SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREYDIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
INCORPORACIÓN DE ASPECTOS AMBIENTALES Y DE OPERABILIDAD EN LA OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS
VÍA PROGRAMACIÓN PARAMÉTRICA
T E S I S
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE
MAESTRA EN CIENCIAS
CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS AMBIENTALES
ABRIL EUGENIA MONCADA URIBE
MAYO DE 2000
MUCHAS GRACIAS
A DIOS: gracias Señor porque tu Amor y tu Poder me acompañan a cada paso
¡A ti sea toda la Gloria y Honor!
A mi FAMILIA: gracias mamá, papá y Alma, por su cariñoso apoyo y por su
confianza en mí; los amo.
Gracias pá por "heredarme" tu profesión.
A mi ASESOR: gracias doctor por compartir conmigo de su tiempo y sus
conocimientos; gracias por su paciencia y por animarme a cada
momento.
A todos mis MAESTROS: gracias por cooperar con su esfuerzo en mi
formación.
A todos quienes me apoyaron con su cariño y sus oraciones:
¡¡MUCHAS GRACIAS!!
A mi NOVIO: gracias Jesús porque tu amor me motiva a seguir;
gracias por tu apoyo, comprensión y confianza; te amo.
A mis AMIGOS: muchas gracias por su amistad y por la alegría que me brinda el contar con ustedes.
Al Departamento de Ingeniería Química y al Centro de Calidad
Ambiental del ITESM; gracias especiales al Dr.Romero por todas
sus atenciones.
RESUMEN
La protección y conservación del medio ambiente se ha convertido en una de las principales preocupaciones del mundo moderno, lo que ha creado un interés general por desarrollar procesos productivos "más limpios".
La inclusión del impacto ambiental en el diseño y análisis de procesos químicos involucra tres pasos principales: definición de medidas cuantitativas del impacto ambiental, integración de éstas en la definición del problema y conceptualización de un procedimiento de solución del mismo.
En este trabajo se abordan los dos últimos a pasos mencionados al proponer un enfoque de programación paramétrica para resolver el problema multiobjetivo que surge al buscar la optimización simultánea de dos criterios: el económico y el ambiental. La solución final obtenida es un conjunto de soluciones eficientes, cuya representación gráfica se conoce como curva de Pareto y que da el valor óptimo del objetivo económico como función del criterio ambiental.
Se presenta también la aplicación de la metodología para el manejo de incertidumbre tanto continua como discreta, lo cual resulta de gran importancia al considerar que los sistemas reales de procesos están sujetos situaciones inciertas tales como variaciones operativas, cambios en los costos, disponibilidad de equipo, etc. Se discuten las implicaciones que tiene la inclusión de incertidumbre en la minimización del impacto ambiental.
Desde el punto de vista numérico, para el caso lineal se hace uso algoritmos existentes, los cuales son eficientes para el manejo de cualquier número de parámetros. En el caso no lineal se presentan desarrollos algorítmicos que buscan lograr la solución de problemas multiparamétricos no lineales con mayor eficiencia computacional, mediante la aplicación de criterios para la disminución del número de problemas no lineales y de la complejidad de los problemas multiparamétricos lineales a resolver.
ÍNDICE
ÍNDICE i
ÍNDICE DE FIGURAS v
ÍNDICE DE TABLAS vii
1. INTRODUCCIÓN
1.1 Metodologías de diseño de procesos 1
1.2 Introducción de aspectos ambientales en
la optimización de procesos 2
1.3 Objetivos 4
1.4 Descripción de la Tesis 4
2. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
2.1 Introducción 6
2.2 Incorporación de aspectos ambientales en la síntesis
y diseño de procesos 7
2.2.1 Métodos Heurístico-Evolutivos 7
2.2.2 Métodos Termodinámicos 9
2.2.3 Métodos Matemáticos 10
2.3 Definición del problema como un problema multiobjetivo 13
2.4 Optimización paramétrica 15
2.4.1 Algoritmos para la solución de problemas paramétricos 16 2.5 Relación entre el problema paramétrico
y el problema multiobjetivo 18
2.6 Nomenclatura 18
3. OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA Y MINIMIZACIÓN DEL IMPACTO AMBIENTAL: CASO LINEAL
3.1 Introducción 19
3.2 Minimización del impacto ambiental como
problema multiparamétrico 19
3.2.1 El problema multiobjetivo de minimización
de costo e impacto ambiental 19
3.2.2 Planteamiento del problema multiparamétrico lineal 22 3.3 Ejemplo de aplicación. Incorporación de toxicidad
en la operación óptima de procesos 23
3.3.1 Planteamiento del modelo 24
3.3.2 Solución y análisis de resultados 26
3.4 Nomenclatura 33
4. REDUCCIÓN DEL IMPACTO AMBIENTAL ANTE VARIACIONES OPERATIVAS
4.1 Introducción 34
4.2 Manejo de incertidumbre en el diseño óptimo de procesos 34 4.3 Implicaciones de la inclusión de parámetros operativos
en un problema multiobjetivo 36
4.4 Ejemplo. Incorporación de aspectos ambientales y operativos en la optimización de una planta receptora de
petróleo crudo marino 39
4.4.1 Planteamiento del modelo matemático 41
4.4.2 Procedimiento de solución 50
4.4.3 Resultados y discusión 52
4.5 Nomenclatura 57
5. DESARROLLO DE UN ALGORITMO PARA PROGRAMACIÓN MULTIPARAMÉTRICA NO LINEAL
X
5.1 Introducción 58
5.2 Planteamiento del problema y algoritmos de solución existentes .. 58 5.3 Desarrollo de un nuevo algoritmo de solución 59
5.3.1 Algoritmo de solución de un mpNLP 62
5.4 Identificación de los puntos óptimos para aproximación externa ... 64 5.4.1 Selección de puntos donde se resolverá el NLP 65
5.4.1.1 Criterio de distancia 65 5.4.1.2 Criterio de distancia ponderada 66 5.4.1.3 Criterio de anticipación de error 66 5.4.2 Selección de puntos donde se efectuarán linearizaciones .. 68 5.5 Ejemplos. Operación óptima de procesos con
incertidumbre de mercado 70
5.5.1 Ejemplo 1. Descripción del criterio de selección
de puntos y convergencia 70
5.5.2 Ejemplo 2. Descripción general
de la aplicación del algoritmo 78
5.6 Nomenclatura 83
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
6.1 Conclusiones 85
6.2 Recomendaciones 89
REFERENCIAS 91
APÉNDICES 94
APÉNDICE A 95
APÉNDICE B 105
ÍNDICE DE FIGURAS
1-1 Ejemplo Ilustrativo 3
2-1 Esquematización de las regiones críticas de una solución óptima ... 16
3-1 Curva de Pareto 20
3-2 Punto de operación ineficiente 21
3-3 Configuración del Proceso 26
3-4 Variación de las ganancias del proceso con la toxicidad 31 3-5 Flujos óptimos de materia prima A en función
de la toxicidad del proceso 32
4-1 Curva de Pareto continua en tres dimensiones 38 4-2 Curva de Pareto discreta en tres dimensiones 39 4-3 Diagrama de proceso de una terminal receptora de petróleo
crudo marino ". 41
5-1 Representación esquemática de las soluciones
del NLP y del mpLP 60
5-2 Representación esquemática de la solución obtenida mediante
aproximación externa 61
5-3 Algoritmo general para la solución de un mpNLP 62 5-4 Representación esquemática del problema de no factibilidad 63 5-5 Representación esquemática de los fundamentos del criterio
de anticipación de error 67
5-6 Procedimiento de selección de puntos y criterio de convergencia ... 69 5-7 Diagrama de Flujo del Proceso del Ejemplo 1 70
5-8 Primera región crítica obtenida del mpLP 72
5-9 Diagrama de Flujo del Proceso del Ejemplo 2 78
CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN
1.1 Metodologías de diseño de procesos.
La síntesis y diseño de procesos constituye una importante área de la ingeniería que, a partir de la creación y valoración de alternativas, efectúa el desarrollo de procesos industriales viables utilizando para ello métodos genéricos definidos.
