UNIVERSIDAD DE SEVILLA
PROYECTO FIN DE CARRERA
“ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE
ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE
SOLICITACIONES SÍSMICAS
DEPENDIENDO DE LA TIPOLOGÍA DE LA
CIMENTACIÓN Y LA INTERACCIÓN
SUELO-ESTRUCTURA”
ALUMNO: CARLOS MESA BAYA TUTOR: D. FERNANDO MEDINA ENCINA JUNIO DE 2005
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
PROYECTO FIN DE CARRERA
“ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE
ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE
SOLICITACIONES SÍSMICAS
DEPENDIENDO DE LA TIPOLOGÍA DE LA
CIMENTACIÓN Y LA INTERACCIÓN
SUELO-ESTRUCTURA”
ALUMNO: CARLOS MESA BAYA TUTOR: D. FERNANDO MEDINA ENCINA JUNIO DE 2005
Desde estas líneas quisiera manifestar mi más sincero agradecimiento a mi tutor D. Fernando Medina Encina, por su ayuda, apoyo y amistad durante el tiempo que me ha llevado confeccionar el presente proyecto, así como a todas aquellas personas del Departamento de Estructuras que de manera directa o indirecta me han ayudado a la realización del mismo. También me gustaría manifestar mi agradecimiento al Departamento de Estructuras por permitirme el uso de sus dependencias así como de las herramientas informáticas, sin las cuales me hubiera sido imposible la realización del presente proyecto.
ÍNDICE
PARTE 0: INTRODUCCIÓN AL PROYECTO Y OBJETIVOS
Capítulo 0: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 0.1 Introducción y objetivos
PARTE 1: INTRODUCCIÓN TEÓRICA AL CÁLCULO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
Capítulo 1: ESTUDIO DE LA ACCIÓN SÍSMICA
1.1 Introducción 4
1.2 Evaluación de la acción sísmica 4
1.3 Fundamentos sísmicos 5
1.3.1 Ondas sísmicas 5
1.3.2 Energía de la acción sísmica 6
1.3.3 Intensidad 6
1.3.4 Magnitud 7
Capítulo 2: ACCIONES SÍSMICAS DE DISEÑO
2.1 Introducción 8
2.2 Formas de representación de la acción sísmica. Acelerogramas
y espectros de respuesta 8
2.3 Caracterización de la acción sísmica en las normativas 11 2.3.1 Norma de la construcción sismorresistente española. NCSE-94 12
2.3.2 Eurocódigo 8, parte 1-1 (ENV 1998-1-1:1994) 14
2.3.2.1 Espectro elástico de respuesta 14
2.3.2.2 Espectro de cálculo para análisis lineal 15
Capítulo 3: MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO Y SÍSMICO
3.1 Introducción 18
3.2 Sistemas de un grado de libertad 18
3.2.1 Vibración libre 19
3.2.1.1 Vibración libre sin amortiguamiento 19
3.2.1.2 Vibración libre con amortiguamiento 20
3.2.2 Vibración forzada 21
3.2.2.1 Respuesta a vibraciones armónicas 21
3.2.2.2 Respuesta a un impulso. Integral de Duhamel 22
3.2.2.3 Respuesta a un movimiento de la base 23
3.3 Sistemas de varios grados de libertad 24
3.3.1 Ecuaciones de equilibrio dinámico 24
3.3.2 Métodos de resolución movimiento 26
3.3.2.1 Superposición modal. Extracción de frecuencias naturales y modos
de vibración 26
3.3.2.2 Análisis mediante el método de espectros de frecuencias 29 3.3.2.3 Solución en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier 31
3.3.2.4 Análisis dinámico por integración numérica 33 3.4 Otros factores a tener en cuenta en el análisis dinámico de estructuras 35
3.4.1 Interacción suelo-estructura 35
3.4.2 Otras formas de modelar la interacción suelo-estructura 41 Capítulo 4: SISTEMAS DE CONTROL ESTRUCTURAL ANTE ACCIONES
SÍSMICAS
4.1 Introducción 42
4.2 Sistemas de control pasivo 43
4.2.1 Sistemas de control pasivo con aislamiento de la base 43 4.2.2 Sistemas de control pasivo con disipadores de energía 45 4.2.3 Sistemas de control pasivo mediante sistemas inerciales acoplados 46
4.3 Sistemas de control activo 46
4.4 Sistemas de control híbrido 47
4.5 Sistemas de control semiactivo 47
PARTE 2: ESTUDIO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DE PUENTES SOMETIDOS A CARGAS SÍSMICAS
Capítulo 5: DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS DE PUENTES OBJETO DE ESTUDIO
5.1 Introducción 49
5.2 Tipología y modelos de puentes estudiados 49
5.2.1 Materiales empleados 50
5.2.2 Dimensiones de los elementos estructurales 51
5.2.3 Descripción de la conexión entre los diferentes elementos
estructurales y de la interacción suelo-estructura 53
5.2.3.1 Modelo del puente con cimentación por zapatas 53
5.2.3.2 Modelo del puente con cimentación por pilotes 56
5.3 Modelos matemáticos empleados en el cálculo de la estructura 58 Capítulo 6: RESULTADOS NÚMERICOS DE LOS ESTUDIOS REALIZADOS
6.1 Modelo del puente con cimentación por zapatas 60
6.1.1 Frecuencias naturales y modos de vibración 60
6.1.2 Respuesta a las cargas de peso propio 64
6.1.3 Respuesta ante solicitaciones sísmicas prescritas por el Eurocódigo 8. 66 6.1.4 Respuesta del puente sometido al terremoto de “El Centro” 74
6.2 Modelo del puente con cimentación por pilotes 93
6.2.1 Frecuencias naturales y modos de vibración 93
6.2.2 Respuesta a las cargas de peso propio 99
6.2.3 Respuesta ante solicitaciones sísmicas prescritas por el Eurocódigo 8. 100 6.2.4 Respuesta del puente sometido al terremoto de “El Centro” 106
PARTE 3: ESTUDIO PARAMÉTRICO
Capítulo 7: ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA RESPUESTA DEL PUENTE CON Y SIN APOYOS DE NEOPRENO
7.1 Introducción 127
7.2 Modelo del puente con cimentación por zapatas 127
7.2.1 Resultados 127
7.3 Modelo del puente con cimentación por pilotes 129
7.3.1 Resultados 130
Capítulo 8: ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA RESPUESTA DE LA ESTRUCTURA DEL PUENTE DEPENDIENDO DE LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA
8.1 Introducción 133
8.2 Modelo del puente con cimentación por zapatas 133
8.3.1 Resultados 133
PARTE 4: CONCLUSIONES
Capítulo 9: CONCLUSIONES
9.0 Conclusiones generales 137
9.1 Conclusiones acerca de la introducción de cimentaciones por pilotes 137 9.2 Conclusiones acerca de la introducción de apoyos de neopreno 138
9.2.1 Modelo del puente con cimentación por zapatas 138
9.2.2 Modelo del puente con cimentación por pilotes 140
9.3 Conclusiones acerca de la interacción suelo-estructura 141
ANEXO
Anexo 1: RIGIDECES DINÁMICAS DEL TERRENO
A.0 Introducción 143
A.1 Rigideces estáticas para cimentaciones superficiales 143 A.2 Corrección de las rigideces estáticas para una profundidad de
enterramiento “E” 143
A.3 Rigideces dinámicas 144
BIBLIOGRAFÍA
Bibliografía
“ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE SOLICITACIONES SÍSMICAS DEPENDIENDO DE LA TIPOLOGÍA DE
LA CIMENTACIÓN Y LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA” PARTE 0: INTRODUCCIÓN AL PROYECTO Y OBJETIVOS
Capítulo 0: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
0.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
El presente proyecto, como su propio nombre indica, trata del análisis general del comportamiento de estructuras de puentes cuando se encuentran sometidas a solicitaciones sísmicas.
