14.2 Simplificar expresiones con exponentes racionales y radicales

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Nombre Clase Fecha

Explorar

Explorar operaciones con números racionales

e irracionales

¿Qué sucede cuando sumas dos números racionales? ¿El resultado es siempre otro número racional o puede ser irracional? ¿La suma de dos números irracionales siempre será racional, siempre será irracional o puede ser cualquiera de las dos? ¿Y qué sucede con el producto de dos números irracionales?

Todas estas preguntas se usan para determinar si un conjunto de números es cerrado para una operación. Si la suma de dos números racionales es siempre racional, se diría que el conjunto de números racionales es cerrado para la suma. En las siguientes tablas, se combinan números racionales e irracionales de varias maneras. Las diversas sumas y productos deberían brindar una idea general de qué conjuntos son cerrados para las diferentes operaciones.

A

Define los números racionales e irracionales.

B

Completa la siguiente tabla de suma. Observa que hay sumandos tanto racionales como irracionales.

+ -π 7 1

_

₄ 0 √

―

3 -√

―

3 -π -2π _-√_3 _-π 7 1 _ ₄ 0 √

―

3 - √

―

3

C

De acuerdo con los resultados de la tabla, ¿la suma de dos números racionales será algunas veces,

siempre o nunca un número racional?

Resource Locker Módulo 14 647 Lección 2

14.2 Simplificar expresiones

con exponentes racionales

y radicales

Pregunta esencial: ¿Cómo puedes escribir una expresión radical como una expresión con un

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D

¿Qué sucede con la suma de dos números irracionales?

E

Y, finalmente, ¿qué sucede con la suma de un número racional y un número irracional?

F

Ahora, completa la siguiente tabla de multiplicación. De manera similar, tiene factores tanto racionales

como irracionales. × -π 7 1

_

4 0 √

―

3 1 _ _√

―

₃ -π π 2 7 1 _ ₄ 0 √_3 -π √_3 1 _ √_3

G

De acuerdo con los resultados de la tabla, ¿el producto de dos números racionales será algunas veces,

siempre o nunca un número racional?

H

¿Y qué sucede con el producto de dos números irracionales?

© H ou gh to n M if fl in H ar co ur t P ub lis hi n g C omp an y Reflexiona

1. Demuestra que el producto de dos números racionales es un número racional confirmando la regla general.

2. Debate Analiza el siguiente enunciado: El producto de dos números racionales es un número irracional. ¿Es este un enunciado verdadero? Justifica tu respuesta.

Explicar 1

Simplificar expresiones con variables múltiples que

contienen radicales

Como ya has visto, para simplificar expresiones que contienen radicales, puedes volver a escribir las expresiones como potencias con exponentes racionales. Puedes usar las propiedades de los exponentes. Ya has visto la propiedad de la potencia de una potencia de los exponentes. Hay otras propiedades de los exponentes que se sugieren en los siguientes ejemplos.

2 2 ∙ ₂ 3 = ₍₂ ∙ ₂) (₂ ∙ ₂ ∙ ₂) = ₂ 5 = ₂ 2 + 3 2 3 _ ₂ 2 = 2 _ ₂ ∙ 2 ∙ ₂ ∙ 2 = 2 1 = 2 3–2 (2 ∙ 3) 2 _{= (2 ∙ 3) (2 ∙ 3) = (2 ∙ 2) (3 ∙ 3) = 2} 2 ∙ ₃ 2

(

2 _ ₃

)

2= 2 _ _{3 ∙} 2 _ ₃ = 2 ∙ 2 _ _{3 ∙ 3} = _ 2 ₃ 22 ( 2 3) 2 = ₍₂ ∙ ₂ ∙ ₂) 2 _{= (2 ∙ 2 ∙ 2) (2 ∙ 2 ∙ 2) = 2} 6 = ₂ 2 ∙ 3

Estas relaciones están formalmente expresadas en la tabla de la página siguiente.

