De la geometría de Euclides – Hilbert al surgimiento de las geometrías no

Entre los nombres más ilustres de la matemática podemos mencionar a Euclides, porque fue quien compiló y sistematizó, 300 años a.C; todo el saber de su tiempo en materia de geometría plana y del espacio. La obra que resultó; “Los Elementos”, fue utilizada como libro de texto durante más de 2000 años y cuyos tratados constituyen la base de la geometría plana en las escuelas de todo el mundo. La obra está compuesta de 13 tomos distribuidos en Geometría plana, Teoría de los números y Geometría del espacio. Uno de sus méritos radica en que fue el fundador del “rigor” en matemática. Puede decirse que se sistematiza por primera vez en forma lógica una serie de conocimientos geométricos, cuya finalidad inmediata no era la resolución de problemas concretos a la manera de los egipcios y babilonios, sino la obtención de propiedades generales que no hacen referencia a ninguna entidad física.

Ahmés

Tales -1800 a.C

-3000 a.C. -700 _a.C -600 _a.C -500 _a.C -400 _a.C -300 _a.C -200 _a.C

Pitágoras

Platón

Aristóteles

Capítulo II

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35 Surge a partir de este momento, la polémica acerca de si Euclides era considerado platónico o aristotélico. Por un lado, se lo considera a favor de Platón por el hecho de que en las casi quinientas proposiciones que se hallan en el libro, no se mencionan aplicaciones prácticas, es decir, se hace referencia al “conocimiento puro”, idea que se advierte en la obra de Platón. Mientras que por otro, a favor de Aristóteles por el hecho de que las definiciones, los postulados y las nociones comunes con los que Euclides comienza su libro se corresponderían con “puntos de partida” similares a los empleados por Aristóteles.

Su libro refleja los puntos de partida de sus razonamientos y reconoce dos tipos de proposiciones: los principios4 (definiciones, postulados o axiomas y nociones comunes) y los teoremas5. En su primer libro, Euclides propone cinco postulados:

P1: se refiere a la determinación de la recta (entendida como segmento prolongable) por dos puntos;

P2: es posible prolongar indefinidamente la recta;

P3: se declara la existencia de circunferencias de cualquier centro;

P4: refiere a la igualdad de todos los ángulos rectos;

P5: si una línea recta corta a otras dos de manera que la suma de los ángulos

interiores de un mismo lado sea menor que dos ángulos rectos, entonces dichas rectas, prolongadas suficientemente, se cortarán del mismo lado de la primera línea recta en que se encuentren aquellos ángulos cuya suma es menor que dos rectos.

En esta teoría hay un postulado que se destaca de los otros; y que el propio Euclides prefirió evitar, formulando teoremas sin recurrir a él. El postulado al que se hace mención es el quinto (P5). Este carece de la simplicidad de los cuatro anteriores, y tal vez sea un motivo por el que Euclides lo ha tenido en cuenta una única vez en su libro y no lo ha utilizado en resultados posteriores que podrían haber sido demostrados con mayor sencillez a partir de este teorema. Podría pensarse que, para el propio Euclides, el enunciado resultaba algo extraño y, por haber adoptado una actitud “especial” frente a éste, él mismo estaría presentando una “tentativa” por generar indagaciones.

Surgió prontamente en los matemáticos la idea de que puesto que al quinto postulado se lo necesita para construir la geometría, no estaríamos en presencia de un postulado, sino de un teorema... ¿sospecharía Euclides que en realidad este postulado sería un teorema? Si esto fuera así, este postulado se incorporaría como un teorema más de la obra de Euclides, solucionando de esta manera, el problema aparentemente formulado. Se pone en evidencia, que esta inquietud de Euclides fue tenida en cuenta por los matemáticos y filósofos posteriores a él.

Desde el siglo I a.C., se trata de demostrar el enunciado “sospechoso” tras los intentos por encontrar una respuesta en los siglos siguientes al quinto postulado. Un punto culminante de la prehistoria llega en el momento en que Saccheri (1667-1733) publica un libro, en el que cree haber demostrado el quinto postulado a partir de los anteriores mediante un procedimiento por el absurdo. Propuso aceptar como verdaderos los cuatro primeros postulados y además la verdad de la negación del V, para obtener así una contradicción. La contradicción podría consistir en obtener la negación de alguno de los cuatro postulados o bien la negación de la negación del V postulado, es decir, la

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Proposiciones que se aceptan sin demostración

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afirmación de éste. En los dos casos, el sistema deductivo de Saccheri incluiría un enunciado y su negación, por eso llegaríamos a un absurdo. Este matemático procede sus demostraciones mediante un cuadrilátero, como el que se observa en la Figura I, a continuación.

Figura I

Sin usar el V postulado, esperaba concluir que los ángulos superiores C y D son iguales, pero es imposible determinar si esos ángulos son rectos, agudos u obtusos. A partir de la suposición de que eran agudos u obtusos Saccheri esperaba llegar a contradicciones que probaran la hipótesis de que los ángulos debían ser rectos, confirmando así la validez y necesidad del V postulado. Primeramente demostró que los ángulos superiores C y D son iguales usando los criterios de igualdad de triángulos. Luego, los ángulos eran iguales pero podían ser iguales y rectos o iguales y obtusos o iguales y agudos. Saccheri trabajó con las tres hipótesis tratando de llegar a una contradicción, a partir de cada una de ellas.

Al considerar la hipótesis de ángulos iguales y agudos, demostró una serie de teoremas, sin llegar contradicción alguna y como consecuencia se atribuye la responsabilidad de no haber podido encontrar la contradicción y afirma que ésta debía aparecer. Con este sorprendente resultado de Saccheri, se comienza a pensar que era posible deducir una serie de enunciados que se fundan en los postulados 1, 2, 3 y 4, y en la negación del quinto, sin que ello llevase a contradicciones. Pero el mérito de su obra radica en el intento de demostrar el quinto postulado por el método del absurdo, idea que ha sido “tomada” por otros matemáticos con mayor frecuencia en años posteriores, poniendo en evidencia que la geometría euclideana no era la única posible.