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(1)Introducción al control de sistemas digitales. Dr. Guillermo Valencia-Palomo [email protected] Instituto Tecnológico de Hermosillo. División de estudios de posgrado e investigación.. Agosto, 2011..

(2) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Contenido 1. Introducción Sistemas digitales Surgimiento de los sistemas digitales Sistema de control digital vs. analógico. 2. ¿Por qué usar una teoría diferente? Dependencia en el tiempo Armónicas superiores y nuevas frecuencias Aproximación al control continuo Control de establecimiento finito. 3. Desarrollo histórico Desarrollo histórico de la teoría de sistemas digitales. 4. Señales en sistemas de control digital Definiciones de tipos de señal Digitalización de una señal analógica Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 2 / 26.

(3) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Introducción a los sistemas digitales Prácticamente todos los sistemas de control que se implementan hoy en día están basados en computadoras, por lo tanto es importante estudiarlos a fondo para entender su funcionamiento. Los sistemas basados en computadora pueden ser vistos como aproximaciones al control analógico, pero con este enfoque se desaprovecha su potencial y lo mejor que se logra es lo que el control analógico lograría. Incluso existen fenómenos que ocurren en los sistemas de control basados en computadora que no tienen correspondencia en los sistemas analógicos convencionales que deben ser tomados en cuenta para obtener un mejor rendimiento. Es importante para el diseñador entender estos fenómenos, por lo que este curso se trata del estudio, análisis y diseño de controladores basados sistemas de computadoras (sistemas discretos, sistemas muestreados, sistemas digitales). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 3 / 26.

(4) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Introducción a los sistemas digitales Esquema de un sistema de control basado en computadora. Computadora Reloj. y(tk) A-D. Alg. u(tk). y(t). u(t) D-A. Proceso. Proceso de discretización y reconstrucción de señales.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 4 / 26.

(5) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Introducción a los sistemas digitales Esquema de un sistema de control basado en computadora. Computadora Reloj. y(tk) A-D. Alg. u(tk). y(t). u(t) D-A. Proceso. Proceso de discretización y reconstrucción de señales. Sincronización por medio de un reloj.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 4 / 26.

(6) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Introducción a los sistemas digitales Esquema de un sistema de control basado en computadora. Computadora Reloj. y(tk) A-D. Alg. u(tk). y(t). u(t) D-A. Proceso. Proceso de discretización y reconstrucción de señales. Sincronización por medio de un reloj. El sistema se ejecuta en lazo abierto entre instantes de muestreo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 4 / 26.

(7) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Introducción a los sistemas digitales Esquema de un sistema de control basado en computadora. Computadora Reloj. y(tk) A-D. Alg. u(tk). y(t). u(t) D-A. Proceso. Proceso de discretización y reconstrucción de señales. Sincronización por medio de un reloj. El sistema se ejecuta en lazo abierto entre instantes de muestreo. En la mayoría de los casos sólo es necesario describir el comportamiento en los instantes de muestreo. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 4 / 26.

(8) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Surgimiento de los sistemas digitales Hasta el surgimiento de los sistemas digitales el único elemento de cálculo con que contaba la ingeniería de control eran las computadoras analógicas. Lo mismo ocurría con la implementación de los controladores. Éstos se construían con elementos de la electrónica analógica, mecánicos, neumáticos. La idea de usar computadoras en los sistemas de control surgió a principios de los 50’s en aplicaciones de misiles y aviones utilizando DDA’s (analizadores digitales diferenciales). A mediados de los 50’s Thomson Ramo Woodridge (TRW), compañía aeroespacial, y Texaco empezaron a trabajar sobre las aplicaciones del control digital para el control procesos industriales. Pronto muchos vieron el potencial del uso del control digital y comenzó la investigación entorno a estas nuevas ideas. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 5 / 26.

(9) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Sistema de control digital vs. analógico El costo de un sistema de control analógico fue la principal razón para migrar el tipo de sistemas de control. El costo de un sistema de control analógico se incrementa con el número de lazos. Se tiene mayor flexibilidad en el diseño. Los sistemas analógicos son modificados realambrando, los digitales reprogramado. Los componentes digitales son más robustos, confiables y pequeños. Los componentes digitales son menos susceptibles al envejecimiento y a las variaciones ambientales. Los componentes digitales son menos sensibles al ruido y perturbaciones. No hay problemas de precisión o efectos de desvío de valores como lo hay en sistemas de control analógico. Es sencillo tener cálculos complejos en la ley de control. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 6 / 26.

