GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
LA RECTA PRACTICA
01. Un segmento tiene una longitud de 29 unidades, si el origen de este segmento es A(-8, 10) y la abscisa del extremo del mismo es 12, calcular la ordenada.
a) 9 b) -9 c) 11
d) -11 e) 12
02. la ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5, -2) es 2 41. hallar la abscisa del punto.
a) -5 b) -4 c) -3
d) -2 e) -1
03. hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1); (0, 3); (3, 4); (4, -1)
a) 36.8 b) 42.3 c)20.26
d) 51.6 e) 63.5
04. Si P (a, a + 1) es un punto que equidista de A(2, 1) B(6, 5). Hallar el valor de: “a”
a) -3 b) -4 c) -2
d) -5 e) -6
05. Determinar las coordenadas del punto que equidista de los puntos A(1, 7), B(8, 6), C(-7, -1)
a) (4, 3) b) (-2, 1) c) (-2, 3) d) (4, -2) e) (1, 2)
06. El segmento limitado por los puntos A(1, -3) y B(4, 3) ha sido dividido en tres partes iguales, determinar las coordenadas de los puntos de división.
a) (2, -1) y (3, -2) b) (3, 1) y (3, 2) c) (2, -1) y (3, 1) d) (3, 2) y (3, 1) e) (4, 2) y (-1, 3)
07. Hallar las coordenadas del punto P que está a 3/5 partes de la distancia de A(7, 4) a B(-3, 2). Si M es el punto medio de AB. Calcular d(P, M).
a)
26
b)5
26 c) 5
d)
2 5
5
e)3 3
08. Los extremos de una varilla homogénea son A(3, 5) y B(-1, 1). Determinar las coordenadas de su centro de gravedad.
a) (1, -2) b) (1, 2) c) (-2, 1) d) (-2, 2) e) (3, 5)
09. El centro de gravedad de una varilla una variable homogénea está situada en el punto M(1, 4) uno de sus extremos en el punto P(-2, 2). Determinar las coordenadas del otro extremo Q de la varilla.
a) (1, 8) b) (2, 7) c) (4, 5) d) (4, 6) e) (2, 6)
10. Sabiendo que las coordenadas de dos vértices de un triángulo son: A(-4, 8), B(3, -8) y que el centro de gravedad es G(2, 6). Hallar las coordenadas del tercer vértice.
a) (7, 16) b) (4, 16) c) (7, 5)
d) (8, 16) e) (7, 8)
11. Hallar las coordenadas de un punto equidistante de los vértices del triángulo ABC, donde A(2, -1), B(3, 6) y C(-5, 0).
a ) (-1, 2) b) (-1, 3) c) (-2, 5) d) (3, 2) e) (-1, 1)
12. En un triángulo rectángulo ABC, A(-8,2) B(4, 6) y C es el vértice del ángulo recto. Determinar las coordenadas de C sabiendo que está en el eje y.
13. Determinar la naturaleza del cuadrilátero ABCD, siendo A(-2, 6), B(0,2), C(4, 0) y D(2, 4). Hallar su área.
a) 24 b) 12 c) 48
d) 36 e) 6
14. El baricentro del triángulo ABC es el punto G(3, 3).
Determinar los vértices del triángulo sabiendo que los puntos medios de dos de sus lados son los puntos P(-3, 4) y Q(7, 3). Dar como respuesta la suma de sus abscisas.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
15. Un triángulo tiene por vértices A(2, 3), B(4, 1) y C(0, 1). Por el punto Q(12/5, -1/5) que pertenece al lado BC se traza una paralela a AB que corta al lado AC en el punto M. Hallar las coordenadas de M.
a)
3 ,11 3
6 b) (6, 2) c) (6, 11)
d)
2 ,3 2 e)
5 ,11 5 6
16. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida el segmento determinado por que P1(2,1)
) 4 , 3 (
P2 en la relación r = -8/3.
a) (6, -8) b) (4, -6) c) (6, -6) d) (6, -7) e) (7, -7)
17. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro P1(4,1) es P2(2,6). Hallar las coordenadas P(x, y) del otro extremo.
a) (-10, -6) b) (-10, -4) c) (-10, -8) d) (-9, -4) e) (-8, -4)
18. Hallar dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) que dividan al segmento que une A(3, -1) con B(9, 7) en tres partes iguales.
a) (2, -1) y (8, 6) b) (3, 6) y (7, 13/3) c) (5/3, 5) y (6, 13) d) (-1, 2) y (3, 5) e) (5, 5/3) y (7, 13/3)
19. Hallar las coordenadas del extremo C(x, y) del segmento que une este punto con A(2, -2) sabiendo que el punto B(-4, 1) está situado a una distancia de A igual a las tres quintas partes de la longitud total del segmento.
a) (-7, 5) b) (-6, 4) c) (-7, -5) d) (-8, 3) e) (-6, 4)
20. Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45°, y que la pendiente m1 de L1 es 2/3, hallar la pendiente m2 de L2
a)3 b)4 c)5
d)6 e)1/3
21. punto P de máxima ordenada.
