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Centro de Investigacion Cientifica y de |
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Educacion Superior de Ensenada
ON TROL: CON MODELG INTERNO DE SISTEMAS MECANICOS. i CON JUEGO MECANICO (BAC OG ir a ee
ae
MAESTRIA EN CIENCIAS
ELVA NAIHVY MANDUJANO GARCIA
EDUCACION SUPERIOR DE ENSENADA
a
CICESE
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
EN ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
CONTROL CON MODELO INTERNO DE SISTEMAS MECANICOS CON
JUEGO MECANICO (BACKLASH)
TESIS
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS
Presenta:
ELVA NAIHVY MANDUJANO GARCIA
Y APROBADAPOR EL SIGUIENTE COMITE
v
Dr. Joaquin Alvarez Gallegos Director del Comité
“YY
Dr. louri Orlov Kuchina Dr. David Isaias Rosas Almeida
Miembro del Comité Miembro del Comité
Oo SY
Dr. Ervin Jesus Alvarez Sanchez Dr. Enrique Gémez Trevifio
Miembro del Comité Miembro del Comité
a
Dra. Maria del Carmen Maya Sanchez Dr. David Hilario Covarrubias Rosales Coordinador del programa de posgrado Director de Estudios de Posgrado
en Electronica y Telecomunicaciones
CONTROL. Ensenada, Baja California, Enero de 2010.
CONTROL CON MODELO INTERNO DE SISTEMAS MECANICOS CON
JUEGO MECANICO (BACKLAS
Resumen aprobadopor:
Director de ‘Tesis
El juego mecdnico u holgura (”backlash” en inglés) aparece frecuentemente en
disposi-tivos mecanicos cuya funcién es transmitir un par, y es provocado porel desgaste propio de las piezas que operan bajo contacto (p.ej., trenes de engranes). Su efecto puede ser muy perjudicial, no solamente porque el desempetio dindmico del mecanismose deteriora fuerte-mente, apareciendooscilaciones indeseables, sino porque acelera el desgaste de las piezas y pone en peligro la integridadfisica del sistema.
En esta tesis se describe la aplicacién de una estructura de control, llamada control con modelo interno, con la que es posible mejorar el desempeno de sistemas que presentan cierto tipo de holgura. Previamente se presentan varios modelosde este fendmeno mecanico, tanto para transmisiones flexibles como transmisiones rigidas. Posteriormente se analizan dos sistemas de segundo orden con holguradel tipo llamada “zona muerta”, con el objetivo de implementar la estructura de control con modelo interno. Para aplicar exitosamente este método se requiere asegurar la existencia de puntos de equilibrio del sistema en lazo cerrado, andlisis que es incluido en este trabajo. Se presenta también un estudio numérico y experimental de la respuesta de este controlador para diferentes valores de la holgura, y tres niveles de referencia para la salida del sistema controlado. Finalmente, se incluye una comparacion de los resultados numéricos y experimentales obtenidos con el control con modelo interno y un controlador clasico proporcional-integral (PI).
ABSTRACTofthe thesis presented by ELVA NAIHVY MANDUJANO GARCIA, in partial fulfillment of the requirements of the degree of MASTER IN SCIENCES in ELEC-TRONICS AND TELECOMMUNICATIONSwith orientation in INSTRUMENTATION AND CONTROL. Ensenada, Baja California, January 2010.
INTERNAL MODEL CONTROL OF MECHANICS SYSTEMS WITH BACKLASH
The backlash is a phenomenon often appearing in driving mechanical devices. It appears as a consequence of the wearing produced by two pieces working in contact (e.g. gears), decreasing the performance of the device, yielding to undesirable oscillations, which in turns accelerates the wearing and jeopardizes the physical integrity of the system.
The present work describes the application of the so-called Internal Model Controller (IMC) to some systems with backlash, analyzing the performance improvement of the system operation. Previously, some models describing this phenomenonin rigid and in flexible transmissions is included. Afterwards, two second-order systems with a backlash described by a dead zone are analyzed in order to apply the IMC. The successful application of this technique depends on the existence of equilibrium points of the closedloop system, a problem that is also analyzed in this document. Numerical and experimental results for different values of backlash and three reference levels for the controlled output are included. Finally, a comparison of these results with a classical PI controller is also presented.
A mis padres Irene y Martin, y mis hermanos
hermanos Daniel, Claudia, Ruth y Obed por su
carino y apoyo en todo momento.
A Jacobo Montoya por su apoyo y compania
Agradecimientos
A mi familia por su apoyo y motivacion.
A mis amigos y compafieros de generacién Jaquelin, Cecilia, Marlen, Adan, Daniel Es-cobedo, Ivan, Daniel Garcia, Jesus, Eduardo, Alejandro, Paulino, Miguel, Israel y Juan carlos, por su apoyo y amistad.
A mis amigos Flor, Paul y Noemi que hicieron de mi estancia en CICESE un lugar muy agradable y divertido.
Al Dr. Joaquin Alvarez Gallegos por su atinada direccidén en este trabajo, gracias por
sus consejos y apoyo, y sobretodo por su amistad.
A los miembros del comité de tesis David, Ervin, Enrique y Iouri por sus valiosos
co-mentarios.
Pagina
Resumen en espanol i
Resumen en inglés is
Dedicatoria iii
Agradecimientos iv
Contenido Vv
Lista de Figuras vil
Lista de Tablas xi
I. Introduccién 1
II. Modelos del juego mecanico 7
II.1 Descripcidn del fendmeno de holgura...00.. 7 11.2 Juego mecanico tipo histéresis .... 0.0... 0. 11 11.2.1 Modelo ideal... 2... . ee ee 11 11.2.2 Modelo Cuesta-Alvarez 2.0... 12 II.3 Juego mecaénico tipo zona muerta .. 1... 20... ee 16 I].4 Conclusiones .... 1. 18
III. Control con modelo interno (CMI)
20
Contenido (continuacién)
Pagina V.3.2 Resultados numéricos de los controladores CMI, y PI. ... 64 V.3.3 Resultados experimentales obtenidos al aplicar el CMI, yel Pl. . 71 V.4 Conclusiones 2... 71
VI. Conclusiones 79
VI.1 Conclusiones generales.. 1... 79 VI.2 Trabajoafuturo .. 2... 81
Figura
Ee
WO
NH
10
11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Lista de Figuras
Pagina
Representacién esquematica del juego mecénico. ... 7 Caracteristica entrada-salida del juego mecanico... 8 Caracteristica entrada-salida del juego mecanico tipo zona muerta... 9 Ejemplo del la respuesta experimental del sistema IMDU con y sin juego mecanico ante una entrada periddica. .. 2... 2. ee 10 Ejemplo del la respuesta experimental del circuito electrénico con zona muerta ante una entrada periddica. .. 2... ee 10 Respuesta con y sin juego mecdnico modelado por (1) aplicado al modelo del
IMDU, cuandola entrada (x(t)) es una sefial senoidal (b= 2.5). ... 12
Representaciédn esquematica de las condiciones dadas en la ecuacién (2)... . 13
Relacién entre el movimiento de x(t) con respecto al movimiento de y(t). .. 18
Representacién del juego mecanico con resorte variable. ... 14
Respuesta (y?) del modelo del juego mecdnico dado por (6) utilizando los
pardmetros nominales del IMDU. ... 0... .00 0004 16 Respuesta y? del modelo del circuito electrénico con una zona muerta dada en (7), cuando la entrada y* es unasefial senoidal (cg = c; = 2 y mg =m; = 1). 17 Caracteristica entrada salida de la saturacion. ...-..4.4 17 Caracteristica entrada salida de la zona muerta. ... 18 Estructura CMI lineal... 2... 21 Esquema de control en lazo cerrado... 2... ee al Estructura del control con modelo interno. ...0004 23
Respuesta del sistema dado en (18) conel CMI... ...04. 24
Estructura del CMI,. 2... 26
Respuesta del sistema dado en (31) conCMI,...004 30
Respuesta del sistema dado en (6) conel CMI;.. 0.0.2.0... .. 0000. 32
Figura 22 23 24 25 26 27 28 20 30 3l 32 33 34 35
Lista de Figuras (continuacién)
Pagina
Respuesta numérica del circuito emulador de sistemas mecanicos con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 2° y un nivel de refer-enciade 4°. 6. Respuesta numérica del circuito emulador de sistemas mecanicos con las técnicas de control CMI, y PI para una holgura de 2° y un nivel de ref-erencia de 4°. 6. Respuesta experimental del circuito emulador de sistemas mecanicos con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 2° y un nivel de referencia GOMR ce et ew ee we EH RR ERE RPE RH ER
Unidad mecénica industrial (IMDU). ...000.
