticas). La l´ogica sirve para hacer demostraciones de ciertos hechos

que no resultan evidentes, o bien para confirmar la evidencia de otros. Por ejemplo:

Teorema 1. El n´umero √2 es irracional.

En efecto, la ´ultima afrimaci´on no es del todo evidente. Para empezar a entender que significa este teorema debemos contextualizarlo. Primero, ¿qu´e es lo que entendemos por “ra´ız cuadrada de un n´umero”?

Definici´on 1. Decimos que un n´umero y es la ra´ız cuadrada de un n´umero

x, siy2 =x. Escribimos y=√x.

Queda claro entonces que la afirmaci´on de teorema 1, puede traducirse

N´umeros Naturales N. (De Natural en ingl´es). Los n´umeros naturales

son:

1,2,3,4, ...

Aveces se incluye el cero. En este curso empezaremos siempre con 1

la lista de los n´umeros naturales.

En los n´umeros naturales definimos dos operaciones: suma y producto. La suma de los n´umeros naturales m y n es un otro n´umero natural que

denotamosm+n. El producto es otro n´umero natural que denotamosmn. El producto en N puede entenderse como una suma, por ejemplo, el

producto 3·4, cuyo resultado es 12, podemos verlo como la suma del n´umero 4 con sigo mismo 3 veces:

3·4 = 4 + 4 + 4 = 12,

o bien, tambi´en podemos verlo como la suma del n´umero 3 con sigo mismo 4 veces:

3·4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Pero la diferencia de n´umeros naturales en general no est´a definida dentro de los n´umeros naturales. Por ejemplo, el resultado de la operaci´on

1−2

no existe enN. Aunque ciertamente, si m yn son n´umeros naturales tales

quem < n, entonces el resultado de

n−m

es un n´umero natural, por ejemplo,

2−1 = 1, 7−3 = 4, etc.

Postulamos entonces una definici´on con restricciones.

Definici´on 2. Si m y n son n´umeros naturales tales que m < n, entonces

definimos la diferencia denmenosmcomo el n´umero naturaln−m tal que cumple

Aqu´ı hay que detenermos un momento. Debemos aclarar un poco m´as la naturaleza de la representaci´on que usamos para las operaciones aritm´eticas

b´asicas. Por supuesto, es factible hacer operaciones como 21346 + 5673 o (456223)(87215). Hay algoritmos espec´ıficos para ello que aprendemos desde la educaci´on primaria. No importa qu´e par de n´umeros intervengan

en realidad. El m´etodo es siempre aplicar el mismo algoritmo en todos los casos. Obtendremos siempre n´umeros naturales. De esta indudable confianza, afirmamos que, dados dos n´umeros naturalesmyn, existenotros

n´umeros naturales,m+nymn. Este es un t´ıpico ejemplo de razonamiento inductivo usado no para probar un argumento, sino para definir un concepto

matem´atico, en este caso, las operaciones artim´eticas.

N´umero enteros Z. (DeZahlen, n´umero en alem´an). Los n´umeros enteros

son:

...,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Por supuesto, todo n´umero natural es tambi´en un n´umero entero.

La relevancia del conjunto Z, es que la operaci´on suma incluye tambi´en

a la operaci´on diferencia como caso particular. La cosa es asumir que cada n´umero entero n tiene un inverso aditivo dentro de los mismos n´umeros enteros, que denotamos como−n, de tal modo que se cumplen las igualdades

n+ (−n) =−n+n= 0.

Por supuesto, en todo este cuento, asumimos que el n´umero cero es neutro para la adici´on, es decir, definimos el n´umero entero 0 como el ´unico n´umero

entero tal que para cualquier otro enteron,

n+ 0 = 0 +n=n.

De tal suerte que el conjunto Z es como una “extensi´on” del conjunto

N, pues asumimos que los inversos aditivos de los n´umeros naturales son

justamente los n´umeros negativos, los cuales agregamos a N junto con el

En general, para cualesquiera dos n´umeros enterosm yn, la diferencia de n menosm queda definida como la suma de ncon el inverso aditivo de

m, es decir,

n−m=n+ (−m).

