Materiales complementarios y la implentación de un tutoral de MATLAB para la solución de ejercicios de la asignatuara, Circuitos Electricos III

Texto completo

(1)FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DEPARTAMENTO DE ELECTROENERGÉTICA. TRABAJO DE DIPLOMA MATERIALES COMPLEMENTARIOS Y LA IMPLEMENTACIÓN DE UN TUTORIAL DE MATLAB PARA LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA, CIRCUITOS ELÉCTRICOS III. Autor: Yovierkys Díaz Torres E-mail: [email protected] Tutores: Dr. Avertano Hernández Stuart MSc. Juan Curbelo Cancio Departamento de Electroenergética Facultad de Ingeniería Eléctrica Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas E-mail: [email protected] [email protected]. Santa Clara 2009 “Año del 50 Aniversario del Triunfo de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electroenergética. TRABAJO DE DIPLOMA MATERIALES COMPLEMENTARIOS Y LA IMPLEMENTACIÓN DE UN TUTORIAL DE MATLAB PARA LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA, CIRCUITOS ELÉCTRICOS III. Autor: Yovierkys Díaz Torres E-mail: [email protected]. Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart MSc. Juan Curbelo Cancio E-mail: [email protected] [email protected]. Santa Clara 2009 “Año del 50 Aniversario del Triunfo de la Revolución”.

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma‫ ׃‬Materiales Complementarios y la Implementación de un Tutorial de MatLab para la solución de ejercicios de la asignatura Circuitos Eléctricos III. Fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además, no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Jefe de Firma del Tutor. Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica. Aristóteles.

(5) ii. DEDICATORIA. Es un honor para mí el poder dedicar el fruto de este trabajo que es la culminación de mi propósito como estudiante: A mis padres A mis tutores A mis amistades Y a todos aquellos presentes o no entre nosotros que de cierta forma dieron su grano de arena para que llegase hasta aquí..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. Quiero agradecer de forma especial a: Mis padres por su cariño y dedicación lo cual me ha servido de guía para lograr alcanzar esta importante meta en mi vida. Mis tutores Profesores Avertano Hernández Stuart y Juan Curbelo Cancio por su colaboración, experiencia y paciencia en la realización de este trabajo. A mi novia por su ayuda, paciencia y dedicación que ha tenido todo este tiempo. A toda mi Familia por haber confiado todo este tiempo en mí. A todos mis compañeros y amigos En general agradezco a todas las personas que de una forma u otra me han brindado su apoyo. Sinceramente muchas gracias a todos..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. Plan de Trabajo: 9 Revisión de la bibliografía y preparación metodológica existente hasta la fecha en dicha asignatura, para ganar en criterios de análisis y comparación. 9 Búsqueda en Internet de materiales relacionados con los temas del trabajo de diploma. 9 Actualizar los contenidos teóricos usando textos editados después del 2000 y materiales de estudio sacados de Internet. 9 Estudiar las instrucciones mas utilizadas por el MATLAB para resolver problemas de Circuitos Eléctricos. 9 Estudiar los capítulos correspondientes a la asignatura Circuitos Eléctricos III, utilizando los libros de textos existentes, fundamentalmente los libros editados recientemente, y los materiales que se encuentran en Internet así como las conferencias y clases prácticas elaboradas por el colectivo de profesores de la disciplina Circuitos Eléctricos. 9 Resolver ejercicios. de forma manual y aplicando las instrucciones de. MatLab, y proponer un listado de nuevos ejercicios para que el estudiante ejerciten lo aprendido. 9 Aplicar el programa de MatLab en la obtención de los valores del voltaje entre los neutros en un sistema Y-Y con cagas desbalanceadas. Analizar estos resultados. 9 Preparar un resumen del contenido teórico de cada tema, incluyendo un listado de ejercicios propuestos y resueltos aplicando MatLab. 9 Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las orientaciones y normas aprobadas por el MES. 9 Escribir el informe del trabajo de diploma con todos los requisitos que se exigen.

(8) v. RESUMEN La idea para el desarrollo de este trabajo de diploma surgió de la necesidad de unificar en un texto único los contenidos de la asignatura “Circuitos Eléctricos III” (Especialidad de Electroenergética), ya que en la actualidad el plan de estudio exige que el estudiante acceda a varios textos, algunos de los cuales fueron editados en la década del 50. En cada capítulo no solo se muestra el contenido teórico actualizado del mismo sino se incluyen ejercicios propuestos y resueltos usando el MatLab y las prácticas de laboratorio simuladas. Se añade además, en el capitulo # 1 de circuitos trifásicos desbalanceados, un estudio realizado sobre los efectos de los diferentes tipos de cargas en un circuito trifásico conectado en estrella-estrella sin neutro alimentando cargas desbalanceadas, lo que significa algo novedoso y no existente en ningún texto. Para ello se elaboro un programa en Matlab y se corrieron diferentes valores de cargas, realizándose un análisis de los resultados obtenidos, llegando a conclusiones sobre los mismos. El trabajo elaborado permitirá al estudiante no solo el estudio de los temas sino, que en algunos capítulos como es el caso de los circuitos trifásicos no sinusoidales, conocer los principios básicos elementales de estos circuitos, los efectos de los armónicos en diferentes componentes de los sistemas eléctricos, etcétera. Esta asignatura. exige del estudiante un conocimiento profundo de los temas. impartidos en las anteriores asignaturas de la disciplina Circuitos Eléctricos, por lo que se ha incluido un proyecto de curso en cuyo desarrollo, el estudiante tendrá que aplicar esos conocimientos así como los aprendidos durante el curso, lo que incluye la aplicación del Simulink y búsqueda de temas sobre armónicos en Internet. En el trabajo se destaca la necesidad de que el estudiante haga una amplia utilización de la computadora, en particular del MatLab, lo que permitirá la solución de circuitos de mayor complejidad y un mayor acercamiento a la realidad práctica de la especialidad y la posibilidad de realizar análisis de los resultados aumentando así el dominio de temas que utilizara en posteriores asignaturas..

(9) vi. Basándose en el contenido de las asignaturas y en. programa analítico de la. asignatura, el trabajo quedó estructurado de la siguiente manera. ¾ Capítulo I: Circuitos Trifásicos Desbalanceados. ¾ Capítulo II: Componentes Simétricas. ¾ Capítulo III: Circuitos Monofásicos No sinusoidales. ¾ Capítulo IV: Circuitos Trifásicos No sinusoidales. ¾ Capítulo V: Transformada de Fourier, ¾ Capítulo VI: Transformada de Laplace ¾ Capítulo VII: Circuitos no Lineales..

(10) vii. TABLA DE CONTENIDOS PENSAMIENTO ....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TAREA TÉCNICA ...............................................................................................................iv RESUMEN ............................................................................................................................v INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1 CAPÍTULO 1.. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS ..........................4. 1.1. PROBLEMAS RESUELTOS: .............................................................................4. 1.2. PROBLEMAS PROPUESTOS:........................................................................31. CAPÍTULO 2.. COMPONENTES SIMÉTRICAS......................................................36. 2.1. PROBLEMAS RESUELTOS: ...........................................................................36. 2.2. PROBLEMAS PROPUESTOS:........................................................................61. CAPÍTULO 3.. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES....................66. 3.1. PROBLEMAS RESUELTOS: ...........................................................................66. 3.2. PROBLEMAS PROPUESTOS:........................................................................91. CAPÍTULO 4.. CIRCUITOS TRIFÁSICOS NO SINUSOIDALES..........................95. 4.1. PROBLEMAS RESUELTOS: ...........................................................................95. 4.2. PROBLEMAS PROPUESTOS:......................................................................115. CAPÍTULO 5.. TRANSFORMADA DE FOURIER...................................................120. 5.1. PROBLEMAS RESUELTOS:............................................................................120. 5.2. PROBLEMAS PROPUESTOS:......................................................................135. CAPÍTULO 6. 6.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE .................................................139. PROBLEMAS RESUELTOS: .........................................................................139.

(11) viii 6.2. PROBLEMAS PROPUESTOS:......................................................................171. CAPÍTULO 7.. CIRCUITOS NO LINEALES ...........................................................177. 7.1. PROBLEMAS RESUELTOS: .........................................................................177. 7.2. PROBLEMAS PROPUESTOS:......................................................................201. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..............................................................206 Conclusiones ................................................................................................................206 Recomendaciones .......................................................................................................207 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................................208 ANEXOS............................................................................................................................210 Anexo I. Capitulo 1. CIRCUITOS TRIFASICOS DESBALANCEADOS............210. Anexo II Capítulo 2. COMPONENTES SIMETRICAS. ........................................222 Anexo III Capítulo 3. CIRCUITOS MONOFASICOS NO SINUSOIDAL. ..........230 Anexo IV Capítulo 4. CIRCUITOS TRIFÁSICOS NO SINUSOIDALES ..........237 Anexo V Capítulo 5. TRANSFORMADA DE FOURIER. ....................................244 Anexo VI Capítulo 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE....................................249 Anexo VII Capítulo 7. CIRCUITOS NO LINEALES.............................................257.

(12) INTRODUCCIÓN. INTRODUCCIÓN. El contenido de este trabajo de diploma constituye una continuación y actualización del trabajo Materiales Complementarios de Circuitos Eléctricos III realizado en el curso 2004-05. El objetivo del trabajo presentado es elaborar un material que contenga los contenidos aprobados para el plan D de la asignatura Circuitos Eléctricos III, con el objetivo de que los estudiantes del tercer año de la especialidad de Eléctrica lo utilicen para realizar el estudio de esta disciplina. Actualmente, la bibliografía con que cuentan los estudiantes es antigua y los estudiantes deben estudiar los temas impartidos distribuidos entre 4 o 5 textos, ya que el texto básico no contiene la mayoría de los contenidos impartidos y la ejercitación con que se cuenta no se corresponde en algunos de ellos con las exigencias de los temas abordados y. en otros no tienen la necesaria. ejercitación para la comprensión del contenido. En el actual trabajo se resolvieron los ejercicios aplicando MatLab, con lo que los estudiantes podrán actualizar sus conocimientos en este software. Otro aspecto que se tuvo en cuenta en su elaboración fue la actualización de las materias a impartir y de los ejercicios propuestos y resueltos, debidos a que algunos de los textos usados por los estudiantes son antiguos y los objetivos que contempla el plan temático no se corresponden. Para lograr este propósito se procederá a desarrollar siete temas, incluyendo cada uno de ellos la siguiente estructura: Título Sumario Bibliografía Objetivos Desarrollo Problemas propuestos y resueltos usando el MatLab.. 1.