Estos métodos, utilizados en la solución de problemas de diseño de procesos, pueden ser clasificados de acuerdo con tres enfoques principales: heurístico, termodinámico y matemático.
El primero de estos enfoques da lugar a procedimientos sistemáticos que mediante la evaluación jerarquizada de una serie de reglas heurísticas conducen a la identificación de las características más adecuadas para una aplicación industrial determinada.
El enfoque termodinámico se encuentra fundamentado en la búsqueda los límites termodinámicos de los procesos. En esta categoría se encuentra el Análisis de Punto de Pliegue, técnica que tiene sus orígenes en la optimización energética, pero cuya aplicación se ha extendido a otras áreas.
El último de los enfoques, se encuentra basado en la representación de las características de los procesos mediante modelos matemáticos, haciendo uso de técnicas de optimización para hallar el mejor diseño. Este enfoque se ha convertido en herramienta muy valiosa en la ingeniería de procesos pues provee de procedimientos sistemáticos y rigurosos para la evaluación y selección de alternativas de diseño.
La utilización de métodos matemáticos para la solución de problemas de diseño y optimización de procesos presenta la ventaja de permitir la inclusión directa de cualquier tipo de consideración, restricción u objetivo deseados, aunque esto cambie la forma y la complejidad de la obtención de la solución.
1.2 Introducción de aspectos ambientales en la optimización de procesos.
Anteriormente los trabajos de diseño y optimización de procesos se encaminaron hacia la satisfacción de criterios económicos y de eficiencia, sin embargo, durante los últimos años, la industria de proceso se ha venido enfrentado una problemática importante debida al efecto adverso que la emisión de residuos tiene sobre el medio ambiente y presionada por el surgimiento de legislaciones más estrictas, se ha visto en la necesidad de buscar caminos que les conduzcan a un ajuste de operaciones que les permita cumplir las exigencias gubernamentales sin que eso signifique grandes sacrificios en sus utilidades.
Ante esta preocupación general por la conservación del medio ambiente, se ha considerado la posibilidad de incluir los aspectos ambientales como un nuevo criterio de optimización en la síntesis y diseño de procesos. Tal inclusión involucra tres etapas principales: la definición de medios de cuantificación del impacto ambiental, la integración de dichas mediciones en un modelo matemático de proceso y el procedimiento de solución del problema resultante.
Se observa, entonces que el problema aumenta de complejidad al encontrarse con que no se cuenta con alguna forma general que pueda definir y medir al impacto ambiental, lo cual hace necesario desarrollar metodologías que permitan cuantificar el impacto ambiental para su posterior inclusión en un problema de optimización.
Otra situación que se presenta al incluir criterios ambientales en la optimización de procesos es la existencia de múltiples funciones objetivo, pues si bien se desea minimizar el impacto ambiental del proceso, también se desea mantener las ganancias en valores óptimos. Y por lo general estos dos objetivos se contraponen de forma que la mejora de uno de ellos va en perjuicio del otro, lo cual hace muy difícil el identificar una solución óptima.
Consideremos el proceso presentado en la Figura 1-1, el cual corresponde a una terminal receptora de petróleo crudo marino que consta de los siguientes procesos: estabilización del crudo, compresión del gas (con equipos eléctricos y de combustión interna) y deshidratación del aceite.
G2, HP2, C2 Compresión
W,
Deshidratación
Figura 1-1. Ejemplo ilustrativo.
Se desea realizar la optimización de dicha terminal bajo dos criterios: la minimización del costo y la minimización del impacto ambiental, observándose que estos dos objetivos se contraponen.
Esto se puede ejemplificar mediante una situación que se presenta en los procesos de estabilización y deshidratación. El proceso de estabilización tiene como objetivo la separación de la corriente de crudo alimentada en una corriente gaseosa y una corriente de aceite. Éste último es enviado al proceso de deshidratación en donde el agua presente es separada por gravedad, para lo cual se requiere de cierto tiempo de residencia en los tanques deshidratadores, a condiciones diferentes de las de estabilización.
La forma más económica de operar el proceso de estabilización es a presión atmosférica y sin calentamiento previo de la alimentación, sin embargo esto puede conducir a una mala estabilización del crudo, generando un aceite con mayor contenido de hidrocarburos ligeros, lo cual se traduce en un aumento en las emisiones de compuestos volátiles en el proceso de deshidratación. Sin embargo la reducción del nivel de estas emisiones mediante la mejor separación del gas de la corriente de alimentación al proceso de estabilización representa mayores costos.
Por otro lado, si algunas de las variables del modelo están sujetas a algún tipo de incertidumbre, como lo es el caso de fluctuaciones de proceso, cambios en los costos o disponibilidad de equipo, el problema aumenta de complejidad, dificultándose la obtención de su solución.
Para el ejemplo planteado la pregunta que surge es ¿cuál es la forma óptima de operar (bajo los dos criterios mencionados) cuando se tienen fuera de operación
cierto número y tipo de compresores o cuando varían las características de la alimentación?. Sin duda alguna la solución óptima obtenida inicialmente, dejaría de serlo al presentarse este tipo de eventualidades, por lo cual se hace necesario introducir en el modelo consideraciones referentes a tales variaciones operativas.
Aunque el efecto de la incertidumbre en el diseño óptimo de procesos ha sido un tema ampliamente estudiado, su relación con el impacto ambiental de una planta no ha sido discutido, por lo cual el desarrollo de metodologías en ese sentido resulta de gran interés.
Se observa que la incorporación de aspectos ambientales y operativos a la optimización de procesos resulta ser un problema complejo, pero que por su importancia requiere ser estudiado.
1.3 Objetivos.
En el contexto anteriormente planteado surge el presente trabajo, el cual, dados:
• un modelo matemático que describa el comportamiento de un proceso
• una función matemática que defina un criterio de rendimiento para optimizar el proceso
• un conjunto de mediciones cuantitativas del impacto ambiental del proceso y su relación con el modelo matemático inicial; y
• un conjunto de parámetros que definan incertidumbres operativas del proceso y los rangos de posibles valores de cada parámetro
se propone cubrir los siguientes objetivos:
• Demostrar la aplicabilidad y eficiencia de técnicas de programación paramétrica lineal para minimizar el impacto ambiental, optimizando al mismo tiempo el criterio de rendimiento especificado (problema multiobjetivo).
• Estudiar el efecto de incluir incertidumbre operativa en el problema anterior (problema multiobjetivo bajo incertidumbre).
• Encontrar un procedimiento eficiente para la solución de estos problemas cuando el modelo matemático del proceso no es lineal (problema multiobjetivo no lineal bajo incertidumbre).
1.4 Descripción de la Tesis.
La presente Tesis constituye un estudio encaminado a la incorporación de criterios ambientales y aspectos operativos en el diseño y optimización de procesos.
