Argumentación Matemática en los libros de
texto para la Enseñanza Secundaria
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
2009
Argumentación Matemática en los libros de
texto para la Enseñanza Secundaria
VIVIANA CAROLINA LLANOS
Tesis realizada con la orientación de la Dra.
María Rita Otero,
presentada como requisito parcial para la obtención del título de Licenciado en Educación Matemática.
A mi abuela Chola
A mi familia, por el apoyo constante
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi agradecimiento a:
A la Universidad Nacional del Centro, a la Facultad de Ciencias Exactas y a sus autoridades actuales por apoyar mi formación profesional.
Al Departamento de Formación Docente y al NIECyT (Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología) por elegirme, por recibirme, por respetarme y por formarme en el área de Investigación en Educación Matemática. Por haberme financiado el viaje a Brasil para comenzar a especializarme en mi área de investigación.
Al Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) por permitirme capacitarme e insertarme en el ámbito científico y tecnológico. Por financiar mi formación de postgrado.
A mi orientadora Dra. María Rita Otero por aceptarme, aconsejarme y alentarme; pero sobre todo por su apoyo intelectual y emocional recibido. Porque criticó mis trabajos para que siempre estén mejor, porque me acompañó y acompaña en los buenos y malos momentos.
Renuevo mi agradecimiento a Rita, porque gracias a ella conocí a otra persona que me ayudó muchísimo y que es la Dra. Lucí Banks Leite. En principio por su apoyo intelectual y después por invitarme y recibirme en su casa, por enseñarme y por hacer que mi primer experiencia en viajes sea inolvidable. Sobre todo por las personas que conocí y por lo que compartimos y aprendí.
A la Directora del Departamento de Formación Docente Mg. Inés Elichiribehety por escucharme y alentarme, por todo lo que me ha ayudado y por sus consejos.
A María por responder algunas de mis preguntas relativas a las imágenes, por sacarme una sonrisa todos los días, por todo lo que me ha ayudado y por las palabras que le he confiado. También a Vero, Pato y Ana por lo que compartimos, por lo que nos divertimos y acompañamos. En especial a Vero por todas las correcciones y sugerencia realizadas para mi tesis y por todo lo que me ha ayudado siempre.
A Ana Paula y Leo porque siempre están dispuestos a calmar mis locuras cuando algún problema matemático no sale y por todo lo demás que compartimos.
A mi familia, porque sin entender bien que es lo que hago siempre me apoyaron, y sobre todo a mis padres por la posibilidad de estudiar que me brindaron. A mis hermanos y cuñados, a mis sobrinos y ahijados, a mis primos por los buenos momentos que compartimos, por querernos tanto. También a Gody por todo lo que me ayudó siempre.
A mis amigas del alma y de la vida Sole y Silvina por estar siempre. En especial a Silvina por hacer que la tía tenga otro motivo que se llama Thiago.
A otro amigo del alma, al que le debo varios consejos y muchos mates amargos, a Totin. Por su amistad incondicional, porque siempre me acompañó y me ayudó en todo. En él a Silvina por su gran corazón para solucionar a cualquier precio todos los problemas y también por todos los momentos lindos.
INDICE
Resumen………. 1
Abstract………. 2
CAPÍTULO I: Demarcación y Justificación de la Investigación………. 3
I. Introducción y formulación del problema……….……..…… 4
II. Objetivos……..………….……….………. 5
III. Preguntas de la Investigación………....……….…. 6
IV. Metodología de la Investigación………..………….. 6
V. Organización de la presentación.……….……… 14
CAPÍTULO II: Marco teórico……….……….….……….. 16
I. Términos relacionados y posiciones frente a la Argumentación 17 II. Argumentación: punto de vista lingüístico y psicológico………... 18
III. Argumentación, revisión de perspectivas y construcción de Conocimiento….. 19
IV. Argumentación: algunos presupuestos básicos………... 22
V. Naturaleza de la Ciencia y características del Conocimiento Matemático……. 25
VI. Tradiciones de la Matemática………. 25
VII. Sistemas Axiomáticos Formales………….……… 28
VIII. Las concepciones de la matemática en el mundo antiguo……….. 30
IX. De la geometría de Euclides – Hilbert al surgimiento de las geometrías no euclideanas……….. 34
X. El nacimiento de una nueva geometría………... 36
XI. Consistencia y modelos………..……… 38
CAPÍTULO III: Análisis de los textos……… 43
I. Introducción……….….….……. 44
II. Análisis Cualitativo y presentación de resultados (1º Parte)..……… 44
III. Conclusiones parciales del análisis de los libros de texto y de las características de la Argumentación………... 69
IV. Análisis Cualitativo y presentación de resultados (2º Parte)……….…………. 74
V. Conclusiones parciales del análisis de la relación entre las Imágenes Externas y la Argumentación………..………... 92
VI. Estudio Factorial………. 95
VII. Análisis factorial de Correspondencias Múltiples y Clasificación………. 96
VIII. Conclusiones parciales del análisis cuantitativo de los datos………. 113
CAPÍTULO IV:Conclusiones…………...………..……… 117
I. Conclusiones parciales del análisis de los libros de texto y de las características de la Argumentación………... 118
II. Conclusiones parciales del análisis de la relación entre las Imágenes Externas y la Argumentación………..………... 123 III. Conclusiones parciales del análisis cuantitativo de los datos 126
1 RESUMEN
Este trabajo describe y analiza posibles modificaciones en la Argumentación matemática que presentan (N=137) libros escolares para el Nivel Medio editados entre los años 1940 y 2007. La descripción de la Argumentación Matemática a lo largo del tiempo se realiza estableciendo relaciones epistemológicas, didácticas y cognitivas. Se han revisado diversas perspectivas acerca de la Argumentación Matemática a saber: la Visión Formalista de la Matemática, la Visión Epistemológica de la Didáctica de la Matemática (Arsac, Chapiron, Colonna, Germain, Guichard, Mante, 1992; Arsac 1987; Recio, 1997, 1999; Godino, Recio, 2001) y también el enfoque de la Socio Epistemología en Educación Matemática (Crespo Crespo, 2005, 2006a, 2006b, Crespo Crespo, Farfán, 2005, 2006; D´Amore, 2005a, 2005b). Las perspectivas anteriores se han enriquecido con una concepción más amplia que considera las relaciones entre lenguaje, discurso, conocimiento y argumentación (Bakhtin, 1998; Banks Leite, 2004, 2007; Candela, 1998; Colinvaux, 2007; Goulart, 2004, 2007; Leitão, 2001, 2007; Leitão y Banks-Leite, 2006). Se adopta la noción de Argumentación propuesta por Leitão y se la utiliza para describir las características de los libros.
El análisis de los libros permite observar diferentes maneras de fundamentar y concebir a la Matemática de acuerdo al año de edición. Este cambio en las concepciones acerca de la Matemática como ciencia y de los diferentes tipos de razonamiento que se refleja en los textos, se describe mediante las Tradiciones: Axiomática, Estructuralista y Computacional en el sentido propuesto por Klimovsky y Boido (2005). Los textos más utilizados y representativos del Nivel Medio en el Sistema Educativo Argentino se seleccionan mediante muestreo intencional. A partir de categorías y subcategorías de análisis se realiza una descripción cualitativa de las características de los libros, de la Argumentación y de las imágenes. Luego, siguiendo los criterios del Análisis Exploratorio de Datos (Lebart, Morineau, 1994) se realiza una clasificación que agrupa al conjunto de textos considerados.
