Probabilidades
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Probabilidades
• El cálculo de probabilidades despierta interés entre aquellos que lo asocian al diseño de estrategias para ganar en el casino, loterías, etc.
• El cálculo de probabilidades tiene su origen en los juegos de azar (contribuciones de Galileo, Fermat, Pascal, S. XVII).
• La formalización matemática (número de casos favorables/número de casos posibles) viene de la mano de Laplace recién a inicios del S.
XIX
• A pesar que se trata de una idea bastante intuitiva se demoró
mucho en el tiempo. La idea imperante era que los resultados que dependen del azar eran imprevisibles.
• Es a partir del S. XIX que la administración del Estado incorpora el cálculo de probabilidades a las estadísticas recopiladas y abre un abanico de posibilidades.
• Rápidamente las compañías de seguros comienzan a utilizar las
estadísticas de mortalidad y la teoría de probabilidades para estimar
• Un proceso aleatorio es un proceso en el que sabemos que resultados pueden ocurrir, pero no sabemos que resultado particular va a ocurrir.
• El resultado de un experimento aleatorio depende del azar.
• Ejemplos: arrojo una moneda, arrojo un dado, Spotify
modo aleatorio de una playlist, si el índice de bolsa Merval sube, baja o no varía respecto al días anterior, número de asistentes a la clase de estadística, etc.
• Pero el hecho de que un fenómeno sea aleatorio y por ende, impredecible en sus resultados concretos, no
significa que no se pueda tener algún conocimiento del mismo. Surge la probabildad como disciplina.
Procesos aleatorios
Probabilidades
1. Arrojo un dado. Resultados posibles: S={1,2,3,4,5,6} ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1?
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 ó un 2?
3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1, 2, 3, 4, 5 ó 6?
4. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 2?
5. Supongamos que disponemos de 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar los dados salga el 1 en ambos?
Probabilidades
• Los resultados posibles de un proceso/experimento
aleatorio se denominan resultados básicos, y el conjunto de todos los resultados básicos se denominan espacio
muestral.
• Un suceso o evento es un conjunto de resultados básicos de un espacio muestral.
Probabilidades
• Arrojo un dado. Evento: “Sale el 1”
• El resultado de la tirada de un dado es imposible de acertar, pero el resultado de varios miles de tiradas puede conocerse
Probabilidades
• Arrojo un dado
n fn
n→∞
= lim )
cualquiera evento
un Pr(
• Esta tabla prueba uno de los principios que regulan el comportamiento del azar, la regularidad estadística, según la cual al aumentar el número de
veces que se repite un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de cada uno de los resultados se aproxima cada vez más a un determinado valor.
Resultados
posibles n=10 n=20 n=50 n=infinito
1 0.10 0.20 0.22 0.167
2 0 0.15 0.12 0.167
3 0.10 0.10 0.14 0.167
4 0.20 0.25 0.14 0.167
5 0.30 0.15 0.14 0.167
6 0.30 0.15 0.24 0.167
1.00 1.00 1.00 1.00
Frecuencia relativa = nro de casos favorables /nro de casos posibles = f/n
Probabilidades
• Andrei Nikolaivich Kolmogorov (1903-1987)
“El valor epistemológico de la teoría de probabilidades se funda en el hecho de que los fenómenos aleatorios
engendran a gran escala una regularidad estricta, donde lo aleatorio de cierta forma, ha desaparecido”
Probabilidad: sus postulados
Al ser la probabilidad el valor límite de la frecuencia relativa cumple con las propiedades de las frecuencias relativas
• La probabilidad de un evento E cualquiera en el espacio muestral S, es un número comprendido entre 0 y 1, i.e.
• Sea E un evento en el espacio muestral S y sean Bi los resultados básicos. Entonces
• La probabilidad de un evento imposible es 0
• La probabilidad de
( ) ∑ ( )
∈
=
E B
i
i
B P E
P 1 ) (
0 ≤ P E ≤
1 ) (S = P
• No existe una única interpretación para la probabilidad, pero las distintas interpretaciones coinciden en las reglas matemáticas de la probabilidad.