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En la lección anterior, a 1 _ _{n está definida como a} 1 _ _{n = } n ― _{a para un entero n > 1 y un número real a (a ≥ 0 para el par n) para poder} demostrar que a _ m _{n = ( } n ― _{a )} m _{donde m es un entero:}

a _ m _{n = a} 1 _ _n ·m ₌

(

_a _ 1_n

)

m _{=( } n ― _{a )} m

Las propiedades de los exponentes enteros se extienden ahora a los exponentes racionales.

Propiedades de los exponentes

Sean a y b números reales, y m y n, números racionales.

Propiedad del producto de potencias a m_{∙  a} n _{= a} m+n Propiedad del cociente de potencias a _ m

a n = a

m-n_{,a ≠ 0} Propiedad de la potencia de un producto

(

a ∙ b

)

n = a n _{∙ b} n

Propiedad de la potencia de un cociente

(

_ a b

)

n = _ a n

b n , b≠ 0 Propiedad de la potencia de una potencia ( a m) n _{= a} mn

Ejemplo 1 _{Simplifica las expresiones. Imagina que todas las variables son positivas.}

A

 3 ―― ₍xy₎ 9

3

 ―― ₍xy₎ 9 _{= (xy)} 9 _ _{3 Vuelve a escribir usando un exponente racional.}

= ₍xy₎ 3 _{Simplifica la fracción en el exponente.}

= x 3 _y 3 _{Propiedad de la potencia de un producto}

B

_√ 5― _{x √}

―

_x

5

 ― x √_x = x x 1 _ 2 Vuelve a escribir usando un exponente racional.

= x Propiedad del producto de potencias

= x Simplifica el exponente.

=

√

――

x Vuelve a escribir la expresión en forma radical.

Reflexiona

3. Debate ¿Por qué _ n ― _{a no está definida si n es par y a< 0?}

4. Kris dice que 1 _ _√ n ― _a = 1 _

a 1 _ _n = a

© H ou gh to n M if fl in H ar co ur t P ub lis hi n g C omp an y Es tu turno

Simplifica las expresiones. Imagina que todas las variables son positivas.

5.

(

x 2_y

)

2

_√

4 ―_y 4 _6.

4 √ ― x 8

_ √ 4 ―x 6

Explicar 2

Simplificar expresiones con variables múltiples que

contienen exponentes racionales

Usa las propiedades de los exponentes racionales para simplificar las expresiones.

Ejemplo 2 Simplifica las expresiones. Imagina que todas las variables son positivas.

A

( 8 x 9 ₎ 2 _ ₃

( 8 x 9 ₎ 2 _ 3 =

(

₂ 3

)

2 _ 3

(

_x 9

)

2 _ 3 _{Propiedad de la potencia de un producto}

= 2

(

3 ∙ 2 _ 3

)

_x

(

9 ∙ 2 _ 3

)

_{Propiedad de la potencia de una potencia}

= 2 2 _x 6 _{Simplifica dentro de los paréntesis.}

= 4 x 6 _Simplifica.

B

(

64 x 12

)

1 _ 6

(

64 x 12

)

1 _ ₆

=

(

2

)

(

x 12

)

_{Propiedad de la potencia de un producto}

=

(

2

)

x

( )

Propiedad de la potencia de una potencia

= 2 x Simplifica dentro de los paréntesis.

= x Simplifica.

Reflexiona

7. Simplifica ( 8 x 9 ₎ - 2 _ _{3 . ¿Cómo se relaciona con la forma simplificada de ( 8 x} 9 ₎ 2 _ _{3 del Ejemplo 2A? Verifica la relación, si es}

que existe.

© H ou gh to n M iff lin H ar co ur t P ub lis hin g C omp an y Es tu turno

Simplifica las expresiones. Imagina que todas las variables son positivas.

8.