(13) INTRODUCCIÓN. Encontraremos que los objetivos que se pretenden con el desarrollo de cada uno de los temas, convergen en la contribución a formar ingenieros capaces de tener una personalidad científico-técnica, acorde a los principios de la Ideología Marxista-Leninista, desarrollando en ellos hábitos y habilidades relacionados con la sistematicidad en el estudio y el trabajo independiente y ordenado. En el desarrollo se introduce, como cuestión novedosa, un ejemplo de la aplicación practica del tema de que trata el capítulo; además los contenidos se han actualizado con la consulta de una novedosa bibliografía. El material se elaboró utilizando el procedimiento inductivo, es decir, los problemas resueltos y propuestos en el documento se presentan atendiendo al grado de complejidad relacionado con los temas de la asignatura. El primer tema tratará sobre las características fundamentales de los circuitos trifásicos desbalanceados, cuyo contenido constituye un aspecto importante en la formación de los Ingenieros de la especialidad eléctrica, por ser estos circuitos los que más encontrará el graduado en su vida como profesional. En el análisis de estos circuitos el estudiante conocerá la importancia del neutro en un circuito conectado en estrella, la existencia de la corriente por el neutro y los voltajes que aparecen entre neutros cuando no existe esta conexión entre el generador y la carga. Para ello se elaboró un programa usando el MatLab en el que obtienen los valores del voltaje entre los neutros en un sistema EstrellaEstrella sin neutro con cargas desbalanceadas cuando se varían las cargas. Se presentará un estudio de los resultados obtenidos así como el análisis de los mismos. Se estudiará además la utilización de los circuitos trifásicos desbalanceados como Indicadores de Secuencia. El segundo tema se dedicará al estudio de las componentes simétricas, cuyo contenido le servirá al estudiante para conocer la aplicación del sistema de componentes. simétricas. en. la. solución. de. los. circuitos. trifásicos. desbalanceados por voltaje, además el estudiante podrá analizar la aplicación del método en la solución de un sistema trifásico en estado de falla sin carga.. 2.

(14) INTRODUCCIÓN. En el tercer y cuarto temas se exponen los principios básicos para el análisis de los sistemas monofásicos y trifásicos cuando las fem generadas son ondas periódicas no sinusoidales. En el cuarto capítulo el estudiante se introducirá en el estudio de los armónicos en los sistemas de energía, aspecto que con el desarrollo actual de la computación y la aplicación industrial de los circuitos no lineales ha despertado el interés de todos los profesionales de la rama eléctrica. Este tema es de gran importancia práctica y los conocimientos adquiridos en el mismo serán de gran aplicación en asignaturas como Máquinas Eléctricas y Sistemas de Energía. El quinto tema contempla el estudio de la transformada de Fourier. El sexto tema se dedicará al estudio de la aplicación de la transformada de Laplace en la solución de circuitos, analizándose las ventajas del método comparado con la aplicación del método clásico de solución. El séptimo abarca los circuitos no lineales resistivos. En este capítulo se tratará sobre aquellos elementos de circuitos en los que la relación entre las variables no sigue una ley lineal, por lo que su solución exige la aplicación de métodos aproximados, gráficos o numéricos; en nuestro caso aplicaremos el método de la linealización por partes y el método estructural para la solución de los circuitos no lineales resistivos.. 3.

(15) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 4. CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS 1.1 PROBLEMAS RESUELTOS: 1.1.1 En una red trifásica desbalanceada (Ver figura 1.1.1, sin impedancia en las líneas) se conocen los siguientes datos:. Figura 1.1.1. Y 1 = 0.5 − j0.2 s , Y 2 = 0.7 − j0.3 s , Y 3 = 0.3 + j0.1 s Ena = 120 + j0 V, Enb = −50 − j90 V, Enc = −60 + j70 V. Determinar las corrientes por las líneas. R:. Von =. E na Y1 + E nb Y2 + E nc Y3 Y1 + Y2 + Y3. (120 + j0)(0.5 − j0.2) + (−50 − j90)(0.7 − j0.3) + (−60 + j70)(0.3 + j0.1) 0.5 − j0.2 + 0.7 − j0.3 + 0.3 + j0.1 60 − j24 − 62 − j48 − 25 + j15 − 27 − j − 57 Von = = 1.5 − j0.4 1.5 − j0.4 Von = −7.34 − j40 v Von =. Iao = ( Ena − Von )Yao = (120 + 7.34 + j40)( 0.5 − j0.2) = 71.6-j5.5 A Ibo = ( Enb − Von )Ybo = ( −50 + 7.34 − j90 + j40)( 0.7 − j0.3) = - 44.9-j22.2 A.

(16) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. Ico = ( Enc − Von )Yco = ( −60 + 7.34 + j70 + j40)( 0.3 + j0.1) = -26.7+j27.7 A. Puede chequearse si el resultado es correcto ya que debe de cumplirse que:. Iao + Ibo + Ico = 0 Luego:. 71.6. − j5.5. − 44.9. − j22.2. − 26.7. + j27.7. 0. + j0. R. MATLAB: >> Ea=120;Eb=-50-90i;Ec=-60+70i; >> Y1=0.5-0.2i;Y2=0.7-0.3i;Y3=0.3+0.1i; >> Von=(Ea*Y1+Eb*Y2+Ec*Y3)/(Y1+Y2+Y3) Von = -7.3444 -39.9585i >> Ia=(Ea-Von)*Y1, Ib=(Eb-Von)*Y2,Ic=(Ec-Von)*Y3 Ia = 71.6639 - 5.4896i Ib = -44.8714 -22.2324i Ic = -26.7925 +27.7220i. 5.

(17) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 6. 1.1.2 Si al ejemplo anterior se le añade el neutro (similar al circuito de la figura 1.1.1) y se conoce que: Yn = 0.2 − j0. 1 s. Figura 1.1.2 Determinar las corrientes que circulan por las líneas. R: La solución para el voltaje Von es parecida a la del ejercicio anterior, la diferencia está en que en este caso hay que adicionar en el numerador la impedancia del neutro Yn . Luego:. Von. − 27 − j − 57 − 27 − j − 57 = −5.55 − j35.3 v = 1.5 − j0.4 + 0.2 − j0.1 1.7 − j0.5. In = −Von ⋅ Yn = (5.55 + j35.3) (0.2 − j0.1) = 4.6+j6.4 A I 1 = ( Ena − Von )Yao = (120 + 5.55 + j35.3)( 0.5 − j0.2) = 69.9-j7.5 A I 2 = ( Enb − Von )Ybo = ( −50 + 5.55 − j90 + j35.3)( 0.7 − j0.3) = - 47.6-j25 A. I 3 = ( Enc − Von)Yco = (−60 + 5.55 + j70 + j35.3)(0.3 + j0.1) = - 26.9+j26.1 A También puede comprobarse la solución de este ejercicio, partiendo que:.

(18) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. Iao + Ibo + Ico + In = 0 Luego:. 4.6 69.9 − 47.6 − 26.9 0. + j6.4 − j7.5 − j25.0 + j26.1 + j0. R. MATLAB: >> I1=69.9+6.4i,I2=-47.6-25i,I3=-26.9+26.1i,In=4.6+6.4i, I1 = 69.9000 + 6.4000i I2 = -47.6000 -25.0000i I3 = -26.9000 +26.1000i In = 4.6000 + 6.4000i >> I=[I1,I2,I3,In]; >> compass(I) >> legend('I1','I2','I3','In'); >> title('Diagrama fasorial de I1,I2,I3 y In'). 7.

(19) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 1.1.3 Obsérvese la figura siguiente:. Figura 1.1.3 Las tensiones aplicadas al circuito son: Vab = 208∠30 0 v Vbc = 208∠ − 90 0 v Vca = 208∠150 0 v. 8.

(20) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 9. Determínese la potencia activa, reactiva y aparente de cada fase, así como la total o trifásica. R: La fase a − b no demanda reactivo dada su naturaleza puramente resistiva. Si se designa como Qab al reactivo de dicha fase, se pude afirmar que: Qab = 0. La potencia demandada por la misma Pab puede calcularse aplicando la ley de Joule, o sea:. Vab2 (208 2 ) = Pab = I ⋅ Rab = Rab 40 2 ab. Pab = 1081.6 W Debido al hecho que en este caso la fase no demanda potencia reactiva, la potencia aparente Sab coincide con la potencia activa y el factor de potencia es unitario. El argumento ϕ bc de la impedancia conectada en la fase b-c es:. ϕ bc = tang −1. Xbc ⎛ − 20 ⎞ = tang −1 ⎜ ⎟ Rbc ⎝ 20 ⎠. ϕ bc = −45 0 Por lo cual el factor de potencia de esta fase, al cual se designa ( fp)bc , tiene el valor: ( fp )bc = cos ϕ bc = cos( −45 0 ) ( fp )bc = 0.707 (capacitivo). Para calcular las potencias demandadas por dicha fase, se debe hallar primeramente la corriente que circula por la misma. Aplicando la ley de Ohm se encuentra:.

(21) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. Ibc =. 10. Vbc 208∠ − 90 0 = Zbc 20 − j20. Ibc = 7.35∠ − 45 0 A. A partir de este resultado se puede hallar la potencia Pbc y el reactivo Qbc demandados por la fase en cuestión. Esto es:. Pbc = Vbc ⋅ Ibc ⋅ cosϕ bc = 208 ⋅ 7.35 ⋅ cos(−450 ) = Ibc 2 Rbc Pbc = 1081.02 W Qbc = Vbc ⋅ Ibc ⋅ senϕ bc = 208 ⋅ 7.35 ⋅ sen(−450 ) Qbc = −1081.02 VAR Conocidos estos valores se puede hallar la potencia aparente Sbc por diferentes vías. Una de ellas es:. Sbc =. Pbc 1081 = cos ϕ bc cos(−450 ). Sbc = 1528.8 VA Con este último cálculo se han determinado todas las magnitudes necesarias para representar el triángulo de potencias de la fase b-c. Para hallar las de la fase c − a , utilizando símbolos análogos y siguiendo el mismo procedimiento se tiene que:. ϕ ca = tang −1. Xca ⎛ 15 ⎞ = tang −1 ⎜ ⎟ Rca ⎝ 15 ⎠. ϕ ca = 45 0 ( fp ) ca = cos ϕ ca = cos( 45 0 ) ( fp ) ca = 0.707 (inductivo). Ica =. Vca 208∠150 0 = 15 + j15 Z ca. Ica = 9.81∠105 0 A.