• P(A) = Probabilidad de un evento A , con
Enfoque frequentista
• La probabilidad de un
evento es la proporción de veces que el evento ocurre en el largo plazo, i.e.
después de haber repetido el experimento muchas
veces. Por eso es el límite de la frecuencia relativa de
Probabilidad
Enfoque Bayesiano:
• Para un bayesiano la probabilidad se interpreta como del grado de creencia o de convicción con respecto a la ocurrencia de determinado evento.
Interpretación subjetiva de la probabilidad.
• Las técnicas bayesianas se
1 ) (
0 ≤ P A ≤
Probabilidades: Enfoque frecuentista
• Bernoulli (1654-1705) establece los fundamentos del cálculo de probabilidades en “El arte de la conjetura”. Existen dos tipos de situaciones según Bernoulli
• Las situaciones vinculadas a los juegos de azar donde las
probabilidades se conocen a priori. Se trata del enfoque clásico de probabilidades que opera con eventos equiprobables. Si al realizar un experimento aleatorio pueden ocurrir n resultados posibles y todos tienen igual posibilidad de ocurrir, entonces la probabilidad de cada uno de los resultados es
• Las situaciones en que las probabilidades se definen a posteriori, después de un gran número de ensayos. Se trata del enfoque de frecuencia relativa.
p 1n
=
Probabilidad
• Experimento: se arrojar una moneda; S={cara, ceca}; ¿Cuál de los siguientes eventos les sorprendería más?
1. ¿Exactamente 3 caras en 10 tiradas?
2. ¿ Exactamente 3 caras en 100 tiradas?
3. ¿Exactamente 3 caras en 1000 tiradas?
• Arrojo una moneda no cargada 200 veces. ¿Cuál es la mejor conjetura que pueden hacer respecto a la cantidad de
caras/cecas en la muestra?
Probabilidad: la falacia del jugador
• Supongamos que arrojamos una moneda 6 veces y obtuvimos 6 caras C C C C C C.
• Cuál creen que es la probabilidad de obtener una cara en la próxima tirada
a. Menor a 0.5 b. Mayor a 0.5 c. 0.5
• La falacia del jugador: supone que el proceso aleatorio se compensa con lo que ocurrió en el pasado. El azar no tiene memoria.
Interpretación equivocada de la Ley de los grandes números.
• La ley de los grandes números, afirma que después de un gran
número de tiradas uno espera 50% caras y 50% cecas, y que cada vez que arrojo la moneda tengo igual probabilidad de que salga cara de que salga ceca, independientemente de lo que haya ocurrido en las tiradas anteriores.
Probabilidad: Ley de los grandes números
Intuición (presentación informal de la ley)
• La interpretación de frecuencia relativa descansa en la idea de que un experimento se efectúa y se repite muchas veces, y aprox. bajo las mismas condiciones.
• Cuanto más veces repito un experimento para calcular la probabilidad de ocurrencia de determinado evento, la
frecuencia relativa o proporción de los resultados favorables se aproxima al verdadero valor de probabilidad del evento.
• La ley de los grandes números se cumple cuando la frecuencia está muy cerca del límite, pero no tiene por que cumplirse en un número finito de observaciones
Probabilidad: espacio muestral y tipo de eventos
• Experimento: arrojo un dado
• El conjunto de todos los resultados posibles se denomina espacio muestral. S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Un evento de un espacio muestral es un subconjunto del espacio muestral.
• Consideremos los eventos
• A=“Sale el 1” y B=“Sale el 6”
• Estos resultados son considerados eventos disjuntos o mutuamente excluyentes ya que no pueden ocurrir simultáneamente.
• Es fácil calcular la probabilidad de eventos disjuntos: ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo tiro salga el 1 o el 6?
