Las concepciones de la matemática en el mundo antiguo

Se analizan los problemas abordados por las diferentes tendencias que ofrecen la fundamentación y filosofía de la matemática. Klimovsky y Boido (2005) proponen en su libro cuatro preguntas: (1) ¿De qué hablan las proposiciones de la matemática? (2) ¿Por qué creer en las proposiciones de la matemática? (3) ¿Cómo se investiga en matemática? (4) ¿Cuál es la relación entre la matemática y la realidad? Se responden cada una de las preguntas, describiendo y analizando los alcances y limitaciones en las distintas etapas estudiadas y diferenciadas con el correr de los siglos.

Las primeras manifestaciones de la matemática datan del tercer milenio antes de cristo. Dicha disciplina surge como una necesidad de resolver problemas prácticos, cotidianos y en particular astronómicos, anteriormente al surgimiento de la cultura griega. El nombre más antiguo que registra la Historia de la Matemática es el de Ahmés, quien redacta (a partir de un documento anterior) el Papiro Rhind, un documento del siglo VII a.C. Este escriba egipcio no concebía una concepción formalista o abstracta de los “objetos matemáticos”, sino por el contrario, se refiere a objetos concretos; conocimientos prácticos obtenidos mediante procedimientos inductivos.

En este empirismo primitivo, las cuatro preguntas formuladas por Klimovsky y Boido (2005) se hubiesen contestado de la siguiente manera:

1- La matemática se ocupa de aspectos concretos de ciertos objetos concretos. Por lo tanto, los objetos de los que se ocuparía un matemático serían de naturaleza concreta y sus características obtenidas a través de la experiencia.

2- Las razones por las que hay que creer en las proposiciones de la matemática se derivan de la observación y la inducción. Habría que observar aspectos concretos de objetos concretos y luego generalizarlos mediante el uso de la observación.

3- A la hora de obtener nuevos conocimientos, el investigador tendrá que realizar nuevas observaciones y generalizar lo que ha observado.

4- Se podría afirmar que “el estudio de la matemática es el de ciertos aspectos de

la realidad…, todo lo que se afirma en esta disciplina es relativo a los objetos concretos y a lo que queremos hacer con ellos”. (Klimovsky y Boido, pág. 34).

La matemática parecería haber comenzado así y en ciertos aspectos, aún tiene vigencia. Si bien no hay trazas acerca de cómo se enseñaba la matemática en este momento, parece claro que lo que le interesaba en materia de Matemática, era de naturaleza puramente práctica.

Ahmés

-1800 a.C

Capítulo II

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31 Hacia fines del siglo VII a.C., o comienzos de VI a.C. ocurre un cambio en la concepción de la Ciencia: surgen los primeros filósofos científicos griegos. Se considera que Tales fue uno de los más importantes para la transmisión del conocimiento de los babilonios y egipcios a la cultura griega. A partir de este momento comienza a pensarse que en realidad no solo alcanza con tener en cuenta los elementos y propiedades observables sino también las nociones límites, es decir, entidades no observables. Fue el primero en señalar la necesidad de organizar los enunciados matemáticos derivándolos unos de otros, e introdujo la exigencia de emplear procedimientos lógicos para obtener conclusiones a partir de afirmaciones previamente formuladas.

De acuerdo con las ideas de Tales, las cuatro preguntas se hubieran respondido así: 1- Los objetos de los que se ocupa la matemática serían, por una parte, objetos empíricos y observables; pero por otra, entidades no observables,

2- En cuanto a las fuentes del conocimiento Tales se halla en una actitud empirista, aunque esto resulta sorprendente dado que emplea términos teóricos cuando introduce nociones límites.

3- Agregaría, con respecto a Ahmés, la necesidad de desarrollar la capacidad de imaginar entidades límites, y también, la aptitud lógica de razonar.

4- Considera que la matemática es el estudio de una parte de la realidad, el de aspectos concretos de entidades concretas, pero también de entidades límite, no observables, que derivan de las primeras.

