Estudio del número áureo con modelación y geogebra aplicados a segundo grado de secundaria

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(1)Estudio del Número Áureo con Modelación y Geogebra aplicados a segundo grado de secundaria. Tesis para obtener el grado de: Maestría en Educación con Acentuación en Procesos de Enseñanza Aprendizaje. Presenta: Martha Catalina Ospina Hernández. Asesor tutor: Mtra. Lorenza Illanes Díaz Rivera. Asesor titular: Dr. Leopoldo Zúñiga Silva.

(2) Monterrey, Nuevo León, México. Octubre 2014. Dedicatorias A Dios y la Virgen por brindarme la oportunidad de estar con mis seres queridos, por permitirme terminar el proceso para llegar a este momento de satisfacción personal y poder disfrutar del fruto de mi esfuerzo.. A mi esposo Faber y mis hijas Ana María y Sara Camila por su comprensión, por tener la paciencia necesaria por darme el apoyo y amor para terminar esta importante etapa en mi vida.. A mi madre, por darme el apoyo moral y permanente, confiar en mis capacidades para sacar este proyecto adelante, a pesar de las múltiples circunstancias presentes en el transcurrir del tiempo.. ii.

(3) Agradecimientos Al Doctor Leopoldo Zúñiga quien con su permanente acompañamiento supo orientar desde su conocimiento para que caminara por el camino adecuado y así llegar a esta etapa en mis estudios.. A la Maestra Lorenza Illanes por las asesorías ofrecidas en el transcurso de la investigación.. Al Instituto Tecnológico de Monterrey por los espacios abiertos, estos mismo que me permitieron hacer parte de esta magnífica comunidad en el mejoramiento de la calidad de la educación. A todos los tutores presentes en este camino que compartieron conmigo su sabiduría durante todo este tiempo aumentando en mí todo el amor por la bendición de enseñar a otros y sentirme Maestra.. iii.

(4) Estudio del Número Áureo con Modelación y Geogebra aplicados a segundo grado de secundaria Resumen La presente investigación tiene por objetivo mejorar el aprendizaje de los estudiantes en el estudio del número áureo por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) y el Geogebra (Hohenwarter, 2009), objetivo que se pretende alcanzar por medio de la identificación del conocimiento de los estudiantes acerca del tema, mediante un tipo de investigación cuantitativo realizado a dos grupos de 35 estudiantes, por medio de la aplicación del pretest como prueba diagnóstica, seguido de la aplicación de un plan de trabajo, en donde los estudiantes aprenderán como se resuelven situaciones reales del número áureo por medio de dos metodologías de enseñanza y su posterior evaluación por medio de un postest para medir los aprendizajes adquiridos. Para el desarrollo de esta investigación se planteó la siguiente pregunta: ¿Cómo la Modelación Matemática puede constituirse en una estrategia que mejore el aprendizaje del número áureo con el uso del Geogebra? Una vez obtenidos los resultados y analizados los datos, se llegó a la conclusión que la enseñanza por medio de la Modelación Matemática, es más reveladora, despertando el interés de los aprendices, su mejoramiento en el aprendizaje de conceptos asociados a las proporciones y aplicación a la vida real, esto es más significativo aún cuando la Modelación Matemática se apoya con el recurso educativo. iv.

(5) Geogebra, por lo que se convierte en una herramienta adecuada para la actividad docente.. Índice Capítulo 1: Planteamiento del problema ....................................................................... 1 1.1 Antecedentes del problema ............................................................................ 1 1.1.1 Aspectos cognitivos del concepto razón y proporción (Piaget) ............. 3 1.1.2 Evolución del pensamiento del aprendiz ................................................. 4 1.1.3 Estrategias en la resolución de problemas ............................................... 5 1.1.4 Algunos estudios realizados sobre el número áureo y su enseñanza ...... 6 1.2 Marco contextual ........................................................................................... 7 1.3 Planteamiento del problema .......................................................................... 8 1.4 Objetivos de la investigación ....................................................................... 13 1.4.1 Objetivo general .................................................................................... 13 1.4.2 Objetivos específicos ............................................................................. 13 1.5 Supuestos de investigación .......................................................................... 13 1.6 Justificación de la investigación .................................................................. 14 1.7 Limitaciones de la investigación ................................................................. 17 1.7.1 Limitaciones .......................................................................................... 17 1.7.2 Delimitaciones ....................................................................................... 18 1.8 Glosario ....................................................................................................... 19 Capítulo 2: Marco teórico ............................................................................................. 21 2.1 Modelación Matemática y el Cognoscitivismo ........................................... 22 2.1.1 Reseña histórica del número áureo y construcciones geométricas ....... 25 2.1.1.1 Euclides y el número áureo ........................................................ 27 2.1.1.2 Número áureo: origen, demostración y construcción ................ 28 2.1.1.3 Rectángulo Áureo: origen, construcción geométrica ................. 34 2.2 Enseñanza del número áureo mediante el uso de Geogebra ....................... 36 2.2.1 Tipos de aprendizajes matemáticos y su aplicación al número áureo ... 37 2.2.1.1 Aplicaciones de la proporción áurea (tipos de aprendizaje) ...... 38 2.2.2 Software Geogebra................................................................................ 41 2.2.3 Instrumentos tecnológicos en la Modelación Matemática .................... 43 2.2.3.1 Geogebra en la enseñanza matemática como ambiente virtual . 43 2.3 Estudios previos realizados con Modelación Matemática ........................... 46 2.3.1 Estudios previos .................................................................................... 47 2.3.1.1 Modelación Matemática en el aula de clase .............................. 47 2.3.1.2 Modelación en educación matemática ....................................... 47 2.3.1.3 Competencias de modelación y uso de tecnología .................... 49 2.3.1.4 Niveles de Competencia de modelado ....................................... 50 2.3.1.5 Modelación de Borromeo .......................................................... 54 2.3.1.6 Modelación Matemática ............................................................ 56 2.3.2 La enseñanza de la modelación ............................................................. 59. v.

(6) Capítulo 3: Metodología de la Investigación ............................................................... 63 3.1 Método de investigación .............................................................................. 66 3.2 Participantes en el estudio ........................................................................... 68 3.2.1 Plan de investigación ............................................................................. 70 3.3 Instrumentos de recolección de datos ....................................................... 73 3.3.1 Aspectos éticos ...................................................................................... 77 3.4 Aplicación de instrumentos ....................................................................... 77 3.5 Estrategia para el análisis de datos ............................................................ 78 Capítulo 4: Análisis de resultados ................................................................................ 83 4.1 Presentación de los datos obtenidos ............................................................ 83 4.1.1 Presentación del pretest diagnóstico .................................................... 84 4.1.2 Presentación del postest ....................................................................... 88 4.1.3 Presentación de los resultados de la bitácora de observación .............. 96 4.1.4 Resultados del ciclo de Modelación Matemática............................... 103 4.2 Resultados: Análisis e interpretación de datos .......................................... 104 4.2.1 Análisis del pretest diagnóstico ......................................................... 106 4.2.2 Análisis del postest ............................................................................ 108 4.2.3 Análisis del ciclo de Modelación Matemática ................................... 110 4.2.4 Discusión de resultados...................................................................... 111 4.2.5 Confiabilidad y validez ...................................................................... 112 Capítulo 5: Conclusiones y recomendaciones ........................................................... 116 Referencias ................................................................................................................... 124 Apéndices Apéndice A: Cartas de consentimiento ................................................................ 133 Apéndice B: Instrumentos .................................................................................... 138 Apéndice C: Análisis de los Instrumentos ........................................................... 149 Apéndice D: Otros ejercicios ............................................................................... 154 Apéndice E: Evidencias........................................................................................ 163 Currículo Vitae ............................................................................................................ 166. vi.

