Un ejemplo de comportamiento extremo del grupo de las isometr´ıas de un espacio de
Banach respecto a la dualidad
Miguel Mart´ın
http://www.ugr.es/local/mmartins
Universidad de Valencia – 19 de Septiembre de 2011
Introducci´ on: notaci´ on, objetivos y
motivaci´ on
Notaci´ on b´ asica y principales objetivos
Notaci´on
X espacio de Banach real o complejo.
SX esfera unidad,BX bola unidad cerrada.
X∗espacio dual,L(X)operadores lineales acotados.
W (X)operadores lineales d´ebilmente compactos.
Iso(X)grupo de las isometr´ıas sobreyectivas.
Objetivo
Construir espacios X tal que Iso(X) es peque˜no pero Iso(X∗) es grande.
Motivaci´ on
X espacio de Banach.
Sistema din´amico aut´onomo (♦)
x0(t) = A x(t) x(0) = x0
x0∈ X, A lineal cerrado densamente definido.
Semigrupo uniparam´etrico de operadores
Φ : R+0 −→ L(X) tal que Φ(t + s) = Φ(t)Φ(s) ∀t, s ∈ R+0, Φ(0) = Id.
Uniformemente continuo: Φ : R+0 −→ (L(X), k · k) continuo.
Fuertemente continuo: Φ : R+0 −→ (L(X), SOT) continuo.
Relaci´on (Hille-Yoshida, 1950’s) Caso acotado:
Si A ∈ L(X) =⇒ Φ(t) = exp(t A) soluci´on de (♦) uniformemente continuo.
Φ uniformemente continuo =⇒ A = Φ0(0) ∈ L(X) y Φ soluci´on de (♦).
Caso no acotado:
Φ fuertemente continuo =⇒ A = Φ0(0) cerrado y Φ soluci´on de (♦).
Si (♦) tiene soluci´on Φ fuertemente continua =⇒ A = Φ0(0) y Φ(t) = “ exp(t A)”.
Motivaci´ on
En espacios concretos no reflexivos, es f´acil dar ejemplos de isometr´ıas en X∗que no provienen de isometr´ıas en X.
Pero, ¿puede ser el comportamiento del grupo de las isometr´ıas muy diferente en X y en X∗?
Probaremos la existencia de espacios de Banach X tales que Caso 1:Iso(X) no tiene semigrupos uniparam´etricos uniformemente continuos pero Iso(X∗) ⊃ Iso(`2).
Caso 2:Iso(X) = {±Id} pero Iso(X∗) ⊃ Iso(`2).
Esquema de la charla
1 Introducci´on
2 Caso acotado o uniformemente continuo
3 Caso no acotado o fuertemente continuo
4 Cr´editos
Caso acotado o uniformemente continuo
1 Introducci´on
2 Caso acotado o uniformemente continuo El Rango Num´erico
Relaci´on con los semigrupos de operadores El ejemplo
´Indice num´erico y dualidad
3 Caso no acotado o fuertemente continuo
4 Cr´editos
Espacios de Hilbert
Rango num´erico en espacios de Hilbert (Toeplitz, 1918) A matriz n × n real o compleja
W (A) =
(Ax | x) : x ∈ Kn, (x | x) = 1 . H espacio de Hilbert real o complejo, T ∈ L(H),
W (T ) =
(T x | x) : x ∈ H, kxk = 1 .
Algunas propiedades
H espacio de Hilbert, T ∈ L(H):
W (T ) es convexo.
En caso complejo, W (T ) contiene al espectro de T . Si T es normal, W (T ) = co Sp(T ).
Espacios de Banach
Rango num´erico en espacios de Banach (Bauer 1962; Lumer, 1961) X espacio de Banach, T ∈ L(X),
V (T ) =
x∗(T x) : x∗∈ SX∗, x ∈ SX, x∗(x) = 1
Algunas propiedades
X espacio de Banach, T ∈ L(X):
V (T ) es conexo (aunque no necesariamente convexo).