En tiempos recientes, algunos puentes han sufrido daños estructurales causados por cargas sísmicas, que ha tenido como consecuencia que la construcción y reparación de puentes se ha hecho más cara y requiere más tiempo que en el pasado. Debido a los altos niveles de exigencia en el diseño de estructuras sismorresistentes, es necesario un mayor conocimiento de las solicitaciones sísmicas y los efectos que estas producen en las estructuras. En este proyecto se pretende hacer un estudio de la respuesta de un puente teórico cuando lo sometemos a una serie de solicitaciones de tipo sísmico, estudiando las posibles tipologías de cimentaciones y posibles elementos que pueden reducir la respuesta, reduciéndose así los posibles daños estructurales que se pudieran producir.
También se hace un especial hincapié en las posibles modelizaciones de la interacción suelo-estructura. Como vamos a comentar en las siguientes páginas, el comportamiento de la interacción entre suelo y estructura cuando está sometido a cargas dinámicas no es el mismo al comportamiento cuando está sometido a cargas estáticas. En el presente proyecto se estudia las diferencias de la respuesta de una estructura cuando se realiza un cálculo pseudoestático y cuando se realiza un cálculo dinámico puro.
La idea inicial del presente proyecto era hacer un estudio de la respuesta de estructuras de puentes sometidas a solicitaciones sísmicas modelando la interacción suelo-estructura mediante el método de los elementos de contorno, para lo cual íbamos a utilizar como herramienta informática el programa elaborado por D. Miguel Ángel Millán Muñoz incluido en su tesis doctoral, la cual está incluida en la bibliografía del presente proyecto. Por razones de cambio de lugar de residencia, a D. Miguel Ángel Millán Muñoz le fue imposible seguir colaborando en la realización de este proyecto, por lo que hubo que cambiar su enfoque. Mientras que los análisis a realizar se mantuvieron sin variación, la modelización de la interacción entre suelo y estructura pasó a realizarse usando elementos conectores tipo muelle y amortiguador, utilizando como herramienta informática el programa ABAQUS, basado en el cálculo mediante el método de los elementos finitos.
Otro objetivo de este proyecto es obtener resultados que puedan ser comparados con resultados obtenidos usando el método de los elementos de contorno para modelar la interacción entre suelo y estructura.
El presente proyecto se ha estructurado en cinco partes diferenciadas.
En la primera parte (Parte 0), es la presente. En esta pretendemos exponer “el porque” del proyecto.
En la segunda parte (Parte 1), se exponen los elementos teóricos necesarios que sirven como introducción al cálculo sísmico y dinámico de estructuras y que sitúan al lector en un punto de partida para la comprensión de los estudios realizados en el presente proyecto, así como proveerle de un conocimiento general del comportamiento de las estructuras ante cargas dinámicas. Esta parte se ha dividido en una serie de capítulos, que pretenden separar y ordenar el estudio de estructuras sometidas a cargas sísmicas. En el capítulo 4 de esta parte hacemos un breve resumen de los medios existentes para reducir en lo posible la respuesta de las estructuras a las cargas sísmicas.
En la tercera parte (Parte 2), hacemos una descripción de las estructuras objeto de estudio, diferentes análisis que vamos a realizar, y los resultados obtenidos de dichos análisis, los cuales van a ser la base para la obtención de conclusiones.
En la cuarta parte (Parte 3), vamos a realizar unos estudios paramétricos, que consisten en la comparación de los resultados de varios análisis de nuestra estructura cuando cambiamos algún parámetro. En concreto, en el “Capítulo 7” vamos estudiar las diferencias en la respuesta cuando introducimos apoyos de neopreno en la unión entre los estribos y las barras que soportan el tablero, y en el “Capítulo 8” vamos a estudiar las diferencias de la respuesta cuando cambiamos la modelización de la interacción entre suelo y estructura.
En la quinta parte (Parte 4), se recogen las conclusiones finales a las que se ha llegado con la elaboración de este proyecto mediante la realización de los análisis pertinentes con las herramientas informáticas antes mencionadas.
Por último, se incluye la bibliografía utilizada en la realización de este proyecto, a la cual se hace continua referencia.
“ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE SOLICITACIONES SÍSMICAS DEPENDIENDO DE LA TIPOLOGÍA DE
LA CIMENTACIÓN Y LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA” PARTE 1: INTRODUCCIÓN TEÓRICA AL CÁLCULO SÍSMICO DE
Capítulo 1: ESTUDIO DE LA ACCIÓN SÍSMICA
1.1 INTRODUCCIÓN
Toda obra de la Ingeniería Civil tiene que ser diseñada para resistir diversos tipos de solicitaciones que le impone el medio ambiente natural, entre ellas la fuerza de la gravedad, mientras que la más difícil de prever y eventualmente la más severa es la fuerza que le puede imponer en terremoto. Los terremotos, fuertes vibraciones, están entre los fenómenos naturales más peligrosos; en casos extremos pueden generar fuerzas (verticales y horizontales) superiores a aquella de la gravedad.
A diferencia de la fuerza de la gravedad, que para fines prácticos como el diseño de estructuras se puede considerar como constante en tiempo y espacio sobre toda la Tierra, los terremotos y las fuerzas que generan tienen todo lo que puede hacer difícil su previsión y cálculo:
• son fenómenos escasos y transitorios
• su distribución en tiempo y espacio es irregular • ocurrencia prácticamente imposible de predecir.
Para cuantificar los esfuerzos sísmicos que una estructura debe poder resistir durante su vida útil, lo necesario y factible es entonces la evaluación de los patrones que la actividad sísmica tiene en el área de interés.
El fenómeno sísmico está caracterizado por incertidumbres de muchas fuentes: • por falta de conocimiento fundamental sobre el fenómeno sísmico • escasez de información sobre la sismicidad en el área de interés • cualquier resultado es una evaluación de un escenario probable. 1.2 EVALUACIÓN DE LA ACCIÓN SÍSMICA
La intensidad de la acción sísmica depende fundamentalmente de tres factores: 1. Foco sísmico:
• Cuando, donde y de que tamaño será el próximo terremoto
• Cual será el nivel de movimiento sísmico máximo durante la vida útil de la estructura.
2. Efecto de la trayectoria sobre la energía sísmica, en términos de la atenuación:
• Esta información es necesaria para estimar cuanta energía sísmica puede llegar al emplazamiento de nuestra estructura
• Que formas de ondas tendrán las vibraciones.
3. La modificación de la energía sísmica a su paso por las formaciones geológicas superficiales del sitio de referencia.
• Como modificarán los suelos en el sitio la forma y el nivel de la vibración
1.3 FUNDAMENTOS SÍSMICOS 1.3.1 ONDAS SÍSMICAS
Hay dos tipos de ondas símicas, las ondas de volumen (que se transmiten por el interior de la tierra) y las ondas superficiales. Estas ondas tienen unas características energéticas y de velocidad de propagación.
1. Ondas de volumen
En este grupo están las ondas P (también “longitudinales” ó “de presión”) y las ondas S (también “de corte” o “de cortante”).
En las ondas P la dirección de movimiento de partículas coincide con la dirección de propagación de la onda; en las ondas S la dirección de movimiento de partículas es ortogonal a la dirección de propagación de las ondas. En consecuencia, las ondas P tienen una dirección única, mientras que las ondas P pueden estar polarizadas en cualquier dirección sobre su plano de movimiento de partícula.
La velocidad de propagación de las ondas P es:
Vp = [(K + 4/3G)/ρ]1/2
Siendo: K el módulo de compresibilidad, G el módulo de rigidez y ρ la densidad.
La velocidad de propagación de las S es:
Vs = (G/ ρ)1/2
Siendo: G el módulo de rigidez y ρ la densidad.