(7) Índice de tablas Tabla 1. Clasificación de actividades mentales inmersas en el aprendizaje ............ Tabla 2. Plan de Investigación ................................................................................. Tabla 3. Categorías e indicadores ..................................................................... … Tabla 4. Límites, medias y varianzas del pretest diagnóstico del grupo 7B ............ Tabla 5. Límites, medias y varianzas del pretest diagnóstico del grupo 7C ............ Tabla 6. Límites, medias y varianzas de la prueba postest del grupo 7B ................ Tabla 7. Límites, medias y varianzas de la prueba postest del grupo 7C ................ Tabla 8. Frecuencias y medias de la bitácora de observación de 7B y 7C .............. Tabla 9. Promedio de medias en el formato de observación para el grado 7B ........ Tabla 10. Resultados de medias en el formato de observación para el grado 7C ...... Tabla 11. Medias, varianzas e intervalos de la modelación del pretest diagnóstico .. Tabla 12. Medias, varianzas e intervalos de la Modelación Matemática del postest Tabla 13. Prueba de hipótesis igualdad de medias pretest diagnóstico .................... Tabla 14. Prueba de hipótesis igualdad de varianzas del pretest diagnóstico ............ Tabla 15. Prueba de hipótesis igualdad de medias postest ........................................ Tabla 16. Prueba de hipótesis igualdad de varianzas del postest ............................... Tabla 17. Prueba de hipótesis de igualdad de medias del ciclo de modelación ........ Tabla 18. Prueba de hipótesis de igualdad de varianzas del ciclo de modelación ...... vii. 37 74 82 85 86 89 92 97 100 100 103 104 107 107 108 109 110 111.

(8) Índice de figuras Figura 1. Espiral Áurea Figura 2. Relación entre los sucesivos términos de la sucesión de Fibonacci Figura 3. Construcción geométrica de un segmento áureo Figura 4. Construcción de un segmento Áureo Figura 5. Construcción geométrica del rectángulo Áureo Figura 6. Deducción matemática de la proporción áurea Figura 7. Deducción algorítmica de la sección áurea Figura 8. Vista de la entrada al software Geogebra Figura 9. Generalidades de la Divina Proporción Figura 10.Problema de Modelación Matemática Figura 11. Refinamiento del ciclo de modelación Figura 12. Cuatro pasos para resolver una tarea de Modelación Matemática Figura 13. Esquema de modelaje en cuatro paso para estudiantes Figura 14. Comparación de medias del pretest diagnóstico Figura 15. Comparación de varianzas del pretest diagnóstico Figura 16. Comparación de medias del postest Figura 17. Comparación de varianzas del postest Figura 18. Medias obtenidas en el formato de observación Figura 19. Diferencia de medias en las sesiones del ciclo de modelación matemática con y sin apoyo del Geogebra. viii.

(9) 1. Planteamiento del problema El desarrollo de estrategias conlleva a tareas de investigación y reflexión sobre las actividades que se deben implementar en el aula de clase para una mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje. En este capítulo se da a conocer la situación problemática del tema el aprendizaje del número áureo con Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) y Geogebra (Hohenwarter, 2009), y se estructura en un planteamiento mediante los antecedentes, la pregunta, los objetivos, y la justificación. Se debe tener presente que en educación, la actual sociedad del conocimiento, según Gasteiz (2003), demanda personas con mayores competencias, lo cual involucra directamente al docente en la tarea de transmitir sus enseñanzas no solamente basadas en un currículo predeterminado, sino que también debe, mediante elementos actuales, hacer de la enseñanza algo posible de aplicar en la práctica. En la actualidad los educadores cuentan con facilidad de acceso a los recursos tecnológicos con lo que pueden desarrollar procesos de innovación educativa en el aula, dentro de las que se encuentran la promoción del trabajo colaborativo apoyado por la computadora mediante el uso de herramientas telemática y software libre, además los resultados que arrojen los estudios como producto de cada proceso de innovación (García, 2009). Queriendo abordar a profundidad lo precedentemente dicho, se presenta a continuación los diferentes apartados anteriormente mencionados. 1.1. Antecedentes del problema Es necesario conocer como los estudiantes aprenden conceptos matemáticos y los interiorizan a partir de situaciones reales como plantean Guerrero, Gil y Blanco (2006),.

(10) señalando la importancia de la interacción de los conocimientos adquiridos entre las matemáticas con el medio en donde viven los estudiantes, el cual es relevante para su aprendizaje. Hernández (2006), coincide con las opiniones anteriores ya que manifiesta que el problema principalmente está en que a los estudiantes no se les enseña a reproducir en su entorno, los aprendizajes adquiridos en la escuela. A esto se le suma el nivel de confianza que genere el docente en los aprendices, las metodologías aplicadas y el dominio para llevar a cabo las enseñanzas según lo plantean Thurston, Grant y Toppin (2006) refiriéndose al aprendizaje del estudiante frente al dominio de las enseñanzas que imparten los educadores en las escuelas, de lo que se puede deducir que los deficientes conocimientos o técnicas de enseñanza que maneja un profesor, es transmitido automáticamente a sus estudiantes. Hay otros tipos de factores que influyen en el aprendizaje de las matemáticas, como son los nombrados por Gómez (2000) refiriéndose a las emociones, actitudes y creencias de los estudiantes. Antón, Gonzales, Llorente, Montamarta, Rodríguez y Ruíz (1994), en un estudio realizado afirman que los arquitectos, escultores y pintores de todos los tiempos han utilizado las proporciones para la elaboración de sus estudios, lo que permitió llegar a una proporción totalmente armoniosa como lo es, la que se representa mediante el número áureo. Sin embargo, los estudiantes de la participante en el presente estudio, ubicada en la ciudad de Medellín en Colombia, tienen dificultades para la asimilación de dicho concepto y su relación con la razón y la proporción, de manera similar como ocurre en diferentes centros educativos. Chazan (1988), argumenta que este tipo de dificultades tienen que ver con los conceptos previos que tengan sobre temas como las. 2.

(11) semejanza, razón y proporción, e identifica cuatro aspectos importantes de este tema: comprensión del concepto de semejanza, proporciones durante la amplificación de un objeto, relaciones en el crecimiento dimensional, y proporciones en triángulos rectángulos. Este tipo de dificultades se puede analizar desde el punto de vista de Piaget (1978), en algunos de sus estudios realizados y que se presentan a continuación. 1.1.1. Aspectos cognitivos del concepto razón y proporción desde la perspectiva de Piaget. Según los estudios realizados por Piaget e Inhelder (1978), se observaba con frecuencia que dentro de la evolución del pensamiento del niño se encontraba el problema de las proporciones, concluyendo que el infante realiza una estructura cualitativa del objeto y posteriormente otra de forma cuantitativa. Para estos autores, el estudiante se encuentra en una etapa de pensamiento formal, cuando el aprendiz a través de sus acciones escolares se encuentra en la capacidad de reflexionar y realizar abstracciones que le permitan identificar las razones como relaciones entre objetos y lograr vincularlas con otras. En cuanto a la evolución del pensamiento, Piaget (1978), afirma que a medida que el estudiante se va acercando a la adolescencia su razonamiento es formal y tiene las habilidades para comprender relaciones entre dos o más variables permitiendo realizar operaciones completas de los problemas planteados. Estos trabajos de Piaget se concentraron en el pensamiento de los estudiantes al pretender determinar cómo era el proceso de pensamiento, para esto se apoyo en dos. 3.