A = (1, 3)
B = (7, 11) P
x y
0
a) (3, 6) b) (4, 11) c) (4, 12) d) (3, 12) e) (5, 13)
22. Calcular las coordenadas de Q, Si: AQ + QB es mínimo.
x y
0 Q
B = (11, 2) A = (1, 8)
a) (8, 2) b) (8, 0) c) (9, 0) d) (11, 0) e) (7, 2)
23. Del gráfico. Calcular “n”.
A = (n - 5, 6)
C = (7, n + 10)
B = (4, n + 5)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
24. La recta L1 pasa por los puntos A = (10, 9) y B = (2, 3), la recta L2 pasa por los puntos A = (10, 9) y C
= (3, -15). Hallar la pendiente de la recta bisectriz del ángulo agudo que forman L1 y L2.
a) 5/3 b) 13/9 c) 3/5
d) 9/13 e) 3/4
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
LA CIRCUNFERENCIA
Definición
Se llama circunferencia al conjunto de puntos de plano que se encuentra a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano.
r
P(x; y)
h k
0 X
Y
C(h; k)
Si P(x; y) es un punto genérico de una circunferencia de centro C(h; k) y radio CP r, entonces por la definición de circunferencia se tiene:
2 2
r CP r
CP
Es decir:
2 2
2
( )
)
( x h y k r
PRACTICA
1. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1; 2), B(4; 6) y cuyo centro está sobre el eje X, es:
a) 12x26xy2140 b) 6x212y22x560 c) 36x22xy20
d) 36x236y2564x3840 e) 36x212y2564x4200
2. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3) y (4; 1) y que tiene su centro en la recta 3x – 4y = 0 es:
a) (x4)2(y3)24 b) (x4)2(y3)24 c) x2y24x40 d) (x4)2(y3)24 e) (x4)2y21
3. En la figura mostrada. Hallar área de la región sombreada.
x2 + y2 = 25 y = x + 1
X Y
a) 2
3 36
265 b)
3 2 72
265
c) 2
3 72 265
d) 2
3 72
265 e)
2 3 72 265
4. La distancia mínima del punto (3; 9), a la circunferencia:
0 313 y 30 x 2 26 2 y
x es:
a) 17 b) 595 c) 26
d) 9 e) 667
5. Halla la medida del ángulo agudo formado por la recta 3x – y – 1 = 0 y la circunferencia
0 1 x 2 4 2 y
x
a) 45° b) 60° c) 30
d) 75° e) 15°
6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (3; 2) y B = (7; 8), sabiendo que la recta x – y = 5 pasa por el centro de la circunferencia.
a) (x8)2(y3)225 b) (x8)2(y3)226 c) (x3)2(y8)225 d) (x3)2(y8)226 e) (x8)2(y3)226
7. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x2y26x10y20; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia.
a) x2y24 b) (x3)2(y5)29 c) (x3)2(y5)29
d) (x3)2(y5)24 e) (x3)2(y5)24
8. 8. En la ecuación de la recta tangente a la circunferencia:
0 23 y 2 x 2 2 2 y
x .
En el punto P = (2; 5).
a) 3x – 4y = 26 b) 4x – 3y = 26 c) 3x + 4y = 26 d) 4x + 3y = 26 e) 6x + 2y = 13
9. Los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son: A = (2; 7) y B = (4; 1). La ecuación de esta circunferencia que tiene su centro en el eje Y es:
a) x2y26y110 b) x2y26y290 c) x2y26y290 d) x2y26y110 e) x2y26y110 10. Sean las circunferencias:
0 16 y 8 x 2 12 2 y x 1:
C y C2; cuyo
centro es (7; 7). La ecuación de la recta que pasa por el punto (0; 13) y es perpendicular a la recta que une los centros de estas circunferencias es:
a) x + 3y – 39 = 0 b) x – 3y +39 = 0 c) x – 3y – 39 = 0 d) 3x – y + 13 = 0 e) 3x + y – 13 = 0
11. Los extremos de un diámetro de una circunferencia C son los puntos A = (-3; -4) y B = (5; 8). La ecuación de C es:
a) x2y22x4y470 b) x2y24x2y470 c) x2y22x4y470 d) x2y22x4y470 e) x2y22x4y570
12. La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C = (-2; 3) y que es tangente a la recta 2x – y – 2 = 0, es:
a) 5x25y220x30y160 b) x2y24x6y130 c) 5x25y220x30y160 d) x2y24x6y160 e) 5x25y220x30y160
13. La ecuación 16x216y28x64y1770 representa:
a) Un conjunto vacío b) Un punto
c) Una circunferencia de centro (-1/4, 2) d) Una circunferencia de radio 7
e) Una circunferencia de centro (1/4, -2) y radio 7 14. La recta L: x + y + 1 = 0 intersecta a la circunferencia
2 5 2 y x :
C en los puntos A y B. Hallar el punto medio de AB
a) (0; 1) b) (-3/2; -3/2) c)
d) (-1/2; -1/2) e) (-1, 9)
15. La recta y = x + 3 es tangente a la circunferencia 2 8
2 y ) 1 x
( en el punto (a; b). Entonces a + b es:
a)1 b) 0 c) -1 d) 3 e) -3 16. Las circunferencias:
2 1 ) 1 y 2 ( ) 1 x ( 1:
C y
2 1 ) 1 y 2 ( ) 1 x ( 2:
C . Son:
a) Secantes b) Coincidentes c) Tangentes interiores d) Tangentes exteriores e) No se intersectan
) 1
; 5 (
17. Una circunferencia pasa por los puntos A = (2; 4), B = (4; 2) y C = (1; 3). Esta encierra un área de:
a) 5 b) 10/2 c) 2
d) 2,5 e) 10
18. Una circunferencia encierra un círculo de área u2
5 ,
4 y tiene su diámetro sobre la recta y = x. Si el punto A de la circunferencia, más cercano al origen dista de el 2unidades. El centro de la circunferencia es:
a) (3/2; 3/2) b) (3/2; 5/2) c) (3; 3) d) (2 2;2 2) e) (5/2; 5/2)
19. Halla la ecuación de la tangente a la circunferencia.
0 12 y 6 x 2 4 2 y
x
en el punto A = (-5, 7) a) 3x + 4y – 13 = 0 b) 4x – 3y + 41 = 0 c) 4x + 3y – 1 = 0 d) 3x – 5y +50 = 0 e) 3x – 4y + 43 = 0
20. El punto C = (3; -1) es el centro de la circunferencia que intersecta en la recta: 2x – 5y + 18 = 0, una cuerda cuya longitud es igual a 6. Hallar la ecuación de esta circunferencia.