N´umeros pares. En Zest´an los n´umeros pares:

...,−6,−4,−2,0,2,4,6, ...

En general, un n´umero entero aes par si tiene la forma

a= 2n, para alg´un entero n.

Es decir, un n´umero entero es par si, y s´olo, si tiene al 2 como factor.

N´umeros impares. EnZ est´an los n´umeros impares:

...,−5,−3,−1,1,3,5, ...

En general, un n´umero entero aes impar si tiene la forma

a= 2n+ 1, para alg´un enteron.

Pero aqu´ı hay dos cuestiones interesantes acerca de ciertos hechos que casi siempre asumimos como obvios.

Cuesti´on 1. ¿Por qu´e un n´umero par es distinto de un n´umero impar? O de forma m´as simple, ¿por qu´e 16= 2?

Cuesti´on 2. ¿Por qu´e la colecci´on de n´umeros enteros queda completa con la reuni´on de los n´umeros pares y los n´umeros impares?

Puede parecer bastante raro llegar a este nivel de cuestionamientos, dado que nos parece evidente que un n´umero par debe ser distinto de por s´ı de cualquier n´umero impar. Finalmente, todo mundo sabe, por ejemplo, que

tener 2 pesos es mejor que tener 1 peso. En cuanto a la segunda pregunta, es siempre obvio asumir que los enteros pueden ponerse en una lista creciente

lo que impl´ıcitamente significa que no hay n´umeros enteros entre los “huecos” que hay entre cada n´umero de la lista anterior. De modo que pares e impares

completan todos los n´umeros enteros.

Pero, ¿Cu´al es la raz´on de esta seguridad? Si es s´olo la experiencia, entonces es leg´ıtimo preguntar donde est´a el dato de la experiencia que nos

ofrece la raz´on para que existan los n´umeros negativos, o m´as a´un, para los n´umeros irracionales.

As´ı que la propia experiencia nos conduce tambi´en, inenudiblemente, a

callejones aparentemente sin salida.

Por ahora dejaremos hasta aqu´ı esta discusi´on, aunque m´as adelante

en el curso volveremos a ella, con mayores herramientas para abordarla. Asumiremos entonces que la reuni´on de los n´umeros pares e impares es la totalidad de los n´umeros enteros, y que dichos conjuntos de n´umeros son en

todo diferentes (disjuntos o ajenos, en lenguage m´as preciso).

Por los pronto probamos algunos hechos relativos a los n´umeros pares e

impares

Lema 1. Si aes un entero par, entonces a2 es un entero par.

Demostraci´on. Siaes par, entonces tiene la formaa= 2n, para alg´un entero n. Luego,

a2 = (2n)2 = 22n2 = 2(2n2),

y desde luego, el n´umero 2n2 _{es entero, y por tantoa}2 _{es par.}

Lema 2. Si aes un entero impar, entonces a2 es un entero impar.

Demostraci´on. Siaes impar, entonces tiene la formaa= 2n+ 1, para alg´un enteron. Luego,

a2= (2n+ 1)2= 22n2+ 2(2n) + 1 = 2(2n2+n) + 1,

y desde luego, 2n2+nes un n´umero entero, y por tantoa2 es impar.

Teorema 2. Si a es un n´umero entero, entonces a2 es par si, y s´olo si, a2

es par.

Condici´on necesaria: a es par s´olo si a2 es par. Esto es, si a es par entoncesa2 es par. Decimos entonces que “a2 es par” es una condici´on

necesaria de “aes par”.

Condici´on suficiente: aes par sia2 es par. Esto es, sia2 es par entonces

aes par. Decimos entonces que “a2es par” es una condici´on suficiente de “aes par”.

Demostraci´on. Demostramos primero la condici´on necesaria. Supongamos queaes par. Debemos mostrar quea2 es par. Pero ello ya est´a hecho en el

lema 1.