Se atribuye a Tales el mérito de ser uno de los primeros en utilizar métodos deductivos en la geometría y el precursor de una posición “parcialmente racionalista”2 en lo que concierne al papel que desempeña la lógica en la construcción del conocimiento científico, concediendo de esta manera más importancia a los métodos que a las soluciones particulares. Se considera que la fuente de Conocimiento Matemático radica en la experiencia, que por inducción sería posible llegar a leyes generales y mediante deducciones se adquieren nuevas verdades como conclusiones, obtenidas de verdades anteriores.

La obra de Tales no trascendió. En el siglo VI a.C. se concibe la cosmología pitagórica, teniendo como referencia que Pitágoras y su escuela están vinculados con la confianza en la razón y la tradición racionalista de la historia de la filosofía de la matemática. Con el surgimiento del pensamiento pitagórico se comienza a pensar sistemáticamente que el conocimiento no se agota con el conocimiento de lo empírico.

2

Porque no es por entero racionalista, pero sí parcialmente por el papel que desempeña la lógica en la construcción de conocimiento.

Ahmés

Tales

-1800 a.C

Pitágoras hubiera respondido a las cuatro preguntas diciendo:

1- Los objetos matemáticos no son empíricos, no se hallan en la realidad concreta ni son percibibles por los sentidos. Además del primer mundo, el de los objetos y hechos empíricos, hay un segundo mundo formado por las entidades matemáticas; y es a este segundo mundo que pertenecen los números y las figuras geométricas.

2- Sólo se podrán conocer los objetos del segundo mundo por medio de una metodología no empírica que justifique la verdad de los objetos matemáticos. Para los objetos empíricos se dispone de los órganos de los sentidos, por lo tanto, el conocimiento de estos objetos, provendría de la intuición3.

3- La forma de proceder para ampliar el conocimiento matemático se logra desarrollando las capacidades intelectuales, especialmente la intuición, y en menor medida, la capacidad lógica de razonar.

4- La relación de la matemática con el mundo real se debe al isomorfismo entre el mundo concreto y el de las entidades matemáticas. Se muestra a la matemática como un instrumento potencial para producir conocimiento.

Esta metodología no estuvo libre de críticas, pero en la Historia de la Matemática se destaca este momento como importante, porque caracteriza una etapa hoy conocida como Tradición Computacional a la cual se hizo referencia anteriormente.

Platón también influyó en la metodología del Conocimiento Científico en general. Éste coincidió con Pitágoras en la idea de que además del primer mundo, existe un segundo mundo poblado por las entidades formales de la matemática. Considera además dos tipos de entidades formales. Unas constituidas por las cualidades y relaciones, y otras las consideradas por la lógica.

El modo en que Platón hubiese respondido las cuatro preguntas hubiese sido la siguiente:

1- Las proposiciones de la matemática hablan de todo tipo de conocimiento. Es decir, la naturaleza de dichos Objetos Matemáticos se hace extensiva a todo tipo de conocimiento.

2- El fundamento de las afirmaciones de la matemática radicaría en la intuición de los objetos formales y los universales.

3- Nuevas intuiciones conducirán a nuevos conocimientos, esto es, mediante el ejercicio reiterado de tal intuición.

3

Intuición, hace referencia a una clase de conocimiento inmediato obtenido por vía sensorial o bien racional.

Ahmés

Tales -1800 a.C

-3000 a.C. -700 _a.C -600 _a.C -500 _a.C -400 _a.C -300 _a.C -200 _a.C

Pitágoras

Platón

Ahmés

Tales -1800 a.C

-3000 a.C. -700 _a.C -600 _a.C. -500 _a.C -400 _a.C -300 _a.C -200 _a.C

Capítulo II

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33 4- El conocimiento de la realidad concreta se daría a partir de la vinculación de esta realidad con la del segundo mundo, el de las formas o universales.

Platón y Pitágoras, coincidieron en que “ampliar el conocimiento” y “enseñar matemática” consistía en el desarrollo de nuestras capacidades intelectuales, especialmente la intuición, y en menor medida, nuestra capacidad lógica de razonar. Pero este mundo platónico, como difusor de la importancia de practicar la matemática, no estuvo libre de críticas aunque tampoco sus más ilustres discípulos, como Aristóteles, quien diseñó una metodología que consideró válida para toda ciencia, incluida la matemática y que ejerció influencia durante varios siglos. Es por su trascendencia, entonces, que se dedica a este pensamiento aristotélico un lugar en la evolución de la ciencia.

