qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
jklzxcvbnmuiopasdfghjklzxcvbnmqwe
rtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa
sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz
xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb
nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer
tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas
dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx
cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrt
yuiopasdfghjklzcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopnasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio
CUADERNO
PENDIENTES
MATEMÁTICAS I
Curso 2017-2018
Departamento de Matemáticas
IES
GRANDE
CONTENIDOS PRIMER PARCIAL
FECHA EXAMEN ……….
Números Reales. Radicales y logaritmos Polinomios
Inecuaciones
Sistemas de ecuaciones ( Método de Gauss) Funciones
CONTENIDOS SEGUNDO PARCIAL
FECHA EXAMEN ……….
Límites Derivadas Trigonometría Números Complejos Geometría AnalíticaNúmeros Reales. Radicales y logaritmos
1. Clasifica en Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones indicando la razón: a) Todo número entero es natural. FALSO Por ejemplo….-2𝜖 ℤ 𝑦 − 2 ∉ ℕ b) Todo número natural es entero. VERDADERO porque ℕ ⊂ ℤ
c) Todo número entero es racional. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ
d) Algunos números racionales son enteros. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ
e) Algunos números naturales no son racionales. FALSO ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ( Todo número natural es racional)
f) Todo número racional es entero. FALSO Por ejemplo 2
5 𝜖 ℚ 𝑝𝑒𝑟𝑜 2
5 ∉ ℤ
2. Escribe, si es posible, varios números con las siguientes condiciones: a) Real y no racional.
b) Irracional no real.
c) Racional no entero.
3. Expresa como fracción los siguientes números decimales:
4. Representa y expresa como desigualdad los siguientes conjuntos: a)
3,1
b)
4,
c)
3,9
d)
,0
5. Representa los siguientes conjuntos a)
x/2 x5
b)
2,5
5,7
c)
,0
3,
6. Expresa como intervalos o semirrectas las siguientes desigualdades: a) ‒ 3 ≤ x ≤ 2
b) 5 < x
c) x ≥ ‒2
e) ‒3 ≤ x
7. Escribe la desigualdad correspondiente a estos intervalos: a)
2,7
b)
13,
c)
,0
d)
3,0
e)
,
8. Si tenemos los conjuntos A
3,2
y B
0,5 , calcula la 𝐴 ∩ 𝐵 𝑦 𝐴 ∪ 𝐵.9. Halla los siguientes valores absolutos:
a)
11
b)
c)
5
d)3
e)3
2
f)1
2
10. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
d)
x
4
2
e)x
4
5
11. Simplifica:a)
12x
9b)
12x
8c)
5x
10d)
68
e)
964
f)
881
12. ¿Cuál de estos números es mayor: 4
31
o 313
?13. Reduce a índice común las siguientes parejas de números reales:
a
)
12a
5y
18a
7b)
351
y
9132650
14. Simplifica: a) 8
x
b) 5 3x
10 c) 3
x
615. Realiza las operaciones siguientes y simplifica al máximo: a)
8
b)2
c) 332
d)2
2
4
e) 4a
3a
a
a
6a
5a
3 f)
2 3 2 3 62
b
a
16. Extrae todos los factores posibles:
a)
8
a
5b
4c
7 b) 327
a
8b
7 c) 7128
x
15y
27z
14 d) 5 19 17 12243
32
c
b
a
e) 4 19 6 15 1081
x
y
f) 3 27 15 16 20 15 10
45
72
z
y
x
c
b
a
17. Reduce: a)3
3
3 2 b) 33
9
c)2
16
5 d)3
729
4 18. Suma y simplifica: a)5
x
3
x
2
