INTEGRALES
TRIPLES
Santillan Salas, Grecia Melitha
Curso: Cálculo de varias variables
¿Cómo llegar a la definición
de integral triple?
Para llegar a la definición de integral triple necesitamos
definir una partición y un norma de conjunto en para
luego hacer la suma de Riemann.
1.
Conjunto acotado en
2. Partición del paralelepípedo R
Una partición del paralelepípedo R es el conjunto
Donde =( es una partición de [a,b] =( es una partición de [c,d] =( es una partición de [e,f]
3.
Norma de la partición P
Se denomina norma de la partición P al número
Es decir, la norma de P es
la máxima longitud de las diagonales
de los subparalelepípedos .
4.
Suma de Riemann
Sea una función acotada en la región cerrada D.
Sea una partición de la región D y sea un punto arbitrario en ,
de modo que ) está bien definido, como se muestra en la figura a
continuación.
La suma de Riemann de la función f asociada a la partición P es:
∆
𝒌𝒛
5. Integral triple
Al siguiente límite
se le denomina integral triple de la función f sobre la región cerrada D y se denota por
∆
𝒊𝒙
∆
𝒋𝒚
𝐷
Cálculo de integrales triples
mediante integrales iteradas
Ejemplo 1. Calcular las siguiente integral triple.
a
) donde el recinto V está limitado por las superficies
x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.
Paso 1. Hacemos un esbozo de el sólido V. El cual está limitado por 4 planos.
Paso 2. Proyectamos le sólido sobre el Plano YZ y tenemos:
Paso 3. Planteamos la integral triple mediante integrales iteradas.
Es decir, la doble integral sobre la proyección en el plano que se ha escogido, de la integral de la función con los límites de integración que corresponden a la variación de x.
Volumen mediante integrales
triples
Sea D una región cerrada y acotada en . Sea definida por
El volumen de la región D es:
Ejemplo: Usando integrales triples, hallar el volumen de la región descrita a continuación.
Paso 2. Realizamos la proyección del sólido R en el plano XY. Como el sólido generado es simétrico, hallaremos el
Volumen de una parte del sólido que corresponde a La siguiente proyección y multiplicaremos por 4 el Resultado.
Paso 3. Planteamos las integrales iteradas.
Paso 4. Resolvemos la integral
Respuesta: El sólido generado tiene como volumen 8
Cambio de variables para
integrales triples
El cambio de variables para integrales triples tiene un sentido geométrico muy interesante, este consiste en expresar cada una de las variables (x,y,z) en función de otras nuevas variables (u,v,w) mediante una transformación T.
Transformación: es una función de a que es biyectiva y que tiene la propiedad geométrica de “deformar” un sólido S complicado y difícil de graficar en otro sólido S’ sencillo y fácil de graficar haciendo uso del siguiente teorema:
Jacobiano de T
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido D encerrado por el elipsoide
.
SOLUCIÓN: Se pide hallar
Paso 1. Utilizamos el siguiente cambio de variables:
Paso 2. Hallamos el jacobiano:
Integrales triples en
coordenadas cilíndricas
Sean D y D* regiones cerradas en si hacemos el siguiente cambio de variables
Queda definido la transformación
Cuyo Jacobiano es r.
Ejercicio 1
Encuentre el volumen de la región en el espacio limitado superiormente por las gráficas de
SOLUCIÓN
Paso 1. Proyectamos sobre el plano XY.
Sin necesidad de graficar la región, salta a la vista que esta va a estar limitada superiormente por el plano z=x e inferiormente por el plano z=0 y la proyección será la mitad de una circunferencia.
Paso 2. Realizamos la descripción analítica de la región.
Paso 3. Planteamos las integrales iteradas.
Integrales triples en
coordenadas esféricas
Sean D y D* regiones cerradas en si hacemos el siguiente cambio de variables
Queda definida la transformación
Cuyo jacobiano es .
Ejercicio 2
Hallar el volumen de la región S limitada superiormente por la esfera e inferiormente por el cono .
Paso 1. Realizamos el esbozo. Paso 2. Trazamos un plano ZL. Paso 3. Graficamos la región que
Se genera sobre el plano ZL al girar por todo El sólido.
IMPORTANTE
Es importante diferenciar el movimiento de cada componente en cada sistema de coordenadas.
COORDENADAS RECTANGULARES COORDENADAS CILÍNDRICAS COORDENADAS ESFÉRICAS
Para llegar a punto (x,y,z) las componentes rectangulares
x,y,z se mueven perpendicularmente.
El radio vector OA se mueve dando vueltas circulares en el plano XY. Se estira del origen O hasta el punto
A perteneciente a una curva en el plano XY.
La medida de en radianes depende del movimiento radial del radio
vector . (. Z= AP siempre se mueve verticalmente.
se mueve radialmente manteniéndose fijo en su punto de aplicación “O”. Cada vez que se mueve , las medidas de los ángulos y varían:
( , )
Centro de masa y momentos de
inercia de un sólido
Sea A un sólido en y una función continua sobre S y que define la densidad el sólido S en cada punto (x,y,z)
La masa total del sólido está dada por
El centro de masa del sólido S es el punto , donde:
Los momentos de inercia del sólido S alrededor de los ejes coordenados se define como:
, es el momento de inercia con respecto al eje X. , es el momento de inercia con respecto al eje Y. , es el momento de inercia con respecto al eje Z.
NOTA. Para el centro de masa debemos tener en cuenta todas las simetrías.
• Si el sólido S es simétrico respecto al plano XY y =, entonces . • Si el sólido S es simétrico respecto al eje X y =, entonces .
Ejercicio
Halle la masa y centro de masa del sólido cuya densidad es . El sólido es un tetraedro limitado por y los planos coordenados.
Paso 1. Para modelar las integrales es necesario el esbozo del sólido y la proyección sobre uno de los planos coordenados.
Proyección en el plano XY
Paso 2. Hallamos la masa.
Paso 3. Hallamos
Paso 4. Hallamos
Entonces Paso 5. Hallamos
