Estadística Descriptiva

  Estadística Descriptiva 

Prueba de evaluación continua Grupo D 7-XI-13

1.- La siguiente tabla recoge las calificaciones de una prueba tipo test de Cálculo:

4 2 5 5 7 4 8 4 5 5 6 9 5 2 4 7 7 4 2 7 5 1 6 5 5 3 1 6 4 1 5 0 5 7 5 9 6 2 4 Se pide:

a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.

b) El Percentil 90.

c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?

d) La moda y los cuartiles.

e) La media, desviación estándar o desviación típica.

f) Realizar el diagrama de cajas.

g) ¿Hay valores atípicos?

(4,5 puntos)

2.- Dada la distribución de frecuencias de la variable tiempo (segundos) utilizado en la realización del test:

Intervalo n_i

400-500 3 500-600 3 600-700 8 700-800 5 800-900 4 900-1000 5 1000-1100 11 Se pide:

a) El tiempo más frecuente.

b) La mediana.

c) Sesgo d) Curtosis

(4 puntos)

  Estadística Descriptiva 

Soluciones:

1.-

x_i n_i  N_i f_i F_i 

0 1 1 0,02564103 0,02564103 1 3 4 0,07692308 0,1025641 2 4 8 0,1025641 0,20512821 3 1 9 0,02564103 0,23076923 4 7 16 0,17948718 0,41025641 5 11 27 0,28205128 0,69230769 6 4 31 0,1025641 0,79487179 7 5 36 0,12820513 0,92307692

8 1 37 0,02564103 0,94871795

9 2 39 0,05128205 1

a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.

4+5+1+2=12 sobre el total de 39, resulta 12/39%

b) El Percentil 90.

El 90% de 39 es igual a 35,1 y en la columna de frecuencias absolutas acumuladas el primer valor que lo excede es 36 que correspnde al 7 = P90

c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?

La frecuencia relativa correspondiente al valor 8 ó menos es 37/39 aproximadamente 0,94871, luego es el percentil 94,87

d) La moda y los cuartiles.

Moda es el valor que más se repite que es la calificación de 5.

Primer cuartil igual a 4, el primer valor que excede al 0,25 de frecuencia relativa acumulada.

Segundo cuartil o mediana igual a 5, el primer valor que excede al 0,5 de frecuencia relativa acumulada.

  Estadística Descriptiva 

e) La media, desviación estándar o desviación típica.

xi ni xini xi2

ni

0 1 0 0

1 3 3 3

2 ⁴ _{8 16}

3 ¹ _{3 9}

4 7 28 112

5 11 55 275

6 ⁴ _{24 144}

7 ⁵ _{35 245}

8 1 8 64

9 2 18 162

182 1030 4,66666667 26,4102564 4,63247863

Media

k k k

i

i i i i i

i 1 i 1 i 1

n 1 182

X f x x n x

n n 39

  









Varianza

k 2

2 i i

i 1

(x X) n

 n

 



2 i i

2 2

i

x n 1030

X 4, 666666667

n   39  



4,63247863

Desviación típica

2 4, 63247863

     2,15231936 f) Realizar el diagrama de cajas.

Mínimo=0, Q₁=4, M=5, Q₃=6, Máximo=9

Observando el rango intercuartílico IQ

= Q3-Q1= 6-4=2, tenemos como límites Q₁- 1,5 IQ= 1; siendo el límite inferior y existen valores atípicos.

Q3+ 1,5 IQ= 9 siendo el límite superior y no existen valores atípicos.

g) ¿Hay valores atípicos? El cero.

0 ,00 2 ,00 4 ,00 6 ,00 8 ,00

notas test

A

  Estadística Descriptiva 

2.-

Intervalo n_i N_i x_i x_in_i





400-500 3 _{3 450 1350 392130,2} 500-600 3 _{6 550 1650 205207,1} 600-700 8 _{14 650} 5200 208757,4

700-800 5 _{19 750} 3750 18934,91

800-900 4 _{23 850} 3400 5917,16

900-1000 5 _{28 950} 4750 95857,99

1000-1100 11 _{39 1050 11550 625503}

31650 1552308 811,54 39802,76

a) El tiempo más frecuente.

La moda está en el intervalo (1000,1100) b) La mediana.

La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, n 39

2  2 19,5 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (800,900).

