Aritmética 1ro Sec - II

Tema 11

MULTIPLICACIÓN

1ro Secundaria

DEFINICIÓN:

Es una operación binaria en el cual a cada par de números naturales (a, b) le hace corresponder un sólo valor “p” del conjunto de los números naturales, el cual se le denomina producto, donde:

a

b

P

a = multiplicando b = multiplicador P = Producto a y b: factores.

Ejemplo 1: De acuerdo a la definición:

Convencionalmente lo expresarías así: 2 x 5 = 10 4 x 8 = 32 11 x 7 = 77

a x b = P Ejemplo 2: Factores : producto

Ejemplo 3: Hallar el valor del producto de 426 x 43

Se ordena así (verticalmente)

Multiplicando º 426 (x) multiplicador º 43

1278 » 3x 426 1704 » 4 x 426

18318 » Producto

Donde:

426 x 3 = 1278 » Primer Producto Parcial 426 x 4 = 1704 » Segundo Producto Parcial.

En general si se tiene el producto:

multiplicando º multiplicador º

» p x 1/ Producto Parcial

» m x 2/ Producto Parcial

» n x 3/ Producto Parcial

» Producto

PROPIEDADES:

Conmutativa a x b x c = c x b x a

Existencia del elementos neutro multiplicativo a x X = a º X = 1

Asociativa

a x b x c = (a x b) x c a x b x c = a x (b x c)

Existencia del elemento inverso multiplicativo: a x X = 1 º X = a-1

Distributiva

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

Monotonía

Si a > b a = b c > d c > d a x c > b x d a x c > b x d

LEY DE LA CLAUSERA EN LOS ù

Si a 0ù y b 0ù º( a x b) 0ù

Observaciones:

01. La multiplicación de números impares da como resultado un número impar. Sea I: # impar Luego I x I x I x ... x I = I

02. La multiplicación de números pares da como resultado un número par. Sea P: # par Luego P x P x P x ... x P = P

Prof: José Enrique Malpartida R.

04. Si un número termina en 5 se multiplica por un número impar termina en 5; pero si dicho número se multiplica por un número par termina en cero. Es decir:

...5 x I = ...5 ...5 x P = ...0

05. Si un número natural se multiplica por una potencia de 10, el producto será dicho número natural seguido por tantos ceros como cifras ceros indique la potencia. Es decir:

Se N 0ù

N x 10 = K

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

K veces Ejemplo: 4

< 52 x 10 = 520 0004 < x 10 = 2

< 1 246 x 1 000 = 1246 000 < 43 x 10 = 4300...0020

ÆÉÉÉÈÉÉÉÉÉÇ

20 veces

06. Si se multiplica un número natural por un número formado por puros nueves; el producto que se obtiene es la diferencia entre el número natural seguido de tantos “ceros” como indique la cantidad de nueves y dicho número. Es decir:

N x 999 ... 999 = - N ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÈÉÉÉÉÇ

K nueves K ceros Ejemplo: 5

Efectuar 538 x 9999 Resolución:

De la observación:

538 x 9 999 = 5 380 000 - 538 = 5 379 462 Ejemplo: 6

Efectuar 1 436 x 999 999 Resolución:

De la observación:

1 436 x 999 999 = 1 436 000 000 - 1 436 = 1435 998 564 Ejemplo 7:

Hallar: 865 x 999

Resolución: 865 000 865 864 135

07. Si a un número natural se le agrega “k” ceros a su derecha este queda aumentado en 999 .... 999 veces dicho número. Es decir. ÆÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÇ

K cifras

INICIO COLOCAMOS CEROS A LA DERECHA AUMENTA EN

N _{K = 1} 9N

N K = 2 99N

N _{K = 3} 999N

ACTIVIDAD

01. Complete el siguiente cuadro indicando que propiedad se está aplicando:

Operación indicada Propiedad

64 x 691 = 691 x 64 9 x (5 + 7) = 9 x 5 + 9 x 7 19 x 1 = 19

12 x 9 x 15 = (12 x 9) x 15 4 x ( 11 - 3) = 4 x 11 - 4 x 3

02. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. El elemento Neutro multiplicativo es el 0 ( ) II. El elemento inverso multiplicativo de 2 es 2 ( )-1

III. El producto: 26474 x 10 termina en 4 ceros. 4 ( ) IV. El producto: 12 x 12 x 12 x 12 termina en 6. ( )

A) FVVV B) VVVV C) FVFV D) FVVF E) VVFF

03. En que cifra termina el siguiente producto. P = 4 568 x 3 742 x 1 296 x 4 535

A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 0 04. En que cifra termina el producto “P”

P = 1 101 x 103 x 105 x 107 x 109 x 111 x 113 A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 05. En que cifra termina el producto “P”

P = (3 + 1) (3 + 1) (3 + 1) (3 + 1) (3 + 1) ...(3 + 1)2 3 4 5 20

A) 2 B) 5 C) 0 D) 6 E) 1 06. Si:

Î

±

~ ~ 5

Hallar

Î

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 07. Reconstruir:

* * (x) 9 * 4 3

Indicar la suma de las cifras que falta (cada asterisco representa una cifra no necesariamente iguales) A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 08. Al multiplicar:

9 876 x 999 999 se obtiene un producto cuya suma de cifras es:

A) 27 B) 36 C) 45 D) 54 E) 63 09. Si uno de los factores de una multiplicación se triplica

y el otro se duplica. ¿Cómo queda afectado el

B) Queda multiplicado por 5 C) Aumenta 6 veces D) Aumenta 5 veces E) Queda multiplicado por 23

10. El producto de 2 números es 208. Si al multiplicando se le aumenta 2 unidades, el producto aumenta en 32. Hallar el multiplicador:

A) 15 B) 16 C) 18 D) 8 E) 12 11. El producto de 2 números es 1 548 si al multiplicador

se le disminuye 5 unidades el producto disminuye 180. Hallar el multiplicador.

A) 36 B) 42 C) 38 D) 43 E) 47 12. Al multiplicar 2 número se obtiene 644, si a uno de los

factores se le aumenta 6 unidades este producto aumenta en 42. Indicar el valor de este factor. A) 7 B) 9 C) 21 D) 92 E) 101 13. Al multiplicar 2 números se obtiene 240 si uno de ellos

disminuye en 3 unidades, su producto disminuye en 48. Hallar la suma de dichos números.

A) 31 B) 30 C) 29 D) 28 E) 27 14. Al agregar un cero a la derecha de un número este

que da aumentado en 756. Hallar dicho número. A) 72 B) 74 C) 84 D) 12 E) 46 15. Al agregar tres ceros a la derecha de un número, este

queda aumentado en 15 948. Hallar dicho número. A) 24 B) 26 C) 22 D) 16 E) 14 16. Hallar a + b + c, luego de reconstruir:

x 7 * 4 3 8

A) 12 B) 13 C) 14 D) 17 E) 16 17. La cifra de las centenas del resultado es:

2 * * (x) 2 7 * * * * * * * * * 1 8

A) 5 B) 7 C) 3 D) 4 E) 9 18. Calcular: a + b + c si:

X 423 = ....064

A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 17 19. En una multiplicación si al multiplicador se le aumenta

Prof: José Enrique Malpartida R.

20. Al multiplicar un número de 3 cifras por 325 se obtuvo como suma de sus productos parciales 1 800. Hallar el numero.

A) 180 B) 900 C) 360 D) 540 E) 720

PARA TU CUADERNO

0 1. E n qu e c ifr a te rm in a el pr od uc t o. P = 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 1 00 1

A) 0 B) 1 C ) 7 D ) 5 E) 0 02.