(

1 _ 4 x 4 ∙ x 12

)

- 1 _ ₂ 9.

(

1 _ 9 x 12 ∙ x 4

)

1 _ ₂

Explicar 3

Simplificar expresiones del mundo real

con exponentes racionales

La relación entre algunas cantidades del mundo real puede ser más complicada que lo que un modelo lineal o cuadrático puede representar con precisión. Algunas veces, en el modelo más preciso, la variable dependiente es una función de la variable independiente elevada a un exponente racional. Usa las propiedades de los exponentes racionales para resolver las siguientes situaciones del mundo real.

Ejemplo 3 Aplicación en la biología El número aproximado de calorías C que necesita un animal

por día está dado por C = 72 m __ 3 ₄

, donde m es la masa del animal en kilogramos.

A

Halla el número de calorías que necesita por día un oso de 625 kg.

Para resolver esto, evalúa la ecuación si m= 625.

C= 72 m __ 3 ₄ = 72 (625) __ 3 ₄ Sustituye m por 625. = 72

(

_√ 4 ―― ₆₂₅

)

3 _{Definición de a} __ m n = 72

(

√ ― 4 5 4

)

3 = 72 (5) 3 = 72 (125) = 9000

© H ou g ht on M if fl in H ar co ur t P ub lis hi n g C om p an y • I m ag e C re d it s: ( t) © D LI LL C / C or b is ; ( b) © R ad iu s I m ag es /C or b is

B

Un determinado oso panda consume 1944 calorías por día. ¿Cuánto pesa

ese panda?

Sustituye C por en la ecuación original y halla el valor de m.

C= 72 m 3 __ ₄

Ecuación original

= 72 m __ 3 ₄

Sustituye C.

_ ₇₂ = m 3 __ ₄

Divide cada lado entre 72.

= m 3 __ ₄

Simplifica.

3 3 _{= m} 3 __ ₄

Vuelve a escribir el lado izquierdo como una potencia.

(

3 3

)

₌

(

_m __ 3 ₄

)

_{Eleva ambos lados a la potencia .}

3 (3 ∙ ) _{= m}

(

__ 3 ₄ ∙

)

_{Propiedad de la potencia de una potencia}

3 4 _{=m Simplifica dentro de los paréntesis.}

m= Simplifica.

El oso panda pesa kilogramos.

Es tu turno

Resuelve las siguientes situaciones del mundo real.

10. La velocidad de la luz es el producto de su

frecuencia f y su longitud de onda l. En el aire, la

velocidad de la luz es 3 × 1 0 8 _m/s.

a. Escribe una ecuación para la relación que se

describe arriba y luego resuelve esta ecuación para la frecuencia.

b. Vuelve a escribir esta ecuación con l elevada a

un exponente negativo.

c. ¿Cuál es la frecuencia de la luz violeta si

su longitud de onda es aproximadamente

400 nanómetros

(

1 nm = 1 0 -9 _m

)

_?

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11. Geometría La fórmula del área total E de una esfera en función de su volumen V es E= (4π) __ 1 _{3 (3V)} 2__

3 . ¿Cuál es el

área total de una esfera que tiene un volumen de 36π centímetros cúbicos? Indica tu resultado en función de π.

¿Qué observas?

Extender

12. Se dice que un conjunto de elementos es cerrado para cierta operación si la realización de esa operación con elementos

del conjunto siempre da lugar a un elemento del conjunto. Examina el conjunto de enteros y el conjunto de números racionales. ¿Los conjuntos son cerrados para cada una de las siguientes operaciones: suma, multiplicación, división y resta? Proporciona un contraejemplo si el conjunto no es cerrado para una operación.

13. ¿Por qué los enteros son cerrados para la multiplicación?

14. ¿El conjunto de todos los números con la forma a x_{, donde a es una constante positiva y x es un número racional, es}

cerrado para la multiplicación? Justifica tu respuesta.