Al depender solo de la resistencia a cortante (G), las ondas S no se pueden propagar en fluidos.
Las ondas P siempre tienen mayor velocidad de propagación y por tanto, a cualquier distancia de la fuente, siempre son “fases” distinguibles. La relación de velocidades promedio (en roca) es de Vp = 1,75 Vs.
Velocidades de propagación típicas para roca en superficie son 5 km/s y para sedimentos (suelo) 1,5 km/s.
2. Ondas superficiales
En el grupo de las ondas superficiales hay dos principales, las ondas Love y las Rayleigh.
Mientras que las ondas de volumen se generan en la fuente misma, las superficiales son generadas por incidencia y transformación de ondas de volumen sobre una interfaz o superficie libre.
Como su nombre lo expresa, las ondas superficiales se propagan principalmente en superficies (libre o interna) y por tanto atenúan mucho menos con la distancia que las ondas de volumen.
La velocidad de propagación de las ondas superficiales es del orden del 90% de la de ondas de corte. Ondas superficiales siempre tienen longitudes de onda mayores que ondas S y (más aun) ondas P.
Sus mecanismos de generación (interacción con superficies) hacen que la proporción de ondas superficiales sea mayor en sismos superficiales y así pueden contribuir al peligro de las vibraciones. Además, por atenuar menos con la distancia que las ondas de volumen, las Love y Rayleigh con la distancia llegan a tener mayor amplitud (y energía) que las ondas de volumen.
Figura 1.1: Desde arriba hacia abajo se muestran los cuatro tipos de onda y sus esquemas de movimiento para ondas P, ondas S, ondas Rayleigh y ondas Love.
1.3.2 ENERGÍA DE LA ACCIÓN SÍSMICA
Se produce el fenómeno de la atenuación geométrica, la densidad de energía disminuye con la distancia. Características como las propiedades geométricas y la cohesión de los constituyentes del suelo hacen que las ondas sufran procesos de fricción interna (convirtiendo parte de la energía elástica en calor). Esto es la llamada absorción inelástica. La absorción es exponencialmente proporcional a un factor material y a la distancia, en primera aproximación. También es función del contenido frecuencial de las ondas, y de las dimensiones de los constituyentes del medio. Generalmente la absorción es mayor para componentes de período corto. Suelos (menos cohesivos que roca) causan mayor atenuación inelástica que rocas.
En general se puede decir que los suelos duros transmiten las frecuencias altas y las amplifica, y los suelos blandos trasmiten las frecuencias bajas y las amplifica.
1.3.3 INTENSIDAD
La creación del concepto de la “intensidad macrosísmica” obedeció a la necesidad de cuantificar el tamaño de terremotos (sin registro instrumental) y de evaluar otras características del evento, tales como localización epicentral y profundidad focal. Los indicadores usados, por todas las escalas, son:
• Testimonios de personas • Comportamiento de animales
• Movimientos de objetos y estructuras, daños
• Sismograma – Información básica en el dominio del tiempo • Cambios en formaciones geológicas, ríos, lagos
Los criterios aplicados son: • Sensaciones
• Efectos transitorios (movimiento de objetos)
• Efectos irreversibles (geológicos y en construcciones) Las ventajas de las escalas de intensidad son:
• Comparación con sismos históricos
• Evaluación post-terremoto en áreas con poca instrumentación Pero también tienen algunas desventajas:
• Subjetividad
• Variable “integral” (aceleración, duración, período dominante, etc.) • Distribución irregular de indicadores
• Involucra la vulnerabilidad de edificaciones como variable 1.3.4 MAGNITUD
Richter propuso esta forma de cuantificar (a partir de sismogramas) el tamaño de un sismo en una escala es logarítmica.
Gutenberg y Richter (1956) encontraron una relación empírica que relaciona la energía (expresada en Julios) con la magnitud del sismo:
Capítulo 2: ACCIONES SÍSMICAS DE DISEÑO
2.1 INTRODUCCIÓN
Con el fin de construir una estructura sismorresistente tenemos que caracterizar el movimiento del suelo para un emplazamiento dado. Para ello vamos describir los parámetros que hay que tener en cuenta y formas de representación comúnmente empleados. En relación con la forma de representación, vamos a hacer algunas consideraciones sobre la importancia del contenido frecuencial del movimiento en el grado de daño que experimenta la estructura, razón por la cual el espectro de respuesta es la representación más generalizada con el fin propuesto. No obstante revisaremos otros parámetros que tienden a emplearse de forma complementaria, combinando información tanto de las amplitudes como de las frecuencias de la agitación. Se exponen también los antecedentes y estado actual en la estimación de parámetros y espectros, una vez determinadas las características de los movimientos esperados por medio de estudios de peligrosidad. Vamos a concluir indicando cómo se aborda el problema en Normativas Sismorresistentes, con un análisis particular del tratamiento seguido por la NCSE-94 y el Eurocódigo 8.
2.2 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA ACCIÓN SÍSMICA. ACELEROGRAMAS Y ESPECTROS DE RESPUESTA
El acelerograma de un terremoto es una gráfica de variaciones de la aceleración del terreno en el tiempo. Cada terremoto tiene un acelerograma, todos los terremotos que se producen en una misma zona tienen acelerogramas muy parecidos.
Figura 2.1: Ejemplo de acelerograma.
La forma más completa de representación del movimiento para fines de diseño es por medio de espectros de respuesta, que indican la respuesta máxima de osciladores simples de un grado de libertad con cierto amortiguamiento, ante una excitación sísmica, en función de la frecuencia propia del oscilador. Dicha respuesta puede
expresarse en términos de aceleración, velocidad o desplazamiento para las distintas frecuencias del movimiento, SA(ω,ξ), SV(ω,ξ), SD(ω,ξ). En la figura 2.2 se muestra un ejemplo de un espectro de respuesta en frecuencias.
Figura 2.2: Ejemplo de espectro de respuesta.
Cabe destacar, por su importancia práctica, la relación existente entre valores pico del movimiento (valores máximos de la respuesta) y las ordenadas de los espectros de frecuencia. Para vibraciones de frecuencia muy alta una estructura rígida tiende a moverse con el terreno, y por tanto la aceleración de respuesta coincide prácticamente con la máxima del suelo. Por eso, la aceleración espectral de periodo T=0 (límite de alta frecuencia), coincide prácticamente con la aceleración pico del movimiento, es decir,
SA(ω,ξ) ≈ PGA (aceleración máxima). Para vibraciones de frecuencia muy baja (ω=0)
una aproximación similar se tiene con el desplazamiento en estructuras flexibles, por tanto, SD(ω=0) ≈ PGD (desplazamiento máximo). La aceleración pico del movimiento determina entonces el límite de alta frecuencia del espectro, mientras que el desplazamiento pico condiciona el de baja frecuencia.
Otra cuestión de importancia práctica es la forma de representación de estos espectros. Los parámetros espectrales definidos SD(ω,ξ), SV(ω,ξ), SA(ω,ξ), se pueden representar por medio de diagramas de distribución de amplitudes en función de la frecuencia, dando lugar entonces a los espectros de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración. Pero la forma más común de representación en ingeniería sísmica, es por medio de diagramas trilogarítmicos, donde se indican simultáneamente los valores del desplazamiento SD(ω,ξ), junto con valores de otros dos parámetros, pseudo-velocidad espectral, PSV(ω,ξ), y pseudo-aceleración espectral PSA(ω,ξ), que se definen en las fórmulas [1] y [2]. Se construyen así pseudo-espectros, que constituyen una aproximación aceptable a los espectros de respuesta reales. Un ejemplo es mostrado en la figura 2.3.
PSV = ω·SD [1]
Figura 2.3: Ejemplo de pseudo-espectro de respuesta en diagrama trilogarítmico.