~ 4 ± 3 (x)

ª

6 ~ ± ~ 7 D a r c o m o r es p u es t a ~ + ± +

ª

A ) 2 0 B ) 2 1 C ) 22 D ) 23 E ) 2 4 0 3. H a lla r l a s u m a d e l a s c i fr as d el re s u lta do d e

m ultiplicar: 9 80 7 64 x 99 9 99

A ) 3 6 B ) 5 4 C ) 45 D ) 29 E ) 6 3 0 4. ¿ C u á l e s e l n úm e ro q ue a l a um e nta rle u n c e ro a

la derec ha es te aum e nta en 333 unidades ? D ar c om o res pues ta la s um a de s us cifras : A ) 1 2 B ) 1 5 C ) 16 D ) 10 E ) 1 1 05. E l p r o d uc to d e d o s n ú m e r o s e s 3 0 4 s i e l

m u ltip lic a d or a um e n t a e n 15 u nid ad es e l p ro du c to a um e nta e n 28 5. H a lla r el m u ltip lic a d or .

A ) 1 9 B ) 1 6 C ) 18 D ) 17 E ) 1 5

0 6. A l m u ltip lic a r d os n ú m e r o s s e o btie ne “ P ”, s i al m u l tiplic ado le aum e nta 7 unidades el produc t o aum enta en 91. Hallar el m ultiplicador.

A) 17 B) 31 C ) 13 D ) 11 E) 9 07 . Si: x

7 * 1 9 2 H allar “a + b + c ”

A ) 1 1 B ) 1 2 C ) 13 D ) 14 E ) 1 5 08 . H allar “a” s i:

3 75 x = 1 5 37 5

A) 4 B) 2 C ) 5 D ) 3 E) 6 0 9. U n n ú m e r o d e 3 c ifr as q ue m u ltip lic a d o po r 8 da

u n produc to que term ina en 007. Es t á c o m p re nd id o en tr e.

A ) 4 00 y 5 00 B ) 6 50 y 7 00 C ) 10 0 y 15 0 D ) 40 0 y 45 0 E ) 2 00 y 2 50

10. A l m u lt ip lic a r u n núm ero por 62 s e c om ete e l e rr or d e c o lo c a r lo s pr od uc t os p ar c ia le s un o de ba jo de l otro s in dejar un lugar v a c í o a la d er ec h a ob te nie nd os e c om o r es u lta do 1 0 15 . C a lc u la r el pr od uc t o c o rr ec t o.

Tema 12

DIVISIÓN ENTERA

DEFINICIÓN: Dados 2 números “D” (dividendo) y “d” (divisor), se llama cociente; y se denota de las siguientes formas:

D : d D

d D/d d

D = d x q

CLASIFICACIÓN:

Ahora bien como la “división” no cumple la ley de la clausura (en los enteros), es decir si el dividendo “D” es entero y el divisor “d” es entero no necesariamente “q” es entero, por tal motivo clasificaremos a la división como exacta e inexacta.

Exacta: Es cuando el cociente es un número entero. = q º D = d x q

q 0 Z

Ejemplo 40 |8 º 40 = 8x5 5

5 0 Z

Inexacta: Ocurre cuando dicho cociente no es entero la división inexacta a su vez puede ser:

Por defecto: D|d º D = d x q + r r q

Siendo 0 < r < |d| q: cociente por defecto r: residuo por defecto: Ejemplo:

37 |7 º 37 = 7 x 5 + 2 2 5

Por exceso:

D |d º D = d(q+1) - r’ r’ q+1

Siendo: 0 < r’ < |d| q + 1: cociente por exceso r’: residuo por exceso Ejemplo:

37 |7 º 37 = 7 x 6 - 5 5 6

PROPIEDAD DE LA DIVISIÓN INEXACTA.

El residuo ya sea por defecto o exceso siempre es un número entero positivo mayor que cero.

r 0 Z+

r’ 0 Z+

El residuo ya sea por defecto o exceso siempre es mayor que cero pero menor que el divisor (siendo d 0 Z ) +

0 < r < d 0 < r’ < d El residuo mínimo es la unidad y el residuo

máximo es el valor del divisor (siendo d 0

z ) menos uno+

mínimo

r = 1

máximo

r = d-1 La suma del residuo por defecto y por

exceso es igual al divisor (d 0 Z )+ r + r’ = d

Si al dividendo y al divisor se le multiplica por un número entero positivo k y se vuelve a dividir entonces el cociente no se altera, pero el nuevo residuo es igual al residuo inicial multiplicado por dicho factor “k”. Esto se cumple en la división por defecto o exceso, además el divisor sea: Z - {0}

División inicial D |d

r q Luego: Dk y dk

Dk |dk rk q Siendo r 0 Z+ Obs:

1. En los problemas de división inexacta en el cual no especifican si es por defecto o exceso debemos suponer que es por defecto (por convención).

2. En form a general d0 Z - {0} no se cumple necesariamente que el residuo “r” < d sino más bien:

-. Así tendríamos que

0 < r < |d| r + r’ = |d| r máximo = |d| -1

En este caso tampoco se verifica que necesariamente. Cociente por exceso = q +1 3. En los problemas de aplicación asumiremos que estamos

en el caso en la cual el divisor es un entero positivo, pero en los problemas teóricos debemos tener cuidado con el campo numérico mencionado.

ACTIVIDAD

01. Utilizando las propiedades de la división inexacta, completar el cuadro:

Dividendo D

divisor d

cociente por defecto q

cociente por exceso q + 1

residuo por defecto r

residuo por exceso r’

15 8 4

10 5 3

20 8 13

12 6 7

9 8 3

20 3 2

421 40

máximo

16 r = 8

máximo

21 r = 4

91 13 7

02. En una división entera inexacta el dividendo es 1361 y el divisor es 31. Hallar la suma de las cifras del

Prof: José Enrique Malpartida R.

03. En la división entera inexacta, se cumple que: - El divisor es 20

- El cociente es 10 - El residuo es máximo. Hallar el dividendo.

A) 209 B) 211 C) 213 D) 219 E) 221 04. (UNI-70) La diferencia de dos números es 64 y la

división del mayor entre el menor da como cociente 3 y residuo 18 ¿Cuál es el mayor?

A) 87 B) 32 C) 79 D) 49 E) 85 05. (UNI-73) La suma de dos números es 574, el cociente

de su división e 23 y el residuo es el más grande posible. Hallar el menor de dichos números. A) 549 B) 553 C) 561 D) 536 E) 551 06. La suma de dos números A y B es 269, el cociente de

su división es 13 y el residuo de su división es máximo. Hallar el mayor de dichos números. A) 260 B) 251 C) 246 D) 252 E) 258 07. En una división por defecto y exceso se cumple que el

residuo por defecto y exceso son 4 y 8 respectivamente el cociente por exceso es 10. Hallar la suma de las cifras del dividendo.

A) 3 B) 9 C) 7 D) 11 E) 15 08. En una división inexacta la diferencia de los residuos

es 36, si el residuo por defecto es el triple del residuo por exceso, el divisor es el doble del cociente. Hallar la suma de las cifras del dividendo.

A) 36 B) 24 C) 18 D) 27 E) 9 09. Al dividir “A” entre “B” por defecto y por exceso se

obtiene como residuo 7 y 18 respectivamente. Hallar A si los cocientes obtenidos suman 35.

A) 423 B) 425 C) 432 D) 435 E) 442

10. Al dividir un número N entre 25 se obtiene un residuo que es igual al cuádruple del cociente. Hallar el mayor valor que toma “N”.

A) 58 B) 87 C) 116 D) 145 E) 174 11. ¿Cuántos números cumplen con la condición que al

ser divididos entre 50 al residuo que se obtiene es el cuadrado del cociente?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 12. En una división el residuo, es máximo y el cociente es

el triple del divisor. Calcular el dividendo sabiendo que es dos cifras y el mayor posible.