Configuracion fisica del sistema IMDU. ...20.04. Representacién esquematica reducida del sistema mecdnico... Representacién en bloques de la ecuacién (64)...-.. Diagrama de bloques utilizado para el control CMI. ... Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de ref-erencia de 20°... 1. ee Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de ref-erenciade 45°... 0. ee ees Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de ref-erencia de 90°... 6. Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 135° y un nivel de ref-erencia de 20°... 0... Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 135° y un nivel de ref-erencia de 45°... 1 Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 135° y un nivel de ref-erencia de 90°... 6.Figura 36 37 38 39 40 Al 42 43 44 45 46
Lista de Figuras (continuacién)
Pagina
Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 135° y un nivel de ref-erencia de 45° con variaciones paramétricas. ...04. Diagrama de bloques que representa al IMDU con holgura y control propor-Ci. . kk ew RRP he CR Oh he Reem Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de ref-erencia de 20°... 6. Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de ref-GNIS dH 4B. cH eH Hh OP ee Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de ref-erencia de 90°... 1 1. Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 135° y un nivel deref-erencia de 20°... 2 2. ee Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU conlas técnicas de control CMI y PI para una holgura de 135° y un nivel deref-erencia de 45°... 0. Respuesta numérica de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 135° y un nivel de ref-erencia de 90°... ee Respuesta experimental de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de referencia deg" 2 a KT HH ET eee Respuesta experimental de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de referencia de 45°. 2 Respuesta experimental de la salida de la planta del sistema IMDU con las técnicas de control CMI y PI para una holgura de 25° y un nivel de referencia G60. wns ccm Te ew
Figura
47
48
49
Pagina
Tabla
I II
Lista de Tablas
Pagina
Introduccion
Zona muerta, juego mecanico u holgura (“backlash” en inglés), saturacién e histéresis son
fendmenos no lineales que aparecen frecuentemente en sistemas mecdanicos, hidrdaulicos,magnéticos, entre otros. En la mayoria de los casos, los elementos que contienen estas
no linealidades son tratados como imperfecciones de las caracteristicas de los componentes.
Estas no linealidades limitan el desempeno de los controladores de los sistemas que los
contienen, originando comportamientos indeseables como errores en estado estacionario,
oscilaciones indeseadas, 0 un desgaste acelerado de los dispositivos.
E] juego mecanico aparece frecuentemente en dispositivos mecanicos cuya funcidn es
transmitir un par. Por ejemplo, se presenta en los trenes de engrane cuandoexiste cierta
separacion entre los dientes. A la magnitud del juego mecanico se le llamara holgura y al
fendmeno en generalse le llamard juego mecanico. El efecto causado por el juego mecaénico
puede ser perjudicial pues el desempeno dindmico del mecanismo asociado se deteriora
fuertemente,lo cual compromete la integridad fisica del sistema. Los trenes de engranes
se emplean en diversos mecanismos para amplificar el par del actuador, asf como para
transmitir potencia de un eje a otro (Lagenberg (2004)). Sin embargo, el juego existente
entre los dientes de los engranes puede provocar impactos y generar vibraciones no deseadas.La incertidumbre provocada por este defecto mecanico también reducela repetibilidad y
precisién de los mecanismos.
Se han propuesto algunas soluciones a los problemas causados por el juego mecanico,
desde el punto de vista mecdnico. Por ejemplo, algunos autores proponen el uso de
en-granes de precisién (Menjak y D., 2006), enen-granes antijuego con resortes en la carga y
En general, el desempeno que ofrece un sistema de control convencional para compensar
el efecto de este fendmenosin utilizar las soluciones mecanicas no es satisfactorio, debido
a que usualmente en el diseno del control no es considerado el juego mecanico, y la accién
de control se sintetiza sin tomar en cuenta este fendmeno. Cuandola holgura es pequefia,
el controlador muestra un buen desempeno, pero si se aumenta la holgura, esta
aproxi-macion no resulta satisfactoria si se requiere de un alto desempenio, puesel error en estado
estacionario aumenta, provocando oscilaciones en la salida del sistema (Mata Jiménez y
Brogliato, 2002; Nakayamaet al., 2000).
Las técnicas basadas en un modelo ofrecen una mejor respuesta, por ejemplo, en el control
de robots con pardmetros no lineales tales como friccién de Coulomb y juego mecanico
presentes en las uniones. Algunos autores han propuesto utilizar el método basado en
la funcién descriptiva para predecir oscilaciones y disefiar una estrategia de control que
las atente o elimine (Azenha y Machado, 1996; Tierno et al., 2000); sin embargo, esta
técnica requiere una descripcién muy exacta que modele el comportamiento dindmico del
sistema. Ademas, la representacién matematica de este fendmeno incluye términos que no
son diferenciables, lo que introduce una complicacién adicional tanto en el andlisis como en
el diseno de un buen sistema de control. Por otra parte, esta descripcién es muy diferente si
los elementos de transmision son rigidos o son flexibles. Este problema es todavia masdificil
de resolver cuando el fenédmenose presenta al interior del mecanismo, como en cierto tipo
de transmisiones de variacién continua (Arias Montiel, 2005; Gutierrez Hinojosa, 2007).
Durante la ultima década se han propuesto metodologias de cOmputo para remover de
una manera no mecanicalos efectos de la holgura, las cuales incluyen técnicas de inteligencia
artificial como légica difusa y redes neuronales. En Camposet al. (2000) se propone usar
neuronales radica en su habilidad de procesar informacién en paralelo (esto es, procesar
multiples conjuntos de datos simulténeamente), lo cual requiere del uso de computadoras
de alto nivel de procesamiento.
Otras técnicas propuestas son las de control de estructura variable y control 6ptimo.
En Tao y Kokotovic (1993) se propone la implementaciédn de un control adaptable para
compensar esta no linealidad. Sin embargo, esta técnica presenta limitaciones tales como
falta de precisién, y es valida sdlo para aquellos sistemas que puedan ser descompuestos
en un sistema lineal en serie con un elemento de juego mecadnico. En Ahmad y Khorrami
(1999) se considera un juego mecanico tipo histéresis a la entrada y se estudian tanto el
juego mecanico de holgura conocida como de holgura desconocida. Para el ultimo caso se
utiliza un ley de control adaptable para compensar este fendmeno.
Un inconveniente de las técnicas mencionadas es que consideran que el juego mecanico, y
en general algunas no linealidades no diferenciables como la zona muerta, histéresis,
satura-cion, etc., se presentan a la entrada y/o a la salida de sistemas continuamente diferenciables
(Corradini et al., 2004). Aunque éste es el caso que se presenta comtinmente en mecanismos
rigidos, no es el caso general. En mecanismos flexibles, al transmitir potencia de un eje
actuado a otro no actuado directamente mediante un tren de engranes, se puede considerar
que el juego se encuentra entre dos sistemas continuamente diferenciables y no a la entrada
y/o salida de ellos (Gutierrez Hinojosa, 2007).
En el presente trabajo se propone utilizar la técnica de control llamada Control con
Modelo Interno (CMI) para reducirel efecto que la holgura tiene sobre el comportamiento
dindmico de un sistema. Esta técnica ha mostrado un excelente desempeno para sistemas
lineales Rivera et al. (1986). Para este tipo de sistemas este esquema de control ha mostrado
(1998) se ha propuesto una nueva versidn de esta estructura que, por una parte, puede
aplicarse directamente al control de una clase de sistemas no lineales y, por otra,
intro-duce ciertos elementos en el control que confieren al sistema una excelente robustez frente
a incertidumbres paramétricas, errores en el modelado o perturbaciones externas. A la
es-tructura de control propuesta en Alvarez Gallegos y Zazueta (1998) le llamaremos C'M1,.