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This work describes and analyzes possible modifications in the mathematical Argumentation in one hundred and thirty seven (N=137) textbooks for secondary school students published between 1940 and 2007. The Mathematical argumentation description throughout the years is made by establishing epistemological, didactic and cognitive relations. Several perspectives have been revised about the mathematical argumentation such as the Mathematical Formalistic View, the Epistemological View of the Mathematical Didactics (Arsac, Chapiron, Colonna, Germain, Guichard, Mante, 1992; Arsac 1987; Recio, 1997, 1999; Godino, Recio, 2001) and also the Socio-Epistemological approach in Mathematical Education (Crespo Crespo, 2005, 2006a, 2006b, Crespo Crespo, Farfán, 2005, 2006; D´Amore, 2005a, 2005b). The previous perspectives have been enhanced with a broader conception which considers the relationships between language, speech, knowledge, and argumentation (Bakhtin, 1998; Banks Leite, 2004, 2007; Candela, 1998; Colinvaux, 2007; Goulart, 2004, 2007; Leitão, 2001, 2007; Leitão and Banks Leite, 2006). The notion of Argumentation proposed by Leitão is adopted and used to describe the characteristics of the textbooks.
The analysis of the textbooks facilitates the observation of different ways to base on and conceive Mathematics according to the year of edition. This change in the conceptions about Mathematics as a science, and in the different types of reasoning reflected in textbooks is described according to Axiomatic, Structural and Computational Traditions in the sense proposed by Klimovsky and Boido (2005). The mostly used and representative textbooks in the secondary school in the Argentinean Educational System are selected by an intentional sample. Taking into account categories and subcategories of analysis, a qualitative description is made of the characteristics of textbooks, of the Argumentation and of the images. Then, following the Exploratory Analysis of Data criteria (Lebart, Morineau, 1994) a classification is done, involving the textbooks under consideration.
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I. Introducción y formulación del problema
En este trabajo, el interés por el estudio de la Argumentación Matemática está dirigido a la propuesta de los libros de texto de Matemática en la Enseñanza Media. El problema surge de la necesidad de analizar como los textos han modificado la forma de argumentar en matemática a lo largo del tiempo con las consecuencias didácticas que esto supone. En particular, interesa describir las modificaciones que se originan con la implementación de la Reforma Educativa de 1994; teniendo en cuenta que dicho cambio originó la reformulación de la mayoría de los libros de texto, no así de los contenidos, adecuándolos a las características del nuevo Sistema Educativo.
La relevancia de estudiar las variaciones que se producen en torno a la Argumentación a lo largo del tiempo, deriva de las características identificadas en los libros de Matemática analizados; que obedecen a ciertas particularidades determinadas por el período en que fueron editados. Se evidencian modificaciones en la forma en que se inicia la Argumentación, en la manera de concebir a la Matemática, en los tipos de razonamientos empleados, en el tipo de actividades o situaciones que proponen, y sobre todo, cambios relacionados con cuestiones de “estética” de los libros, debido a la cantidad de colores y de imágenes que cambian en cada momento y que se incrementan a medida que los libros corresponden a ediciones mas recientes. A partir de esta observación, surge la necesidad de analizar el uso que se hace de estas Representaciones Externas y las características de las mismas en cada período en que son editados los ejemplares analizados.
Estos cambios instalan la problemática de analizar y describir las estrategias argumentativas que emplean los ejemplares en cada período de edición y para los distintos años de la escolaridad para los que están dirigidos, pudiendo distinguir cuales son los libros argumentativos de los que no lo son, de acuerdo al “grado de Argumentación” que poseen. Surge también el problema de establecer similitudes y diferencias relevantes en torno a la Argumentación en el conjunto de ejemplares analizados respecto de sus características distintivas. A partir de estas analogías y diferencias entre los libros, interesa encontrar particularidades que definan y expliquen las características de los libros, de la Argumentación y de las representaciones externas que los ejemplares analizados proponen.
Capítulo I ___________________________________________________
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Estos resultados podrían contribuir con la Enseñanza de la Matemática en el Nivel Medio y en particular con aquellos docentes en formación y en servicio que, por lo general consultan y utilizan estos libros, proporcionando a partir de esta investigación herramientas teóricas que les ayuden a reflexionar y sustentar decisiones didácticas que son responsabilidad suya.
El trabajo está justificado por el papel imprescindible del proceso de Argumentación, en el aprendizaje de la matemática en particular, y el humilde desempeño de los alumnos en la comprensión y elaboración continua de argumentaciones en el aula; dado que en las aulas de matemática de hoy, no se trabaja deliberadamente en la Argumentación; más bien se opta por la repetición de ejercicios, reduciendo el trabajo del alumno a copiar y reproducir el conocimiento propuesto por el profesor. Esta manera de enseñar y aprender matemática oculta el acceso a: el razonamiento, la prueba, la discusión, la posibilidad de compartir significados y la producción de un nuevo conocimiento. Una forma de favorecer los procesos de devolución a los alumnos de la responsabilidad matemática que les cabe, es mediante la interacción social, la producción de discursos y la posibilidad de compartir y construir significados. Teniendo en cuenta que en matemática, el contexto de producción de los argumentos, es diferente de los demás contextos de la actividad social, el tipo de comunicación entre los individuos que requiere la Argumentación matemática parece revestir características propias.
Se discuten las características de los libros de texto, el tipo de argumentación que estos proponen, y la relación que las imágenes externas y la Argumentación; analizando como los textos han modificado la forma de argumentar en matemática a lo largo del tiempo, discutiendo las implicaciones didácticas de estos cambios.
II. Objetivos
Objetivo(s) general(es)
1. Propiciar investigaciones que muestren a la Argumentación como constitutiva de procesos de construcción de conocimientos en el aula.
2. Contribuir a mejorar la enseñanza de la Matemática en el Nivel Medio.
Objetivo(s) Particular(es)
1. Describir las modificaciones producidas en la Argumentación matemática en los libros de textos escolares anteriores y posteriores a la reforma educativa de 1994.
2. Reconocer, describir y analizar las estrategias argumentativas empleadas por los libros para estudiar matemática en el Nivel Medio.
3. Clasificar e identificar las similitudes y diferencias en la Argumentación entre el conjunto de libros de textos analizados.
4. Describir y analizar las características de las imágenes externas y su relación con la Argumentación.
III.Preguntas de la Investigación
1.¿Cuáles son las diferencias y similitudes, en torno a la Argumentación matemática escolar entre los libros de texto anteriores y posteriores a la Reforma Educativa de 1994?
2.¿Es posible realizar una clasificación y encontrar semejanzas entre el conjunto de textos analizados, respecto de sus características distintivas?
3.¿Cómo varía el “grado de la Argumentación” en los diferentes períodos de edición considerados?
4.¿Cuáles son las estrategias argumentativas empleadas por dichos ejemplares en cada Período de Edición y en cada uno de los Años de Escolaridad para los que están dirigidos?
5.¿Cuáles son las características de las imágenes externas en cada uno de los períodos de edición estudiados, y cuál es la relación entre dichas representaciones y la Argumentación?
IV.Metodología de la Investigación
En esta investigación se analizan los textos para estudiar matemática en el Nivel Medio con el objetivo de describir cuales son las modificaciones producidas en la Argumentación en los libros editados entre 1940 y 2007. Se analiza como varía el Tipo de Argumentación, el modo en que se inicia la Argumentación, el grado de Argumentación y con que Tradiciones de la Matemática podría identificarse cada ejemplar en cada momento. Se muestra como se vinculan las características de los libros de texto y de la Argumentación, y también la relación entre las imágenes externas y la Argumentación Matemática; con el objetivo de determinar algunas características distintivas entre el total de ejemplares estudiados.
Para llevar a cabo la investigación, se realiza un muestreo intencional y se seleccionan los textos más utilizados y representativos del Nivel Medio en el Sistema Educativo Argentino y en el caso de los libros correspondientes a los cursos de Ingreso se seleccionan los de las facultades de Ciencias Exactas y Económicas de nuestra Universidad, y se muestran en Anexo I. Se estudian (N=137) ejemplares y se utilizan técnicas de análisis y meta-análisis como las que se emplean para analizar protocolos de entrevistas. De cada uno de los ejemplares se analizan dos capítulos con el objetivo de estudiar la Argumentación en identidades y ecuaciones, y en el uso y propiedades de los triángulos. En caso de ser posible se analizan ambos capítulos y de lo contrario uno de ellos. La tabla que resume y muestra los capítulos que se analizan de cada ejemplar, corresponde al Anexo II.