(22) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 11. Pca = Vca ⋅ Ica ⋅ cos ϕ ca = 208 ⋅ 9.81 × cos(45 0 ) Pca = 1442.84 W Qca = Vca ⋅ Ica ⋅ senϕ ca = 208 ⋅ 9.81 × sen(45 0 ) Qca = 1442.84 VAR Sca =. 1442.84 Pca = cos ϕ ca 0.707. Sca = 2040.48 VA Ahora calculamos los valores de las potencias trifásicas: 3. P 3φ = ∑ Pf = 1081.6 + 1081.02 + 1442.84 f =1. P 3φ = 3605.46 W 3. Q3φ = ∑ Qf = 0 − 1081.02 + 1442.84 f =1. Q 3φ = 361.82 VAR. S 3φ = P32φ + Q32φ 3φ = (3605.46) 2 + (361.82) 2 S 3φ = 36231.57 VA Debido al hecho de que el reactivo trifásico es inductivo, como se infiere del signo positivo de su valor numérico, el factor de potencia trifásico es inductivo también. Su valor puede calcularse de la siguiente forma: fp 3φ =. P3φ S 3φ. =. 3605.46 3623.57. fp 3φ = 0.995 (inductivo). R. MATLAB: >> Pab=1081.6;Pbc=1081.02;Pca=1442.84; >> Qab=0;Qbc=-1081.02;Qca=1442.84;.

(23) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. >> Sab=1081.6;Sbc=1528.8;Sca=2040.48; >> Pf=[Pab Pbc Pca]; >> Qf=[Qab Qbc Qca]; >> Sf=[Sab Sbc Sca]; >> P3f=sum(Pf); >> Q3f=sum(Qf); >> S3f=sqrt(P3f^2+Q3f^2); >> PQS=[Pf P3f Qf Q3f Sf S3f] PQS = 1.0e+003 * Columns 1 through 8 1.0816. 1.0810. 1.4428. 3.6055. 0 -1.0810. 1.4428. 0.3618. Columns 9 through 12 1.0816. 1.5288. 2.0405. 3.6236. >> bar(PQS) >> xlabel('Pf P3f Qf Q3f Sf S3f') >> ylabel('P(W) Q(VAR) S(VA)') >> title('P,Q,S por fase y totales') >> legend('Pab','Pbc','Pca','P3f','Qab','Qbc','Qca','Q3f','Sab','Sbc','Sca','S3f',-1). 12.

(24) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 1.1.4 En la figura que aparece a continuación:. Figura 1.1.4. 13.

(25) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 14. El circuito está compuesto por un motor trifásico (balanceado) y diez lámparas fluorescentes conectadas en paralelo entre las líneas a y b . Los voltajes aplicados son balanceados de 220 v y secuencia a − b − c . El motor demanda 5.6 A con un factor de potencia de 0.9 (inductivo) y por cada lámpara circula una corriente de 0.23 A con un factor de potencia de 0.8 (inductivo). Determinar el valor de las corrientes totales de línea, y de la potencia activa y reactiva, y el f p trifásico. R: Para determinar el valor de las corrientes totales en las líneas se deben conocer fasorialmente los valores de las demandadas por el motor y por la combinación de lámparas, lo cual supone además, establecer una referencia, en este caso Vab = 220∠0 0 .. Las corrientes en las líneas del motor son de módulo conocido y sus argumentos se pueden hallar a partir de su factor de potencia fpM que es también dato. Como el motor constituye una carga balanceada, el argumento de su impedancia de fase. ϕ M se puede hallar mediante la expresión siguiente: ϕ M = cos −1 ( fpM ) = cos −1 0.9 ϕ M = 25.840 En toda carga balanceada el desfasaje entre las tensiones y las corrientes de línea es de (30 0 + ϕ f ) . Donde:. ϕ f : simboliza el argumento de las impedancias de fase. En este caso, estando la tensión Vab en la referencia, se tiene que: Ia′ = 5.6∠0 0 − (30 0 + ϕ M ) Ia′ = 5.6∠0 0 − (30 0 + 25.84) Ia′ = 5.6∠ − 55.84 0 A. Las restantes corrientes en las líneas del motor se hallan rotando la anterior en 120º, ya que el motor constituye una carga balanceada, luego:.

(26) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 15. Ib′ = 5.6∠ − 175.84 0 A Ic′ = 5.6∠64.16 0 A. Obsérvese que la corriente de la línea c se ha simbolizado como. Ic. y no como Ic′ .. Esto se debe a que dicha línea solo alimenta al motor. Para calcular la corriente IL , teniendo en cuenta que las 10 lámparas son iguales (lo que implica igual factor de potencia), se puede multiplicar por 10 el valor de corriente que demanda cada una de ellas. El argumento se determina a partir de su factor de potencia y sabiendo que las mismas están conectadas a la tensión. Vab , la cual se encuentra en la referencia. Esto es: IL = 10 ⋅ 0.23∠0 0 − cos −1 0.8 IL = 2.3∠ − 36.87 0 A Aplicando la LKC en los nodos a′ y b′ se determinan las corrientes totales en línea, o sea: Ia = Ia′ + IL = 5.6∠ − 55.84 0 + 2.3∠ − 36.87 0. Ia = 7.75 ∠ - 50.870 A Ib = Ib′ − IL = 5.6∠ − 175.84 0 − 2.3∠ − 36.87 0 Ib = 7.49∠172.56 0 A Según se planteó con anterioridad, la corriente de línea Ic es igual a la que demanda el motor por la línea c . Para calcular las potencias activas y reactivas trifásicas, se determinarán previamente las consumidas por ambas cargas. En el caso del motor, que es una carga trifásica balanceada, simbolizando mediante PM a su potencia activa y por QM a la reactiva, se tiene que:.

(27) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 16. PM = 3 ⋅ Vab ⋅ Ia ⋅ cos ϕ M = 3 × 220 × 5.6 × 0.9 PM = 1920.5 W cos -1 (0.9) = 25.84 0 QM = 3 ⋅ Vab ⋅ Ia ⋅ sen ϕ M = 3 × 220 × 5.6 × sen(25.84 0 ) QM = 930.07 VAR En el caso de la combinación de lámparas, se simboliza como PL a la potencia activa y mediante QL la reactiva, luego:. PL = Vab ⋅ IL ⋅ cos ϕ L = 220 ⋅ 2.3 ⋅ 0.8 PL = 404.8 W cos -1 (0.8) = 36.87 0 QL = Vab ⋅ IL ⋅ senϕ L = 220 ⋅ 2.3 ⋅ sen(36.87 0 ) QL = 303.6 VAR En virtud del principio de conservación se puede hallar la potencia y el reactivo trifásico. Estos son: P 3φ = PM + PL = 1920.5 + 404.8 P 3φ = 2325.3 W Q 3φ = QM + QL = 930.07 + 303.6 Q 3φ = 1223.67 VAR. La potencia aparente trifásica será:. S 3φ = P32φ + Q32φ 3φ = (2325.3) 2 + (1223.67) 2. S 3φ = 2632.29 VA El factor de potencia trifásico está dado por:. fp 3φ =. P3φ 2325.3 = S 3φ 2632.29. fp 3φ = 0.88 (inductivo).

(28) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. R. MATLAB: >> fiM=acos(0.9)*180/pi fiM = 25.8419 >> Iaprima=5.6*exp(j*(0-(30+fiM))*pi/180). Iaprima = 3.1443 - 4.6340i >> fiL=acos(0.8)*180/pi fiL = 36.8699 >> IL=10*0.23*exp(-j*fiL*pi/180) IL = 1.8400 - 1.3800i >> Ia=Iaprima+IL Ia = 4.9843 - 6.0140i >> moduloIa=abs(Ia) moduloIa = 7.8109 >> anguloIa=angle(Ia)*180/pi anguloIa = -50.3486. 17.

(29) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 18. 1.1.5 El circuito de la figura 1.5 está alimentado por un sistema de voltajes balanceados. a − b − c . Si se toma como referencia Vab = 220∠0 o V y se conoce que los valores de las impedancias son: Z = 7 + j7Ω. Z ′ = 20 + j0Ω. Figura 1.1.5. Determínese la lectura de los instrumentos y compruébese que su suma es igual a la potencia total consumida por las cargas. R: Primeramente se debe hallar. las corrientes y las tensiones a las cuales los. instrumentos están sometidos. Las corrientes que circulan por la carga Y balanceada se pueden determinar aplicando la ley de Ohm:. (. ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Van′ = ⎜ ∠ − 30 0 ⎟ ⋅ Vab = ⎜ ∠ − 30 0 ⎟ ⋅ 220∠0 0 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 0 Van′ = 127∠ − 30 v. Por lo cual:. ).

(30) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. Ian′ =. 19. Van′ 127∠ − 30 0 = 7 + j7 Z. Ian′ = 12.83∠ − 75 0 A. Las restantes corrientes en las fases de la estrella balanceada están dadas por: Ib′n′ = 12.83∠ − 195 0 A. Ic′n′ = 12.83∠ 450 A. La corriente Ib que circula por el elemento de corriente del watímetro (Wb) no es igual a la corriente Ibn , producto a que existe una carga conectada entre las líneas. b y c . Aplicando la ley de Ohm en dicha carga se halla: Ib′c′ =. Vbc 220∠ − 120 0 = Z′ 20. Ib′c′ = 11∠ − 120 0 A. Aplicando una LKC se encuentra que:. Ib = Ib′n′ + Ib′c′ = 12.83∠ − 195 0 + 11∠ − 120 0 Ib = 18.94∠ − 160.86 0 A Calculadas estas corrientes se proceden a calcular las lecturas de los watímetros. Es de señalar que al observar la figura y de acuerdo con la posición de su marca de polaridad en la bobina de voltaje, el instrumento Wa no detecta le tensión Vca sino el voltaje Vac . Luego:. Vac = −Vca = −220∠120 0 v Vac = −220∠ − 60 0 v La corriente detectada por el instrumento Wa es Ian′ , ya que la misma entra por la marca correspondiente. Ya conocidos estos valores puede calcularse entonces la lectura del watímetro (Wa) de la forma siguiente:. Wa = Vac ⋅ Ian′ ⋅ cos(∠Vac∠Ian′) Wa = 220 ⋅ 12.83 ⋅ cos[−60 0 − (−750 )] Wa = 2726 W.