) ( )
( )
( )
o (
3 / 1 6 / 2 6 / 1 6 / 1 ) 6 ( )
1 ( )
6 o 1 (
B P A
P B
A P B
A P
P P
P
+
=
∪
=
=
= +
= +
=
Probabilidad: la regla de la suma de eventos disjuntos
• Si A1, A2, …, Ak representan k eventos disjuntos o mutuamente
excluyentes, entonces la probabilidad de que uno de ellos ocurra esta dada por
• Ejemplo
• Si A1, A2, …, Ak representan k eventos del espacio muestral S. Si A1UA2U…UAk=S, entonces estos K sucesos se denominan
colectivamente exhaustivos.
• Ejemplo
) ( ...
) ( )
( )
...
( )
o ...
o
(A1 A2 Ak P A1 A2 Ak P A1 P A2 P Ak
P = ∪ ∪ = + + +
Probabilidades cuando los eventos no son disjuntos
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta elegida al azar sea de corazones?
b. ¿Cuál es la probabilidad que una carta elegida al azar sea figura (J, Q o K)?
Diagramas de Venn - Regla general de la suma
• Si A y B son dos eventos, disjuntos o no, entonces la probabilidad de que al menos uno de ellos ocurra es
• Si A y B son eventos disjuntos entonces
) (
) ( )
( )
(
) y (
) ( )
( )
o (
B A
P B
P A
P B
A P
B A P B
P A
P B
A P
∩
− +
=
∪
− +
=
corazones figuras
10 3 9
0 ) (A∩ B = P
Diagramas de Venn
A B
A B
B B
A A
A
S S
S S
S
• Ejemplificar
Distribuciones de probabilidad
• Una distribución de probabilidad lista todos los posibles resultados y las probabilidades asociadas a estos.
• Ejemplo: “Sexo del primer hijo”
• Una distribución de probabilidad cumple con los siguientes requisitos:
• Los eventos listados (resultados básicos) B1, B2,…Bk deben ser disjuntos
• La probabilidad de cualquier evento 0≤P(Ej)≤1
• La suma de las probabilidades de todos los eventos listados del espacio muestral debe ser igual a 1 (i.e. P(S)=1)
• Ejemplos
Evento Femenino Masculino
Probabilidad 0.5 0.5
Complemento de un evento
• Experimento: se arroja un dado; S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sea D={2, 3}
• ¿Cuál es el complemento de D?
• El complemento de un evento A, se denota por AC y AC representa todos los posibles resultados del espacio
muestral que no están en A. Matemáticamente, A y AC se relacionan
• Notar que A y AC son eventos disjuntos
• Ejemplos
) ( 1
) ( i.e.
, 1 ) ( )
( )
( )
(S P A AC P A P AC P A P AC
P = ∪ = + = = −
Eventos disjuntos vs. eventos complementarios
• ¿La suma de dos eventos disjuntos es siempre igual a 1?
• ¿La suma de dos eventos complementarios es siempre igual a 1?
• Aproximadamente el 16% de los estudiantes universitarios son vegetarianos o veganos. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 3 estudiantes elegidos al azar , al menos uno de ellos es vegetariano o vegano?
1. 1-0.16*3 2. 1-0.163 3. 0.843 4. 1-0.84*3
Probabilidades conjunta marginal y condicional
• Estudio sobre la pertenencia de los adolescentes a
determinada clase social. Se trata de una muestra de 98 adolescentes de 16 años.
• Diseño del estudio: se asigna de manera objetiva a cada adolescente (en base a características de sus padres:
ocupación, educación e ingresos) a una clase social y por otro lado, se entrevista al encuestado y de manera “subjetiva” se le solicita que se asigne a la clase social que él considera que pertenece.
Probabilidad conjunta, marginal y condicional
• ¿Cuál es la probabilidad de que la posición social objetiva de un estudiante elegido al azar pertenezca a la clase media alta y que su identidad subjetiva sea también clase media alta?
• ¿Cuál es la probabilidad de que la posición social objetiva de un estudiante elegido al azar pertenezca a la clase media alta?