Capítulo I ___________________________________________________
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produjo una sustitución y/o reformulación de los libros de texto, no así de los contenidos; adaptándolos a las características y requerimientos del Sistema Educativo y Diseños curriculares propuestos con la reforma.
La mayoría de los textos analizados corresponden a ediciones posteriores a la Reforma Educativa por la gran cantidad de ejemplares que se editaron como consecuencia de la misma. Esta reforma produjo una sustitución de los libros anteriores a dicho cambio por otros que se ajustaran a los requerimientos del nuevo Sistema, y fue masiva la cantidad de libros que se editaron en comparación con lo años anteriores. Por tal motivo, mayoritariamente se analizan ejemplares correspondientes a ediciones posteriores a la Reforma, que en total son (N=84); destinados a la EGB3 y Polimodal. Se analizan (N=34) libros correspondientes a Primero, Segundo, Tercero, Cuarto y Quinto año de la “antigua Secundaria”; correspondientes estos al período pre reforma y (N=19) libros editados entre 1940 y 1974 correspondientes a los distintos ciclos de la educación secundaria y las escuelas nacionales de comercio, vigentes en ese momento.
Esto produjo una categorización inicial en tres metacategorías: (1) características de los libros de texto, (2) características de la Argumentación y (3) relación entre las imágenes externas y la Argumentación. Luego inductivamente se generaron categorías y subcategorías de análisis que se ajustan a las características de los libros de texto y al marco teórico de la Investigación.
Las categorías y subcategorías generadas se muestran y resumen en la Tabla III.1, y se definen a continuación.
Tabla I.1
A - Características de los libros de texto A1.1 PER1 (Entre 1940 y 1973)
A1.2 PER2 (Entre 1974 y 1994)
A1 – PERI (Período de Edición)
A1.3 PER3 (Entre 1995 y 2007)
A2.1 ESC1 (De 7 a 9)
A2.2 ESC2 (De 10 a 12)
A2 – ESCO (Año de Escolaridad)
A2.3 INGR (Ingreso)
A3.1 COMP (Tradición Computacional)
A3.2 AXIO (Tradición Axiomática)
A3 – TRAD (Tradiciones)
A3.3 ESTR (Tradición Estructuralista)
B – Características de la Argumentación B1.1 PREG (Pregunta)
B1.2 DEFI (Definición)
B1 – INAR (Inicio de la Argumentación)
B1.3 EJEM (Ejemplo)
B2.1 DEFO (Deductiva Formal)
B2.2 DEIN (Deductiva Informal)
B2 – TIAR (Tipo de Argumentación)
B2.3 INDU (Inductiva)
B3.1 ALTO
B3.2 MEDI
B3 – GRAD (Grado de Argumentación)
C – Relación entre Imágenes Externas y Argumentación C1.1 IMOR (Ornamental)
C1 – USOI (Uso de la
Imagen) C1.2 IMAR (Argumentativa)
C2.1 MATE (Representaciones matemáticas
C2 – TIIM (Tipo de Imagen)
C2.2 EXMA (Representaciones extra matemáticas)
C3.1 CONC (Conceptual)
C3 – ESTI (Estilo gramatical
de la Imagen) C3.2 NARR (Narrativa)
C4.1 NATU (Naturalista)
C4 – REEM (Relación con el
“mundo que vivimos”) C4.2 ABST (Abstracta)
A- CARACTERÍSTICAS DE LOS LIBROS DE TEXTO
A1- Período de edición del libro (PERI): Hace referencia al año de la primera edición del libro, para hacer una clasificación del tipo:
A1.1- Entre 1940 y 1973 (PER1): Libros de texto editados entre 1940 y 1973. Se identifican 19 textos.
A1.2- Entre 1974 y 1994 (PER2): Libros de texto editados entre 1974 y 1994, anteriores a la reforma educativa implementada en 1995. Se identifican 34 textos
A1.3- Entre 1995 y 2007 (PER3): Libros de texto editados entre 1995 y 2007, correspondientes a la reforma educativa vigente desde 1995. Se identifican 84 libros en esta modalidad.
A2- Año de escolaridad (ESCO): Se refiere al “año de escolaridad” al que se dirigen los libros de texto. Las subcategorías son:
A2.1- De 7 a 9 (ESC1): Libros de texto dirigidos a la escolaridad 7, 8 y 9; correspondientes a los alumnos entre 12 y 14 años. Se identifican 76 ejemplares.
A2.2- De 10 a 12 (ESC2): Libros de texto dirigidos a la escolaridad 10, 11, 12 correspondientes a los alumnos entre 15 y 17 años. Se identifican 49 ejemplares.
A2.3- Ingreso (INGR): Libros de texto dirigidos a alumnos que cursan el ingreso a la Universidad, correspondientes a estudiantes a partir de los 18 años. Se identifican 12 ejemplares.
A3- Tradiciones (TRAD): En la historia de la matemática habrían existido tres grandes tradiciones, con metodologías distintas para cada una; denominadas: axiomática, computacional y estructural. Como se ha descrito en el Capítulo II, pág. 15 correspondiente al Marco Teórico, estas direcciones se describen de la siguiente manera:
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problemas de cálculo, en los números, y en las operaciones que se puedan realizar con ellos. Se identifican 101 libros.
A3.2- Tradición Axiomática (AXIO): Es asumida por los libros que comienzan ofreciendo definiciones, proponen principios y utilizando las formas correctas de razonamiento, se deducen a partir ellos los teoremas y se presentan los pasos de las demostraciones respectivas. Se identifican 25 libros.
A3.3- Tradición Estructuralista (ESTR): Es asumida por los libros que muestran al trabajo matemático como búsqueda de regularidades y entendimiento de estructuras que cumplen una misma serie de condiciones. Se identifican 11 libros.
B- CARACTERÍSTICAS DE LA ARGUMENTACIÓN
B1- Inicio de la Argumentación (INAR): Hace referencia al modo en que se inicia cada capítulo:
B1.1- Pregunta (PREG): Libros de texto que comienzan formulando una cuestión, mediante una situación problema o preguntas, que generalmente más tarde se responden. Se identifican 53 ejemplares.
B1.2- Definición (DEFI): Libros que comienzan empleando definiciones para introducir un nuevo conocimiento. Se identifican 60 ejemplares.
B1.3- Ejemplos (EJEM): Libros de texto que utilizan ejemplos para introducir un contenido, a partir de los cuales, el conocimiento puede ser generalizado. Se identifican 24 ejemplares.
B2- Tipo de Argumentación (TIAR): Se refiere a si los libros de texto adoptan argumentaciones de tipo deductivas, sean estas formales o informales o si por el contrario argumentaciones inductivas.
B2.1- Argumentación Deductiva Formal (DEFO): Se presenta en los textos que optan por una argumentación matemática deductiva, de carácter más o menos formal, pudiendo llegar hasta el método axiomático. Los libros que se identifican con esta subcategoría que en total son 25 se caracterizan por proponer: definición, teorema, hipótesis, tesis, demostración, teorema recíproco y ejercicios de aplicación.
B2.2- Argumentación Deductiva Informal (DEIN): Se refiere a aquellos textos que emplean argumentaciones deductivas; sin necesidad de alcanzar el formalismo en los pasos de las demostraciones que caracterizan a los ejemplares identificados con la Argumentación Deductiva Formal. Se identifican 39 ejemplares.
B3- Grado de la Argumentación (GRAD): Como se describe en el capítulo II pág.8, correspondiente al Marco Teórico; Leitão (2001, 2007) define la argumentación como una actividad de naturaleza discursiva en la cual la diversidad de ideas y puntos de vista son negociados, con el objetivo de alcanzar la aceptabilidad de un punto de vista en cuestión. Se analizan situaciones donde la argumentación se genera en ausencia de un interlocutor, cuando un individuo se involucra en una argumentación consigo mismo, con el libro de texto (argumentación autodirigida). De esta manera, se hablará de “grado de argumentación” según el libro posibilite explícitamente la generación de un conflicto cognitivo, que puede ser resuelto mas adelante o quede a cargo del alumno lector, o por otro lado, si sólo se busca informar.