La caracterización del movimiento del suelo (máximo o probable) por medio de espectros de respuesta es generalmente, el paso final de todo estudio de peligrosidad dirigido a diseño sismorresistente, con el que concluye el aspecto más sismológico del problema. A partir de ahí, comienza el análisis de la respuesta de la estructura cuyo diseño se pretende, que se aborda ya desde un punto de vista ingenieril.
CONTENIDO FRECUENCIAL DEL MOVIMIENTO
Por su propia definición, los espectros de respuesta indican cuál es la máxima respuesta a un determinado movimiento, dada por edificios de diferentes frecuencias naturales. La relación entre el movimiento de entrada y la respuesta de la estructura está fuertemente condicionada por la rigidez o flexibilidad de ésta y por el contenido de frecuencias de la agitación, además de por sus amplitudes máximas.
Cuando una estructura es sacudida por un terremoto real, cuyo movimiento es un sumatorio de frecuencias, la respuesta depende de la natural del edificio y del contenido frecuencial del movimiento. Así por ejemplo, un edificio de 10 pisos con frecuencia propia de 1 Hz, se verá particularmente afectado por esta componente del movimiento y mucho menos por las mayores y menores frecuencias. La aceleración máxima con la que responde esta estructura a un cierto movimiento es justamente la ordenada espectral de T = 1 s. El espectro completo representa esta máxima respuesta para estructuras de diferentes periodos naturales, y su forma dependerá del contenido frecuencial del
Por su parte, los aspectos que más influyen en el contenido de frecuencias del movimiento son la distancia al epicentro y el tipo de suelo en el emplazamiento de registro. A medida que aumenta la distancia el movimiento presenta menores frecuencias; en campo lejano el contenido frecuencial es menor que en campo próximo. En cuanto al suelo, los suelos blandos tienen baja frecuencia propia, y tienden a amplificar las bajas frecuencias del movimiento, determinando también así la forma de los correspondientes espectros.
La respuesta de un edificio está fuertemente condicionada por la relación entre la frecuencia predominante del movimiento (en la base rocosa), la natural del suelo y la propia del edificio. Si todas ellas son del mismo orden la capacidad de daño aumenta notablemente. En la figura 2.4 se ilustran dos ejemplos típicos de espectros de respuesta, junto con el tipo de edificios que pueden verse más afectados. (Coburn et al., 1992)
Figura 2.4: Dos ejemplos típicos de espectros de respuesta, junto con el tipo de edificios que pueden verse más afectados (Coburn et al., 1992).
.
2.3 CARACTERIZACIÓN DE LA ACCIÓN SÍSMICA EN LAS NORMATIVAS En general los espectros de diseño o de proyecto propuestos en las normativas de construcción, son formas espectrales suavizadas, medias o envolventes, construidas con tramos rectos (en escala logarítmica) que aproximan espectros de respuesta reales de la zona de aplicación.
Estas formas espectrales han sido normalizadas por el valor de la aceleración máxima del terreno, por lo que, en realidad las ordenadas espectrales de la aceleración vienen dadas como factores de amplificación para distintos tramos de frecuencias o periodos, en función del amortiguamiento, del tipo de suelo, y del tipo de terremoto.
2.3.1 NORMA DE LA CONSTRUCCIÓN SISMORRESISTENTE ESPAÑOLA. NCSE-94
Siguiendo esta filosofía, propuesta inicialmente por Newmark y Hall (1969), la Norma NCSE-94 define los espectros de respuesta elástica de diseño, para periodos de retorno de 500 años, a partir de una forma espectral de 3 tramos dada por el factor de amplificación α(T), que para el caso de movimiento horizontal y con amortiguamiento crítico del 5% viene dado por:
α(T) = 1,0 + [α(T0) – 1,0] ·T/T0 para T < T0
α(T) = α(T0) para T0 ≤ T ≤ T1 [3]
α(T) = α(T0)·T1/T para T > T1
Donde,
T0 = T0 ( C , K ) = 0,125 · C + 0,2 · K – 0,175; es el límite superior del intervalo
de periodos bajos.
α (T0) = ( 3 · C – 3,8 ) · ( K – 1,25 ) + 2,30; da la amplificación del tramo
intermedio.
T1 = [ 0,215 · K · ( 5 · C – 1)] / α(T0); es el límite inferior del intervalo de
periodos altos.
De esta forma, el factor de amplificación a y la separación en los 3 tramos de periodos dependen del tipo de suelo del emplazamiento a través del coeficiente del terreno C, y del llamado coeficiente de contribución K, cuyo objetivo final es valorar la influencia en el espectro de respuesta de los terremotos lejanos.
Estos dos coeficientes están tabulados para todas las poblaciones principales de España.
El coeficiente de suelo C toma los valores:
C = 1,0 para terrenos tipo I (roca compacta, Vs > 750 m/s)
C = 1,4 para terrenos tipo II (suelos de compacidad media a dura, 400 m/s ≤ Vs ≤ 750 m/s)
C =1,8 para terrenos tipo III (suelo granular suelto, cohesivo medio a blando, VS ≤ 400 m/s)
El coeficiente de contribución K toma valores comprendidos entre K = 1 para aquellos emplazamientos en los que la mayor contribución a la peligrosidad sísmica sea debida a terremotos peninsulares próximos, y K = 1,5 para los emplazamientos en los que la mayor contribución de peligrosidad proceda de terremotos de la falla Azores-Gibraltar (terremotos lejanos con mayor contenido de baja frecuencia).
La construcción final del espectro de respuesta se hace teniendo en cuenta que:
α(T) = PSA(T)/PGA
PGA es la aceleración máxima del terreno (periodo de retorno de referencia 500
años),
PSA(T) es el pseudo-espectro de respuesta de aceleración.
El espectro de respuesta del movimiento horizontal, se construye así, conociendo el valor de la aceleración máxima de cada emplazamiento dada por el cálculo de peligrosidad sísmica. Para el movimiento vertical la Norma propone tomar el 70% del espectro del movimiento horizontal.
En la figura 2.5 se muestran las formas espectrales (factores de amplificación) para las tres clases de suelo y los dos valores extremos del coeficiente K (1 y 1,5)
Figura 2.5: Espectros de respuesta propuestos en la NCSE-94 para las tres clases de suelo y los dos valores extremos de K: 1,0 y 1,5 (amortiguamiento crítico 5%).
2.3.2 EUROCÓDIGO 8, PARTE 1-1 (ENV 1998-1-1:1994)
El Eurocódigo 8, “Disposiciones para el proyecto de estructuras sismorresistentes” recoge en su Parte 1-1 “Reglas generales. Acciones sísmicas y requisitos generales de las estructuras”, todo lo referente a caracterización y representación del movimiento del suelo. La Normativa viene expresada por una serie de principios (enunciados generales y definiciones o requisitos y modelos analíticos para los que no se permite ninguna otra alternativa, salvo que esté específicamente indicado) y por reglas de aplicación (que siguen los principios y satisfacen sus requisitos).
Uno de estos principios declara que la acción sísmica en un punto dado de la superficie se representa generalmente por un espectro de respuesta elástica de la aceleración del suelo. Algunas de las reglas de aplicación incluidas señalan que puede necesitarse más de un espectro para representar adecuadamente la peligrosidad (caso en el que fuentes sísmicas a diferentes distancias afecten al emplazamiento), y también que pueden utilizarse representaciones alternativas como por ejemplo el espectro de potencia o acelerogramas de cálculo (historias temporales).
2.3.2.1 ESPECTRO ELÁSTICO DE RESPUESTA
El espectro de respuesta elástica, Se(T), para movimiento horizontal y para el
periodo de retorno de referencia (475 años) definido por esta Normativa, está dado por:
Se(T) = ag · S · [1 + (T / TB) (η · β0 - 1)] para 0 ≤ T ≤ TB
Se(T) = ag · S · η · β0 para TB ≤ T ≤ TC
Se(T) = ag · S · η · β0 · ( Tc / T )k1 para TC ≤ T ≤ TD
Se(T) = ag · S · η · β0 · ( Tc / TD )k1 · ( TD / T )k2 para TD ≤ T
Donde,
T es el periodo de vibración de un sistema lineal con un grado de libertad.
ag es la aceleración de cálculo del terreno para el periodo de retorno de referencia.