En el Capítulo 2 se presenta una revisión bibliográfica referente a los tres diferentes enfoques existentes para el manejo de un problema de síntesis y diseño de procesos. Se hace una revisión de tales enfoques (Heurístico, Termodinámico y Matemático), presentándose casos de aplicación en el área ambiental.
Se describe el tipo de problema originado por la inclusión de aspectos ambientales en la síntesis y diseño de procesos, resaltándose las ventajas de manejarlo con procedimientos matemáticos y presentando referencias que muestran la forma en la cual el problema ha sido tratado hasta el momento. Se presenta también una introducción a la Optimización Paramétrica planteándose la relación existente entre ésta última y el problema multiobjetivo resultante de incorporar aspectos ambientales en el diseño de procesos.
El Capítulo 3 trata el problema de minimización simultánea de costo e impacto ambiental proponiéndose una metodología de solución basada en programación paramétrica. Este capítulo considera el caso de modelos lineales naciéndose la definición matemática del problema y describiéndose las características de la solución del mismo. Se muestra la aplicación de la metodología propuesta al caso de incorporación de toxicología en la optimización de procesos.
El Capítulo 4 retoma el problema de minimización de costo e impacto ambiental, agregando la consideración de incertidumbre operativa. Se señalan algunas de las implicaciones que tiene la inclusión de parámetros operativos en un problema multiobjetivo. Para finalizar el análisis se describe un ejemplo de incorporación de aspectos ambientales y operativos en la optimización de procesos.
El Capítulo 5 constituye la descripción de los desarrollos algorítmicos efectuados en el área de optimización paramétrica no lineal. La importancia de este capítulo radica en la generación de metodologías que permitan la extensión de los conceptos descritos en los capítulos anteriores para el caso de modelos no lineales.
Se muestra el planteamiento del problema, describiéndose trabajos existentes realizados en el área. Posteriormente se presenta un nuevo algoritmo desarrollado para la solución de problemas multiparamétricos no lineales, describiéndose detalladamente los desarrollos efectuados en partes críticas del algoritmo, que definen la eficiencia computacional del mismo. Dos casos de optimización de procesos con incertidumbre de mercado ejemplifican a aplicación del algoritmo propuesto.
Finalmente, el Capítulo 6 presenta las conclusiones de este estudio, así como también las recomendaciones que se realizan para posteriores trabajos dentro del área.
CAPITULO 2
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
2.1 Introducción.
El diseño y la síntesis de procesos es el área de la ingeniería que se encarga del desarrollo de procesos industriales capaces de satisfacer las necesidades de una sociedad. Durante años los estudios dentro de esta área se han enfocado principalmente a la síntesis de procesos industriales óptimos, teniendo como finalidad la reducción de costos y el logro de eficiencias adecuadas.
Sin embargo, la importancia de una mejora continua en el diseño, aunada a !a preocupación general por la preservación del medio ambiente que se ha desarrollado en los últimos años, han señalado un interés especial en agregar como parámetros de optimización en la síntesis de procesos a todos aquellos aspectos que conlleven a la minimización del impacto ambiental de éstos. Con esto se da apertura a una nueva visión de diseño de procesos "limpios", el cual pretende generar tecnología capaz de operar en forma factible desde el punto de vista económico, pero ajustándose al cumplimiento de normas ambientales específicas.
Por otro lado se tiene que el buen desempeño de los procesos se ve seriamente afectado por ciertos aspectos de naturaleza incierta y que son difíciles de considerar en el momento del diseño. Esta situación lleva a que otro factor de importancia para la síntesis de procesos es la operabilidad, factor donde se incluyen características tales como: flexibilidad, confiabilidad y seguridad, mismos que hablan de la robustés de un diseño, es decir, de la forma en la cual el proceso diseñado responde ante una variación de alguna de las condiciones del diseño original.
2.2 Incorporación de aspectos ambientales en la síntesis y diseño de procesos.
El problema de la síntesis y diseño de procesos ha sido abordado mediante diferentes procedimientos, los cuales se pueden clasificar bajo tres enfoques principales: procedimientos heurísticos, métodos termodinámicos y algoritmos matemáticos.
El enfoque heurístico es un procedimiento jerárquico que sirve de guía en la toma de decisiones para la síntesis de procesos y se basa en la aplicación de reglas heurísticas.
El enfoque termodinámico se basa en la ¡dea de que el proceso óptimo será aquel que sea termodinámicamente más eficiente. Dentro de esta categoría destaca el Análisis de Punto de Pliegue.
El último consiste en la formulación de la síntesis de procesos como un problema de optimización mediante una representación matemática. Este enfoque es un procedimiento mucho más sistemático y riguroso, por lo que se le considera una herramienta muy poderosa.
2.2.1 Métodos Heurístico-Evolutivos.
"Una idea que ha sido probada en cierta aplicación, muy probablemente será útil en otras aplicaciones" (Rossiter, 1995). Esta afirmación es la base de lo que se conoce como reglas heurísticas y tiene su origen en la teoría y práctica del diseño de procesos.
El enfoque heurístico consiste en la aplicación jerárquica de una serie de reglas, generadas por ingenieros con base en la experiencia acumulada en un área determinada donde se han enfrentado en gran número de ocasiones a situaciones similares. La utilización de reglas heurísticas permite un rápido avance en la definición de opciones de diseño con una cantidad limitada de cálculos y experimentación. Además la existencia de tales reglas da fundamento a muchos diferentes métodos de diseño "basados en el conocimiento", que van desde las decisiones jerárquicas hasta la inteligencia artificial (Huang et al., 1993).
Los métodos heurístico-evolutivos son técnicas sistemáticas que permiten, mediante una evaluación ordenada, llegar a la identificación de las oportunidades de mejora de un proceso. Dicha evaluación ordenada consiste en comenzar el análisis tomando el proceso como un todo, de manera que conforme se avanza se va incluyendo información cada vez más detallada (de tipo estructural y operativo), encauzando de esta forma la síntesis del proceso. Esta metodología es aplicable tanto en procesos existentes en los que se busque alguna mejora, como en el diseño de nuevos procesos.
Dentro de los estudios realizados en este enfoque aplicándolo a la minimización de residuos, se encuentra el procedimiento jerárquico para la toma de decisiones propuesto por Douglas (1992) que tiene por objetivo llegar al proceso "más limpio".
En ese trabajo el autor muestra cómo cambios en las decisiones se traducen en la generación de procesos alternos que presentan ventajas y desventajas que pueden ser evaluadas. La metodología propuesta señala la toma de decisiones a través de ocho niveles jerárquicos que van desde la información de entrada requerida y definición del problema, hasta consideraciones de seguridad, flexibilidad y control, resaltando la importancia de los cuatro primeros niveles:
información de entrada, estructuras de entrada-salida, estructuras de reciclaje y especificaciones del sistema de separación.
Algunos ejemplos de reglas heurísticas aplicables a la prevención de la contaminación pueden ser revisados en Rossiter et al. (1993), de donde se toman las siguientes: una reducción rápida de costos de generación de residuos se puede lograr cambiando los set points o ajustando las variaciones de control de las variables importantes; siempre que sea posible se deben eliminar los materiales de desecho en su fuente, esto se logra en ocasiones cambiando la materia prima; se deberá buscar el reciclar los materiales de desecho dentro del mismo proceso, de no ser posible considerar la posibilidad de usar estos materiales en otros procesos de la planta.