Por consiguiente la mediana es:

 

j 1 j 1

j

n N a

19, 5 19 100

M e 2 800

n 4





  

  

 

     812,5

c) Sesgo

x_i













450 392130,2 -141770141 5,126E+10 550 205207,1 -53669549,4 1,404E+10 650 208757,4 -33722348,7 5,447E+09 750 18934,91 -1165225,31 71706173 850 5917,16 227583,068 8753194,9 950 95857,99 13272644,5 1,838E+09 1050 625503 149158398 3,557E+10 1552308 -67668639,1 1,082E+11 39802,76 -1735093,31 2,775E+09 199,5063 -0,2185008 -1,2483737

  Estadística Descriptiva 

3

3 1

1 3 3 3

67668639,1

( )

39 1552308

39



 ^ 

 

   

 

 

 



i

x X f

g 0 2185008,

  Asimétrica por la izquierda

d) Curtosis

k

4

-11

i i

i 1 4

2 4 4 2

(x X) f

1, 082 10

g 3 3 3

39802, 76



  

      

 



,

1 2483737

  

Más apuntada que la distribución Normal de la misma media y de la misma desviación típica muestal.

  Estadística Descriptiva 

Prueba de evaluación continua Tipo I 20-XI-13

1.- La siguiente tabla recoge los salarios anuales en miles de euros de 20 trabajadores:

20 60 19 10 40 16 16 16 10 19 19 20 20 40 19 16 10 16 70 16 Se pide:

a) Polígono de frecuencias absolutas.

b) Proporción de trabajadores que obtiene un salario superior o igual a 19000.

c) ¿Qué percentil le corresponde a un trabajador con un salario de 20000?

d) Coeficiente de Variación.

e) Diagrama de cajas. ¿Hay valores atípicos?

(4,5 puntos)

2.- Dada la distribución de frecuencias:

Intervalo ni

0-500 3 500-1000 3 1000-1500 8 1500-2000 5 2000-2500 4 Se pide:

a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

b) El primer cuartil.

c) Coeficiente de apuntamiento o Curtosis. Interpretación (4 puntos)

  Estadística Descriptiva 

Soluciones:

1.-

x_i  n_i N_i

10  3 3

16  ^{6 9}

19  4 13

20  3 16

40  ^{2 18}

60  1 19

70  1 20

a)

b) Proporcíon de trabajadores que obtienen un salario superior o igual a 19.

4+3+2+1+1=11 sobre el total de 20, resulta 11/20

c) ¿Qué percentil le corresponde a un trabajador con un salario de 20 mil?

La frecuencia relativa correspondiente al valor 20 ó menos es 16/20 aproximadamente 0,8, luego es el percentil 80

0 1 2 3 4 5 6 7

10 16 19 20 40 60 70

Estadística Descriptiva 

d) Media

Xi ni xini





10  3 30 555

16  6 96 347

19  4 76 85

20  3 60 39

40  2 80 538

60  1 60 1325

70  1 70 2153

∑

k k k

i

i i i i i

i 1 i 1 i 1

n 1 472

X f x x n x

n n 20

  









Varianza

k 2

2 i i

i 1

(x X) n

 n

 



Desviación típica

2 252, 04

     15,8757677 Coeficiente de Variación

15,8757677

CV X 23, 6

    0, 672702021

e) Diagrama de cajas.

Mínimo=10, Q₁=16, M=19, Q₃=20, Máximo=16

Observando el rango intercuartílico IQR = Q3-Q1= 20-16=4, tenemos como límites Q1- 1,5 IQR= 10; siendo el límite inferior y no existen valores atípicos.

Q3+ 1,5 IQR= 26 siendo el límite superior y existen valores atípicos.  

  Estadística Descriptiva 

  2.-

Intervalo xi ni Ni xini









0-500 250 3 3  750 3544423,440454 4187645841745,850000  500-1000 750 3 6  2250 1033553,875236 356077871005,321000  1000-1500 1250 8 14  10000 60491,493384 457402596,474428  1500-2000 1750 5 19  8750 853024,574669 145530184997,909000  2000-2500 2250 4 23  9000 3334593,572779 2779878573904,470000     ∑  23  30750 8826086,956522 7469589874250,020000  MOMENTOS

Media  1337 383742,9112 3,24765E+11 

a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

0 5 10 15 20 25

0 500 1000 1500 2000 2500

  Estadística Descriptiva 

b) El primer cuartil

Es el valor que deja a su izquierda el 25% de la población, es decir, n 23

5, 75 4  4  que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (500,1000).