β0 es el factor de amplificación de la aceleración espectral para un
amortiguamiento viscoso del 5%.
TB, TC son los límites del tramo de aceleración espectral constante.
TD es el valor que define el comienzo del tramo de desplazamiento
espectral constante.
k1 y k2 son los exponentes que definen la forma del espectro para un periodo de vibración mayor de TC y TD respectivamente.
S es el parámetro del suelo.
η es el factor de corrección del amortiguamiento (valor de referencia η = 1 para un amortiguamiento viscoso del 5%). Si para estudios especiales tiene que considerarse un amortiguamiento viscoso diferente del 5%, su valor se indicará en las partes del Eurocódigo 8 que corresponda. Su valor puede determinarse por la expresión siguiente:
7 , 0 2 7 ≥ + = ξ η
Los valores inicialmente asignados a cada uno de estos parámetros se indican en la Tabla 2.1, si bien la Normativa señala la posibilidad de que cada país miembro ajuste dichos parámetros de acuerdo a sus condiciones sismogenéticas y de peligrosidad.
Estos valores han sido seleccionados de manera que las ordenadas espectrales tengan una probabilidad de excedencia uniforme del 50% para todos los periodos.
Para la componente vertical de la acción sísmica, salvo estudios específicos, el Eurocódigo indica que se representará por el espectro de respuesta horizontal reducido en la siguiente forma:
- para T < 0,15 s las ordenadas se multiplican por un factor 0,70 - para T > 0,50 s las ordenadas se multiplican por un factor 0,50 - para 0,15 ≤ T ≤ 0,50 s se utilizará una interpolación lineal
Subsuelo S b0 k1 k2 TB TC TD
A 1,0 2,5 1,0 2,0 0,10 0,40 3,0 B 1,0 2,5 1,0 2,0 0,15 0,60 3,0 C 0,9 2,5 1,0 2,0 0,20 0,80 3,0
Tabla 2.1: Valores de los parámetros del espectro de respuesta propuesto en el Eurocódigo 8.
La influencia de las condiciones locales del terreno sobre la acción sísmica ha de tenerse en cuenta considerando las tres clases de subsuelo A, B y C cuya descripción resumida es la que sigue:
A. Roca, Vs ≥ 800 m/s, incluyendo un espesor máximo de 5 m de material débil
en superficie, o bien, depósitos de arena, grava o arcilla sobreconsolidada con varias decenas de metros de espesor (Vs ≥ 400 m/s a 10 m de
profundidad)
B. Depósitos de arenas, gravas o arcillas de densidad o consistencia media, con espesores entre decenas y cientos de metros (Vs ≥ 200 m/s a 10 m de profundidad, y Vs ≥ 350 m/s a 50 m)
C. Depósitos de suelo suelto, no cohesivos, o cohesivos de rigidez débil a media, caracterizados por valores de Vs ≤ 200 m/s en los 20 primeros metros. En la figura 2.6 se muestran los espectros de respuesta elástica del movimiento horizontal, para estas tres clases de suelo y para los valores de los parámetros dados en la Tabla 2.1.
Figura 2.6: Espectros de respuesta propuestos en el Eurocódigo 8 para las tres clases de suelo consideradas (amortiguamiento crítico 5%).
2.3.2.2 ESPECTRO DE CÁLCULO PARA ANÁLISIS LINEAL
La capacidad de los sistemas estructurales para resistir acciones sísmicas en el rango no lineal permite generalmente proyectarlas para fuerzas menores que las que corresponden a una respuesta elástica lineal. Para no realizar un análisis explícitamente no lineal se tiene en cuenta la capacidad de disipación de energía de la estructura (principalmente a través del comportamiento dúctil de sus elementos) mediante la realización de un cálculo lineal basado en un espectro de respuesta reducido con respecto al elástico basado en la introducción del factor de comportamiento q. Además se utilizan exponentes kd1 y kd2 modificados.
Para el periodo de retorno de referencia el espectro de cálculo Sd(T),
normalizado para la aceleración de la gravedad g, se define por las siguientes expresiones: Sd(T) = α· S · [1 + ( T / TB) (β0 / q - 1)] para 0 ≤ T ≤ TB Sd(T) = α · S · β0 / q para TB ≤ T ≤ TC Sd(T) = α · S · β0 · ( Tc / T )kd1 / q ≥ 0,2 · α para TC ≤ T ≤ TD Sd(T) = α · S · β0 · ( Tc / TD )kd1 · ( TD / T )kd2 / q ≥0,2·α para TD ≤ T Donde,
Sd(T) es la ordenada del espectro de cálculo, normalizada al valor de g;
α es el cociente entre la aceleración del suelo de cálculo , ag, y la
aceleración de la gravedad;
q es el factor de comportamiento;
kd1, kd2 son los exponentes que influyen en la forma del espectro de
cálculo, cuyos valores para cada tipo de suelo se indican en la Tabla 2.2.
Subsuelo k1 k2
A 2 / 3 5 / 3 B 2 / 3 5 / 3 C 2 / 3 5 / 3
Capítulo 3: MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO Y SÍSMICO
3.1 INTRODUCCIÓN
El objeto de este trabajo es presentar algunas reflexiones sobre el análisis dinámico aplicado a las construcciones sismorresistentes, y en particular a las estructuras de puentes, para servir de apoyo a los colegas y estudiantes en la aplicación de esos procedimientos. La parte más importante del trabajo se dedica al método de la superposición modal espectral, que es el más difundido actualmente.
En el estudio de la respuesta de las estructuras reales sujetas a cualquier tipo de carga, estas se comportan de manera dinámica. Las fuerzas de inercia, provenientes de la segunda ley de Newton, son proporcionales a la aceleración. Si las cargas o desplazamientos son aplicados muy lentamente, las fuerzas de inercia se pueden despreciar, en cuyo caso, un análisis estático estaría justificado.
Además, todas las estructuras reales tienen un número infinito de posibles desplazamientos por lo que es muy importante crear modelos matemáticos con un número finito de grados de libertad que simulen el comportamiento de la estructura real de manera precisa y eficiente. Las masas de un sistema estructural así como sus propiedades elásticas lineales pueden ser aproximadas con muy alto nivel de confianza. No ocurre así con las cargas dinámicas, propiedades de disipación de energía y la interacción entre el suelo y la estructura, que en muchos casos se hacen difíciles de estimar especialmente para cálculo sísmico.
A continuación hacemos una breve descripción de los diferentes métodos utilizados para el análisis dinámico de estructuras, haciendo especial hincapié en el análisis sísmico.
3.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
El esquema dinámico de un sistema de un grado de libertad se muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1: Sistema dinámico de un grado de libertad.
A fin de establecer las bases para estudiar los métodos de resolución de las ecuaciones de equilibrio dinámico de los sistemas discretos de varios grados de libertad
es indispensable estudiar los métodos de resolución de las ecuaciones de equilibrio dinámico de un sistema de un grado de libertad, cuyas ecuaciones de equilibrio resultan ser: ) (t f kx x c x m⋅ &&+ ⋅&+ = [1]
Sometida a las siguientes condiciones iniciales:
0 0 )
(t x
x t=t = Desplazamiento inicial de la masa del sistema de 1 grado de libertad. 0 0 ) (t v x& t=t =
Velocidad inicial de la masa del sistema de 1 grado de libertad.