Esta estructura hace uso de un controlador que combina la simplicidad de la linealizacion
entrada/salida por retroalimentacién de estados, y la robustez del CMI clasico. Una de
las caracteristicas mas interesantes de la estructura CMJ, es el hecho de regular con error
cero una referencia constante, atin en el caso en el que el modelo presente incertidumbres
paramétricas o existan perturbaciones externas o dindmicas no modeladas. Para que se
cumpla este hecho es necesario que exista un equilibrio asintéticamente estable del sistema
en lazo cerrado, sin importar la ubicacién del mismo.
Dadas las propiedades que ofrece la estructura CMI, se propuso utilizar esta técnica
para compensarel efecto causado por el juego mecaénico a sistemas que presentan esta no
linealidad, con el objetivo de regular la variable de salida. Los dispositivos utilizados en este
trabajo son una unidad mecanica industrial de la compafifa Quanser (“Industrial
Mecha-tronics Drive Unit”, denotada IMDU)y uncircuito electrénico que emula cierto tipo de
sistemas mecanicos con holgura tipo zona muerta, disponibles en el Laboratorio de Control
del Departamento de Electrénica y Telecomunicaciones del CICESE. La configuracién del
juego mecanico para el IMDU es la del juego mecanico intermedio, entre dos subsistemas
del mecanismo. Parael circuito electronico la holgura se introdujo a la entrada del sistema.
Se realizé el diseno de los controladores para ambos mecanismos utilizando el CMI clasico
yel CMI,. Para esta ultima estructura se realizé un andlisis de la existencia de puntos de
del IMDU.Parael circuito electrénico las ganancias del control PI se seleccionaron de forma
heuristica.
Como ya se mencionéal inicio de este capitulo, si el juego mecanico no es considerado
en el disefio del controlador del dispositivo mecdnico, puede provocar problemas y reducir el
desempeiio del controlador. Es por eso que es necesario contar con un modelo matematico
que describa este fendmeno, para asi tomarse en cuenta dentro del diseno del controlador.
Entonces, el primer objetivo consistid en encontrar un modelo matematico que aproxime
de la mejor manera posible este fendmeno. Una vez que se cuenta con el modelo del juego
mecanico, se prosigue a aplicar los algoritmos de control anteriormente mencionados. Como
objetivo principal se tiene la evaluacién del desempenio delas técnicas de control CMI, CMI,
y PI, numérica y experimentalmente, y realizar una demostracién analitica del desempeno
del CMI, para los dispositivos mecanicos propuestos.
Este trabajo esta organizado en seis capitulos. Primeramente, en el Capitulo I se
expre-san las motivaciones y objetivos de este trabajo de investigacion.
Enel capitulo II se describe el fendmeno del juego mecanico y las caracteristicas fisicas
que lo definen. Ademas, se presentan diferentes modelos matematicos estudiados en este
trabajo.
En el capitulo III se describe la técnica de control con modelo interno tanto para sistemas
lineales, como para sistemas no lineales.
En el capitulo IV se implementan los esquemas de control descritos en el capitulo II al
circuito electronico emuladorde sistemas mecanicos. Se realiza un andalisis de la existencia de
puntos de equilibrio en el sistema en lazo cerrado con el control CMI,. Se presentan algunos
resultados numéricos y experimentales para las estructuras de control antes mencionadas.
numéricos y experimentales para las estructuras de control antes mencionadas.
El capitulo VI contiene las conclusiones de este trabajo. Finalmente se presentan los
tra-bajos futuros y posibles soluciones que podrianser de utilidad para solucionar los problemas
Modelos del juego mecanico
En este capitulo se dard una breve descripcién del juego mecanico; ademas, se describen algunos modelos propuestos en la literatura. Se presentan en general los modelos para dos tipos de comportamiento: la holgura tipo histéresis y la holgura tipo zona muerta. Algunos de estos modelos seraén utilizados posteriormente enla evaluacién numérica de los algoritmos
de control.
II.1 Descripcién del fenédmeno de holgura
El efecto del juego mecanico puedeser descrito haciendo referencia a la figura 1, donde se muestra una representacién esquematica del fendmeno. En la figura 1, My es el elemento
Figura 1. Representacién esquematica del juego mecanico.
pasivo y es desplazado una vez que el elemento Mz toca uno de los extremos de My. El elemento activo es entonces M_, sobre el cual actitia la sefial de entrada. x(t) es la posicién del elemento Mz, y y(t) es la posicién del elemento My. En la figura 2 se muestra una grafica caracteristica entrada/salida de un tipo de juego mecdnico cuandola sefial de entrada es periddica.
fej fh
/
/
i.
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Figura 2. Caracteristica entrada-salida del juego mecanico.
y no estan en contacto. Se considera que el elemento My carece de masa, por lo que su
posicién sera determinada exclusivamente por el movimiento de Mz. Suponga luego que
My, comienza a moverse hacia la derecha. Cuando x(t;) = b+ y y(ti) = 0, entonces se
establece contacto entre ambos elementos y My sigue a Mz, lo cual generala recta derecha
de pendiente m que se muestra en la figura 2. Si Mz, se detiene (4 = 0) y cambiala direccién
del movimiento, es decir comienza a moverse al lado izquierdo (& < 0), My permanecerd
inmovil, manteniendo su posicioén. El movimiento durante este periodo es representado por
la leas horizontales. Al final de este segmento el contacto se establece con el lado izquierdo
del elemento My. Por consiguiente, My comienza a moverse en direccién izquierda (y < 0),
al igual que M;. Esto se representa a lo largo de la recta izquierda de pendiente m de
la grafica de la figura 2. Este procedimiento puede repetirse al cambiar la direccion del
movimiento del elemento M;. Cabe mencionar que no es necesario que ambos elementos
deban hacer contacto para después cambiarla direccién del movimiento, sino que es posible
cambiar la direccién de x(t) sin necesidad de que haya contacto con el elemento My.
También es importante mencionar queel tipo de juego mecanico generado puede variar,
dependiendo del tipo de transmisién quese utilice. Por ejemplo, si se tiene una transmisién
rigida, entonces el comportamiento es el descrito anteriormente (figura 2). Cuando la
Figura 3. Caracteristica entrada-salida del juego mecanico tipo zona muerta.
Existen varios modelos matematicos del juego mecanico, los mas conocidos o utilizados son: el juego mecanico modelado como histéresis, la cual es una no linealidad dindmica, incluye memoria y cuenta con retardos, y el juego mecdnico modelado como una zona muerta, caracterizada por unanolinealidad estatica (sin memoria). En Corradini y Orlando (2002) se presentan algunos modelos que describen cada tipo de comportamiento.
Un ejemplo del efecto causado por el juego mecanico en el sistema mecanico IMDU se muestra en la figura 4 , donde el tipo de transmisién es aproximadamente rigida. La senal de entrada es una senal periddica , para una holgura de 5°. La respuesta del sistema sin juego mecanico es representado por y? s/Jgo., y la respuesta con juego mecanico se representa por
y” c/Jgo.
Otro ejemplo para el caso en el que la transmisién es flexible se muestra en la figura 5, correspondiente a un circuito electrénico emulador de sistemas mecdnicos con juego mecanico tipo zona muerta, que para este caso emula un sistema torsional de segundo orden con el juego mecanico a la entrada. La sefal de entrada es una sefial senoidal con amplitud de +4 volts y frecuencia de 30Hz, la zona muerta propuesta es de +2 volts. En la figura 5 se muestra la respuesta del sistema con y sin zona muerta, en (b) se ilustra la relacién de las respuestas de sistema con y sin zona muerta.
>
o
N e,
Posicion
[grad]
°
72
-4
-6
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RS
Bit
Ole
cr
si
-8
L
¢
15 20 25 30 35
Tiempo[seg]
a ot
(a) Respuesta del IMDU (y?)
y?
cldgo.