Por consiguiente el primer cuartil es:

 

j 1 j 1

j

n N a

5, 75 3 500

M e 4 500

n 3





  

  

 

     958,3

c) Curtosis

k

4

-11

i i

i 1 4

2 4 4 2

(x X) f

3, 24765 10

g 3 3 3

383742,9112



  

      

 



 ,7945958410  

Es menos apuntada que la distribución Normal de la misma media y la misma desviación típica

  Estadística Descriptiva 

Prueba de evaluación continua Tipo II 20-XI-13

1.- Se toman 20 medidas a un grupo de 4 o más satélites en intervalos de 15 seg. En la tabla adjunta se reflejan las medidas de las variables GP:

4,7 4,7 4,8 4,9 5 5 5 5 5,1 5,1 5,1 5,1 5,1 5,2 5,2 5,2 5,3 5,3 5,3 5,3 Se pide:

a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

b) ¿Qué percentil le corresponde a un valor de GP de 5?

d) La moda.

e) La varianza muestral o cuasivarianza.

f) Realizar el diagrama de cajas. ¿Hay valores atípicos?

(4,5 puntos)

2.- Las calificaciones obtenidas por alumnos de Matemáticas en un examen fueron las siguientes:

Nota 0 – 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10

n_i 10 7 69 41 3

a) Representar el polígono de frecuencias absolutas.

b) ¿Cuál es el valor de la mediana?

c) ¿En qué percentil está situada una persona con una calificación de 5?

d) Interpretar el Coeficiente de asimetria de Fisher.

(4 puntos)

  Estadística Descriptiva 

Soluciones:

1. a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

xi ni Ni

4,7  2 2

4,8  1 3

4,9  1 4

5  4 8

5,1  5 13

5,2  3 16

5,3  4 20

b) La frecuencia relativa correspondiente al valor 5 ó menos es 8/20 aproximadamente 0,4, luego es el percentil 40

c) La moda.

Moda es el valor que más se repite que es la calificación de 5,1.

d) La varianza muestral o cuasivarianza.

xi ni xini   

4,7  2 9,4 0,2738 

4,8  1 4,8 0,0729 

4,9  1 4,9 0,0289 

5  4 20 0,0196 

5,1  5 25,5 0,0045 

5,2  3 15,6 0,0507 

5,3  4 21,2 0,2116 

∑ 

  Estadística Descriptiva 

Media

k k k

i

i i i i i

i 1 i 1 i 1

n 1 101, 4

X f x x n x

n n 20

  









Varianza

k 2

2 i i

i 1

(x X) n

S  n 1

  



Mínimo=4,7, Q₁=5, M=5,1, Q₃=5,2, Máximo=5,3

Primer cuartil igual a 5, el primer valor que excede al 0,25 de frecuencia relativa acumulada.

Segundo cuartil o mediana igual a 5,1, el primer valor que excede al 0,5 de frecuencia relativa acumulada.

Tercer cuartil igual a 5,2, el primer valor que excede al 0,75 de frecuencia relativa acumulada.

Observando el rango intercuartílico IQR = Q₃-Q₁= 5,2-5=0,2, tenemos como límites Q1- 1,5 IQ= 4,7; siendo el límite inferior y no existen valores atípicos.

Q3+ 1,5 IQ= 5,5 no existen valores atípicos y siendo el límite superior 5,3

¿Hay valores atípicos? No hay.

4 ,80 5 ,00 5 ,20

GP

  Estadística Descriptiva 

2.-

Nota 0 – 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10

n_i 10 7 69 41 3

Ni 10 17 86 127 3

a)

b) La mediana.

La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, n 130

2  2 65 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (4,6).

Por consiguiente la mediana es:

 

j 1 j 1

j

n N a

65 17 2

M e 2 4

n 69





  

  

 

     5,391304348

c) La frecuencia relativa correspondiente al valor 5 será (17+69/2)/130 aproximadamente, 0,39615, luego es aproximadamente el percentil 40

0 10 20 30 40 50 60 70 80

‐1 1 3 5 7 9 11

  Estadística Descriptiva 

x_i n_i

  x_in_i









1 10 10 186 ‐799 

3 7 21 37,27811 ‐86,02640  5 69 345 6,53254 ‐2,01001  7 41 287 117,42012 198,71097  9 3 27 40,89941 151,01320  Sumas 130 690 387,69231 ‐537,65680 

Media

k k k

i

i i i i i

i 1 i 1 i 1

n 1 690

X f x x n x

n n 130

  









Varianza

k 2

2 i i

i 1

(x X) n

 n

 



130  2,982248521 Sesgo

 

3

3 1

1 3 3 3

537, 656805

( )

130 2, 982248521



 

 



i

x X f

g 

  0,803056398

Asimétrica por la izquierda.