Donde,
m es la masa del sistema de 1 grado de libertad
c es la constante de amortiguamiento del sistema de 1 grado de libertad
k es la constante de rigidez del sistema de 1 grado de libertad
x(t) es el desplazamiento del sistema de 1 grado de libertad
x
m &&⋅ es la fuerza de inercia
x
c &⋅ es la fuerza de amortiguamiento
x
k⋅ es la fuerza ejercida por el muelle
f(t) es la fuerza excitadora del sistema de 1 grado de libertad
La función f(t) es la función excitadora que depende del tiempo, si es cero el sistema en vibración libre, en otro caso tenemos vibración forzada.
3.2.1 VIBRACIÓN LIBRE
3.2.1.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO En este caso tenemos, f(t) = 0, c = 0
La solución general para la ecuación [1] es:
x (t) = xo cos ωnt + ( xo / ωn) sin ωt [2]
Donde,
ωn =
m k
se llama frecuencia natural del sistema, en radianes/s.
La frecuencia f, en ciclos por segundo, se obtiene mediante la ecuación
f=ωn/2π, y el periodo del movimiento es T = 1/f. Las unidades son en ciclos por
Se puede observar que x(t) es una función armónica, con frecuencia ω. 3.2.1.2 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO
Para encontrar la solución de la ecuación [1] cuando c ≠ 0, probamos con soluciones del tipo:
x(t) = eλt
Reemplazando esa expresión de x(t) en la ecuación [1], llegamos a la siguiente ecuación:
m λ2 + c λ + k = 0
de la cual obtenemos el valor de λ
(
c m)
k m m c/2 ± /2 2 − / − = λEl comportamiento de la solución depende del signo del término que está dentro de la raíz cuadrada. Tenemos tres posibles casos:
(c/2m )2 > k/m el sistema está sobreamortiguado, la solución tiene dos
raíces reales por lo que tenemos dos exponenciales y no términos harmónicos.
(c/2m )2 < k/m el sistema está amortiguado, lo que lleva a una solución
con términos harmónicos que decrecen exponencialmente.
(c/2m )2 = k/m el sistema está críticamente amortiguado, es decir, con menos amortiguamiento tendríamos oscilaciones y con mas amortiguamiento se eliminarían las oscilaciones por completo.
Así se define el amortiguamiento crítico: ccr =2 km =2mωn
Así se define el parámetro ξ, que expresa el amortiguamiento del sistema en función del amortiguamiento crítico:
ξ = c/ccr
Para el caso en que c < ccr , o ξ < 1, la solución para λ se puede expresar
como: 2 1 ξ ω ξω λ =− n ±i n −
(
)
(
)
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + − = e− x t v x t t x n n o n n o t n sin 1 1 1 cos ) ( 2 2 0 2 ω ξ ξ ω ξω ξ ω ξω [6]La frecuencia de oscilación del sistema ha variado ligeramente de ω a
2
1 ξ
ωn − . A esta frecuencia de vibración modificada se le denomina frecuencia de vibración amortiguada y se puede aproximar a la frecuencia natural del sistema para la mayoría de casos prácticos en los que ξ no suele superar el valor 0,05.
3.2.2 VIBRACIONES FORZADAS
Para las vibraciones forzadas tenemos que f(t) es distinto de cero, por lo que la solución de la ecuación [1] se obtiene por superposición de la solución general de la ecuación homogénea (caso de vibración libre, con f(t) igual a cero) y la solución particular de la ecuación completa.
x(t) = xh(t) + xp(t)
Así, para el caso más general de un sistema amortiguado, la solución tendría la siguiente forma:
(
)
(
)
) ( 1 sin 1 ) ( )) ( ( 1 cos (o)) -( ) ( 2 2 2 t x t o x o x x x t x x e t x P n n P P o n o n P o t n + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + + − = − ω ξ ξ ω ξω ξ ω ξω & &Para los diferentes funciones f(t) tendríamos que hallar la solución particular de la ecuación completa, xp(t).
3.2.2.1 RESPUESTA A VIBRACIONES ARMÓNICAS La función de excitación sería de la forma:
t sen F t
f( )= 0 ω
Para la cual tendríamos la siguiente respuesta: ) ( 2 1 / ) ( 2 2 2 0 ω ϕ ω ω ξ ω ω − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = F k sen t t x n n p
donde φ es el desfase de la respuesta con respecto a la excitación y se puede hallar mediante la siguiente expresión:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = n n tg ω ω ω ξω ϕ 1 / 2
3.2.2.2 RESPUESTA A UN IMPULSO. INTEGRAL DE DUHAMEL.
Aplicando una fuerza impulsiva al sistema como la mostrada en la figura 3.2:
Figura 3.2: Fuerza impulsiva.
La fuerza F se aplica en el instante t = 0 y dura un espacio muy breve de tiempo, dt, volviendo a ser cero después, aunque el sistema continua vibrando después de que la carga deja de aplicarse. Para hallar el valor de x para un determinado valor de t aplicamos la ecuación [6] para vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento para lo cual, antes tenemos que hallar las condiciones iniciales, que serán las condiciones cuando la carga deja de actuar. Después de algunos cálculos sencillos encontramos que las condiciones iniciales son:
xo = 0
vo = F dt / m
Introduciendo las condiciones iniciales en la ecuación [6], encontramos la siguiente expresión de x(t):
(
)
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − t m Fdt e t x n n t sin 1 1 ) ( 2 2 ω ξ ξ ω ξωEsta es la respuesta ante un impulso, pero si tenemos una secuencia de impactos, la respuesta total se obtiene por superposición, lo cual proporciona un método para obtener la respuesta ante una función de excitación arbitraria f(t), después de haber sido discretizada en una serie de impulsos de duración dt.
Figura 3.3: Discretización de una función de excitación f(t) arbitraria.
Por supuesto tenemos que considerar que si un impulse aparece en un tiempo τ, y queremos la respuesta en un tiempo t, el efecto del impacto tendrá lugar para un tiempo (t - τ), dando por superposición o integración la siguiente expresión, también
llamada integral de Duhamel:
(
)
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − −∫
sin 1 ( ) 1 ) ( ) ( 2 2 ) ( t 0 τ ξ ω ξ ω τ τ τ ξω t M d F e t x t [12Para una función de oscilación dada f(t), la respuesta a la ecuación [3], solo depende de la frecuencia natural del oscilador y del amortiguamiento, para un sistema de un grado de libertad. Podemos calcular el máximo de la respuesta para una determinada función de excitación f(t). Este máximo dependerá de la frecuencia natural del sistema y del amortiguamiento, por lo que podemos obtener una gráfica como la de la figura 3.4:
Figura 3.4: Creación de un espectro de frecuencia.
Este tipo de gráficas reciben el nombre de “espectro de respuesta en frecuencia” del oscilador para la función de excitación f(t).
3.2.2.3 RESPUESTA A UNA EXCITACIÓN DE LA BASE.
Las vibraciones producidas por los terremotos están asociadas a un movimiento en la base del sistema. En la figura 3.5 se muestra un esquema del sistema en el que y(t) representa el movimiento de la base en función del tiempo.
Figura 3.5: Sistema dinámico de un grado de libertad. Movimiento de la base.
Al igual que en los casos anteriores la ecuación del movimiento se obtiene planteando el equilibrio de fuerzas para la masa aislada, resultando la ecuación [13]
(
−) (
+ −)
=0⋅ +
⋅x c x y k x y
m && & & [13]
Considerando el movimiento relativo entre la masa y la base, z = x - y, la ecuación [13] queda: y m kz z c z
m⋅ &&+ ⋅&+ =− &&
donde y&& es la aceleración de la base del sistema.