Ahora mostraremos la condici´on suficiente. Supongamos que a2 es par.

Queremos mostrar que a es par. Si no lo fuera, es decir, si a es impar, entonces del lema 2, se sigue quea2 es impar, lo cual es contradictorio con nuestro supuesto. As´ı que adebe ser par.

N´umeros primos. Un conjunto de n´umeros realmente importante, es el de los n´umeros primos. Los n´umeros primos son los n´umeros naturales mayores que 1, que no tienen factores, salvo el propio n´umero y el

n´umero 1. Dicho de otra forma, un n´umero natural p es primo si p >1, y si los ´unicos divisores dep son 1 y pmismo.

En la tabla siguiente enlistamos los primeros 20 n´umeros primos

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

53 59 61 67 71.

De los n´umeros primos puede decirse tanto que calquier cosa que se diga

aqu´ı es muy poca cosa. S´olo recordaremos el teorema fundamental de la aritm´etica, conocido dese los cursos elementales.

Demostraci´on. La prueba de este hecho es casi elemental y el argumento es

iductivo. Es decir, asumiendo que si n es un natural tal que todo n´umero

menor o igual que n puede escribirse como producto finito de primos, en-tonces se prueba que n+ 1 cumple tambi´en dicha propiedad. Luego, dado que los n´umeros 2 y 3 son en s´ı mismos un producto finito de n´umeros

pri-mos, se desencadena la “m´aquina inductiva”, pues se sigue que tambi´en el 4 es un producto finito de primos (de hecho, 4 = 2·2), y de aqu´ı que el 5 tambi´en lo es, y as´ı mismo el 6, el 7, 8, 9, 10,.... en s´ıntesis, se sigue

que todos los n´umeros naturales mayores que 1, son un producto finito de primos.

Vamos con mayor detalle este argumento:

Supongamos que n > 1 es un n´umero natural tal que si 1 < k ≤ n, entonces k es un producto finito de n´umeros naturales. A este supuesto

le llamamos hip´otesis inductiva. Queremos verificar que n+ 1 es tambi´en producto finito de primos.

Pues bien, pasamos a analizar la naturaleza del n´umeron+ 1.

Si n+ 1 no es primo, entonces tiene un factor atal que 1< a < n+ 1. Seab el cociente den+ 1 dividido entrea. Como b≤nya≤n, entonces, seg´un la hip´otesis inductiva,aybson productos finitos de n´umeros primos, y dado quen+ 1 =ab, se sigue quen+ 1 es un producto finito de n´umeros

primos, como quer´ıamos ver.

En caso de quen+1 sea primo, entoncesn+1 es en s´ı mismo un producto finito de n´umeros primos y no hay nada m´as que hacer.

Ahora, el paso crucial es verificar que en efecto existe alg´un n >1 que cumple la hip´otesis inductiva. Pues si esto ocurre, tendremos la certeza de que cualquier natural cumplir´a lo que deseamos, seg´un hemos mostrado

arriba.

Pero basta ver la lista de algunos de los primeros n´umeros naturales

expresados como producto de primos (ver abajo) para asegurar con certeza que hay muchos naturales que cumplen la hip´otesis inductiva.

2 = 2 3 = 3 4 = 2·2 5 = 5 6 = 2·3

Se concluye as´ı que los n´umeros primos son suficientes para construir el resto de los n´umeros enteros (junto con el cero y el uno), de ah´ı su nombre.

N´umeros racionales Q. (Del ingl´es Quotient, cociente). En cierto

sen-tido, los n´umeros enteros son un conjunto incompleto, pues no admite en general la operaci´on cociente. Por ejemplo, ecuaciones sencillas del

tipo

2x−1 = 0,

no tienen soluci´on enZ. Pero si admitimos los cocientes de n´umeros

enteros, entonces esta ecuaci´on tiene por soluci´on x= 1₂.