Clase Trabajadora
Clase media
alta Total
Posición social subjetiva
Pobre 0 0 0
Clase trabajadora 8 0 8
Clase media 32 13 45
Clase media alta 8 37 45
Clase alta 0 0 0
Total 48 50 98
Posición social objetiva
Probabilidad conjunta
• ¿Cuál es la probabilidad de que la posición social objetiva de un estudiante elegido al azar pertenezca a la clase media alta y que su identidad subjetiva sea también clase media alta?
Clase Trabajadora
Clase media
alta Total
Posición social subjetiva
Pobre 0 0 0
Clase trabajadora 8 0 8
Clase media 32 13 45
Clase media alta 8 37 45
Clase alta 0 0 0
Total 48 50 98
Posición social objetiva
Probabilidad marginal
• ¿Cuál es la probabilidad de que la posición social objetiva de un estudiante elegido al azar pertenezca a la clase media alta?
Clase Trabajadora
Clase media
alta Total
Posición social subjetiva
Pobre 0 0 0
Clase trabajadora 8 0 8
Clase media 32 13 45
Clase media alta 8 37 45
Clase alta 0 0 0
Total 48 50 98
Posición social objetiva
Probabilidad condicional
• ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que objetivamente
pertenece a la clase trabajadora se identifique con la clase media alta?
Clase Trabajadora
Clase media
alta Total
Posición social subjetiva
Pobre 0 0 0
Clase trabajadora 8 0 8
Clase media 32 13 45
Clase media alta 8 37 45
Clase alta 0 0 0
Total 48 50 98
Posición social objetiva
Ley de probabilidad condicional
Clase Trabajadora
Clase media
alta Total
Posición social subjetiva
Pobre 0 0 0
Clase trabajadora 8 0 8
Clase media 32 13 45
Clase media alta 8 37 45
Clase alta 0 0 0
Total 48 50 98
Posición social objetiva
0 )
( ) si
(
) ) (
/ (
l condiciona ad
probabilid de
Ley
∩ ≠
= P B
B P
B A
B P
A
P
Probabilidad condicional: aplicaciones
0 )
( ) si
(
) ) (
/ (
l condiciona ad
probabilid de
Ley
∩ ≠
= P B
B P
B A
B P A P
• Durante el año 2010 la encuesta de la “American Community”
estima que el 14.6% de los americanos vive debajo de la línea de pobreza. Además, 20.6% de los encuestados tienen como lengua materna una lengua que no es el inglés, y 4.2% de los encuestados reúnen ambas características.
• Basados en esta información ¿Qué porcentaje de los
americanos viven debajo de la línea de pobreza dado que el inglés no es la lengua materna?
Probabilidad condicional: aplicaciones
0 )
( ) si
(
) ) (
/ (
l condiciona ad
probabilid de
Ley
∩ ≠
= P B
B P
B A
B P A P
• En una gran ciudad de EE.UU. se realizó una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores de Time y Newsweek. Los resultados fueron los siguientes: 20% de los ciudadanos leen el Time, el 16% leen Newsweek y un 1% leen ambos semanarios.
• Se selecciona al azar a un lector de Time, ¿Cuál es la
probabilidad de que también lea el Newsweek?¿ Y que un lector de Newsweek también lea Time?
Independencia y probabilidad condicional
0 )
( ) si
(
) ) (
/ (
l condiciona ad
probabilid de
Ley
∩ ≠
= P B
B P
B A
B P A P
) (
* ) ( )
( ntes
independie eventos
dos son B
y A
Si ⇔ P A∩ B = P A P B
) (
* ) / ( )
(
* ) / ( )
(
producto del
general Regla
A P A
B P B
P B
A P B
A
P ∩ = =
Independencia y probabilidad condicional
ntes independie
denominan se
B y A eventos los
P(A) P(A/B)
Si = ⇔
• A y B son dos eventos cualesquiera del espacio muestral S
• Conceptualmente significa que B no brinda ninguna información acerca del evento A.
• Demostrémoslo matemáticamente
Independencia y probabilidad condicional
• De acuerdo con una encuesta de la UBA, el 48% de las licenciaturas son obtenidas por mujeres y el 17.5% de las
licenciaturas son en ciencias económicas. Además, el 4.7% de las licenciaturas son obtenidas por mujeres graduadas en
ciencias económicas. ¿Son los eventos “el licenciado es mujer”
y “licenciado en ciencias económicas” independientes estadísticamente?
Eventos mutuamente excluyentes vs. eventos independientes
0 )
( A ∩ B = P
• Dos eventos se dicen
disjuntos o mutuamente excluyentes cuando
sabemos que no pueden ocurrir al mismo tiempo
• Dos eventos se dicen independientes cuando el hecho de conocer el resultados de uno de ellos no brinda ninguna información sobre el otro.
) ( )
/
( A B P A
P =
Eventos mutuamente excluyentes vs. eventos independientes
1. Dadas las probabilidades P(A) = 0.45, P(B) = 0.10 y P(A∩B) = 0.045 ¿Son los eventos A, B independientes? ¿ Y son
mutuamente excluyentes?
2. Arrojamos una moneda dos veces y registramos los resultados. Sean A, B y C los siguientes eventos:
• A = {sale cara en la primera tirada}
• B = {sale cara en la segunda tirada}
• C = {sólo sale cara una vez}
¿Podemos decir que los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes? ¿Y son independientes?
3. ¿Bajo que condiciones dos eventos independientes son mutuamente excluyentes?
Verdadero o falso? Justificar
1. Si dos eventos son independientes, la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad del segundo evento.
2. Dos eventos son mutuamente excluyentes si ellos no comparten ningún resultado en común.
3. A y B son mutuamente excluyentes si P(A∩B) = P(A)P(B)
4. Si una moneda equilibrada ha sido arrojada 5 veces, y en cada una de esas veces se obtuvo una cara, entonces la
probabilidad condicional de la sexta tirada será 1/64.
Ejercicio: planteo
• La encuesta mundial World Values Survey es una encuesta
permanente alrededor del mundo interesada en cuestiones de familia, trabajo política etc.
• En su fase más reciente se encuestaron 77882 personas de 57 países, estimó que el 36. 2% de la población mundial están de acuerdo con la afirmación que dice que “los hombres deben tener más derecho a un trabajo que las mujeres”.
• La encuesta también estima que el 13.8% de los entrevistados tienen educación universitaria o más y que el 3.6% de los
encuestados satisfacen ambos criterios.
Ejercicio: preguntas
1. ¿Son los eventos estar de acuerdo con la afirmación “los hombres deben tener más derecho a un trabajo que las mujeres” y tener educación universitaria o más
eventos disjuntos?
2. Visualice los resultados anteriores mediante un diagrama de Venn.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga una educación universitaria o mayor o esté de acuerdo con la afirmación “los hombres deben tener más derecho a un trabajo que las mujeres”?
4. ¿Qué porcentaje de la población mundial no tiene estudios universitarios y no está de acuerdo con la afirmación “los hombres deben tener más derecho a un trabajo que las mujeres” ?
5. ¿Considera que la afirmación “los hombres deben tener más derecho a un trabajo que las mujeres” y el evento “educación universitaria o más” son eventos
independientes?
6. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una en cinco personas elegidas al azar esté de acuerdo con la afirmación “los hombres deben tener más derecho a un
Teorema de Bayes: intuición
• Supongamos que estamos pensando en comprar un auto usado, marca LEMON. A los fines de tomar una decisión informada,
revisamos una revista sobre autos y encontramos que el 15% de los LEMON tienen desperfectos en la caja de transmisión.
• Contratamos a nuestro mecánico de confianza, que con una mirada al LEMON y una vuelta a la manzana puede darnos una idea acabada del LEMON. No es infalible pero es bastante bueno. De acuerdo con sus registros se tiene que:
• De todos los LEMON con desperfectos que él examinó en el pasado se pronunció de manera correcta, es decir, indicó que tenían
desperfectos en el 90% de los casos
• De todos los LEMON sin problemas, digamos los LEMON OK, él se pronunció correctamente, es decir afirmó que valía la pena que se compren, en el 80% de los casos
Teorema de Bayes: intuición
• ¿Cuál es la probabilidad de que el LEMON que estoy pensando comprar tenga un desperfecto en la caja de transmisión?