Resolviendo esa ecuación diferencial, podemos obtener la respuesta del sistema
z(t) conocida la aceleración de la base del sistema. En caso de un terremoto la fuerza
excitadora es el registro de aceleraciones del sistema. )
(t
a y&&= G
donde aG(t) es la aceleración del terreno. Así, el espectro de respuesta en
frecuencia para un determinado registro de aceleraciones del terreno se obtiene calculando el máximo valor de la función z(t) de la ecuación [16], para diferentes valores ωn y ξ .
(
)
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − −∫
sin 1 ( ) 1 ) ( ) ( 2 2 ) ( t 0 τ ξ ω ξ ω τ τ τ ξω a d t e t z n n G t n [163.3 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 3.3.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO
Las ecuaciones de equilibrio dinámico para un sistema de varios grados de libertad como una función del tiempo son las siguientes:
FI(t) + FD(t) + FE(t) = F(t) [17]
FI(t) son las fuerzas de inercia actuando en los nudos
FD(t) son las fuerzas de amortiguamiento actuando en los nudos
FE(t) son las fuerzas internas de la estructura
F(t) son las fuerzas exteriores aplicadas en los nudos
La ecuaciones [17] están basadas en leyes físicas y son válidas sistemas lineales y no lineales si el equilibrio está formulado con respecto a la geometría deformada de la estructura. Para muchos sistemas estructurales, la aproximación a comportamiento lineal se hace para convertir las ecuaciones de equilibrio [17] a ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales, las ecuaciones [18].
) (t F X K X C X M⋅ &&A + ⋅ &A + ⋅ A = Donde,
M es la matriz de masa del sistema
C es la matriz de amortiguamiento del sistema
K es la matriz de rigidez estática del sistema A
X es el vector de desplazamientos absolutos de los nudos del sistema A
X& es el vector de velocidades absolutas de los nudos del sistema A
X&& es el vector de aceleraciones absolutas de los nudos del sistema
F(t) es el vector de las fuerzas exteriores aplicadas en los nudos (incluidas las
reacciones)
Para excitaciones sísmicas, el vector de fuerzas exteriores F(t) es igual a cero. Los movimientos básicos de un sismo son las tres componentes de los desplazamientos del terreno. Así podemos escribir las ecuaciones [19] en término de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones relativas a las tres componentes del desplazamiento del terreno (ecuaciones [20]). Distinguiendo entre los grados de libertad de los apoyos (r grados de libertad) y los grados de libertad libres (3n grados de libertad, siendo n el número de nudos libre) las ecuaciones quedan:
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = RNNN RRNR K K K K K ; ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = NNRN NRRR C C C C C ; ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = RNNN RRNR M M M M M Llamando, X=XA-XS Donde,
X es el vector de movimientos relativos de los nudos, con respecto a los movimientos del terreno
XS es el vector de movimientos del terreno
Ix es un vector de movimiento unidad de la estructura como sólido rígido
en la dirección x.
Iy es un vector de movimiento unidad de la estructura como sólido rígido
Iz es un vector de movimiento unidad de la estructura como sólido rígido
en la dirección z.
R es el vector de las reacciones en los apoyos Las ecuaciones [19] nos quedan de la siguiente forma:
(
)
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ R I Z I Y I X M M M M X K K K K X C C C C X M M M M Z S Y S X S RR RN NR NN N RR RN NR NN N RR RN NR NN N RR RN NR NN 0 0 0 0 && && && [20]Nos quedamos solo con la parte superior de las ecuaciones, es decir, las 3n primeras ecuaciones, ya que las otras r ecuaciones solo nos sirven para hallar las reacciones en los apoyos:
[
]
(
S X S Y S Z)
NR NN NN NN NN X C X K X M M X I Y I Z IM ⋅ &&+ ⋅ & + ⋅ =− ⋅ && ⋅ + && ⋅ + && ⋅ [21] Resolviendo las ecuaciones [21] obtendríamos la solución del problema. 3.3.2 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO 3.3.2.1 SUPERPOSICIÓN MODAL. EXTRACCIÓN DE FRECUENCIAS
NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN
OBTENCIÓN DE MODOS Y FRECUENCIAS NATURALES
Al igual que sucedía en los sistemas de un grado de libertad, las características dinámicas intrínsecas de una estructura de n grados de libertad se obtienen considerando sus vibraciones libres no amortiguadas. En este caso las ecuaciones del movimiento [19] se reducen a: 0 = ⋅ + ⋅XA K XA M && [22]
Esta ecuación admite soluciones no triviales, es decir, compatibles con un movimiento sin fuerzas exteriores aplicadas, de la forma:
(ω+ϕ) ⋅ ⋅ = X ei t t X )( [23]
siendo X un vector formado por las amplitudes de los movimientos. Sustituyendo [23] en [22] se obtiene:
(
K−ω2⋅M)
⋅X =0 [24]Las ecuaciones [24] corresponden a un problema de obtención de autovalores y autovectores. Para que haya soluciones distintas de la trivial debe cumplirse que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo
0
2⋅ =
− M
Como solución de este polinomio característico se obtienen n autovalores 2 i
ω
que corresponden a las n frecuencias naturales o frecuencias propias ωi con las que la
estructura puede vibrar libremente. A la frecuencia más baja del sistema se le denomina frecuencia fundamental, ω1, y tiene asociado un período fundamental
T1 = 2π/ ωi
Cada autovalor 2 i
ω lleva asociado un autovector Xi, denominado modo de vibración, que indica la forma de la deformada que adquiere el sistema vibrando con la correspondiente frecuencia natural ωi. Dado que [24] es un sistema de ecuaciones
homogéneas con determinante nulo, sólo es posible determinar n - 1 componentes de Xi en función de una de ellas, por ejemplo, puede determinarse la forma con que vibra el sistema libremente pero no su amplitud. Resulta habitual normalizar estos modos asignando un valor unidad a su primera componente
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = in i i i i i X X φ φ φ φ M 3 2 1 1
o aplicando cualquier otro criterio para obtener los modos normalizados.
En general la estructura vibrará libremente o bien según uno de los modos y su frecuencia propia asociada, o bien según una combinación lineal de dichos modos. PROPIEDADES DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN
Se puede demostrar fácilmente que los modos de vibración de una estructura satisfacen las siguientes condiciones de ortogonalidad respecto a las matrices de masa y rigidez i i T i ⋅M ⋅φ =M φ ; T ⋅ ⋅ j =0 i M φ φ i ≠ j i i i i T i ⋅K⋅ = ⋅M = K 2 ω φ φ ; T ⋅ ⋅ j =0 i K φ φ i ≠ j
Donde Mi y Ki son escalares. En caso de que la matriz de amortiguamiento se
pueda expresar como una combinación lineal de las matrices de rigidez y de masas del sistema, según una relación como la de la ecuación [26], los modos también serán ortogonales respecto a ella
K M C =α⋅ +β⋅ [26]
(
)
i i i i T i i T i ⋅M⋅φ =φ ⋅ α⋅M +β⋅K ⋅φ =α⋅M +β⋅K =C φ 0 = ⋅ ⋅ j T i K φ φ i ≠ j[
φ1 φ2 K φN]
=Φ
Las condiciones de ortogonalidad anteriores resultan en
M M⋅Φ= ⋅ Φ C C⋅Φ= ⋅ Φ [27] K K⋅Φ= ⋅ Φ
Donde M , C y K son matrices diagonales cuyos términos vienen definidos por las relaciones [27]
En el caso poco habitual de que existan raíces dobles, se puede demostrar que hay infinitos autovectores asociados a este autovalor contenidos en un plano que es ortogonal al resto de modos de vibración.
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN NODAL
En la sección anterior se ha visto como los n modos de vibración de un sistema de n grados de libertad son independientes y ortogonales entre sí, por lo que forman una base completa. Por tanto, cualquier movimiento del sistema puede expresarse como combinación lineal de dichos modos
∑
= Γ ⋅ Φ = ⋅ = n i i i t t X 1 ) ( ) ( φ ζ [28]Dondeζi(t) son funciones escalares del tiempo. Las coordenadas ζi se denominan coordenadas generalizadas y describen la posición del sistema referido a un sistema de coordenadas cuyos vectores directores son los modos de vibración.