Los n´umeros racionales son todos los cocientes de n´umeros enteros. Es

decir, los n´umeros de la forma m_n, dondem ynson enteros y n6= 0.

Ahora bien, toda expresi´on racional de la forma m_n tiene unaexpresi´on m´ınima, esto es, siempre existen enteros m0 y n0 sin factores comunes tales

que

m n =

m0 n0.

Esto es f´acil de verificar a partir del hecho de que todo entero es o bien un producto finito de n´umeros primos o bien el negativo de un producto

finito de n´umeros primos. De modo que el mayor factor com´un demynse obtiene como el producto de todos los factores primos demyn, incluyendo

multiplicidades. Es decir, existe un n´umero naturalk, que llamamosm´aximo com´un divisordemyn, igual al producto de todos los factores primos tanto dem como den, expresados en su mayor potencia. Por tanto existe un par

de enterosm0 yn0 sin factores comunes, tales que m =km0 yn=kn0. De donde se obtiene la expresi´on reducida m_n00 de m_n.

Ahora bien, todo n´umero racional tiene una expansi´on decimal finita o bien peri´odica. En efecto, supongamos que m y n son n´umeros enteros donden >0 ym >0. Entonces, en la divisi´on dementren, cuyo algoritmo

representamos como

a0

el residuo es un n´umero enteror1 tal que 0≤r1 ≤n−1. Continuando este

algoritmo (en su caso), tenemos que, seg´un lo que aprendimos en primaria,

a0 . a1

n m r1

r2

Nuevamente, el residuor2 es un entero tal que 0≤r2 ≤n−1. En general,

si continuamos sucesivamente este algoritmo, en cada momemento

obten-dremos siempre un residuork, el cual es un n´umero entero entre 0 yn−1. Por lo tanto, dado que el conjunto de residuos 0, 1, ...,n−1, es finito, en alg´un momento, digamos depu´es dek∗ pasos, deber´a suceder querk∗= 0, o

bien,rk∗ 6= 0 yr_k∗ =r_j para alg´unj entre 1 yk∗−1.

En el primer caso, cuando, rk∗ = 0, la expresi´on decimal del cociente

m/n es finita.

En el segundo caso, cuando rk∗ 6= 0 y r_k∗ = r_j para alg´un j entre 1 y

k∗−1, la expresi´on decimal del cociente m/n es peri´odica.

Rec´ıprocamente, cualquier n´umero con expresi´on decimal finita o peri´odica, es un n´umero racional. En efecto. Sea x un n´umero con expresi´on decimal

finita, entonces

x=a0.a1. . . an,

donde a0 es un entero y cada ai es un n´umero entre 0 y 9, i = 1, ..., n. Entonces

10nx=a0a1. . . an,

de donde

x= a0a1. . . an 10n .

Por ejemplo, el n´umero 21.34509, es igual a la fracci´on

2134509 100000 .

Por otra parte, sixes un n´umero con expresi´on decimal peri´odica, digamos de la forma

dondea0 es un entero, y cadaai yaj son n´umeros entre 0 y 9. En este caso, el periodo est´a dada por la serie de n´umeros d´ıgitosb1b2. . . bk. Entonces

10nx=a0a1a2· · ·an.b1b2· · ·bkb1b2· · ·bk· · · y 10n+kx=a0a1a2· · ·anb1b2· · ·bk.b1b2· · ·bkb1b2· · ·bk· · ·,

de donde

10n(10k−1)x=a0a1a2· · ·anb1b2· · ·bk−a0a1a2· · ·an,

y por tanto

x= a0a1a2· · ·anb1b2· · ·bk−a0a1a2· · ·an 10n₍₁₀k₋₁₎ .

Por ejemplo, el n´umero−11.34567567567· · · es igual a la fracci´on

−1133433 99900 .

De esta forma, hemos dado una prueba m´as o menos formal del siguiente

resultado.

Teorema 4. Un n´umero x es racional si, y s´olo si, x tiene una expresi´on decimal finita o peri´odica.

