acostumbran y aceptan tal situación (aunque algunos nunca lo hacen).
Una razón para que suceda lo anterior es que las autoridades de una determinada área de estudio adoptan terminologías de otros campos en los cuales no son especialistas. En otras oca-siones puede ser simplemente una cuestión de semántica, ya que en algunos lenguajes hay vocablos que pueden tener más de un significado; o viceversa, también puede suceder que las personas utilicen dos o más palabras como sinónimos aun cuando, de hecho, sus significados sean distintos.
La utilización de la palabra tasa en la epidemiología, la demografía, la medicina e incluso en los trabajos actuariales padece de tales desventajas; este término, que se adoptó de la física y de la bioquímica, suele ser mal interpretado. En el idioma inglés, la palabra tasa tiene más de un significado; el error más común es utilizarla como sinónimo de proporción, y lo que resulta aún peor es que ambos términos se aplican incorrectamente como sinónimos de razón.
Antes de leer la siguiente sección, por favor tome un lápiz y papel y anote sus propias de-finiciones de tasa, razón y proporción. Si le resulta difícil hacer lo anterior o tiene la curiosidad de saber lo que dicen al respecto los libros más respetables en la disciplina a la que usted pertenece, compare sus definiciones con las que ofrecen sus colegas. Finalmente, termine de leer este artículo y, si está en desacuerdo, discuta conmigo las definiciones que a continuación le ofrezco.
Razones, proporciones y tasas
Razones
En un sentido muy amplio, una razón es el resultado que se obtiene al dividir una cantidad con otra(R= a/b).
En las ciencias, sin embargo, este término se utiliza con un significado muy particular, cuan-do el numeracuan-dor y el denominacuan-dor se refieren a cosas distintas; es decir, cuancuan-do ninguna de las cantidades contiene a la otra. A menudo ambas cantidades se miden en las mismas unidades, pero lo anterior no es esencial. Por ejemplo, para una población dada podemos hacer los siguien-tes cálculos:
razón de sexos= (No. de hombres)/(No. de mujeres)
razón de muertes fetales= (No. de muertes fetales/No. de nacidos vivos),
La definición de tasas.
Algunas precisiones acerca de su correcta
e incorrecta utilización*
Regina C. Elandt-Johnson
n casi todas las disciplinas científicas existe una cierta cantidad de imprecisiones y ter-minologías ambiguas, las cuales perturban y confunden a los principiantes, en tanto que se
Con frecuencia, un índice, que es una medida de resumen utilizada para comparar dos o más fenómenos, se expresa como una razón. Por ejemplo, el
índice de peso-talla= kg/(cm-100)
es una razón que se interpreta como una medida de obesidad.
Proporciones
Unaproporción es un tipo especial de razón, cuyo numerador está incluido en el denominador [p= a/(a=b)]. Por ejemplo, el resultado de la operación
No. de hombres
(No. de hombres) + (No. de mujeres)
al efectuarse con datos provenientes de una comunidad particular, nos dice cual es la proporción de hombres en esa localidad.
Con frecuencia, los epidemiólogos calculan la proporción de muertes fetales de la siguien-te manera: (No. de muersiguien-tes fetales/No. de concepciones), y la llaman (incorrectamensiguien-te) “tasa de muerte fetal”. En realidad, se trata de una frecuencia relativa de las muertes fetales respecto al total de concepciones, que se puede utilizar como una estimación de la probabilidad de ese evento. En general, no se requiere que el numerador y el denominador en la operación a/(a+b) sean números enteros. Bien puede tratarse de mediciones de peso, talla, espacio, volumen, etcétera; aunque en tales casos las proporciones suelen llamarse fracciones. Por ejemplo, la masa de una parte de un cuerpo puede expresarse como una fracción de su masa total. En el caso de los fenómenos estocásticos, tales fracciones pueden utilizarse para estimar probabilidades.