Premultiplicando [28] por T M i ⋅ φ se obtiene: i i n i T i i i T i T i M X t φ M φ ζ t φ M φ ζ φ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
∑
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =1 ) ( ) ( [29]Dadas las condiciones de ortogonalidad (2.41). De esta forma, los valores de las coordenadas generalizadas ζi se pueden obtener a partir de las coordenadas Xi mediante
la expresión: i T i T i i M t X M φ φ φ ζ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ( ) [30]
Haciendo el cambio de coordenadas cartesianas X a coordenadas generalizadas
en las ecuaciones [21], es decir, sustituyendo X(t) por la expresión en la ecuación [28]
se obtiene:
[
NN NR]
(
)
n i i i NN n i i i NN n i i i NN I Z I Y I X M M t K t C t M ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅∑
∑
∑
= = = && && && & && ) ( ) ( ) ( 1 1 1 ζ φ ζ φ ζ φ [31]Teniendo en cuenta que las formas modales no dependen del tiempo. Premultiplicando esta ecuación por T
i
φ y teniendo en cuenta las condiciones de ortogonalidad [27] se obtiene:
[
]
(
S X S Y S Z)
NR NN T i i NN i i NN i i NN i I Z I Y I X M M t K t C t M ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ && && && & && ) ( ) ( ) ( φ ζ ζ ζ [32]El sistema de 3n ecuaciones diferenciales acopladas se ha transformado en un conjunto de 3n ecuaciones independientes, resolubles cada una de ellas por cualquiera de los métodos aplicables a sistemas de un grado de libertad. Todavía podemos simplificar mas el problema expresando las ecuaciones de un grado de libertad de manera adimensional, dividiendo la ecuación [32] por
nn i i nn T i ⋅M ⋅φ =M φ , con lo que obtenemos la ecuación [33].
[
]
(
)
i nn T i Z S Y S X S NR NN T i i i i i i i M I Z I Y I X M M t t t φ φ φ ζ ω ζ ω ξ ζ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − = = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + && && && & && ) ( ) ( 2 ) ( 2 [33]3.3.2.2 ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO DE ESPECTROS DE FRECUENCIAS Dada su sencillez de aplicación y los buenos resultados que proporciona, el método de cálculo recomendado por la mayoría de las normas sísmicas es el análisis modal espectral. La respuesta máxima del sistema se obtiene combinando las respuestas máximas calculadas para cada uno de sus modos más significativos, en base a una acción sísmica caracterizada por su espectro de respuesta.
Dado que, en análisis lineal, cualquier sistema de n grados de libertad puede expresarse como superposición de n sistemas de un grado de libertad –asociados a sus modos de vibración–, y puesto que el espectro sísmico de respuesta permite determinar la respuesta máxima de cada uno de estos sistemas de un grado de libertad a la acción sísmica, es posible obtener la respuesta máxima de la estructura completa –con n grados de libertad– superponiendo las aportaciones de los n sistemas de un grado de libertad en que se ha descompuesto el sistema original.
En cada una de las tres direcciones del espacio se produce un movimiento del terreno que lo podemos caracterizar mediante espectros de frecuencia en desplazamientos, pseudo-velocidades y pseudo-aceleraciones como vimos en el apartado referente a movimiento sísmico.
SD(ω) [34]
PSV(ω) = ω·SD(ω) [35]
PSA(ω) = ω2·SD(ω) = ω·PSV(ω) [36] En cada dirección del espacio tendríamos los respectivos espectros de frecuencia, SDx(ω), SDy(ω), SDz(ω), PSVx (ω), PSVy (ω), PSVz (ω), PSAx (ω), PSAy (ω),
PSAz (ω). Por lo tanto, la máxima respuesta para un grado de libertad generalizado ζi, teniendo en cuanta la ecuación [33] será:
[
]
(
)
i nn T i Z i z Y i y X i x NR NN T i MAX i M I SD I SD I SD M M φ φ ω ω ω φ ζ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − = ( ) ( ) ( ) [37]Y si la matriz de masa es diagonal, la ecuación se simplifica mucho, quedando de la siguiente forma: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 1 1 1 i z n i y n i x n i z i y i x i nn T i T i MAX i SD m SD m SD m SD m SD m SD m M ω ω ω ω ω ω φ φ φ ζ M [38]
COMBINACIÓN DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN
Una vez obtenidas las soluciones para las coordenadas generalizadas ζi tenemos que combinarlas para obtener las soluciones en las coordenadas del sistema X(t). Para
ello podemos utilizar varios métodos, de los cuales vamos a describir dos, el método SRSS y el método CQC.
En general, no podemos hacer directamente la composición nodal de los modos de vibración según la expresión [28], modificada para sus máximos valores en la ecuación [39].
∑
= ⋅ = n i MAX i i t X 1 ) ( φ ζ [39]Donde n es el número de modos que se van a utilizar en el análisis.
Esto conduce a resultados erróneos, ya que ζi MAX es siempre positivo independientemente de cómo hayamos definido el signo del autovector φi.
a) Método SRSS o método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados:
Es el método más simple, el más usado y el más racional donde las respuestas modales se suman usando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.
La ecuación que gobierna el método SRSS se puede expresar según [40].
∑
= ⋅ = n i MAX i i MAX X 1 2 2 ζ φ [40]Donde n es el número de modos que se van a utilizar en el análisis.
El método SRSS generalmente es conservador, aunque tiende a ser poco conservador cuando las frecuencias naturales están muy poco distanciadas.
El método CQC está basado en el uso de coeficientes de correlación intermodal. Estos coeficientes reflejan la duración y el contenido en frecuencias del evento sísmico las frecuencias naturales y razones de amortiguamiento de la estructura. La ecuación que gobierna el método CQC se puede expresar según [41].
ij MAX j j n j n i MAX i i MAX X =
∑∑
φ ⋅ζ ⋅φ ⋅ζ ⋅ρ =1 =1 [41] Donde,(
)
(
2)
2(
2) (
2 2)
2 5 , 1 4 1 4 1 8 r r r r r r j i j i j i j i ij ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ρ [42] i j r=ω /ω [43]Cuando las razones de amortiguamiento de todos los modos de vibración que tenemos en cuenta para el análisis son nulas, el método CQC es equivalente al método SRSS.
3.3.2.3 SOLUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Una forma alternativa de resolver las ecuaciones [19] es mediante procedimientos de análisis en el dominio de la frecuencia. Los análisis en el dominio de la frecuencia son especialmente convenientes cuando las ecuaciones de movimiento contengan parámetros de rigidez y amortiguamiento que dependan de la frecuencia., como en el caso de interacción suelo-estructura. Un análisis en el dominio de la frecuencia contiene tres fases que se describen a continuación.
a) La primera fase consiste en la conversión de las cargas aplicadas F(t), al dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier. En este proceso se sustituyen las amplitudes de las cargas en dominio del tiempo por valores complejos en una secuencia específica de frecuencias. Estos valores complejos se pueden interpretar como la expresión de las cargas en el dominio de la frecuencia. En la expresión [44] tenemos la transformada de Fourier que transforma las cargas del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia:
∫
∞ ∞ − − ⋅ ⋅ = F t e dt F(ω) ( ) iωt [44]b) En la segunda fase se calcula la respuesta de la estructura en el dominio de la frecuencia. Esto se consigue multiplicando la función de respuesta de la estructura en el dominio de la frecuencia, por las cargas a las que esté sometida en el dominio de la frecuencia, en donde los resultados de la respuesta vienen expresados en el dominio de la frecuencia.
) ( ) ( ) (ω H ω F ω XA = ⋅ [45]