x
b)18
50
2
8
c)27
50
12
8
d)4
4
2
9
3
25
5
49
e)3
8
5
72
3
50
4
18
4
2
19. Introduce dentro de la raíz:
a)
2
33
c)
8
3
2
x
x
d) 44
2
20. Expresa como una única raíz: a) 4 3
4
b) 32
48
c)
4x
3
5x
4
:
x
21. Racionaliza: a)7
5
b) 34
3
c) 31
a
d)50
3
e) 325
2
f) 3100
2
22. Racionaliza y simplifica: a)1
2
1
b)1
1
x
x
c)y
x
y
x
e)
3
2
2
3
3
2
2
3
f)2
5
3
g)3
5
2
11
h)18
2
3
2
i)
5
3
2
1
23. Calcula: a)log
216
b)log
20
,
25
c)log
91
d)log
216
e)log
464
f)log
749
g)ln e
4 h) 4 1ln
e
i)log
50
,
04
j)216
1
log
624. Calcula la base de los siguientes logaritmos:
b)
2
9
1
log
x
25. Halla el valor de x en estas expresiones usando las propiedades de los logaritmos:
a)
log
x
log
17
log
13
b)ln
x
ln
36
ln
9
c)
ln
x
3
ln
5
d)log
x
log
12
log
25
2
log
6
26. Sabiendo que
log
5A
1
,
8
ylog
5B
2
,
4
calcula las siguientes expresiones:a) 3 2 5
25
log
B
A
b) 2 3 55
log
B
A
5
ln
2
ln
y
x
28. Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión:
ln
x
2
ln
y
ln
z
29. Si logK x , entonces calcula en función de x:
a)
log K
2 b)100
log
K
c)log
10
K
30. Comprueba que:6
1
log
log
1
log
3
a
a
a
(siendo a ≠ 1)POLINOMIOS
1. Halla el valor numérico en los siguientes casos:
a)
p
(
x
)
5
x
2
3
cuando x = 1b)
q
(
x
)
3
x
4
2
x
2
3
x
1
cuando x = 0 c)r
(
x
)
6
x
3
x
1
cuando x = 2.d)
s
(
x
)
5
x
6
4
x
5
2
x
3
4
x
2
9
cuando x = -22. Dados los polinomios
3
)
(
;
7
2
3
6
)
(
;
1
3
)
(
x
x
2
q
x
x
3
x
2
x
r
x
x
p
efectúa las operaciones siguientes: a)p
(
x
)
q
(
x
)
b)p
(
x
)
q
(
x
)
c)p
(
x
)
q
(
x
)
d)p
(
x
)
r
(
x
)
e)r
(
x
)
q
(
x
)
f)p
(
x
)
r
(
x
)
3. Realiza las operaciones que se indican con los siguientes polinomios:
x
2
x
6
7
x
4
2
x
3
2
x
2
x
1
p
x
3
x
5
2
x
3
x
2
x
1
q
x
x
2
x
1
r
x
3
x
4
s
a) p(x)q(x) b) q(x)s(x) c) r(x)s(x) d) q(x)r(x) e) p(x)r(x) f) p(x)s(x) g)
r(x) 2 h)
s(x) 24. Realiza los siguientes productos:
a)
2
x
x
2
2
x
x
2
b)
a
3
b
a
3
b
c)
6
x
3
y
6
x
3
y
d)
2
x
3
x
2
x
3
x
5. Dados los polinomios siguientes
3
1
2
)
(
;
5
7
10
)
(
x
x
2
x
q
x
x
p
calcula: a)p
(
x
)
q
(
x
)
b)p
(
x
)
3
q
(
x
)
c)
q
( x
)
2d)
p
(
x
)
q
(
x
)
e)
p
(
x
)
:
q
(
x
)
6. Realiza las siguientes divisiones:
a)
x53x4x26
:xb)
6x412x36x2
:2x2c)
15x510x3
:5x3d)
x5 3x4 2x7
:
x2
7. Usando la regla de Ruffini, divide el polinomio p(x)6x55x32x4 por los divisores que se indican. Además, utiliza el teorema del resto para comprobar que el resto obtenido es el correcto: a) x-1 b) x+2 c) x-5 d) x+3 e) x-3 f) x+4
8. Sin necesidad de efectuar la división, halla el resto de las siguientes divisiones:
a)
x9 x4
:
x1
b)
x63x54x
:
x2
c)
2x5 3x2 4x1
:
x3
d)
x32x213x10
:
x1
e)
x3x24x6
:
x2
f)
x4x34x2 4x
:
x2
9. Utilizando el valor numérico, halla el valor de m en los siguientes polinomios sabiendo
que se verifica:
a) x33x2mx es divisible por x-1
b) 5x3mx25x10 es divisible por x-2
c) 2x4mx330x210x28 es divisible por x+1
10. Calcula las raíces de los siguientes polinomios:
a) 2 25
x
b) 2x4 16
11. Factorizar los siguientes polinomios: a) x22x3 b) 2x2 6x8 c) 3x3 3x d) 34 2 4 x x x e) x4 2x3 x2 2x f) 3x46x33x26x g) x4 x33x25x2 h) x46x312x28x i) x3x24 j) x32x22x1 k) x33x24x12