(12) métodos: la resolución de problemas y la formación de conceptos. Se observa a continuación como Piaget (1978), hace una descripción de la evolución del pensamiento en el niño. 1.1.2. Evolución del pensamiento del aprendiz. Para Piaget (1978), los niños tienen diferentes etapas en la evolución del pensamiento, y las categoriza según las edades a la cual llama estadios. Según Piaget se trata de los estadios: sensorio-motor, el pre-operacional, el operacional concreto y el formal. El desarrollo del pensamiento en las operaciones elementales en los niños se da principalmente por el esfuerzo cognitivo que realizan más que por las instrucciones para llegar a las soluciones dadas, es lo que afirma Karplus, Pulos y Stage (1983), al establecer categorías en las respuestas de un grupo de niños en un estudio para medir la etapa general de razonamiento. Markovits, Hershkowits y Bruckheimer (1986), afirman que el problema al solucionar razones y proporciones, está en la incomprensión de la regla de tres y su errónea aplicación. 1.1.3. Estrategias en la resolución de problemas. En la realización de problemas en donde se aplica la razón y proporción, Neisser y Jopling (1997), destacan la importancia del estudio de proporciones dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje, al realizar un estudio en donde encontró un alto grado de dificultad en un grupo de estudiantes que no aplicaban el procedimiento para dar una solución, e ignoraban la relación de las fracciones como factor escalar y una multiplicación, por el contrario, el método de solución predominante en este estudio fue el método aditivo.. 4.

(13) Streefland (1984) a partir de sus investigaciones destaca la importancia de la enseñanza y aplicación del concepto de razones durante la edad temprana y al igual que Piaget (1978) plantea un desarrollo cualitativo para su comprensión lo cual puede ir acompañado de medios tecnológicos favoreciendo así el desarrollo del pensamiento perceptual. En el uso de ayudas didácticas, el docente se puede valer de medios tecnológicos en donde se fortalezca el concepto de proporción, como lo establece Ruíz (2008), por medio de tres enfoques:  Como verificador de los cálculos que hagan los alumnos.  Como generador de nuevos problemas por medio del arrastre de algún punto libre conveniente.  Como ilustrador de la transición entre las configuraciones posibles. Para apoyar la idea del fortalecimiento del concepto de razón y proporción, Arriero y García (2000) presentan la herramienta tecnológica Cabri-Géometré como alternativa para el aprendizaje de los conceptos geométricos, en donde se aprende de manera práctica y con total apoyo del ordenador, además de desarrollar patrones perceptuales y reconocimientos de objetos mejorando el aprendizaje con el uso de las nuevas tecnologías de la comunicación y de la información. Finalmente Ramírez y Burgos (2012), como líderes de un movimiento educativo abierto, señalan la importancia del buen uso que se debe dar a los recursos que se encuentran disponibles en los portales educativos para la enseñanza de la geometría, y el. 5.

(14) impacto que generan como estrategia de enseñanza, reafirmando por medio de investigaciones educativas, que la inclusión de estos recursos en el aula, enriquecen los procesos de enseñanza y aprendizaje. 1.1.4. Algunos estudios realizados sobre el número áureo y su enseñanza. Mendias (2005), presenta en su estudio algunas generalidades del número áureo y como a través de construcciones geométricas se puede llegar a hallar su valor, no solamente en la aplicación matemática, sino que a su vez presenta una serie de patrones naturales, de arte y de arquitectura pretendiendo resaltar la armonía de la geometría en un contexto diferente al de las matemáticas. Fernández, (2010), presenta una propuesta innovadora con base en una experiencia educativa, presentando una serie de talleres aplicables a contextos reales, cuyo objetivo es involucrar al estudiante con este concepto y que logre llegar al conocimiento interpretativo al apreciar la belleza en la armonía que se presenta en el arte, naturaleza y hasta en su propio cuerpo. Ruíz y Lupiañez (2009), realizaron un estudio que buscaba poner en evidencia los aspectos cognoscitivos de los estudiantes al desarrollar ejercicios con aplicativos de razón y proporción, llegaron a la conclusión de que en las escuelas no se ha explotado el potencial cualitativo de los estudiantes en estos temas, sugiriendo por tanto el reforzamiento en actividades que conlleven al desarrollo de esta temática. En la institución donde se llevó este estudio, hasta el momento no existe evidencia de trabajos anteriormente relacionados con la enseñanza del número áureo, que puedan. 6.

(15) servir al investigador como punto de partida en la búsqueda de la mejor estrategia de enseñanza, además no se evidencia en registros y por conocimientos de los docentes que allí enseñan, la aplicación de la modelación como estrategia de enseñanza, en ninguna de las áreas de estudio dentro del currículo institucional.. Lo anteriormente dicho se convierte en una problemática para los diferentes actores educativos que se pueden beneficiar con este tipo de enseñanza, es allí donde la investigación que se va a realizar toma más importancia en el ámbito local, debido a que es realmente trascendental comenzar con la implementación de dichas estrategias de enseñanza porque ayudan a que el aprendizaje de los estudiantes sea mucho más significativo, duradero y relevante para sus vidas, en el aspecto laboral y social, como se verá en la siguiente sección.. 1.2 Marco contextual. Para el siguiente estudio, la investigadora trabajó en un establecimiento de carácter oficial perteneciente a su contexto laboral, descrito a continuación: La institución participante de la investigación se encuentra ubicada en la ciudad de Medellín, en Colombia, alberga jóvenes de estrato socioeconómico bajo. La institución está conformada por una sede. En la jornada de la mañana atiende a niños que cursan el grado pre-escolar y el bachillerato, en la jornada de la tarde se dan clases a niños que cursan desde primero hasta quinto de primaria. Las instalaciones físicas de la institución son utilizadas por la comunidad en jornada contraria para el esparcimiento recreativo.. 7.

(16) A su vez esta institución pertenece a los estratos bajos de las comunas de Medellín, debido a que la situación económica cada vez se hace más difícil, y a los espacios que la mujer ha logrado ganar dentro del mundo laboral, el modelo de interacción al interior de la familia ha cambiado, razón por la cual los hijos deben permanecer bastante tiempo solos en las casas, generando una situación que influye en su desempeño académico y convivencial, lo cual debe motivar la reflexión al interior de la escuela para realizar los cambios necesarios que le permitan adaptarse a esta nueva realidad.. Por otra parte en la institución participante del estudio, los intentos que se han realizado para la implementación de estrategias lúdicas no han sido documentados y los resultados no han favorecido el mejoramiento del nivel académico de los estudiantes, por tal motivo esta investigación adquiere importancia dentro del contexto debido a que se convierte a su vez en una necesidad educativa para la institución y, para el mejoramiento académico de las actúales y futuras generaciones de estudiantes, especialmente en el área de las Matemáticas.. 1.3. Planteamiento del problema Actualmente en Colombia, la enseñanza de las matemáticas y la geometría se imparten en el grado séptimo de la educación básica, con el objetivo de que los estudiantes adquieran competencias básicas en la utilización transversal de estas áreas a la vida diaria, en situaciones tan sencillas como lo son las mediciones, las distancias, que fácilmente se podrían hallar por medio de la aplicación de razones y proporciones, u otras situaciones en las que se puedan ver inmersos en la vida cotidiana. 8.