A) 59 B) 69 C) 79 D) 30 E) 99 13. El valor de x + a + b es:

7x 95 72

195 192

x

A) 3 B) 2 C) 4 D) 11 E) 13 14. Reconstruir y dar como respuesta la suma de las

cifras del dividendo: 7

2 1

3

A) 14 B) 10 C) 12 D) 11 E) 13 15. Al dividir 272 entre “n” se obtiene un residuo igual a

32. Hallar cuántos valores toma “n” y dar como respuesta la suma de dichos valores.

A) 428 B) 548 C) 478 D) 348 E) 588

PARA TU CUADERNO

01. (UNI-75) La suma de dos números es 74 y su cociente 9, dando de residuo 4 ¿Cuál es el número menor? A) 8 B) 9 C) 5 D) 7 E) 6 02. (UNI-70) El dividendo de una cierta división es 1 031.

Si el cociente y el residuo son iguales, y el dividendo es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor? A) 71 B) 56 C) 49 D) 41 E) 46 03. (UNI-70) La suma de tres números es 24 el cociente

de dos de ellos es 3 y la suma de éstos dividido entre el tercero es igual a 5: el tercer número es:

A) 7 B) 5 C) 3 D) 1 E) 4

04. (U N I-71) L a s u m a d e dos núm e ros es 611, s u c o c i e n t e e s 3 2 y el re s id uo d e s u d iv is ió n es e l m ás grande po sible. ¿ C uál es la diferencia entre es tos dos núm e ros ?

A ) 5 74 B ) 5 73 C ) 57 5 D ) 57 2 E ) 5 71 05 . R ec on s tru ir

8 * | * * * 1 * 3 * 8

D ar com o respues ta el coc iente

Tema 13

DIVISIBILIDAD I

DIVISIBILIDAD:

Un número entero es divisible entre otro entero positivo cuando al dividir el primero entre el segundo el residuo es igual a cero. Ejemplo:

72 es divisible entre 8

- 42 es divisible entre 7

0 es divisible entre 13

MULTIPLICIDAD

Un número entero es múltiplo de otro entero positivo cuando es el resultado de multiplicar este entero por otro entero cualquiera.

45 es múltiplo de 9

- 36 es múltiplo de 12

0 es múltiplo de 7

NOTA:

En la Aritmética elemental se cumple: A es divisible entre B / A es múltiplo de B

NOTACIÓN:

Si A es múltiplo de B B = módulo

A = A = A = mB

º A = Bk (K 0 Z)

Ejercicios:

18 = ________________ -18 = ___________________ 0 = ___________________ 30 = ________________ -35 = ___________________ 0 = ___________________

Consideraciones:

1. El cero es múltiplo o divisible entre todos los números enteros positivos. 2. Todo número entero positivo es múltiplo o divisible por si mismo y la unidad.

A = A =

Si A no es múltiplo de B

A

A |B º A = Bq + r º A = + r r q

A |B º A = B(q + 1) - r’ º A = - r r’ q + 1

Donde se cumple r + r’ = B

Ejemplos Por defecto Por exceso

72 no es múltiplo de 7 91 no es múltiplo de 11

Ejercicios:

A) Completar:

Prof: José Enrique Malpartida R.

b) Los múltiplos de 7 son:

{...; -21; -14; -7; 0; 7; 14; 21 ; ....} En general sería 7k (k 0 Z)

c) Los múltiplos de 13 son:

{...; -39; -26; -13; 0; 13; 26; 39; ...}

ACTIVIDAD

01. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

A) -36 = B) 0 = C) 26 = + 6 D) 18 = - 3 E) 12 =

02. Indicar el valor ... de las siguientes proposiciones: I. El cero es divisible entre todos los números. II. Los múltiplos de un número son incalculables. III. Todos los números son divisibles entre cero. IV. La unidad es divisor de todos los números. A) FVVV B) FVFV C) VVFV D) VVVV E) N.A.

03. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada proposición: I. Todo número entero positivo es divisible por si

mismo.

II. El “cero” es divisible por todo número entero. III. La suma de 3 números enteros positivos

siempre divisible entre 6. IV. La expresión:

1 + 2 + 3 + .... + 10. es múltiplo de 11

A) VFFV B) VVFV C) VVVV D) VVVF E) VVFF

04. Dadas la proposiciones:

I. El conjunto de los divisores de un número es infinito.

II. Todo número natural es múltiplo de si mismo. III. El residuo de dividir.

E = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 entre 7 es cero. ¿Cuáles son verdaderas?

A) Solo II B) Solo III C) II y I D) II y III E) Todas

05. Hallar el número de elementos de cada conjunto: A = {x 0ù / 5 < x < 30; x = }

B = {x 0ù / 15 # x < 75; x = } C = {x 0ù / - 20 < x < 20; x = }

A) 4; 14 y 8 B) 5; 12 y 5 C) 4; 12 y 5 D) 6; 12 y 4 E) 5; -12 y 5

06. En la secuencia

{15; 16; 17; 18; ...; 2 500} ¿Cuántos son múltiplos de 11?

A) 223 B) 224 C) 225 D) 226 E) 227

07. ¿Cuántos números comprendidos entre 131 y 682 son múltiplos de 13?

A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45 08. ¿Cuántos números de 2 cifras son ?

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19 09. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles entre 19?

A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 48 10. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 6 y

8 simultáneamente?

A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 11. ¿Cuántos números comprendidos entre 200 y 800 on

múltiplos de 4 y 5 simultáneamente?

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 E) 31 12. En la serie consecutiva:

{1; 2; 3; 4; ...; 900} Calcular:

¿Cuántos son m9? ¿Cuántos son m6? ¿Cuántos son m9 y m6? ¿ Cuántos son m6 pero no

m9?

A) 150; 100; 50 y 100 B) 100; 150; 100 y 50 C) 100; 150; 50 y 100 C) 150; 150; 50 y 100 E) 100; 150; 50 y 50

13. ¿Cuántos múltiplos de 17 hay en la secuencia? 1; 2; 3; 4; ... 400?

A) 19 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 14. Si a; b y c son dígitos además:

3a = + 1 4b = + 1 2c = + 3

Hallar: a - b - c (máximo)

A) 120 B) 180 C) 270 D) 210 E) 150 15. Hallar el residuo de dividir “E” entre 9.

E = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 256

PARA TU CUADERNO

0 1. D e l 1 al 20 0 ¿ C u án to s s on m ú ltip lo s de 1 1? A ) 1 9 B ) 2 0 C ) 13 D ) 21 E ) 2 2 0 2. E n la s ig uie n t e s u c e s ió n d e n úm e ro s ¿C u á nto s

s o n m ú ltip lo s de 6 ? 2 ; 4; 6; 8; 10 ; ...; 64

A ) 8 B ) 9 C ) 10 D ) 11 E ) 1 2

03. D ividir:

A ) R e p re s e nta r 5 5 c o m o ... B ) R epres entar 124 c om o

... C ) R e pr es e n ta r 87 c o m o

...

D ) R e pr es e n ta r 16 4 c o m o ... E ) R e p re s e nta r 81 7 c o m o

...

0 4. E n tr e 12 0 y 30 0 ha y “x” m ú ltip lo s de 7 . H alla r “x”

A ) 2 5 B ) 2 6 C ) 27 D ) 28 E ) 2 9

0 5. ¿ C u á nto s n úm e ro s d e 3 c ifr as c o n m ú ltip lo s de 11 pero no s on pares ?

Prof: José Enrique Malpartida R.

Tema 14

DIVISIBILIDAD II

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES:

I. Operaciones aritméticas respecto a múltiplos de un mismo módulo.

Adición : + =

14 + 21 = 35 + =

Sustracción - =

28 - 16 = 12 + =

Multiplicación . =

9 x 6 = 54 + =

Potenciación: k = (K 0 Z )+

5 = 6254

=

Además: k. = (K 0 Z)

12 x 5 = 60 12 x =

OBS.