12. Calcula dos polinomios de segundo grado que tengan como raíces ; 3 2 1 2 1 x x .
13. ¿Qué número m se ha de añadir al polinomio x3 2x2 5x
para que sea divisible por …..? a) x3
b) x5
c) x4
d) x3
14. Calcula el valor de m para que las divisiones siguientes sean exactas:
a)
x32x2xm
:
x1
b)
2 1 : 23 5 2x3 x2 x m x15. Halla un polinomio de primer grado que al dividirlo por x1 dé de resto 1, y al dividirlo por x2 dé de resto 7.
16. Determinar los coeficientes a y b para que el polinomio x5 ax3 b sea divisible por
x1
x1
.17. Calcula, de dos formas distintas, el valor de m para que el polinomio
3 1
2 )(x x3mx2 m x
18. Halla el polinomio de segundo grado que satisfaga las siguientes condiciones
simultáneamente:
a) el coeficiente de segundo grado es -2 b) es divisible por x3
c) al dividirlo por x2 el resto es -10.
19. Realiza las operaciones que se indican:
a) 5 1 2 3 1 2 2 x x x x b) 2 2 3 1 2 x x x x c) 3 2 2 3 7 2 x x x x x d) 5 3 2 2 1 x x x
e) 5 1 1 1 2 2 3 2 x x x x x x f) 1 8 2 5 2 1 7 6 5 2 1 2 2 2 3 x x x x x x x x x g) x x x x x x 2 7 2 3 2 3 2 2 h) x x x x x x x 2 1 2 3 3 5 2
ECUACIONES
1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a)
15
6
5
4
3
2
x
x
x
b)0
3
3
2
2
1
1
x
x
x
c)3
5
20
5
3
15
2
x
x
x
d)21
6
5
10
7
14
1
5
20
11
3
x
x
x
x
e)
6
9
4
1
13
4
1
8
17
3
x
x
x
x
f)21
6
5
10
7
14
1
5
20
11
3
x
x
x
x
g)6
9
4
1
13
4
1
8
17
3
x
x
x
x
h)2
1
2
2
2
3
1
x
x
x
i)
6
3
2
4
4
5
x
x
j)5
7
2
4
4
1
7
6
3
5
x
x
x
2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a)
x
2
7
x
18
0
b)3
x
2
15
x
18
0
c)
x
2
4
x
7
0
d)7
x
2
21
x
28
0
e)7
x
2
28
0
f)
x
2
x
3
x
g)3
3
3
2
3
16
2 2x
x
x
x
h)x
2
81
0
i)0
5
4
3
x
2
x
j)
2
x
3
2
25
k)0
2
3
2
1
2
x
x
l)
2
x
3
3
x
2
0
m)3
4
3
3
4
4
2 2
x
x
x
x
x
n)4
12
3
4
2
2 2
x
x
x
x
3. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior:
a) x3 x2 40 b) x3x2x10 c) x33x24x120 d) 6x3x226x210 e) x3 2x2 5x60 f) x4x316x220x0 g) 2x45x35x20 h) x34x2 x4
i) x4x33x2 5x2 j) x32x22x1
4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x4 13x2360 b) x434x22250
c) 25x429x240 d) x48x2 90
5. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a)
4
5
1
2
1
2
x
x
x
b)2
11
1
4
1
2
x
x
x
c)x
x
5
6
d)x
x
x
x
x
x
x
21
10
1
1
e)
1
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
f)3
2
4
x
x
6. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) x4 7 b) x 25x2 1 c) x 5x10 8 d) x 4x3 0 e) x x11 f) 36x 2 x g) 2x1 x4 6 h) x5 2x87 i) 72x 3x 1 j) 27x x2 4
7. Amelia tiene el triple de edad que su hermano Pedro, pero dentro de 5 años solamente
tendrá el doble de edad. ¿Cuál es la edad que tiene actualmente cada uno de ellos?