15. Énfasis en la pregunta esencial ¿Cómo puedes escribir una expresión radical como una potencia con un exponente racional?

© H ou gh to n M if fl in H ar co ur t P ub lis hi n g C omp an y • Tarea en línea • Pistas y ayuda • Práctica adicional

1. ¿Por qué las tablas de suma y multiplicación de la actividad Explorar son simétricas respecto

de la diagonal desde el vértice superior izquierdo hasta el vértice inferior derecho? Por ejemplo, ¿por qué la entrada de la tercera hilera de la segunda columna es igual a la entrada de la segunda hilera de la tercera columna? ¿Una tabla de resta sería simétrica respecto de la misma diagonal?

2. Demuestra que los números racionales son cerrados para la suma.

Simplifica la expresión dada.

3.

√

3 ―――

(

27 x 3

)

4 _4.

√

3 ――

(

_{8 x} 3

)

2 _5.

√

3 ――

(

_{8 y} 3

)

4

√

6 ――

(

_{8 y} 3

)

4

6. 10 _√ ―

0x 7.

√

――― (2x)2 √_2y 8. _ √ ― 8x

√ 3 ――16 x

Evaluar: Tarea y práctica

9. (0x) 1 __ _{3 10.} 10,00 0 1 _ 4 ∙z+ 10,00 0 2_ 1 ∙z 11.

(

___ 1 25x ∙ x 9

)

- 1 _ ₂ 12.

(

1 _ 125 x 3

)

- 1__ 3 13. ⎡ ⎣ (2x)x (2x) 2x ⎤ ⎦ 1 _ _x 14. ⎡ ⎢ ⎣

(

1,000,000 x 6

)

- 1 _ 3 ⎤ ⎥ ⎦ - 1 _ ₂ 15.

(

x 2_y

)

3

_√

2 ― y 4 _16. ⎡ ⎣

(

x 2_y

)

4 ⎤ ⎦ 1 __ 2 _ ⎡ ⎣

(

x 2_y

)

1 __ ₂ ⎤ ⎦ 4 17.

(

x 1 __ _{8 y} 1 __ _{4 z} 1 __ ₂

)

8 18.

(

√

_z √_y √_x

)

8 19.

(

x 10

)

1 __ ₅ _ √ ― 2 x 8 20. ⎡ ⎣

(

x -8

)

1 __ 4 ⎤ ⎦ -1 √ ― 3x 2 __ √ 6 ―x 4 © H ou gh to n M iff lin H ar co ur t P ub lis hin g C omp an y

© H ou g ht on M if fl in H ar co ur t P ub lis hi n g C om p an y • I m ag e C re d it es : © V is io ns of A m eri ca .c om /J o e So hm 21.

(

x y

)

(

√

y 2

)

22.

(



―

y 4

)

23. Biología Los biólogos usan una fórmula para estimar la masa del

cerebro de un mamífero. Para un mamífero con una masa de m

gramos, la masa aproximada C del cerebro, también en gramos,

está dada por C= 1 __ ₈ m 2 __ 3 . Halla la masa aproximada del cerebro de

un ratón que tiene una masa de 64 gramos.

24. Varios pasos Los científicos han descubierto que la esperanza de vida de un mamífero que vive en cautiverio está relacionada con la

masa del mamífero. La esperanza de vida en años V se puede aproximar

mediante la fórmula V= 12 m 1 __ _{5 , donde m es la masa del mamífero en}

kilogramos. ¿Cuánto mayor es la esperanza de vida de un león comparada con la de un lobo?

Masa típica de los mamíferos

Mamífero Masa (kg) Koala 8 Lobo 32 León 243 Jirafa 1024 Módulo 14 657 Lección 2

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Tim y Tom son pintores. Usa la información dada para proporcionar la estimación deseada.