Otras propuestas resaltan la aplicación de este proceso sistemático a la revisión y mejora de instalaciones ya existentes (Rossiter et al., 1993), proponiendo un análisis de siete niveles jerárquicos de decisión enfocado a la minimización de residuos contaminantes: tipo de proceso, estructura entrada-salida, estructura de reciclaje, sistemas de separación, secado del producto, sistemas energéticos y especificaciones de equipo y tubería.
La evaluación de reuso de agua en una planta de proceso químico (Rosain, 1993) constituye un ejemplo interesante en el que se propone una metodología que comienza con la recopilación de datos acerca de las líneas de agua y líneas residuales existentes, definiciones de usos y requerimientos de recursos, instalaciones disponibles, balances de materia de diseño y operación, sistema de control, etc. A partir de esta información se valora el planteamiento de objetivos para la implemeníación de un sistema de reuso de agua, combinando oportunidades existentes con requerimientos de proceso, en una forma económicamente satisfactoria.
El uso de métodos heurísticos, como se mencionó, presenta ventajas, sin embargo también tiene limitaciones, ya que en la mayoría de los casos, estas reglas no tienen una base común para su comparación y se corre el riesgo de que al utilizarlas en contextos diferentes no den los resultados deseados. Otro inconveniente es que estos métodos no garantizan la obtención de un diseño óptimo, sino más bien permiten una rápida identificación de diseños alternos para su posterior evaluación.
2.2.2 Métodos termodinámicos.
Dentro de esta clase se encuentra el Análisis de Punto de Pliegue (Linnhoff, 1994), el cual tiene sus orígenes en el diseño de redes de intercambio de calor como una técnica sistemática para el análisis de flujos de calor en procesos industriales basada en fundamentos termodinámicos. Es ampliamente utilizada en la definición de cambios en los procesos que reduzcan el consumo energético.
Actualmente su aplicación se ha visto extendida de la optimización energética, a aquella que implica transferencia de masa y costos. En el contexto ambiental este enfoque es un medio para determinar el grado de reducción en consumo energético y sus correspondientes disminuciones en los niveles de NOX, SOX y CÜ2 (Sung et al., 1992). Su extensión a la transferencia de masa es una guía en la generación de opciones de diseño para la reducción de otras emisiones.
El Análisis de Punto de Pliegue, como se mencionó, está basado en los principios rigurosos de la termodinámica. Estos principios son utilizados para la construcción de gráficas y la realización de cálculos simples que conducen a la definición de flujos (de calor o masa) en los procesos. Las herramientas gráficas utilizadas son gráficas temperatura-entalpía o masa-concentración, curvas compuestas y diagramas de rejillas.
La síntesis de una red de intercambio de masa cuyo objetivo es determinar si un contaminante presente en una corriente puede ser transferido a otra donde tenga un valor positivo, utiliza herramientas entre las que se encuentran los diagramas de intervalos de composición que representan las corrientes rica y pobre y los diagramas de líneas de carga, que describen al flujo de soluto transferido como función de la composición de la corriente (Alien, 1997). Con estas herramientas gráficas se logra determinar el punto de pliegue, así como también saber si el intercambio de masa es termodinámicamente posible.
Una aplicación de este enfoque termodinámico es la presentada por Wang y Smith (1994), quienes desarrollaron un modelo que permite la minimización de residuos en el agua y la maximización del reuso de la misma, incorporando limitantes de proceso tales como la mínima fuerza impulsora en el transporte de masa, factores de ensuciamiento y limitaciones de corrosión. El método hace uso de perfiles de concentraciones, curvas compuestas y diagramas de flujo para lograr primero la identificación de objetivos y finalmente el diseño del proceso.
Otro estudio es el diseño de un sistema distribuido de tratamiento de efluentes (Wang y Smith, 1994), el cual se basa en la idea de que efluentes de diferente procedencia pueden requerir diferente tratamiento. La metodología desarrollada para este caso se efectúa de igual forma en dos etapas, la primera consiste en la identificación y establecimiento de objetivos (flujos de costo mínimo para el tratamiento de las corrientes de agua dadas) y la segunda que es el diseño necesario para el logro de los objetivos planteados. Se presenta la aplicación de
curvas compuestas de las corrientes de agua de desecho para efectuar el análisis que lleve a que el costo total del tratamiento sea mínimo.
Es así como, considerada una técnica de síntesis de procesos, el Análisis de Punto de Pliegue aborda el diseño con objetivos tanto de reducción de costos energéticos y reducción de costos de capital, como aumento de capacidad y por supuesto reducción de emisiones, convirtiéndose en un arma efectiva para combatir la contaminación relacionada con combustión.
Sin embargo, los métodos termodinámicos presentan la desventaja de que en ocasiones no hay forma única de pasar de la abstracción que representa la técnica de solución a la operación real del proceso. Aún más, muchas veces no es fácil para el ingeniero de procesos definir condiciones operativas, equipos e interconexiones.
Otra desventaja consiste en la complejidad que representa el incluir diferentes criterios para la definición de un "buen diseño", por ejemplo la relación entre el costo, el impacto ambiental y la eficiencia termodinámica, además de que hasta ahora ha sido difícil incluir en esta metodología aspectos operativos como flexibilidad, confiabilidad, etc.
2.2.3 Métodos matemáticos.
El enfoque matemático se basa en el desarrollo de modelos matemáticos que definan la interacción entre los diferentes materiales involucrados y los parámetros de operación, generando un conjunto de opciones de proceso de entre las que se encontrará la mejor combinación de tecnologías y sus parámetros de operación tal que el proceso reditúe el mejor resultado posible con base en criterios determinados.
Los modelos matemáticos son representaciones abstractas de un sistema real por medio de relaciones matemáticas como ecuaciones, desigualdades y condiciones lógicas; se presentan en diferentes niveles de abstracción de acuerdo con el nivel de decisiones que se requieran tomar (administrativo, diseño y operación).
Los métodos algorítmicos de síntesis de procesos se basan en técnicas de optimización o programación matemática que tienen por objetivo encontrar el valor de un vector n-dimensional de variables, tal que minimice o maximice un criterio de rendimiento llamado función objetivo. Esta minimización (maximización) está sujeta a ciertas restricciones en forma de igualdades o desigualdades matemáticas. La representación de este problema está dada por:
Min z = f(y,d,z,x) (2-1)
s.a. h(y, d,z,x) = O g(y, d, z, x) < b
donde z es la función objetivo (por ejemplo, costo); h es el vector de ecuaciones de proceso (balances de materia, balances de energía, relaciones de equilibrio), g es el vector de expresiones tales como especificaciones de diseño o condiciones lógicas. Todas las expresiones que conforman este modelo se encuentran en función de ciertas variables, siendo las dos primeras las que se refieren a decisiones estructurales relacionadas con diferentes alternativas tecnológicas: y son las variables que definen la tecnología a emplearse en el proceso (sistema reactivo, sistema de purificación, materia prima, etc.), por lo general se trata de variables enteras, típicamente definiendo la existencia (o no) de un equipo o proceso, y d corresponde a las variables de diseño (volumen de reactor, diámetro de tubos, etc). Los otros dos tipos de variables se encuentran relacionadas con las condiciones de operación, siendo z las variables manipulables o de control (presiones, temperaturas, flujos, etc.) y x las variables de respuesta, resultantes de manipular z (niveles de emisiones, por ejemplo), b es el vector de coeficientes independientes.
Dado que las expresiones matemáticas involucradas en el tipo de problema (2-1) descrito por lo general son de naturaleza no lineal, este problema se define como un MINLP (Programa Mixto Entero No Lineal).