( + a) ( + b) ( + c) = + (a) (b) (c)

( + 4) ( + 3) = + 12 = + ( + 3) ( - 15) = - 15 = -

Ejercicios:

( + 6) ( - 4) ( - 1) = _____________________

( - 4) ( - 2) = _____________________

( - 1) ( - 2) ( - 3) = _____________________

( + 3) ( + 5) ( - 2) = _____________________

II. Si A es múltiplo de B, entonces A será múltiplo de todos los divisores de B. Ejemplo:

Si: N = º N = N = N = N = N = N = Si: N = º N = N = N = N = N = N = Si: N = º N = ___ N = ___ N = ___ N = ___ N = ___ N = ___

III. Si un número “N” al dividirlo entre a, b, c y d origina un mismo módulo (r) entonces dicho número “N” será múltiplo del MCM de a, b, c y d más el residuo “r”. Es decir:

N = + r N = + r N = + r N = + r

N =

Ejemplos:

N =

N = º N = = = 60K (K 0 z )+

M = + 3 M = + 3

º M = + 3 = + 3 = 24K + 3 (K 0 z )+

N = - 3

N = - 3 º

N = - 3

IV. Si un número “A” acepta “enésima” parte entera, entonces será múltiplo de “n”. E decir ... Sea A 0 Z luego si + . A = # Entero º A =

V. Principio de Arquímedes: Si un cierto módulo divide al producto de 2 números enteros no nulos y no tienen factores comunes con uno de ellos (aparte de la unidad) entonces divide al otro número. Ejemplos:

Siendo 7N = Como 7

Siendo 11 = Como 11

Siendo 15M = (15 y 21 tienen en común el 3) 5M = Como 5

Siendo 20P = (20 y 45 tiene en común 5) 4P = Como 4

Siendo 11A = Como ... º A = ...

ACTIVIDAD

01. Completa: + - 4 =

+ x x = + 28 =

+ 44 = + 50 = + 44 = + 72 =

02. Hallar el residuo de dividir: ( + 4) ( + 5) entre 11

A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 5

03. Hallar el residuo de dividir: 91 x 92 x 93 x 94 entre nueve

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 04. Un número de 3 cifras iguales siempre será múltiplo

de:

A) 11 B) 9 C) 5 D) 37 E) 7 05. Un número de la forma: , siempre será

divisible entre:

A) 11 y 8 B) 11 y 9 C) 4 y 3 D) 8 y 9 E) 6 y 9

06. En un salón de clases, si el número de alumnos se agrupan por cuartetos, por quintetos o por sextetos, siempre dan grupos exactos. ¿Cuántos alumnos son si es un número mayor que 80 pero menor que 130? A) 120 B) 124 C) 112 D) 90 E) 110

Prof: José Enrique Malpartida R.

A) 487 B) 447 C) 242 D) 243 E) 247

08. Hallar el menor número tal que si se divide entre 7; 8 o 9 se obtiene en los 3 casos un resto igual a 5. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número.

A) 5 B) 14 C) 23 D) 25 E) 12

09. Un profesor observa la cantidad de tizas que tiene, y se da cuenta que si agrupa de 5 en 5 sobran 2 tizas, y si agrupa de 6 en 6 también sobran 2 tizas. Calcular la cantidad de tizas que hay, si se encuentra entre 50 y 80.

A) 52 B) 56 C) 62 D) 72 E) 77

10. A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre americanos y europeos. De los europeos 3/14 son ingenieros y los 7/15 son abogados, ¿Cuántos americanos asistieron a dicha convención?

A) 180 B) 190 C) 175 D) 160 E) 150

11. De total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. Si el número de damas es un número de tres cifras menor que 150. ¿Cuántos no son morenas ni tienen ojos azules?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 28 E) 35 12. En el colegio “San Ignacio” hay 690 alumnos. De los

hombres:

5/8 Postulan a Ingeniería de sistemas 3/11 Postulan a Medicina

2/5 Postulan a Derecho ¿Cuántas mujeres hay en el colegio?

A) 240 B) 260 C) 440 D) 250 E) 330 13. Si 15 x = . Hallar ¿Cuántos valores toma si

es menor de 50?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 14. Si + =

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 15. Si: = . Hallar “a”

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

PARA TU CUADERNO

01. U n núm e r o de la fo r m a s ie m p r e sera m ú ltip lo d e:

A) 6 B) 7 C ) 11 D ) 19 E) 9 02. H a l la r e l r e siduo de dividir ( + 4) ( + 2 )

e ntr e 17 .

A ) 1 B ) 4 C ) 8 D ) 9 E ) 1 0 03 . E n un “C L U B D E A D O L E S C E N T E S ” , s i a la

c a n tid ad d e p e rs o n as s e le s a g ru pa d e 5 e n 5 , de 8 e n 8 o d e 1 2 en 1 2 s ie m p r e da n gr up os e xa c to s . H a lla r (a + b) , s i el nú m e r o de adoles c entes es .

A) 8 B) 10 C ) 12 D ) 14 E) 6

0 4. A u na c o n ve nc ió n a la q ue a s is t ie ro n e ntr e 6 00 y 7 00 p er s on as , s e ob s e rv a qu e el n ú m e r o de v ar on es re pr es e n ta lo s 3/5 d el t ota l, la s p er s on as q ue u s a n a nte ojo s r ep re s e nta n 2 /7 d el to ta l y la s p er s on as q ue n o e s t á n c a s a d as r ep re s e nta n el 5/9 d el t o t a l. ¿ C u án ta s m u je re s a s is t ie ro n?

A ) 2 40 B ) 2 52 C ) 25 0 D ) 25 6 E ) 2 60

05. Si + = . H allar “x”.

Tema 15

DIVISIBILIDAD III

DIVISIBILIDAD

POR: CRITERIO

2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra_par. Si: º = # par

4

un número es divisible por cuatro cuando el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de cuatro.

Adicionalmente se cumple que la última cifra más el doble de la penúltima es múltiplo de 4.

si º

= o 2d + e =

8

Un número es divisible por 8 cuando el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8

Adicionalmente se cumple que la última cifra más el doble de la penúltima más el cuádruple de la antepenúltima es múltiplo de 8.

Si º

= o

4c + + 2d + e =

5 Un número es divisible por 5 cuando termina en 5 o 0. Si: º = 0 ó 5

25

Un número es divisible por 25 cuando el número

formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25. Si º = =00, 25, 50, 75

125

Un número es divisible por 125 cuando el número

formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 125. Si º =

=000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875 3 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus_{cifras es múltiplo de 3.} Si: º a + b + c + d =

9 Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus_{cifras es múltiplo de 9.} Si: º a + b + c + d =

11

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia que hay entre la suma de las cifras de lugar impar y la suma de las cifras de lugar par es múltiplo de ± 11.

Si: = entonces

(f + d + b) - (e + c + a) =

7

Un número es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras de la derecha hacia la izquierda por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; ... y luego realizar la suma debe resultar divisible entre 7.

Si: =

-2a - 3b - c + 2d + 3e + f =

Aplicaciones:

I. Calcular los residuos de dividir un número entre 2; 4; 8; 5; 25; 125; 3; 9 ó 7, sin necesidad de realizar la división, unicamente se aplica su “criterio” respectivo:

EJERCICIOS:

1. Hallar el residuo de dividir 123 456 777 entre 4

2. ¿Qué residuo se obtienen al dividir 444 444 44444 entre 25?

Prof: José Enrique Malpartida R.

II. Calcular el valor de una o más variables, cuando un cierto número es divisible entre un cierto módulo. EJERCICIOS:

1. Calcular “n” si 4. Calcular “n” si 2. Calcular “n” si 5. Calcular “n” si 3. Calcular “n” si

OBS:

N = N =

Si: N = Si: N =

N = N =

ACTIVIDAD

01. Calcular el resto de dividir: 74322222...22 entre 9

ÆÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÇ

100 veces

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 02. Calcular el resto de dividir:

93333...33 ÆÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÇ

101 veces

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 03. Si a la derecha del número 74 se colocan 120 cifras

“dos” se obtienen un numeral que al dividirlo entre 8 nos da un residuo igual a:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 0 E) 5 04. Si:

Hallar a + b

A) 6 B) 8 C)m 9 D) 10 E) 11 05. Determinar el valor de “a” por que el siguiente numeral

sea múltiplo de 9: N =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 06. Si es divisible por 3, hallar la suma de todos los

valores de “x”.