B3.1- ALTO: Libros cuyo discurso intenta generar explícitamente algún tipo de confrontación, sin resolverlo en el texto. Se identifican 5 ejemplares.
B3.2- Medio (MEDI): libros que intentan generar explícitamente algún tipo de conflicto cognitivo, que el texto resuelve mas adelante. Se identifican 51 ejemplares.
B3.3- NULO: (Leitão, noviembre 2007; comunicación personal) libros que informan. Se identifican 81 libros.
C- RELACIÓN ENTRE LAS IMÁGENES EXTERNAS Y LA ARGUMENTACIÓN
C1. Uso de la Imagen (USOI): Se hace referencia al uso que se hace de las imágenes, identificando por un lado, aquellas que son implementadas para facilitar la comprensión del texto, y por otro, aquellas que tienen un fin estético. Para determinar con que subcategoría se identifica cada ejemplar, se cuenta la cantidad de imágenes usadas con fines ornamentales y argumentativos en cada capítulo y se decide como consecuencia a que subcategoría corresponde cada ejemplar.
C1.1- Ornamental (ORNA): Caracteriza a los libros en los que
mayoritariamente se usan las imágenes con un fin decorativo, no estrictamente relacionadas al contenido. Se identifican 37 libros.
Capítulo I ___________________________________________________
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C2. Tipo de Imagen (TIPO): Los textos se caracterizan según el tipo de imagen que predomina en cada uno de ellos. Esta variable presenta dos modalidades:
C2.1- Representaciones matemáticas (MATE): Imágenes que potencialmente aportan a la argumentación en lenguaje matemático. Se identifican 93 ejemplares.
C2.2- Representaciones extra matemáticas (EXMA): Imágenes que no aportan a la argumentación en lenguaje matemático. Se identifican 44 libros.
C3. Estilo gramatical de la Imagen (ESTI): El lenguaje visual puede ser considerado como una estructura con funciones análogas a las del lenguaje verbal. Usando esta idea, Kress & van Leween (1996) proponen una gramática de la comunicación visual basada en considerar a las imágenes como “mensajes estructurados”. En su trabajo, clasifican a las imágenes en dos grandes clases: Narrativas y Conceptuales y las definen de la siguiente manera.
C3.1- Conceptual (CONC): Imágenes que representan relaciones y
C3.2- Narrativa (NARR): Imágenes que muestran acciones entre los objetos participantes, y es posible construir con ellas alguna narración – una dimensión temporal- que representa una relación transaccional entre los objetos que las componen. Dicha relación se representa por medio de un vector que los vincula. Se identifican 36 ejemplares.
C4. Relación con el “mundo que vivimos” (REEM): Según se refieran o no, a aspectos del mundo empírico, las imágenes pueden ser Naturalistas o Abstractas.
C4.1- Naturalista (NATU): imágenes que hacen referencia directa al mundo que experimentamos. Son imágenes detalladas y complejas. Se identifican 44 libros.
Capítulo I ___________________________________________________
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A partir de estas categorías y subcategorías de análisis se realiza una descripción cualitativa de las características de los libros, de la Argumentación y de las imágenes; que originó un primer análisis. Luego la categorización se transformó en un conjunto de variables nominales y modalidades siguiendo los criterios del Análisis Exploratorio de Datos (Lebart, Morineau, 1994).
Para considerar la posibilidad de realizar de un estudio empleando técnicas cuantitativas, se realizó un Análisis de Contingencia entre las variables, que mostró la existencia de asociaciones significativas entre un conjunto de ellas. En virtud de este análisis, se decidió fusionar las modalidades de algunas variables, haciéndolas dicotómicas y se redujo el número de modalidades a aquellas que efectivamente presentaban asociación significativa. Esto originó el conjunto de 10 variables que aparecen el la Tabla III.2 y la re-categorización de todo el conjunto de textos a partir de ellas. Las variables y modalidades que se redefinen, se describen a continuación de la Tabla. La matriz de análisis ahora es una tabla de doble entrada, que contiene como filas individuos (en este caso (N=137) libros de texto) y como columnas a las diferentes modalidades (en total 24) generadas.
Tabla I.2
1- PERI (Período de edición) 1.1 - PER1
(Entre 1940 y 1973)
1.2 -PER2
(Entre 1974 y 1994)
1.3 - PER3
(Entre 1995 y 2007)
2- ESCO (Año de escolaridad) 2.1 - ESC1
(De 7 a 9)
2.2 - ESC2
(De 10 a 12)
2.3 - INGR
(Ingreso)
3-TRAD(Tradiciones) Características
de los libros de texto
3.1 - COMP
(Computacional)
3.2 – AXIO
(Axiomática)
3.3 – ESTR
(Estructuralista)
4-INAR(Inicio de la argumentación) 4.1 - PREG
(Pregunta)
4.2 - DEFI
(Definición)
4.3 - EJEM
(Ejemplo)
5- TIAR (Tipo de argumentación) 5.1 - DEDU
(Deductiva)
5.2 - INDU
(Inductiva)
6-ESTI (Estilo de la argumentación) Características
de la Argumentación
6.1 - ARSI
(Argumentativo)
6.2 ARNO
(No Argumentativo / Mostrativo)
7-USOI (Uso de la imagen) 7.1 - IMOR
(Ornamental)
7.2 - IMAR
(Argumentativa)
8-TIIM (Tipo de imagen) 8.1 - MATE
(Representaciones matemáticas)
8.2 - EXMA
(Representaciones extra matemáticas)
9- ESTI (Estilo gramatical de la imagen) 9.1 - CONC
(Conceptual)
9.2 - NARR (Narrativa)
10- REEM (Relación con el “mundo que vivimos”) Relación entre
Imágenes Externas y Argumentación
10.1 - NATU
(Naturalista)
10.2 - ABST
Las modalidades que se decide fusionar corresponden a las variables Tipo de Argumentación y Estilo de Argumentación (antes Grado de Argumentación). La variable Tipo de Argumentación tiene dos modalidades asociadas que describen a los libros de texto que optan por argumentaciones matemáticas de tipo deductiva o inductiva. La modalidad Argumentación Deductiva resulta de fusionar las modalidades Argumentación Deductiva Formal e Informal y la modalidad Argumentación Inductiva coincide con la descripción anterior. La variable Estilo de Argumentación tiene ahora asociadas dos modalidades: Argumentativo y No argumentativo. La primera resulta de fusionar las modalidades que describen el Grado de Argumentación Alto y Medio y la segunda coincide con la descripción de Grado de Argumentación Nulo.
Al conjunto de datos se le aplicaron técnicas multivariadas, específicamente se realizó un Análisis Factorial de Correspondencias Múltiples (Benzécri, 1980; Lebart, Morineau, Fenelon, 1985). El análisis consiste en la elaboración de tablas que resumen las p características observadas sobre n unidades de observación. Procediendo a la reducción conceptual de dimensiones de los datos se deriva al análisis simultáneo de las relaciones que pueden ser establecidas entre las diversas variables involucradas en el estudio.
El Análisis Factorial de Correspondencias Múltiples permitió la realización de una clasificación (Benzécri, 1985) que procuró la formación de clases que surgen de los datos mismos, permitiendo identificar las similitudes y diferencias entre los (N=137) libros analizados. Se busca encontrar una partición del conjunto de textos en partes bien separadas y que su vez reúnan los libros más próximos entre sí. El resultado esperado es una tipología, entendida como el conjunto coherente de clases formadas por agrupamientos de los textos relativamente homogéneos. El análisis de los datos se realizó utilizando en paquete SPAD 3.5. Por último y para descartar la posibilidad de una distribución azarosa de los datos, se realiza un test de aleatoriedad para dotar al trabajo de mayor confiabilidad.
IV. Organización de la presentación
El trabajo consta de cinco capítulos y dos anexos organizados de la siguiente manera:
En el Capítulo I, se delimita el problema de la investigación. Se menciona cual es el estado actual del conocimiento sobre la cuestión y se definen los objetivos y las preguntas de la misma. Se presenta la metodología de la Investigación y se construyen y describen las categorías de análisis.