8. Beatriz tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él.
¿Cuántos años tienen actualmente cada uno de ellos?
9. En un examen tipo test compuesto de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas
ellas. Cada pregunta acertada valía un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Averigua las preguntas que acertó Miguel sabiendo que su puntuación total fue 32,5 puntos.
10. Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que entrega a la venta,
pero pierde 2,50 € por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha producido en una jornada de trabajo si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido un beneficio de 382 €?
11. Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que
12. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.
Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 metros cuadrados.
13. Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que si
cada uno pone 20 € sobran 5 €. Sin embargo, si cada uno de ellos pone 15 €, entonces faltan 20 €. ¿Cuántos amigos fueron a cenar y cuál fue el precio de la cena?
14. En una empresa obtienen 6 € de beneficio por cada envío que hacen; pero pierden 8 € si
el envío es defectuoso. En un día hicieron 2.100 envíos, obteniendo 9.688 € de beneficio. Calcula los envíos válidos y los envíos defectuosos que hicieron ese día.
15. Encuentra tres números impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 5.051.
16. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética con 5 cm. de
INECUACIONES
1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) x 1x 3 1 2) 2 1 8 x 3) 2 12 1 3 6 1 4 x x x 4) 2 4 1 5 1 x x 5) 3 5 20 5 3 15 2 x x x 6) 2 2 3 3 1 x x x
2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
1) 2 60 x x 2) x2 6x90
5)
2 1 4 1 1 3 1 2 3 x x x 2 x 6) 0 2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 2 x x x x x3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:
1) x35x2 6x0 2) x33x24x120 3) x4 x316x220x0 4)
x29
x1
0 5) x4 5x240 6) 4x4 404. Soluciona las siguientes inecuaciones fraccionarias: 1) 0 2 4 x x 2) 0 4 2 2 x x x 3) 0 3 1 2 x x 4)
1
0 3 2 2 x x5. Representa las soluciones de las siguientes inecuaciones con dos incógnitas:
1) xy6 2) 7x2y 14 3) xy0 4) 5 1 2 3 5 2 x y
6. Resuelve las siguientes inecuaciones: 1)
x2
2 0 2)
x1
2 x4
2 0 3)
3
0 1 3 2 x x 4) x3x2 x10 5) 3 2 3 1 x x 6) x46x38x2 0SISTEMAS
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
a) 8 6 4 8 3 2 y x y x b) 4 6 4 8 3 2 y x y x c) 108 4 9 6 2 3 y x y x d) 10 2 8 27 5 6 y x y x e) 10 3 4 27 5 6 y x y x f) 10 6 7 2 5 4 y x y x g) 13 3 2 3 1 2 4 y x y x y x h) 5 1 1 4 1 1 y x y x i) 2 5 3 2 0 5 2 3 1 y x y x