Aristóteles es considerado como un eslabón clave para una concepción del conocimiento científico y filosófico más cercana a la actual. Con su método

demostrativo ofreció no sólo una metodología básica general para el desarrollo de todas las disciplinas científicas, sino que, en el caso de la matemática, propuso lo que hoy llamaríamos “método axiomático clásico”. Este método consiste en:

• La captación de ciertas verdades matemáticas, llamadas axiomas, y la adopción de algunas verdades matemáticas de tipo puramente convencional, los postulados.

• La deducción -con el empleo de la lógica-, de otras proposiciones o enunciados (los teoremas), a partir de aquellos principios.

Con Aristóteles se concibe por primera vez un criterio explicativo y fundamentativo del conocimiento matemático, a diferencia de Ahmés que sólo se preocupaba por el “cómo” y no por el “por qué”. Además, la razón para creer en la verdad de ciertos enunciados se encuentra en su evidencia o en su demostración, a diferencia de los pitagóricos o platonistas, los cuales se remitían solamente a la intuición.

Si se formularan a Aristóteles las preguntas que se han desarrollado hasta el momento, se podría deducir lo siguiente:

1 A diferencia de Ahmés o Pitágoras, se considera que los objetos matemáticos son propiedades abstractas, que expresan o generalizan propiedades o cualidades concretas de objetos concretos.

2- La fuente de verdad de la matemática es la intuición racional para los axiomas, y la utilización del método demostrativo y sus deducciones lógicas a partir de aquellos axiomas.

3- Sobre la forma en que se obtiene el conocimiento, se piensa que la inducción sería un proceso a través del cual, los nuevos conocimientos se obtendrán por nuevas experiencias. Luego por medio de la intuición se captarían nuevas verdades evidentes y, mediante la lógica, se podrían deducir nuevas verdades a partir de las anteriores.

Ahmés

Tales -1800 a.C

-3000 a.C. -700 _a.C -600 _a.C -500 _a.C -400 _a.C -300 _a.C -200 _a.C

Pitágoras

Platón

4- A través de la matemática conocemos las leyes o regularidades que conciernen a ciertos aspectos de la realidad, pues la matemática hace referencia a la realidad misma e informa sobre ella.

Es con Aristóteles que se llega a concebir por primera vez un criterio explicativo y fundamentativo del conocimiento científico. La razón para creer en la verdad de un determinado enunciado se encuentra en su evidencia o en su demostración; pero al mismo tiempo “una vez que un teorema lo es, su verdad queda explicada por la

demostración misma. Y este es el punto mas fuerte que el del pitagorismo o platonismo, los cuales en lugar de recurrir a la razón, se remitían solamente a la intuición”

(Klimovsky y Boido, 2005).

Con la consideración de esta metodología aristotélica, podría decirse que se alcanza una primera etapa en la historia de la matemática y de su fundamentación que ha comenzado con en el empirismo primitivo de Ahmés, y que culmina con el pensamiento de Platón y Aristóteles. En el momento histórico en que se contempla la evolución de la ciencia, se desarrollan sucesiones de ideas, modelos, teorías, conjeturas y conceptos cambiantes, que se sustituyen por ajustes o que otras veces son abandonados bruscamente.

En la incorporación del método deductivo a la matemática resultó central la intención filosófica de construir una ciencia que tuviera como meta el “acceso a la verdad”. Este objetivo de “construir una ciencia”, a partir de ciertos principios tomados como base, se encuentra en la obra de Aristóteles; quien había descrito las características de una ciencia demostrativa, pero fue Euclides quien llevó a la práctica esas ideas en el cuerpo de la matemática. Así la Matemática se transformó en la ciencia hipotético-deductiva por excelencia a partir del siglo III a.C. con la aparición de los elementos de Euclides.

IX.De la geometría de Euclides – Hilbert al surgimiento de las geometrías no