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Tiempos de reacción
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Organismo Modelo
experimentación simulación
comparación
Datos Resultados
Simulación como método para verificar modelos probabilísticos de procesos psicológicos
Psicofísica
Estimación de umbrales sensoriales:
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Psicometría
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Reglas de selección de ítems en tests adaptativos:
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Análisis de datos
Tablas de contingencia:
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comparación
Parámetros Estimaciones
simulación análisis
Datos
Simulación como método para evaluar técnicas de análisis de datos
Normal con = 5 y 2 = 1 f( x) Variable X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
La variable X tiene distribución N(µ, )σ2
Cada una de las n observaciones Xi de una muestra de X tam-bién tiene distribución N(µ, )σ2
Las n observaciones Xi de la muestra son independientes en-tre sí (muesen-treo aleatorio simple)
Una muestra de tamaño n tiene media X ' 'Xi y varianza n
s2x ' '(Xi&X)
2
n
La variable T = X&µ tiene distribución La variable G = tiene distribución
sx n&1 tn&1 ns 2 x σ2 χ 2 n&1 t con 19 grados de libertad
f( t) Variable T –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
2 con 19 grados de libertad
f( g) Variable G 0 10 20 30 40 50 0.0 0.1
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Rasgo, Probabilidad de acierto –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 b1 = –2.0 a1 = 2.2 c1 = 0.50 b2 = –0.5 a2 = 1.5 c2 = 0.33 b3 = 1.0 a3 = 0.8 c3 = 0.25
Teoría de Respuesta al Ítem. Modelo logístico de tres parámetros
Cada sujeto se caracteriza por un parámetro (su aptitud o nivel en el rasgo) que se denomina genéricamente θ; se supone que el rasgo tiene distribución N(0, 1) en la población
Cada ítem se caracteriza por tres parámetros: Un índice de dificultad (parámetro b)
Un índice de discriminación (parámetro a) Un índice de aciertos al azar (parámetro c)
La probabilidad de que un sujeto con nivel de aptitud θ acierte un ítem de dificultad b, discriminación a, e índice de aciertos al azar c viene dada por la función de respuesta al ítem (FRI), que es
Pj(θ) = cj % 1& cj
1% exp &1.7aj(θ&bj)
El parámetro b determina la posición de la FRI en el eje horizontal
El parámetro a determina la pendiente de la FRI
Teoría de Respuesta al Ítem. Modelo logístico de tres parámetros
Tests adaptativos
– Características del banco de ítems (número de ítems y parámetros) – Criterio de elección del primer ítem (al azar, dificultad media, ...)
– Criterio de selección de ítems (máxima información, mínima varianza esperada, ...) – Regla de parada (longitud fija, tamaño del error típico de estimación, ...)
– Estimación final de la aptitud (MAP, EAP, ...)
Además: – control de exposición
– capitalización del error (“capitalization on chance”)
Función de información: Ij(θ) = P´j(θ) . En modelos logísticos, Ij(θ) =
2 Pj(θ) 1&Pj(θ) 1.72a2 j 1&Pj(θ) Pj(θ)&cj 2 Pj(θ) (1&cj)2
La información del ítem: – aumenta al aumentar a – disminuye al aumentar c
La función de información del test es la suma de las de los ítems aplicados: I(θ) = 'n
j'1Ij(θ)
El error típico de estimación viene dado por = ˆse 1/ I(ˆθ) Rasgo, Información –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 Rasgo, Probabilidad de acierto –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 b 1 = –2.0 a1 = 2.2 c1 = 0.50 b2 = –0.5 a2 = 1.5 c2 = 0.33 b3 = 1.0 a3 = 0.8 c3 = 0.25 Rasgo, Información –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 Rasgo, Probabilidad de acierto –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 b 1 = –2.0 a1 = 2.2 b2 = –0.5 a2 = 1.5 b3 = 1.0 a3 = 0.8
Matriz de respuestas sujetos × ítems
99: ítem no aplicado
0,1 : respuesta a ítem aplicado
θ ˆθ N ˆse
Teoría de Respuesta al Ítem. Modelo logístico de tres parámetros
Tests adaptativos
c a b
Teoría de Respuesta al Ítem. Modelo logístico de tres parámetros
Tests adaptativos
Banco compuesto por 15 ítems Ya se han aplicado 4
Función de verosimilitud tras la aplicación de los 4 ítems La estimación provisional (MAP) es = 0.064ˆθ
No se ha alcanzado el criterio para terminar el TAI
El siguiente ítem será aquel cuya función de información tenga un valor más alto en la estimación provisional ( = 0.064), esˆθ decir, aquel para el que Ij( ) sea mayorˆθ
Nivel de rasgo, Probabilidad –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Nivel de rasgo, Verosimilitud –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 MAP: 0.0640 Nivel de rasgo,
