El nacimiento de una nueva geometría

Tradicionalmente se denominan “no euclideanas” a aquellas geometrías en las que se conservan todos los postulados de Euclides con excepción del quinto. En la búsqueda de un postulado que reemplazara al de las paralelas de Euclides, los matemáticos del siglo

“Cuadrilátero de Saccheri”

1) Los triángulos MDA y MCB son iguales. Por construcción, los ángulos A y B son rectos y además: AM=MB y AD= BC

2) Los triángulos MM’D y MM’C son iguales. Por construcción, DM’=M’C,MM’ es común y DM=MC por la igualdad de triángulos demostrada en 1).

3) De las igualdades de triángulos de 1) y 2), la suma de los ángulos α y β es igual a la suma de α’ y β’, por tanto, son iguales D y C

Construcción del cuadrilátero: Dado el segmento AB, se trazan por A y B segmentos iguales AD y

BC perpendiculares a AB. Al unir

D y C queda conformada la figura. Se toma M, punto medio de AB, y M’, punto medio de DC. Unir M con los vértices D y C y con el punto M’.

Capítulo II

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37 XIX formularon dos enunciados diferentes, que se contradicen con el original de Euclides y también entre sí:

“Por un punto exterior a una recta pasan más de una paralela a la recta dada”.

“Por un punto exterior a una recta dada, no pasa ninguna paralela a la misma”

El primero de los enunciados fue explorado por Gauss, Bolyai y Lobachevsky trabajando en forma independiente, mientras que Riemann investigó sobre el segundo enunciado. Así fueron propuestas dos geometrías alternativas a la de Euclides; la geometría hiperbólica, de Gauss, Bolyai y Lobachevsky, y la geometría elíptica de Riemann.

Gauss, Bolyai y Lobachevsky, cada uno por separado, avanzaron deductivamente en busca de aquella esperada contradicción, pero ésta no se presentaba6, y los teoremas que se obtenían eran idénticos a los de Euclides, porque no se necesitaba del quinto postulado para demostrarlos. Comenzaron a aparecer teoremas extraños; como por ejemplo: “la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos; la relación

entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es mayor que π”; teoremas que parecen no ser aceptados intuitivamente y que en la geometría de Euclides son falsos. Con la geometría de Riemann, se muestran también resultados no aceptados por la geometría de Euclides, por ejemplo: “la suma de los ángulos interiores de un triángulo

es mayor que 180° y la razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es menor que π”. Pero lo más importante, es que a partir de entonces se da a “conocer” que ya no hay una única geometría “verdadera”, y como consecuencia, se produce una conmoción en lo que respecta a la noción de verdad, dado que hasta el momento, había una verdad absoluta e incuestionable, la de Euclides.

No se dudaba hasta este momento, que la geometría de Euclides, la única que se conocía, fuera verdadera. Un influyente filósofo, Kant (1724-1804) llegó a postular que el espacio euclidiano es una intuición pura a priori; ya que se corresponde con lo que el ser humano puede captar intuitivamente y que por lo tanto estas nuevas geometrías podrán ser tan verdaderas como las de Euclides.

La situación es algo extraña porque las cosas que proponen estas “nuevas” geometrías no funcionan de igual manera que nuestra geometría tradicional, y además, resulta extraño aceptar intuitivamente una diversidad de “mundos nuevos” que son tan válidos como la geometría clásica, pero que no funcionan como estamos acostumbrados. Pero entonces ya no hay una única geometría como creíamos. ¿Cuál es la geometría que rige nuestro universo?; ¿merece llamarse geometría lo que aprendemos en la escuela?

El surgimiento de una nueva geometría, distinta a la propuesta por Euclides, amplió la concepción de la matemática; poniendo en tela de juicio la necesidad de evidencia de los axiomas para una teoría. Pero el rasgo fundamental fue pensar que no son contradicciones las que se muestran entre las consecuencias obtenidas, sino que se está ante la presencia de estructuras lógicas, y de hecho, lo que comenzó a imponerse en el campo de la matemática fue la idea de que estos sistemas geométricos habían introducido “estructuras lógicas formadas por suposiciones iniciales, escogidas de

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Si se admite la validez de los primeros cuatro postulados, se puede demostrar que por el punto exterior a la recta pasa al menos una paralela y que por tanto, la disyuntiva es si pasa una o más de una.

modo arbitrario, razonamientos correctos a partir de esas suposiciones y teoremas obtenidos en virtud de estos razonamientos” (Klimovsky y Boido, pág. 103). Con esto decimos que las geometrías no euclídeas, al igual que las euclídeas, son también sistemas axiomáticos.

De acuerdo a lo anterior, y dado que la contradicción no ha aparecido, sería oportuno preguntarse: ¿no aparecen contradicciones porque no las hay entre todos los teoremas, o porque no han aparecido hasta el momento? Se instala ahora, el problema de si tarde o temprano aparecería una contradicción no esperada entre las geometrías no euclideanas, y para ello debemos analizar la consistencia7 de dichas geometrías. Entre las razones por las que se debe exigir esta propiedad de consistencia, es porque en caso de que ésta no se cumpla, habrá una “falla” o defecto en el Sistema Axiomático propuesto. Además, la no consistencia o inconsistencia de un sistema, bloquea la posibilidad de que el Sistema Axiomático admita modelos8, aplicaciones; lo cual no deja de ser preocupante sobre todo, si se dirige la atención a que los sistemas puedan ser aplicados a los objetos de la matemática.