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 9

07. Si es divisible por 5 y es divisible por 9. Hallar “y - x”

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 08. Si el número es divisible entre 4 y el número

es divisible por 3, hallar el valor de x . 2

A) 1 B) 9 C) 25 D) 49 E) 81

09. Si :

. Hallar a . b

A) 15 B) 20 C) 10 D) 12 E) 7 10. Si:

Hallar “a . b” siendo estos dígitos diferentes de cero. A) 14 B) 12 C) 15 D) 35 E) 45 11. Si:

Hallar “x + y”

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 12. Si:

Hallar “a + b” si a > 4.

IV. 100008 D) 3 E) 4

14. Si el número es divisible entre 5 y 11 simultáneamente. Hallar “a y b”

A) a = 3; b = 7 B) a = 4; b = 0 C) a = 3; b = 0 D) a = 4; b = 5 E) a = 5; b = 1

15. Si: = . Hallar el mayor valor que toma “x”. A) 1 B) 6 C) 4 D) 7 E) 8

PARA TU CUADERNO

01. Si el número es divisible por 5 y el número es divisible entre 11; hallar “a + m ”.

A ) 8 B ) 9 C ) 10 D ) 11 E ) 1 2 02. Si: es m últiplo de 7. H allar “a”.

A) 8 B) 1 D ) 4 D ) 5 E) N .A 03. ¿ C uál es el res to de dividir “A x B ” entre 5, s i

A = 4 84 8...4 8 B = 84 8 48 4....8 4? Æ ÉÉÉÉÉÉÉÈ ÉÉÉÉÉÉÉÇ Æ ÉÉÉÉÉÉÉÈ ÉÉÉÉÉÉÉÇ

2 00 v ec e s 3 00 c ifr as A) 1 B) 2 C ) 3 D ) 4 E) 5

04. H allar “a + b” si a < b y adem ás: . A ) 6 B ) 7 C ) 8 D ) 9 E ) 1 2 05 . Si:

H allar “y”

A) 0 B) 3 C ) 4 D ) 5 E) 7 13. ¿Cuántos de los siguientes números son múltiplos de

6?

Prof: José Enrique Malpartida R.

Tema 16

NÚMEROS PRIMOS I

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS:

(De acuerdo a la cantidad de divisores que posee)

NÚMERO DIVISORES # NÚMERO DE DIVISORES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

!

1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11

1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13

1, 2, 7, 14 1, 3, 5, 15 1, 2, 4, 8, 16

!

1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4 5

!

Obs:

- El 1 tiene un sólo divisor

- 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... tiene 2 divisores. - 4, 6, 8, 9,10 ,12, ... tiene más de 2 divisores Luego los Z se clasifican en 2 conjuntos de números:+

a. Números Simples:

a.1 La Unidad: Aquel número entero

positivo que tiene tan solo un divisor.

a.2 Los números primos absolutos: Son

todos aquellos números enteros positivos que tienen únicamente dos divisores.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

b. Números Compuestos:

Son todos aquellos números enteros positivos que tienen más de 2 divisores.

{4, 6, 8, 9,10, 12, 14, ...}

Nota: Todos los compuestos tienen por lo

menos un divisor primo.

Obs:

1. El conjunto de los números primos es infinito y todavía no se encuentra formulada para determinar todos los números primos.

2. El único número primo par es el 2.

3. Los únicos consecutivos que son primos es el 2 y el 3. 4. Todo número primo mayor que 2 es de la forma:

+ 1 ó - 1 Ejemplos:

Número primo Forma

5. Todo número primo mayor que 3 es de la forma: + 1 ó - 1 Ejemplos:

Número primo Forma

5 - 1 7 + 1 11 - 1 13 + 1

Método para calcular si un número es primo:

1. Se calcula la raíz cuadrada del número, se toma la parte entera de dicha raíz.

2. Se indican todos los primos menores o iguales a la raíz cuadrara aproximada.

3. Se determina si el número es o no divisible entre cada uno de los números primos indicados en el paso anterior.

4. Si dicho número no es divisible entre los número primos indicados entonces dicho número es primo en caso de ser divisible al menos por uno de los números primos indicados, entonces será # compuesto.

EJEMPLOS

¿163 es número primo? Paso 1:

Paso 2: {2, 3, 5, 7, 11} Paso 3:

¿221 es # primo? Paso 1:

221 221 221

163 211

22 1 221

221 = 13 x 17 163 es # primo

221 es # compuesto

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SÍ (P.E.S.I.)

Dos o más números son primos relativos (o primos entre sí), si tienen como único divisor común a la unidad.

NÚMEROS DIVISORES DE A

DIVISORES DE B CONCLUSIÓN

8 y 5 Divisores de 8: 1; 2; 4 y 8

Divisores de 15; 1; 3; 5 y 15 8 y 15 son “P.E.S.I”

12; 16 y 35

Divisores de 12: ... Divisores de 16: ... Divisores de 35: ...

12; 16 y 35 ...

49 y 28 Divisores de 49: ...

Divisores de 28: ... 49 y 28 ...

PROPIEDADES:

1. Dos o más números consecutivos siempre son “PESI”: Ejemplo: 21; 22; 23 son “PESI”.

2. Dos o más impares consecutivos siempre son “PESI” Ejemplo: 43; 45; 47 son “PESI”

3. Si se tiene un conjunto de números en la cual se tiene un número primo, entonces todo el conjunto de números es primo. Ejemplo: 31; 24 y 36 son “PESI”

Prof: José Enrique Malpartida R.

ACTIVIDAD

01. ¿Cuántos números primos están comprendidos entre 30 y 50?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 02. Diga ud. ¿Cuál de los siguientes números no es

primo?

(5) (5) (2) (5) (5)

A) 12 B) 21 C) 32 D) 43 E) 52 03. ¿Cuántos números compuestos hay entre 23

y 40?

A) 12 B) 14 C) 11 D) 13 E) 15 04. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas

(V) o falsas (F).

I. Los números primos son infinitos. II. El único número par primo es el 2 III. Todos los números impares son primos IV. Los números primos tienen más de 2 divisores A) VFVF B) VVFF C) FFVV D) VFFV E) FVVF 05. Si: a, b y c son números primos tales que a > b > c:

Además:

a + b + c = 30 Hallar el mayor valor de a - b

A) 2 B) 13 C) 18 D) 16 E) 6 06. ¿Cuántos números primos se pueden escribir en el

sistema ternario?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 07. ¿Cuántos números de 2 cifras que terminan en 1 son

primos absolutos?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 08. ¿Cuántos de los siguientes números son primos:

101 73 91 49 43 69

A) 3 B) 4 C) 5 F) 6 E) 2 09. Indique la relación correcta:

I. 175 II. 139 III. 121 a. Es número primo.

b. Número que tiene sólo 3 divisores c. La diferencia de sus factores primos es 2 A) IIIc, IIb, Ia B) Ia, IIb, IIIc C) IIIa, Ib, IIc D) IIa, IIIb, Ic E) IIIa, IIb, Ic

10. ¿Cuántas parejas de números son “PESI” 12 y 21 36 y 49 91 y 77 13 y 40 21 y 22 91 y 93

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. ¿Cuántos números menores que 20 son primos

relativos con 20?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 12. Si a y b son “primos entre si” ¿Cuántas parejas de

números (a, b) cumplen: a + b = 28

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 5 13. Indicar la verdad o falsedad de las siguientes

proposiciones:

I. (2N - 1) y (2N + 1) siempre serán primos entre sí N 0 Z .+

II. Si un número es + 1 entonces es número primo.

III. El número 93 es número primo.

IV. La suma de 2 números primos siempre es par. A) FVFV B) VVVV C) VVVF D) VFFF E) FFFF 14. Hallar el residuo de dividir el producto de los primeros

20 números primos entre 30 y ...