(17) El Ministerio de Educación Nacional en Colombia, define los estándares que deben tener las instituciones educativas oficiales de todo el territorio nacional, situación que ha sido difícil de llevar debido a los resultados de las pruebas estandarizadas en donde los estudiantes han sacado puntajes bajos según lo señala Arango (2013), razón que preocupa al departamento de Antioquia, debido a que en la Universidad de Antioquia los estudiantes, han sacado puntajes con promedios de 1.7 de 5.0, cifras que alarman a la comunidad educativa porque en la trayectoria como entidad de educación superior, se ha caracterizado por su alto nivel académico. En el contexto institucional, las matemáticas a nivel social y cultural se han estigmatizado por diferentes motivos, logrando crear una visión opaca y no muy agradable para los que tienen que enfrentarse a ella, ya que “se descarta al alumnado procedente de entornos socioculturales desfavorecidos o que no han estado suficientemente escolarizados” (Blanco, 2012, p. 64) , es por tal motivo que los profesionales de la educación deben implementar estrategias de enseñanza basadas en innovación para lograr reducir poco a poco esta mentalidad que se ve claramente en los contextos escolares, desde lo que afirma Guzmán (2012) al plantearse la pregunta ¿Qué podemos hacer para mejorar los resultados de aprendizaje?, a lo que su estudio arrojo las siguientes respuestas: “Recoger realimentación de parte de los alumnos sobre las formas de trabajo. Implementar estrategias novedosas en el aula. Mejorar los procesos de evaluación. Involucrar en mayor grado a los padres de familia en el proceso formativo de sus hijos” (Guzmán, 2012, p.67).. 9.

(18) Lo anterior es necesario para poder fortalecer las competencias del área de matemáticas, además de las múltiples estrategias que se pueden implementar en las aulas de clase, logrando encontrar una que no genere rechazo por parte del aprendiz y que se pueda aplicar en su contexto, ya que muchas veces son las características contextuales las que dificultan el aprendizaje y desarrollo de habilidades numéricas. Según el Ministerio de Educación Nacional “las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos” (MEN y ASCOFADE, 2006, p. 49). Un factor común que se observa en las instituciones educativas es el desánimo de los estudiantes por recibir una clase de matemáticas con metodología tradicional, convirtiéndose en un problema debido a la indisciplina, producto del desinterés por el aprendizaje, además de la rebeldía al no reconocer al docente como guía del proceso, por la falta de autoridad que se vive al interior de los hogares, dificultando con este tipo de comportamiento la adquisición de conceptos complejos que se pueden aprender en el área de las matemáticas. Actualmente existen un sin número de herramientas que permiten a los educadores estar actualizados en innovación educativa como las propuestas por García (2009), refiriéndose al uso de las tecnologías aplicadas a la educación, dentro de las que se encuentran la promoción del trabajo colaborativo apoyado por la computadora, mediante el uso de herramientas telemática y software libre; la creación y uso de estas herramientas para diseñar e implementar los trabajos colaborativos; el diseño y creación. 10.

(19) de espacios como plataformas, donde se puede revisar los avances del estudiante y la interacción con su tutor y compañeros de trabajo colaborativo, además los resultados que arrojen los estudios de caso como producto de cada proceso de innovación. Uno de los factores que logro despertar el interés por realizar la presente investigación, está dada por la ausencia de conocimientos que tienen los estudiantes al preguntarles por el concepto matemático del número áureo y no consiguen dar una respuesta adecuada, esta idea se puede sustentar cuando se aconseja separar la enseñanza del concepto de los contextos que les dan sentido, para así evitar las dificultades de comprensión que su presentación contextualizada pudiera producir (Boubee, Delorenzi, Sastre y Rey, 2006). Actualmente se habla de la enseñanza de las matemáticas mediante situaciones problemas con la técnica de Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), tal como lo hacen Sánchez (2010), Exley (2007), Escribano (2008), con esta metodología, también se habla de la enseñanza por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009), tal es el caso de Borromeo (2013a), entre otros. No se pretende dejar de lado el aprendizaje del número áureo a través de la historia y sus grandes hombres que fueron los que iniciaron con esta ciencia, los cuales necesitan ser mencionados y reconocidos por todos aquellos estudiantes que pasan por la escuela, ya que como afirma Wussing (1998) los conocimientos sobre el desarrollo de las matemáticas en la antigüedad, son débiles y dispares. En la nueva sociedad de la información y la comunicación, es importante indagar y aplicar nuevas herramientas y recursos en el proceso formativo que respalde totalmente. 11.

(20) el aprendizaje significativo de los estudiantes. Con base en lo anterior, está el artículo de investigación: La Evaluación en los entornos personales de aprendizaje, de Cabero, Barroso y Vásquez, (2011), que fue realizado con el fin de formar por un lado a los docentes en el uso de las herramientas tecnológicas y por otro en determinar cómo evaluar ese aprendizaje, qué instrumento emplear para ello y qué recopilan los productos y resultados de las investigaciones cuya meta principal es respaldar la efectividad del proceso de aprendizaje en entornos de formación personal. Surge la inquietud si los recursos tecnológicos que los alumnos dominan con destreza, y que los utilizan más para divertirse, pueden ser utilizados por el profesor en su proceso de enseñanza y de aprendizaje para despertar o potenciar el aprendizaje en las diferentes áreas de estudio. Con lo anterior, se plantea la pregunta de investigación de tal manera que al intentar darle solución, sus resultados sean productivos para profesores que desarrollen su actividad educativa en la temática expuesta, por lo anterior, la investigación genera la siguiente pregunta: ¿Cómo la Modelación Matemática puede constituirse en una estrategia que mejore el aprendizaje del número áureo con el uso del Geogebra? Al investigar sobre dicha problemática la investigadora busca encontrar las características necesarias para implementar la enseñanza por medio del ciclo de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) con apoyo del Geogebra (Hohenwarter, 2009), para lo cual se plantean los objetivos de la investigación. 1.4. Objetivos de la investigación Los objetivos de la investigación según Hernández, Fernández y Baptista, (2010), deben contar con tres elementos relacionados entre sí a la hora de ser planteados, estos 12.

(21) elementos son: cuales son los objetivos que persigue la investigación, es decir que se pretende con la investigación, cual es el planteamiento del problema y su respectiva justificación. En el presente estudio se busca contribuir a la solución de una problemática educativa en especial que se pretende alcanzar mediante los objetivos que se presentan en la siguiente sección. 1.4.1. Objetivo general. Mejorar el aprendizaje de los estudiantes en el estudio del número áureo por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) y el Geogebra (Hohenwarter, 2009). En cumplimiento del objetivo general propuesto es necesario establecer una serie de objetivos específicos que orienten la investigación en las distintas etapas. 1.4.2. Objetivos específicos.  Identificar el grado de conocimiento de los estudiantes acerca del número áureo.  Analizar la aplicación del número áureo a través de la historia y su utilización en la vida diaria.  Implementar el recurso educativo Geogebra para la realización de construcciones geométricas.  Utilizar la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) como estrategia para la enseñanza del número áureo. Después de planteados los objetivos, se presenta el supuesto de la investigación, esperando ser aprobado una vez sea realizado el estudio de los datos. 1.5. Supuesto de investigación. 13.