En el Capítulo II, se describe el estado del arte acerca de la Argumentación en matemática. Se presenta el desarrollo de la Teoría de Argumentación de Selma Leitão y se hace una breve reseña histórica donde se muestra la necesidad de fundamentar Matemática. Se muestran algunas razones que permitan “indagar” sobre las prácticas matemáticas, los tipos de razonamientos empleados en la misma, las herramientas utilizadas por los matemáticos a lo largo del tiempo y la importancia de por qué hay que estudiar dicha ciencia.
Capítulo I ___________________________________________________
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de análisis que condujo a una primera categorización y a una descripción de las características de los textos, de la Argumentación y de la relación entre las imágenes y la Argumentación Matemática. A partir del análisis anterior, las categorías se transforman en un conjunto de variables nominales y modalidades siguiendo los criterios del Análisis Exploratorio de Datos (Lebart, Morineau, 1994) y se realiza un análisis cuantitativo, previa dicotomización de algunas modalidades. Este último análisis colabora con el análisis cualitativo en la organización de la información
En el Capítulo IV, se presentan las Conclusiones, reflexiones generales y finales de la investigación
El Capítulo V corresponde a la bibliografíade la Investigación.
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Capítulo II ___________________________________________________
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MARCO TEÓRICO
I. Términos relacionados y posiciones frente a la Argumentación
El problema de la Argumentación Matemática ha sido abordado desde la Visión Formalista de la Matemática, la Visión Epistemológica de la Didáctica de la Matemática (Arsac, Chapiron, Colonna, Germain, Guichard, Mante, 1992; Arsac 1987; Recio, 1997, 1999; Godino, Recio, 2001) y también desde la Socio Epistemología en Educación Matemática (Crespo Crespo, 2005, 2006a, 2006b, Crespo Crespo, Farfán, 2005, 2006; D´Amore, 2005a, 2005b)
La Visión Formalista de la Matemática (la de los matemáticos), es la que se basa en el enfoque formalista de esta Ciencia, perspectiva propia de la lógica y del estudio de los fundamentos de la matemática. Primero Hilbert con la creación de la disciplina denominada metamatemática, luego con el método de: la axiomatización de la matemática, la traducción de sistemas de axiomas al lenguaje simbólico -con el objetivo de transformar a los axiomas en fórmulas para ejecutar cálculos-, y la obtención de las propiedades de los objetos matemáticos, se hace hincapié en la aplicación de reglas precisas para obtener una conclusión a partir de la verdad de los axiomas. De esta manera, dentro de esta Visión Formalista podría concebirse a la Argumentación como una actividad que consiste en la aplicación de las reglas de inferencia dentro del sistema formal con el objetivo de llegar al teorema, cuya verdad se reduce a la coherencia dentro de dicho Sistema Axiomático, dando suma importancia a la demostración como una forma de Argumentación.
La Visión Epistemológica de la Didáctica de la Matemática considera que si bien las motivaciones para argumentar en el aula son epistemológicas (como es la matemática), al aceptarlas como tal, deben confrontarse problemas didácticos. No se entiende a la Argumentación como un camino directo hacia la construcción de Sistemas Axiomáticos dado que, por el carácter de la prueba matemática, se provoca la desaparición del actor, del discurso y del contexto. Para los libros de textos, los Contenidos Básicos y los profesores de matemáticas del Nivel Medio, en general los teoremas matemáticos son necesariamente verdaderos; pero las argumentaciones que establecen esa verdad son, en el mejor de los casos, argumentaciones deductivas informales y con frecuencia argumentaciones no deductivas. De acuerdo con esta visión, la argumentación no necesita responder a criterios de validez, ya que sólo busca lograr el convencimiento del interlocutor o de si mismo.
conjunto de los cuatro componentes antes mencionados, permite comprender al conocimiento como una construcción socio-cultural.
Además de la Visión Formalista de la Matemática, la Visión Epistemológica de la Didáctica de la Matemática y la Socio Epistemología en Educación Matemática, en las últimas décadas, se ha notado un interés creciente por el estudio de las relaciones entre lenguaje/discurso, conocimiento y argumentación (Bakhtin, 1998; Banks Leite, 2004, 2007; Candela, 1998; Colinvaux, 2007; Goulart, 2004, 2007; Leitão, 2001, 2007; Leitão y Banks-Leite, 2006).
II. Argumentación: punto de vista lingüístico y psicológico
En este trabajo interesa comprender la Argumentación en el sentido que le atribuye Leitão; analizando a partir de este referente, cuales son las características de los libros que explícitamente posibilitan al lector insertarse en procesos de negociación de divergencias consigo mismo.
Se estudia por un lado, la existencia de argumentación -en un sentido estricto del término- en un espacio de negociación (en situaciones cara a cara; o en ausencia de un interlocutor) como recursos de mediación en procesos de construcción y transformación del conocimiento, y desencadenando en los individuos, un proceso de revisión de sus perspectivas. Mientras que por otro lado, en un sentido amplio, se considera que la argumentación es inherente a los principios dialógicos de los enunciados (todo enunciado es producido intencionalmente en la dirección de otro). Se considera que “enunciar es argumentar” (Goulart, 2007), es “actuar” sobre los otros, lo que significa que va mas allá de comprender y responder enunciados.
La argumentación entonces, es aquí concebida como una actividad discursiva que se caracteriza por la defensa de puntos de vista y consideración de perspectivas contrarias. La necesidad comunicativa de compartir, discutir y defender un punto de vista, crea en el discurso un proceso de negociación en el cual las concepciones sobre el conocimiento son formuladas, revisadas y transformadas. Partiendo de esta idea, interesa comprender el papel mediador de la argumentación en la construcción de conocimiento como así también el proceso de negociación entre perspectivas contrarias, porque por un lado confiere a la argumentación un potencial epistémico (como mediador en procesos de construcción de conocimiento); y por otro, porque el impacto de la argumentación sobre la construcción del conocimiento “compromete” al argumentador en un proceso de revisión de sus propias perspectivas.
Se asume que la argumentación es por definición un fenómeno dialógico. Las relaciones dialógicas1 son posibles no solo entre enunciados completos (relativamente completos); sino que un abordaje dialógico es posible en relación a cualquier parte significante de un enunciado, en relación a una sola palabra. Las voces que la constituyen tienen su origen no solo en interlocutores presentes en la situación inmediata en que la argumentación es
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producida; sino también en una multiplicidad de artefactos (libros, grabaciones), y mas aún, en el discurso interior2, en situaciones en que la argumentación se genera en ausencia de un interlocutor en el ambiente de su producción (escritura, interpretación); o en situaciones donde un individuo se involucra en una argumentación consigo mismo: Argumentación Autodirigida.
La adopción de una epistemología dialógica como marco de referencia para el estudio de las relaciones entre lenguaje/discurso, argumentación y conocimiento, implica no solo que la argumentación debe ser investigada como una actividad dialógica en el curso del cual la divergencia entre puntos de vista se examinan y negocian; sino que su estructura y funcionamiento estarán afectados por el entorno social en que se produce; atendiendo a una posible heterogeneidad en los discursos provocada por la heterogeneidad en los procesos cognitivos que se engendran a partir de ellos. De acuerdo con lo anterior, y aunque no haya consenso de cuántas y cuales serían las fases de una secuencia argumentativa, Leitão (2007) establece que ésta incluiría: formulación de un punto de vista, apreciación de elementos que orientan para la aceptación de un punto de vista, consideración de elementos que restringen esta posibilidad y establecimiento de conclusiones que evidencian la consideración de pros y contras llevadas a cabo en las fases precedentes.