Es importante también hacer notar los alcances que un modelo como el presentado puede tener, ya que al manejar diferentes' tipos de variables puede utilizarse para distintas finalidades. Por ejemplo, si se utilizan los cuatro tipos de variables mostradas, se podrá llegar a resolver problemas de síntesis y diseño de procesos, donde se logrará la determinación tanto de la tecnología más adecuada para el logro de los objetivos, como también de la forma de operarla. Sin embargo si se cuenta con una tecnología ya definida, por ejemplo una planta ya existente, se fija el valor de las variables y, quedando el problema en función de los tres tipos restantes de variables y por lo tanto convirtiéndose en un problema continuo (NLP o LP); en tal caso se resolvería un problema de rediseño o reingeniería, en donde la solución mostraría cuales son las modificaciones más adecuadas para el proceso existente y condiciones de operación óptimas. Finalmente si se cuenta con una tecnología fija, no susceptible a modificaciones, entonces el problema quedará en función únicamente de las variables de control y de respuesta, caso en el cual se resuelve un problema de optimización en donde la solución corresponderá a las condiciones óptimas de operación para la planta existente.
Al observar la formulación matemática general mostrada, resalta la gran ventaja de los métodos algorítmicos en la síntesis, diseño y optimización de procesos, puesto que permiten la fácil inclusión ai modelo de todo tipo de objetivos o consideraciones deseadas, aunque el hacerlo representa un aumento de la complejidad para la obtención de la solución. Esta característica ha incentivado la utilización de técnicas matemáticas para el diseño de procesos tomando en cuenta aspectos ambientales y de operabilidad.
Una de las primeras aplicaciones en esta área fue la incorporación de aspectos de toxicidad (Grossmann et al., 1982), basada en un modelo de programación lineal mixta entera. El modelo consiste en balances de materia, datos de costos y datos de toxicología. La inclusión de consideraciones de toxicidad en el análisis requirió la creación de índices de medición de toxicidad y el planteamiento del problema supone la minimización de la toxicidad y la maximización del valor presente neto.
La modelación de procesos por lotes (Grau et al., 1994) en la que se busca la recuperación de productos y la minimización de residuos, así como también la calendarización para la producción óptima, es otro problema que ha sido tratado mediante el desarrollo de un método algorítmico en términos de una función objetivo global expresada mediante la ponderación de dos términos, uno que minimiza el impacto ambiental y la otro que maximiza los ahorros realizados por el reuso.
Otro estudio en el que se aplican procedimientos algorítmicos es el problema de síntesis de una red de intercambio de masa permitiéndose que las composiciones- objetivo varíen entre ciertos límites (Gupta et al., 1996) para lograr la determinación del mínimo costo de transferencia de un componente de la corriente rica a la pobre. Este problema se formuló como un programa mixto entero no lineal (MINLP), pero se presenta la propuesta de replantemiento del problema que permita su tratamiento como MILP.
El diseño de procesos con el Mínimo Impacto Ambiental (Pistikopoulos et al., 1995) constituye una metodología sistemática que incluye principios del Análisis de Ciclo de Vida dentro del marco de la optimización de procesos, dando de esta forma una descripción más completa del impacto ambiental del proceso. La metodología de diseño propuesta consiste en tres pasos principales: la definición de los límites del sistema de proceso, la evaluación del impacto ambiental y la incorporación de criterios de impacto ambiental a la optimización de la síntesis y diseño de procesos.
Este caso muestra un planteamiento adecuado del problema de diseño buscando el mínimo impacto ambiental, siendo importante su aportación en cuanto a la expansión de fronteras del sistema. La valoración del impacto ambiental se hace mediante índices ambientales que miden la contaminación del aire, contaminación del agua, residuos sólidos, calentamiento global, oxidación fotoquímica y destrucción de la capa de ozono; por ejemplo, la contaminación del aire se mide definiendo el índice CTAM (Critical Air Mass), como el cociente de la masa de emisiones al aire (kg de contaminante/hr) y un valor límite estándar (kg de contaminante/kg aire).
Sin embargo la solución que lleva a cabo es una solución puntual, puesto que resuelve el modelo para valores fijos de los índices propuestos, realizando la optimización individual de cada uno y de esta forma obtiene un conjunto de opciones o alternativas de diseño. El ejemplo desarrollado lleva a cabo, en primer término, la minimización de costos y posteriormente se obtienen las soluciones al
considerar como función objetivo la minimización de cada término del vector de impacto ambiental. Los resultados obtenidos muestran que el minimizar un término de dicho vector, no necesariamente se traduce en la minimización de los demás términos. Si se quisiera realizar un análisis de sensibilidad de forma que se deseara observar la variación de la función objetivo correspondiente al costo ante cambios en los parámetros ambientales, resultaría un problema por demás tedioso tener que realizar gran número de optimizaciones puntuales en ese sentido.
2.3 Definición del problema como un problema multiobjetivo.
Como se ha mencionado, en los sistemas de proceso contemporáneos los aspectos económicos forman solo una parte de las decisiones de procesos (desde el diseño hasta la operación), mismas que se encuentran influenciadas también por otros factores como impactos ambientales, versatilidad de producción, funcionalidad del producto, robustés y flexibilidad de la planeación de producción, controlabilidad del proceso, etc. Como es evidente no todos estos aspectos pueden ser incorporados en un solo objetivo del proceso, generándose entonces lo que se conoce como problema de optimización multiobjetivo o multicriterio.
Es importante notar que en los ejemplos presentados en la sección anterior, la inclusión de aspectos ambientales al diseño de procesos lleva a un problema de optimización multiobjetivo, donde se busca un diseño que maximice ganancias o minimice costos, y que a la vez minimice el impacto sobre el ambiente. Sin embargo, se presenta la dificultad de que en la mayoría de las ocasiones los objetivos se contraponen, es decir que el mejorar un objetivo se refleja en pérdida para el otro, lo que hace que el manejo y solución del problema se dificulte.
Matemáticamente un problema multiobjetivo se formula mediante dos o más funciones objetivo, mismas que están sujetas a un grupo de restricciones, como se muestra a continuación.
Min zi=fi(x) (2-2)
Min z2 = Í2 (x) s.a. h(x) = O
g(x) < b .
donde T.\ y z2 representan dos funciones objetivo, por ejemplo costo e impacto ambiental.
La solución de un sistema multiobjetivo como el planteado se consideraría perfecta si todas las funciones objetivo alcanzaran sus valores óptimos individuales en el mismo vértice de la región factible. Sin embargo en las situaciones reales es difícil encontrar funciones objetivo que se comporten de esta forma y lo que sucede es que cada función objetivo alcanza su valor óptimo
individual en diferentes vértices de la región factible, de manera que el encauzarse en la mejora de un objetivo supone el demérito de alguno otro. En estos casos surge el cuestionamiento de cuál será la solución óptima del sistema.
La carencia de una solución óptima, en un problema de optimización multiobjetivo, lleva al concepto de solución eficiente, que se define como aquella solución tal que si se intenta mejorar el valor de cualquiera de las funciones objetivo, el valor de al menos una de las restantes empeora. Con base a lo anterior se observa, pues, que la optimización multiobjetivo conduce a un conjunto de soluciones eficientes, denominadas también soluciones Pareto-óptimas o no-inferiores, y al lugar geométrico de éstas se denomina "curva de Pareto" o curva "trade-off".