En caso complejo, V (T ) contiene al espectro de T . De hecho,
co Sp(T ) =\
co V (T ),
donde tomamos la intersecci´on sobre todos los rangos num´ericos correspondientes a normas equivalentes sobre X.
Radio num´ erico e ´Indice num´ erico
Radio num´erico
X espacio de Banach real o complejo, T ∈ L(X), v(T ) = sup
|λ| : λ ∈ V (T ) .
v es una seminorma con v(T ) 6 kT k.
v(T ) = v(T∗) para todo T ∈ L(X).
´Indice num´erico (Lumer, 1968) X espacio de Banach real o complejo,
n(X) = ´ınf
v(T ) : T ∈ L(X), kT k = 1
= m´ax{k> 0 : kkT k 6 v(T ) ∀T ∈ L(X) .
Notas
n(X) = 1 sii v(T ) = kT k para todo T ∈ L(X).
Si hay un T 6= 0 con v(T ) = 0, entonces n(X) = 0.
El rec´ıproco no es cierto.
Relaci´ on con los semigrupos de operadores. I
Un ejemplo motivador
A matriz n × n real o compleja. Equivalen:
A es antisim´etrica (i.e. A∗= −A).
Re(Ax | x) = 0 para todo x ∈ H.
B = exp(ρA) es unitaria para todo ρ ∈ R+(i.e. B∗B = BB∗= Id).
En t´erminos de los espacios de Hilbert
H espacio de Hilbert (n-dimensional), T ∈ L(H). Equivalen:
Re W (T ) = {0}.
exp(ρT ) ∈ Iso(H) para todo ρ ∈ R+.
Para espacios de Banach generales X espacio de Banach, T ∈ L(X). Equivalen:
Re V (T ) = {0}.
exp(ρT ) ∈ Iso(X) para todo ρ ∈ R+.
Relaci´ on con los semigrupos de operadores. II
Teorema
X espacio de Banach, T ∈ L(X). Equivalen:
Re V (T ) = {0}.
exp(ρT ) ∈ Iso(X) para todo ρ ∈ R+. k exp(ρT )k 6 1 para todo ρ ∈ R.
Se sigue de la “f´ormula exponencial”
sup Re V (T ) = l´ım
β↓0
kId + β T k − 1
β = sup
α>0
log k exp(α T )k
α .
De hecho, se puede cuantificar el toerema Para cada T ∈ L(X) se tiene
exp(ρT )
6 ev(T ) |ρ| ρ ∈ R
y v(T ) es la menor posibilidad.
Entonces,n(X) = 1es la peor posibilidad para encontrar semigrupos uniparam´etricos uniformemente continuos de isometr´ıas.
El ejemplo principal
Espacios CE(KkL)
K compacto, L ⊂ K cerrado con interior vac´ıo, E ⊂ C(L).
CE(KkL) = {f ∈ C(K) : f |L∈ E}.
Teorema
CE(KkL)∗≡ E∗⊕1C0(KkL)∗ & n CE(KkL)
= 1.
Ejemplo
Tomamos K = [0, 1], L = ∆, E = `2⊂ C(∆).
C`2([0, 1]k∆) no admite semigrupos uniparam´etricos uniformemente continuos de isometr´ıas.
C`2([0, 1]k∆)∗≡ `2⊕1C0([0, 1]k∆)∗,
Si S ∈ Iso(`2) =⇒ T =
S 0 0 Id
∈ Iso C`2([0, 1]k∆)∗
Por tanto, C`2([0, 1]k∆)∗ admite infinitos semigrupos uniparam´etricos uniformemente continuos de isometr´ıas.
´Indice num´erico y dualidad
Proposici´on
X espacio de Banach.
v(T∗) = v(T ) para todo T ∈ L(X).
Por tanto, n(X∗)6 n(X).
Pregunta (1970)
¿Es n(X) = n(X∗) siempre?
Algunas respuestas parciales (positivas) Cuando X es reflexivo (evidente).
Cuando X es una C∗-´algebra o el predual de un ´algebra de von Neumann (1970’s Huruya – 2000’s Rodr´ıguez-Palacios et al.).
Cuando X es un L-sumando en X∗∗(2009).
Si X RNP y n(X) = 1, entonces n(X∗) = 1 (2000’s).
Respuesta (Boyko-Kadets-M.-Werner, 2007)
La respuesta es NO. De hecho, C`2([0, 1]k∆) es un contraejemplo.
Caso no acotado o fuertemente continuo
1 Introducci´on
2 Caso acotado o uniformemente continuo
3 Caso no acotado o fuertemente continuo Problemas con el rango num´erico Espacios extremadamente no complejos
Isometr´ıas en espacios extremadamente no complejos El mejor ejemplo
4 Cr´editos
Rango num´ erico de operadores no acotados. I
Rango num´erico de operadores no acotados (1960’s) X espacio de Banach, T : D(T ) −→ X lineal,
V (T ) =
x∗(T x) : x∗∈ X∗, x ∈ D(T ), x∗(x) = kx∗k = kxk = 1 .
Teorema (Stone, 1932)
H espacio de Hilbert, A operador densamente definido. Equivalen:
A genera un grupo uniparam´etrico fuertemente continuo de operadores unitarios (isometr´ıas sobreyectivas).
A∗= −A.
Re(Ax | x) = 0 para todo x ∈ D(A), i.e. Re V (A) = {0}.
Rango num´ erico de operadores no acotados. II
Dificultades
¿Qu´e espacios de Banach tienen operadores no acotados (no nulos) con rango num´erico cero?
¿Qu´e operadores cerrados generan semigrupos uniparam´etricos fuertemente continuos?
Ejemplos
En C0(R), Φ(t)(f )(s) = f (t + s) es un semigrupo fuertemente continuo de isometr´ıas generado por el operador derivada.
En CE([0, 1]k∆) tambi´en hay semigrupos fuertemente continuos de isometr´ıas.
Consecuencia
Cambiamos radicalmente la forma de abordar el problema.
Estructura compleja
Definici´on
X tieneestructura complejasi existe T ∈ L(X) tal que T2= −Id.
Comentarios
Da una estructura de C espacio vectorial: (α + i β) x = α x + β T (x).
|||x||| = m´ax
keiθxk : θ ∈ [0, 2π]
es una norma equivalente compleja.
X espacio de Banach complejo =⇒ T (x) = i x satisface T2= −Id.
Algunos ejemplos
1 dim(X) < ∞ =⇒ X tiene estructura compleja sii dim(X) es par.
2 Si X ' Z ⊕ Z, entonces X tiene estructura compleja.
3 Algunos espacios de dimensi´on infinita sin estructura compleja:
Dieudonn´e, 1952: el espacio de James J (pues J∗∗≡ J ⊕ R).
Gowers-Maurey, 1993: su espacio H.I.
Espacios extremadamente no complejos
Definici´on
X esextremadamente no complejosi
kId + T2k = 1 + kT2k T ∈ L(X) Compacto de Koszmider
K tal que para todo T ∈ L C(K) se tiene
T∗= g Id + S g funci´on de Borel, S ∈ W (X∗) .
Teorema
K perfecto y Koszmider =⇒ C(K) es extremadamente no complejo.
Ejemplo (Koszmider, 2004)
Existen infinitos compactos de Koszmider diferentes.
Corolario
Existen infinitos espacios extremadamente no complejos no isomorfos.
Isometr´ıas en espacios extremadamente no complejos. I
Teorema
X extremadamente no complejo.
T ∈ Iso(X) =⇒ T2= Id.
T1, T2∈ Iso(X) =⇒ T1T2= T2T1 & kT1− T2k ∈ {0, 2}.
Φ : R+0 −→ Iso(X) semigrupo uniparam´etrico =⇒ Φ(R+0) = {Id}.
Demostraci´on.
S =√1
2 T − T−1
=⇒ S2=12T2− Id +12T−2. 1 + kS2k = kId + S2k =
12T2+12T−2
6 1 =⇒ S2= 0.
Como Id es un punto extremo de BL(X) =⇒ T2= T−2= Id.
Isometr´ıas en espacios extremadamente no complejos. II
Teorema
K Koszmider perfecto, L cerrado con interior vac´ıo, E ⊂ C(L)
=⇒ CE(KkL) extremadamente no complejo.
Proposici´on
K perfecto =⇒ ∃ L ⊂ K cerrado interior vac´ıo tal que C[0, 1] ⊂ C(L).
Ejemplo
K Koszmider perfecto, L ⊂ K cerrado con interior no vac´ıo, E = `2⊂ C[0, 1] ⊂ C(L):
C`2(KkL) no tiene semigrupos uniparam´etricos no triviales de isometr´ıas.
Iso C`2(KkL)
⊃ Iso(`2).
Isometr´ıas en espacios C
E(KkL) extremadamente no complejos
Teorema “tipo Banach-Stone”
CE(KkL) extremadamente no complejo, T ∈ Iso(CE(KkL))
=⇒ existe θ : K \ L −→ {−1, 1} continua tal que
[T (f )](x) = θ(x)f (x) x ∈ K \ L, f ∈ CE(KkL)
Consecuencias: casos E = C(L) y E = 0
C(K) extremadamente no complejo, ϕ : K −→ K homeomorfismo
=⇒ ϕ = id
C0(K \ L) ≡ C0(KkL) extremadamente no complejo, ϕ : K \ L −→ K \ L homeomorfismo =⇒ ϕ = id
Consecuencia principal: caso conexo Si K y K \ L son conexos, entonces
Iso CE(KkL)
= {−Id, +Id}
El mejor ejemplo
Koszmider, 2004
∃ K conexo Koszmider tal que K \ F es conexo si |F | < ∞.
Observaci´on importante sobre la construcci´on anterior Se puede encontrar L ⊂ K cerrado con interior vac´ıo tal que
K \ L conexo C[0, 1] ⊆ C(L)
Consecuencia: el mejor ejemplo Sea X = C`2(KkL). Entonces
Iso(X) = {−Id, +Id} y Iso(X∗) ⊃ Iso(`2) Demostraci´on.
K Koszmider, L cerrado con interior vac´ıo, `2⊂ C[0, 1] ⊂ C(L)
=⇒ X est´a bien definido y es extremadamente no complejo.
K \ L conexo =⇒ Iso(X) = {−Id, +Id}.
X∗≡ `2⊕1C0(KkL)∗ =⇒ Iso(`2) ⊂ Iso(X∗).
Cr´editos
Preguntas
Rafael Pay´a, Granada 1996; ´Angel Rodr´ıguez, Granada 1999
¿Son iguales n(X) y n(X∗)?
Gilles Godefroy, Par´ıs 2005
¿Es R el ´unico espacio extremadamente no complejo?
Rafael Pay´a, ICM Madrid 2006
¿Existe X tal que Iso(X) no contiene semigrupos uniparam´etricos (uniformemente continuos) no triviales pero Iso(X∗) s´ı que los contiene?
Armando Villena, Granada 2007
¿Es posible que Iso(X) = {±Id} y que Iso(X∗) contenga una copia de Iso(`2)?
Respuestas
K. Boyko, V. Kadets, M. Mart´ın, and D. Werner.
Numerical index of Banach spaces and duality.
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. (2007).
V. Kadets, M. Mart´ın, and J. Mer´ı.
Norm equalities for operators on Banach spaces.
Indiana U. Math. J. (2007).
P. Koszmider, M. Mart´ın, and J. Mer´ı.
Extremely non-complex C(K) spaces.
J. Math. Anal. Appl. (2009).
P. Koszmider, M. Mart´ın, and J. Mer´ı.
Isometries on extremely non-complex Banach spaces.
J. Inst. Math. Jussieu (2011).
M. Mart´ın
The group of isometries of a Banach space and duality.
J. Funct. Anal. (2008).