N´umeros irracionales y n´umeros reales. Los n´umeros irracionales son, obviamente, los n´umeros que no son racionales. O sea, aquellos que

no son cocientes de n´umeros enteros. O lo que es lo mismo, aquellos cuya expresi´on decimal no es finita ni peri´odica. El conjunto Rde los

n´umeros reales es la reuni´on de los n´umeros racionales e irracionales.

¿Qu´e pasa entonces con el n´umero√2? Con una calculadora de m´as de 60 cifras decimales, obtenemos que

√

2≈1.414235623730950488016887242096980785671875376948073176679· · ·

Al menos hasta aqu´ı, no se ve que esta cifra de decimales sea finita o al

Obviamente, esta tarea es in´util. Si descubrimos, despu´es de usar una calculadora m´as poderosa que esta serie de cifras no se acaba, y que no es

posible identificar una serie de d´ıgitos peri´odica, entonces necesitaremos otra calculadora m´as poderosa que la anterior, y as´ı sucesivamente.

Desafortunadamente, no hay un n´umero infinito de calculadoras, ni hay

calculadoras con la capacidad de calcular una infinidad de n´umeros deci-males. (El equipo del profesor Daisuke Takahashi, en Jap´on, lleg´o a calcular el n´umeroπ con una exactitud de hasta 2.5 billones de decimales).

Debemos entonces encontrar un argumento que nos de una respuesta. Este argumento deber´a ser de tipo deductivo.

Prueba del Teorema 1. Supongamos que√2 es racional. Entonces existen enterosm yn, conn6= 0, tales que

√

2 = m n.

Podemos escoger m y n sin factores comunes. Ahora, como m = √2n, se sigue

m2 = (√2)2n2= 2n2.

As´ı quem2 _{es par. Por tanto, m es par. As´ı, m= 2k para alg´un entero k.}

Pero entonces

4k2 =m2= 2n2,

de donde

n2= 2k2.

Por tanto n es par. As´ı que m y n tienen factor com´un 2. Pero esto contradice la elelecci´on dem yn. Luego, √2 no es racional.

En la prueba anterior hemos usado el m´etodo de demostraci´on por

con-tradicci´on, que ya usamos antes en la prueba del teorma 2. Este m´etodo es usual en todas las matem´aticas. Existe una gran variedad de ideas y

argumentos que dan origen a este tipo de pruebas. Para acabar estas notas ofrecemos un ´ultimo ejemplo.

Demostraci´on. Supongamos que √3 es racional. Sean entonces p1 y q1 un

par de enteros distintos de cero tales que √3 = p1_q1. Podemos suponer que p1 y q1 son positivos. Note que 1<

√

3 (en virtud de que 1< 3). As´ı que p1 > q1. Note ahora que

√

3 = √ 2

3−1 −1

(Ello se sigue de la igualdad (√3 + 1)(√3−1) = 2). De modo que

√

3 = _p12 q1 −1

−1 = 3q1−p1 p1−q1

.

Pero p1_q1 <3.(En virtud de que 3<32). As´ı que 3q1−p1 >0. Pero adem´as,

3 2 <

p1

q1

<2,

(En virtud de 32 _<22_{(3) y 3<2}2_{). As´ı que 3q}

1−p1 < p1 yp1−q1 < q1.

Sean p2 = 3q1 −p1 y q2 = p1−q1. Hemos probado que 0 < p2 < p1,

0< q2 < q1 y

√

3 = p2_q2. Repetimos entonces lo anterior para encontrar un

par de enterosp3 y q3 tales que 0< p3 < p2, 0< q3 < q2 y

√

3 = p3_q3. Sucesivamente, podemos encontrar colecciones de n´umeros enteros

0<· · ·< pn+1 < pn<· · ·< p1 y 0<· · ·< qn+1< qn<· · ·< q1,

tales que √3 = pn

qn. Pero esto significa en particular que entre 0 y p1 hay