A) cero B) 2 C) 4 D) 6 E) 1 15. ¿Cuántas proposiciones son correctas?

- Si un número primo tiene una cantidad impar de divisores entonces es cuadrado perfecto. - El cero es un número compuesto. - 101 es un número primo. - 31 y 13 son “PESI”

- El 1 no es número primo ni compuesto. - 5 es número primo simple.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

PARA TU CUADERNO

0 1. ( U N I -8 2I) D i ga U d . ¿ C u án t o s d e lo s s ig uie nte s n úm e ro s s on p rim o s ab s o lu to s en b as e 7?

( 7) ( 7) ( 7) ( 7)

1 3 ; 3 1 ; 6 1 ; 2 5

A) 0 B) 1 C ) 2 D ) 3 E) 4 0 2. ¿ C u á nto s nú m e r os p rim o s ha y en tr e 6 y 16 ?

A) 2 B) 3 C ) 4 D ) 5 E) 6 03. S I e l n u m e ral es u n n ú m e r o c o m p u e s t o

¿ C uánto s va lo res pu ede tom ar x”

A) 5 B) 6 C ) 7 D ) 4 E) 8

04. Escribe dentro del paréntesis una “P” si el número es primo o una “C” si el número es compuesto, en los siguientes números.

A) 151 ( ) B) 183 ( ) C) 119 ( ) D) 199 ( ) E) 184 ( ) F) 521 ( ) 05. ¿Cuántos números de 2 cifras que terminan en tres

son primos?

Tema 17

NÚMEROS PRIMOS II

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

“Todo entero positivo diferente de 1 se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes naturales. Esta descomposición es única y se llama “descomposición canónica”, es decir, sea N 0 ù+:

donde: a, b, c, d, ... son números primos p, q, r, s, .... 0ù+.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS

Ejemplo 1: Ejemplo 2: 360

180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

1 155

Luego: 360 = 23 x 32 x 5 Luego: 1 155 =

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

Dado un número N 0 ù-, empleando la descomposición canónica podemos escribir:

N = a b c d ...p q r s

A. El número de divisores del número N está dado por:

N

D = (p + 1) (q + 1) (s + 1) ....

Número (N) Desc. de N Número de divisores

280 2 x 5 x 73 D280 = (3+1) (1+1) (1+1) = 16 60

675 275 480

B. La suma de los divisores del número N está dado por:

D

S =

Número

N Desc. de N SD

80 2 x 54

D

S = = 186

270

100

C) Suma de las inversas de los divisores:

D) Producto de los divisores de N

OBSERVACIÓN IMPORTANTE

N compuestos simples

D = D N + D N Ejercicios:

¿Cuántos divisores compuestos tiene 200?

200

200 = 2 x 53 2 º D = (3 + 1) ( 2 + 1) = 12

simples

Además se tiene D = 3 º {1; 2; 5}

compuestos

Finalmente: D = 12 - 3 = 9

ACTIVIDAD

01. Al descomponer canónicamente 1 800 se sostiene 2 3 5 . Hallar x + y + zx y z

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 02. ¿Cuántos divisores tiene 1 800?

A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 48 03. ¿Cuántos divisores simples tiene 840?

A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 7 04. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 360?

A) 24 B) 21 C) 20 D) 22 E) 18 05. La suma de todos los divisores de 360 es igual a:

A) 1 080 B) 1 170 C) 910 D) 1 008 E) 1 240 06. Determinar “n” si el número:

6 x 4 .... tiene 20 divisores:n

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 07. Determinar “x” si el número:

10 x 9 . tiene 44 divisores:x

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

08. Hallar el valor de “a” si el número: 16 x 15 tiene 245 divisores:a

Prof: José Enrique Malpartida R.

09. Dado N = a x (a + 1)b a+1 (a + 4)c

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

Descomposición canónica el cual tiene 140 divisores. Hallar: a + b + c

A) 10 B) 12 C) 14 D) 13 E) 9 10. Calcular el valor “n”. Si el número: 200...0,

tiene: ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

“n” ceros 42 divisores

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3 11. Hallar cuántos ceros se debe colocar a la derecha del

9 para que el número tenga 432 divisores. A) 6 B) 8 C) 11 D) 10 E) 15 12. Para el número:

N = 2 x 7 x 3 .4 2 3

Calcular:

* ¿Cuántos divisor son ? * ¿Cuántos divisor son ? * ¿Cuántos divisor son ?

A) 24; 30 y 24 B) 30, 36 y 24 C) 24; 48 y 24 D) 30; 48 y 24 E) N.A.

13. Para el número 44 100 calcular: * ¿Cuántos divisores son pares? * ¿Cuántos divisores son impares?

A) 54 y 27 B) 60 y 30 C) 40 y 41 D) 45 y 36 E) 63 y 18

14. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. La suma de los divisores de 40 es 90. II. La suma de las inversas de los divisores de

100 es 217.

III. El producto de los divisores de 90 es 9012

A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FVF 15. ¿Cuántos rectángulos cuyos lados medidos en cm.

son enteras y tienen un área de 2 400 cm ?.2

A) 20 B) 36 C) 24 D) 18 E) N.A.

PARA TU CUADERNO

0 1. ¿ C u á nto s d iv is o r e s m e n o s tie ne e l n úm e ro 2 40 q ue e l nú m e r o 72 0?

A ) 6 B ) 8 C ) 10 D ) 12 E ) 1 5

0 2. D e te rm in ar e l v alo r d e “ n” s a b ie nd o q ue 4 0 tie nen

65 divis ores .

A) 5 B) 6 C ) 3 D ) 2 E) 4

0 3. S i: A = 1 0 . 5 . 11 tie ne 7 0 d iv is o re s , c a lc u la r ela 2

valor de “a”.

A) 3 B) 2 C ) 4 D ) 1 E) 5

0 4. S i el nú m e r o:

7 00 0...0 00 ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

“ n” c e ro s tiene 288 divis ores .

A) 9 B) 10 C ) 4 D ) 12 E) 8 05. Indic ar c uántas propos ic iones son verdaderas :

Tema 18

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

DEFINICIÓN:

El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Notación:

El máximo común divisor de a, b, c y d se denota por MCD (a; b; c; d).

Ejemplos:

12

Divisores de 12: D = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

18

Divisores de 18: D = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Divisores comunes:

12 18

D 1 D = {1; 2; 3; 6} El mayor es 6, luego el MCD (12, 18) = 6

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

01. Por descomposición simultánea: Se escriben los

números naturales MCD se desea encontrar, uno a continuación del otro. Se dividen dichos números por el menor factor primo común a todos ellos; los cocientes que se obtienen se dividen por otro factor primo común a todos ellos y así sucesivamente hasta que los cocientes resultantes sean primos entre si. El MCD es el producto de los primos comunes.

Ejemplos:

Hallar el MCD de los números {180; 126; 90} 180 126 90

90 63 45 30 21 15 10 7 5

2 3 3

MCD

ˆ

168 308 252

ˆ

02. Por descomposición en factores primos: Para

aplicar este método los números deben estar descompuestos “CANÓNICAMENTE”; luego el MCD de dichos números está dado por el producto de sus factores primos comunes elevados a menor exponente.

Ejemplos:

Hallar el M.C.D. de A, B y C. A = 2 x 3 x 54

B = 2 x 3 x 53 2 3

C = 2 x 3 x 72 4

Luego MCD (A,B,C) = 2 x 3 = 122

Hallar el MCD de M, N y P M = 2 x 3 x 5 x 74 3 2

N = 3 x 7 x 113 2

P = 2 x 3 x 7 x 132 5 2

Luego:

M.C.D.(M, N, P) = ...

MÉTODO DEL ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES SUCESIVAS

Se emplea para el cálculo del M.C.D únicamente para 2 números A y B.

Método:

Calcular el M.C.D. de A y B siendo A mayor que B, luego se ordena así:

³ Cocientes A B

³ Residuos

Ejemplos:

Hallar el MCD de 279 y 217

279 217

Hallar MCD de 1 507 y 959

1 509 959

PROPIEDADES DEL MCD

1. El MCD de dos números primos relativos es la unidad. 4 y 15 son P.E.S., entonces MCF (4; 15) = 1

2. El MCD de dos números divisibles entre sí es el menor de ellos.

MCD (9; 18) = 9 porque 18 =

3. Todo divisor común de dos o más números es divisor de su MCD.

3 es divisor del MCD (9; 18).

4. Los cocientes obtenidos al dividir dos números entre su MCD son primos entre sí:

Sea: d. MCD (A; B) luego:

Donde “p y q” son “P.E.S.I” 5. MCD (kA; kB) = k MCM (A; B)

Ejemplo: Sean los números 52 800 y 43 200. MCD (52 800; 43 200) = 100 MCD (528; 432)

Prof: José Enrique Malpartida R.

ACTIVIDAD

01. Calcular el M.C.D. de 504 y 924.

A) 42 B) 56 C) 84 D) 72 E) 168 02. Hallar el M.C.D. de A y B

A = 2 x 5 x 74 6 B = 2 x 5 x 112 9 2

A) 5 000 B) 1 250 C) 2 500 D) 4 000 E) 1500 03. Calcular el M.C.D de 852 y 660 por el algoritmo de

Euclides. Dar como respuesta la suma de los residuos obtenidos.

A) 286 B) 143 C) 208 D) 143 E) 312 04. Al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides se

obtuvo como cocientes 3; 2; 1 y 2. Dar el menor; si el MCD de estos fue 11.

A) 120 B) 95 C) 88 D) 75 E) 65 05. Para 2 números A y B se sabe:

! Su MCD es 8.

! Los cocientes sucesivos han sido 3; 1; 1 y 7. Hallar la suma de cifras de A (A > B)

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 06. Se quiere dividir un terreno en parcelas cuadrados y lo

más grande posibles. ¿Cuál será la medida del lado de cada parcela si el terreno tiene 192 metros de largo y 144 metros de ancho:

A) 40m B) 28m C) 48m D) 36m E) 24m 07. Del problema anterior. ¿Cuántas parcelas se han

obtenido?

A) 12 B) 15 C) 16 D) 10 E) 18 08. Se tienen 3 bidones de aceite en litros:

Se deseas envasar en el menor número de recipientes todos del mismo volumen, de tal manera que no sobre aceite. ¿Cuántos recipientes serán necesarios? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

09. Se tienen 3 cajas de galletas sueltas con 288; 360 y 408 unidades; desea venderse en paquetes pequeños de igual cantidad que estén contenidas exactamente en cada una de las cajas. ¿Cuál es el menor número de paquetes que se obtienen sin desperdiciar galletas. A) 24 B) 32 C) 44 D) 47 E) 50 10. Si el M.C.D. de 8 y es N-80. Hallar la suma de

cifras de N.

A) faltan datos B) 1 C) 9 D) 13 E) 81

11. Si A = 5B. Además el MCF (A, B) = 16. Hallar la suma de cifras de “B”.

A) faltan datos B) 6 C) 7 D) 8 E) 16

12. Si el MCD (7!; 4!)) es: . Hallar “a + b” Nota: n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

A) 6 B) 8 C) 15 D) 9 E) 16 13. La suma de 2 números A y B es 30. Si el MCD de ellos

es 6. Hallar el mayor de dichos números.

A) 12 B) 18 C) 24 D) 8 E) 16 14. Siendo A > B y además A + B = 120; MCD(A, B) = 15.

Hallar el valor de A y dar como respuesta la suma de sus cifras.

A) 15 B) 13 C) 12 D) 18 E) 20 15. ¿Cuántos divisores comunes tienen 432 y 792?

A) 20 B) 8 C) 12 D) 16 E) 9

PARA TU CUADERNO

01. E l M C D de dos núm eros es 4 y lo s c o c i e n t e s s u c e s iv os o bte nid os e n la s d iv is io ne s s uc e s iv as q ue s e ha n re aliz ad o pa ra e nc o n tr ar lo s ha n s id o 4; 3; 2 y 2. H allar el m ayor de dic hos núm e ros . A ) 3 64 B ) 3 84 C ) 34 4 D ) 30 4 E ) 3 60 0 2. S e tr ata d e d ep os ita r e l a c e ite d e 3 b ar rile s qu e

tie ne n 21 0; 30 0 y 42 0 l de c a pa c id ad e n en vas es que se a n igua les entr e s í. ¿C uá l es la m enor cantidad de envases que se e m p learía p ar a qu e to do s es t én lle no s y no d es p e rd ic ia r a c e ite .

A ) 3 0 B ) 5 1 C ) 31 D ) 41 E ) 2 7 0 3. L a s u m a d e 2 n úm e ro s e s 6 0 s i e l M C D d e ello s

e s 6. H a lla r el m a y or d e lo s n úm e ro s . ( un a de la s s oluc iones )

A ) 4 2 B ) 4 9 C ) 21 D ) 18 E ) 3 5

04 . Si:

M C D (n ! ; 3 ! ) = . H a lla r “a ” s i n > 3 .

A ) 4 B ) 3 C ) 6 D ) 9 E ) 1 2 0 5. ¿ C u á nto s div is o re s c om u ne s ge ne ra n:

100! y 4/?

Tema 19

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

DEFINICIÓN:

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes positivos de dichos números.

Notación:

El mínimo común múltiplo de a, b, c y d se denota por MCM (a; b; c; d).

Ejemplos: 2

Múltiplos de 2: M = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ...}

3

Múltiplos de 3: M = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; ...} Múltiplos comunes:

2 3

M 1 M = {6; 12; 18; ...} El menor es 6, luego el MCM (2, 3) = 6

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

01. Por descomposición simultánea: Para el cálculo del M.C.M de 2 o más números por este método se sigue el mismo proceso como si se quisiera calcular el MCD, con la diferencia que se sigue dividiendo los resultados hasta que todos sean iguales a uno. El MCM es el producto de todos los factores.

Ejemplos:

Hallar el MCD de los números {180; 126; 90} 80 120 200

40 60 100 20 30 50 10 15 25 2 3 5 1 3 5 1 1 5 1 1 1

2 2 2 5 2 3 5

MCM

ˆ

12 54 90

ˆ

02. Por descomposición en factores primos: El MCM

está dado por el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes.

Ejemplos:

Hallar el M.C.D. de A, B y C. A = 2 x 3 x 52 3

B = 2 x 3 x 112

C = 2 x 3 x 52 2

Luego MCD (A,B,C) = 2 x 3 = 122

Hallar el MCD de M, N y P M = 2 x 5 x 72

N = 3 x 5 x 74

P = 2 x 3 x 7 x 132 5 2

Luego:

M.C.D.(M, N, P) = ...

PROPIEDADES DEL MCD

1. El MCD de dos números primos relativos es igual al producto de dichos números.

6 y 25 son P.E.S., entonces MCM (6; 25) = 150 2. El MCD de dos números divisibles entre sí es el mayor

de ellos.

MCD (6; 36) = 36 porque 36 = 3. MCM(kA;kB) = kMCM (A; B)

Ejemplo: Sean los números 600 y 700. MCM (600; 700) = 100 MCM (6; 7)

= 100 (42) = 4 200

4. Para 2 números positivos a y b se cumple: MCD (a;b) x MCM (a;b) = ab

Es decir:

d x m = ab Siendo:

d = MCD (a,b) m = MCM (a, b)

5. De una propiedad anterior se sabe que: n = dp b = dq

(siendo p y q “PESI)

Reemplazando en la propiedad anterior d . n = d. p . d . q

m = dpq

ACTIVIDAD

01. ¿Cuál es el menor número que contiene a 21; 35 y 56? A) 420 B) 840 C) 1 260 D) 210 E) 960 02. ¿Cuál es el valor de “n” si el M.C.M. de A y B es 432?

A = 2 x 3n ; B = 2n+1 x 33

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

03. ¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18cm2

para construir un cuadrado?

Prof: José Enrique Malpartida R.

05. Son las siguientes:

Si un albañil desea techar una vivienda que tiene forma cuadrada. ¿Cuántos ladrillos como mínimo debe utilizar?

A) 5 B) 6 C) 60 D) 4 E) 10 06. Arturo y Aristerio dan vueltas en bicicleta en una

parque: Si han partido juntos a las 7 a.m, y Arturo da una vuelta cada 5 minutos y Aristerio cada 8 minutos. ¿A qué hora se volverán a encontrar?

A) 20h 50min B) 6h 50min C) 8h 35min D) 7h 40min E) 17h 40min

07. En una cuadra de 200m se colocan postes cada 20m y tachos recolectores de basura cada 8m. ¿Cuántas veces y un tacho, si se comienza en una esquina con un poste y un tacho?

A) 7 B) 6 C) 4 D) 9 E) 8

08. Hallar “a” si: MCM ( ) = 143

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 09. Si el cociente de dos números es 6 y el MCM de

dichos números es 72. Hallar el menor de dichos números.

A) 9 B) 12 C) 36 D) 8 E) 18 10. Si: MCM (6!; 4!) = . Hallar a + b + c

A) 3 B) 4 C) 8 D) 9 E) 12 11. Para 2 números A y B se cumple:

MCM (A, B) = 6 MCM (A, B) = 36

Hallar el producto de dichos números.

A) 108 B) 216 C) 432 D) 144 E) 196 12. Para 2 números A y B se cumple:

MCD (A, B). MCM (A, B) = 1 620 A = 45

Hallar la suma de cifras de B.

A) 18 B) 12 C) 9 D) 15 E) 21 13. Para dos números A y B se cumple:

MCM (A, B) = 320 A - B = 24 Hallar “ A + B”

A) 80 B) 52 C) 104 D) 150 E) 320 14. Si el producto de 2 números enteros es 245 y su MCM

es 5 veces su MCD. Hallar la diferencias de dichos números.

A) 12 B) 16 C) 21 D) 30 E) 28 15. Indicar la verdad (V) o falsedad de las proposiciones:

I. MCM (n; n+1) = 1 II. MCM ( ) = 1 III. MCM (7p, 11p) = 77 IV. MCM (1; N) = N V. MCM ( ) = 11

A) VVFVV B) VFVVF C) VVVVV D) VFFVV E) VFFVF

P A R A T U C U A D E R N O

01. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de A y B si A = 4 . 27 . 49; B = 32 . 3 . 73 4

A) 100 B) 105 C) 108 D) 115 E) 120 02. Sean A y B números primos entre si, tal que:

MCM(A, B) =

Entonces podemos afirmar:

A) A = B B) A es par C) A + B = 10 D) A < B E) A + B = # primo

03. Siendo número natural se cumple:

MCM (2N + 1; 2N - 1) = 483 Entonces “N” es un número:

A) Par B) mayor que 20 C) menor que 10 D) cuadrado perfecto E) primo

04. Se tiene 9 000 jabones cuyas medidas son 2cm, 6cm y 5cm. Se desea empacarlos en cajas para su distribución. Determinar cuántas cajas cúbicas como mínimo se obtendrían, sabiendo que dichas cajas deben ser compactas.

A) 8 B) 11 C) 20 D) 30 E) 100 05. Adolfo tiene un gran número de ladrillos que miden

2cm x 6cm x 1cm quiere usar algunos de ellos para formar un cubo. ¿Cuál es el menor número de bloques que necesita?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 36 E) 144 04. Tres hijos que viven en diferentes ciudades van a

visitar a su madre cada 3 días, 5 días y 7 días, respectivamente. ¿Cuántos días deberán transcurrir para que los 3 hermanos se vuelvan a encontrar por tercera vez?

Tema 20

REPASO

01. En una multiplicación se observa que si al multiplicador y al multiplicador se le disminuye 6 unidades el producto aumentó en 48. Hallar la diferencia de dichos términos.

A) 14 B) 24 C) 21 D) 42 E) 36 02. Si se divide 72 entre “n” se obtiene q (q

residuo igual a 12. Hallar el menor valor posible de “n”. A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 30

03. Si: . Hallar “a.b”

A) 12 B) 14 C) 10 D) 6 E) 8 04. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 8!?

A) 96 B) 94 C) 93 D) 92 E) 91 05. Dado a descomposición canónica del número “N” el

cual tiene 100 divisores. Hallar “a + b”

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 06. Un terreno rectangular tiene dimensiones 180m y

234m, y se desea dividirlo en lotes cuadrados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada lote y cuántos lotes se obtendrán: si la longitud del lado es la mayor posible?

A) 18m y 75 lotes B) 9m y 130 lotes C) 6m y 195 lotes D) 18m y 65 lotes E) 12m y 65 lotes

07. El número de manzanas que hay en una cesta es mayor que 100 y menor que 50. Si se cuenta de diez en diez, de doce en doce y de quince en quince, siempre sobran 3. ¿Cuántas manzanas hay en la cesta?

A) 147 B) 123 C) 63 D) 133 E) 120 08. Se tienen tres grupos de 140; 168 y 224 lapiceros.

Cada grupo debe colocarse en cajas que contengan igual cantidad de lapiceros. ¿Cuántos lapiceros debe contener cada caja, si se debe ser la mayor cantidad posible? ¿Cuántas cajas serán necesarias?

A) 28 lap. y 19 cajas B) 14 lap. y 38 cajas C) 14 lap. y 19 cajas D) 21 lap. y 36 cajas E) 28 lap. y 38 cajas

09. Lucho toma la pastilla “A” cada 6 horas, la pastilla “B” cada 4 horas y la pastilla “C” cada 5 horas. Si el miércoles a las 8 am tomó las tres pastillas: ¿a que hora y que día volverá a tomar las tres pastillas juntas?

A) 8pm - jueves B) 10pm - viernes C) 8pm - viernes D) 10pm - sábado E) 8am - sábado

10. Al dividir 189 entre “n” se obtiene un residuo igual a 9 ¿Cuántos valores toma “n”?

A) 18 B) 15 C) 13 D) 11 E) 12 11. La suma de 2 números naturales es 299; si se divide

el mayor entre el menor se obtiene un residuo que es máximo y un cociente igual a 13: Hallar cuántos divisores tiene el menor de dichos números. A) 20 B) 16 C) 12 D) 8 E) 6 12. En una división entera inexacta:

- El divisor es ( + 1) - El cociente es ( + 4) - El residuo es máximo.

Hallar el menor valor que toma el dividendo. A) 32 B) 25 C) 39 D) 46 E) 53 13. ¿Cuántos pares de números A y B (A > B) cumplen

con la condición que su MCD es 9 y la suma de dichos números es 180.

A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 3 14. ¿Cuántos númerales de la sucesión:

1; 2; 3; 4; ...; 60 son y pero no son ?

A) 50 B) 60 C) 90 D) 40 E) 24 15. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes

proposiciones.

- El residuo máximo siempre es el valor del divisor menos uno.

- El número 91 es primo.

- El MCD(2x+1; 2x-1) = 1; siendo (x 0ù)

- El producto de 100 primeros naturales y consecutivos siempre es múltiplo de 12.

Prof: José Enrique Malpartida R.

PARA TU CUADERNO

01. En una conferencia asistieron 623 personalidades observandose que:

* Dos séptimos de los extranjeros no son profesionales.

* Tres octavos de los extranjeros no son casados. * Un noveno de los extranjeros son mujeres ¿Cuántos peruanos asistieron?

A) 101 B) 203 C) 124 D) 199 E) 196 02. ¿Cuántos ceros debo colocar a la derecha del número

11; para que el número casi formado tenga 72 divisores?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

03. Si el M.C.M. de (N+1) y N es 552 entonces “N” es un número:

A) primo B) par

C) que tiene 8 divisores D) cuadrado perfecto E) impar menor que 20