(10) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Sistema de control digital vs. analógico Es sencillo tener funciones lógicas y funciones no lineales en el algoritmo de control. Se pueden guardar datos o tablas para la obtención de conocimiento del sistema. La comunicación del operador con el sistema de control cambia de forma drástica. Es posible crear interfases de usuario amigables para la operación del sistema.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 7 / 26.

(11) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Sistema de control digital vs. analógico Es sencillo tener funciones lógicas y funciones no lineales en el algoritmo de control. Se pueden guardar datos o tablas para la obtención de conocimiento del sistema. La comunicación del operador con el sistema de control cambia de forma drástica. Es posible crear interfases de usuario amigables para la operación del sistema. Sin embargo, Existen limitaciones en la velocidad de cálculo, en la resolución dada por la longitud de la palabra digital y en la velocidad de muestreo. Estas limitaciones pueden originar inestabilidad. El retardo producido por el muestreo. La evolución del sistema en lazo abierto entre dos instantes de muestreo. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 7 / 26.

(12) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Algunos ejemplos mostrarán el porque los sistema de control digital no pueden ser completamente entendidos dentro de la teoría de control continuo aunque el proceso sea lineal, invariante en el tiempo y continuo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 8 / 26.

(13) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Dependencia en el tiempo La presencia de un reloj hace que los sistemas de control digital sean variantes en el tiempo. 1 Salida. Salida. 1. 0.5. 0. 0. 2. 4. 6. 8. 0. 10. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4 6 Tiempo. 8. 10. 1 Salida. Salida. 1. 0.5. 0. 0.5. 0. 2. 4 6 Tiempo. 8. 10. 0.5. 0. Si la entrada es retardada la salida es retardada, sólo si el retardo es múltiplo del período de muestreo, la entrada es independiente del momento en que se aplica. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 9 / 26.

(14) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Armónicas superiores y nuevas frecuencias Cuando el muestreo no es el adecuado distorsiona totalmente la señal tratada añadiéndole nuevos componentes de frecuencia. De la misma forma, el ruido de medición tiene efectos negativos en la respuesta del sistema. Sistema digital Salida. Salida. Sistema analógico 0.2 0 −0.2 5. 10. 15. 20. 25. 0.2. Medición. Medición. 0 −0.2. 0. 0 −0.2 0. 5. 10. 15. 20. 0.2 0 −0.2 0. 5. 10 15 Tiempo. 20. 25. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 0. 5. 10 15 Tiempo. 20. 25. 0.2 0 −0.2. 25 Entrada. Entrada. 0.2. 0.2 0 −0.2. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 10 / 26.

(15) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Aproximación al control continuo Se esperaría que un sistema con controlador digital se aproxime al comportamiento de un sistema de control analógico si se escoge un tiempo de muestreo lo suficientemente pequeño.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 11 / 26.

(16) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Aproximación al control continuo Se esperaría que un sistema con controlador digital se aproxime al comportamiento de un sistema de control analógico si se escoge un tiempo de muestreo lo suficientemente pequeño. Esto es cierto bajo ciertas suposiciones.. Salida. 1 Referencia Sist. digital Sist. continuo. 0.5. 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 0. 1. 2. 3. 4. 5 Tiempo. 6. 7. 8. 9. 10. Entrada. 0.5. 0. −0.5. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 11 / 26.

(17) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente?. 1.5. 1.5. 1. 1. Referencia Sist. digital Sist. continuo. 0.5. 0. 5. 10. 0.5. 0. 15. 0.6. 0.6. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. Entrada. Entrada. 0. Salida. Salida. Diversos factores pueden imposibilitar tener un muestreo lo suficientemente pequeño (hardware, complejidad computacional etc.); si el tiempo de muestreo se va haciendo más grande, el comportamiento empieza a ser distinto y puede llegar a inestabilizar al sistema.. 0 −0.2 −0.4. 0. 5. 0. 5. 10. 15. 10. 15. 0 −0.2 −0.4. 0. 5. 10 Tiempo. 15. Tiempo. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 12 / 26.

(18) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Control de establecimiento finito Lo anterior pareciera indicar que un sistema de control digital siempre será inferior a un sistema analógico.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 13 / 26.

