Factorización de Cholesky

Factorización de Cholesky Análisis Numérico

Ursula Iturrarán-Viveros

Método de Cholesky

  El método de Cholesky se usa para matrices simétricas definidas definidas positivas

donde, l _ii = u _ii

Factorización de Cholesky

–  Matriz Hermitiana/Hermítica (autoadjunta)

•  A = A

, A es igual a la conjugada de su traspuesta

•  Una matriz real y simétrica es hermítiana

•  Una matriz hermítiana es normal

•  Todos los valores propios son reales

•  Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales

•  Es posible encontrar una base compuesta sólo por

vectores propios

Matriz definida positiva

–  Matrices complejas. Una matriz definida positiva es

(Hermitiana) si z

Mz > 0 para todos los vectores complejos z.

La cantidad z

Mz es siempre real porque M es Hermitiana.

–  Matrices reales. Una matriz M real, simétrica de n × n es positiva definida si z

Mz > 0 para todos los vectores z diferentes de cero con entradas reales (i.e. z ∈ R

).

–  Una matriz Hermitiana (o simétrica) es positive-definida si y

solo si todos sus eigenvalores son estrictamente positivos

(i.e. > 0).

Factorización de Cholesky

Factorización de Cholesky

Factorización de Cholesky

Factorización de Cholesky

  Multiplicando el primer renglón de M y las tres columnas de M

tenemos:

  Multiplicando el segundo renglón de M y las ultimas n-1 columnas de M

obtenemos

  Multiplicando el segundo renglón de M por el k-ésimo de M

obtenemos

€

a

= m

⇒ m

= a

a

= m

m

⇒ m

= a

m

€

a

= m

m

+ m

m

k > 2

€

A =

a

a

a

a

a

a

a

a

a

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

m

0 0 m

m

0 m

m

m

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

m

m

m

0 m

m

0 0 m

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

€

a

= m

+ m

⇒ m

= a

- m

Factorización de Cholesky

  Procedemos hasta la etapa n, obteniendo en el paso i-ésimo:

€

m

= a

− m

k =1 i−1

∑

m

= 1

m

a

− m

k =1 i−1

∑ ^m

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ j > i

  Ejemplo

Factorización de Cholesky

Factorización de Cholesky

–  Exemplo

•  Los coeficientes binomiales arreglados en un arreglo simétrico crean una matriz positiva definida.

•  n = 5

•  X = pascal(n)

•  X =

•  1 1 1 1 1

•  1 2 3 4 5

•  1 3 6 10 15

•  1 4 10 20 35

•  1 5 15 35 70

•  It is interesting because its Cholesky factor consists of the same coefficients, arranged in an upper triangular matrix.

•  R = chol(X)

•  R =

•  1 1 1 1 1

•  0 1 2 3 4

Factorización de Cholesky

•  Es interesante pues su factorización de Cholesky

consiste en los mismos coeficientes, acomodados en una matriz triangular superior.

•  R = chol(X)

•  R =

•  1 1 1 1 1

•  0 1 2 3 4

•  0 0 1 3 6

•  0 0 0 1 4

•  0 0 0 0 1