a) (x3)2(y1)218 b) (x3)2(y1)248 c) (x3)2(y1)238 d) (x3)2(y1)238 e) (x3)2(y1)228
21. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la , circunferencia:
0 47 y 2 x 2 4 2 y
x en el punto (6; 5).
Determinar las coordenadas de su centro.
a) (4; 2) ó (8; 8) b) (3; 2) ó (6; 7) c) (4; 2) ó (8; 6) d) (2; 4) ó (8; 8) e) (4; 2) ó(6; 8)
22. Se tiene la circunferencia:
0 12 y 6 x 2 4 2 y
x , y el punto (3; 3).
Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia trazada por dicho punto.
a) x = -3 b) x = 3 c) y = 3
d) y = -3 e) x = 5
23. Hallar la ecuación de una recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es:
15 y 4 x 2 2 2 y
x y pasa por el punto (1;
2). El punto de tangencia es (1; 2).
a) x + 2y – 5 = 0 b) x + 5y – 2 = 0 c) 5x + 2y = 0 d) 5x + 3y – 7 = 0 e) 2x + 3y – 11 = 0
24. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro (3;
1) y tangente a la recta: x + y + 3 = 0 a) 2x22y212x4y290 b) 2x22y212x4y300 c) 2x22y212x4y310 d) 2x22y212x4y520 e) 2x22y212x4y510 25. de la figura. Hallar M. Si:
M = Tg + Sec
(x+1)2 + (y-7)2 = 25
Y
X
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,75
d) 1,5 e) 3
26. Hallar la ecuación de la circunferencia, si C(1, 1)
Y
X C
a) x2y22x3y0 b) x2y22x2y0 c) x2y22x2y0 d) x2y22x2y0 e) N.A.
27. Hallar la ecuación de la circunferencia:
Y
X
5
a) x2y210x10y250 b) x2y210x10y250 c) x2y210x10y250 d) x2y210x10y250 e) N.A.
28. hallar “n”, de modo que el radio de la circunferencia:
0 n y 10 x 2 6 2 y
x
sea 6 unidades
a) 15 b) 12 c) 8
d) 18 e) 2
29. Hallar la circunferencia:
C (1, 1)
(7, 9)
a) x2y28x10y160 b) x2y28x10y250 c) x2y28x10y250 d) x2y28x10y250 e) x2y28x10y1390
30. Área del cuadrado ABCD = 100u2. Hallar la ecuación de la circunferencia.
X Y
D A
C B
a) x2y220 b) x2y230 c) x2y240 d) x2y250 e) x2y260
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
LA PARÁBOLA
Definición: La parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo “F” llamado foco y de una recta fija D llamada recta directriz. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El segmento cuyos extremos son puntos de la parábola y que pasa por el foco se llama cuerda focal, si esta cuerda es perpendicular al eje de la parábola se llama lado recto.
K : parábola V : vértice F : foco
VF : eje de la parábola D : directriz PN : cuerda focal RS : lado recto
P K | PF | = | PM |
Practica
01. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas y su foco es
(0 ; -8).
a) x2 = -25y b) x2 = -30y c) x2 = -32y
02. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (8;-3) y el foco es (-5 ; -3).
a) (y - 1)2 = 52(x - 8) b) (y + 3)2 = 52(x - 8) c) (y + 3)2 = -52(x - 8)
03. Escribe la ecuación de la parábola, cuyo foco es el punto (-4;0) y su recta directriz es x = 4.
a) y2 = 4x b) y2 = -16x c) y2 = -8x
04. Halla el área formando al unir los puntos de intersección de la parábola :
y2 + 4x + y - 20=0 con los ejes de coordenadas.
a) 20,5 b) 11,5 c) 22,5
05. El foco de una parábola es el punto A(4;0) y un punto sobre la parábola es el punto P(2;2); entonces la distancia del punto “P” a la recta directriz de la parábola es :
a) 2 b)
3
c) 22
d) 2
3
e) -206. El cable del puente colgante de la figura tiene la forma de una parábola; las dos torres se encuentran a una distancia de 150 metros entre sí y los puntos
de soporte del cable en las torres se hallan a 22 mts.
sobre la calzada. Además el punto más bajo del cable está a 7 metros de dicha calzada. Halla sobre la calzada, la distancia de un punto de cable que se encuentra a 15 mts. de una de las torres.
22 m
22 m Cable
7 m
Calzada
a) 16 m b) 15,6 m c) 16,6
m
d) 14 m e) 14,6 m
07. Una parábola cuyo vértice es el origen y cuyo eje coincide con el eje “y” además pasa por el punto (2 ; 7). Halla la ecuación
a) 7x2 = 4y b) 4x2 = 7y c) 7x2 = y 08. Trazar una tangente a la parábola y2 = 12x, que sea
paralela a la recta:
3x - 2y + 30 = 0.
a) 3x - 2y + 4 = 0 b) 3x - 2y + 16 = 0 c) 3x - 2y - 2 = 0
09. Halla en la parábola: y2 = 4x ; el punto “M1”, más próximo a la recta : -4x + 8y - 21 = 0. Calcula la distancia del punto “M1” a esta recta.
a)
5
b)4
5
c)2 5
d) 2
5
e) N.A10. Halla las coordenadas del foco de la parábola P: x2 + y = 0
A) (0,1/2) B) (0,-1/4) C) (0,1/2)
D) (0,1) E) (0,-1)
11. Halla la ecuación de la parábola cuyo foco es (1/2, 0) y de recta directriz 2x + 1 = 0
A) y2 – x = 0 B) y2 – 2x = 0 C) y2 – 4x = 0 D) x2 – 2y = 0 E) x2 – 4y = 0 12. Halla la ecuación de la parábola de vértice (-4, 0)
siendo su foco (-6,0)
A) y2+8x-32=0 B) y2+8x+16=0 C) y2+8x+32=0 D) y2-4x+16=0 E) y2+4x+16=0
13. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje “Y” y pasa por el punto (4,- 2), halla la ecuación de la parábola.
A) x2+8y=0 B) x2-8y=0 C) x2-4y=0 D) x2+4y=0 E) x2-12y=0
14. Halla la ecuación de la parábola de vértice en el origen y su directriz es la recta
x + 5 = 0.
A) y2-5x=0 B) y2-10x=0 C) y2-20x=0 D) x2-10x=0 E) x2-20y=0
15. Halla la ecuación de la parábola que tiene como foco (0, 4) y la recta directriz es
y + 4 = 0
A) x2-8y=0 B) x2-4y=0 C) x2-16y=0 D) x2-y=0 E) x2-6y=0
16. Halla la ecuación de la recta directriz de la curva y2 + 8x – 4y = 28.
A) x – 6 = 0 B) x – 4 = 0 C) x – 8 = 0 D) x – 4 = 0 E) x – 7 = 0
17. Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un segmento de la recta x –2y + 3 = 0; halla su longitud.
A) 5 B)2 5 C)3 5 D)4 5E) 5/5 18. Halla la ecuación de la parábola cuyos vértices y
focos son los puntos (-4, 3) y (-1, 3).
A) y2–6y+12x–10=0 B) y2–6y–12x–39=0 C) y2–2y–6x–7=0 D) y2–4y–8x–19=0 E) y2+6y+12x–39=0
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
SEMANA 4
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Definición:
Es aquella magnitud originada por el movimiento de un rayo respecto de otro tomado como fijo.
A A'
OA
O
OA'
: Lado inicial : Lado final : Ángulo trigonométrico
Sentido:
Puede tomar dos sentidos:
Antihorario: genera ángulos positivos
A A'
O
Horario: genera ángulos negativos
A
A' O
Magnitud:
Puede tomar cualquier valor positivo o negativo. Varía de (+) a (-).
1. Del gráfico; indique lo correcto :
rad
a) -90 = b) + = 90 c) -= 90 d) (-90) = 90 e) (-90) = 180
2. De la figura mostrada, halla el valor de “b”
aproximadamente.
a) 6028 b) 6534 c) 6842 d) 7013 e) 7467 3. Reduce:
º º º º
º º
º R O M E D I O
P
O I D E M O R
P
g g g g g g g g
a) 10/9 b) 9/10 c) 1/10
d) 1/9 e) Faltan datos
4. Indica la proposición falsa:
a) El ángulo trigonométrico puede ser positivo, negativo o cero.
b) 1g <> 100m c) 400g <> 360°
d) 1° <> 3600”
e) Un radian es un ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al diámetro de la circunferencia.
5. Indica la proposición verdadera:
a) 3° = 3g = 3 rad.
b) 1° < 1g < 1 rad c) 2 rad > 2° > 2g d) 1 rad. < 50°
e) 1 rad. > 80°
6. Siendo “S” , “C” y “R” la medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial. Halla un ángulo en radianes si cumple con:
C C S R
200 180
2
a) /2 b) c) 2
d) 4 e) 8
7. La suma de dos ángulo es 7/20 rad y su diferencia es 30g. Halla la mitad del menor ángulo en grados sexagesimales.
a) 12° b) 9° c) 6°
d) 3° e) 15°
8. Se tiene un ángulo tal que al medirlo en grados sexagesimales dicho número excede en 79 a 7 veces su número de radianes. Halla el ángulo en sexagesimales.
(Considere = 22/7)
a) 30° b) 60° c) 90°
d) 120° e) 150°
9. Si un ángulo mide “a” grados centesimales y “b” es el número de minutos sexagesimales que tiene el mismo ángulo.
Calcula:
a a P b 4
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
10. ¿Cuál es el valor de un ángulo de 72° en un nuevo Sistema Promedio (P) en el que el ángulo de una vuelta tiene 50 grados P.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10
11. Halla la medida, en radianes del mayor ángulo de un cuadrilátero sabiendo que tales medidas están en progresión geométrica y que el ángulo mayor vale ocho veces el menor.
a) 13/15 b) 14/15 c) 23/15
d) 14/15 e) 16/15 12. Si se cumple que:
' 30 60 20 20
18
3 P
gP
'm
g
Entonces el valor de “P”, es:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
13. La medida de un ángulo α está dado por S°C’ y la de un ángulo θ está dado por SgCm. Si la diferencia del numero de minutos centesimales θ y el numero de minutos sexagesimales α es 360.
Calcula (α+ θ) en el sistema sexagesimal.
Nota: S y C son los números convencionales.
a) 17° 21’24’’ b) 17° 24’11’’ c) 17° 24’21’’
d) 18° 11’24’’ e) 17° 24’11’’
14. Se crean dos nuevos sistemas de medición angular “A”
y “V” de tal manera que 117° equivalen a 169° grados A, 85g equivalen a 136 grados V. Un alumno al dibujar 208 grados V se equivocó y dibujó 208 grados A. Halla el error en radianes.
a) /20 rad b) 3/20 rad c) /5 rad d) /4 rad e) 3/10 rad
15. Si por dictar 95° se dicta 95g ; se desea conocer el error en porcentaje respecto a la verdadera magnitud.
a) 5% b) 8% c) 10%
d) 12% e) 15%
16. Un ángulo mide en grados sexagesimales:
1 aa
, pero en grados centesimales mide:1b 0
¿A qué es igual (b/a)?a) 2/3 b) 3/2 c) 2 d) 1/2 e) 5/2
17. El equivalente de 1 radián en el sistema sexagesimal es :
a) 56°17´40” b) 57°17´44” c) 57°16´40”
d) 56°17´44” e) 1°
18. Si un ángulo mide a´ y también am ; calcular “a/b”.
a) 0,17 b) 0,27 c) 0,54 d) 0,72 e) 0,67
19. Si un ángulo mide a´ y bS ; calcular “a/b”.
a) 0,54 b) 0,054 c) 0,0054 d) 0,27 e) 0,0027
20. Se crea un nuevo sistema de medición angular “P” tal que 7 de sus unidades equivalen a 12°. Señale el equivalente 21 unidades de “P” en grados centesimales.
a) 20g b) 30g c) 40g d) 50g e) 60g
21. En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden (8n)g y (7n+2)° . Señale la medida radial del ángulo desigual.
a) rad 3
b)
4rad
c)
5rad
d) rad
6
e)
9rad
22. Señale la medida radial de un ángulo si se sabe que el producto de los números que representa su medida en los sistemas centesimal y sexagesimal, es a la diferencia de los mismos como 10 veces el cuadrado de su # de radianes es a .
a) 90 rad b) 180 rad c) 300 rad d) 360 rad e) 18 rad
23. Indique la medida radial de un ángulo; si la suma de sus números de grados sexagesimales y centesimales es igual a :
g
g B
A rad B rad A A
rad A
bm
b’
a) rad b) 1 rad c) 380
rad
d)
380 rad e) N.a.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
LONGITUD DE ARCO – AREAS - APLICACIONES
PRACTICA
BLOQUE I
1. Calcula el radio de un sector circular de longitud de arco 770 m; sabiendo que el número de grados sexagesimales del ángulo central es numéricamente igual al radio. ( = 22/7)
a) 225m b) 210m c) 120m
d) 110m e) 28m
2. Calcula el radio de un sector circular de longitud de arco 44m; que subtiende un ángulo central de 90°.
a) 22m b) 44m c) 66m
d) 55m e) N.A.
3. El ángulo central de un sector circular es igual a 25° y se desea disminuirlo en 9°, ¿Cuánto hay que aumentar al radio inicial que mide 20m, para que su área no varíe?
a) 3m b) 5m c) 7m
d) 9m e) N.A.
4. El tramo de una carretera está formado por dos arcos de circunferencia, el primero tiene un radio de 18 km y un ángulo central de 40°, el segundo tiene un radio de 36 km y un ángulo central de 50°. Calcula la longitud total de este tramo. Dato: Reemplazar = 22/7.
a) 12 km b) 14 km c) 33 km
d) 22 km e) 44 km
5. Si la longitud del arco de un sector circular es 20 m y la del radio es 8m. Calcula el área de dicho sector circular.
a) 40 m2 b) 50 m2 c) 80 m2
d) 60 m2 e) 160 m2
6. La relación de los radios de la ruedas de una bicicleta es de 2 a 3, cuando la rueda mayor haya girado 16 rad.
¿Qué habrá girado la rueda menor?
a) 17 rad b) 19 rad c)21 rad
d) 23 rad e) 24 rad
7. ¿Cuántas vueltas dará una rueda al recorrer una distancia rectilínea de 40 m; si su radio mide 2 m.
a) 2 b) 8 c) 10 d) 20 e) 16
8. Un punto de rueda de cierta bicicleta está en contacto con el piso horizontal. Al avanzar la bicicleta 80 m dicho punto toca el piso otras 20 veces. Calcula el radio de la rueda ( = 22/7)
a) 5/13 m b) 2/15 m c) 3/14 m d) 7/11 m e) 8/11 m
9. Los radios de las ruedas de una bicicleta son : 30 cm y 40 cm, esta bicicleta se encuentra sobre una pista rectilínea, calcular el número de vueltas que da la rueda mayor, si la menor dio 8 vueltas al recorrer la bicicleta un cierto espacio.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 32/3 e) 5
10. Las longitudes de los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 2 a 7, en un cierto recorrido la rueda mayor dio 100 vueltas menos que la menor. Halla la suma de los ángulos barridos por las ruedas.
a) 360 b) 180 c) 720
d) 90 e) 100
BLOQUE II
11. Señale la medida del ángulo girado por “B” luego que
“A” gire 90°.
3 (A)
2 (B)
a) 75° b) 60° c) 90°
d) 135° e) 180°
12. Cuando la rueda N°1 da 28 vueltas, la rueda N°3 dará? (r1 = 14; r2 = 8 ; r3 = 5 )
r1
r2
r3
a) 77,1 b) 72,4 c) 75,3 d) 75,4 e) 78,4
13. En la figura se tienen 3 ruedas en contacto tal que
5 3 2
C B
A R R
R , si la rueda menor gira un ángulo de 45°. ¿Qué ángulo gira la rueda mayor?
A B C
a) 45° b) 22°30´ c) 15°
d) 9° e) 18°
14. ¿Cuántas vueltas de la menor rueda?
R
2R 3R
R/2
a) 8300 b) 7200 c) 6700
d) 9400 e) N.a.
15. Si la rueda que se muestra en el gráfico se dirige hacia la pared de tal manera que la toca, barre un ángulo de 1200°. Calcula la longitud de su radio.
18m
pared R
a) 3m b)
10
27 m c) 27 10 m
d) 320
27 e)
20 3
54
16. En el gráfico mostrado se tiene un sistema de engranajes y poleas. La polea "A" de radio "4" gira un ángulo de 30°, ¿ Qué ángulo gira el engranaje "C" ? si el radio de la polea "B" es de longitud "6"
B
C
A
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 60° e) 40°
17. Calcula el número total de vueltas que da la ruedita al ir desde “A” hasta “C” si : AB = 13m
A 2
C 120°
8 m B
a) 1,5 b) 2 c) 3,5 d) 4 e) 4,5
18. Halla el área de un sector circular si el ángulo central mide 25/12 rad y el radio mide 26 cm.
a) 125 b) 25,2 c) 50
d) 12,5 e) N.A.
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGULO
Sen =
c a Hipotenusa
a Opuesto
Cateto
Cos =
c b Hipotenusa
a Adyacente
Cateto
Tg =
b a a Adyacente Cateto
a Opuesto
Cateto
A
B
C c
b
a
Cateto opuesto al ángulo “”
Cateto adyacente al
ángulo “”
Hipotenusa
Ctg =
a b a Opuesto Cateto
a Adyacente
Cateto
Sec =
b c a Adyacente Cateto
Hipotenusa
Csc =
a c a Opuesto Cateto
Hipotenusa
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS:
Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas:
Seno – Cosecante Coseno – Secante Tangente – Cotangente PROPIEDAD DE LAS RECÍPROCAS:
El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo es igual a la unidad.
Sen . Csc = 1 Csc =
Sen
1
Csc . Sec = 1 Sec =
Cos
1
Tg . Ctg = 1 Ctg =
Tg
1
NOTA:
Si:
1 .
1 .
1 .
Ctg Tg
Sec Cos
Csc Sen
=
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Llamadas también Co - Razones Trigonométricas, son las siguientes:
Seno – Coseno Tangente – Cotangente Secante - Cosecante
PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES: Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su
complemento.
Sen = Cos (90° - ) R.T. () = Co – R.T. (90° - ) Tg = Ctg (90° - )
Sec = Csc(90°- ) NOTA:
Si: R.T.() = Co- R.T.() + = 90°
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES:
Practica
1. Si: sec 9y = csc (78º + 18x) tg 60x = ctg (78 – 54y)
los valores de “x” e “y” son respectivamente:
a) 30º y 20º b) 20º y 30º c) 20º y 30’
d) 20’ y 30º e) N.A.
2. Halla los ángulos agudos ""y"", tales que:
3 35 º ctg 90
tg
2
= 15º a) 11º y 10º b) 15º y 13º c) 17º y 16º d) 22,5º y 20º e) 30º y 25º3. Hallar “x” si:
cos (3x+15º) . sec (35º - x) = 1 a) 4º b) 5º c) 6º
d) 7º e) N.A.
4. A partir de las ecuaciones:
x y
x ctg y
tg
8 3
3 2 4
8x – 3y = 27º Halla : x + y
a) 38º b) 48º c) 68º
d) 72º e) 80º 5. Si se cumplen:
0 8 cos 5
sen 1 2 tg c . tg Evaluar la sgte. expresión:
4 5
2 5
2 3 2 º
2
tg sen
sen
a) 1,1 b) 2,1 c) 3,1
d) 4,1 e) 5,1 6. Si:
Sen 2 . Sec 3 1
Halla:
12 2 5 30
sen tg E
a) 1,5 b) 2,5 c) 4,5
d) 5,5 e) 3,5 7. Halla “x” de la sgte. igualdad:
tg (senx) . ctg (cos 70º) = 1
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 25º
8. En un triángulo rectángulo se tiene que uno de sus catetos es el doble de la diferencias entre la hipotenusa y el otro cateto. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo.
a)
4
3
b)3
4
c)2 1
d)
3
1
e)3
9. Si : Sen = 0,5 . Calcula : A = Tg2 + 2Csc +
3
Tg a) 5 b) 16/3 c) 8 d) 19/3 e) 11 10. En un triángulo rectángulo el semiperimetro es 60
mt y la secante de uno de sus ángulos agudos es 2,6 . Hallar el valor de la mediana relativa a la hipotenusa.
11.
a) 10 b) 24 c) 13 d) 12 e) 26
12. Del gráfico mostrado, calcule cot
2
siendo OA = 12 y r = 2,5 (T: punto de tangencia)
a)
5
1
b)5
2
c)5 3
d)
5
4
e) 513. En la figura se muestra el cuadrante AOB, A es el centro del arco
OC
, halle tan . (O y O’ son centros)a)
13
12 b)
11
12 c)
10 12 d)
11
13 e)
12 13
14. En la figura se muestra el trapecio isósceles ABCD
donde se cumple
AH BC AB
3
2
. Halle:cos + csc
a)
48 21
37
b)84
21
c)84
7 37
d) 48
3
37 e)
84 21 37
15. Sabiendo que ABCD es un cuadrado y M es punto medio de AB.
Calcule: cot + cot a) 5
O
C B
D T A
A
O C
O B
B C
A B
D C
M
2n n
30°
60°
n n
45°
60°
5n
4n
3n
37°
53°
b)
6 5
c)
3
d)
3 5 2
e)
5
16. De la figura mostrada, halle el área de la región sombreada, si
a 32
cma) 8 cm2 b) 16 cm2 c) 10 cm2 d) 15 cm2 e) 24 cm2
17. Dado el triángulo equilátero ABC y trapecio DEFG. Calcule x en términos de .
Si AG = GD = 5; EF =
2 5
a) 5 cos - 4 b) (5
3
cos - 25
) c)3
(5cos -3
) d) 10(cos 3
) e) 5(cos - 1)18. Halle EF en términos de ; si AD=4FD, AF=3CD;
AB=8 a) 3 csc b) 2,5 sen c) 4 csc d) 3 sen e) 2 csc
19. En algún lugar de la tierra, un cierto día el sol aparece a las 7:30 am y oculta a las 16:30 pm. Determine a qué hora del día la sombra proyectada por una torre vertical tiene una longitud igual a la altura de la torre dirigida al oeste
a) 8:30 b) 9:00 c) 9:45
d) 10:00 e) 10:30
20. Determine el valor de: cot a)
7 6
b)
6 7
c)
4 5
d)
7 8
e)
5 4
21. En el gráfico mostrado ABCD es un cuadrado, calcule tan + tan . Si tan toma su máximo valor.
a)
4
3
b)3
4
c)3 5
d)
4
5
e)5 4
a
A C
D E
B
G F x
A F D
C
B E
53º 53º 37º 45º
A B
C
E D
F
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
ANGULO EN P.N
Un ángulo trigonométrico está en posición normal o estándar, cuando su lado inicial pertenece al semieje positivo de abscisas y su lado final a cualquier parte del plano. Teniendo su vértice en el origen de coordenadas.
Se observa que:
IIC
IIIC
IVC
Los ángulos y no pertenecen a un cuadrante.
ÁNGULOS CUADRANTES
Son aquellos ángulos que ubicados en posición normal tienen su lado final sobre los
semejantes coordenados. Los ángulos cuadrantales son múltiplos de 90° o
2
rad siendo “K” un entero (KZ)Ubicación de un ángulo positivo y negativo PRACTICA
1. Si P(-6; -8) al lado final del ángulo “” en posición estándar, calcula: Sec + Tg
a) 3 b) -3 c) -
3
1
d)3
1
e) 12. Si el lado final del ángulo “” en posición estándar pasa por el punto medio del segmento
AB
donde A(-1; 1) y B(5; 7), calcula: Tg
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) -4
3. Si: Sen = -15/17, IIIC, calcula:
M = Sec + Tg
a) -1/4 b) 1/4 c) –4
d) 4 e) 2
4. Halla: Sen - Cos
Si. Tg =
24 7
; IIICa) 17/25 b) -25/17 c) -17/25 d) 25/17 e) 1/17
5. Calcula: A =
5
Cscx – Ctgx
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
6. De la figura halla: 5Sen + 13Cos
a) 1 b) -1 c) 7
d) -7 e) 8
7. Si Tg = 4 además: IIIC, calcula:
SenCos
a) 2/13 b) 3/13 c) 6/13
d) -6/13 e) N.A 8. Si: Sen < 0 y Tg > 0 Indica el cuadrante de
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F.D.
9. Indica el cuadrante de
Tg + 2Sen30° < Tg45°
Sec < 0 a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F.D.
10. Si: IIC y IIIC, indique el signo de la siguiente expresión:
M =
Tg Cos Tg
Cos
Sen
1 .
a) (+) b) (-) c) (+) ó (-) d) (+) y (-) e) No se puede afirmar
11. Si: Sen
Cos
< 0, encontrar el signo de:Tg + Ctg
a) + b) - c) + - d) + ó - e) F.D.
12. Si es un ángulo positivo y menor que una vuelta del IIC, determinar el signo de:
M = Sen
2
Sen
3 2
yN = Sen2Cos
2 3
a) +; + b) +; - c) -+; -
d) -; + e) N.A.
13. Determina el valor de verdad.
( ) Todo ángulo del IC es positivo ( ) Si Cos =
3
- 1 IC IVC ( ) Si es negativo Sen es negativoa) VVV b) FVF c) VFV
d) VVF e) FFV
14. Reduce:
360 270
180 .
270 )².
( 360 cos )².
(
bSen abSen
Sen a
Sen b a b
p a
a) 1 b) 4 c) 2
d) -4 e) -2
15. Si: x= Cos1° Cos2° Cos3° … Cos179°
Calcula: Senx + Cosx
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
16. Calcula:
3 2
2 2 3 2 3
Cos Sen
Sen Tg
Cos
a) 1 b) 2 c) –1 d) -2 e) -3
17. Calcula el valor de: Cos(Sen + Tg) – Sec(Sen
2
)a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
18. Si y son ángulos coterminales, no cuadrantal, encontrar el signo de la expresión SenSenCosCos
a) + ó - b) + y - c) +
d) - e) F.D.
y
x’
x
y’
(-2,1)
x
y
(12;-5)
(-3;-4)
x
y x y
x y
x y
x
y
90°
180° 0°
270°
360°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Son aquellas igualdades donde intervienen razones trigonométricas de una cierta variable, las mismas que se verifican para todo valor admisible de dicha variable.
IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICASFUNDAMENTALES (n z)
1. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n z)
Senx . Cscx = 1 x R - n
Cosx . Secx = 1 x R – (2n + 1) 2
Tgx . Ctgx = 1 x R – n
2 2. IDENTIDADES POR COCIENTE
Tgx =
Cosx
Senx
x R – (2n + 1) 2
Ctgx =
Senx
Cosx
x R – n3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS
Sen²x + Cos²x = 1 x R
1 + Tg²x = Sec²x x R –(2n + 1) 2
1 + Ctg²x = Csc²x x R – n
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DERIVADAS Ó AUXILIARES
Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen²x . Cos²x
Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen²x . Cos²x
Tgx + Ctgx = Secx . Cscx
Sec²x + Csc²x = Sec²x . Csc²x
(1 Senx Cosx)² = 2(1 Senx) (1 Cosx)
Cosx Senx Senx
Cosx Senx
Cosx Cosx
Senx
1
;1 1 1
Sec4 x + Tg4 x = 1 + 2 Sec2 x Tg2 x
Csc4 x + Cotg4 x = 1 + 2 Csc2 x Ctg2 x RECORDAR:
Verso (x) = 1 – Cos x ; (Seno verso)
Cov (x) = 1 – Sen x ; (Coseno verso) Algunas sugerencias para simplificar identidades trigonométricas
1) Si con una simplificación por identidades intervienen a tres o más razones trigonométricas entonces será conveniente la expresión en función de seno y coseno.
2) Para simplificar por identidades trigonométricas se puede utilizar todos los criterios algebraicos (Teoría de exponentes, productos notables, otros).
3) Se utilizarán también frecuentemente artificios, tales como: sumar o restar cero; multiplicar o dividir por uno.
PRACTICA 1. Reduce:
A =
1 Cos² x
(Cscx + Ctgx) ; (x IC) a) 1 + Senx b) 1 + Cosx c) 1 - Senx d) 1 - Cosx e) Senx + Cosx2. Simplifica:
A = Sen6x + Cos6x + 3Sen²xCos²x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 3/2
3. Simplifica:
K =
Tgx Secx Tgx
Secx
1 1
a) 2Secx b) 2Tgx c) 2Cosx
d) 2Ctgx e) 2Senx
4. Halla el equivalente de:
Senx Cosx
1
a)
Cosx
Senx
1
b)Senx
Cosx 1
c)
Cosx
Senx 1
d)
Cosx
Senx
2
e)Senx
Cosx 2
5. Halla A si la igualdad:
A Senx Cosx Senx
Cosx 2
1
1
, es unaidentidad
a) Senx b) Cosx c) Tgx
d) Ctgx e) Secx
6. Simplifica:
(Secx + 1)(Cscx + 1)(1-Senx)(1-Cosx)
a) SenxSecx b) CosxCscx c) SenxCosx
d) SecxCscx e) TgxSenx 7. Simplifica:
A = Cscx – Ctgx +
Tgx Secx
1
a) Senx b) Cosx c) Secx
d) Cscx e) Ctgx
8. Halla A en la identidad (x IC)
A =
Senx
Senx
1
1
+ Tgxa) Senx b) Cosx c) Ctgx
d) Secx e) Cscx
9. Simplifica:
K =
1 2 SenxCosx
- Senxa) Senx b) Cosx c) 2Senx
d) 2Cosx e) Secx
10. Simplifica: B =
1 1
Cscx Ctgx
Cscx
Ctgx
, x ICa) Senx + Cosx b) Senx – Cosx c) Secx + Tgx d) Cscx + Ctgx e) Cscx – Ctgx
11. Reduciendo la expresión:
K = (SenA + CosA)² + (SenA – CosA)², se tiene:
a) 1/2 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12. Reduce la expresión: A =
Cosx Senx
1
+ Ctgx
a) Senx b) Cosx c) Tgx
d) Secx e) Cscx
13. Simplifica: A =
Senx Cscx
Cosx Secx
a) Tgx b) Tg²x c) Tg³x
d) Ctg²x e) CTg³x
14. Reduce la expresión:
K = Cscx(Cscx + Senx) – Ctgx(Ctgx + Tgx)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
15. Simplifica la expresión:
K =
Cscx Ctgx Cosx
Secx Tgx Senx
1
1
a) 1 b) Tgx c) Ctgx
d) Secx e) Cscx
16. Simplifica la expresión:
E =
x Cos x Ctg
x Sen x Tg
²
²
²
²
a) Sen²x b) Cos4x c) Sen4x
d) Tg6x e) Sen5x
17. Reduce la expresión:
A =
Senx
Cosx Cosx
Senx
1 1
a) 2Senx b) 2Cscx c) 2Secx
d) 2Cosx e) 2Tgx
18. Reduce:
(1 + Tgx)Ctgx + (Secx – Cscx)Cosx
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 4