Conceptos de tasa instantánea y tasa promedio
Las razones y las proporciones son medidas de resumen útiles para estudiar fenómenos que suceden en condiciones especiales. En particular, en los estudios poblacionales, ciertas condicio-nes están determinadas por factores como la raza, el género, el lugar y, a menudo, se refieren a un periodo particular (p.e., al lapso de un año).
Por otra parte, el concepto de tasa suele asociarse con la rapidez necesaria para observar un cambio. Lo anterior sucede al estudiar fenómenos como las reacciones químicas (ganancia o pérdida de masa, incremento o disminución de la concentración), los nacimientos, el creci-miento, la muerte, la propagación de una infección, etcétera, que suelen referirse a cierta unidad de tiempo o a otra variable (p.e., la temperatura o la presión).
Comúnmente, un fenómeno puede describirse como una función continuay de una variable independientex, (p.e., y= y(x)).
Así pues, una tasa puede ser definida como una medida del cambio que expresa una cantidad (y) por cada unidad de otra cantidad x, de la cual y es dependiente. Por lo tanto, si y= y(x) y ∆y= y(x + ∆x) - y(x), entonces la tasa promedio de cambio es ∆y/∆x (es decir, el cambio promedio de y por unidad de x en el intervalo (x,x + ∆x)).
Puesto que x suele ser la medida del tiempo y la cantidad ydescribe un proceso continuo a lo largo del tiempo, entonces
∆y ∆x
En muchas situaciones, la cantidad
∆y ∆x
varía junto con ∆x. Por lo tanto, la “verdadera” tasa por unidad de tiempo en un instante x es ∆y dy
∆x→0∆x dx
Para expresarlo con mayor precisión, la ecuación 1 es la tasa instantánea (absoluta) de cam-bio en y por unidad de tiempo en el momento x. Es decir, esa cantidad es la verdadera velocidad que corresponde a un proceso (o reacción) en el momento x. La “curva de velocidad”, α(x), describe
la forma y la dirección de los cambios en y(x).
La mayoría de nuestros ejemplos proceden de las tablas de vida, ya que éstas se relacionan estrechamente con los estudios epidemiológicos de las enfermedades crónicas.
El componente básico de las tablas de vida es la función de sobrevida lx, la cual puede considerarse como una función continua y monotónicamente decreciente de x. Por otra parte, la función
dlx dx
se denomina curva de las muertes y describe la velocidad con la que se registran las defunciones.
Tasas relativas
En la mayoría de los procesos químicos y biológicos, el dato que aporta mayor información no es el cambio absoluto en la cantidad de sustancia por unidad de tiempo, sino el cambio relativo por unidad de tiempo y por unidad de sustancia.
Por conveniencia, supongamos que x > 0 es el tiempo, mientras que y(x) es una “masa” expuesta a una reacción (p.e., decaimiento) en el tiempo x.
Entonces, la tasa instantánea (relativa) de cambio por unidad de masa y(x) y por unidad de tiempo en el momento x es
l dy y(x) dx
Puesto que este tipo de tasa es el más comúnmente utilizado, suele omitirse la palabra “relativa”, a menos que tal omisión cause algún tipo de ambigüedad.
En química, la ecuación 2 suele llamarse velocidad de reacción. Ahora bien, si aceptamos que la ecuación 2 es equivalente a la expresión
d log y(x) l dy dx y(x) dx
Entonces conociendo β(x), podremos evaluar y(x). Al integrar la ecuación 3 tenemos que y(x)=exp[∫x
0β(u)du] (4)
Un ejemplo de esta última función es el modelo exponencial de crecimiento. Para explicar lo anterior, permitamos que P(t) denote el tamaño de la población en el momento t y asumamos que el cambio en el tamaño de la población, dP(t), es proporcional a su tamaño presente y al cambio que tiene lugar a lo largo del tiempo dt; entonces
lim = = α(x) (1)
β(x)= (2)
dondea es la tasa de crecimiento, por lo cual
P(t)= P(0)eat (5)
Un ejemplo adicional es la fuerza de la mortalidad en una tabla de vida, que se define como l dlx
lx dx
Esta función es la tasa (relativa) instantánea de cambio en la sobrevivencia de una cohorte que experimenta un patrón particular de mortalidad, mismo que es descrito por la columna lx en una tabla de vida.