III.Argumentación, revisión de perspectivas y construcción de Conocimiento
Leitão (2001, 2007) define a la argumentación como una actividad discursiva específica, donde las diferencias entre puntos de vista son negociadas. Las propiedades semióticas que definen a la argumentación le confieren un mecanismo inherente de aprendizaje que lo constituye como recurso privilegiado de mediación en procesos de construcción de conocimiento. Los movimientos discursivos de justificación de puntos de vista y respuesta a perspectivas contrarias, crean en el discurso un proceso de negociación en el cual concepciones respecto del mundo son continuamente formuladas, revisadas y, eventualmente transformadas.
La confrontación con la oposición, sumado a la necesidad dialógica de responder, abre el punto de vista del argumentador a la revisión, proceso fundamental para que los cambios de perspectivas puedan eventualmente ocurrir. En los procesos dialógicos de argumentación, posiciones contrarias se interrogan, desafían mutuamente, en un flujo dinámico que obliga al argumentador a responder -evaluar- la oposición de modo deliberado y consciente. Resulta interesante poder describir qué aspectos de la actividad argumentativa se deberían analizar, de modo que sea posible aprehender, en el plano cognitivo-discursivo la revisión de perspectivas implementadas en -y por- la Argumentación; y en el plano epistémico, el impacto de este proceso en la constitución de conocimiento del individuo sobre los contenidos respecto de los cuales argumenta.
En la perspectiva de Leitão, tres elementos como mínimo, constituyen una unidad de análisis efectiva para este propósito: argumento, contra-argumento y respuesta.
2
Argumento Contra-argumento Respuesta
(Leitão, noviembre 2007; comunicación personal)
La idea de unidad de análisis aplicada a este conjunto de elementos implica que el análisis de cualquiera de ellos (o de un subconjunto de ellos) por separado no permitiría capturar el proceso de revisión de perspectivas3 que la argumentación pone en marcha. Esta afirmación no impide que se reconozca que cada uno de estos elementos contribuye de forma específica en la implementación de la propia actividad argumentativa (función discursiva), en la instalación de procesos de revisión (función psicológica) y en la transformación del conocimiento (función epistémica).
El primer elemento, Argumento, consiste en un conjunto de puntos de vista y prueba pudiendo -uno y otro- permanecer implícitos en las argumentaciones cotidianas efectivamente producidas. El argumento identifica el punto de vista que su proponente procura establecer, como también las razones en las que el sujeto se apoya (función discursiva). En términos de funcionamiento cognitivo del sujeto, el argumento establece el punto de referencia en relación al cual el proceso de revisión de perspectivas se instala en las fases subsecuentes a la Argumentación (función cognitiva). Por último los contenidos que forman un argumento adquieren el status momentáneo de conocimiento del sujeto sobre un tema (función epistémica).
El segundo componente, o Contra-argumento, captura cómo la confrontación con elementos de oposición (referidos como contra-argumentos) desencadenan en el discurso un proceso reflexivo que lleva a la revisión de las afirmaciones hechas (función psicológica). Desde el punto de vista discursivo, la presencia del contra-argumento trae para el discurso una dimensión diferente e indispensable a la ocurrencia de la argumentación (función discursiva). Del punto de vista epistémico el contra-argumento trae a la discusión diferentes posibilidades de organización del conocimiento, en dirección a los cuales el conocimiento actual del argumentador se puede eventualmente transformar (función epistémica).
Finalmente, el tercer elemento, la Respuesta, es definido como la reacción - inmediata o tardía, distante- del proponente de un argumento a la oposición. Su ocurrencia marca la toma de conciencia del individuo en relación a concepciones que se contraponen a sus posiciones y la forma como a ellas reaccionan, refutándolas o incorporándolas, parcial o completamente a sus propias posiciones (función psicológica). Del punto de vista epistémico, la identificación de la respuesta es considerada un paso particularmente crítico, un análisis que busca capturar el impacto de la confrontación de perspectivas sobre el conocimiento del individuo. La comparación entre la formulación inicial del argumento y la reanudación de este, en respuesta a contra-argumentos, es el recurso analítico que permite capturar eventuales cambios o modificaciones en las posiciones inicialmente defendidas. Su presencia captura el estatuto fundamentalmente dialógico de la unidad de análisis postulada.
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Capítulo II ___________________________________________________
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Se pueden señalar entonces dos propiedades semiótico-dialógicas –como fundamentales- que caracterizan a la Argumentación. Estas son: defensa de posiciones y respuestas a la oposición. De estas se derivan tres movimientos discursivos: formulación y defensas de punto de vista (argumento), consideración de alternativas (contra-argumento) y revisión de puntos de vista (respuesta a la oposición). Los movimientos discursivos que constituyen a la Argumentación desencadenan la revisión de perspectivas, vistas como un aspecto esencial en el proceso de Construcción de conocimiento (mecanismo de aprendizaje). La constitución de manera simultánea, de los movimientos que caracterizan a la Argumentación y las funciones antes mencionadas, se detallan en la Tabla II.1.
Tabla II.1 Función Discursiva Función Psicológica Función Epistémica Argumento Identifica posiciones defendidas
Se establece el punto de partida
para la revisión
Indica la organización actual del conocimiento Contra- argumento Establece una dimensión “diferente” Desencadena procesos de revisión Apunta posibles organizaciones del conocimiento. Respuesta Identifica los resultados de la
negociación
Cierre del resultado de la
revisión
Captura la reorganización
del conocimiento
(Leitão, noviembre 2007; comunicación personal)
Esquema I
De la misma manera, pero en menor cantidad de ocasiones puede suceder que el punto de vista sea preservado en la forma inicialmente presentada, tratado como reorganizaciones de conocimiento.
“A (re)afirmação de um ponto de vista após a contestação de um contra-argumento ou a incorporação de partes daquele ao próprio argumento são consideradas experiências construtivas no plano epistêmico – em ambos os casos, é uma perspectiva exposta a contestação e sujeita a exame que é agora reafirmada” (Leitão, 2007).
IV.Argumentación: algunos presupuestos básicos
Concebir la Argumentación como una actividad dialógica implica que su estructura y funcionamiento están afectados por las características sociales en que son producidas. De acuerdo con lo anterior, la Argumentación sólo puede ser comprendida y adecuadamente investigada en relación a ciertas particularidades: tipo de interlocutor, grado de polémica del tema, peculiaridades del dominio de conocimiento en que se desarrolla el tema, objetivos comunicativos de los estudiantes y restricciones ideológicas institucionales impuestas por el contexto de Argumentación. Además de dichas particularidades, hay que tener en cuenta que las voces que constituyen la Argumentación tienen su origen no solo en interlocutores presentes en la situación inmediata en que la argumentación es producida, sino que también en una multiplicidad de artefactos disponibles en la cultura (libros, grabaciones) o en el llamado discurso interior4.
Es necesario tener en cuenta que la Argumentación también envuelve un proceso de negociación entre diferentes instancias de enunciación (no necesariamente diferentes individuos) que asumen los papeles dialécticos de proponente y oponente, en relación
4
Las relaciones dialógicas son posibles en relación a su propio enunciado como un todo, en relación a sus partes separadas, en relación a una sola palabra en su interior.
Argumento
A1
Contra-Argumento
C1
C1 Descartado – A1 Preservado
C1 Restringido – A1 Preservado
C1 Integrado – A1 Modificado
C1 Aceptado – A1 Retirado
Argumento
A2
Respuesta
no necesariamente
Tiempo
se preserva
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con los puntos de vista discutidos. El papel del proponente es ofrecer elementos que den sustento al punto de vista y responder a las críticas y perspectivas alternativas propuestas por el oponente para la discusión; y el oponente trae a la discusión dudas, contra-argumentos y perspectivas alternativas que ponen en duda las posiciones del oponente.
Estas instancias de enunciación no deben ser entendidas en un sentido normativo que implique la necesidad de que todas aparezcan de modo explícito en el texto. Es posible que estos procesos de construcción de conocimiento sean producidos cuando un sujeto se involucra en un proceso de negociación de divergencias consigo mismo, marcado por la justificación de posiciones y por el examen y respuesta a las perspectivas contrarias (oponente imaginario).