2. Soluciona los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas: a) 1 4 2 y x y x b) 2 2 6 y x y x c) 480 2 3 300 2 y x y x d) 2 2 4 2 y x y x e) 2 2 4 2 y x y x f) 2 2 4 2 y x y x g) 30 4 2 5 5 6 y x y x h) 30 6 2 3 3 5 y x y x
3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas: a) 8 2 8 2 y x y x b) 90 9 y x y x c) 3 10 2 2 y x y x d) 24 55 2 2 y x y x h) 8 10 2 2 2 2 y x y x j)
3 6 x y y y x x4. Resuelve los siguientes sistemas usando el método de Gauss: a) 4 2 1 3 2 2 2 z y x z y x z y x b) 6 2 6 2 7 3 z y x z y x z y x c) 12 5 0 3 4 2 2 z y x z y x z y x d) 4 4 2 4 3 2 4 3 z y x z y x
e) 7 2 0 4 2 4 3 2 z y x z y x z y x f) 16 3 2 5 2 2 3 1 z y x z y x z y x g) 12 2 6 z y x z y x z y x h) 0 2 4 7 1 5 2 3 12 3 5 2 z y x z y x z y x
i) 2 5 3 3 2 z y x z y x j) 0 5 3 0 2 z y x z y x k) 2 1 2 5 y x z x z y l) 2 5 0 2 1 2 z x z y x z y x
EJERCICIOS REVÁLIDAS 1. Se considera el sistema: 5 9 3 33 5 9 z y x z y x z y x
a) Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones. (2 puntos)
b) Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones de forma que el sistema que resulte sea equivalente al anterior. Razona la respuesta. (1 punto)
2. La distancia de tres playas (A, B, y C) del lugar de veraneo de una familia es tal que el
doble de la distancia a A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias a A, B y C es de 90.000 m, y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130.000 m.
¿Cuál es la distancia a cada playa? (3,5 puntos)
3. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información:
- Cuatro cafés y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos. - Cuatro cafés y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos. - Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 9,50 €.
Calcular el precio de cada uno de los productos. (2,5 puntos)
4. Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos, nos cobraron un día 1.700 ptas en una
heladería. Otro día, en esa misma heladería, por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 2.200 ptas. Un tercer día tuvimos que pagar 1.300 ptas por una horchata y cuatro batidos. Razona si hay motivos, o no, para pensar que alguno de los días nos presentaron una factura incorrecta. (3,3 puntos)
5.) El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:
- El mayor recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 €. - Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos.
- El pequeño recibirá la media aritmética de lo que perciban los otros dos menos 30.000 €. Calcula lo que ha heredado cada uno de los hijos. (3,3 puntos)