Otra posibilidad para interpretar la tasa β(x), tal como se define en la ecuación 2, es la
si-guiente:
l dy ∆y ∆y
y(x) dx ∆x→0∫xx+∆xy(u)du ∆x→0 y(x’)∆x
para algún valor de x´ en el intervalo (x,x+∆x).
En este caso, la integral ∫xx-∆xy(u)du= y(x’)∆x(que corresponde al área sombreada en la
figura 1) puede interpretarse como la cantidad de masa-tiempo(“masa por tiempo”) que está disponible entre los momentos x y x+∆x. Con base en lo anterior, podemos definir una tasa
(rela-tiva) promedio de cambio de la masa y(x) en el punto (x,x+∆x)por unidad de tiempo x, como ∆y ∆y
∫xx+∆x y(u)du y(x’)∆x
para algún valor de x’ en el intervalo (x,x+∆x).
De hecho, cuando se desconoce la forma matemática de y(x), la ecuación 8 solamente per-mite calcular b(x) a partir de los datos. Por lo anterior se hace necesario utilizar una “tasa pro-medio” en lugar de una tasa instantánea. Es necesario advertir que
∆y y(x)
representa la fracción (proporción) de la masa y(x) disponible en el momento x, la cual ha cam-biado (p.e., decaído) durante un periodo definido, que va desde x hasta x +∆x, y esa fracción no
es una tasa. La tasa, como se define en la ecuación 8, puede ser evaluada aproximadamente como
∆y y(x)+1/2∆y
donde el denominador representa la cantidad aproximada de “masa-tiempo” (nótese que ∆y
será una cantidad negativa cuando la masa se encuentra en un proceso de decaimiento). En las tablas de vida, la tasa central (o intermedia) de mortalidad se define como
lx - lx+1 dx
∫01lx+tdt Lx
µx= (6)
β(x)= = lim = lim (7)
b(x)= = (8)
p(x)= (9)
b(x)= (10)
x x+∆x
FIGURE 1.
que es un tipo de “tasa promedio”. En este caso Lx es el número total de años-persona que ha
vivido la población lx durante el año x a x+1. En los trabajos actuariales Lx a menudo se estima
mediante la función lx-1/2dx.
Así, la tasa intermedia de mortalidad se estima por medio de la tasa de mortalidad para cada edad específica, es decir,
No. de muertes observadas en la edad x a x+l Población en riesgo de esta edad
El concepto de población en riesgo, que también se llama en los trabajos actuariales “pobla-ción central expuesta al riesgo”, se interpreta como el número equivalente de personas indi-vidualmente expuestas al riesgo de morir en un año completo. En los experimentos poblacionales esta cifra se estima usando varias aproximaciones. Cuando tenemos datos de tipo año-calendario, se utiliza el tamaño de la población a la mitad de cada año de edad x (años cumplidos) como una aproximación del “verdadero” tamaño de la población en riesgo.
Ahora es necesario aclarar la definición de la importante función qx en las tablas de vida
lx- lx+1 dx
lx lx
que se asocia estrechamente a mx. A veces se le llama “tasa de mortalidad”, pero es claro que no se trata de una tasa, sino de la probabilidad (proporción) de morir duranteun año particular (tiempo fijo), pero no por año, lo que corresponde a aquellos que sobreviven hasta llegar a la edadx; la común arbitrariedad de utilizar periodos de un año al calcular las tablas de vida, probablemente sea la causa de la confusión que ha conducido a utilizar el término “tasa” en lugar del término “proporción”. Por otra parte, también el concepto de “población en riesgo” puede ser mal interpretado. El número de individuos vivos al inicio de un intervalo a veces es llamado por los actuarios “población inicialmente expuesta al riesgo” pero, a menudo, esta dis-tinción se pasa por alto.