(31) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 20. Para hallar la lectura de Wb se observan los sentidos de la corriente y de la tensión con respecto a las marcas de polaridad del instrumento. En este caso la corriente Ib entra por el terminal marcado de la bobina correspondiente y la tensión detectada por la bobina de voltaje, de acuerdo con su marca es Vbc . Ambas magnitudes ya fueron calculadas, luego:. Wb = Vbc ⋅ Ib ⋅ cos(∠Vbc∠Ib) Wb = 220 ⋅ 18.94 ⋅ cos[−120 0 − (−160.86 0 )] Wb = 3151 W La potencia trifásica total está dada a partir de la suma de ambos instrumentos.. P3φ = Wa + Wb = 2726 + 3151 P3φ = 5877 W Se debe comprobar, según el enunciado del ejercicio, que esta suma es igual a la potencia trifásica. Para ella se debe de calcular dicha potencia por otra vía. En la carga monofásica conectada entre b′ y c′ se puede hallar la potencia demandada ( Pb′c′ ) basándose en la ley de Joule, o sea:. Pb′c′ = I b2′c′ ⋅ Rb′c′ = 112 ⋅ 20 Pb′c′ = 2420 W En el caso de la carga conectada en Υ balanceada, se puede aplicar la expresión:. PΥ = 3 ⋅ VL ⋅ IL ⋅ cos ϕ Z Donde: PΥ : representa la potencia demandada por dicha carga.. VL e IL : simbolizan la tensión y corriente de línea.. ϕ Z : corresponde al argumento de la impedancia conectada en la fase. En este caso ϕ Z está dada por:. ϕ Z = tang −1 (7 / 7) = 450 Sustituyendo en la ecuación, se encuentra que:.

(32) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 21. PΥ = 3 ⋅ ( 220) ⋅ (12.83) ⋅ cos 45 0 PΥ = 3457 W. Sobre la base del principio de conservación de la potencia activa se calcula la potencia trifásica o total. Esta es:. P3φ = PΥ + Pb′c′ = 3457 + 2420 P3φ = 5877 W Luego como tenía que suceder, este resultado coincide con el anteriormente hallado basado en la suma de las lecturas de los watímetros.. R. MATLAB: >> VL=220; IL=12.83; >> fi=atan(7/7)*180/pi; >> PY=sqrt(3)*VL*IL*cos(fi*pi/180) PY = 3.4570e+003 >> format bank >> PY=sqrt(3)*VL*IL*cos(fi*pi/180) PY = 3456.96. 1.1.6 En el circuito mostrado en la figura 1.1.6, las impedancias Z 1 y Z 2 son iguales y de valor Z= 3 + j4Ω . Supóngase que los voltajes de línea aplicados son.

(33) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. balanceados. y. de. secuencia. ab − bc − ca .. Si. se. conoce. Vab = 440 + j 0 = 440∠0 0 v, calcúlese el valor de las corrientes por las líneas.. Figura 1.1.6 R: Como conocemos la tensión en los bornes de cada impedancia, tenemos que:. Ibc =. Vbc − 220 − j 381 = = −87,36 − j10,52 A Z 3 + j4. In′a =. Vca − 220 + j 381 = = 34,56 + j80,92 A Z 3 + j4. Ia = − In′a = −34,56 − j80,92 A Ib = Ibc = −87,36 − j10,52 A. Luego: Ic = − Ia − Ib = −(−34,56 − j80,92) − (−87,36 − j10,52). Ic = 121.9 + j91.45 A. R. MATLAB: >> Vbc=-220-381i; Z=3+4i; >> Ibc=Vbc/Z Ibc =. 22 que.

(34) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 23. -87.3600 -10.5200i >> Vca=-220+381i; >> Ina=Vca/Z Ina = 34.5600 +80.9200i >> Ia=-Ina; Ib=Ibc; >> Ic=-Ia-Ib Ic = 1.2192e+002 +9.1440e+001i >> x=121.9+91.45j; fprintf(' \n'); fprintf('magnitud=%5.2f A \t', abs(x)); fprintf('angulo = %5.2f grad', angle(x)*180/pi) magnitud = 152.39 A. angulo = 36.88 grad. 1.1.7 Una fuente trifásica, con una tensión de línea de valor eficaz 240 V, tiene conectada la carga desequilibrada en triángulo ver Figura 1.1.7. Obtener las intensidades de línea y la potencia total.. Figura 1.1.7.

(35) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 24. R: Los cálculos de la potencia se pueden hacer sin conocer la secuencia del sistema. Los valores eficaces de las corrientes de fase son: I AB ,ef =. 240 = 9,6 A 25. I Bc ,ef =. 240 = 16 A 5. I CA,ef =. 240 = 12 A 20. Por tanto, las potencias complejas en las tres fases son:. ( ) ( ) = (16 ) (15∠30 ) = 9840∠30 = 3325 + j1920 = (12 ) (20∠0 ) = 2880∠0 = 2880 + j 0. S AB = (9,6 ) 25∠90 o = 2340∠90 o = 0 + j 2304 2. S BC S CA. 2. 2. o. o. o. o. y la potencia compleja total es la suma. S T = 6205+j4224 que es PT = 6205 W y QT = 4224 Var (inductiva) Para determinar las intensidades de las corrientes se debe suponer una secuencia; se toma la a-b-c.. I AB I BC I AB. 339,4∠120 o = = 13,6∠30 o A o 25∠90 339,4∠0 o = = 22,6∠ − 30 o A o 15∠30 339,4∠240 o = = 17∠240 o A o 20∠0. Las intensidades de línea se obtienen aplicando kirchhoff para las corrientes en los nodos de carga. I A = I AB + I AC = 13,6∠30o − 17∠240o = 29,6∠46,7 o A I B = I BC + I BA = 22,6∠ − 30o − 13,6∠30o = 19,7∠ − 66,7 o A I C = I CA + I CB = 17∠240o − 22,6∠ − 30o = 28,3∠ − 173,1o A. R. MATLAB:.

(36) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 25. >> Sab=9.6^2*(25*exp(j*90*pi/180)) Sab = 1.4108e-013 +2.3040e+003i >> Sbc=16^2*(15*exp(j*30*pi/180)) Sbc = 3.3255e+003 +1.9200e+003i >> Sca=12^2*(20*exp(j*0*pi/180)) Sca = 2880 >> S=[Sab Sbc Sca] S= 1.0e+003 * 0.0000 + 2.3040i 3.3255 + 1.9200i 2.8800 >> ST=sum(S) ST = 6.2055e+003 +4.2240e+003i. 1.1.8 Un sistema trifásico a-b-c a cuatro hilos, con una tensión de línea V BC = 294,2∠0 o V tiene conectada una carga en estrella con Z A = 10∠0 o Ω ,. Z B = 15∠30 o Ω y Z C = 10∠ − 30 o Ω (Figura 1.1.8). Obtener las intensidades de corriente por las líneas y por el neutro..

(37) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. Figura 1.1.8 R:. IA =. 169,9∠90 o = 16.99 ∠ 900 A o 10∠0. 169,9∠ − 30 o IB = = 11.33 ∠ -600 A o 15∠30 IC =. 169,9∠ − 150 o = 16.99 ∠ -1200 A o 10∠ − 30. I N = −(I A + I B + I C ) = 8.04 ∠ 69.50 A. R. MATLAB: >> Ia=16.99i,Ib=-5.67-9.81i,Ic=-8.50-14.71i,In=2.82+7.53i, Ia = 0 +16.9900i Ib = -5.6700 - 9.8100i Ic = -8.5000 -14.7100i. 26.

(38) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 27. In = 2.8200 + 7.5300i >> I=[Ia,Ib,Ic,In]; >> compass(I) >> legend('Ia','Ib','Ic','In'); >> title('Diagrama fasorial de Ia,Ib,Ic y In'). 1.1.9 Las impedancias de la carga conectada en Y de la Figura 1.1.9 Z A = 10∠0 o Ω ,. Z B = 15∠30 o Ω y Z C = 10∠ − 30 o Ω , se alimentan por un sistema trifásico ABC a tres hilos en el que V BC = 208∠0 o V . Obtener las tensiones en los extremos de las impedancias y la tensión de desplazamiento del neutro VON.

(39) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 28. R:. ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎡208∠120 o ⎤ ⎡10∠0 o + 15∠30 o − 15∠30 o ⎢ ⎥=⎢ o o o ⎥⎢ o ⎥ I 15 30 15 30 10 30 − ∠ ∠ + ∠ − 2 ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ 208∠0 ⎦ ⎣ Resolviendo, I1 = 14.16 ∠ 86.090 A e. I 2 = 10.21 ∠ 52.410 A. Entonces, las. intensidades de línea son. I A = I 1 = 14.16∠86.09 o A. I B = I 2 − I 1 = 8.01∠ − 48.93o A. I C = − I 2 = 10.21∠ − 127.59 o A. Ahora se pueden calcular los fasores de las tensiones en las cargas.. Figura 1.1.9. V AO = I A Z A = 141,6∠86,09 o. V. V BO = I B Z B = 120,2∠ − 18,93 o VCO = I C Z C = 102,1∠ − 157,59 o. V V. VON = VOA + V AN = 141,6∠ − 93,91o + 120,1∠90 o = 23,3∠ − 114,53 o. V.

(40) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. R. MATLAB: >> Z11=10+15*exp(j*(30*pi/180)) Z11 = 22.9904 + 7.5000i >> Z12=-15*exp(j*(30*pi/180)) Z12 = -12.9904 - 7.5000i >> Z21=Z12 Z21 = -12.9904 - 7.5000i >> Z22=15*exp(j*(30*pi/180))+10*exp(-j*(30*pi/180)) Z22 = 21.6506 + 2.5000i >> Z=[Z11 Z12;Z21 Z22] Z= 22.9904 + 7.5000i -12.9904 - 7.5000i -12.9904 - 7.5000i 21.6506 + 2.5000i >> V1=208*exp(j*(120*pi/180)) V1 = -1.0400e+002 +1.8013e+002i >> V2=208 V2 = 208 >> V=[V1;V2]. 29.

(41) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 30. V= 1.0e+002 * -1.0400 + 1.8013i 2.0800 >> I=Z\V I= 0.9633 +14.1223i 6.2269 + 8.0881i. 1.1.10 Calcular la potencia activa total que consume la carga desequilibrada en Y del problema 1.1.9 y comparar con las lecturas de los vatímetros en las líneas B y C. R: La potencia que consume cada carga es:. ⎛ 14,16 ⎞ PA = I 2 A,ef R A = ⎜ ⎟(10) = 1002,5 W ⎝ 2 ⎠ ⎛ 8,01 ⎞ PB = I 2 B ,ef RB = ⎜ ⎟ 15 cos 30 o = 417 W ⎝ 2 ⎠. (. ). 2. ⎛ 10,21 ⎞ PC = I C ,ef RC = ⎜ ⎟ 10 cos 30 o = 451,4 W ⎝ 2 ⎠ 2. (. ). y, por tanto, la potencia activa total es 1870,9 W. A partir de los resultados del Problema 13, las lecturas de los vatímetros son:. ⎡⎛ 208 ⎞⎛ 8,01 ⎞⎤ WB = Re(VBA,ef I B′ ,ef ) = Re ⎢⎜ ∠ − 60 o ⎟⎜ ∠48,93o ⎟⎥ = 817 W ⎠⎝ 2 ⎠⎦ ⎣⎝ 2.