6. Con 450 gramos de medicamento se fabricaron 60 pastillas de tres tipos: grandes,
FUNCIONES
1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x)x3 3x2 x5 h) 1 ) ( 2 2 x x x f b) 21 4 15 3 ) ( 2 x x x x f i) f(x) x3 2x2 x2 c) 3 2 5 2 ) ( 2 x x x x f j) 9 2 ) ( 2 x x x f d) f(x) x3 k) 4 1 ) ( 2 x x x f e) ( ) 2 4 x x f l) f(x) x2 7x
f) f(x) x2 5x6 m) x x x x x f 4 1 2 ) ( 2 2 g) x x x x f 2 7 2 ) ( 2 n) 2 1 ) ( x x x f
2. En cada caso, dibuja la gráfica de la función, calcula su dominio y su recorrido, estudia su continuidad y el crecimiento y decrecimiento:
a) 0 1 0 1 ) ( x si x x si x x f b) 0 0 ) ( 2 x si x x si x x f c) 2 4 2 4 ) ( 2 x si x x si x x f
e) 3 3 3 3 9 3 2 ) ( 2 x si x x si x x si x f f) 2 3 2 0 3 0 3 ) ( 2 x si x x x si x si x x f
3. Dadas las funciones f(x)x2 2x y g(x)5x4, calcula: 1 , , , , g f g f g g f g f
4. Dadas las funciones f(x)x32x1 y g(x)4x3, calcula: 1 , , , , g f g f g g f g f
5. Dadas las funciones 1 1 ) ( 2 x x f y g(x) x2 4, calcula: 1 1 , , , , , g f g f g g f f g f
6. Dadas las funciones
2 3 1 2 ) ( x x x f y g(x) 2x3, calcula: 1 1 , , , , , g f g f g g f f g f
7. Dadas las funciones
1 2 3 ) ( x x x f y 2 1 ) ( x x x g , calcula:
A) El dominio de ambas funciones B) Sus funciones inversas
FUNCIONES
Continuidad Funciones a trozos
1. Representa las hipérbolas siguientes y señala las asíntotas que presentan cada una de ellas: a) 3 1 ) ( x x f y b) 2 1 ) ( x x f y c) 2 1 1 ) ( x x f y d) 1 3 1 ) ( x x f y
2. Realiza el estudio analítico de la continuidad de las siguientes funciones a trozos: a) 2 1 2 6 2 ) ( 2 x si x x si x x x x f b) f(x) x3 c) f(x) x6 d) 1 3 5 1 1 3 7 1 3 ) ( 3 2 x si x x si x x si x x f e) f(x) x x1
f) 1 2 1 1 1 ) ( 2 x si x x si x x x f g) f(x) x2 4
3. Halla el valor de los parámetros para que las funciones a trozos dadas sean continuas:
a) 0 2 0 1 6 2 ) ( 2 2 x si a x x si x x x x f b) 3 5 3 0 0 1 ) ( 2 x si x x si b ax x si x x f
c) 0 1 0 4 4 3 ) ( 2 x si x x si b ax x si x x f d) 1 2 1 2 ) ( x si b x x si ax x f
FUNCIONES Límites
1. Calcula los siguientes límites:
1) 1 3 2 lim 2 2 0 x x x x 2) 3 2 1 lim 3 1 x x x 3) 2 1 lim 2 1 x x x 4) 1 3 2 2 1 lim x x 5) 5 1 2 2 3 lim x x x 6) x x x x 3 2 6 4 lim 2 2 7) 1 1 lim 2 1 x x x
9) 2 0 1 lim x x x 10)
x x x 1 1 lim 2 1 11) 8 2 4 3 lim 2 2 4 x x x x x 12) 8 2 4 3 lim 2 2 x x x x x 13) 7 5 1 2 3 lim 3 x x x x 14) x x x x 2 4 2 lim 2 2 15) 3 2 1 1 lim 2 x x x x 16)
x x x 8 2 lim 3 0 17) 4 3 1 lim x x x 19) 9 1 2 4 lim 2 2 5 x x x x x 20) 1 1 lim 3 6 1 x x x 21) 5 2 8 6 lim 2 2 x x x x 22) 1 1 1 2 lim 2 1 x x x x 23) 2 2 1 lim 2 2 x x x x 24)