(22) Burns y Grove (2004) definen los supuestos de investigación como “afirmaciones que se dan por fundamentadas o son consideradas ciertas, aunque no hayan sido científicamente demostradas” (Burns y Grove, 2004, p. 44). El software Geogebra (Hohenwarter, 2009), permite de una manera directa dar los primeros pasos en la ampliación del universo numérico indispensable para llegar al mejoramiento del aprendizaje en problemas donde se utilice el número áureo aplicados al mundo real, puesto que los estudiantes al manipular el software verifican en la solución de determinados problemas, que se presentan diversas situaciones de las cuales no se hubieran percatado por medio de un aprendizaje tradicional, por tanto el supuesto de investigación que se presenta en esta investigación se realiza con base en la revisión previa de la literatura, así también teniendo en cuenta la pregunta de investigación, los objetivos, antecedentes y justificación: El uso de Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) asistido por Geogebra (Hohenwarter, 2009) contribuye positivamente como estrategia de enseñanza para los estudiantes de séptimo grado en el aprendizaje del número áureo, mediante la comprensión del concepto, construcciones geométricas e identificación visual del número áureo en la naturaleza y en su propio cuerpo, que aquellos estudiantes de séptimo grado que aprenden de una manera convencional en el aula de clase. 1.6. Justificación de la investigación El estudio de las matemáticas en el Departamento de Antioquia no se encuentra fortalecido en el sector educativo, esto se puede demostrar con las publicaciones del Director General de la Federación Colombiana de Educadores (FECODE), donde establece que en el año 2012 se publicaron varios artículos en donde se daba fe que el 14.

(23) Departamento de Antioquia había quedado mal en el área de matemáticas frente a otros departamentos, Antioquia obtuvo resultados que indican bajo rendimiento académico en el área de las matemáticas y refiere que “ los resultados de las pruebas Saber, las Olimpiadas del Conocimiento y el examen de ingreso a la Universidad de Antioquía así lo demuestran” (Arango, 2013). Históricamente, las metodologías educativas y las propuestas teóricas que las sustentan, ha representado cambios en sí mismas; sin embargo, dicho cambio no había contemplado firmemente la manera poderosa en la que las Tecnologías de la Información y la Comunicación (en adelante TICs) intervienen en el proceso de adquisición de información y los cambios que trae consigo para los agentes del proceso educativo, ya que deben estar dispuestos a esos cambios que ofrece este mundo globalizado, además “educarse hoy exige adaptarse cultural, social, laboral, profesional y personalmente al ritmo del cambio y su velocidad, cifrado en claves de nuevas concepciones culturales de producción, de relaciones sociales, económicas e industriales, etc.” (Tejada, 2000, p.1), por tanto estos cambios deberían ser un beneficio en mejora de las actividades que desempeñan los profesores de la institución participante del estudio como autores del cambio educativo. Como una respuesta parcial que han adoptado las instituciones educativas, ha sido la incorporación de la tecnología educativa en las exigencias del diseño curricular y en la infraestructura, ya que como afirma Hopenhayn (2002) la UNESCO generará algunos escenarios en donde se va a mover la educación y es necesario conocerlos para ser generadores de las transformaciones y planes de mejoramiento que hay que hacer. 15.

(24) sabiendo que los educadores se enfrentan a dos grandes retos en los que se encuentra el desafío del conocimiento y la oportunidad para generar nuevos procesos cognitivos. Entre muchas de las necesidades de la institución participante del estudio, está la de contribuir con el aumento del nivel académico de los estudiantes que saldrán egresados en un futuro próximo, esto se podría lograr con la implementación de actividades que generen en los estudiantes confianza e interés por el aprendizaje, por medio de actividades que capten su atención en la que intervenga el uso del ciclo de Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) apoyado con el software Geogebra (Hohenwarter, 2009). Se espera que con el aumento del interés de los estudiantes por la clase de matemáticas al utilizar una estrategia novedosa de enseñanza, el estudiantes adquiere a la vez el aumento de valores como la responsabilidad, autonomía y compromiso por su actividad académica, transformándose esto en beneficio tanto para los estudiantes como para la comunidad en la que viven ya que tendrán la posibilidad de acceder a becas de educación superior, becas que significan para la comunidad educativa en donde viven la única oportunidad de estudios superiores que tienen los jóvenes que viven en este contexto, debido a los escasos recursos económicos de las familias que componen la comunidad educativa pertenecientes a la institución en donde se realizó la investigación. La justificación de esta investigación además de lo anterior, es la búsqueda de cuales experiencias significativas se encuentran en la enseñanza del número áureo y los conceptos asociados a dicho número como la razón y proporción. Esto como soporte al proceso educativo, qué las ha hecho exitosas y qué se puede obtener de allí al estudiar el número áureo, a modo de conocimiento universal, que permita difundir y propender por 16.

(25) un uso abierto, motivado, sano y creativo de las TICs en el aula; también se busca facilitar el trabajo al educador formador de matemáticas, presentado una estrategia diferente de enseñanza, en la que él podrá adaptar a sus necesidades, en las que se incluye las estrategias de enseñanza que puedan generarse mediante el uso del Geogebra (Hohenwarter, 2009), como apoyo en la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) con problemáticas del número áureo (Hohenwarter, 2009). Una vez que los estudiantes conozcan el concepto del número áureo, podrán identificarlo en su contexto, en donde se encuentra representado este número, y así estarán en la capacidad de realizar cálculos matemáticos con valores aproximados. Los nuevos hallazgos de los estudiantes estarán llenos de implicaciones prácticas, ya que se tendrá que realizar trabajo de campo para identificar posibles fuentes potenciales que logren proporcionar datos, de la misma manera se deben realizar recolección de información, hallar la razón entre ellos, permitiendo mediante la práctica, la observación directa de la dinámica de sus resultados. Al investigar sobre dicha problemática, se buscó encontrar qué características debían ser tomadas en cuenta a la hora de implementar la estrategia en los estudiantes que son objeto del proceso, sin dejar de lado el contexto sociocultural en el que viven dichos alumnos, ya que, debido a tradiciones adquiridas previamente, los estudiantes pueden mostrar una actitud reactiva frente al uso empírico de estrategias de aprendizaje. Advirtiendo la importancia de conseguir el objetivo planteado para el presente estudio investigativo, hay que tener en cuenta la existencia de limitaciones que se pueden presentar en el desarrollo del proceso investigativo.. 17.

(26) 1.7. Limitaciones de la investigación En esta sección se describen las limitaciones como los posibles obstáculos que puede restringir el curso de la investigación. En las delimitaciones se describe el espacio, tiempo, lugar, y todos los aspectos que giran en torno de la investigación. 1.7.1. Limitaciones. El tiempo es una limitante, ya que el estudio está restringido, en principio, a dos semestres de duración del curso. La falta de experiencia en un inicio en el manejo de búsqueda de información en bases de datos como recurso educativo y el uso del software Geogebra (Hohenwarter, 2009), se podrían convertir en un obstáculo para la enseñanza de esta herramienta a los estudiantes. La intensidad horaria en el grado séptimo se convierte en una limitante para la recogida de datos y para la aplicación de las actividades experimentales, situación que debe solucionarse intercambiando las clases con compañeros de otras áreas en lo que dure la investigación. La investigación se llevó a cabo con estudiantes del grado séptimo de la institución participante del estudio. Una vez descritas las limitaciones del estudio, de la misma manera se presenta la delimitación en el siguiente apartado.. 1.7.2. Delimitaciones. Dentro de las delimitaciones, se debe especificar que la investigación se realizó en una institución educativa, de la ciudad de Medellín– Antioquia–Colombia, donde se ofrece educación preescolar, básica primaria y media. 18.