Bajo este enfoque se han desarrollado trabajos, como el de Ciric y Huchette (1993) donde presentan un avance al relacionar un problema de optimización de procesos directamente con la sensibilidad del mismo a cambios en un parámetro.
Se analizó la sensibilidad de las ganancias de un proceso ante cambios en los costos de tratamiento de residuos, encontrándose que al incrementarse el costo de tratamiento la sensibilidad es tal que la ganancia neta disminuye.
La metodología de solución es un proceso en tres etapas, la primera de las cuales consiste en identificar las diferentes regiones discretas del conjunto de soluciones no-inferior, posteriormente se encuentra la curva no-inferior mediante un método secuencial de aproximación y por último se hace uso de la mencionada relación entre la sensibilidad y la optimización multiobjetivo de forma que se logra la transformación del conjunto de soluciones no-inferior en una gráfica de sensibilidad.
Sin embargo, se detecta la limitación de que el método empleado no facilita la consideración de múltiples impactos, puesto que se basa en la solución a diferentes instancias (valores específicos del parámetro) de costo de tratamiento, donde cada instancia requiere la solución del modelo de optimización y el número de instancias que se requerirían estudiar crece exponencialmente con el número de parámetros.
Otro caso es el presentado por Kniel et al. (1996), en el cual se hace uso del análisis de ciclo de vida como herramienta para la cuantificación de los impactos ambientales para el diseño de procesos. La metodología aplicada implica el desarrollo de un modelo económico y un modelo ambiental en términos de la variable de decisión que en el caso de la planta de ácido nítrico es la presión en la columna de absorción, debido a la sensibilidad de niveles de NOX a este parámetro. Una vez planteado, el problema de optimización multiobjetivo (maximización de retornos y minimización del impacto ambiental) se abordó mediante optimizaciones puntuales, con las cuales se construyó una curva de Pareto ("trade-off1). Inicialmente se establecieron los límites al optimizar cada función objetivo independientemente, posteriormente los puntos intermedios se encontraron utilizando un proceso iterativo. La curva "trade-off1 así obtenida muestra la variabilidad que se presenta en el retorno como consecuencia de
reducir el impacto ambiental, de modo que el beneficio de un objetivo va en detrimento del otro.
Nuevamente en este caso se presenta una propuesta de solución a un problema de optimización multiobjetivo que tiene limitaciones, ya que en primer término no lo resuelve en forma conjunta sino puntualmente para diferentes valores del índice de impacto ambiental y en segundo término solo se considera la posibilidad de inclusión en el análisis de un índice o parámetro ambiental, sin la posibilidad de extensión a mayor número de parámetros.
La investigación realizada en el área de optimización multiobjetivo se ha efectuado con dos enfoques principales (i) la identificación de la mejor solución compromiso interactivamente con el encargado de la toma decisiones y (ii) la identificación de la curva de soluciones no inferiores y sus propiedades.
El primer enfoque puede considerar una jerarquización de las funciones objetivo que permita dar un orden de preferencia a la optimización de éstas, o bien acordar las características de solución que satisfaciendo parcialmente los objetivos, logre una optimización adecuada.
El segundo enfoque, la identificación de las soluciones no-inferiores puede ser directamente formulado como un problema de optimización paramétrica (ver, por ejemplo Dimkou y Papalexandri,1998).
2.4 Optimización paramétrica.
La existencia de incertidumbre en la modelación de sistemas reales ha propiciado la investigación en el área del análisis post-óptimo. De acuerdo con Gal (1984) existen dos corrientes dentro del área mencionada, el análisis de sensibilidad y la programación paramétrica.
El análisis de sensibilidad investiga principalmente los efectos de cambios en algún o algunos de los datos iniciales en la solución óptima, define las propiedades específicas de esa solución óptima y en qué medida se pueden presentar cambios en los datos iniciales sin afectar dichas propiedades.
Por otro lado, la programación paramétrica busca determinar la solución óptima en todo un rango de valores de los parámetros, aunque se presenten cambios en las propiedades de esta solución hallada.
De esta forma la solución resultante de la optimización, será una función de los parámetros e inclusive podrá quedar definida por funciones diferentes para distintas regiones de valores de los parámetros. Cada una de estas soluciones óptimas tiene asociado un conjunto de expresiones que definen los valores óptimos de las variables del problema en la región en cuestión, pudiendo o no quedar tales valores en términos de los mismos parámetros.
Esto hace necesaria la identificación de estas regiones denominadas regiones críticas que delimitan los valores de los parámetros para los que cada solución conserva su optimalidad, (tal que cualquier valor de los parámetros fuera de ella hace que esa solución específica no óptima).
Las diferentes funciones obtenidas reciben el nombre de soluciones óptimas
"vecinas", las cuales se encuentran delimitadas por los llamados puntos (hiperplanos) críticos o de transición y se caracterizan por presentar optimalidad simultáneamente en dichos puntos (hiperplanos) que las separan.
El caso de un solo parámetro (k, por ejemplo) es fácilmente conceptualizado, como se muestra en la Figura 2-1, donde se aprecia que las regiones críticas (A) que corresponden a cada solución óptima son intervalos delimitados por puntos críticos. Al tratarse de varios parámetros, dichas regiones se convierten en espacios.
Figura 2-1. Esquematización de las regiones críticas de una solución óptima.
2.4.1 Algoritmos para la solución de problemas paramétricos.
Los desarrollos existentes en el área de la programación paramétrica lineal se atribuyen a T. Gal (1972, 1995), quien ha presentado algoritmos de solución para problemas multiparamétricos lineales con parámetros en el segundo miembro (RHS o lado derecho de las restricciones) de las expresiones del modelo, así como también para modelos con parámetros afectando los coeficientes de costo.
En cuanto a sistemas no lineales, Fiacco et al. (1990) presentan un compendio de los estudios efectuados en el área de optimización paramétrica no lineal, enfocada al análisis de sensibilidad y estabilidad.
Geoffrion et al. (1977) presentan un análisis post-óptimo paramétrico en sistemas lineales enteros como camino de solución de la problemática de que en las aplicaciones prácticas no basta un programa entero lineal, sino que es necesario resolver una familia de problemas numéricos. Este estudio analiza, entre otras cosas, hasta dónde pueden llegar los cambios en los datos sin invalidar la solución entera óptima encontrada, así como también analiza las propiedades de dicha solución para inferir aquellas de los problemas de la misma familia.
Como se ha visto el análisis paramétrico surge como respuesta a problemas de modelación con incertidumbre, lo cual es también presentado por Acevedo y Pistikopoulos (1997) para el caso de síntesis procesos bajo incertidumbre modelados como MILP (Programa Mixto Entero Lineal), donde se propone un algoritmo de análisis multiparamétrico donde n número de parámetros en el segundo miembro (RHS) pueden variar independientemente, siendo la solución un mapa de configuraciones óptimas enteras y su correspondiente valor óptimo de las funciones dentro de cierto espacio de los parámetros inciertos. La metodología para este caso se basa en la solución de programas lineales multiparamétricos en cada nodo del árbol de búsqueda y en la identificación de las diferentes soluciones óptimas enteras mediante procedimientos especiales de acotamiento.
Un procedimiento para la solución de modelos MINLP (Programa Mixto Entero No Lineal) con parametrización escalar en el segundo miembro (RHS) en el contexto de la síntesis de procesos bajo incertidumbre es presentado por Acevedo y Pistikopoulos (1996), el cual se basa en un algoritmo de aproximación externa y relajación de ecuaciones, en donde se requiere la solución iterativa de subproblemas no lineales (NLP) y un problema paramétrico MILP para la obtención de un perfil de solución paramétrico que corresponde al conjunto de estructuras o diseños óptimos, como función de un parámetro incierto que varía en cierto rango.