x x
xlim 1 2 25) 1 1 3 lim 0 x x x 26) lim 1 3 x x x 27) lim
2 3 2 2
x x x x 28) 1 1 lim 0 x x x 29) 1 4 4 2 lim 4 2 x x x30) 2 2 2 lim 2 x x x 31) 1 1 3 lim 6 2 x x x x 32) 3 9 lim 2 2 3 x x x 33) 1 2 lim 4 3 x x x 34) lim
2 2 1
x x x x 35) 1 2 lim 2 2 1 x x x 36)
x x
xlim 1 2 37) 2 8 2 5 lim 2 2 3 1 x x x x x x 239) 5 2 3 lim 2 3 x x x x 40) 5 2 5 lim 2 2 x x x x x 41) 3 5 6 3 lim 2 2 x x x 42)
x xx
1 01
2
lim
43) x x x 3 1 lim 44) x x x x 6 2 2 7 3 3 lim 45) 2 2 2 3 2 1 2 lim x x x x x 46)
1 2 1 3 2 lim x x x 47) 1 3 2 2 2 2 lim x x x x x 48) x x x x 4 2 1 2 1 lim 49) 1 1 lim 2 3 1 x x x50)
x x x
x 2 4 2 lim 51)
x x x x 3 1 0 2 1 2 lim 52) x x x x x 1 2 2 2 1 lim 53) lim
2 2 4 3 2 1
x x x 54) lim
2 5 2 5
x x x 55)
x x x
xlim 16 4 4 2 56) x x x x x x 2 3 0 2 lim 57) 1 2 4 4 lim 2 2 2 x x x x x59) lim
2 1 4 2 4 4
x x x x 60) x x x 3 1 3 lim 2 61) 1 2 2 1 3 lim 2 1 x x x x 62) x x x x x x 1 2 1 1 1 lim 63) x x x 1 2 1 lim 2 64) 2 1 2 2 2 lim x x x x2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones a trozos y clasifica sus discontinuidades: 1) 0 3 3 2 0 1 1 2 ) ( 2 x si x x x x si x x x f 2) 0 2 8 6 0 2 1 ) ( 2 x si x x x x si x x f 3) 0 1 1 0 2 4 ) ( 2 3 2 x si x x x si x x x f 4)
1 2 1 1 1 ) ( 1 2 x si x x si x x x x f xDERIVADAS
Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
2 2 2 2 2 3 2 4 3 3 3 2 3 2 1. ln 1 2. ln 3. ln 1 2 4. 5. ln 1 6. 7. 2 2 1 8. 9. 10. 11. 12. 10 1 13. 3 14. ln 15. 3 1 16. ln 1 1 17. ln cos 2 18. 1 n x x x ax x x nx x x x x x x y x y y x x x a x e e y ln y x x y e y x e y e y x e y y a y x e y x y y x y senx e senx y x y senx
2 1 cos 19. ln 1 cos 20. cos 21. 2 22. 2 3 2 1 23. 3 24. 25. 2 1 x x y x xy e y senx sen x y arcsen x
x
y arctag x y arctag y cotag a x
x
3 3 2 2 2 3 2 1 26. 27. ln cos 3 28. 3 1 1 29. 1 30. 31. 1 3 32. log 33. ln 34. ln 2 35. ln 1 1 2 ln ln 36. 37. ln 38. 39. cos 3 4 1 4 ax senxy e sen x y x y tag x tagx x
b
y x arcsen x y arctag tagx y x
x ab a x x y y y x x y x x x x x x y y x x x y y x x x x
5 2 2 2 20. 41. 4 cos 2 1 42. cot 4 43. cot 4
1 1 44. sec 5 45. 3 46. cos 47. 1 ln 48. 49. ln 2 50. 51. 2 1 senx y tag x y x y ag x y ag x x y x y sen x y y arcsen x x x x
y arctag y arcsen x y tagx y sen senx
x
Soluciones:
2 2 2 4 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 1 2 5 1 1 1. 2. 3. 4. 5. 6.4 2 1 2 2 1 1 1 2 1 7. 8. 2 9.3 1 10.. 2 2 1 1 2 11. ln 12. 10 ln10 13. 3 4 ln 3 14. 1 2 2 3 2 3 15. 3 1 2 ln 3 1 3 1 x ax x x x x x nx x x x x x a x x e x x x x n x x x a x e ax e e x e x e x x x e n a a x x e x x x x x x
2 4 2 2 2 4 2 2 2 1 16.cot 17. 2 2 18. 1 1 1 219. 20. cos 21.cos 2 2 cos 2 22.