(42) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 31. ⎡⎛ 208 ⎞⎛ 10,21 ⎞⎤ WC = Re(VCA,ef I C′ ,ef ) = Re ⎢⎜ ∠2400 o ⎟⎜ ∠127,59 o ⎟⎥ = 1052,8 W ⎠⎝ 2 ⎠⎦ ⎣⎝ 2 La potencia total medida por los dos vatímetros es 1869,9 W.. R. MATLAB: >> VAB=208/sqrt(2)*exp(-j*(60*pi/180)) VAB = 7.3539e+001 -1.2737e+002i >> IB=8.01/sqrt(2)*exp(-j*(48.93*pi/180)) IB = 3.7211 - 4.2701i >> SB=VAB*conj(IB) SB = 8.1754e+002 -1.5995e+002i >> WB=real(SB) WB = 817.5399. 1.2 PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.2.1 En el circuito de la figura 1.2.1, la fuente que lo alimenta genera fem balanceadas de secuencia a − b − c ..

(43) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 32. Figura 1.2.1 Se poseen los siguientes datos: Ea = 120∠0 0 V Z 1 = Z 2 = 10 + j10Ω Z 3 = 20 + j0Ω Z 4 = Z 5 = Z 6 = 12 + j16Ω. Calcúlese el valor de las corrientes que circulan por las fases de la fuente y por el conductor neutro. R: Ia = 26.43∠ − 50.53 0 A Ib = 26.43∠170.53 0 A Ic = 22.12∠79.40 0 A. 1.2.2 Obtener las lecturas de los vatímetros conectados en las líneas A y B del circuito del Problema 1.1.1 (ambos vatímetros toman el potencial de referencia en la línea C)..

(44) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 33. Figura 1.2.2 R:. W A = 4888 W WB = 1322 W. 1.2.3 Obtener las lecturas de dos watímetros conectados por Blondel en el circuito del propuesto 1.2.1 de forma que lean la potencia total consumida por la carga en delta.. Figura 1.2.3 R:.

(45) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 34. Con las bobinas de corrientes conectadas en las líneas a y las de potencial entre a y b y entre c y b.. W A = 455.4 W WB = 3439 W. 1.2.4 En el circuito los. voltajes de fase del generador. vienen. dados por. V A = 100 + j 0 , VB = −40 − j50 y VC = 0 + j 50 , la impedancia de fase Z = 8 + j 6 Ω y la impedancia del neutro es Z n = 5 + j 0 Ω . Hallar las corrientes de líneas y neutro. Compruebe que. Ia + Ib + Ic = In. Figura 1.2.4 R:. I a = 7.22 − j 5 A I b = −7 − j 0.6 A I c = 2.22 + j 5 A I n = 2.44 − j 0.6 A.

(46) CAPÍTULO 1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS. 35. 1.2.5 Hallar las potencias activas y reactivas totales disipadas por la carga del ejemplo 1.2.4. R:. Pa = 616.7 W. Qa = 462.53 vars. Pb = 392 W. Qb = 294 vars. Pc = 50.4 W. Qc = 37.8 vars.

(47) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 36. CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS 2.1 PROBLEMAS RESUELTOS: 2.1.1 En el circuito los voltajes de fase del generador vienen dados por. V A = 100 + j 0 , VB = −40 − j50 y VC = 0 + j 50 , la impedancia de fase Z = 8 + j 6 ohms y la impedancia del neutro es Z n = 5 + j0 ohms. Hallar las corrientes de línea y neutro utilizando el método de las componentes simétricas.. Figura 2.1.1 R: Para resolver este circuito utilizamos el principio de la superposición, es decir, hallamos en base a las ecuaciones encontradas anteriormente, los tres sistemas de secuencia y se lo aplicamos, uno a uno, al sistema de cargas balanceadas, obteniéndose las corrientes para cada uno de los sistemas, posteriormente se hallan las corrientes reales sumando las que circulan debido a los efectos de cada sistema de secuencia. 1 [V (a ) + V (b) + V (c )] 3 1 V (a1) = V (a ) + aV (b ) + a 2V (c ) 3 1 V (a 2) = V (a ) + a 2V (b ) + aV (c ) 3. V ( a 0) =. [. ]. [. ]. Las componentes de secuencia cero.

(48) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. U (a0) = U (b0) = U (c0) = U (0) = 20 + j 0 Volts. 37. 1 (100 + j 0 − 40 − j50 + j50) 3 (7). Las componentes de secuencia positiva. U (an 1) = 68,8 − j11,5 = 69,7∠ − 9,5 Volts. (8). U (bn 1) = 69,7∠ − 129,5 U (cn1) = 69,7∠110,5. Las componentes de secuencia negativa U (an 2) = 11,2 + j11,5 = 16∠46 Volts. (9). U (bn 2) = 16∠166 U (cn 2) = 16∠ − 74. Si sumamos U ( a 1) + U ( a 2) + U ( a 0) nos dará evidentemente 100 + j 0 , lo que demuestra la validez de las ecuaciones. Es de notar que a partir de las ecuaciones (7), (8) y (9) se obtiene el resto de las componentes de secuencia. U (b 1) = a.a U ( a 1) U (c 1) = a U (a 1). U (b 2) = aU ( a 2) U (c 2) = a.a U (a 2). U (a 0) = U (b 0) U ( a 0) = U ( c 0 ). Cálculo de la corriente de secuencia: Secuencia positiva. U a1 Z (68,8 − j11,5) I (a 1) = (8 + j 6) I (a 1) =. = 4,81 − j 5,05 = 6,97∠ − 46,5 o. Para calcular I (b 1) e I (c 1) aplicamos los principios de los circuitos trifásicos balanceados o las ecuaciones utilizando el operador “a” ∴.

(49) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 38. I (b1) = −6,77 − j1,62 = 6,97∠ − 166,5 o I (c 1) = 1,98 + j 6,67 = 6,97∠73,5 o Secuencia negativa: I a2 =. U a2 Z. I (a 2) =. (11,2 + j11,5) (8 + j 6). = 1,6 + j 0,25 = 1,6∠9 o De la misma forma que en el caso anterior:. I (b 2) = −1,01 + j1,24 = 1,6∠129 o I (c 2) = −0,57 − j1,5 = 1.6∠ − 111o Secuencia cero. I (a 0) =. U ( a 0) ( Z + 3Z (n)). I (a 0) = I (b 0) = I (c 0) =. (20 + j 0) (8 + j 6 + 15). I (a 0) = 0,813 − j 0,212 Las corrientes de líneas verdaderas se hallan sumando las componentes de secuencia que circulan por cada una de ellas, es decir: I (a ) = I (a 1) + I (a 2) + I (a 0) = 4,81 − j 5,05 + 1,6 = l 0,25 + 0,813 − j 0,212 I (a ) = 7,22 − j 5,01 A I (b) = I (b 1) + I (b 2) + I (b 0) I (b) = −6,77 − j1,62 − 1,01 + j1,24 + 0,813 − j 0,212 I (b) = −6,97 − j 0,59 A I (c) = I (b 1) + I (b 2) = I (b 0) I (c) = 1,98 + j 6,67 − 0,57 − j1,5 + 0,813 − j 0,212 I (c) = 2,22 + j 4,958 A I por el neutro será igual a 3I (a 0).

(50) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 39. I ( nn ′) = 2,44 − j 0,64 A. Debemos destacar que I ( nn ′) = I ( a ) + I (b) + I (c ). R. MATLAB: >> syms Va0 Va1 Va2 Va Vb Vc >> Vcompsimetricas=solve('Va=Va0+Va1+Va2','Vb=Va0+(1*exp(j*120*pi/180))^2* Va1+(1*exp(j*120*pi/180))*Va2','Vc=Va0+(1*exp(j*120*pi/180))*Va1+(1*exp(j*120* pi/180))^2*Va2','Va0,Va1,Va2') Vcompsimetricas = Va0: [1x1 sym] Va1: [1x1 sym] Va2: [1x1 sym] >> Va0=Vcompsimetricas.Va0 Va0 = 1/3*Va+1/3*Vc+1/3*Vb >> Va1=Vcompsimetricas.Va1 Va1 = -1/6*Vc+1/3*Va-1/6*Vb-1/6*i*3^(1/2)*Vc+1/6*i*Vb*3^(1/2) >> Va2=Vcompsimetricas.Va2 Va2 = 1/3*Va-1/6*Vb-1/6*Vc+1/6*i*3^(1/2)*Vc-1/6*i*Vb*3^(1/2) >> Va0+Va1+Va2 ans = Va.

(51) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 40. 2.1.2 Determinar aplicando el método de las componentes simétricas la lectura de un amperímetro conectado en el neutro de un circuito Y-Y si se sabe que: V (a ) = 150 + j0 V, V(b) = 0 + j 150 V V (c) = 0 V Z ( fase ) = 10 + j0 Ω , y Zn = 5 + j0 Ω. Figura 2.1.2 R: El amperímetro leerá tres veces la corriente de secuencia cero, por lo que solamente debemos de calcular el voltaje U ( a 0) 1 [U (a ) + U (b ) + U (c )] 3 1 U (a 0) = U (b 0) = U (c 0) = (150 + j150) 3 U (a 0) = U (b 0) = U (c 0) = 50 + j 50 U (a 0) = U (b 0) = U (c 0) =. I ( a 0) =. U ( a 0) (50 + j 50) = 2 + j2 = ( Z + 3Z N ) 10 + 15. A. I N = 3I (a 0) = 6 + j 6. El amperímetro leerá el modulo de la corriente, por lo tanto, ( A) = 6 ⋅ 1,41 = 8.46 A. R. MATLAB: >> Ua0=50+50i;.

(52) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 41. >> Z=10+0i; >> Zn=5+0i; >> Ia0=Ua0/(Z+(3*Zn)) Ia0 = 2.0000 + 2.0000i >> In=3*Ia0 In = 6.0000 + 6.0000i >> ModuloIn=abs(In) ModuloIn = 8.4853. 2.1.3 Se tiene una carga trifásica balanceada, Z = 6 + j5 conectada en delta y alimentada por un sistema de voltajes trifásicos desbalanceados cuyas componentes de secuencia de los voltajes de línea vienen dadas por Uab1 = 120.7 ∠ 20.5 o. y Uab2 = 27.6 ∠16 o. Hallar las corrientes de líneas. R: I ab1 = I ab 2. U ab1 120,7∠20,5 o = = 15,45∠ − 19,3o o Z 7,81∠39,8. U ab 2 27,6∠16 o = = = 3,56∠ − 23,8 o o Z 7,81∠39,8. A partir de aquí podemos hallar las corrientes de secuencia de las fases b-c y c-a I bc1 = 15,45∠ − 139,3o. A. I ca1 = 15,45∠ − 100,7 o. A.

(53) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. I ab 2 = 3,56∠96,2 o. A. I ca 2 = 3,56∠ − 143,8 o. A. Con estas corrientes hallamos las corrientes de línea de secuencia. I a1 = 1,73 I ab1∠ − 30 o = 26,76∠ − 49,3o = 17,4 − j 20,5 A. I b1 = 26,76∠ − 169,3o = −26,4 − j 4,96 A I c1 = 26,76∠70,7 o = 8,84 + j 25,25. A. I a 2 = 1,73I ab 2 ∠30 o = 6,166∠6,2 = 6,13 + j 0,66 A I b 2 = −3,6 + j 4,97 = 6,16∠126,2 o I c 2 = −2,51 − j 5,62 = 6,16∠ − 113,8 o. I a = I a1 + I a 2 = 23,53 − j19,84 A I b = I b1 + I b 2 = −30,5 + j 0,01 A I c = I c1 + I c 2 = 6,33 + j19,63 A. R. MATLAB: >> Ia1=17.4-20.5i; >> feather(Ia1) >> hold on >> Ia2=6.13+0.66i; >> feather(Ia2) >> hold on >> Ia=Ia1+Ia2 Ia = 23.5300 -19.8400i >> feather(Ia,'r') >> hold on >> Disc1=[Ia Ia1]. A A. 42.

(54) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. Disc1 = 23.5300 -19.8400i 17.4000 -20.5000i >> plot(Disc1+1,'--') >> hold on >> Disc2=[Ia Ia2] Disc2 = 23.5300 -19.8400i 6.1300 + 0.6600i >> plot(Disc2+1,'--') >> hold on >> title('Suma fasorial de la corriente Ia') >> xlabel('Eje de los reales') >> ylabel('Eje de los imaginarios') >> gtext('Ia1') >> gtext('Ia2') >> gtext('Ia'). 43.

(55) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 44. 2.1.4 Se tiene un generador trifásico desbalanceado conectado en Υ con conductor neutro alimentando una carga trifásica balanceada también conectada en Υ y de valor Z = 20 + j0 Ω ,. siendo. la. impedancia. del. neutro Z n = 10 + j0 Ω .. V (b) = V (c ) = 0 V y V ( a ) = 150 + j0 V .. Determine Ia e In aplicando el método de la componentes simétricas. R:. 1 [V (a) + V (b) + V (c)] 3 1 V (a1) = V (a ) + aV (b) + a 2V (c) 3 1 V (a 2) = V (a) + a 2V (b) + aV (c) 3. V (a 0) =. [. ]. [. ]. Si.

(56) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 45. 1 [V (a)] 3 1 V (a1) = [V ( a)] 3 1 V (a 2) = [V (a )] 3. V (a 0) =. V ( a 0) = V ( a1) = V (a 2) = 50 + j 0 Volts. I ( a 0) =. V (a 0) 50 = = 1 + j0 ( Z + 3Z N ) 50. A. I N = 3I (a 0) = 3 + j 0 = 3 ∠0 o A I (a 1) = I (a 2) =. V a 2 V a1 50 = = = 2,5 + j 0 Z Z 20. I ( a ) = I ( a 1) + I (a 2) + I ( a 0) = 2,5 + 2,5 + 1 = 6 + j 0 = 6 ∠0 o A. R. MATLAB: >> ejerc2_4 ModuloIa = 6 AnguloIa = 0 ModuloIn = 3 AnguloIn = 0 Este es el programa ó Script Realizado en Matlad el cual da solución a la función ejerc2_4.

(57) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 46. 2.1.5 Un generador trifásico desbalanceado alimenta dos cargas trifásicas balanceadas y conectadas en paralelo. La carga # 1 está conectada en Υ con neutro siendo Z 1 == 10 + j0 Ω. y. Zn == 1 + j0 Ω . La carga # 2 está conectada en. ∆. y. Z 2 = 17.3 + j0 Ω .Si Va1 = 100 ∠0 o V , Vb2 = 50∠30 o V y Va0 = 26 ∠90 o . Hallar: a) La indicación de los amperímetros conectados en la fase “ a ” de la carga en Υ , en la fase “ ab ” de la carga en ∆ y en el neutro. b) La indicación de amperímetro conectado en la línea ¨a¨ (en la salida del generador).

(58) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. Figura 2.1.5 R:. U (a1) = 100∠0 o. U (b1) = 100∠ − 120 o. U (c1) = 100∠120 o. U (a 2) = 50∠ − 90 o. U (b2) = 500∠30 o. U (c 2) = 50∠ − 210 o. U (a 0) = U (b 0) = U (c 0) = 26∠90 o U ( ab 1) = 100 3∠30 o. U ( ab 2) = 50 3∠ − 120 o. U ( ab 0) = 0. Calculo de I Υ I (a 1) =. U (a 1) 100∠0 o = = 10∠0 o o ZΥ 10∠0. U (a 2) 50∠ − 90 o I ( a 2) = = = 5∠ − 90 o o ZΥ 10∠0 I ( a 0) =. U (a 0) 26∠90 o = = 2∠90 o o Z + 3Z n 13∠0. I (a ) = I (a 1) + I (a 2) + I (a 0) = 10 − j 5 + j 2 = 10 − j 3 = 10,44∠ − 16,7 o Calculo de I ∆. A. 47.

(59) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. I ab1 =. U ab1 100 3∠30 o = 10∠30 o = 8,66 + j 5 = o Z 10 3∠0. I ab 2 =. U ab 2 50 3∠ − 120 o = 5∠ − 120 o = −2,5 − j 4,33 = o Z 10 3∠0. I ab = I ab1 + I ab 2 = 6.16+j0.67 A A∆ = (6,16) 2 + (0,67) 2 = 6,19 A. I N = I (a 0) = 6. A. Calculo de la corriente por la línea ¨a¨ de la delta. I ( a 1) = 3 I ab1∠ − 30 o = 10 3∠0 o = 17,3 + j 0 I ( a 2) = 3 I ab 2 ∠30 o = 5 3∠ − 90 o = − j8,65 I ( a ) = 17,3 − j8,65 = 19,36∠ − 26,56 A. Calculo de la I de línea total. I ( aT ) = I ( a Υ ) + I ( a ∆ ) I (aT ) = 27,3 − j11,65 ( A) = ( 27,3) 2 + (11,65) 2 = 29,68. A. R. MATLAB: >> Uab1=100*sqrt(3)*exp(j*30*pi/180) Uab1 = 1.5000e+002 +8.6603e+001i >> Z=10*sqrt(3)*exp(j*0*pi/180) Z= 17.3205 >> Iab1=Uab1/Z. 48.

(60) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 49. Iab1 = 8.6603 + 5.0000i >> Uab2=50*sqrt(3)*exp(-j*120*pi/180) Uab2 = -43.3013 -75.0000i >> Iab2=Uab2/Z Iab2 = -2.5000 - 4.3301i >> I=[Iab1 Iab2]; >> Iab=sum(I) Iab = 6.1603 + 0.6699i. 2.1.6 Un sistema trifásico de voltajes desbalanceados en estrella con neutro, alimenta una carga en estrella balanceada de impedancia Z = 16 + j 0 Ω , siendo la impedancia del neutro Z (n) = 10 + j0 Ω .Las componentes de secuencia de los voltajes de línea son. U(ab1) = 277∠ 30 o V y U(ab2) = 133,5∠ − 30 o V , además el. voltímetro en el neutro indica 60 V. Determine. aplicando el método de las. componentes simétricas: a) El modulo de Iao . b) Si la caída de voltaje en la impedancia de neutro es 60∠0 o hallar la corriente. I 1. c) Si se abre Zn , halle la lectura del voltímetro. (El voltímetro queda conectado entre n y 0). d) Halle I 2 cuando se abre Zn.

(61) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. Figura 2.1.6. U (ab 1) = 277∠30 o. U (ab 2) = 133,5∠ − 30 o. R: a) I n Z n = 3 I ( a 0) Z N = 60 ∴ I ( a 0) =. 60 = 2A 30. b) I n Z n = 60∠0 o ∴ I ( a 0) = 2∠0 o. 277. ∠0 o U (a1) 3 = = 10∠0 o I (a1) = o Z 16∠0 133,5 o ∠0 U (a 2) 3 = I (a 2) = = 4,82∠0 o o Z 16∠0. I1 = 10 + 4,82 + 2 = 16.82 ∠0 o c) Si se abre Zn I (a 0) = 0 La lectura del voltímetro será U (a 0) d) Cuando se abre Zn I ( a 0) = 0. 50.

(62) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 51. I 2 = I (b1) + I (b 2) I 2 = a 2 I (a1) + aI (a 2) I 2 = 10∠ − 120 o + 480∠120 o I 2 = −5 − j8,66 + (−2,41 + j 4,17) I 2 = −7,41 − j 4,48. R. MATLAB: >> Ia0=2; >> Ia1=10*exp(j*0*pi/180) Ia1 = 10 >> Ia2=4.82*exp(j*0*pi/180) Ia2 = 4.8200 >> I1=[Ia0 Ia1 Ia2]; >> Ilinea1=sum(I1) Ilinea1 = 16.8200. 2.1.7 Los voltajes U AB , U BC y U CA que se muestran se aplican a una carga conectada en delta siendo Z = 10 + j 0 Ω . Hallar I ab de la fase de la delta aplicando el MCS..

(63) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. Figura 2.1.7 R:. U AB = 100∠0 o. U BC = 100 2∠ − 135o U CA = 100∠90 o U ab1 = U ab + aU bc + a 2U ca U ab1 = U ab + a 2U bc + aU ca. U ab1 = 100∠0 o + 100 2∠ − 15o + 100∠ − 30 o U ab 2 = 100∠0 o + 100 2∠105o + 100∠210o U ab1 = 100 + 136.2 − j 36.5 + 86.6 − j 50 U ab1 = 322.8 − j86.5 U ab 2 = 100 + (−36.5) + j136.2 + (−86.6) − j 50 U ab 2 = −23.1 − j86.2. I ab = I ab1 + I ab 2 =. U ab1 U ab 2 + Z ab Z ab. I ab = 32.28 − j8.65 − 2.31 − j8.62 I ab = 30 − j17.2. 52.

(64) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. R. MATLAB: >> Uab=100*exp(j*0*pi/180) Uab = 100 >> Ubc=100*sqrt(2)*exp(-j*135*pi/180) Ubc = -1.0000e+002 -1.0000e+002i >> Uca=100*exp(j*90*pi/180) Uca = 6.1232e-015 +1.0000e+002i >> U=[Uab Ubc Uca] U= 1.0e+002 * 1.0000. -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.0000i. >> compass(U) >> hold on >> Iab=30-17.2i; >> compass(Iab,'r') >> gtext('Uab') >> gtext('Ubc') >> gtext('Uca') >> gtext('Iab') >> title('Diagrama Fasorial Uab,Ubc,Uca y Iab'). 53.

(65) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 54. 2.1.8 Un sistema de voltajes desbalanceados conectado en estrella con neutro alimenta una carga balanceada conectada en estrella de impedancia voltajes. de. línea. de. secuencia. positiva. y. Z = 20 + j15 . Los. negativa. son. U (ab1) = 346.41∠30 o , U (ab2) = 259.8∠ − 30 o , Z ( n) = 5 + j 0 y la I ( n) = 15 + j 0 . Hallar la componente de secuencia cero en la fase del generador en la fase del generador ( U a 0 ) y la corriente verdadera que circula por la fase b aplicando el MCS..

(66) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. Figura 2.1.8 R: U (a1) =. U ( a 2) =. 346.41 o ∠0 = 200∠0 o = 200 + j 0 3 259.8 3. ∠0 o = 150∠0 o = 150 + j 0. I (n) = 15∠0 o ; I ( n) = 3 ⋅ I ( a 0) I (a0) = 5∠0 o U (a0) = I (a0) ⋅ Z + 3Z (n) I (a0) U (a0) = 100 + j 75 + 75 U (a0) = 175 + j 75 = 190.4∠23.2 o. I (b ) =. U (b1) U (b 2) + + I (b 0 ) Z Z. U (b1) = 200∠ − 120 o U (b2) = 150∠120 o 200∠ − 120 o 150∠120 o + + 5∠0 o o o 25∠37 25∠37 o I (b) = 8∠ − 157 + 6∠83o + 5∠0 o I (b) =. I (b) = 2.27∠119.94 o. R. MATLAB:. 55.

(67) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. >> Ua1=200+0i; >> Ua2=150+0i; >> Ua0=175+75i; >> Ua=[Ua1 Ua2 Ua0] Ua = 1.0e+002 * 2.0000. 1.5000. 1.7500 + 0.7500i. >> feather(Ua) >> gtext('Ua1') >> gtext('Ua2') >> gtext('Ua0') >> title('Representacion de los voltajes de Secuencia') >> xlabel('Eje Real') >> ylabel('Eje Imaginario'). 56.

(68) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 57. 2.1.9 Los voltajes de línea de secuencia del ejercicio anterior se aplican a una carga en delta de valor Z = 34.64∠30 o Ω . Hallar la corriente que circula por la línea a. R:. U (ab1) 346.4∠30 o = 10∠0 o A = I (ab1) = o 34.64∠30 Z.

(69) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. I (ab 2) =. U (ab2) 259.8∠ − 30o = = 7.5∠ − 60o A o Z 34.64∠30. I ( ab 2) = 3.75 − j 7.5 ⋅ 0.866 = 3.75 − j 6.5 Ω I (bc1) = 10∠ − 120o A I (bc 2) = 7.5∠60o A. I (b) = I (bc1) + I (bc2) = 10∠120o + 7.5∠60o I (b) = 15.21 ∠94.71o A. R. MATLAB: >> Uab1=346.4*exp(j*30*pi/180) Uab1 = 2.9999e+002 +1.7320e+002i >> Uab2=259.8*exp(-j*30*pi/180) Uab2 = 2.2499e+002 -1.2990e+002i >> Iab1=Uab1/Z Iab1 = 10 >> Iab2=Uab2/Z Iab2 = 3.7500 - 6.4952i >> Ib=Iab1+Iab2 Ib = 13.7500 - 6.4952i. 58.

(70) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 59. >> abs(Ib) ans = 15.2069. 2.1.10 En el circuito (con el interruptor cerrado) la corriente I ( a ) = 16.2 − j8.4 A, la componente de secuencia positiva de los voltajes de líneas U (ab1) = 346.41∠30 o V. Hallar el valor de la componente de secuencia negativa de los voltajes de línea Uab2 si se sabe que con el interruptor abierto el voltímetro indica 190.4 V, siendo el ángulo de ese voltaje igual a 23.2 grados. La impedancia de fase Z = 20 + j15 Ω y la del neutro Zn = 5 + j 0 Ω .. Figura 2.1.10 R: I ( a ) = I ( a1) + I ( a 2) + I ( a 0). I ( a1) =. U ( a1) Z.

(71) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 60. ⎛ 346.41 ⎞ o U (a1) = ⎜ ⎟∠0 = 200∠0 o 3 ⎠ ⎝ 200∠0 o I (a1) = = 8∠ − 37 o o 25∠37 I ( a1) = 6.4 − j 4.8. Con el interruptor abierto la lectura del voltímetro es U (a 0) (voltaje de fase de secuencia cero).. 190.4∠23.2 o = I (a0)( Z + 3Zn). 190.4∠23.2 o 190.4∠23.2 o I (a0) = = = 5.01∠0 o o 20 + j15 + 15 38∠23.2 16.2 − j8.4 = I ( a1) + I ( a 2) + I (a 0). I (a 2) = 16.2 − j8.4 − 6.4 + j 4.8 − 5 I ( a 2) = 16.2 − j8.4 − 6.4 + j 4.8 − 5 I (a 2) = 4.8 − j 3.6 = 6 ∠ -37o U ( a 2 ) = I ( a 2) ⋅ Z. U (a 2) = (6∠ − 37 o )(25∠37 o ) U (a 2) = 150∠0 o U ( ab 2) = 150 3∠ − 30 o. R. MATLAB: >> Ia=16.2-8.4i; >> Z=20+15i; >> Zn=5+0i; >> V=190.4*exp(j*23.2*pi/180);.

(72) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 61. >> Ua1=200*exp(j*0*pi/180) Ua1 = 200 >> Ia1=Ua1/Z Ia1 = 6.4000 - 4.8000i >> Ia2=Ia-Ia1-Ia0 Ia2 = 4.7999 - 3.6001i >> [AnguloRad,Modulo]=CART2POL(4.79,-3.60) AnguloRad = -0.6445 Modulo = 5.9920 >> AnguloGrad=AnguloRad*(180/pi) AnguloGrad = -36.9273. 2.2 PROBLEMAS PROPUESTOS: 2.2.1 Un generador conectado en delta se aplica a una carga balanceada conectada en delta siendo Z = 24 + j18 Ω /fase. El devanado CB del generador esta abierto y.

(73) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. U ( ab ) = 100 + j 0 y U (ca) = 100∠120 o V.. 62. Halle la lectura de un amperímetro. conectado en la línea B, usando el MCS.. Figura 2.2.1 R:. ( A) = I B = 5.7 A. 2.2.2 En el circuito, hallar la lectura de un amperímetro conectado en el neutro si Z = 15 + j 0 y Zn = 5 + j 0 .. U (a ) = 90∠0 o ; U (b) = 90∠ − 90 o ; U (c) = 90∠90 o. Figura 2.2.2.

(74) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 63. R:. ( A) = I N = 3 A. 2.2.3 Se tiene. un sistema de voltajes trifásico con cuatro hilos cuyos valores son. U ( an ) = 120 + j 0 , U (bn) = 100∠100 o , U (cn) = 80∠135 o .. Determine utilizando el MCS. a) Los valores de los voltajes de fase de todas las secuencias. b) Determine los voltajes de línea de secuencia. c) Conecte en cada fase una Z = 6 + j8 y halle las corrientes de línea y de neutro ( Zn = 0 ) d) Elimine el neutro y halle las corrientes de línea. e) Halle las corrientes de línea y de neutro si Zn = 4 + j 0 . Utilice el MCS. R: a) Van 0 = 53.92∠73.46 o V. Van1 = 42.76∠ − 19.86 o V Van2 = 74.4∠ − 30 o V Vbn1 = 42.76∠220.14 o V Vbn2 = 74.4∠90 o V Vcn1 = 42.76∠100.14 o V Vcn2 = 74.4∠210 o V.

(75) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 64. b). Vab1 = 74∠10 o V Vab2 = 129.2∠ − 60 o V c) I a = 12∠ − 53.13 o A I b = 10∠46.87 o A I c = 8∠81.87 o A I N = 16.18∠20.33 o A. d) I a = 11.67 ∠ − 79.41o A I b = 5.7∠71.87 o A I c = 7.2∠122.87 o A. e) I a = 10.23∠ − 67.54 o A I b = 8.2∠64 o A I c = 8.3∠105.18 o A I N = 8.2∠49.5 o A. 2.2.4 El sistema de voltajes del ejercicio anterior se conecta a una carga en delta balanceada ( Z = 8 + j 6 Ω ). Determine las corrientes de línea usando el MCS..

(76) CAPÍTULO 2. COMPONENTES SIMÉTRICAS. 65. R: I a = 34.88∠ − 63.25 o A I b = 17∠87.8 o A I c = 21.63∠139 o A. 2.2.5 Se tiene un sistema de voltajes de fase desbalanceados. cuyos voltajes de. secuencia son:. U (a1) = 17.6∠45 o , U (a 2) = 8.25∠ − 156.2 o , U (a 0) = 5.6∠204 o Estos voltajes son aplicados a un sistema Y-Y con neutro con cargas balanceadas de valor Z = 4 + j 3 y Zn = 2 + j 0 . Hallar la corriente I a y I N usando el MCS. R: I a = 1.36∠2.27 o A. I N = 3I a = 1.608∠185.4 A.

(77) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. 66. CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES 3.1 PROBLEMAS RESUELTOS: 3.1.1 Se tiene un circuito serie RL y se conoce que:. U = 100 + 50sen 377t + 20sen 1131t V i = 10 + 3.54 sen (377t − 45) + 0.635 sen (1131t − 71.6) A. Determine V, A y PT .. Figura 3.1 R:. V = (100) 2 +. A = (10) 2 +. (50) 2 + (20) 2 = 10,000 + 1450 = 11.450 = 107 V 2. (3,54) 2 + (0,635) 2 = 10,31 A 2. 50 ⋅ 3,54 20 ⋅ 0,635 cos(45) + cos 71,6 2 2 PT = 1000 + 62,57 + 2 = 1064,57 W PT = 100 ⋅ 10 +. R. MATLAB: >> t=[0:0.0000001:1/60]; >> u=100+(50*sin(377*t))+(20*sin(1131*t));.

(78) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. >> plot(t,u) >> hold on >> CD=100*ones(1,length(u)); >> plot(t,CD,'r') >> hold on >> Va1=50*(sin(377*t)); >> plot(t,Va1,'g') >> hold on >> Va3=20*(sin(1131*t)); >> plot(t,Va3,'m') >> title('Grafica de U') >> legend('Suma','','CD','1er Arm','3er Arm');. 67.

(79) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. 68. 3.1.2 En el circuito mostrado a continuación se desea calcular la potencia total del mismo, se conoce que:. U (t ) = 30 + 100sen w1t + 40sen (3w1t + 20) V w1 L = 12Ω,. 1 = 30Ω w1C. Figura 3.1.2. R:. Figura 3.1.2.1 I1 =. 30 =3 A 6+4. PCD = I 2 RT = 9 ⋅ 10 = 90 W.

(80) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. Figura 3.1.2.2 Z eq1 = 6 + (5 + j12) (− j 30) (20 + j 0) (20)(− j 30) − j 600 120 − j 600(20 + j 30) 18000 − j12000 180 = = = = −j 20 − j 30 20 − j 30 1300 1300 13 13 = 13,84 − j 9,23. Z eq1 = Z eq1. Z eq1 =. (5 + j12)(13,84 − j 9,23) 69,2 − j 46,15 + j166 + 110,76 = 18,84 + j 2,77 18,84 + j 2,77. Z eq1 =. 180 + j120 216,24∠33,7 o = = 11,38∠25,34 o 18,84 + j 2,77 19∠8,36 o. Z eq = 6 + 10,28 + j 4,87 = 16,28 + j 4,87 Z eq = 17 ∠16,65 o. I=. 100∠0 o = 5,88∠ − 16,65o o 17∠16,65. (5,88)(100) cos16,65 2 P = 281,67 W P=. Figura 3.1.2.3. 69.

(81) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. Z eq =. Z eq =. − j 200(20 + j10) 2000 − j 4000 (20)(− j10) − j 200 = = = = 4 − j8 = 8,94∠ − 63,43o 20 − j10 20 − j10 500 500. [(8,94)∠ − 63,43 ][36,34∠82 ] = 324,88∠18,66 o. o. 9 + j 28. 29,41∠72,18. o. = 11,04∠ − 53,52o Ω. Z T = 6 + Z eq = 6 + 6,54 − j8,84 = 12,54 − j8,84 = 15,34∠ − 35,18o Ω IT =. 70. 40∠20 o = 2,6∠55,18o A 15,34∠ − 35,18. PT = 90 + 281,67 + 42,42 = 414 W. R. MATLAB: >> P1=281.67; >> P2=42.42; >> Pcd=90; >> Pt=P1+P2+Pcd Pt = 414.0900 >> P=[P1 P2 Pcd]; >> pie(P) >> gtext('Pcd') >> gtext('P1') >> gtext('P2') >> title('Diagrama de potencias tipo pastel').

(82) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. 71. 3.1.3 En el circuito R1 = 12Ω ,. 1 = 32Ω w1C. R 2 = 12Ω. voltímetro. U (t ) = 50 + 80 cos w1t + 6 cos 2 w1t A.. Figura 3.1.3 R:. w1L = 8Ω Halle la lectura del.

(83) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. U CD = 50. Figura 3.1.3.1 I CD =. 50 12. (V ) = 50 V. Fuente de 80 V. Figura 3.1.3.2. I1 =. I1 =. 80∠0 o ; 12 − j 32. I2 =. 80∠0 o 12 + j8. 80∠0 o 144 + 1024∠ tan −1 −. 32 12. =. 80∠0 o = 2,34∠69,44 o = 0.821+j2.19 o 1168∠ − 69.44. 72.

(84) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. I 2 = 5,54∠ − 33,7 o = 4.6-j3.07. (V ) = I 1 (12) − I 2 (12) (V ) = 12( I 1 − I 2 ) = ( −3,78 + j 5,26)(12∠0 o ). (V ) = − 45,36 + j 63,2 (V ) = 2057 + 3994 (V ) = 77.79 V. Figura 3.1.3.3. 6∠0 o I1 = ; 12 − j16. 6∠0 o I2 = 12 + j16. 6∠0 o 6∠0 o I1 = = = 0,3∠53o o 4(3 − j 4) 4(5∠ − 53 ) I2 =. 6∠0 o 6∠0 o = = 0,3∠ − 53o 4(3 + j 4) 4(5∠53o ). I 1 − I 2 = j 0,3 sen 53 + j 0,3 sen 53 = j 0,36 (V ) = 12( I 1 − I 2 ) = 12( j 0,36). 73.

(85) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. (V ) = 50 2 +. 74. 6052,84 + 12,96 (77,79) 2 + (3,6) 2 = 2500 + = 74,38 V 2 2. R. MATLAB: >> Vf=80; >> Z1=12-32i; >> Z2=12+8i; >> I1=V/Z1 I1 = 0.8219 + 2.1918i >> I2=V/Z2 I2 = 4.6154 - 3.0769i >> V=(I1*12-I2*12) V= -45.5216 +63.2244i >> abs(V) ans = 77.9073. 3.1.4 En el circuito la impedancia vista desde los terminales de la fuente es una Z equivalente en serie. Hallar los valores de R, L, C. V (t ) = 20 + 100 sen ( wt + 30 ) + 30 sen (3wt ) + 20 sen (5 wt ) V.

(86) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. i(t ) = 6.923sen ( wt − 86.3) + 3.354sen (3wt + 26.56) + 2.4( sen5wt + 16.7) A. Figura 3.1.4 R:. Z1 =. 100∠30 o = 14.44∠ − 56.3o = 8-j12 o 6.92∠86.3. 1 1 ∴C = = 2.21 ⋅ 10 − 4 377 ⋅ C 12 ⋅ 377 C = 221 µF. 12 =. 30∠20 o Z3 = = 8.94∠ − 26.56 o = 8-j4 o 3.35∠46.52 Z5 =. 20∠0 o = 8.33∠ − 16.7 o = 8-j2.4 2.4∠16.7 o. R. MATLAB: >> Z1=(100*exp(j*30*pi/180))/(6.92*exp(j*86.3*pi/180)) Z1 = 8.0180 -12.0225i >> Z3=(30*exp(j*20*pi/180))/(3.35*exp(j*46.52*pi/180)) Z3 = 8.0129 - 3.9986i. 75.

(87) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. 76. >> Z5=(20*exp(j*0*pi/180))/(2.4*exp(j*16.7*pi/180)) Z5 = 7.9819 - 2.3947i. 3.1.5 En el circuito que se muestra, determine: a) I (t ) b) Potencia activa. Se conoce que:. v(t ) = 100 + 50 cos wt + 20 cos3 wt V. Figura 3.1.5 R: La solución implica resolver 3 problemas, el primero de CD y el resto de CA, en todos los casos en estado estable..

(88) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. Figura 3.1.5.1. Figura 3.1.5.2. Figura 3.1.5.3. CD IT =. ZT1 ZT1 ZT1. 100 = 6.66 A 15. ⎛1⎞ 5∠ tan −1 ⎜ ⎟ (− j 90)(5 + j10) 900 − j 450 450(2 − j1) ⎝2⎠ = 90 = = = −1 5 − j80 5 − j80 5(1 − j16) 17∠ tan − 16 90 ⋅ 2.236∠ − 26.56 o = = 48.8∠59.86 o o 4.123∠ − 86.42 = 10 + 24.4 + j 42.26 = 34.4 + j 42.26. 50∠0 o IT = = 0.9177∠ − 50.85 o o 54.48∠50.85. (− j 30)(5 + j30) 900 − j150 150(6 − j1) = 30(6 − j1) = 180 − j 30 = = 5 5 5 = 190 − j 30. ZT 3 = ZT 3. IT =. 20∠0 o = 190 − j 30. 20∠0 o ⎛ 3⎞ 192.35∠ tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ 19 ⎠. =. 20∠0 o = 0.104∠ − 9 o = 0.1027 -j 0.0162 192.35∠9 o. LT (t ) = 6.66 + 0.9177 cos(wt − 50.85) + 0.104 cos(3wt − 9) PT = 100 ⋅ 6.66 +. 20 ⋅ 0.104 50 ⋅ 0.9177 ⋅ cos(50.85) + ⋅ cos(9) = 681.51 W 2 2. 77.

(89) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. R. MATLAB: >> Zt3=190-30i; >> Vt3=20+0i; >> It=Vt3/Zt3 It = 0.1027 - 0.0162i >> Pt=100*6.66+((50*0.9177)/2)*cos(50.85)+((20*0.104)/2)*cos(9) Pt = 684.1860. 3.1.6 Calcular la lectura del voltímetro y del watímetro si se conoce que:. i(t ) = 5 cos (1000 t + 30°) + 2 cos(2000 t − 45°) A ⇓. (simetria impar ) L1 = 30 mH, L2 = 10 mH, R = 10Ω, C = 33,3 µF.. Figura 3.1.6. 78.

(90) CAPÍTULO 3. CIRCUITOS MONOFÁSICOS NO SINUSOIDALES. R:. X L′ 1 = 30 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 3 = 30 Ω. X 2 L1 = 60 Ω. X L′ 2 = 10 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 3 = 10 Ω. X 2 L 2 = 60 Ω. 10 6 XC = 3 = 30 10 ⋅ 33.3. X 2 C = 15. Figura 3.1.6.1 El inductor y el capacitor están en resonancia por lo tanto Z T = 10 + j10. (. ). ⎛ 5 ⎞ U ab = ⎜ ∠30 o ⎟ 10 2∠45 o = 50∠75 o V ⎝ 2 ⎠ 2. ⎛ 5 ⎞ P1 = ⎜ ⎟ (10) = 25 ⋅ 5 = 125 W ⎝ 2⎠ 2do armónico. Figura 3.1.6.2. 79.