-5 . a
-10 -5 0 5 10
(b) Relacién entre y? s/Jgo. y y? c/Jgo.
Figura 4. Ejemplo del la respuesta experimental del sistema IMDU con y sin juego mecanico ante una entrada periddica.
0 0,02 0.04 0.06 0.08 Tiempo[seg]
(a) Respuesta del circuito (y?)
20-4145 -1 0-05 0 0.5 1 15 2
y? sidgo.
(b) Relacién entre y? s/Jgo. y y? c/Jgo.
Figura 5. Ejemplo del la respuesta experimental del circuito electrénico con zona muerta ante una entrada periddica
se seleccionaran dos en particular, que posteriormente serdn utilizados para el disefio del
II.2 Juego mecanico tipo histéresis
II.2.1
Modelo ideal
Unode los modelosclasicos es el utilizado en Ahmad y Khorrami (1999), en dondeel juego mecanico se describe segtin la grafica caracteristica entrada-salida que se muestra en la figura 2, el cual presenta el comportamiento descrito en la seccién anterior.
El modelo matematico propuesto en Ahmad y Khorrami (1999) esta descrito por la siguiente ecuacién
m (a (t) — b)
si z(t)>0 y y(t) =m(a(t) —b)
y(t) =
m (x (t) +b)
si £(t)<0 y y(t)=m(a(t)+0),
(1)
y (t-)
otro caso
donde y(t—) representa el caso en el que no ocurre ningtin cambio en lasefial de salida. Las
condiciones sobre z(t) y y(t) de (1) se deben a que este modelo es un sistema dindmico que
requiere de informacién actual y anterior. En el caso en el que ninguna de estas condiciones se cumplan, entonces la senal de salida correspondera a la de la entrada para ese lapso de
tiempo.
Enla figura 6 se muestra la respuesta del modelo del IMDU cuando la senal de entrada es periddica y se tiene una holguratipo histéresis (figura 2), utilizando el modelo dado en la
ecuacién (1). En este caso x(t) = y?s/Jgo. y y(t) = y’c/Jgo. Se observa el efecto causado
o
N
Sf
DD
&
Posicién
[grad]
2.
-4
-6+
-8
10 15 20 25 30 35 40
Tiempo[seg] ¥e s/Jgo
(a) Respuesta del modelo del IMDU(y?) (b) Relacion entre y? s/Jgo. y y? c/Jgo.
Figura 6. Respuesta con y sin juego mecdnico modelado por (1) aplicado al modelo del IMDU,
cuandola entrada (a(t)) es una sefial senoidal (b = 2.5).
11.2.2
Modelo Cuesta-Alvarez
En Cuesta Garcia y Alvarez Gallegos (2009) se proponen cuatro modelosdel juego mecanico,
dos de los cuales no incluyen la dindmica de los componentes mecanicos a los cuales se
conectan el elemento activo y el pasivo. Los otros dos modelos corresponden al llamado
juego mecanico tipo “sandwich” (donde el juego mecdnico se encuentra entre los elementos
inerciales de entrada y salida). A continuacion se realiza una breve descripcién de dos de
los modelos descritos en Cuesta Garcia y Alvarez Gallegos (2009), el primero se toma como
antecedente para el desarrollo del segundo.
Para la descripcién de este modelo se hara uso nuevamente dela figura 1. En este caso
el ancho del diente del elemento Mz, esta representado por d y el tamafo de la muesca del
elemento My se denota por D, por lo que la holgura esta dada por D—d. En este modelo no
se considera la dindmica de los componentes mecanicos a los cuales se conectan el elemento
activo y el pasivo, sino que sdlo dependede la dinamica del elemento activo My.
Para describir el desplazamiento del elemento My se define la velocidad en términos
siguiente ecuacion
0, si
0<a(t)—y(t)<D-d
y(t) =
;
(2)
z(t),si x(t)—y(t)=O0o2z(t)-—y(t)=D-d
Enla figura 7 se ilustran las condiciones dadas en la ecuacién (2). En 7(a) se ilustra el
caso en el que ambos elementos estan en contacto, mas no en movimiento,lo cual corresponde a la caracteristica mostrada en la figura 8. Una vez que el elemento Mz; toca al elemento
My, tal como se ilustra en 7(b), entonces y(t) = z(t) y se inicia el movimiento hacia la
derecha. Si x(t) — y(t) = 0, entonces los elementos se moveran haciala izquierda.
(a) 0< a(t) —y(t)< D-d (b) x(t) — y(t) = D-d
Figura 7. Representacién esquematica de las condiciones dadas en la ecuacién (2).
yO
Figura 8. Relacion entre el movimiento de x(t) con respecto al movimiento de y(t).
Modelo con resorte variable
En este modelo se propone que los dos elementos del mecanismo con juego mecanico estan
acoplados mediante un resorte con coeficiente de rigidez minima cuando las piezas no estén
en contacto, y el coeficiente de rigidez es maximo cuando los elementos estan en contacto.
En la figura 9 se muestra una representacién esquematica de esta configuracion.
Figura 9. Representacion del juego mecanico con resorte variable.
La dindmica del elemento My, de la figura 9 esta dada por
mit+btt+khx+k(2—y) =, (3)
donde ky, 6;, m1 son constantes reales positivas correspondientes a los coeficientes de rigidez
y de friccién viscosa, asi como la masa del bloque superior, respectivamente, y u es la senal
de entrada. Por otra parte, la dindmica del elemento My esta dada por
mai + bay + k(y — 2) = 0,
(4)
donde by y mz son el coeficiente de friccién viscosa y la masa del elemento My,
respectiva-mente, y también son constantes reales positivas.
Para explicar el funcionamiento del resorte se consideran los siguientes casos. Para el
caso en que los bloques estén en contacto, se considera que su coeficiente de rigidez es
muy grande (k — oo). Cuandolos bloques no estén en contacto, dicho coeficiente es cero
(k = 0), de manera que el movimiento del bloque superior no produce ningunaaceleracién
Se propone entonces que k esté dada por
k=k{1—(dz)],
(5)
donde
1
p(dz) = i [1 + sign(dx)] [1 — sign(dz + d—D)],
con k >> 1 y dz = x —y. Entonces, como puede observarse, la nica excitacidn que se presenta en la ecuacién (4) es la que le entrega el elemento Mz, es decir, cuando ambos bloques estan en contacto.
Otra forma deescribir las ecuaciones (3) y (4), es en forma de variables de estado
A 22 0
. k b k 1
22 _ =F et = mi 22 _ iia, (21 _ 23) 4 a UL (6)
23 24, 0
ZA — Sx = a. (zs = 21) 0
donde z1 = 2%, 2 = £, 23 = y y 4 = y. Esta representacion se utilizard para la imple-mentacién numérica del ejemplo siguiente.
En la figura 10 se muestra un ejemplo de los efectos causados por el juego mecaénico en la respuesta de un sistema mecanico como el queseilustra en la figura 9 usando el modelo propuesto en (6), donde la sefial de entrada es periddica, con z1 = y? s/Jgo. y z3 = y” c/Jgo. Los pardmetros empleados corresponden a los pardmetros del sistema IMDU donde J, = 174.311 x 10-4(Kg +m?) Jo = 5.83 x 10-5(Kg + m?), be = b; = 0.0048(N -m-s),
ky = 0.3636(N-m), d=0.5, D=5.5, k = 20 y u = Qsin(t).
Posicién
[grad]
10 15 20 30 -20 10 0 10 20 30
Tiempo[seg] y? shugo.
(a) Respuesta (y?) (b) Relacion entre y? s/Jgo. y y” c/Jgo.
Figura 10. Respuesta (y”) del modelo del juego mecdnico dadopor(6) utilizando los pardmetros nominales del IMDU.
II.3. Juego mecanico tipo zona muerta
Otra forma de representar matemédticamente el juego mecaénico es como una zona muerta, la
que se presenta comtinmente cuando la trasmision es flexible. En la figura 3, al inicio de este
capitulo, se muestra la grafica caracteristica entrada-salida de este tipo de no linealidad.
El modelo matematico que describe la zona muerta utilizado en (Corradini et al., 2004;
Lagenberg, 2007), es
ma(u(t)—ca)
si x(t) > ca
y(t) =
0
sic, < u(t)<cq -
(7)
m;(x(t) — G)
si z(t) < cq
Un ejemplo del efecto causado por el juego mecanico tipo zona muerta en un mecanismo al
aplicar una sefial de entrada periddica y* = 4sen(27f), se muestra en la figura 11. En esta
figura se observa que el comportamiento entregado es el mismo que el que se muestra en la
figura 5, pues la amplitud de y? se ve afectada por este fendmeno al reducirse en funcién
del tamamo de la holgura. Ademas, tal respuesta se vera afectada por un retardo, el cual
correspondeal tiempo en que ambos elementos hacen contacto.
oO 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Tiempo[seg]
(a) Respuesta (y”) (b) Relacién entre y? s/Jgo. y y? c/Jgo.
Figura 11. Respuesta y? del modelo del circuito electrénico con una zona muerta dada en (7), cuandola entrada y* es una sefial senoidal (cq = c; = 2 y mq = m; = 1).
Cq = d, es mediante la expresién
Zq(x) = a4 — Sata (zx),
(8)
dondesata(x) esta a su vez dada por
©,
\z| <d
satg (x) =
;
(9)
dsign(z)
|a|>d
cuya grafica caracteristica se muestra en la figura 12. La grafica caracteristica de la zona
sat(x) 4
at
Figura 12. Caracteristica entrada salida de la saturacion.
muerta en funcién de los pardmetros que describen la saturacién se ilustra en la figura 13.
Esta forma alternativa es util pues descomponeel efecto de la zona muerta en un término
z(x) 4
Figura 13. Caracteristica entrada salida de la zona muerta.
de una perturbacién. Esto puedeser de gran ayuda en el andlisis de la dindmica del sistema
controlado, como sera presentado en capitulos posteriores.
IIl.4
Conclusiones
Existen varios modelos matematicos que describen el juego mecanico. En este capitulo se
han descrito solamente los modelos que se consideraron aplicables para los propésitos de esta
tesis, segiin las caracteristicas fisicas de los dispositivos mecanicos con los cuales se trabajo.
Cabe mencionar que todos los modelos del juego mecanico son ideales, en particular el de
histéresis y la zona muerta. Sin embargo, la implementacién numérica de estos modelos es
de gran ayuda para darse una idea del comportamiento que pueden presentar mecanismos
que presenten este fendmeno.
Enla practica, el comportamiento de los mecanismos con esta no linealidad se asemeja a
una combinacién de ambos modelos, con otros elementos que en general no son considerados
en la literatura, como se ilustra en la figura 10. Otro punto importante es que debe
consi-derarse la ubicacién del juego mecanico, pues para el caso de la figura 6, éste se encuentra
a la entrada del sistema, mientras que para el caso de la figura 10 el juego mecanico se
encuentra entre los dos elementos del mecanismo,por lo que la respuesta del sistema no se
respuestas tanto experimentales como la de los modelos propuestos son muy aproximadas,
dado que el objetivo del circuito electrénico es emular sistemas con zona muerta, por lo
que se tiene un mejor control sobre los parametros del sistema y de la zona muerta y, en
consecuencia, sobre los experimentos disenados para analizar el efecto de este fendmeno, lo
Capitulo III
Control con modelo interno (CMI)
En este capitulo se describe la metodologia de control llamada “control con modelo interno”
(CMI). Se presenta primero el CMIparasistemas lineales, propuesto en (Riveraet al., 1986).
Este algoritmo seré implementado como antecedente de los controladores lineales aplicados a
sistemas con holgura. Posteriormente se presenta una versiénde este controlador, propuesta
en (Alvarez Gallegos y Zazueta, 1998) y denotada como C'M1,, la cual fue disefiada para
sistemas o plantas no lineales de una entrada y una salida, representada por ecuaciones
diferenciales ordinarias. Aqui se presenta el caso de sistemas con gradorelativo completo.
Ademas, se incluye un analisis de las propiedadesde estabilidad de esta estructura de control.
III.1 CMI para sistemaslineales
En la figura 14 se muestra la estructura clasica del CMI, la cual esta compuesta por el
sistema lineal a controlar (planta), un modelo de la planta conectado en paralelo (“modelo
interno”) y un controlador lineal. En esta figura yg es la salida deseada, d es el error entre
la planta y el modelo, u es la accién de control, d representa las perturbaciones externas a
la planta, y es la salida de la planta y e es el error de retroalimentacién yg — d.
Note que el efecto de la trayectoria en paralelo de la planta y el modelo, como se observa
en la figura 14, es restar el efecto de las perturbaciones sobre la salida del proceso. En
el caso ideal, cuando el modelo es perfecto y las condiciones iniciales de la planta y el
modelo son idénticas, entonces la senal de retroalimentacién es igual a las perturbaciones
y no es afectada por la accién de las variables manipuladas por el controlador. Por lo
Yane i+/7°\I iontoneerneonnte@ ControlCMI ae J Planta ee ay“Ge } sn y
“A
d
Figura 14. Estructura CMI lineal.
la retroalimentacion desaparecen, tales como inestabilizar el sistema en lazo cerrado debido
a incertidumbres paramétricas 0 perturbaciones no modeladas.
En el mismo caso ideal, esta estructura es estable si la planta y el controlador son
estables. Ademas, el controlador CMI juega el papel de un control con prealimentacién
(“feedforward”) y se puede disefiar comotal. Sin embargo, el CMI no tiene de las desventajas
de los controles prealimentados; en particular, no requiere el acceso total a los estados de
la planta, ni requiere de un modelo exacto. Para el caso del CMI, éste puede cancelar
los efectos de las perturbaciones no medidas, puesto que la senal de realimentacioén esta
sometida a la misma influencia y modifica proporcionalmente la variable de control. Si
el modelo no sigue o genera perfectamente la dindmica de la planta, entonces la sefal de
retroalimentacién acusa la influencia de esta dindmica no modelada y de las perturbaciones,
corrigiendo la senal de control para disminuir el error de salida yg — y.
Considérese el esquema de control en lazo cerrado mostrado en la figura 15. La respuesta
d
+
foes ée foe EN
Va. st — 4 ie U g +7
y
de la planta g, en el dominio de Laplace, esta dada por
y=gut+d.
(10)
Normalmente requerimos que:
Y = Yd; (11)
para lo cual es necesario que
Ya = gu + d.
(12)
De esta ecuacion, la accién de control necesaria para satisfacer la ecuacién (11) esté dada
por:
u= = (ed).
(13)
Este controlador lograra un control perfecto sdlo en el caso en que g y d representen modelos
matematicos perfectos (es decir, sin errores de modelado) tanto de la planta como de las
perturbaciones, respectivamente.
Supongamos, sin embargo, que nuestro mejor modelo matematico de la planta (denotado
por g) es solo una aproximacionde la planta a controlar g, como normalmente ocurre en la
practica. Una manera de estimar las perturbaciones (d) y las dindmicas no modeladas de
la planta es sustraer la respuesta medida de la planta (y) de la respuesta del modelo g, es
decir,
d=y-— gu, (14)
donde d representa las perturbaciones estimadas. Entonces la ecuacién (13) se puede
rees-cribir como:
u=c(ya—d),
(15)
donde c = 1/g. En términos de un diagrama de bloques, las ecuaciones (14) y (15) se
pueden representar como se muestra en la figura 16.
Uno de los problemas practicos que se presentan durante la implementacién del CMI
wvrscsonrcreiyh cneeremvniawarnose Va + f elton: \ e Cc
Figura 16. Estructura del control con modelo interno.
de esta forma, ya que en general c es una funcién impropia (el orden del numeradores
mayor al orden del denominador). Ademas, si el la aproximacidén g es de fase no minima,
entonces esto provoca que c sea inestable. Para evitar que la funcién de transferencia del
controlador sea impropia se puede agregar un filtro a esta funcién de transferencia, por lo
que el controlador adquiere la forma
1
c= 5 (16)
donde f representa la funcién de transferencia delfiltro. Una de las posibles formas de dicho
filtro esta dada por
1
e+)”
om
f=
donde el orden del filtro n se elige de manera tal que c sea una funcidn de transferencia
propia. Por otra parte, A es un parametro de sintonizacién del controlador, que determina
la rapidez del sistema en lazo cerrado.
Para ilustrar el comportamiento de este controlador, en la figura 17 se muestra un ejemplo
de la respuesta que entrega el CMI para sistemas lineales, al aplicarlo al sistema dado por
(6
G(s) — ———
(s) as? +bs+c’
(18)
donde a = 174.31 x 10-°, b = 96.6 x 1074 y c = 0.3636, con A = 0.02 yn = 2.
Se observa una respuesta rdpida y efectiva del sistema. Cuando g = g, este esquema
Posicién
[grad]
100 - 3
——y
a | - --y? cm, |]
| 2
| 1
| &
| Gi
=
| 2
0 1 . a i ‘
0 5 10 15 20 0 10 15
Tiempo (seg) Tiempo (seg)
(a) Salida (b) Entrada
2
1.5 4
4 4
0.5
go
-0.5
-1 4
~1.57
2 ; !
0 5 10 15 20
Tiempo (seg)
(c) Error
Figura 17. Respuesta del sistema dado en (18) con el CMI.
presenta un cierto grado de robustez; sin embargo, para ciertos sistemas los resultados
muestran que es deseable aumentar este margen de robustez. Es por eso que se propone
utilizar la estructura denominada C'MI,, descrita en Alvarez Gallegos y Zazueta (1998), ya
que conesta estructura se logra aumentar el grado de robustez, ademas de generalizar esta
técnica para una clase importante de sistemas nolineales.
Ill.2 CMI, para sistemas no lineales
En esta seccidn consideraremosque los sistemas pueden representarse mediante la ecuacién
diferencial ordinaria
d” Yp dy, d?- 1 Yp dYy qd” —1 Up
—4fF
qin * (1 dt) dant)
—,... =S| Yer Ge es Gama)
—,...a)
1donde F' y G son funciones suaves y wu es la entrada de control. Una seleccién adecuada de
variables de estado convierte este sistema a la forma
Lp, = Zp,,, (@=1,...,n—1),
Sp, = fp (Zp) + Gp (Lp) us (20)
¥Y = 2p)
donde z, = (2p,,...Zp,) es el estado, f, y gp son funciones dadas por f, = —F, (tp) y
Ip = Gp (Zp).
La técnica de diseno del CMI, utiliza un modelo conectado en paralelo con la planta,
retroalimentando la diferencia entre las salidas de la planta y el modelo como se muestra
en la figura 18. Ademasse incluye unfiltro, que tiene un papelsimilar al filtro introducido
en el CMI. En esta figura se puede observar que, en este caso, el controlador requiere del
estado del modelo.
Con esta nueva estructura es posible demostrar que, bajo ciertas condiciones, el
| Control
Planta
>) A
|
Modelo
me
Filtro
Figura 18. Estructura del CMI,.
paramétricas, a condicién de queel sistema en lazo cerrado tenga al menos un punto de
equilibrio asintéticamente estable. Estos equilibrios pueden estar ubicados en cualquier
lu-gar, por lo que no es necesario que el modelo sea idéntico a la planta. Esto se estudia
ampliamente en Alvarez Gallegos y Zazueta (1998).
La ecuacién (20) representa el bloque de la planta de la figura 18, la cual es de grado
relativo completo, y de orden n, y u € ¥ es la entrada de control, yp € ¥# es la salida y
r,(t) € R” es el estado de la planta. El bloque del modelo tiene la forma
Lm = 2m, (t= 1,...,n—1),
frm = fin (Xm) + Gm (Lm) Us,
(21)
Ym = Lm;
donde Lm = (Gmy,--+;Limn) € Xm CR", Xp C Xm Y fm Y Gm son funciones suaves, wu es la
entrada de control, ym € FR es la salida del modelo y 2(t) € KR" es el estado del modelo.
También se supone que el sistema (21) tiene grado relativo igual an, 0 sea, Gm(%m) # 0
para toda 2m € Xm. Adicionalmente, se supone que fi,(0) = 0.
Sea e?™el error de salida planta-modelo igual a
El bloque delfiltro de la figura 18 es un sistema lineal estable, definido por
fp, = 2y,,,(t=1,...,n—1),
Pa (23)
Lp, = —arr; tay,e?™ = fy (xy,e ;
Uf = Uf)
donde xs = (vp,.-.,27,) © R” y ay = (ap,.--,a7,) € KR” es tal que elfiltro es estable,
donde el vector de pardmetros a; se utiliza como un paradmetro de ajuste o sintonia. La
estabilidad de este bloque implica que el polinomio caracteristico
s" +a,,s”'+a,z_,8”? +--+, =0, (24)
tiene raices con parte real negativa. Este filtro se obtiene a partir de un filtro pasa bajas de
orden n cuya funcidn de transferencia tiene la forma de (17) del esquema CMI.
El ajuste del pardmetro A, al igual que para el caso del CMI, presenta cierto compromiso
entre desempeno y robustez. Un filtro con una constante de tiempo lenta implica mayor
robustez de la estructura, pero ofrece un bajo desempeno, y viceversa. La inclusion de este
filtro permite, entre otras cosas, el desarrollo de un controlador realizable.
Se supone igualmente que la unica senal medida de la planta es la salida yp, y que se
tiene el objetivo de control de que esta salida debe seguir una sefial suave y* que converge
exponencialmente a una constante.
La ley de control que genera el bloque de control de la figura 18, propuesta en Alvarez
Gallegos y Zazueta (1998), se basa en la linealizacién entrada-salida por retroalimentacién
del estado de un sistema relacionado con esta estructura. Para describir este sistema, es
necesario definir un conjunto de variables auxiliares que ayudaran para realizar el disefio y
simplifican el andlisis de estabilidad.
Definamoslas variables auxiliares dadas por
Ee; = Zp; —Z@m,;
donde y* = (y*,dy*/dt,...,d"~'y*/dt”1) es una sefial de referencia suave.
igualmente la variable y = (y1,..., Yn).
De (25), se obtiene el siguiente sistema
Yi = Yis1 t=1,...,n—-l,
Yn = fm (Lm) +9 (Lm) U+ fe (Zs, €1)
-Consideremos el control
tim (2m) + Sf (xy, €1) fy (y) _ any" /at”
un g (2m)
donde fm, Im, ff estén definidas en (21) y (23) y f, estd dada por
fy (y) = ony — «++ — OnYn,
y las constantes a; se escogen de tal manera que el polinomio caracteristico
s” + ans™| + On_18"7 +--+ +a, =0,
es estrictamente Hurwitz.
Definamos
(28)
(29)
Ahora, usando las variables auxiliares (e, y) y definiendo un nuevo estado completo del
sistema como € = (e,t7,y)', el sistema CMI, en lazo cerrado estaré definido, en las
coordenadas €, por el siguiente sistema de ecuaciones
i = fp (Zp) — fm (Gm) + (9p (Zp) — Gm (Fm) Us
fy = fp, (¢=1,...,n—1),
tp, = —ayty tape™™,
Yi = Yit1)
Yn = —Q1Y1 — .-. — AnYn,
para i = 1,...,n —1, wu definida en (27), (fp(Xp), Gp(Zp)) dadas en (17), las cuales se
evalian para t%) = e+y—25+ 9" y (fm(Zm),Gm(Lm)) definidas en (21), evaluadas para
Si la ley de control tiene la forma (27) entonces, bajo las condiciones mencionadas
anteriormente, se tiene el siguiente lema.
Lema 1 Suponga que el sistema en lazo cerrado dado en (17), (21), (23) y (27) tiene un
punto de equilibrio Z = ( Ep, Em, Bf ) € #8". Entonces la salida de la planta
correspon-diente a este punto de equilibrio es lim y=y.
—
Una condicién importante propuesta en Alvarez Gallegos y Zazueta (1998) para que la ley de
control (27) pueda estabilizar y regular eficientemente la planta de la forma (17), atin cuando
ésta no se conozca con exactitud, es que para un caso nominal exista un equilibrio estable
del sistema en lazo cerrado, y que éste se conserve cuandola planta sufra una variacion en
algunos de sus pardmetros, ya que la convergencia de la salida de la planta a la referencia
se garantiza con la existencia de equilibrios estables.
En la figura 19 se muestra la respuesta obtenida al implementar este CMJ, en una
planta dada por
“DP p
Ly = Lo
|
(31)
£5 = —aPal — bah + Pu,
donde se propone un modelo y un filtro dados por
Ly = xy
|
(32)
ty = —a™at — 0a +c",
x f
Ly = Lo
|
(33)
tf = —alal — dfaf + afer,
y los parametros nominales estan dados por a? = a” = 0.0174, b? = b™ = .966, c? = 3.636,
c™ = 7.2, y los pardmetrosdel filtro son af = 40, y b = 400. Las ganancias de control son
a, = 100 y ag = 20. Obsérvese que aunque hay una diferencia del 100% en el valor de la
pardmetros c™ con respecto al de la planta, c”, el error en estado estacionario es cero.
Otro ejemplo del desempefio del C'MI, aplicado a un sistema quetiene la forma (6) se
100 T 1
—y
~~ -yom,| 0.8
0.6 0.4
z 0.2
5 Zo
E -02
-0.4 -0.6 -0.8
0 1 1 + ‘ . .
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 Tiempo (seg) Tiempo (seg)
(a) Salida (b) Entrada
15 —
5
-15Oo 5. 101 151 20
Tiempo (seg)
(c) Error
Figura 19. Respuesta del sistema dado en (31) con CMI, .
zada es
WIT m™m
ty = 2,
yt __ ™m
Lg = 2X3,
om = 2”,
(34)
oT = Limh™ (z) + LgmL*, h™ (2) p,
y™ = 2",
con L4mh™ (z) = af, + bfe + cfs + dfa, Ligm L? (z) =e, donde a= a b=73,c= oh
2 =
son
Ly = 9)
iy = 05,
if = af,
(35)
af = —alaf — abat — abai — aici + aler™,yf = x1,
y finalmente la ley de control esta dada por
—L4,h™ (z) + alxf — afer™ + dty*/dt* — ay
b=
Lom Leh (z)=
(36)
donde
alxf = —ale!l —afet — ale! ~afal,a 9% 3%3 404 (37)
aly = —ayy, — a2y2 — a3Y3 — Aaya.
Se considera que el modelo no incluye el juego mecanico, solo la planta. Los valores de
los pardmetros utilizados se muestran en la tabla I los cuales fueron tomados de Quanser
(2009). Los polosdelfiltro y del control estén ubicados en —3,es decir que af = 1, as = Qo,
Los resultados obtenidos se muestran en la figura 20, para una senal de referencia de
90°, con un juego mecanico de 135°. En este caso se considera al juego mecénico como
una perturbacién externa y en el modelo del sistema no es considerada tal perturbacion.
También es necesario mencionar que para estos resultados se consideré un modelo perfecto,
sin variaciones paramétricas. Como puede observarse en la figura 20(c), el error en estado
estacionario es cero.
III.3.
Conclusiones
El CMI ofrece buenos resultados atin para el caso no ideal, es decir, cuando no se cuenta
Posicién
[grad]
100 —> T 35 90r = s\ ---+-y 30
80+ \ 4
\
70} \ | 25
\
60}; ‘ 20 J
50 \ =
\ |.
40 \ 15
\
30 \ 7 10
\
20+ ‘ 4
‘ 5f
10} \ 4
* ~
0 . 1 = 0 1 1
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 Tiempo[seg.] Tiempo[seg.]
(a) Salida (b) Entrada
Error
[grad]
5 10 15 20 Tiempo [seg.]
(c) Error
Pardmetro Valor
Jy 174.311 x 1075
B, 96.6 x 1074
ky 0.3636
Jo 5.836 x 1074
Bo 96.6 x 10-4
Qy 81
Qe 108
3 54
a4 12
comose ilustra en la figura 19. Sin embargo, no garantiza la convergencia del error yp — y*
a cero cuando las variaciones paramétricas son muy grandes, atin cuando la respuesta del
sistema si converge a un valor constante. Es por eso que, para este trabajo de tesis, se
propone utilizar el CM1I,, disenado para unaclase de sistemas no lineales. Como pudo
observarse en la respuesta dada en la figura 20, el error en estado estacionario es cero atin
cuando se presenten perturbaciones paramétricas y perturbaciones externas no consideradas
en el modelo. Por otra parte, no es necesario tener acceso a la medicidn de éstas. Este
comportamiento es posible sdlo con la condicién de que exista un punto de equilibrio en
lazo cerrado. Es posible analizar la existencia y estabilidad de dichos equilibrios, como se
Capitulo IV
Control de un circuito electr6nico con zona
muerta
La caracterizacion y el modelado de la holgura no es un problematrivial. Uno de los modelos
mas simples, y que caracteriza el comportamiento del backlash en ciertos dispositivos, es
la llamada zona muerta (figura 3). En este capitulo se describe la aplicacién del CMI;
para controlar una clase de sistemas con zona muerta en el canal de control, analizindose
también la existencia y la estabilidad de equilibrios en el sistema en lazo cerrado. Se describe
también la aplicacién del CMI clasico, para sistemas lineales, con el objeto de evaluar las
diferencias entre ambos disenos.
Con el objeto de contar con un sistema fisico que presente con exactitud el
tamiento de una zona muerta, se utilizard un circuito electrénico que exhibe este
compor-tamiento. Los resultados de este capitulo constituyen una primera etapa en el estudio del
comportamiento dindmico del CMI, aplicado a este tipo de no linealidad.
IV.1
Control con modelo interno de sistemas con zona
muerta
En esta seccién se disenan ambas versiones del controlador con modelo interno, el caso
clasico para sistemas lineales (CMI) y el CMI,. Ambos seran aplicados a un sistema de
segundo orden en el dominio de Laplace dado por
(38)
entrada se observa en la figura 27, donde la entrada v es la salida de una zona muerta de
holgura [—d, d], descrita por v = y(u, d) y u es la entrada del sistema.
fi)oP plc) OU.
Figura 21. Representacion de la planta.
IV.1.1
CMI clasico
Para el diseno del CMI clasico se proponeun filtro de segundo orden dado por 1
P(s) = Gaye
(39)
donde A = 5 x 10~°. Dadoel sistema con la forma (38), el control CMI, de acuerdo a lo
descrito en el capitulo anterior, esta dado por
1 1
oo = £=(mob)
(s) bea (As + 1)? s?+bs+a_ 40
c(As + 1)?’ (40)
s?+bs+ta
cA\7s? + 2cAs tc
Este controlador sera comparadocon el controlador PJ en la siguiente seccién, cuyas
ganan-cias fueron seleccionadas heuristicamente.
Resultados numéricos al aplicar el CMI y PI al circuito emulador de sistemas
con zona muerta
Enla figura 22 se muestran las respuestas obtenidas al aplicar los controladores CMI y PI,
y ademas se muestra la ley de control y tambiénel error para ambos algoritmos.
El objetivo de implementar el CMI a el sistema descrito en este capitulo es ilustrar
el desempeno del CMI como un antecedente considerando el caso mas sencillo, pues se
2.5 + 10 +
2 af ri
1.5 6 ilHO
1p 4 { Thee, Steer
| yee 1
J ost 2 PF i J
a Li, il
5 0 = oft Vy tk
3 t Vy re
& -0.5 ~2hih I iw
i | 134,
agile ween ee eel eeaon oe
| 4 fy ~
| hy
“1.5 -6 " if 4
Ki
ili
-2 -8 de 4
“a8 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 71% 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Tiempo (seg) Tiempo (seg)
(a) Salida (b) Entrada
1.5 0.5 0.5
\ ——-CM,
i 0.4 o46 Jenn, PI
1 1ii 0.3 0.3
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1.50 0.01. 0.02. 0.03. 0.04. 0.05 -0.56.005 0.01 0.015 -0.50.024 0.026 0.028 0.03 0.032
Tiempo (seg) Tiempo (seg) Tiempo (seg)
(c) Error (d) Error en estado estacionario
Enla siguiente seccién se muestran resultados al aplicar el CMI, y se comparan tales
resultado con el PI.
IV.1.2 CMI,
La ecuacién diferencial correspondiente al sistema de la figura 21 es la siguiente,
d2yP dy?
a + yp +aPy? = c?y(u,d), (41)
donde el superindice p denota el pardmetro o variable asociado a la planta a controlar.
Notese que la zona muerta y(u, d) puede descomponerse como
y(u, d) =u —sat(u, d),
(42)
dondesat(u, d) es la funcién saturacién de pendiente unitaria y de amplitud d (Cuesta
Gar-cia, 2009). Definamos x? = y?, 25 = dy? /dt, entonces (41) adquiere la forma1 2
ap = oh,
ah = —aPal — Pah + Put),
(43)
yP = 2h,
donde ~ = —c?sat(u,d). Esta descomposicién sugiere considerar al término y(u,d) como
una perturbacién acotada. A su vez, esto permite simplificar el disefio del CMT, si, al ser
considerado +(-) como perturbacién dela planta, este término noes incluido en el modelo.
Para disenar el CMJ, se propone el modelo
am = of,
zy =—a™e? — b™a + c™u,
(44)
y™ = ay,
y el filtroaf = af,
af = —alal — abet + afer,
(45)
dondelas los coeficientes a™, b™, c™, af Ly as son constantes reales positivas, y e?" = xf —ax} es el error de salida de la planta y el modelo.
Para el cdlculo de control, se definen las variables auxiliares de la siguiente manera
y=y=aartal —y*,
(46)
Y=y=aUP+ah—y*,por lo que entoncesse satisface la dindmica
Yi = Y2; (47)
Yo = —a™ay — b™a™ + C™u — alal —alaf +alem — a2 1 2 a 225 1 y:
Si se establece la igualdad wy. = —ay, entonces el control es de la forma
_ a™c™ + b™2™ + ala! + afcl — aleP™ + i* — ay (48)
c™
por lo que se puede concluir que y tiende a cero exponencialmente. Entonces, dada esta condicién, se prosigue a estudiar la dinédmica remanente, considerando y = 0 (dindmica
cero).
Analisis de equilibrios y de la dinamica cero del CMI,
Dado que el subsistema y exhibe la dindmica y = Ay, donde A es una matriz estrictamente Hurwitz, la salida auxiliar y siempre converge exponencialmente a cero. Por otra parte, la referencia y* converge a una constante; por lo tanto, el estudio de estabilidad y de equilibrios puederealizarse sobre las ecuaciones que describen la dindémica cero. Esto sera presentado
en esta subseccién, considerando que los parametros de la parte lineal de la planta y del
modelo son iguales.
El control u (48) tiene entonces la forma
aa + b™e™ + afal + adel —aferm
=
;
(49)
cm
que al sustituir en (44) resulta, para la dindmica del modelo, en
(50)
Si consideramos ahora las coordenadas dadas por
fit = ai,
E12 = ai, bo = C1,
fo2 = €2,
(51)
donde ey = 2} — xf’ y eg = x — xy", entonces las ecuaciones de estado de las nuevas
coordenadas son
fi1 = €1 = 2,
£ = €9 = —a™ ey = b™ eo + Ys
io
(52)
fo4 = if = ai,
fos = ad = —alaf _ ad x} a al eP™, o de forma matricial
at
0
1
0
0
0
f _af _p»f "
. Ly a a ay 0 0
t=
=
:
E+
y.
(53)
ey 0 0 0 1 0 €9 0 0 —a™ —b™ 1
m4
El sistema (53) puede verse como unsistemalineal asintdticamente estable, perturbado por
7 = —csat(u,d). Si el sistema perturbado tiene puntos de equilibrio, la estabilidad de los
mismos también puede ser analizada. Dado que
ary —ai ty",
oP =y—ah+y",
ve—eyty—afty’,
(54)
we =egty—ait+y*,
sustituyendo (49) en y y, puesto que c? = c, se tiene que
aa +ba"+al ef ta,af —afe ‘) ) )
y= cts( ca
El punto de equilibrio de las ecuacionesdel filtro en estado estacionario es
a =& =0, af = & )
entonces
7 = —sat (amay + afé, — ala, d) .
= -sat (a™z1,d) = sat (—a” (—2{ + y") .d) , = a™sat (2/ ~ y'd) ,
por lo que la solucién de las ecuaciones del error, sustituyendo 7, es
&= 0,
—a™gf 45 = —agmzf+7 =—a™Z, + a™sat (7,m at —y*,d)*d)==0.
Entonces af = sat (2f —y*, d), cuya solucién es
d, y* <0
B=)
[-dtd) y*=0
d y*>0
Finalmente se tiene que el punto de equilibrio de (53),
af
af
_
al
0
=
=
e
af
€2 0
es asintéticamente estable.
(56)
(58)
(59)
IV.2
Resultados numéricos
En esta seccion se presentan algunos resultados numéricos de la implementacién del CMI, y
su comparaciénconel algoritmo de control clasico Proporcional-Integral (PI). Los parémetros
del circuito electrénico emulador de sistemas mecanicos utilizados para obtener resultados
numéricos son J = 0.25(kg-m?), B = 2(N-m-s), k = 2(N-m?) y d = 2°. Dadas las
limitaciones fisicas del circuito y las caracteristicas de la tarjeta de adquisiscién de datos
dSPACE DS1104, se propuso evaluar las técnicas de control sdlo para una sefial de
referen-cia, pues nos interesa conocer el desempeno que entregara experimentalmente estas técnicas
ante una holgura conocida, y ante incertidumbres paramétricas minimas.
La senal de referencia propuesta es un tren de escalones filtrado por un sistema de
segundo orden, con amplitud de +2°. En la figura 24 se presentan los resultados obtenidos
numéricamente. En (a) se muestra la respuesta del circuito para ambas técnicas de control.
Se observa que el tiempo de convergencia del PI es mas rapido que el del CMI,, pero la
respuesta del PI nollegaal valor deseado. En (b) se muestrala sefial de entrada del circuito,
la cual esté en el rango de limitaciones dadas por el dSPACE.En (c) se muestra el error de
posicién para ambos controladores, y en (d) se muestra el error en estado estacionario, el
cual para el caso del CMI, es cero y para el PI es +0.11.
Dados los resultados obtenidos numéricamente se prosiguié a implementarlo
experimen-talmente. En la siguiente seccidn se muestran los resultados obtenidos.
IV.3
Resultados experimentales
Se muestran los resultados experimentales para el sistema controlado por los esquemas
CMI, y PI, incluyendo la funcién de zona muerta solo en la planta, mas no en el modelo.
En la figura 24 se muestran los resultados experimentales. Para la sefial de referencia
10 : 1 r 1 = = =1(t)CMI, at 1 toe a(t) Pl
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0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Tiempo(seg) Tiempo (seg)
(a) Salida (b) Entrada
2 0.5 0.5 *
1.5 4 0.4 0.4 hy, 0.3 0.3
1F fis 4
qu 0.2 0.2
2k
0.5 my qo aire iat RT al 3 ii 3 0.4 0.4
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Tiempo (seg) Tiempo (seg) Tiempo (seg)
(c) Error (d) Error en estado estacionario
con el del PI, es mejor pues en (a) se comprueba queel tiempo de convergencia es menor para
el PI que para el CMI,, pero como puede observarse en (d), el error en estado estacionario
para el CMJ, es aproximadamentecero, y para el caso del PI es 0.19.
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Tiempo[seg] Tiempo (seg) Tiempo (seg)
(c) Error (d) Error en estado estacionario