2 2 2 1 2 3 6 1 2 23. 24. 25. 26. cos 27. 3 1 9 1 2 1 1 1 28. 29. 30. 1 1 x ax gx tag x senx x x
e sen x sen x senx x
senx x x e asen x x tag x x x sen a x x tag x tag x arcsen x x x a
2 2 2 2 2 2 2 31. cos ln 1 1 2 2 32. 33. 34.2 ln 2 35.ln 1 1 ln10 3 2 2 1 senx senx x x x b tag x x x x x x x x x x x x
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ln 2 ln 36. 37.ln 38. 39. 6 4 3 4 1 2 1 1 40. 1 41. 40 cos 2 1 2 1 2 cos 2 8 8 cot 42. 8 1 cot 4 43. 44.5sec 5 5 4 4 3cos 3 2 1 1 45. 46. 47. 1 2 3 1 ln ln 1 x x x x sen x x x x x tag x x sen x x x x x agx x ag x x tag x sen x sen x x x sen x sen x x x x x
2 2 2 1 48. 1 1 149. 50. cos ln 51.cos cos
2 cos
4
senx
x x
tagx x tagx senx x
x x x
TRIGONOMETRÍA
1. ¿Es cierta la siguiente igualdad trigonométrica?
x
x
sen
x
x
tg
senx
cos
cos
2
2
2
2. Si cosec α = −3 y π < α < 3π/2, encuentra el valor de las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
3. Si tg α = 1/2 y 0 < α < π/2, calcula de forma razonada las siguientes expresiones:
a) sen α y sec α
b) tg (π + α), sen (π −α) y cotg (−α)
4. ¿Para que valores de x se cumple la siguiente igualdad? 1 4 tg x
5. Resuelve un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm y uno de los ángulos agudos 30º.
6. La distancia en línea recta entre dos puntos P y Q es de 70 metros. El mástil de una bandera se encuentra anclado en el punto Q, y la parte más alta se observa desde el punto P bajo un ángulo de 60º. Determina la altura del mástil.
7. ¿Qué ángulo del segundo cuadrante verifica la ecuación
2 1 tg
cosx x ?
8. Dos individuos distantes entre sí 68 metros y situados en la misma orilla de un río, observan un nido en la copa de un roble, situado en la orilla opuesta. Uno de los individuos sabe que dista 44 metros del nido y también que, desde éste, las visuales a ambos observadores forman un ángulo de 140º. Determina los restantes elementos del triángulo que se forma.
9. Resuelve un triángulo del que conocemos dos lados, uno mide 10 cm y el otro 8
10. Si tg α = −
2
5
y π/2 < α < π, encuentra el valor de las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
11. Calcula el lado desigual de un triángulo isósceles si los otros dos lados miden 12 cm y el ángulo desigual es de 120º.
12. Calcula de forma razonada las siguientes expresiones:
a) sen 510º b) cos (−750º) c) tg 31π/6
14. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
1 cos 2 2 2 y x y sen x
15. Justifica la siguiente igualdad: tg cotg
2
16. Hallar razonadamente las razones trigonométricas del ángulo de 2655º.
17. Calcula el seno, coseno y tangente de un ángulo del tercer cuadrante del que se sabe que su cosecante es igual a -2.
18. Calcula razonadamente: a) 5 cos arcsen b) 3 7 cos arccos c) 3 7 arccos sen d) 2 1 arccos 2 cos
e) cos
arctg
4
f) tg
2 arctg
2
g)
2 ' 0 arccos 2 1 cos SOLUCIONES19. Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 105º, 15º, 75º y 315º.
20. Deduce las fórmulas que permiten expresar
2 2 cos , 2 x tg y x x sen , en función de 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦 𝑡𝑔𝑥.
21. Simplifica las siguientes expresiones:
a
a
a
a
sen
cos
cos
1
cos
1
2
2
a
sen
sena
a
a
sen
2
1
2
cos
2
2
a
a
sen
a
a
sen
cos
2
cos
1
2
2
x
x
x
x
x
sen
x
sen
x
sen
senx
7
cos
5
cos
3
cos
cos
7
5
3
a
a
tg
a
sen
cot
2
b
a
b
a
senb
sena
senb
sena
cos
cos
cos
cos
a
a
a
sen
a
sen
4
cos
2
cos
4
2
22. Demuestra las siguientes identidades:
