2BAMACCSS2_Solucionario_UD6.pdf

6 Derivadas

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 a 3. Ejercicios resueltos.

4. Calcula la derivada de la función f x

( )

1 x

= en x = 1.

( )

(

) ( )

₍

₎

0 0 0 0 0

1 1

1 1 _{1 1 1} 1 1

' 1 lim lim lim lim lim 1

1 1 1

h h h h h

h

f h f _{h h} h

f

h h h h h h

→ → → → →

− −

+ − _{+ +} − − −

= = = = = = = −

+ + .

5. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las siguientes funciones.

a)

( )

₂1 3 f x

x

=

− en el punto de abscisa x = 2. b)

( )

2

2 1

f x = x + −x en el punto de abscisa x = −1.

a) La pendiente de la recta tangente es:

( )

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

→ → → →

− + −

−

+ − + − _{+ +} − +

= = = = = −

+ +

2 2 ₂

2

0 0 0 0

1 1 ₄

2 3

2 2 2 3 _{1 4} 4

' 2 lim lim lim lim 4

1 4

h h h h

h h

f h f h _{h h} h

f

h h h h h

Como la recta pasa por el punto de tangencia A

(

2, 2f

( )

)

=A

( )

2, 1 , la ecuación de la recta tangente es:

y− = −1 4

(

x−2

)

⇒ = −y 4x+9 b) La pendiente de la recta tangente es:

( )

(

) ( )

(

) (

)

(

)

→ → →

− + − − − + + − + − − −

− = = = = −

2

0 0 0

1 1 2 1 1 1 0 2 3

' 1 lim lim lim 3

h h h

f h f h h h h

f

h h h

Como la recta pasa por el punto de tangencia A

(

−1,f

( )

−1

)

=A

(

−1, 0

)

, la ecuación de la recta tangente es:

y− = −0 3

(

x+ ⇒ = −1

)

y 3x−3

6. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f x

( ) (

= 1 2− x

)

2, que es paralela a la recta y = 4x + 5. ¿Hay más de una recta que cumpla la condición anterior?

La pendiente de la recta tangente es 4 porque es paralela a y = 4x + 5.

Debemos ahora encontrar el punto de tangencia, A a f a

(

,

( )

)

, que debe cumplir que f a'

( )

=4.

( )

₀

(

) ( )

₀

(

1 2

(

)

)

2

(

1 2

)

2 ₀4

(

2 1

)

(

)

' lim lim lim 4 2 1 8 4

h h h

a h a

f a h f a h h a

f a a a

h h h

→ → →

− + − −

+ − + −

= = = = − = −

Como 8a − 4 = 4, a = 1. El punto de tangencia esA f

(

1, 1

( )

)

=A

( )

1,1 .

La recta tangente es y− =1 4

(

x− ⇒ =1

)

y 4x−3.

Derivadas | Unidad 6 235 7. La emisión de gases en toneladas en una fábrica, viene dada por la función n t

( )

=t

(

3 0,25− t

)

con

0≤ ≤t 10 (t en horas). Calcula la tasa de variación media de n t entre t

( )

= 5 y t = 7 horas, y la tasa de variación instantánea en t = 5 horas.

[ ]

5,7

( )

7

( )

5 8,75 8,75 0

7 5 2

n n

TVMn = − = − =

−

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

0 0

5 3 0,25 5 5 3 0,25 5

5 5

5 lim lim

h h

h h

n h n

TVIn h h → → +  − + − − ⋅ + − _{ } = = =

(

)

2 0 0 0,5 0,25

lim lim 0,5 0,25 0,5

h h

h h _h

h

→ →

−

= = − =

8 y 9. Ejercicios resueltos.

10. Halla la función derivada de la función identidad, f x

( )

=x.

( )

(

) ( )

0 0 0

' lim lim lim 1

h h h

f x h f x x h x h

f x

h h h

→ → →

+ − + −

= = = =

11. En cada caso, determina la función derivada.

a) f x

( )

=ax b+ b) f x

( )

= x c) _{f x}

( )

_=x−2 _{d) f x}

_{( )}

1 ax b

= +

a)

( )

(

) ( )

(

)

(

)

0 0 0

' lim lim lim

h h h

f x h f x a x h b ax b ah

f x a

h h h

→ → →

+ − + + − +

= = = =

b)

( )

(

) ( )

(

)(

)

(

)

(

)

0 0 0 0

' lim lim lim lim

h h h h

x h x x h x

f x h f x x h x x h x

f x

h h _{h x h x h x h x}

→ → → → + − + + + − + − + − = = = = = + + + +

(

)

0 0

1 1 1

lim lim

2

h h

h

x h x x x x

h x h x

→ →

= = = =

+ + +

+ +

c)

( )

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

2 2

2 2

0 0 0 0

1 1

2

' lim lim lim lim

h h h h

x

f x h f x x h x x h h x h

f x

h h _{hx x h hx x h}

→ → → → − + − + − + − − = = = = = + +

(

)

(

)

2 4 3

2 0

2 2 2

lim

h

x h x

x x

x x h →

− − − −

= = =

+

d)

( )

(

) ( )

(

)

₍

₎

(

₍

)

₎

0 0 0

1 1

' lim lim lim

h h h

ax b a x h b

f x h f x a x h b ax b

f x

h h h a x h b ax b

→ → → − + − + +  + − + + + _{ } = = = = + + +    

(

)

(

)

(

)

(

_{) (}

)

2

0 0

lim lim

h h

ah a a

h a x h b ax b a x h b ax b _{ax b}

12. En cada caso, encuentra los valores de los parámetros que hacen que las funciones dadas sean derivables en todo .

a)

( )

2 1 si 2

si 2

x x

f x

ax x

 + ≤

=  _>

 b)

( )

2 _{si 1}

3 si 1

ax bx x

g x

ax x

 + ≤ −

= 

− > − 

a) Para que se derivable en x = 2, debe ser obligatoriamente continua en x = 2, aunque esto no sea suficiente. Imponemos, pues, la condición de continuidad en x = 2: los límites laterales en dicho punto han de coincidir con el valor de la función:

( )

(

2

)

2 2

lim lim 1 5

x→ −f x =x→− x + = xlim→2+f x

( )

=xlim→2+ax=2a f

( )

2 =5

Así pues, para que f sea continua en x = 2 debe ser 2 5 5 2 a= ⇒ =a .

La función es, por tanto,

( )

2 _{1 si 2}

5 _{si 2}

2

x x

f x

x x

 + ≤

 = 

>

 . Estudiamos ahora si esta función es derivable en x = 2.

La derivada de la función para x distinto de 2 es:

( )

< 



=  _> 

2 si 2

5 _{si 2}

2

x x

f x

x

Para x = 2 vemos que:

( )

2 2

lim ' lim 2 4

x→−f x =x→ − x= 2

( )

2 5 5

lim ' lim

2 2

x_→ +f x =x_→ + =

Como los límites laterales de la función derivada no coinciden en x = 2, f no es derivable en ese punto. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la función sea derivable en x = 2.

b) Imponemos primero la condición de continuidad. Dentro de cada tramo no hay problemas porque se trata de funciones polinómicas. Hay que asegurar pues la continuidad en x =−1: los límites laterales en dicho punto han de coincidir con el valor de la función:

( )

(

2

)

1 1

lim lim

x→−−g x =x→−− ax +bx = −a b x_→−lim1+g x

( )

=x_→−lim1+

(

ax−3

)

= − −a 3 g

( )

− = −1 a b Así pues, para que g sea continua en x =−1 debe ser a b− = − − ⇒a 3 2a b− = −3.

Estudiamos ahora si esta función es derivable en x =−1.

La derivada de la función para x distinto de −1es:

( )

=  + _{> −}< − 

2 si 1

'

si 1

ax b x

g x

a x

Para x =−1 vemos que:

( )

(

)

1 1

lim ' lim 2 2

x_→−−g x =x_→−− ax b+ = − a b+ _xlim_→−1+g x'

( )

=_x→−lim₁+a a= Para que g sea derivable en x =−1, debe cumplirse que −2a b a+ = ⇒ =b 3a.

Ya tenemos el sistema formado: _{ =}− = −



2 3

3 a b

b a cuya solución es a = 3, b = 9.

Para que g sea derivable en todo , debe cumplirse que a = 3 y b = 9.

Derivadas | Unidad 6 237 15. Deriva las siguientes funciones.

a)

( )

3₄ 1 1 x f x x − =

+ b)

( )

(

)

7 7 ₇

f x = x + x _c)

( )

3 2 2 3 1 x f x x   = _ _ +

  d)

( ) (

)

2

1

2 3

1

f x x

x

= +

+

a)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

4 3 _{4 3}

2 2

4 4

3 1 3 1 4 _{9 4 3}

'

1 1

x x x _{x x}

f x

x x

+ − − _{− + +}

= =

+ +

b) _{f x'}

( )

₌₇

(

_x7_+7x

) (

6 _7x6₊₇

)

c)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

+ − + −   − = _ _ = = + _{+ + +}   2 2 2 2 ₃

2 ₂ 2 ₂ 2 ₂ 4

1 3 1 12

2 3 1 2 6 12

2 2 12 108

' 3

3 1 _{3 1 3 1 3 1}

x x

x x x x

x x x x x

f x

x _{x x x x}

d) ( ) ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

⋅ + − + + − ₊ = + ⋅ = = + _{+ +} + + + − − − − + = = + + + + 2 2 2

2 ₂ 2 ₂

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1

2 1 2 2 3

1 2 3 2 ₁

' 2

1 ₂ 1 _{1 1} 1

1 1

2 1 4 6 2 6 2

1 1

1 1

1 1

x x x

x x _x

f x

x _x

x

x x

x x x x x

x x

x x

16. Dada la función

( )

2 1 2

(

3

)

2 3 2

f x x x

x

= − ⋅ + ⋅

− , halla f' 5

( )

.

Podemos considerar la función como producto de dos funciones:

( )

(

)

2

2 3

3 2 1

2 x

f x x

x + = − ⋅ −

( )

(

)

(

)(

) (

)

(

)

2 2 2

2 3 4 2 3 2 2 3

2

' 3 2 1

2

2 2 1 2

x x x x

f x x

x x x  _{+ + − − +}    = ⋅ + − ⋅ −  − −   

(no hace falta simplificar la expresión porque basta con sustituir la x por 5).

( )

1 132 4 13 3 132 130

' 5 3 3

3 3 9 3

f =  ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − =

 

17. Determina las derivadas de estas funciones:

( )

2₂

1

x f x

x =

+ y

( ) (

)

2 2 1 1 x g x x + =

+ . ¿Qué observas?

( )

(

)

(

)

(

)

2 ₂

2 2

2 2

2 1 2 2 _{2 2}

'

1 1

x x x _x

f x x x + − _{− +} = = + +

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 ₂ 2 2 2 2

2 1 1 1 2 _{2 2}

'

1 1

x x x x _x

g x

x x

+ + − + _{− +}

= =

+ +

La derivada es la misma ya que:

( ) ( ) (

)

2 _{2 2}

2 2 2

1 2 1 2 2 _{1 1}

1 1 1

x x x x x x

g x f x

x x x

+ − + + − +

− = = = =

+ + +

18. Calcula la derivada de las siguientes funciones y encuentra después para qué valores de x se anulan.

a)

( )

₂ 1

3 x f x x − =

+ b)

( )

5 8 x f x x − =

+ c)

( )

2 2 1 4 x f x x + = −

a)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 ₂

2 2

2 2

1 3 1 2 _{2 3}

'

3 3

x x x _{x x}

f x

x x

+ − − _{− + +}

= =

+ +

Esta derivada se anula si _{f x'}

( )

_{= ⇒ −0 x}2_{+2x+ =3 0, es decir, si x =−1 y si x = 3.}

b)

( )

(

) (

)

(

)

2

(

)

2

1 8 5 1 13

' 8 8 x x f x x x + − − = = + +

Esta derivada se anula si f x'

( )

= ⇒0 13 0= , es decir, nunca.

c)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

2 2

2 2

2 2

2 4 1 2 ₁₀

'

4 4

x x x x _x

f x

x x

− − + ₋

= =

− −

Esta derivada se anula si f x'

( )

= ⇒ −0 10x=0, es decir, si x = 0.

19. Calcula las derivadas de las siguientes funciones.

a) _{f x}

( )

_{= 1−x}2 _{c) f x}

_{( )}

_{= xe}−x _{e) f t}

_{( )}

₌

(

_t3₊₂

)

90

b) _{f x}

( )

₌₂ x−7 _{d) f t}

_{( )}

₌

(

_t+1

)

100 _{f) f x}

_{( )}

₌₂2 1x−

a)

( )

2 2

2 '

2 1 1

x x

f x

x x

− −

= =

− − d)

( )

(

)

(

)

99

99 ₁ 50 1

' 100 1

2

t

f t t

t t

+

= + =

b) _'

( )

₂ 7_ln2 1 2

x

f x

x

−

= e) _{f t'}

( )

=₉₀

(

_t3+_{2 3}

)

89 _t2=_{270t t}2

(

3+₂

)

89

c) '

( )

1

( )

1 1 2

2 2

x x x x

f x e xe e

x x

− − −  − 

= + − = _{ }

  f)

( )

2 1 2

' 2 x ln2 2 2 ln2x

f x ₌ − _{⋅ =}

20. Utiliza las reglas de derivación para determinar las derivadas de las siguientes funciones.

a)

( )

θ = _−θ +

1 1 f

e b)

( )

z

z f z

e

= c)

( )

2 y

e

f y e

     

=

a)

( )

(

)

2 ' 1 e f e −θ −θ θ = +

b)

( )

₂

1 1 2

1 2

2 2

'

2

z z

z z z

z

e ze

z

z z

f z

e e ze

− −

−

= = =

c)

( )

2 2 ' 2 y e y

f y e e y

     

Derivadas | Unidad 6 239 21. Ejercicio resuelto.

22. Calcula las derivadas de las siguientes funciones.

a) f t

( )

=tcost+tgt f) _{f x}

( )

_=sen4_x

b) f x

( )

= 1 cos− x g) _{f x}

( )

_=cos3

(

_ex₋₁

)

c) _{f x}

( )

_=ecosx _{h) f x}

_{( )}

_=sen7

(

_x7₊₁

)

7

 

 

d) f x

( )

=tg

( )

x i) f

( )

_{β =}eβarcsen 2

( )

_β

e) f x

( )

= arctgx h) _{f z}

( )

₌tg

( )

_ez

a) '

( )

cos

(

sen

)

1₂ cos sen 1₂

cos cos

f t t t t t t t

t t

= + − + = − +

b) '

( )

sen 2 1 cos

x f x

x

= −

c) _{f x'}

( )

_=ecosx

(

_−senx

)

_{= −e}cosx_senx

d) '

( )

1 tg2 2

x f x

x

+ =

e) ( ) 1 1 ₂

₍

₂

₎

1

1

2 arctg 2 1 arctg

f x

x

x x x

′ = ⋅ =

+ +

f) _{f x'}

( )

_{=4sen cos}3_{x x}

g) _{f x'}

( )

_{= −3cos}2

(

_ex _{−1 sen}

) (

_ex₋₁

)

_ex

h) _{f x'}

( )

_=7sen6

(

_x7_{+1 cos}

)

7 

(

_x7_{+1 7}

) (

7 _x7_{+1 7}

)

6 _x6

   

   

i)

( )

( )

( )

( )

β β β_ _

β = β + = β +

 _{− β} 

− β2  2 

2 2

' arcsen 2 arcsen 2

1 4 1 2

f e e e

j) '

( )

₂ cos

z z

e f z

e

23. Determina las derivadas de estas funciones.

a)

( )

(

cos

)

x

x

x x e

f x

e

+

= c)

( )

ln 1 cos

1 cos x f x

x

+

 

=  ₋ 

 

b)

( )

arccos₂ 1

5 1

x f x

x

− =

+ d)

( )

2 2

1 tg

1 x f x

x

 −  = _ _

+  

a) f x'

( )

cosx ex x

(

_xsenx cosx

)

e

+ − +

=

b)

( )

(

)

(

)

−

⋅ + − −

− −

=

+

2

2 2

1 1 _{5 1 10 arccos 1}

2 1 2

'

5 1

x x x

x x

f x

x

c) f x

( )

=ln 1 cos

(

+ x

)

−ln 1 cos

(

− x

)

( )

sen sen sen sen cos sen₂ sen cos 2sen₂ 2

'

1 cos 1 cos 1 cos sen sen

x x x x x x x x x

f x

x x x x x

− − + − − − −

= − = = =

+ − −

d)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

2 2

2 2

2 2

2 ₂ 2 2 ₂ 2

2 1 1 2

1 1 4

' 1 tg 1 tg

1 ₁ 1 ₁

x x x x

x x x

f x

x _x x _x

+ − −

  −    − 

= + _ _ = + _ _

+ +

     

  +   +

24. Ejercicio interactivo.

25 y 26. Ejercicios resueltos.

27. Investiga si las siguientes funciones tienen extremos relativos y, en su caso, determinarlos. a) _{f x}

( )

_=x3_+3x2_+6x+1

b) g x

( )

=senx−cosx−3x+1

a) La derivada de f es _{f x'}

( )

_=3x2_+6x+6.

La ecuación _{f x'}

( )

_{= ⇒0 3x}2_{+6x+ =6 0 no tiene solución, por lo que la función f no presenta extremos} relativos.

b) La derivada de g es g x'

( )

=cosx+senx−3.

Derivadas | Unidad 6 241 28. Estudia el crecimiento y los extremos relativos de las funciones:

a)

( )

1 5 4 3 ₂ 2 _{4 1} 5

f x = x −x +x + x − x+ b) f x

( ) (

= x+1

)

2−2ln

(

x+1

)

a) D f

( )

=, _{f x'}

( )

_=x4_−4x3_+3x2_{+4x− =4}

(

_x−2

) (

2 _x+1

)(

_x−1

)

_{, f x'}

_{( )}

_{= ⇒0 x = 2, x = 1, x =−1}

x

(

−∞ −, 1

)

−1

( )

−1,1 1

( )

1,2 2

(

2,+∞

)

Signo de f' + 0 − 0 + 0 +

Comportamiento

de f Creciente Máximo relativo Decreciente Mínimo relativo Creciente Creciente

La función es creciente en

(

−∞ − ∪ +∞, 1

) (

1,

)

. La función es decreciente en

( )

−1,1.

El punto

(

1,

( )

1

)

1,24 5

A − f − =A_− _

  es un máximo relativo. El punto

(

( )

)

4

1, 1 1,

5

B f =B_ − _

  es un mínimo relativo.

b) D f

( ) (

= − +∞1,

)

,

( )

(

)

2 2

(

1

)

2 2 2 2 4 2

(

2

)

' 2 1

1 1 1 1

x x x x x

f x x

x x x x

+ − + +

= + − = = =

+ + + + , f x'

( )

= ⇒ =0 x 0,x= − ∉2 D f

( )

x

(

−1,0

)

0

(

0,+∞

)

Signo de f' − 0 +

Comportamiento

de f Decreciente Mínimo relativo Creciente La función es creciente en

(

0,+∞

)

. La función es decreciente en

(

−1,0

)

.

El punto A f

(

0, 0

( )

)

=A

( )

0,1 es un mínimo relativo (también es absoluto).

29. Ejercicio resuelto.

30. La suma de dos números no negativos es 14. Calcúlalos para que su producto sea el mayor posible.

1. Se definen las variables, x, y, que son los dos números.

2. Se escribe la relación entre ellas: x + y = 14, y se despeja una en función de la otra: y = 14 − x. 3. La función que hay que minimizar es el producto de los números, P = xy.

Luego, _{P x}

( )

_=x

(

_14−x

)

_{= −x}2_+14x.

4. Se halla el dominio de la función. Como deben ser no negativos, x∈

[

0,14

]

.

5. Se calculan los valores de x que anulan la derivada de _{P x}

( )

_{= −x}2_{+14x en}

_[

_{0,14 :}

_]

P x'

( )

= −2x+14 0= ⇒ =x 7

6. Se halla el valor de P x

( )

en el valor que anula la derivada y se compara con los de los extremos del intervalo de definición:

( )

7 49

P = P

( )

0 =0 P

( )

14 =0

31. Queremos escribir un texto que ocupe 96 cm2_{, tal que deje 2 cm en cada margen lateral de la hoja en la que}

está escrito y 3 cm de margen arriba y abajo. Calcula las dimensiones de la hoja más pequeña posible que se puede utilizar.

Se determinan las variables, que son las dimensiones de la hoja: x son los cm que mide la base e, y, los cm que mide la altura. Se relacionan las variables: el texto escrito debe ser 96 cm2. Así pues

(

x−4

)(

y−6

)

=96, y operando se obtiene:

(

4

)(

6

)

96 6 4 24 96

(

4

)

72 6 72 6

4 x

x y xy x y y x x y

x

+

− − = ⇒ − − + = ⇒ − = + ⇒ =

−

La función que se quiere minimizar es la superficie de la hoja:

S = xy ⇒

( )

72 6 72 6 2

4 4

x x x

S x x

x x

+ +

= =

− −

Se busca el intervalo en el que se mueve la variable x. En este caso, x debe estar en el intervalo abierto

(

4,+∞

)

.

Se busca el mínimo de

( )

72 6 2 4

x x

S x x

+ =

− en

(

4,+∞

)

.

La derivada

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2 ₂

2 2 2

72 12 4 72 6 6 48 288 6 12 4

'

4 4 4

x x x x x x x x

S x

x x x

+ − − + − − − +

= = =

− − − se anula si x = 12.

La solución negativa no aporta nada.

Si 0 < x < 12, la derivada es negativa y la función decrece; si x > 12, la derivada es positiva y la función crece. Así pues, en x = 12 está el mínimo.

La altura, y, mide 72 6 12 12 4

y= + ⋅

− cm.

Las dimensiones de la hoja más pequeña posible son: 12 cm de base y 18 cm de altura.

32. Una empresa alquila 65 estudios. Alquilando cada uno por 600 €, conseguiría alquilarlos todos y por cada 20 € que aumente el alquiler, alquilaría 1 menos. Si cada estudio tiene 60 € mensuales de gastos, ¿a cuánto debe alquilarlos para obtener el máximo beneficio?

Llamando x al número de estudios que deja de alquilar por aumento de precio, la función que da los beneficios es:

( ) (

65

)(

600 20

)

60 65

(

)

B x = −x + x − −x , donde 65 − x son los estudios que alquila, y 600 + 20x, el precio de alquiler de cada estudio. La función beneficio, después de operar, es:

( )

₂₀ 2 _{760 35100}

B x = − x + x+ , siendo x un valor del intervalo cerrado [0, 65].

( )

' 40 760

B x = − x+ , y los valores de x que la anulan: −40x + 760 = 0 ⇒ x = 19.

Se compara el valor de la función en ese punto y en los extremos del intervalo de definición:

( )

0 35100

B = B

( )

65 =0 B

( )

19 =42320

Así pues, la función alcanza el máximo en x = 19.

Por tanto, deberá alquilar 65 − x = 65 − 19 = 46 estudios a un precio de 600 + 20x = 600 + 20 · 19 = 980 euros. El beneficio máximo es de B

( )

19 =42320 euros.

33. Ejercicio interactivo.

Derivadas | Unidad 6 243 35. ¿Cuáles son las abscisas de los puntos de inflexión de una función f en la que f x''

( ) (

= x−1

)(

x−3

)

2?

La derivada segunda se anula en x = 1 y en x = 3.

En x = 1, como f x''

( )

<0 en

(

−∞,1

)

y f x''

( )

>0 en

( )

1,3 la función tiene un punto de inflexión de abscisa 1.

En x = 3 no hay un punto de inflexión, pues no hay cambio de curvatura (a derecha y a izquierda la segunda derivada es positiva).

36. Determina la curvatura y los puntos de inflexión de las siguientes funciones. a) _{f x}

( )

_=x3_+6x2_{−5 c) f x}

_{( )}

_=xex

b)

( )

1

x

e f x

x

=

+ d) f x

( )

=cosx, en [0, 2π]

a) D f

( )

=, _{f x'}

( )

_=3x2_{+12x, f x''}

_{( )}

_{=6x+12 6=}

₍

_x+12

₎

_{, f x''}

_{( )}

_{= ⇒0 6}

₍

_x+2

₎

_{= ⇒ = −0 x 2}

x

(

−∞ −, 2

)

−2

(

− +∞2,

)

Signo de f '' − 0 +

Curvatura de f ∩ Punto de _inflexión ∪

b) D f

( )

=− −

{ }

1 ,

( )

(

)

2

'

1

x

xe f x

x

=

+ ,

( )

(

)

(

)

2 3 1 ''

1

x

x e

f x x

+ =

+ ,

( )

(

)

2

'' 0 1 x 0

f x = ⇒ x + e = ⇒ la derivada segunda no

se anula nunca.

x

(

−∞ −, 1

)

−1

(

− +∞1,

)

Signo de f '' − − ∉1 D f

( )

+

Curvatura de f ∩ ∪

c) D f

( )

=, _{f x}'

( ) (

_{= x+}1

)

_ex_{, f x''}

_{( ) (}

_{= x+2}

₎

_ex_{, f x''}

_{( )}

_{= ⇒ + = ⇒ = −0 x 2 0 x 2}

x

(

−∞ −, 2

)

−2

(

− +∞2,

)

Signo de f '' − 0 +

Curvatura de f ∩ Punto de _inflexión ∪

d) D f

( )

=

[

0,2π

]

, f x'

( )

= −senx, f x''

( )

= −cosx, ''

( )

0 cos 0 , 3

2 2

f x = ⇒ − x= ⇒ =x π x= π

x 0,

2

π    

  2

π _,3

2 2

π π

 

 

 

3 2

π _{3 ,2}

2

π  _π

 

 

Signo de f '' − 0 + 0 −

37. De una cierta función f se conoce su derivada:

_{f x}'

( )

₌

(

_ex₋1

)

(

_x−2

)

Obtén las abscisas de los posibles extremos relativos de f y determina su carácter de máximo o mínimo aplicando el test de la segunda derivada.

Los posibles extremos serán los valores de x que anulan la derivada de f son:

1 0 1 0

x x

e − = ⇒e = ⇒ =x x − 2 = 0 ⇒ x = 2

La derivada segunda es _{f x}''

( )

_{=e x}x

(

_{− −}1 1

)

_. Evaluamos en los puntos anteriores:

x = 0: _{f'' 0}

( )

_=e0

(

_{0 1 1− − = − < ⇒}

)

_{2 0 en x = 0 hay un máximo relativo.}

x = 2: _{f'' 2}

( )

_=e2

(

_{2 1 1− − =}

)

_e2_{− > ⇒1 0 en x = 2 hay un mínimo relativo.}

38. Encuentra los valores de a y b en _{f x}

( )

_=ax3_+2x2_{−5x b+ para que tenga un punto de inflexión en el}

punto A

( )

1,3

Calculamos su segunda derivada: _{f x'}

( )

_=3ax2_{+4x− ⇒5 f x''}

( )

_=6ax+4

Al ser A

( )

1,3 un punto de inflexión: '' 1

( )

0 6 4 0 2 3 f = ⇒ a+ = ⇒ = −a

Como A

( )

1,3 pertenece a la gráfica de f:

( )

1 3 2 5 3 6 6 2 20

3 3

f = ⇒ + − + = ⇒ = − = − −a b b a _ _=   .

39. Utiliza el teorema de Rolle para demostrar que la gráfica de la función _{f x}

( )

_=3x5_{+7x+1 no puede cortar}

2 veces al eje horizontal.

Si la función cortara dos veces al eje horizontal, en a y b, tendría que ocurrir que f a

( )

=f b

( )

=0 y, por el teorema de Rolle, la derivada de f se anularía entre a y b.

Pero la derivada es _{f x'}

( )

_=15x4_{+7 y, como se aprecia, no se anula nunca.} Luego la función no puede cortar al eje horizontal dos veces.

40. De una cierta función f derivable se sabe que f

( )

0 =1 y f

( )

3 =7. ¿Se puede asegurar que hay alguna tangente a su gráfica paralela a la recta 2x − y + 5 = 0?

El teorema del valor medio nos asegura la existencia de dicho punto C c f c

(

,

( )

)

, con 0 < c < 3 tal que:

'

( )

( ) ( )

3 0 7 1 6 2

3 0 3 3

f f

f c = − = − = =

−

La pendiente de la recta y = 2x + 5 es m = 2, que es precisamente el valor de f c'

( )

=2. Luego, la tangente a f en el punto C c f c

(

,

( )

)

tiene también pendiente 2 y es, por tanto, paralela a la recta dada.

Derivadas | Unidad 6 245 42. Utiliza las diferenciales para aproximar e0,01_.

Se considera la función _{f x}

( )

_=ex_{. Hay que aproximar f x h}

₍

₊

₎

_{para h =∆x = dx = 0,01 y x = 0.}

Así pues, f x h

(

+

)

f x

( )

+f x dx'

( )

.

( )

' x

f x =e con lo que f' 0

( )

=1. Por otra parte, f

( )

0 =1

Entonces, f

(

0+h

)

f

( )

0 +f' 0 0,01

( )

⋅ , es decir, f

(

0+h

)

1 1 0,01 1,01+ ⋅ = .

Con la calculadora se obtiene el valor e0,01 _{= 1,0100502. Así pues, utilizando diferenciales, la aproximación es} realmente buena.

43. Calcula aproximadamente: _{5sen 0,01 2cos 0,01}

(

)

₋ 2

(

)

_.

Se considera la función _{f x}

( )

_{=5senx−2cos}2_{x y se aproxima f x h}

₍

₊

₎

_{para h =∆x = dx = 0,01 y x = 0.}

La derivada de la función es f x'

( )

=5cosx+4cos senx x, de modo que f' 0

( )

=5. El valor de la función en x = 0, f

( )

0 = −2.

Como la aproximación lineal es f

(

0,01

)

=f

( )

0 +f' 0

( ) (

⋅ 0,01 0−

)

, se obtiene:

f

(

0,01

)

= − + ⋅2 5 0,01= −1,95

Con la calculadora se obtiene 5 · sen (0,01) − 2 cos2 _{(0,01) = −1,9498008... Por tanto, la aproximación es muy} buena.

EJERCICIOS

Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica

53. Calcula la derivada, por definición, de las siguientes funciones en los puntos indicados. a) _{f x}

( )

_=3x2_{−4x en x = 1}

b)

( )

1 3 f x

x

=

+ en x =−1

c) f x

( )

= 2x+1 en x = 4

a)

( )

(

) ( )

(

)

(

) ( )

(

)

2

0 0 0

1 1 3 1 4 1 1 3 2

' 1 lim lim lim 2

h h h

f h f h h h h

f

h h h

→ → →

+ − + − + − − +

= = = =

b)

( )

(

) ( )

₍

₎

₍

₎

0 0 0 0

1 1

1 1 _{2 2} 1 1

' 1 lim lim lim lim

2 2 2 2 4

h h h h

f h f _h h

f

h h h h h

→ → → →

−

− + − − ₊ − −

− = = = = = −

+ +

c)

( )

(

) ( )

(

)(

)

(

)

(

)

0 0 0 0

9 2 3 9 2 3

4 4 9 2 3 2

' 4 lim lim lim lim

9 2 3 9 2 3

h h h h

h h

f h f h h

f

h h _{h h h h}

→ → → →

+ − + +

+ − + −

= = = = =

+ + + +

0

2 1

lim

3

9 2 3

h→ _h

= =

+ +

54. Si la recta tangente y f x=

( )

en el punto A

(

5,3

)

pasa por el punto

( )

0,1 , calcula f' 5

( )

.

La derivada f' 5

( )

es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A

( )

5,3 y

( )

0,1 , es decir: ' 5

( )

3 1 2 5 0 5

f = − =

− .

55. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de las siguientes funciones en el punto indicado.

a) _{f x}

( )

_=x2_{+1 en x = 3 b)}

_{( )}

1

1 f x

x

=

+ en x = 0

a) La pendiente de la recta tangente es

( )

(

) ( )

(

)

(

)

2

0 0 0

3 3 3 1 10 6

' 3 lim lim lim 6

h h h

f h f h h h

f

h h h

→ → →

+ − + + − +

= = = = .

El punto de tangencia es A f

(

3, 3

( )

)

=A

(

3,10

)

.

La recta tangente es y f−

( )

3 =f' 3

( )(

x−3

)

, o sea: y−10 6=

(

x−3

)

, es decir, y = 6x − 8

b) La pendiente de la recta tangente es:

( )

( ) ( )

(

)

0 0 0 0

1 ₁

0 ₁ 1

' 0 lim lim lim lim 1

1 1

h h h h

f h f _h h

f

h h h h h

→ → → →

−

− ₊ − −

= = = = = −

+ +

El punto de tangencia es C

(

0, 0f

( )

)

=C

( )

0,1 .

Derivadas | Unidad 6 247 56. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = x2 _{trazadas desde el punto}

(

1, 2

)

P − . Representa gráficamente la parábola y las dos tangentes obtenidas.

La pendiente de la recta tangente en el punto _{A a a}

( )

_, 2 _{es f a'}

_{( )}

_=2a.

La ecuación de la recta tangente a la parábola en ese punto es

(

)

2 ₂

y a− = a x a− ,

es decir, y = 2ax − a2_.

Si queremos que pase por el punto P

(

1, 2−

)

, debe ser −2 = 2a − a2_{, cuyas} soluciones son a= +1 3 y a= −1 3, y las tangentes buscadas son:

(

)

(

)

2 1 3 2 2 3

y= + x− + y=2 1

(

− 3

)

x−2 2

(

− 3

)

Continuidad y derivabilidad

57. Si existen, halla las derivadas laterales en x = 1 y decide si las siguientes funciones son derivables en dicho punto.

a)

( )

(

)

(

)

3

2

1 si 1

1 si 1

x x f x x x  − ≤  =  − >

 b)

( )

2 _{si 1}

2 si 1

x x

f x

x x

 ≤

=  _> 

a)

( )

(

) ( )

(

)

3 3 3

2

0 0 0

0

1 1 1 1 0

' 1 lim lim lim lim 0

h h h

h

f h f h h

f h

h h h

− − → → → → + − + − − = = = = =

( )

(

) ( )

(

)

2 3 2

0 0 0

0

1 1 1 1 0

' 1 lim lim lim lim 0

h h h

h

f h f h h

f h

h h h

+ + → → → → + − + − − = = = = =

Como las derivadas laterales en x = 1 coinciden, la función es derivable en ese punto y f' 1

( )

=0.

b)

( )

(

) ( )

(

)

2 2 2

0 0 0

1 1 1 1 1 2 1

' 1 lim lim lim

h h h

f h f h h h

f

h h h

− − − − → → → + − + − + + − = = = =

(

)

₍

₎

2

0 0 0

2 2

lim lim lim 2 2

h h h

h h

h h _h

h h − − − → → → + + = = = + =

( )

(

) ( )

(

)

0 0 0

1 1 2 1 1 1 2

' 1 lim lim lim

h h h

f h f h h

f

h h h

+ + +

+

→ → →

+ − + − +

= = = =

0 0 0 0

1 2 1 ₂ 1 ₂

1

lim lim lim lim 2

1 1

h h h h

h

h h h h

h h h + + + + → → → → + + + _{ } = = = = _ + _= +∞  

58. A Rocío le han pedido que calcule, si existe, f' 3

( )

, siendo f la función

( )

₂ 2 si 3

5 si 3

x x

f x

x x x

− < 

=  _{− >}

 .

Ella trabaja así: calcula la derivada de la función para valores distintos de 3, esto es,

( )

1 si 3

' _{2 5 si}x ₃.

f x =  _{x− x}<_>

 Concluye, que como xlim '→3−f x

( )

=1 y xlim '→3+f x

( )

= ⋅ − =2 3 5 1, entonces, f' 3

( )

=1.

¿Dónde está el error de Rocío?

El error de Rocío consiste en que se ha saltado el primer paso: estudiar la continuidad de la función en x = 3. Su método solo sería válido si la función fuera continua en x = 3.

Como se observa,

( )

3

lim 1

x_→ −f x = y _xlim_→3+f x

( )

= −6, lo cual indica que la función no es continua en x = 3 y, por tanto, no es derivable en x = 3. Además, no existe f(3).

¡El primer paso para estudiar la derivabilidad es asegurarse de la continuidad!

59. Sea la función

( )

2₂2 3 si 0

1 si 0

x x a x

f x

x bx x

 − + ≤

 = 

+ + >

 .

Halla los valores de a y b para que sea continua y derivable en todo su dominio.

Como los polinomios son funciones continuas, solo falta estudiar qué ocurre en el valor x = 0.

Para que la función sea continua en x = 0, los límites laterales en ese punto deben ser iguales y coincidir con el valor de la función:

( )

(

2

)

0 0

lim lim 2 3

x_→−f x =x_→ − x − x a+ =a,

( )

(

)

2

0 0

lim lim 1 1

x_→ +f x =x_→ + x +bx+ = , f

( )

0 =a

Igualando los límites laterales se obtiene que para que f sea continua en x = 0 debe ser a = 1.

La función es, por tanto:

( )

2₂2 3 1 si 0

1 si 0

x x x

f x

x bx x

 − + ≤

 = 

+ + > 

Como también ha de ser derivable en x = 0, las derivadas laterales en dicho punto deben ser iguales:

La derivada de la función para x distinto de 0 es:

( )

=  −₊ <_> 

4 3 si 0

'

2 si 0

x x

f x

x b x

( )

(

)

0 0

lim ' lim 4 3 3

x_→−f x =x_→− x− = − _xlim '_→0+f x

( )

=_xlim 2_→0+

(

x b+

)

=b Por tanto, para que f sea derivable en x = 0 debe ser b =−3.

Respondemos: f x

( )

es continua y derivable en , si a = 1 y b =−3.

60. Calcula las derivadas laterales de la función f x

( )

= 2x−4 +x en el punto x = 2. ¿Es la función derivable en dicho punto? Esboza su gráfica.

( )

(

2 4

)

si 2 ₃4 _{4 si}si 2₂

2 4 si 2

x x x x x

f x

x x

x x x

− − + <

  − <

= _{− + ≥} = _{− ≥}

 

( )

(

) ( )

(

)

0 0 0

2 2 4 2 2

' 2 lim lim lim 1

h h h

f h f h h

f

h h h

− − −

−

→ → →

+ − − + − −

= = = = −

( )

(

) ( )

(

)

0 0 0

2 2 3 2 4 2 3

' 2 lim lim lim 3

h h h

f h f h h

f

h h h

+ + +

+

→ → →

+ − + − −

= = = =

Derivadas | Unidad 6 249 61. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:

( )

2 1 si 1

1 si 1

x x

f x

x x

 − ≤

=  _{− >} 

Como la función es polinómica en el interior de los tramos de definición, basta estudiar qué sucede en x = 1. Continuidad en x = 1: Se estudian los límites laterales en dicho punto y el valor de la función.

( )

(

2

)

1 1

lim lim 1 0

x_→−f x =x_→− x − = , _xlim_→1+f x

( )

=_xlim_→1+

(

x− =1 0

)

, f

( )

1 0= La función es continua en x = 1, ya que

( )

( )

1

lim 1

x→f x =f .

Derivabilidad en x = 1: La derivada de la función para x distinto de 1 es '

( )

2 si 1

1 si 1

x x

f x

x

< 

=  _>

 .

Las derivadas laterales en x = 1:

( )

1 1

lim ' lim 2 2

x→−f x =x→− x= , xlim '→1+f x

( )

=xlim 1 1→1+ =

Como

( )

( )

1 1

lim ' lim '

x_→−f x ≠x_→+f x , la función f no es derivable en x = 1. Por tanto, la función es continua, pero no derivable en x = 1.

62. Determina los valores que han de tomar a y b para que

( )

2 7 si 1

4x ax six 1

f x

x b x

− + − <

=  _{− ≥}

 , sea derivable en x = 1.

Primero hay que asegurarse de la continuidad de f en x = 1. Los límites laterales en dicho punto y el valor de la función han de coincidir:

( )

(

2

)

1 1

lim lim 7 8

x_→−f x =x_→− −x +ax− = −a , _xlim_→1+f x

( )

=_xlim 4_→1+

(

x b−

)

= −4 b, f

( )

1 = −4 b Así pues, debe cumplirse que a − 8 = 4 − b.

La derivada de la función para x distinto de 1 es:

( )

= − + <_> 

2 si 1

'

4 si 1

x a x f x

x

( )

(

)

1 1

lim ' lim 2 2

x→−f x =x→− − x a+ = − +a, xlim '→1+f x

( )

=xlim 4 4→1+ =

Así pues, para que f sea derivable en x = 1 debe ser −2 + a = 4 ⇒ a = 6. Y ya podemos calcular b, a − 8 = 4 − b ⇒ 6 − 8 = 4 − b ⇒ b = 6

63. Se sabe que la función f : 0,5

[ ]

→ dada por

( )

2 si 0 2 1 si 2 5

ax bx x

f x

c x x

 + ≤ < 

= 

+ − ≤ ≤

 , es derivable en el intervalo

(

0,5 y además verifica que

)

f

( )

0 =f

( )

5 . ¿Cuánto valen a, b y c?

En primer lugar, como f

( )

0 =f

( )

5 , 0 = c + 2, es decir, c =−2. La función es

( )

2 si 0 2

2 1 si 2 5

ax bx x

f x

x x

 + ≤ <

 = 

− + − ≤ ≤



Como debe ser continua en x = 2, los límites laterales en dicho punto deben ser iguales y además coincidir con el valor de la función:

( )

(

2

)

2 2

lim lim 2 4

x→−f x =x→− ax bx+ = a+ b, xlim→2+f x

( )

=xlim→2+

(

− +2 x−1

)

= −1, f

( )

2 = −1 Así pues, para que f sea continua en x = 2, debe ser 2a + 4b =−1.

Para que sea derivable en x = 2, las derivadas laterales en ese punto deben ser iguales.

La derivada de la función para x distinto de 2, 0 y 5 es: '

( )

12 si 0_{si 2} 2₅

2 1

a bx x

f x _x

x

+ ≤ < 



=  _{< ≤}

 ₋



( )

(

)

2 2

lim ' lim 2 4

x→−f x =x→ − a+ bx = +a b, 2

( )

2

1 1

lim ' lim

2

2 1

x→ +f x =x→ + x− = . Así pues, para que f sea derivable en x = 2

debe ser +4 = 1

2

a b . Con las ecuaciones obtenidas se plantea un sistema y se resuelve:

2 4 1 _{2 4 1 1 1 1 3}

4 2 , 4 2

1 _{2 8 1}

4 2 2 2 2

2

a b _{a b}

b b a b

a b a b + = −  _{ + = −}  _{⇒ ⇒ − = − ⇒ = = − = − = −}  _{+ = − − = −}  

Para que la función f cumpla las condiciones del enunciado, a = 3 2

− , b = 1

2 y c =−2.

64. Dada la función

( )

2 si 1 si 1

x ax b x

f x

cx x

 + + <

=  _≥

 . Calcula a, b y c para que f sea derivable en x = 1, sabiendo

que f

( )

0 =f

( )

4 .

La función debe ser continua, y para ello, los límites laterales en x = 1 han de ser iguales y coincidir con el valor de la función en el punto:

( )

(

2

)

1 1

lim lim 1

x_→−f x =x_→− x +ax b+ = + +a b, _xlim_→1+f x

( )

=_xlim_→1+cx c= , f

( )

1 =c. Entonces, 1 + a + b = c. Para que sea derivable en x = 1, las derivadas laterales tienen que ser iguales.

Las derivadas de la función para x distinto de 1 son:

( )

=  + <_> 

2 si 1

'

si 1

x a x

f x

c x

Las derivadas laterales en x = 1:

( )

(

)

1 1

lim ' lim 2 2

x→−f x =x→− x a+ = +a, xlim '_→1+f x

( )

=xlim_→1+c c= Como han de ser iguales, a + 2 = c y, como f

( )

0 =f

( )

4 , debe ser b = 4c.

Con las tres ecuaciones se plantea un sistema:

1 2 4 a b c

a c b c + + =   + =   = 

⇒ 1 + c − 2 + 4c = c ⇒ 4c = 1 ⇒ c = 1

4 ⇒ b = 1 ⇒ a = 7−4

Se cumplen las condiciones del enunciado para la función f si a = 7 4

Derivadas | Unidad 6 251

Derivada de las operaciones con funciones

65. Dadas _{f x}

( )

_=x2_{+2x+1 y g x}

_{( )}

_{=3x−1, calcula:}

a)

( )

_f2 '

( )

_{x c)}

₍

_{2f−3g x}

_{) ( )}

'

b) g '

( )

x f

   

  d)

( )

      ' 2 5 _x g

En primer lugar, f x'

( )

=2x+2 y g x'

( )

=3

a)

( )

_f2 '

( )

_{x =2f x f x}

( ) ( )

_{' =2}

(

_x2_{+2x+1 2}

)

(

_x+2

)

b)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2 ' 2

2 ₂ 2 ₂ 2

3 2 1 3 1 2 2

' ' 3 2 5

2 1 2 1

x x x x

g x f x g x f x

g _x x x

f _{f x x x x x}

+ + − − +

− − + +

  _{= = =}

 

  _{+ + + +}

c)

(

2f−3g x

) ( )

' =2 'f x

( )

−3 'g x

( )

=2 2

(

x+2

)

− =9 4x−5

d)

( )

( )

( )

(

)

(

)

−   _{= =} −   −   '

2 3 3

10 '

5 30

3 1

g x x

g g x x

66. Sabiendo que f

( )

2 =1; f' 2

( )

=3; g

( )

2 =2; g' 2

( )

=5 y g' 1

( )

=0, calcula:

a)

(

f g

) ( )

' 2 c)

( )

g '

( )

2 e) 1 g '

( )

2

f

      

b)

(

_f2_g

)

'

( )

_{2 d)}

(

_{g f}

) ( )

' _{2 f)}

( )

_fn '

_{( )}

₂

a)

(

f g_

) ( )

' 2 =f g'

(

( )

2

)

g' 2

( )

=f' 2 5 3 5 15

( )

⋅ = ⋅ =

b)

(

_f2_g

)

'

( )

_{2 =2f g}

(

( )

₂

)

_{f g'}

(

( )

₂

)

_{g' 2}

( )

_{=2 2f}

( ) ( )

_{⋅f' 2 5 2 1 3 5 30⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =}

c)

( )

( )

( )

( )

' ' 2 _{5 5 2}

2 4 2 2 2 2 g g g = = =

d)

(

g f_

) ( )

' 2 =g f'

(

( )

2

)

f' 2

( )

=g' 1 3 0 3 0

( )

⋅ = ⋅ =

e)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

' '

2 2 2

' 2 ' 2

1 ₂ 1 _{2 ' 2 ' 2 5} 3 _{5 15}

1 2

2

f g f

g g g g

f f _{f g f}

  ₌  _{= − = − ⋅ = − ⋅ = −}

   

    

f)

( )

_fn '

( )

_{2 =nf}n−1

( ) ( )

_{2 ' 2f = ⋅n 1}n−1_{⋅ =3 3n}

67. Calcula aplicando la regla de la cadena las derivadas de las siguientes funciones.

a) f x

( )

=

(

x x+

)

5 b)

( )

3 3

5 x f x x +   = _{ −} _

a) '

( )

5

(

)

4 1 1 2

f x x x

x

 

= + _ + _

  b)

( )

(

)

(

)

(

)

2 2 2 4 24 3 3 8 ' 3

5 _{5 5}

x x

f x

x _{x x}