(27) académica a niños, niñas y adolescentes, funcionando en jornadas de la mañana y de la tarde, ubicada en un sector de bajos recursos económicos pertenecientes a las comunas de Medellín.. El tiempo está proyectado en un tiempo no superior a un año, comprendido entre febrero y diciembre del 2014. Los participantes del estudio fueron, principalmente estudiantes pertenecientes al grado séptimo de la Institución. La temática gira en torno al aumento del aprendizaje del número áureo por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) y el Geogebra (Hohenwarter, 2009). La metodología de enseñanza es la tradicional para el grupo control y por medio del ciclo de Modelación Matemática con apoyo del Geogebra para el grupo experimental.. 1.8 Glosario  Modelación Matemática: Consiste en la realización de un proceso matemático empleando algoritmos previamente establecidos para llegar a una solución de problema (Beyer, 2013).  Geogebra: Es un software empleado en matemáticas que se encuentra libre en la web y es además de interactivo (Hohenwarter, 2009).  Número áureo: Es un número irracional, también conocido como número de oro, divina proporción, proporción áurea, entre otros, su valor numérico es 1,61803308874989… (Pacioli, 1991).. 19.

(28)  Ciclo de Modelación Matemática de Borromeo: Es un ciclo o algoritmo que consta de un procedimiento en siete etapas de Modelación Matemática, que se debe seguir para llegar a la solución del problema que se plantea (Borromeo, 2013b). En el presente capítulo se presentó la problemática de la investigación, advirtiendo la búsqueda de estrategias para la enseñanza y comprensión del número áureo por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) asistido con el software Geogebra (Hohenwarter, 2009). A continuación se presenta el sustento teórico, en donde se realiza la revisión de la literatura de los aspectos tratados en la investigación.. 20.

(29) 2. Marco Teórico En vista de la importancia de implementar estrategias que incluyan modelos en matemáticas, se muestran algunos estudios realizados y el impacto generado. La corriente que se va a seguir en el presente estudio son las investigaciones realizadas por Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007) y el método de enseñanza va a ser el de Borromeo (2013b). El término modelación en la actualidad ha surgido presentándose desde diferentes perspectivas. Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007), establecen que este concepto se utiliza en el campo de la educación, en los modelos de enseñanza, modelos físicos, modelos mentales entre otros, en educación matemática lo consideran como el punto de origen de una situación real, donde se debe realizar un completo análisis para poder generar una solución. Además de lo anterior se dan a conocer las fundamentaciones del elemento matemático denominado el número áureo, haciendo una breve descripción de su origen remontándose a los inicios de este concepto y su actual aplicabilidad en diferentes ciencias. Se investigan las construcciones geométricas entre las que se encuentre la de Mendias (2005), la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009 y el uso del Geogebra (Hohenwarter, 2009), en las construcciones geométricas. Se analiza la problemática del aprendizaje de dicho concepto en los estudiantes de educación básica, a la luz de expertos como Mendias (2005), Montero (2007), Livio (2006) que han consultado el tema de la enseñanza y los aprendizajes, se buscará la mejor estrategia de enseñanza para que los estudiantes aprendan el concepto de la. 21.

(30) relación áurea desde su contexto histórico y la transcendencia que de él se ha generado a otros campos como el de las ciencias naturales, la historia, la arquitectura y resaltando la más importante y que concierne al presente estudio: Las ciencias matemáticas. En este capítulo se aborda la revisión y análisis de documentación relacionados con el objeto de estudio, la división del mismo se presenta en tres secciones: historia de la relación del número áureo y su comprensión en los alumnos, Enseñanza del número áureo mediante el uso del Geogebra (Hohenwarter, 2009) y estudios previos realizados con la estrategia de Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009). A continuación se realiza la descripción de los fundamentos que sustentan la investigación. 2.1. Modelación Matemática y el Cognoscitivismo Actualmente los educadores se encuentran en una sociedad de constante cambio no es una tarea fácil y más cuando los estudiantes están experimentado conductas que impiden alcanzar los objetivos propuestos en los proyectos educativos de las escuelas. Teniendo en cuenta estas realidades los docentes tienen la responsabilidad de estar muy bien preparados para desempeñar su labor como orientadores de los procesos educativos de tal forma que garanticen el desarrollo de competencias en los estudiantes y asumir el reto más grande que es lograr que los jóvenes se eduquen de una forma integral, y puedan convivir en una sociedad armónica. Lo primero que debe hacer un docente es conocer toda la teoría relacionada con los modelos y/o enfoques pedagógicos que durante las historia han surgido para dar respuesta a la intención de educar a los niños de la mejor manera (Heredia, 2007). Para esto hay que diferenciar cada una de las corrientes epistemológicas y así poder. 22.

(31) diferenciar los aprendizajes y sus ritmos, quizás de esta manera se podría dar un cambio en determinado contexto educativo, por tal motivo es necesario que todos los miembros que hacen parte de la institución trabajen en común acuerdo, teniendo claro que su papel es fundamental para el éxito o fracaso del aprendizaje. Por su lado Forero (1998) se refiere a lo que es el proceso de cambio y lo que implica, lo describe de la siguiente manera “El presente es la nueva travesía, que en sus inicios reproduce lo conocido, sin olvidar que su brújula es el futuro, salva obstáculos, anunciando las formas del nuevo contexto” (Forero,1998, p.22), el cambio en este caso es un compromiso de muchos para un fin común, resumido en la transformación de jóvenes con calidad humana, pro activos, emprendedores y dispuestos a ser ejemplo de vida para las nuevas generaciones que abren sus ojos a un nuevo mundo. Durante el proceso de aprendizaje, se llevan a cabo varias estrategias que surgen de las distintas corrientes epistemológicas. A partir de la corriente Cognoscitivista, el niño debe realizar un proceso mental antes de llevar a cabo un determinado tipo de comportamiento, Piaget (1978) afirma que los niños organizaran la información y pasarán naturalmente de un estadio a otro, avanzando paulatinamente hasta alcanzar la madurez cognoscitiva o de pensamiento, esto con el fin de lograr mejorar los aprendizajes del número áureo mediante la estrategia de la Modelación Matemática. El desarrollo cognoscitivo ocurre en una secuencia de cuatro etapas, cada etapa es más avanzada que la anterior hasta llegar a la madurez cognoscitiva o de pensamiento que es propia de los adultos, aquí se establece que el desarrollo del pensamiento y del aprendizaje ocurre en cuatro etapas: etapa sensorio motriz, etapa pre operacional, etapa de operaciones concretas y etapa de las operaciones formales. 23.

(32) Por su parte Ausubel (Viera, 2003) afirma que la capacidad cognoscitiva del aprendiz es aquella que le da significado a cada texto o explicación para poder relacionar lo que ya conoce, para esto debe contar con dos premisas: la primera se refiere a que el material de aprendizaje en sí mismo pueda ser relacionado de manera no arbitraria con cualquier estructura cognoscitiva apropiada y que la estructura cognoscitiva del alumno contenga las ideas de afianzamiento relevantes. Brunner (Viera, 2003), por su parte establece que la evolución de las habilidades cognitivas del niño y en la forma estructurar el contexto educativo está centrando la atención en la enseñanza. Por lo anterior la base de esta investigación es saber si por medio de la Modelación con Geogebra (Hohenwarter, 2009) los estudiantes aprenderán con mayor significancia el número áureo, por tal motivo la Modelación en Matemáticas (Borromeo y Blum, 2009) es importante porque según Beyer (2013), todo estudiante debe aprender a modelar ya que la construcción de modelos es algo que se utiliza en todo el mundo, es una estrategia de enseñanza y aprendizaje que se debe utilizar, mejorando las dificultades que pueden surgir con esta implementación, ya que en oportunidades los modelos que se presentan son defectuosos e incompletos y la falta de experiencia en el manejo de la modelación conlleva a que el docente tome decisiones con base en modelos no terminados. Otro punto de vista es el mencionado por Beyer (2013), desde su cargo como Ministro de Educación en Santiago de Chile, es que puede darse cuenta que el auge del computador ha generado el auge de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum,. 24.