Tal vez un ejemplo numérico nos permita aclarar mejor la diferencia entre proporción y tasa.
Supongamos que tenemos un grupo de 100 individuos (p.e., ratones) vivos al inicio de un intervalo de un año de duración, y que 40 de ellos murieron durante ese año. Entonces la proporción de muertes (p.e., la probabilidad de morir en ese intervalo) es 40/100= 0.40. Supon-gamos además que las muertes se distribuyeron uniformemente a lo largo del año; esto implica que el momento promedio de la muerte corresponde al punto medio del año. Entonces, durante el periodo de un año, cada uno de los sobrevivientes contribuyó con un año completo de “ex-posición al riesgo”, mientras que cada uno de los individuos que murieron contribuyó, en pro-medio, solamente medio año. Por lo tanto, el valor total de la “exposición al riesgo” es igual al total de “años-persona”, lo que, con los datos de nuestro ejemplo, se obtiene mediante la siguiente
=
la “velocidad promedio de la mortalidad”) es 40/80= 0.50, que es una cantidad distinta al 0.40 que se obtuvo antes al calcular la proporción.
Incidencia y prevalencia
Dos términos de gran importancia en epidemiología, que son las llamadas “tasas” de incidencia
yprevalencia, suelen emplearse con cierta ambigüedad y, desafortunadamente, no se dispone de una definición precisa de ellos.
Por ejemplo, el número de casos nuevos de una enfermedad que se registra durante un año en una determinada comunidad es la tasa absoluta de incidencia, pero esta cantidad no se refiere al tamaño de la población (el número de muertes por año puede ser llamado “tasa absoluta de incidencia de la mortalidad”, pero no se acostumbra usar tal expresión).
Sin embargo, para calcular las tasas relativas debemos tomar en cuenta los “periodos-persona” (con frecuencia, años-persona) o al menos obtener una estimación de ellos. Si el periodo es de un año, se utiliza el tamaño de la población a la mitad del año como un estimador de los años-persona de exposición y, entonces, la tasa relativa de incidencia es el número de casos nuevos por persona y por año (o por 1 000 personas y por año).
En cambio, si calculamos la razón del número de casos nuevos de una enfermedad entre el número de individuos libres de la enfermedad al inicio del intervalo, entonces lo que se obtiene es una proporción pero no una tasa. Durante las epidemias, cuando la propagación de una en-fermedad es muy rápida, estas dos cantidades pueden diferir considerablemente. A tal pro-porción se le puede llamar “incidencia” si así lo deseamos, aunque quizás “probabilidad de incidencia” sería una mejor expresión, pero definitivamente no es una tasa.
En contraste, el término prevalencia, que es la razón del número de casos que se registran en un periodo determinado entre el tamaño de la población, es siempre una proporción. El término
prevalencia es completamente legítimo para designar a esta última, pero es imposible llamar a esa cantidad “tasa de prevalencia”.
Conclusión
En resumen podemos decir que, en ciencia, los conceptos de razón, proporción y tasa deben ser definidos de una manera precisa y no pueden ser utilizados como sinónimos. Las razones se utilizan como índices; las proporciones son frecuencias relativas o fracciones que, frecuentemente, estiman las probabilidades de ocurrencia de ciertos eventos (o de hecho lo son), mientras que las tasas describen la velocidad y la dirección, o sea el patrón de cambio en los procesos dinámicos. Después de escribir este artículo, reflexioné acerca de la siguientes preguntas: ¿qué propor-ción de los investigadores que trabajan en las disciplinas mencionadas al principio se “converti-rán” en usuarios de estas definiciones? y, consecuentemente, ¿cuál será la tasa de conversión? Mi suposición es que ambas cantidades serán muy pequñas, ya que el adiestramiento usual y los hábitos adquiridos a lo largo del tiempo pueden tener un efecto mucho mayor que el poder “catalítico” de los argumentos matemáticos.