La justificación de puntos de vista, la consideración de ideas alternativas, la oportunidad de compartir significados (aunque consigo mismo), la interacción social, crean en el discurso un espacio de negociación en el cual las concepciones de los individuos son reformuladas, transformadas. Por tal motivo, interesa el papel constitutivo de la argumentación en la construcción del conocimiento.
Para este trabajo es importante la noción de Argumentación Autodirigida como una actividad discursiva privilegiada en relación a los procesos de construcción de conocimiento. En ella el argumentador es confrontado con perspectivas alternativas generadas consigo mismo, a las cuales también se necesita responder. Esta necesidad de encontrar respuestas a estas perspectivas alternativas, “lleva” al individuo a la revisión de sus propias perspectivas sobre el tema discutido, generando la oportunidad de modificar las mismas. Más en particular, interesan los procesos de construcción de conocimiento y revisión de perspectivas que son implementados cuando un sujeto se involucra en un proceso de negociación de divergencias consigo mismo y con los libros de texto, marcado por la justificación de posiciones y por el examen y respuesta a las perspectivas contrarias.
Son tres los atributos básicos que diferencian y definen a este tipo de Argumentación donde el individuo hace de oponente y crítico del mismo argumento. Estos componentes son la dialogicidad, la dialecticidad y la reflexividad. La dialogicidad captura la diversidad del lenguaje indispensable para que el sujeto argumente consigo mismo; el segundo atributo, la dialecticidad posibilita compartir puntos de vista desencadenando en el individuo un movimiento de autorregulación que orienta sus discursos para la búsqueda de la solución o respuesta buscada; y por último, la reflexividad posibilita la existencia de una relación reflexiva entre el individuo que piensa, habla y el objeto de su pensamiento o discurso.
ARGUMENTACIÓN
CONSTRUCCIÓN DE CONOCIMIENTO
RESPUESTA
CONTRA - ARGUMENTO
ARGUMENTO
PROPONENTE OPONENTE
Justificación de un
punto de vista
Oposición
Perspectivas
alternativas
Dudas
ARGUMENTACIÓN
AUTODIRIGIDA
ACTIVIDAD
DIALÓGICA
ENTORNO
SOCIAL
Tipo de interlocutor
Grado de polémica del
tema
Objetivos comunicativos
de los sujetos
Restricciones
ideológicas
PRESENCIA DE
UN
INTERLOCUTOR
AUSENCIA DE
UN
INTERLOCUTOR
Libros
Grabaciones
Escritura
Discurso interior
Implementados Reduce la aceptación
NEGOCIACIÓN, CONFRONTACIÓN Y ACUERDOS ENTRE PUNTOS DE VISTA
ParticularidadesEs
concebida Afectadas por
Proceso de negociación
Constituyen la
Puede darse
IMAGINARIO Teniendo en
cuenta
De acuerdo a
Afectado por
Usada
posteriormente
Sometido a un nuevo
Capítulo II
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V. Naturaleza de la ciencia y características del Conocimiento Matemático
Como se describió en los párrafos anteriores, la Argumentación sólo puede ser comprendida y adecuadamente investigada en relación a ciertas particularidades como tipo de interlocutor, grado de polémica de la cuestión y particularidades del conocimiento en que se desarrolla el tema. Estas características pueden ser analizadas si se tiene en cuenta que el contexto de Argumentación está mediado por las particularidades del grupo de alumnos inmersos en procesos de construcción de conocimientos, por el espacio que se propicie a los estudiantes para discutir y construir el conocimiento, y por las diferentes formas de fundamentar los razonamientos en matemática abordados por el alumno. En particular y en esta investigación, se tendrá en cuenta la propuesta de los libros de texto, y a partir de las características argumentativas y los tipos de razonamientos empleados en los ejemplares que se estudian, se podrán inferir el tipo de interlocutor y el grado de confrontación que explícitamente generaría el libro sobre el lector.
Del análisis de los libros para estudiar Matemática en el Nivel Medio, se observa que hay diferentes maneras de fundamentar y concebir a la Matemática de acuerdo al año en que son editados los ejemplares. Para poder describir estos cambios relacionados con formas de concebir a la Matemática y los diferentes tipos de razonamientos que se emplean en los libros, se toman en cuenta las ideas expuestas por Klimovsky y Boido en el libro Las desventuras del Conocimiento Matemático. Filosofía de la matemática: una
introducción (2005). Estos autores realizan en su obra una especie de recorrido que muestra como se fundamenta la Matemática a lo largo del tiempo y proponen tres direcciones diferentes denominadas Tradiciones que caracterizan las formas de validar dicha ciencia, y se detallan las características más relevantes a continuación.
Se describen en un principio cada una de las Tradiciones de la Matemática, porque como expresan Klimovsky y Boido se puede sugerir que la actividad de los matemáticos, y las formas de validar dicha Ciencia, se han desarrollado en tres direcciones diferentes, las cuales aunque no son totalmente independientes, son metodológicamente distintas; y las denominan: axiomática, computacional y estructural. Estas tradiciones se tienen en cuenta en la categorización que se realiza para analizar los (N=137) libros de texto de Matemática, lo que permite inferir que algunos de los atributos que definen y diferencian a estas Tradiciones; coinciden con las características de los textos escolares.
VI.Tradiciones de la Matemática
Se comienza por la Tradición Axiomática porque, de alguna manera, ya está presente en la geometría de Euclides (300 a.C.) y aún antes en el método demostrativo de Aristóteles. En esta tradición la idea central, es que se parte de principios simples y evidentes, los axiomas y luego, utilizando las formas correctas de razonamiento que establece la lógica, se deducen a partir de ellos los teoremas. Aquí la actividad matemática se divide en dos etapas, (1) propones los principios; y (2) demostrar teoremas.
continuación de las tradiciones. La matemática pura, desde esta perspectiva, se transforma en una suerte de juego formal similar al ajedrez. Sin embargo, un sistema formal puede indicar modelos interesantes, en física o economía, con lo cual se ingresa en el importante terreno de la matemática aplicada, que ya no es posible concebir como un mero juego. Esta orientación de la matemática no encierra todo lo que se investiga en la llamada “matemática moderna”, pero la podemos reconocer en el tratamiento de capítulos importantes de la disciplina.
La Tradición Computacional, a la que también se puede llamar Algorítmica, concibe a la Matemática como ocupándose de ciertos objetos, particularmente números, y de las operaciones y cálculos que se pueden realizar con ellos. De algún modo la Tradición tuvo su origen en Pitágoras (siglo VI a.C.), en afirmaciones atribuidas a éste tal como “los números constituyen la esencia del mundo”. Con esta afirmación Pitágoras considera que el mundo se explica con el auxilio de los números, y mediante el cálculo sería posible resolver problemas destinados a acrecentar el conocimiento acerca de tales objetos.
Ésta es una tradición importante porque, como se puede advertir en las aplicaciones de la Matemática al cálculo contable o al de la computación, por ejemplo los sistemas axiomáticos no cumplen prácticamente función alguna. En el seno de esta tradición se ha desarrollado el álgebra, el cálculo infinitesimal y todos los grandes capítulos de la Matemática donde, a través del empleo de variables, ecuaciones, determinantes y matrices, se cuenta con instrumentos para actuar sobre los números y obtener datos numéricos como resultado de la investigación.
Además de las tradiciones Axiomática y Computacional, se considera la Tradición Estructural. La palabra “estructura” es polisémica, pero en el ámbito de la matemática tiene dos significaciones principales. La primera en un sentido bastante limitado de la palabra indica que una estructura es “un conjunto de elemento dentro del cual se toma en consideración ciertas relaciones y propiedades haciendo abstracción de las restantes”. Por ejemplo, si consideramos los números naturales y la relación menor que, la estructura aquí esta caracterizada por: (a) el conjunto de los elementos de la estructura, los números naturales, y (b) una cierta relación interna, la de menor que. Se pueden realizar operaciones entre números, tales como la suma, la resta, o vincularlos por medio de relaciones distintas de menor que, pero al concebir la estructura anterior todo ello debe ser ignorado.