(19) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Control de establecimiento finito Lo anterior pareciera indicar que un sistema de control digital siempre será inferior a un sistema analógico. Esto no necesariamente es así.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 13 / 26.

(20) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Control de establecimiento finito Lo anterior pareciera indicar que un sistema de control digital siempre será inferior a un sistema analógico. Esto no necesariamente es así. La naturaleza periódica de su entrada puede ser utilizada para obtener una mejor acción de control. La técnica específica de control digital que sería útil para este caso es la llamada control de establecimiento finito (dead-beat control).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 13 / 26.

(21) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente? Control de establecimiento finito Lo anterior pareciera indicar que un sistema de control digital siempre será inferior a un sistema analógico. Esto no necesariamente es así. La naturaleza periódica de su entrada puede ser utilizada para obtener una mejor acción de control. La técnica específica de control digital que sería útil para este caso es la llamada control de establecimiento finito (dead-beat control). Considere el mismo sistema de los ejemplos anteriores con un tiempo de muestreo grande. Se trata del control de posicionamiento de las cabezas de un disco duro. Para una comparación completa se incluye la velocidad de cambio para llegar a la posición deseada.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 13 / 26.

(22) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Posición. El comportamiento del sistema es excelente. La salida se estabiliza apenas llega al valor de la referencia, en menos tiempo que el sistema con control analógico. El sistema llega a la posición deseada cuando el sistema está en reposo.. 1. 0. Velocidad. Referencia Sist. continuo Sist. digital. 0.5. 0.6 0.4 0.2 0 −0.2. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 0. 1. 2. 3. 4. 5 Tiempo. 6. 7. 8. 9. 10. Entrada. 0.5 0 −0.5. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 14 / 26.

(23) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Posición. El comportamiento del sistema es excelente. La salida se estabiliza apenas llega al valor de la referencia, en menos tiempo que el sistema con control analógico. El sistema llega a la posición deseada cuando el sistema está en reposo. Este comportamiento no puede ser obtenido utilizando un sistema de control analógico. 1. 0. Velocidad. Referencia Sist. continuo Sist. digital. 0.5. 0.6 0.4 0.2 0 −0.2. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 0. 1. 2. 3. 4. 5 Tiempo. 6. 7. 8. 9. 10. Entrada. 0.5 0 −0.5. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 14 / 26.

(24) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Aunque la mayoría de los problemas que se presentan en el sistemas control digital son problemas de cálculo, muchos de los problemas fueron estudiados antes del control digital. Muchas ideas para resolver estos problemas son extensiones de las ideas existentes para sistemas de tiempo continuo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 15 / 26.

(25) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Aunque la mayoría de los problemas que se presentan en el sistemas control digital son problemas de cálculo, muchos de los problemas fueron estudiados antes del control digital. Muchas ideas para resolver estos problemas son extensiones de las ideas existentes para sistemas de tiempo continuo. Teorema de muestreo. Es importante conocer bajo qué condiciones un sistema muestreado puede ser recuperado sin pérdida de información relevante. El concepto más importante fue aportado por Nyquist, quien demostró que para recuperar una señal senoidal muestreada se requería que se haya sido muestreada al doble de su frecuencia.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 15 / 26.

(26) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Aunque la mayoría de los problemas que se presentan en el sistemas control digital son problemas de cálculo, muchos de los problemas fueron estudiados antes del control digital. Muchas ideas para resolver estos problemas son extensiones de las ideas existentes para sistemas de tiempo continuo. Teorema de muestreo. Es importante conocer bajo qué condiciones un sistema muestreado puede ser recuperado sin pérdida de información relevante. El concepto más importante fue aportado por Nyquist, quien demostró que para recuperar una señal senoidal muestreada se requería que se haya sido muestreada al doble de su frecuencia. Ecuaciones de diferencias. Las primeras contribuciones al control digital aparecieron estudiando sistemas específicos. De donde se demostró que muchas de las propiedades de los sistemas podían ser entendidas analizando ecuaciones de diferencias lineales invariantes en el tiempo. Las ecuaciones de diferencias reemplazaban a las ecuaciones diferenciales que describían a los sistemas de tiempo continuo. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 15 / 26.

(27) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Análisis numérico. La teoría del control digital se relaciona estrechamente con el análisis numérico; las integrales se aproximan con sumatorias, muchas ecuaciones diferenciales pueden ser sustituidas por ecuaciones de diferencias, etc.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 16 / 26.

(28) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Análisis numérico. La teoría del control digital se relaciona estrechamente con el análisis numérico; las integrales se aproximan con sumatorias, muchas ecuaciones diferenciales pueden ser sustituidas por ecuaciones de diferencias, etc. Métodos de transformación. Durante la segunda guerra mundial mucho de la investigación se enfocó en resolver problemas de radares. Los radares son sistemas inherentemente muestreados. Uno de los problemas era describir el comportamiento de estos sistemas. Como los métodos de transformación fueron muy útiles en la solución de problemas en tiempo continuo, era lógico pensar que se requería una teoría similar en sistemas de control discreto. De aquí se derivan los métodos de transformada Z.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 16 / 26.

(29) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Análisis numérico. La teoría del control digital se relaciona estrechamente con el análisis numérico; las integrales se aproximan con sumatorias, muchas ecuaciones diferenciales pueden ser sustituidas por ecuaciones de diferencias, etc. Métodos de transformación. Durante la segunda guerra mundial mucho de la investigación se enfocó en resolver problemas de radares. Los radares son sistemas inherentemente muestreados. Uno de los problemas era describir el comportamiento de estos sistemas. Como los métodos de transformación fueron muy útiles en la solución de problemas en tiempo continuo, era lógico pensar que se requería una teoría similar en sistemas de control discreto. De aquí se derivan los métodos de transformada Z. Teoría en espacio de estados. Los primeros conceptos fueron desarrollados por Kalman a finales de los 50’s. La representación de sistemas digitales en espacio de estados se logra describiendo el sistema con ecuaciones diferenciales, integrándolas y muestreando la respuesta lo cual lleva a representaciones compactas de los sistemas. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 16 / 26.

(30) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Control óptimo y estocástico. A principios de los 60’s Bellman y Pontryagin mostraron que los problemas de control podían ser formulados como problemas de optimización y Kalman mostró como éstos y sus variaciones estocásticas podían reducirse a resolver ecuaciones de Riccati, lo cual llevó al desarrollo del control óptimo y el control estocástico.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 17 / 26.

(31) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Control óptimo y estocástico. A principios de los 60’s Bellman y Pontryagin mostraron que los problemas de control podían ser formulados como problemas de optimización y Kalman mostró como éstos y sus variaciones estocásticas podían reducirse a resolver ecuaciones de Riccati, lo cual llevó al desarrollo del control óptimo y el control estocástico. Teoría de sistemas algebraicos. Los problemas fundamentales de la teoría de sistemas lineales fueron reconsiderados a finales de los 60’s y principios de los 70’s. Las características algebraicas fue reestablecida lo cual resultó en un mejor entendimiento de los sistemas lineales. El enfoque polinomial para resolver problemas específicos fueron otro resultado importante.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 17 / 26.

(32) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Control óptimo y estocástico. A principios de los 60’s Bellman y Pontryagin mostraron que los problemas de control podían ser formulados como problemas de optimización y Kalman mostró como éstos y sus variaciones estocásticas podían reducirse a resolver ecuaciones de Riccati, lo cual llevó al desarrollo del control óptimo y el control estocástico. Teoría de sistemas algebraicos. Los problemas fundamentales de la teoría de sistemas lineales fueron reconsiderados a finales de los 60’s y principios de los 70’s. Las características algebraicas fue reestablecida lo cual resultó en un mejor entendimiento de los sistemas lineales. El enfoque polinomial para resolver problemas específicos fueron otro resultado importante. Identificación de sistemas. En el control analógico las funciones de transferencia podían ser determinadas experimentalmente utilizando la respuesta en frecuencia del sistema en cuestión. Para el control digital la manera de construir modelos es mediante la aplicación de un análisis estadístico a datos muestreados del sistema en cuestión. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 17 / 26.

(33) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Control adaptable. Cuando se utiliza una computadora como medio de control es posible implementar algoritmos complejos de control. El siguiente paso fue el de incluir métodos de identificación (estimación de parámetros) y el diseño de los algoritmos de control en línea. El progreso más significativo fue en los años 70’s cuando se demostró la factibilidad de incorporar estas ideas en la industria.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 18 / 26.

(34) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Desarrollo histórico de la teoría Control adaptable. Cuando se utiliza una computadora como medio de control es posible implementar algoritmos complejos de control. El siguiente paso fue el de incluir métodos de identificación (estimación de parámetros) y el diseño de los algoritmos de control en línea. El progreso más significativo fue en los años 70’s cuando se demostró la factibilidad de incorporar estas ideas en la industria. Autosintonización. La manera tradicional de sintonizar controladores es manualmente y de forma heurística, sin embargo la tarea se vuelve sumamente complicada cuando se requiere el ajuste de más de dos parámetros. Por lo que desde el punto de vista del operador el tener herramientas para el sintonizado contenidas en los controladores es de gran ayuda. Estas herramientas son similares a los de control adaptable pero más fáciles de utilizar. Para sistemas de control digital, la incorporación de estas herramientas es fácil y empezaron a salir de forma industrial a principios de los 80’s. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 18 / 26.

(35) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital. Señal continua en el tiempo Una señal continua en en tiempo f (t) es una señal cuya variable independiente, el tiempo t, puede tomar cualquier valor dentro del rango (−∞, ∞).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 19 / 26.

(36) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital. Señal continua en el tiempo Una señal continua en en tiempo f (t) es una señal cuya variable independiente, el tiempo t, puede tomar cualquier valor dentro del rango (−∞, ∞). Clasificación de señales continuas Señal analógica. Señal continua cuyo dominio toma valores del intervalo (−∞, ∞). Señal cuantificada. Señal continua cuyo dominio es un conjunto discreto finito de valores.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 19 / 26.

(37) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Señal discreta en el tiempo Una señal discreta en el tiempo f (t) es una señal cuya variable independiente t solamente puede tomar valores dentro del conjunto {. . . , −2h, −1h, 0h, 1h, 2h, . . .}. Es decir, t = kh, k ∈ Z. Z es el conjunto de los números positivos, negativos y el cero.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 20 / 26.

(38) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Señal discreta en el tiempo Una señal discreta en el tiempo f (t) es una señal cuya variable independiente t solamente puede tomar valores dentro del conjunto {. . . , −2h, −1h, 0h, 1h, 2h, . . .}. Es decir, t = kh, k ∈ Z. Z es el conjunto de los números positivos, negativos y el cero. Clasificación de señales discretas Señal de datos muestreados. Señal discreta cuyo dominio toma valores del intervalo (−∞, ∞). Señal digital. Señal discreta con valores cuantificados.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 20 / 26.

(39) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Señal discreta en el tiempo Una señal discreta en el tiempo f (t) es una señal cuya variable independiente t solamente puede tomar valores dentro del conjunto {. . . , −2h, −1h, 0h, 1h, 2h, . . .}. Es decir, t = kh, k ∈ Z. Z es el conjunto de los números positivos, negativos y el cero. Clasificación de señales discretas Señal de datos muestreados. Señal discreta cuyo dominio toma valores del intervalo (−∞, ∞). Señal digital. Señal discreta con valores cuantificados. En la practica, los términos tiempo discreto y digital a menudo se intercambian. Sin embargo, el termino tiempo discreto se emplea en el estudio teórico, mientras que el termino digital se utiliza en conexión con las realizaciones de hardware o software. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 20 / 26.

(40) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Señal análoga 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5. 0. 1. 2. 3. Señal cuantificada. 4. 5. 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5. 0. 1. Señal muestreada 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5. 0. 1. 2. 3. 2. 3. 4. 5. 4. 5. Señal digital. 4. 5. 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5. 0. 1. 2. 3. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 21 / 26.

(41) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Digitalización de una señal Para poder diseñar sistemas de control digitales a plantas reales se requiere un proceso de digitalización de las señales analógicas de la planta antes de poder tratarlas con los algoritmos de control. Para ello se requiere de un proceso de muestreo, retención y cuantificación.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 22 / 26.

(42) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Digitalización de una señal Para poder diseñar sistemas de control digitales a plantas reales se requiere un proceso de digitalización de las señales analógicas de la planta antes de poder tratarlas con los algoritmos de control. Para ello se requiere de un proceso de muestreo, retención y cuantificación. Muestreo Una señal continua en el tiempo se encuentra muestreada por un observador exterior cuando éste conoce sólo información de dicha señal en determinados momentos de tiempo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 22 / 26.