Información del ítem
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 MAP: 0.0640
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Estimación bayesiana adaptativa de umbrales sensoriales
Estadística bayesiana (i)
Teorema del producto
P(A 1 B) = P(A) P(B*A) = P(B) P(A*B) | P(B*A) = P(B) P(A*B)
P(A) Teorema de Bayes
P(θ*x) ' P(θ)P(x*θ)
P(x) proba posteriori'
proba priori× verosimilitud
probdatos P(θ*x) ' P(θ)P(x*θ) mΘP(θ)P(x*θ)dθ % P(θ)P(x*θ) fn(θ*x) % f0(θ)k n i'1 f(xi*θ)
f0 : función de probabilidad a priori, distribución a priori, distribución previa (supuesta) : verosimilitud (supuesta la forma de f)
k
n
i'1 f
Estadística bayesiana (ii)
Datos: x = (7,8,4,4,6,8,3,4,6,6), n = 10, suponiendo X - N(µ, σ2)
Parámetros: = (µ, σθ 2)
f0( ) = θ 1
2π 2.6 exp & (µ&6)
2 2×1.3 & (σ2&5)2 2×2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Máximo en (, 2) = (6.00, 5.00) Distribución a priori 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Máximo en (, 2) = (5.60, 2.84) Función de verosimilitud 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Máximo en (, 2) = (5.70, 4.23) Distribución a posteriori f0( ) = θ I 0.37&(µ&5) 2 9 & (σ2&6)2 25 O 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Máximo en (, 2) = (5.00, 6.00) Distribución a priori 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Máximo en (, 2) = (5.60, 2.84) Función de verosimilitud 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Máximo en (, 2) = (5.44, 4.61) Distribución a posteriori
Estadística bayesiana (iii)
Función de pérdida
En estadística bayesiana, la distribución a posteriori es la estimación (en algún sentido) Un estimador puntual, , es un valor de θ elegido con algún criterioˆθ
El criterio se establece a través de la función de pérdida
pérdida: valor cuantitativo de la gravedad del error consistente en tomar = δ(x) como estimación cuando elˆθ verdadero valor del parámetro es θ0 | función de pérdida R
Un estimador de Bayes minimiza el riesgo (valor esperado de la pérdida) bajo una determinada función de pérdida R: E[R( , θ) * x] = ˆθ m ΘR(ˆθ, θ) fn(θ*x) dθ En el caso unidimensional: R( , θˆθ 0) = R( , θ0) = * !θ0* R( , θ0) = ( !θ0)2 1 si *ˆθ&θ0*$ζ 0 si *ˆθ&θ0*<ζ ˆθ ˆθ ˆθ ˆθ
pérdida «cero–uno» pérdida absoluta pérdida cuadrática
pérdida 0 ˆ pérdida 0 ˆ pérdida 0 ˆ
0 1 2 3 4 5 6 7 Función de respuesta Variable relevante, X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Probabilidad del suceso
Intensidad, x 0 1 2 3 4 5 6 7 Probabilidad de detección 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Intensidad, x 0 1 2 3 4 5 6 7 Probabilidad de detección 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Estimación bayesiana adaptativa (i)
Áreas de aplicación
En casos en los que la probabilidad de un determinado suceso aumenta al aumentar el valor de alguna variable relevante, describiendo una función de respuesta:
El objetivo es estimar los parámetros de la función de respuesta Función logística: σ = ψ(x) ' γ% 1&λ&γ 1% exp &b(x&θ%ε) 2ln99 b ε = 1 b ln π&γ1&λ&π Función de Weibull: σ = ψ(x) ' 1&λ&(1&λ&γ)exp &10β(x&θ%ε) 1
β log
ln100 ln(100/99) ε = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 Función de respuesta Variable relevante, X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Probabilidad del suceso
Estimación bayesiana adaptativa (ii)
Para cada x (que no es variable aleatoria) hay una variable aleatoria de Bernoulli Rx con probabilidad de éxito ψ(x), es decir, Rx - B(ψ(x); 1)
El procedimiento consiste en realizar ensayos sucesivamente y
– es adaptativo porque el valor xi+1 en que se hará el ensayo i+1 depende del resultado Rx (y, potencialmente, porque i
también podría decidirse sobre la marcha cuándo se termina el procedimiento)
– es bayesiano porque en la forma de determinar el valor xi+1 y en la forma de obtener la estimación final se usa lógica bayesiana
Componentes del procedimiento Función de respuesta real
y definición de umbral θ (valor de x para el que la probabilidad del suceso es π)
0 1 2 3 4 5 6 7
Función psicométrica real
Intensidad, x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Probabilidad del suceso
Distribución a priori y criterio de observación (e.g., índice de tendencia central de la distribución)
0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad de probabilidad Distribución a priori
Función modelo M y fun-ción de verosimilitud del resultado de este ensayo (idealmente, M = ψ)