(33) 2009), afirma que permite que se pueda observar un punto de vista claro en la importancia del avance en el desarrollo de habilidades de Modelación Matemática mediante tres aspectos primordiales: 1.. La Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) ayuda al desarrollo de habilidades cognitivas y no cognitivas, apoyando el desarrollo cerebral en los estudiantes más pequeños, lo que permite que se pueda ir más allá de la enseñanza tradicional para entrar a explorar ideas matemáticas significativas mediante la conexión con el mundo real.. 2.. Las personas están modelando permanentemente como acción natural de la mente, lo que se hace relevante en la formulación de un modelo, por sencillo que parezca es que el estudiante se enfrenta a la necesidad de describir explícitamente las influencias de causalidad entre los factores presentes en el modelo.. 3.. Es una herramienta poderosa para empujar los aprendizajes de los estudiantes más débiles o con menor ritmo de aprendizaje, permitiendo al docente poder preparar mejor las clases. Aunque algunos niños no tengan una experiencia matemática formal, otros por el contrario tienen una experiencia amplia aunque informal al llegar a la escuela y esta se ha adquirido a través de modelos.. 2.1.1. Reseña histórica del número áureo y construcciones geométricas. Mendias (2005), Montero (2007), Livio (2006), han realizado estudios en función del número áureo, aún así, se ve lejos de estar entre los temas de conversación de los estudiantes y esto se fundamenta según Talizina (2001) en el formalismo con el que se denomina dicho concepto. La función del educador consiste en garantizar la asimilación. 25.

(34) del concepto del número áureo llevando al estudiante desde la demostración geométrica hasta su utilización en el ámbito escolar para su posterior aplicación en su contexto vivencial.. Con esta diversificación de las actividades de enseñanza y aprendizaje incluyendo el uso de las herramientas tecnológicas, en este caso de estudio, con el Geogebra (Hohenwarter, 2009), se busca de esta manera aumentar el interés de los estudiantes, subsanando un poco la estigmatización que se tiene de la dificultad de aprendizaje de conceptos abstractos en las matemáticas, como lo establece Hernández (2006), esta problemática tiene una razón de peso en la falta de enseñanza de aspectos que involucren a los aprendices en la reproducción de lo aprendido en el aula con lo que lo rodea en el contexto donde vive.. Si se dispone de una serie de ejemplos como menciona Livio (2006), la relación existente entre las formas de la distribución de los pétalos de algunas flores, la reproducción de los conejos que forman una sucesión fantástica, además de las relaciones entre las medidas de las falanges de los dedos de las manos, y algunas obras arquitectónicas de la antigüedad y por supuesto de la época contemporánea, además del espiral de la concha del caracol entre otros ejemplos, se puede llegar al concepto de proporción y en matemáticas es denominado la proporción áurea, y es que se expresa de esta manera porque se da una relación armoniosa entre diferentes partes.. Livio (2006), Hace una descripción del origen del número áureo se remonta desde el siglo V a.C. con la construcción del Templo Partenón en Grecia construido por el. 26.

(35) escultor Fidias, en cuyo homenaje es llamada la letra griega Fi (Φ), posterior a esto en el año 300 a. C., fue Euclides de Alejandría, fundador de la geometría como se le conoce, quien dio por primera vez la definición del concepto que más tarde llamarían proporción áurea, Euclides (1992) dijo al referirse a la división de una línea en extrema y media razón que la parte mayor es a la menor como el total es a la parte mayor.. 2.1.1.1. Euclides y el número áureo. Este destacado matemático del período Helenístico estuvo en contacto con el museo de Alejandría donde se presume según que trabajó en dicho lugar alrededor de los años 300 a. C: a él se debe el exitoso libro de matemáticas los elementos (Wussing, 1979). Livio (2006), redacta en su obra que fue Euclides la primera persona en dar la definición de lo que más tarde llamarían proporción áurea. Euclides definió la proporción al dividir un segmento de línea en extrema y media razón, esta operación matemática realizada para fines geométricos es lo que más tarde y en la actualidad se ha utilizado en diferentes aplicaciones entre las que se pueden mencionar la botánica, la astronomía, en el arte y la arquitectura, entre otros. El número áureo a pesar de sus múltiples aplicaciones, se destaca por su maravillosa singularidad, además del sentimiento de asombro que despertó en Albert Einstein, según Rojas (2007), donde define lo dicho por el famoso físico Einstein: “La cosa más bella que podemos experimentar es lo misterioso. Aquel que ya lo conoce y ya no puede hacerse preguntas, quien ya no siente asombro, está muerto, no es más que una vela apagada” (Einstein en Rojas, 2007, p. 59).. 27.

(36) 2.1.1.2. Número áureo: origen, demostración y construcción geométrica. Origen: El segmento áureo, también llamado divina proporción, denominado así por Pacioli (1991), lo describe tomando como referencia el libro VI de los elementos de Euclides, le dio este nombre, debido a la divinidad o armonía que demostraban sus medidas en relación con un todo. Pacioli comparaba el segmento áureo con la divinidad celestial al decir que era una sola y no habría otra igual, además le atribuían virtudes y poderes divinos. Posteriormente, afirma Pacioli que Kepler continuando con su legado decidió llamarla sectio divina, más adelante le dieron otros nombres cómo sección áurea o sección dorada como se le conoce recientemente.. A continuación se hace una breve descripción de los inicios del número áureo desde diferentes personajes:. A. Thales de Mileto (625 a. C.-547 a. C.). Utilizó el concepto de las proporciones para medir la gran pirámide de Keops, razonó de la siguiente forma: “la relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya” (Goñi, 2011, p. 108), por lo tanto pudo deducir que al mismo tiempo en que su sombra y el tuvieran la misma medida, eso pasaría con la pirámide y pudo dar así el valor de su altura. B. Pitágoras (569 a. C.- 475 a. C.). Bueno (1974) define el símbolo de la escuela Pitagórica como el pentalfa o pentagrama. Este representaba la figura humana, establecía contener una base perteneciente al dodecaedro y este se considera el símbolo del. 28.

(37) universo. En el pentagrama se encuentra el número áureo en el que la razón entre la diagonal y el lado cumple la divina proporción. Los grandes matemáticos pertenecientes a la escuela pitagórica quienes descubrieron la relacion entre lo bello y lo bueno: es decir “lo bello es bueno y lo bueno es bello” (Noseda, 2007, p. 22). Noseda (2007) se refiere a la relacion con el número áureo 1,618033…, Pitagoras lo entendia como la explicación que se podía dar a las cualidades físicas, morales y de cuanto todo lo que existe dadas por los números y la armonía y, con base al reconocimiento de esta armonía desarrolla parte de su filosofía. Según Bueno (1974), Pitagoras también estableció la relación armoniosa del cosmos y la música con los números y lo definió como el número es la esencia del universo. Su esposa Teano, lo sucedió después de su muerte en una confrontación contra la escuela pitagorica, según Frias (2001), a Teano se le atribuyen escritos de la proporción áurea. C. Eudoxo (408 a. C. – 355 AC). Actualmente no se encuentra disponible información directa de los escritos de Eudoxo, según el recurso educativo de astronomía (2012), estos escritos se perdieron con la quema de Alejandría, por tal motivo son reconocidos por Euclides en el libro V de sus elementos, estos fueron de gran influencia en el desarrollo de la teoría de las proporciones al establecer que los números irracionales no se pueden expresar en forma de cociente entre dos números enteros. 29.