(43) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Digitalización de una señal Para poder diseñar sistemas de control digitales a plantas reales se requiere un proceso de digitalización de las señales analógicas de la planta antes de poder tratarlas con los algoritmos de control. Para ello se requiere de un proceso de muestreo, retención y cuantificación. Muestreo Una señal continua en el tiempo se encuentra muestreada por un observador exterior cuando éste conoce sólo información de dicha señal en determinados momentos de tiempo. Reconstrucción de la señal El proceso inverso (convertir una secuencia de datos muestreados en una señal de tiempo continuo) se conoce como reconstrucción de una señal.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 22 / 26.

(44) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Instante de muestreo Cuando la información obtenida es puntal se emplea el término instante de muestreo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 23 / 26.

(45) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Instante de muestreo Cuando la información obtenida es puntal se emplea el término instante de muestreo. Período de muestreo Lo más habitual será que el observador exterior posea información puntual de la señal continua a intervalos regulares de tiempo. A la duración de esos intervalos se le llama período de muestreo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 23 / 26.

(46) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Instante de muestreo Cuando la información obtenida es puntal se emplea el término instante de muestreo. Período de muestreo Lo más habitual será que el observador exterior posea información puntual de la señal continua a intervalos regulares de tiempo. A la duración de esos intervalos se le llama período de muestreo. Señal muestreada Sea Z el conjunto de números naturales positivos, negativos y el cero; y {tk : k ∈ Z} sea el conjunto de números reales llamados instantes de muestreo. La versión muestreada de una señal f (t) es la secuencia {f (tk ) : k ∈ Z}. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 23 / 26.

(47) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Como se vio anteriormente, el comportamiento de los sistemas cambia con el período de muestreo. De hecho, un mismo sistema puede ser estable o no, dependiendo del período de muestreo. Clasificación de señales por el tipo del período de muestreo: Muestreo periódico: es el más usual, los instantes de muestreo están igualmente espaciados cada t segundos, con t = kh, donde h es el periodo de muestreo. Muestreo de orden múltiple: El patrón de tk ’s se repite periódicamente: tk +r − tk = C ∀tk , donde C es una constante. Muestreo múltiple: Sistemas de múltiples lazos que debido a la dinámica de cada lazo requieren diferentes períodos de muestreo. Muestreo aleatorio: La variable tk es una variable aleatoria.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 24 / 26.

(48) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital En este curso se trata únicamente el caso de sistemas con muestreo periódico.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 25 / 26.

(49) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital En este curso se trata únicamente el caso de sistemas con muestreo periódico. Frecuencia de muestreo La frecuencia de muestreo se define como fs = 1/h (Hz) o bien como ωs = 2π/h (rad/s).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 25 / 26.

(50) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital En este curso se trata únicamente el caso de sistemas con muestreo periódico. Frecuencia de muestreo La frecuencia de muestreo se define como fs = 1/h (Hz) o bien como ωs = 2π/h (rad/s). Frecuencia de Nyquist La frecuencia de Nyquist equivale a un medio de la frecuencia de muestreo, es decir fN = 1/(2h) (Hz) o bien ωN = π/h (rad/s).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 25 / 26.

(51) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital En este curso se trata únicamente el caso de sistemas con muestreo periódico. Frecuencia de muestreo La frecuencia de muestreo se define como fs = 1/h (Hz) o bien como ωs = 2π/h (rad/s). Frecuencia de Nyquist La frecuencia de Nyquist equivale a un medio de la frecuencia de muestreo, es decir fN = 1/(2h) (Hz) o bien ωN = π/h (rad/s). La frecuencia de Nyquist representa la frecuencia más alta posible de una señal reconstruida utilizando la frecuencia de muestreo fs = 2fN sin que se introduzcan nuevas componentes de frecuencia a la señal (aliasing). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 25 / 26.

(52) Introducción. ¿Por qué usar una teoría diferente?. Desarrollo histórico. Señales en sistemas de control digital. Señales en sistemas de control digital Proceso. Muestreo. Retención. D-A. Alg. A-D. El propósito de la operación de retención es rellenar los espacios entre los periodos de muestreo y así reconstruir en forma aproximada la señal analógica de entrada original. Debido a su simplicidad, el retenedor de orden cero se emplea por lo regular en sistemas de control digital. Este retenedor mantiene el valor de la muestra anterior generando una señal de tipo escalera. Existen otros tipos de retenedores (primer orden, predictivo, etc.) Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Introducción al control de sistemas digitales 26 / 26.

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