0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Verosimilitud Función de verosimilitud
Regla de parada y estima-ción
1.25
Ensayo 11
0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad de probabilidad
Estimación bayesiana adaptativa (iii)
Pasos en la aplicación del procedimiento 0. Fijar i = 1
1. Seleccionar el valor xi para la variable x en el ensayo i (el actual), aplicando el criterio de observación a la función a priori fi!1
2. Hacer el ensayo y observar el valor de la variable de Bernoulli Rx ( = 1 si se ha producido el suceso y 0 en otro i Rxi
caso)
3. Obtener la función posterior al ensayo i aplicando lógica bayesiana: fi(θ*ri) = fi!1(θ*ri!1) M(xi)rxi 1&M(xi) 1&rxi
donde ri = (rx , , ..., ) y M es tratada como una función de θ; por definición, f0(θ*r0) = f0(θ)
1 rx2 rxi
4. Si se ha cumplido lo establecido en la regla de parada, pasar a 5; si no, aumentar i en una unidad y volver a 1 5. Obtener la estimación final usando el estimador de Bayes elegido
Estimación bayesiana adaptativa (iv)
0 1 2 3 4 5 6 7
Función psicométrica real
Intensidad, x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Probabilidad del suceso 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad Distribución a priori 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Verosimilitud Función de verosimilitud Ensayo 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad rx1 = 0 Ensayo 2 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx2 = 1 Ensayo 3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx3 = 0 Ensayo 4 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx4 = 1 Ensayo 5 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx5 = 1 Ensayo 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad rx6 = 0 Ensayo 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx7 = 1 Ensayo 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx8 = 1 Ensayo 9 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx9 = 1 Ensayo 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx10 = 1 Ensayo 11 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad rx11 = 1 Ensayo 12 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx12 = 1 ... 7 ensayos más ... Ensayo 20 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx20 = 1
Después del ensayo 20
0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Estimación bayesiana adaptativa (v)
0 1 2 3 4 5 6 7
Función psicométrica real
Intensidad, x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Probabilidad del suceso 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad Distribución a priori 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Verosimilitud Función de verosimilitud Ensayo 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad rx1 = 0 Ensayo 2 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx2 = 1 Ensayo 3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx3 = 1 Ensayo 4 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx4 = 1 Ensayo 5 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx5 = 1 Ensayo 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad rx6 = 1 Ensayo 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx7 = 1 Ensayo 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx8 = 1 Ensayo 9 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx9 = 1 Ensayo 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx10 = 0 Ensayo 11 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad rx11 = 0 Ensayo 12 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx12 = 1 ... 7 ensayos más ... Ensayo 20 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rx20 = 1
Después del ensayo 20
0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Estimación bayesiana adaptativa (vi)
Configuración:
1.- ¿Cómo elegir la forma de f0?
2.- ¿Qué pasa si M y Ψ tienen distinta forma?
3.- ¿Qué función de pérdida da mejores estimaciones? 4.- ¿Qué regla de parada es más eficiente?
5.- ¿Se puede estimar cualquier punto de Ψ con buena precisión?
Evaluación (mediante simulación):
0 1 2 3 4 5 6 7
Función psicométrica real
Intensidad, x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Prob. de detección M = Ψ pérdida absoluta 20 ensayos π = 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad relativa A priori hiperbólica 5.1 5.3 5.5 5.7 5.9 10000 repeticiones
Estimación del umbral
0 5 10 15 Frecuencia (cientos) 0 1 2 3 4 5 6 7
Localización del umbral,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Densidad relativa A priori uniforme 5.1 5.3 5.5 5.7 5.9 10000 repeticiones
Estimación del umbral
0 5 10 15
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