• Antes de contratar al mecánico
• Si el mecánico dice que el auto tiene desperfectos en su caja de transmisión
• Si el mecánico dice que siga adelante con la operación porque el LEMON está OK.
Teorema de Bayes (1763)
1 )
1 ( =
∑
= ki P Ai
• Sean A1, A2,…,Ak k eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir y sea B otro evento cualquiera con P(B)>0. Se tiene entonces que
n ,
j A
B P A P
A P A
B P
B P
A P A
B P B
P
B A
B P A
P
k
i i i
j j
j j
j j
,..., 2 1
) /
( ) (
) (
) /
(
) (
) (
) /
( )
(
) ) (
/ (
1
=
=
=
∩ =
=
∑
= Probabilidada posteriori
Probabilidad a priori
Teorema de Bayes (1763)
• La estadística bayesiana utiliza la interpretación subjetiva de probabilidad, que representa el juicio o grado de creencia del investigador.
• Se trata de un mecanismo para modificar las valoraciones de probabilidad cuando se dispone de información adicional.
• El Teorema de Bayes puede se interpretado como un método que nos permite actualizar una probabilidad a priori
(P(LEMON sea defectuoso)) cuando se dispone de información adicional (en nuestro caso la opinión del mecánico) y con esta información adicional actualizar la probabilidad, denominada probabilidad a posteriori (P(LEMON defectuoso/opinión del mecánico).
Teorema de Bayes: aplicación
• La American Cancer Society estima que cerca del 1.7% de las mujeres tienen cáncer de mamas.
http://www.cancer.org/cancer/cancerbasics/cancer-prevalence
• Susan G. Komen para The Cure Foundation establece que las mamografías identifica alrededor del 78% de las mujeres que efectivamente padecen cáncer de mamas.
http://ww5.komen.org/BreastCancer/AccuracyofMammograms.html
• Un artículo publicado en 2003 sugiere que cerca del 10% de todas la mamografías son falsos positivos en pacientes que no padecen cancer.
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1360940
Teorema de Bayes: aplicación
• Cuando un paciente se realiza una mamografía
pueden ocurrir dos cosas: (i) el paciente tiene cáncer o (ii) el paciente no tiene cáncer. Si la mamografía
arroja un resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad
de que efectivamente el paciente tenga cáncer?
Teorema de Bayes: aplicación
• Supongamos que una mujer al que el test le dio positivo, decide repetirlo. En esta segunda mamografía, cual es la probabilidad que deberíamos asumir para esta mujer en particular de que padezca cáncer?
a) 0.017 b) 0.12 c) 0.0133 d) 0.88
Teorema de Bayes: aplicación
• ¿Cuál es la probabilidad de que esta mujer tenga cáncer si la segunda mamografía arroja también un resultado positivo?
a) 0.0936 b) 0.088 c) 0.48 d) 0.52
Teorema de Bayes: aplicación
• Un modelo epidemiológico común para la propagación de enfermedades es el modelo SIR, donde la población se divide en tres grupos:
Susceptibles, Infectados, y Recuperados. Este es un modelo razonable para enfermedades como la varicela, donde una sola infección por lo general proporciona inmunidad a infecciones posteriores.
• Imagínese una población en el medio de una epidemia, donde se
considera que el 60% de la población es susceptible, el 10% está infectada, y 30% es recuperada. La única prueba para la enfermedad es confiable el 95% del tiempo para los individuos susceptibles, el 99% del tiempo para los individuos infectados, pero el 65% del tiempo para los individuos recuperados. (Nota: que la prueba sea confiable significa que arroja un resultado negativo para los individuos susceptibles y recuperados, y un resultado positivo para los individuos infectados).
Teorema de Bayes: aplicación
• Bosqueje el árbol de probabilidades con la información brindada. Si al examinar a un individuo elegido al azar, el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que
efectivamente esté infectado?
a) 0.449 b) 0.128 c) 0.0013 d) 0.423