Papalexandri y Dimkou (1998) realizan una extensión de los principios de la programación multiparamétrica mencionados, a la solución de problemas multiobjetivo en ingeniería que involucran variables tanto continuas como discretas. Propone un algoritmo basado en descomposición para la solución de problemas MINLP paramétricos convexos, donde la solución paramétrica óptima (conjunto de soluciones no inferiores) también se construye mediante un procedimiento de acotamiento con problemas NLP y MILP.
Dua y Pistikopoulos (1999) presentan desarrollos teóricos y algorítmicos en la solución de problemas convexos no lineales de optimización mixta entera bajo incertidumbre, formulados mediante modelos de optimización mixta entera multiparamétrica. El algoritmo propuesto se basa en la descomposición del problema en un subproblema primal (mp-NLP) que se resuelve mediante
aproximación externa y un subproblema maestro (MINLP o mp-MILP). El resultado obtenido es un mapa completo de funciones objetivo y condiciones de operación óptimas en el espacio de los parámetros inciertos.
2.5 Relación entre Programación Paramétrica y Programación Multiobjetivo.
Las ideas presentadas en las secciones anteriores fundamentan la propuesta de solución del problema multiobjetivo mostrado (2-2) como un problema paramétrico en el cual sólo una función objetivo permanece como tal y las demás se ponen en función de parámetros. Cabe mencionar que el tipo de programa paramétrico que se genera de esta transformación es aquel con parámetros en el lado derecho de las expresiones matemáticas (RHS). El problema así transformado tomaría la siguiente forma.
Min zi = f! (x) (2-3)
s.a. f2 (x) < e h (x) = O 9(x) < b
donde & representa el parámetro que definirá los valores de la segunda función objetivo.
Al realizar el planteamiento del problema multiobjetivo como paramétrico se logra abordar dos de las problemáticas relacionadas con dicho problema, el encontrar una solución que incluya todos los valores óptimos sin necesidad de realizar optimizaciones puntuales y lograr el manejo de un número mayor de índices o parámetros ambientales de manera eficiente. Además la programación paramétrica brinda la ventaja adicional de permitir la inclusión de consideraciones de incertidumbre.
2.6 Nomenclatura.
b Vector de coeficientes independientes.
d Vector de variables de diseño.
f(x) Función de x.
g Vector de desigualdades.
h Vector de ecuaciones.
x Vector de variables de respuesta.
y Vector de variables enteras.
z Vector de variables manipulables.
z, Función objetivo i.
e Parámetro.
X Parámetro.
A Región Crítica.
CAPITULO 3
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA Y MINIMIZACIÓN DEL IMPACTO AMBIENTAL: CASO LINEAL
3.1 Introducción.
En el presente capítulo se propone el planteamiento de un problema de optimización multicriterio lineal y su solución utilizando para ello la parametrización del mismo, es decir su conversión a un problema de optimización paramétrica.
En la sección 3.2 se plantea en forma general el problema y se presentan las características de su solución y en la sección 3.3 se presenta un ejemplo de aplicación dtel método.
3.2Minimizjación del impacto ambiental como problema multiparamétrico.
En el Apénldice A se explica ampliamente el procedimiento de parametrización sistemática para la obtención de la solución óptima para un problema multiparamétrico lineal. A continuación retomaremos las ideas presentadas en el capítulo anterior para el uso de dicho procedimiento en la solución de un problema multiobjetivt).
3.2.1 El problema multiobjetivo de minimización de costo e impacto amb|ental.
Un problenia multiobjetivo es aquel en el cual se cuenta con varios criterios de optimizacióji sujetos a un conjunto de restricciones. Un caso de especial importancia! es el problema de diseño y optimización de procesos donde se buscan los
ambiental
matemáticaYnente de la forma siguiente:
menores costos cuando también interesa reducir al máximo el impacto de las operaciones del proceso. Lo anterior se puede expresar
Min Z!= costo =fi(x) (3-1) Min Z2= IA =f2(x)
s.a. h(x) = O g (x) < b
Donde, las funciones Zi y Z2 son los criterios de optimización que corresponden a expresiones que definen al costo del proceso en cuestión y al impacto ambiental (medido en alguna forma conveniente) generado por éste en términos de las variables de proceso.
El resultado de una optimización multiobjetivo no es una solución única, sino un conjunto de soluciones denominadas "sub-óptimas" y que constituyen puntos de una curva denominada "trade-off" o Curva de Pareto.
El análisis de la información proporcionada por tal curva es un aspecto de gran interés y que puede ser fácilmente ilustrado si se considera el caso en el que se tienen dos objetivos: minimizar costo y minimizar impacto ambiental, lo que da lugar como resultado expresiones del costo como función de un parámetro de impacto ambiental. Gráficamente este resultado se representa mediante una curva como la mostrada en la Figura 3-1, la cual representa el costo total de determinado proceso en función del impacto ambiental generado con una tecnología dada o para un caso operativo definido.
$
IA
Figura 3-1. Curva de Pareto.
Se observa que los dos objetivos de la optimización se contraponen, puesto que al buscar minimizar el impacto ambiental se obtiene un aumento de costos y viceversa, por lo tanto una solución óptima única no es posible. Cada punto sobre la curva representa la mejor manera de satisfacer ambos objetivos, por lo que se considera que es una curva óptima.
Normalmente, las operaciones industriales existentes se encuentran en puntos fuera de la curva descrita, es decir en puntos de operación deficiente o no óptima, como se muestra en la Figura 3-2.
$ Punto de operación deficiente
Curva óptima para tecnología dada Curva óptima para nueva tecnología
IA
Figura 3-2. Punto de operación ineficiente.
Cuando una industria que se encuentra operando en un punto deficiente decide implementar acciones para llegar a un punto óptimo, se encuentra ante la situación de que no existe un punto óptimo obvio, como lo muestra la curva.
Debido a esto el punto de operación óptimo dependerá de las ponderaciones que cada compañía tenga sobre lo ambiental y lo económico.
En la Figura 3-2 se representan varias formas en las que una empresa de operación deficiente puede llegar a un punto óptimo. Si se sigue la línea punteada horizontal se logrará el mínimo impacto ambiental al mismo costo actual; si se sigue la línea punteada vertical se logrará una disminución notable de costos, permaneciendo con el mismo impacto ambiental. Las líneas sólidas intermedias representan cambios en las condiciones de operación que conducen a menores costos y menores impactos ambientales. Por último se puede presentar la existencia de una nueva tecnología o algún otro caso operativo, cuya curva de Pareto se encuentre bajo la curva de la tecnología o caso actual, entonces se
podrán encontrar puntos para los cuales se tengan menores costos para el mismo impacto ambiental y viceversa, menores impactos ambientales para un determinado valor del costo.
Este ejemplo ilustrativo con solo dos objetivos permite la fácil visualización de la situación, sin embargo es importante mencionar que para el caso en el que se manejen más de dos criterios de optimización, la interpretación es la misma, aunque en realidad se esté hablando de un lugar geométrico de n dimensiones en vez de la curva presentada.
3.2.2 Planteamiento del problema multiparamétrico lineal.
En el presente trabajo se propone resolver un problema multiobjetivo del tipo presentado en (3-1) mediante su conversión a un problema paramétrico. Esto se logra por medio de seleccionar una función objetivo para su permanencia como tal y colocar las demás en función de parámetros, como lo muestra la expresión (3-2).
Min ZT = costo = CT x (3-2)
s.a. IA = aT x < s A x < b
Donde A representa una matriz y b un vector de coeficientes constantes; a y c son vectores de coeficientes de las variables en las funciones objetivo.
La función objetivo de impacto ambiental se ha colocado en términos de un parámetro-objetivo (e). Si las funciones objetivo iniciales requieren ser minimizadas, se generarán restricciones del tipo "menor o igual que", mientras que si se desea su maximización las restricciones generadas serán "mayor o igual que".
Generalmente la función objetivo seleccionada para permanecer como tal es la función económica, sin embargo de acuerdo a los intereses o fines particulares puede escogerse alguna otra. Se recomienda dejar en términos paramétricos aquellas funciones objetivo cuyos valores pueden ser fijados por el usuario en determinado momento. Por ejemplo para el caso de minimización costo-impacto ambiental, si lo que se desea es ajustar la operación del proceso al cumplimiento de alguna norma ambiental, el impacto ambiental se deja como parámetro, para así obtener expresiones del costo en función del impacto ambiental.
El modelo lineal (3-2) puede ser resuelto utilizando el algoritmo de parametrización sistemática de Gal (1995), el cual, para su aplicación requiere de la identificación de una región admisible de valores de los parámetros objetivo.
Esta región admisible queda definida por los límites superior e inferior de cada uno de los parámetros objetivo del problema, los cuales usualmente se obtienen mediante la maximización y minimización individual de cada una de las funciones objetivo que los originan.
Por otro lado, si alguna de las funciones objetivo determina, por razones prácticas, un límite permisible para algún parámetro, es así como este límite se obtiene.
Ejemplo de lo anterior lo constituyen los objetivos de minimizar costo e impacto ambiental, donde los parámetros ambientales adquieren sus mayores valores cuando se logra el mínimo costo, de forma que los límites superiores de tales parámetros obtenidos mediante la maximización individual de las funciones objetivo ambientales dejan de tener sentido, ya que prácticamente los máximos valores que se aceptarán son los dados por el mínimo costo.
* •.
Una vez que se han obtenido los valores que limitan la región admisible de cada parámetro puede proseguirse con la ejecución del algoritmo de parametrización sistemática (ver Apéndice A).
La solución obtenida mediante tal procedimiento presenta las características de la solución del problema multiobjetivo, es decir constituye una "Curva de Pareto". En el caso de problemas multiobjetivo lineales, el lugar geométrico definido como
"Curva de Pareto" corresponderá a varias líneas rectas, siendo cada una de ellas la solución óptima en cierto rango de valores de los parámetros.
Además de obtenerse un valor óptimo de la función objetivo en términos de los parámetros, dentro de cada rango o región de valores de estos, también se contará con un conjunto de expresiones que definen los valores de las variables de operación como función de los parámetros. Esto se debe a que cada punto de la Curva de Pareto tiene asociada una estrategia óptima de operación definida por los valores de las variables.
3.3 Ejemplo de aplicación. Incorporación de Toxicidad en la Operación Óptima de Procesos.
El ejemplo aquí presentado es una adaptación del mostrado por et al. (1982) y se encuentra basado en la configuración (d) de la Figura 5 de dicha referencia.
El problema multiobjetivo de este caso consiste en abordar la optimización de procesos químicos considerando la maximización de la ganancia anual y la minimización de la toxicidad, término que refleja el potencial de un químico para
dañar los tejidos biológicos. Para ello es necesario el desarrollo de índices de medición de la toxicidad.
Grossmann et al. (1982) proponen dos índices, el primero de los cuales asume la misma probabilidad de exposición para todos los químicos y que el daño potencial es proporcional a la cantidad (masa) de compuesto químico y a su toxicidad (representada por la LD50, que es ia dosis mortal mediana de esa sustancia tóxica); el segundo índice considera que el daño potencial depende sólo de la naturaleza del compuesto químico por lo cual intenta minimizar la presencia de los químicos más tóxicos, haciendo uso de variables enteras. En el presente ejemplo se hará uso de la primera medición de toxicidad.
3.3.1 Planteamiento del modelo.
Basándose en el trabajo de Grossmann et al. (1982), el modelo matemático propuesto para este problema multiobjetivo es el siguiente.
NP NC NP NC
Max f 1 = 2 2 (Xq venta(iiq)) - 2 [(cx¡ P¡ (qp(i)) + p¡ + q» P¡ (qp(¡)) +2 nq compra^)) ]
¡=1 q=1 ¡=1 q=1
Min f2= 2 (MasaNC q / LD50q)
q=1
NP NP
donde Masaq= 2 Compra(¡,q) + E P(¡iq) q=1,NC fija
i=1 ' i=1
s.t. Balances de materiales:
NP NP NP NP
I, Comprare,) + E P(¡iq) = 2 Venta^ + 2 C(i,q)
i=1 i=1 ¡=1 i=1
i=1,NPfija q=1,NC
C(¡,q) = v(¡,q) P¡(qp(0) Í=1,NP
q=1,NC Restricciones de compra-venta:
2 Compra^ < Máx.Compra(q)NP i=1
NP2 Compra^ > Min.Compra(q)
NPS Venta(¡,q) < Máx.Venta(q)
¡=1
E VentaNP (¡iq) > Min.Venta(q)
¡=1
donde, los subíndices i y q representan a los procesos y a los compuestos químicos respectivamente, siendo NP el número total de procesos existente y NC el número total de químicos; P(¡iq) es la cantidad de químico q producido en el proceso i; C(¡iQ) es la cantidad de químico q consumido en el proceso i; P¡ (qp(¡)) es la cantidad del compuesto químico principal qp del proceso i producida en dicho proceso; compra^ es la cantidad de químico q comprada para el proceso i;
venta(¡,q) es la cantidad de compuesto químico q que se vende habiéndose producido en el proceso i; Masaq es la cantidad total manejada de químico q en el sistema; v(¡iq) es el parámetro de balance de materia del químico q en el proceso i;
a¡ y p¡ son costos de inversión de capital (variables y fijos, respectivamente) del proceso i, y (p¡ son sus costos de operación; Xq y jaq son los precios de venta y compra, respectivamente, del químico q en el mercado;
La función objetivo f| corresponde a las ganancias anuales del sistema y está definida como la diferencia entre los ingresos debidos a ventas y los egresos debidos a compras y a los costos de inversión y los costos de operación. La función objetivo Í2 es el índice de toxicidad del proceso dado por la sumatoria de los cocientes de la cantidad de cada químico presente y su LD5o.
El balance de materia por componente supone que lo que entra al sistema de un producto ya sea por compra o por producción es igual a Jo que se vende o consume del mismo. Además, las cantidades generadas de cada producto en cada uno de los procesos quedan definidas con los "parámetros de balance" o constantes de rendimiento (v(¡iq)) de cada proceso.
Finalmente las restricciones de compra-venta nos hablan de un mercado limitado de compuestos químicos, tanto para su compra como para su venta.
El problema se replantea como sigue: dado el proceso cuya configuración se muestra en la Figura 3-3, determinar las cantidades anuales que se deberán comprar y vender de cada químico según corresponda, así como también los valores de los flujos en masa anuales de cada corriente del proceso, buscando la máxima ganancia y ia mínima toxicidad.