Dos estructuras pueden ser distintas por diferir en el conjunto de elementos básicos que se toman en consideración o bien por considerar relaciones y operaciones internas diferentes. Por ejemplo en lugar de números naturales podemos tomar en consideración números reales o los puntos geométricos del espacio, o la relación mayor que o la operación “producto”. En cada caso se obtienen estructuras diferentes, caracterizadas de manera no ambigua por el conjunto de elementos que se escogen y por las relaciones u operaciones internas del conjunto. Puede suceder que dos estructuras sean distintas pero similares.
Capítulo II
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27 tales como menor que (y así tendríamos ordenados de menor a mayor los números naturales, los enteros, los racionales o los reales). Las condiciones están dadas para estar en presencia de un tipo de estructura porque la relación que se ha considerado tiene que cumplir con las propiedades de ser reflexiva (ningún elemento tiene la relación consigo mismo) pero a la vez transitiva (si un elemento tiene la relación con un segundo elemento y el segundo con el tercero, el primero la tiene con el tercero). Tenemos en este caso un tipo de estructura formal.
Podría decirse que la matemática, desde la más remota antigüedad pero fundamentalmente la matemática contemporánea, se basa en el estudio de ciertos ejemplos típicos de estructuras. Ya en Pitágoras se advierte la preocupación por ciertos tipos de estructuras. Por ejemplo sus estudios sobre los números cuadrados, triangulares, piramidales, etcétera; estarían dirigidos a estudiar un cierto tipo peculiar de estructura donde los elementos (puntos) de la estructura están configurados geométricamente de una determinada manera.
A pesar de que la geometría de Euclides ha sido considerada anteriormente como ejemplo paradigmático de una formulación axiomática, también en su obra se consideran ciertos tipos de estructuras. Por ejemplo, un rectángulo sería una estructura formada por elementos, tales como puntos y lados, sujetos a determinadas condiciones de perpendicularidad entre lados contiguos. Por ello la geometría de Euclides es un ejemplo de matemática axiomática pero al mismo tiempo es el estudio de una cantidad enorme de tipos de estructuras geométricas.
Cuando se estudia un determinado tipo de estructura, es necesario ofrecer una serie de condiciones que la definen, y si queremos saber que clase de propiedades deben cumplirse dentro de esa estructura tendremos que analizar qué se deduce a partir de las propiedades definitorias de la misma. Ello muestra un paralelo entre el método estructuralista y el método axiomático, porque si para estudiar un tipo de estructura debemos dar sus condiciones definitorias y después analizar lógicamente qué es lo que se deduce de ellas, estamos haciendo algo similar a lo que acontece con un sistema axiomático.
VII. Sistemas Axiomáticos Formales
Para construir o reformular la matemática como un juego puramente formal como el TA-TE-TI, podríamos comenzar por entender que las palabras “punto”, “recta”, “plano”, etc.; son ahora, por ejemplo: “x”, “y”, “z”. A estas últimas las podemos llamar variables1, y de acuerdo al sentido que demos a estas variables, podrán transformarse en un ejemplo concreto de discurso. Por lo tanto, “punto”, “recta”, “plano”, “x”, “y”, “z”, etc. no tienen ningún significado; y es por tal motivo que se puede pensar que lo que acabamos de describir no sea digno de llamarse “Metodología de la Ciencia”; sino que más bien parecería, una manera de inventar juegos lógicos. Pero, estos juegos, pueden transformarse en ciencia propiamente dicha, si se toman términos sin significado y con reglas gramaticales, construir “esquemas de proposiciones”, adoptando a estos como puntos de partida, y obteniendo luego teoremas. Semejante metodología se conoce como “Método Axiomático Formal” y el juego que se ha propuesto se conoce como
“Sistema Axiomático Formal” (SAF). Interesa entonces, observar en que “se parece” un Sistema Axiomático con el juego que se ha elegido, el TA-TE-TI y se muestra en la Tabla II.2.
Tabla II.2
Juego: TA-TE-TI Sistema Axiomático Lenguaje Fichas y tablero Símbolos primitivos y símbolos
lógicos. Morfología del Sistema (Reglas de formación de fórmulas)
Indica que arreglos de fichas son válidos en el tablero:
Indica cuales son las fórmulas bien formadas, mediante la utilización de términos específicos. Ej.:
A a A A ∈ ∈ A a a A ∈∈ ∈ ∈ Axiomas
(Formula bien formada en nuestro lenguaje)
Familia de fórmulas bien formadas. Ej.:
∨ ∈Y
x ~
(
x∈Y)
Reglas del sistema
Reglas del juego.
Reglas del “turno” para agregar una ficha.
Reglas de deducción o de inferencia de la lógica.
Teoremas Disposiciones de las fichas sobre el tablero, comenzando desde el tablero en blanco (axioma) y siguiendo las reglas del juego.
Fórmulas bien formadas que se deducen de los axiomas por medio de las reglas del sistema.
1
Porque podemos variar los reemplazos que de ellas se hagan
Tablero bien formado
Tablero mal formado: no puede haber dos fichas en el mismo casillero
Capítulo II
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29 De acuerdo con la descripción anterior, se definirá un Sistema Axiomático como un conjunto de enunciados o proposiciones tales que algunos de ellos, llamados axiomas, se toman como punto de partida del “juego”; se suponen verdaderos y no necesitan ser demostrados. De estos enunciados se deducen otros llamados teoremas, mediante la aplicación de las reglas de deducción de la lógica o de inferencia, las cuales garantizan que si los axiomas son verdaderos, entonces los teoremas también lo serán. Es imprescindible partir de un número finito de axiomas que no se demuestren para evitar lo que se conoce como regresión al infinito y círculo vicioso que se muestran en Esquema II.
Esquema II
La importancia de evitar el regreso al infinito o círculo vicioso, radica en que si suponemos tener una proposición P y hay alguien que asegura que es verdadera, sería natural preguntarnos ¿y cómo se que eso es verdad? La primera respuesta seguramente sería, porque se ha deducido de una verdad anterior Q, pero… ¿cómo sabemos que Q es verdadera?, y así continuaríamos indefinidamente con este diálogo. Sin embargo este problema se solucionaría si estuviéramos en el caso de la disposición triangular, dado que es simple pensar que P es verdadera porque se dedujo de Q, Q porque se dedujo de R y R porque se dedujo de P. Pero… ¿Cómo aseguramos que P, Q y R son verdaderos? Es notorio que tiene que haber algún otro fundamento capaz de permitirnos verificar al menos algunas proposiciones de la ciencia. Por tal motivo, se admite que existen un número o familia de afirmaciones que se aceptan de por sí, que suelen aceptarse como verdades que se auto justifican por su evidencia y que llamamos axiomas.
Los Sistemas Axiomáticos deben cumplir con algunas propiedades que han sido clasificadas en sintácticas y semánticas. Las propiedades sintácticas son aquellas que se encuentran en el Sistema Axiomático independientemente de la interpretación que luego queramos darle; mientras que las propiedades semánticas hacen referencia al significado que podríamos dar a los términos específicos. Entre las propiedades sintácticas se exigen las de consistencia, completitud, saturación, independencia y decidibilidad sintáctica; que atañen a su carácter de ejemplo particular de un sistema no interpretado. De las propiedades semánticas; se requiere que los sistemas cumplan con las condiciones de categoricidad semántica, completitud semántica, consistencia, satisfactibilidad y decidibilidad semántica. Estas propiedades no se desarrollan, describen y explican en este trabajo, pero son de fundamental importancia para la Investigación. Es necesario aclarar que los Sistemas Axiomáticos que poseen las propiedades mencionadas anteriormente, aventajan a aquellos que no las cumplen.
Hasta el momento sólo se han descrito las tradiciones de la Matemática y mencionado las características del método axiomático y de los Sistemas Axiomáticos Formales. Pero no es correcto pensar que con lo descrito hasta el momento se agotan las formas del proceder metodológico de toda Matemática dado que, cuando los matemáticos se vieron
Regresión al infinito Círculo vicioso
R P Q
R
P
Q