25. Tim y Tom usan a litros de pintura para pintar un edificio. Si el siguiente edificio que tienen

que pintar tiene una forma semejante pero el doble de volumen, ¿cuánta pintura deberían comprar?

26. Tim y Tom están pintando un edificio. Tom pinta 10 pies cuadrados por minuto. Pintaron un

edificio en 1 día. Tim usa un aerosol y pinta 4.7 veces más rápidamente que Tom. ¿Cuánto les llevaría pintar un edificio con el doble de volumen y una forma semejante?

27. Determina si los siguientes resultados son racionales o irracionales. Selecciona la respuesta

correcta para las partes identificadas con letras.

a. El producto de √

―

2 y √

―

50 Racional Irracional

b. El producto de √_2 y √_25 Racional Irracional

c. C= 2πr evaluado para r = π -1 _{Racional Irracional}

d. C= 2πr evaluado para r = 1 Racional Irracional

e. A=π r 2 _{evaluado para r = π} 1 _ _{2 Racional Irracional}

f. El producto de

√ ―

2 _ _π y √

――

50π Racional Irracional

g. El producto de √

―

2 y

√

_

9

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H.O.T. Enfoque en alta capacidad de razonamiento

28. Explica el error Jim intentó mostrar cómo escribir una expresión radical como una potencia con un exponente racional.

Imagina que _√ n ― _{a = a}k_.

( _√ n ― _{a )}n₌ ( _a k )n _{Eleva cada lado a la enésima potencia.}

a = ( a k )n _{Definición de enésima raíz}

a = a n _ k _{Propiedad de la potencia de una potencia}

a 1_{= a} n _ k

1 = __ n _k Iguala los exponentes.

k=n Halla el valor de k.

Jim asegura que demostró que _√ n ― _{a = a}n_{. Explica su error y corrígelo.}

29. Comunica ideas matemáticas Dado que el conjunto de números racionales es cerrado para la multiplicación, demuestra por contradicción que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es un número irracional. Para hacerlo, parte de la negación de lo que estás tratando de demostrar y muestra cómo eso llevará

de manera lógica a algo que contradice el enunciado dado. Sea a≠ 0 racional, sea b irracional, y sea a•b=c. Imagina

que un número racional distinto de cero multiplicado por un número irracional es racional, entonces c es racional.

a • b=c Dado

(

1 __ _a

)

• a • b =

(

1 __ _a

)

• c Muliplica ambos lados por 1 __ _a . b =

(

1 __ _a

)

• c Simplifica.

Escribe el enunciado de contradicción para terminar la demostración.

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30. Comunica ideas matemáticas Demuestra por contradicción que un número racional más un número irracional es irracional. Para hacerlo, parte de la negación de lo que estás tratando de demostrar y muestra cómo eso llevará de manera lógica a algo que contradice lo dado. Imagina que un número racional más un número irracional es racional.

r 1 + i 1 = r 2 Dado

r 1 + i 1 - r 1 = r 2 - r 1 Resta r 1 de ambos lados.

i 1 = r 2 - r 1 Simplifica el lado izquierdo.

Escribe el enunciado de contradicción para terminar la demostración.

31. Razonamiento crítico Demuestra que un número elevado a la potencia __ 1 ₃ es lo mismo que la raíz cúbica de ese número.

Tarea de rendimiento de la lección

Las pelotas que se usan en fútbol, béisbol, básquetbol y golf son esferas. ¿Cuánto material se necesita para fabricar las pelotas de la tabla?

La fórmula del área total de una esfera es A T= 4π r 2 y la fórmula del volumen de una esfera es V= __ 4 ₃ π r 3 . Usa el álgebra para hallar la fórmula del área total de una esfera dado su volumen.

Completa la tabla con el área total de las pelotas.

Pelota _{(en pulgadas cúbicas)}Volumen _{(en pulgadas cuadradas)}Área total

pelota de fútbol 356.8

pelota de béisbol 12.8

pelota de básquetbol 455.9