(38) En la definición cuatro del quinto libro dice lo siguiente: “Se dice que las magnitudes guardan razón entre sí cuando, al multiplicarse, puedan exceder la una a la otra” (Álvarez, 1992, p. 161), la definición cinco del mismo libro muestra en qué condiciones se consideran idénticas dos razones: “Dícese de magnitudes, que la razón de la primera con la segunda es la misma que la razón de la tercera con la cuarta, si al tomar equimúltiplos cualesquiera de la primera y de la tercera, y equimúltiplos cualesquiera de la Segunda y de la cuarta, aquéllos y éstos igualmente exceden, igualmente coinciden, o igualmente faltan, al ser tomados en el orden correspondiente” (Heath, 1926, p. 114). La definición seis incluye el término de proporción y su explicación detallada. D. Dudero (1471-1528). Un gran aporte al estudio de la geometría fue la espiral de Dudero, basada en la construcción de una sucesión de rectángulos áureos en su obra Instrucción sobre la medida con regla y compás de las figuras planas y sólidas (Gutiérrez, Gutiérrez, y Quieruga, 2008). Mendias (2008), define la característica que tiene el rectángulo Áureo y es que al dividirlo en un cuadrado y un nuevo rectángulo, este último también es un rectángulo Áureo, de la misma manera al repetir el procedimiento y unir las esquinas de los cuadrados resultantes se obtiene una gráfica llamada espiral áurea y está basada en el número áureo.. 30.

(39) Figura 1. Espiral Áurea. Adaptado de Mendias (2005) E. Pierre de Fermat (1601-1665). En el estudio de los poliedros está asociada la integración de diferentes ramas de la matemáticas como el álgebra, análisis matemático, topología, entre otros ya que estos han estado ligados con los cimientos de las matemáticas como los de la geometría, también se encuentran relacionados “con los conceptos de magnitud y medida y también al concepto de la divina proporción que tanto en polígonos como en poliedros se encuentra presente, más aún con los llamados números poligonales, objeto de estudio de Fermat” (Zenil, 2011, p. IV del Prefacio). F. Blaise Pascal (1623-1662): Empleó el uso de las proporciones al sentirse completamente inconforme por los resultados de algunos de sus cálculos matemáticos con resultados complejos, además en los resultados negativos que hoy en día se utilizan tan naturalmente en la época de Pascal fueron objeto de oposición durante un largo período de tiempo. Pascal planteaba el siguiente enunciado, refiriéndose al tema de las proporciones: “Se considera que 0-4 es un sin sentido absoluto, -1 es menor que 1, y que -1:1 = 1:-1”. 31.

(40) (Ugochukwu, 2004, p. 72), a la vez que se cuestionaba: cómo podía un número menor tener la misma proporción con respecto a un número mayor, que la que tiene el número mayor con respecto al menor. G. Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716). En la Ley de Continuidad no hay una ruptura en la continuidad de la naturaleza, Leibniz destaca una cuestión imprescindible en donde hace referencia a la razón y la proporción: “La razón o proporción entre dos líneas L y M puede ser concebida de tres maneras: como la razón de la mayor L a la menor M, como la razón de la menor M a la más grande L, y en fin como alguna cosa abstraída de las dos, es decir, como la razón entre L y M, sin considerar cual es anterior o posterior, el sujeto o el objeto” (Leibniz, 1716, p. 113). H. George Birkhoff (1884 - 1944). Es un profesor norteamericano que planteó según Malba (1999), una nueva fórmula para calcular la belleza en las artes, arquitectura entre otros, utilizando el concepto de la división en media y extrema razón perteneciente al número áureo, dicha fórmula define que lo bello es igual al cociente entre el orden y la complejidad. I. Fibonacci (1180-1250): Este matemático llamado Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci de nacionalidad italiana, escribió en su Liber Abaci en 1202 que traducido significa libro del ábaco (Carvalho, 1990, pág. 6), el siguiente problema: Un par de conejos se vuelve productivo después de dos meses de vida, y a partir de entonces, se produce una nueva pareja cada mes. Comenzando con un solo par de conejos recién nacidos, ¿cuántas parejas existirán en el final de un año?. 32.

(41) Con este problema dio lugar a una secuencia llamada la secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... En el que cada número, después del segundo, es igual a la suma de los dos anteriores. “La razón áurea representa, según los expertos, la más agradable proporción entre dos segmentos o dos medidas” (Mendias, 2005, p. 36). En 1753, el escocés Robert Simson nombrado por Pérez (2009) ha descubierto que la relación formada por los cocientes entre dos términos seguidos de la sucesión de Fibonacci tiende al número de oro como límite, dicha relación se observa en la figura 2. A continuación se da una breve descripción del concepto de proporción a la luz de otros puntos de vista: Pacioli (1991), define el término proporción como una relación de la parte mayor con la parte menor, ésta debe ser igual a la relación de toda la línea con la parte mayor. Kepler (1596) afirma que la geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el Teorema de Pitágoras y el otro es la sección áurea; si el primero es una joya de oro, el segundo viene a ser una piedra preciosa. En la vida cotidiana Livio (2006) llama proporción a la comparación de las partes de las cosas con su tamaño o cantidad.. 33.

(42) Figura 2. Relación entre los sucesivos términos de la sucesión de Fibonacci. Adaptado de Pérez (2009). Una definición adicional es la descripción geométrica que presenta Pacioli (1991) en su Tratado de la Divina Proporción: La proporción de un segmento XY al ser dividido en dos secciones por un punto Z cerca de Y sería la siguiente: El segmento total XY es a la sección mayor XZ como la sección mayor XZ es a la sección menor ZY (para ver la demostración geométrica vea el apéndice D). Construcción geométrica del segmento áureo: Según Mendias (2005, p. 39), los pasos algorítmicos que se deben tener en cuenta para la construcción del segmento áureo, deben seguir las instrucciones que se presentan en la figura 3.. 2.1.1.3. Rectángulo Áureo: origen, construcción geométrica. Origen: Este rectángulo según Clapham (1998) ha tenido repercusiones en la historia del arte, en los monumentos arquitectónicos como el Partenón griego, entre otros.. Figura 3. Construcción geométrica de un segmento áureo. 34.

(43) Pacioli (1991) definió el rectángulo llamado por el Divino como aquel que guarda la relación áurea entre sus lados, además desde el renacimiento según lo descrito por Enrique (2012), ya se empezaba a utilizar la técnica para embellecer las obras de arte, también hace referencia al designio de los griegos de estar sujetos a este número, especialmente en lo concerniente a la geometría puesto que fue adoptado por los artistas para sus creaciones.. Figura 4. Construcción de un segmento Áureo. Mendias (2005, p. 23). Un ejemplo de esto es la bella obra Crucificado pintado en el Barroco por el pintor Velásquez, en donde se muestra claramente la representación de la división por secciones correspondientes a rectángulos Áureos y la majestuosa obra del escultor Renacentista Cellini en cual plasma la belleza del arte humano en la creación armoniosa del Crucifijo de Benvenuto. Enrique (2012), hace una comparación de estas obras llegando a la conclusión de que a pesar del tiempo en que fueron realizadas, en ambas se aprecia la belleza del cuerpo humano y la aplicación de las proporciones.. 35.